PREGUNTA N.o 1 PREGUNTA N.o 2 -...
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Solucionario Examen de admisión UNI
Matemática
2016 -I
PREGUNTA N.o 1Indique la secuencia correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. En un conjunto de 4 números cuyo máximo
común divisor es igual a 1, entonces dichos números son primos dos a dos.
II. Si a y b son números primos, entonces a+b también es primo.
III. Si a > 3, siendo a primo, entonces a es de la forma a=6k+1 o a=6k – 1, con k ∈ N.
A) VFF B) VFV C) FFF D) FFV E) FVV
ResoluciónTema: Clasificación de los números enteros positivos, MCD y MCM
Análisis y procedimientoI. Falsa Consideramos el siguiente contraejemplo: MCD(4; 5; 6; 7)=1 Entonces 4; 5; 6 y 7 son PESI, pero no son
PESI 2 a 2. Para el contraejemplo, 4; 5; 6 y 7 no son PESI 2 a 2.
II. Falsa Consideramos el siguiente contraejemplo: 7 y
11 son números primos, pero la suma de ellos (7+11=18) no es un número primo.
III. Verdadera Por propiedad tenemos que si a es un número
primo y a > 3, entonces
a=6º+1 ∨ a=6º – 1 (a=6k+1 ∨ a=6k – 1; k ∈ N)
Respuesta: FFV
PREGUNTA N.o 2
Sean N y M números naturales. Al extraer la raíz cúbica al número 2N+M y al extraer la raíz cuadrada al número N – M, tienen como residuo cero y ambas raíces son iguales. Determine la suma de las cifras del mayor N menor que cien que satisface tal propiedad.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 9 E) 12
Resolución
Tema: Potenciación - Radicación
Análisis y procedimiento
Del enunciado
2N+M
2N+M=K3
0K N – M
N – M=K2
0K3
Luego
2N+M = K3
3N = K2(K+1)
N – M = K2+
Se observa que
K=3º ∨ K+1=3º
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De ahí 3N=K2(K+1) K=2 → N=4 K=3 → N=12 K=5 → N=50 K=6 → N=84 (máx. y menor de 100)
\ Suma de cifras de 84 es 8+4=12
Respuesta: 12
PREGUNTA N.o 3Sea Q el conjunto de los números racionales, luego todos los valores racionales posibles de x de manera que
x x2 3+ +sea racional, son de la forma:
A) 3
2 1
2
2−+
∈q
qq, Q
B) 32 1
12
2−+
q, Q \
C) 32 1
12
2++
q, Q \
D) 32 1
12
2−−
q, Q \
E) 32 1
12
2+−
q, Q \
ResoluciónTema: Números racionales
Análisis y procedimientoPor dato
x x2 3+ + debe ser racional; además, consi-
deremos que q es un racional que también cumple
la condición “para que sea racional”.
Luego
x x x q2 3+ + = +
x x x q2 23+ + = +( ) x x x xq q2 2 23 2+ + = + +
3 22− = −q xq x
32 1
2−−
=q
qx, siendo 2q – 1 ≠ 0
q ≠12
\ xq
qq= −
−∈ { }3
2 112
2, \ Q
Respuesta: 32 1
12
2−−
q, \ Q
PREGUNTA N.o 4Señale la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado.I. Existen números positivos a, b, c, d que forman
una proporción geométrica discreta y armónica discreta a la vez.
II. Es posible encontrar dos números que están en relación de 3 a 5 cuya diferencia es 200.
III. Existen números positivos a, b, c, d que forman una proporción geométrica discreta y aritmética discreta a la vez.
A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF
ResoluciónTema: Razones y proporciones
Análisis y procedimientoI. Verdadera Consideremos el siguiente ejemplo:
33
88
13
13
18
18
= − = −
proporcióngeométrica
discreta
proporció
���
;
nn armónica� ��� ���
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II. Verdadera Sean a y b los números; del enunciado, tenemos
ab
=35
3×(– 100) – 5×(– 100)=– 2×(– 100)
a b– 200=
\ a=– 300 ∧ b=– 500
III. Verdadera Consideremos el siguiente ejemplo:
55
66
5 5 6 6= − = −
proporcióngeométrica
discreta
proporción a
���
;rritmética
discreta
� ��� ���
Respuesta: VVV
PREGUNTA N.o 5
La probabilidad de que haya un temblor en Chile es 0,8 y la probabilidad de que haya un temblor en Perú, dado que hubo uno en Chile es 0,4. Determine la probabilidad de que sucedan ambos eventos.
A) 0,12 B) 0,32 C) 0,36 D) 0,40 E) 0,68
Resolución
Tema: ProbabilidadAnálisis y procedimientoConsidere lo siguiente:• P[Ch]: probabilidad de que haya un temblor en
Chile.• P[P/Ch]: probabilidad de que haya un temblor
en Perú, dado que hubo en Chile.• P[Ch ∩ P]: probabilidad de que haya temblor
en Perú y Chile.
Del enunciado, P[Ch]=0,8 y P[P/Ch]=0,4.
Sabemos que la probabilidad condicional se define así
P A BP A BP B
/[ ] = ∩[ ][ ]
(*)
En (*)
P P Ch
P Ch PP Ch
/[ ] = ∩[ ][ ]
0 4
0 8,
,=
∩[ ]P Ch P
\ P[Ch ∩ P]=0,32
Respuesta: 0,32
PREGUNTA N.o 6
Sea el número N=4a(a+b)b(12). Se afirma
I. Existen valores para a y b tal que la división N ÷ 12 es exacta.
II. Existen valores para a y b tal que la división N ÷ 9 es exacta.
III. Existen valores para a y b tal que la división N ÷ 1000 es exacta.
¿Cuáles de las afirmaciones son las correctas?
A) I y II
B) I y III
C) II y III
D) I, II y III
E) solo I
Resolución
Tema: Divisibilidad
Análisis y procedimiento
Recordemos que
abcde
n e
n de
n cde
n n
n
=
+
( ) +( ) +
º
º
º
2
3
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I. Correcta
Demostramos que 4 1212a a b b+( ) =o
para algún a y b.
Por lo anterior
4 1212a a b b b+( ) = +º
12 12º º+ =b
b = 12º
→ b=0 ∧ a: 0; 1; 2; ...; 11
II. Correcta
Demostramos que 4 912a a b b+( ) =º para algún
a y b.
Por lo anterior
4 912a a b b+( ) =º
144 912º º+ +( ) =a b b
9 12 13 9º º+ +( ) =a b
3 4 925
33
a b
� �
� �+ =º
III. Incorrecta Demostramos que
4 100012a a b b+( ) ≠º
Recordemos que
400012 ≤ 4a(a+b)b12 < 500012
6912 ≤ 4a(a+b)b12 < 8640 1000
º
7000=407012 (no cumple)
8000=476812 (no cumple)
Respuesta: I y II
PREGUNTA N.o 7
Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado.
I. El producto de dos números enteros es un número natural.
II. La suma de todos los elementos del conjunto de los números enteros siempre es cero.
III. El cociente de dos números naturales es un número entero.
A) VVV B) VFV C) FVV
D) FVF E) FFF
Resolución
Tema: Operaciones fundamentales
Análisis y procedimiento
I. Falsa
Consideramos el siguiente contraejemplo:
Sean los dos números enteros – 5 y 2, entonces, el producto de ellos (– 5×2=– 10) no es un número natural.
II. Falsa
El conjunto de los números enteros es
Z={...; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; ...}
Como el conjunto de los números enteros tiene una ilimitada cantidad de elementos, la suma de ellos no estaría determinada.
III. Falsa
Consideramos el contraejemplo: Sean los dos números naturales 2 y 5, entonces,
el cociente de ellos 25
0 4=
, no es un número
natural.
Respuesta: FFF
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PREGUNTA N.o 8
Determine el menor número natural divisible por los números primos p, q y r, sabiendo que r – q=2p
y rq+p2=676.
A) 2001 B) 2031 C) 2061 D) 2301 E) 2331
Resolución
Tema: Clasificación de los Z+
Análisis y procedimientoDatos:
• r – q=2p → r=2p+q (I)
• rq+p2=676 (II)
Reemplazamos (I) en (II).
(2p+q)q+p2=676
→ p2+2pq+q2=676
(p+q)2=676
p+q=26 ; r=2p+q
3 23 29 (3×23×29=2001) 7 19 33 (7×19×33=4389)
Luego
N N= → = ( )
3
23
29
3 23 29
o
o
o
o
MCM ; ;
N = × ×3 23 29o
N = 2001o
\ Nmín=2001
Respuesta: 2001
PREGUNTA N.o 9Calcule el valor mínimo de la función objetivo f(x; y)=3x+6y sujeto a las siguientes restricciones:
2x+3y ≥ 12,
2x+5y ≥ 16,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
ResoluciónTema: Programación linealAnálisis y procedimientoDel sistema
2 3 122 5 16x yx y+ =+ =
Obtenemos x=3 ∧ y=2
Graficamos la región factible.
4
165 (3; 2)(3; 2)(3; 2)
6 8 X
Y
Como la función objetivo f(x; y)=3x+6y tienecoeficientes positivos, entonces el valor mínimo se obtiene en uno de los vértices: (0; 4), (3; 2) o (8; 0).
Evaluamos en los vértices.
f (0; 4)=3(0)+6(4)=24
f (3; 2)=3(3)+6(2)=21
f (8; 0)=3(8)+6(0)=24
\ mín f(x; y)=21
Respuesta: 21
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PREGUNTA N.o 10Sea f : A → R una función definida por:
f xx( ) = −( ) ln log /1 225
donde A=Dom(f) ⊂ R. Entonces la cantidad de números enteros que posee el conjunto A es:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
ResoluciónTema: Función logarítmicaAnálisis y procedimientoNos piden la cantidad de números enteros de A=Dom(f).
Para hallar el dominio de f, resolvemos la inecuación.
log log log12
212
212
5 0 5 1−( ) > ↔ −( ) > ( )x x
↔ 0 < 5 – x2 < 1
↔ – 5 < – x2 < – 4
↔ 5 > x2 > 4
↔ − < < − ∨ < <5 2 2 5x x
Luego
A = − − ∪5 2 2 5; ;
Por lo tanto, la cantidad de números enteros de A es 0.
Respuesta: 0
PREGUNTA N.o 11Se vende 300 unidades de un cierto libro con un precio unitario de S/60. Luego por cada descuento de S/5 en el precio unitario se venden 45 unidades más. Determine el precio máximo a fijar para obtener un ingreso de al menos S/19 500.
A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55
ResoluciónTema: Aplicaciones comercialesAnálisis y procedimientoSe vende 300 unidades a un precio unitario de S/60. (recaudación total)= ( )( ) =300 S/60 S/18 000
Del enunciado, tenemos que por cada descuento de S/5 en el precio unitario, se vende 45 unidades más.→ (recaudación total)= +( ) −( )300 45 60 5n n
Del enunciado, tenemos que
(300+45n)(60 – 5n) ≥ 19 500
(20+3n)(12 – n) ≥ 260
3n2 – 16n +20 ≤ 0
3n –10
n – 2
→ (3n – 10)(n – 2) ≤ 0
Gráficamente
– ∞ + ∞2+ +–
10/3→ 2 ≤ n ≤ 10/3
En consecuencia, nmín es 2.
Por lo tanto, el precio máximo es S/60 – S/5×2=S/50.
Respuesta: 50
PREGUNTA N.o 12Sea A y B dos conjuntos, definidos por:
A={n ∈ R: n < 2 ↔ 2n > 1} y
B={n ∈ R: n ∈ A → n < 1}
Determine A ∪ B.
A) f B) 12
2; C) 12
2;
D) −∞ ∪ + ∞; ;
12
2 E) R
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ResoluciónTema: DesigualdadesAnálisis y procedimientoTenemos que
B={n ∈ R: n ∈ A → n < 1}
={n ∈ R: n ∉ A ∨ n < 1}
={n ∈ R: n ∈ AC ∨ n < 1}
Nos piden A ∪ B.
→ A B n n A n B∪ = ∈ ∈ ∨ ∈{ R : }��� ��
A B n n A n A nC
n
∪ = ∈ ∈ ∨ ∈ ∨ <( ){ }∈
R
R
: 1� ���� ����
A ∪ B={n ∈ R: n ∈ R}
\ A ∪ B=R
Respuesta: R
PREGUNTA N.o 13Considere las siguientes ecuaciones cuadráticas, donde a ≠ 1:
x2+ax+1=0, x2+x+a=0, x2+(b – 1)x – b=0.
Sabiendo que las tres ecuaciones poseen una raíz real en común y una de las ecuaciones posee dos raíces enteras positivas, siendo una el triple de la otra, determine a+b.
A) – 1 B) – 2 C) – 3 D) – 4 E) – 5
ResoluciónTema: Ecuación cuadrática
Análisis y procedimientoSea a la raíz real en común.
Reemplazamos en las dos primeras ecuaciones.
a2+aa+1=0 – a2+ a+a=0
(a – 1)a+(1 – a)=0
→ a=1
Ahora reemplazamos a=1 en
a2+aa+1=0
1+a+1=0
→ a= – 2
Del enunciado, las raíces de la ecuación
x2+(b – 1)x – b=0
son 1 y 3.
Aplicamos el teorema de Cardano.
(suma de raíces)= – (b – 1)=4
→ b= – 3
\ a+b= – 5
Respuesta: – 5
PREGUNTA N.o 14
Sea f xx( ) = ( )log sen entonces el rango de f es el
conjunto:
A) [0; +∞⟩ B) ⟨ – ∞; 0] C) R D) [0; 1] E) ⟨ – 1; 1⟩
Resolución
Tema: Función logarítmica
Análisis y procedimientoComo –1 ≤ senx ≤ 1 → 0 ≤ |senx| ≤ 1
Aplicamos logaritmo a cantidades positivas, es decir,
0 < |senx| ≤ 1
log sen ;x ff
x
x( )
≤ → ∈ −∞ ]( )� �� �� 0 0
\ Ran f=⟨ – ∞; 0]
Respuesta: ⟨ – ∞; 0]
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PREGUNTA N.o 15
Sea f una función afín y biyectiva tal quef(1)=3 y f*(0)=2. Calcule f*(6) [f*: función inversa de f]
A) – 2 B) – 1 C) − 12
D) 0 E) 2
ResoluciónTema: Función inversa
Análisis y procedimientoComo f es una función afín
→ f(x)=ax+b
Por dato
f(1)=a+b=3 (I)
Ahora
fx bax( )
* = −
Como
f*(0)=2
→ − =ba
2
Luego
b=– 2a (II)
De (I) y (II) tenemos
a=– 3 ∧ b=6
Luego
fx ba
xx( )* = − = −
−6
3 → f( )
*6
6 63
0= −−
=
\ f*(6)=0
Respuesta: 0
PREGUNTA N.o 16
Del polinomio p(x)=2x3 – 6x2 + 11x – 3, se puede decir que:
A) Tiene dos raíces enteras y una racional. B) Tiene una raíz entera y dos racionales. C) Tiene tres raíces enteras. D) Tiene tres raíces racionales. E) Ninguna raíz es racional.
ResoluciónTema: Factorización
Análisis y procedimiento
Sus posibles raíces racionales se hallan así:
±{ } = ±
= ± ± ± ±divisores de 3
divisores de 21 31 2
1 312
1;;
; ; ;33{ }
• Se observa que si x<0, entonces p(x)<0.
Luego, no tiene raíces negativas.
• Evaluamoslasposiblesraícesracionalesposi-tivas, y notamos que p(x) no se anula.
Por lo tanto, p(x) no tiene raíces racionales.
Respuesta: Ninguna raíz es racional.
PREGUNTA N.o 17
Considere las matrices B =−
0 11 1
y
f ff f
B B B B I11 12
21 22
25 24 23 2
= + + + + +...
Calcule f11 + f12 + f21 + f22
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
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ResoluciónTema: Matrices
Análisis y procedimientoDeterminamos las potencias de B.
B1 0 1
1 1=
−
B2 1 11 0
=− −
B I3 1 00 1
=−
−
= − B4=B3⋅ B=– I ⋅ B=– B
B5=B3⋅B2 = – I⋅B2=–B2 B6=(B3)2=(– I)2=I
Se observa que sus potencias son periódicas, con periodo 6; además, B+B2+B3+B4+B5+B6= .De ello se concluye que 6 potencias consecutivas se anulan.
Tenemos
f ff f
B B B B11 12
21 22
25 24 23 2
24
= + + + +...
sumandos� ������ ������� + +B I2
= + B + 2I
f ff f11 12
21 22
2 11 3
=
−
\ f11 + f12 + f21 + f22=5
Respuesta: 5
PREGUNTA N.o 18
Dado el sistema de inecuaciones
x2 + y2 – 10x – 6y < – 30,
y – x2 + 10x < 27,
10x – x2 – y < 21.
Señale el gráfico más próximo al conjunto solución del sistema anterior.
A)
X
Y
3
6
B)
X
Y
3
5
C)
X
Y
3
6
D)
X
Y
3
5
E)
X
Y
3
6
ResoluciónTema: Relaciones
Análisis y procedimientoCompletando cuadrados, el sistema es
( ) ( )
( )
( )
x y
y x
x y
− + − <
< − +
− − + <
5 3 2
5 2
5 4
2 2 2
2
2
Graficamos
3
5
y=(x – 5)2+2
y= – (x – 5)2+4
(x – 5)2+(y – 3)2=22
Respuesta:
X
Y
3
5
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PREGUNTA N.o 19
Sean ( , ) ,x y x y1= +
( , ) ,x y máx x y2= { } para (x, y) ∈ R2.
Calcule el área de la región C, donde
C x y x y x y= ≤ ≥{ }( , ) : ( , ) ( , )2 1
1 1y
A) 0 B) 1 C) 2
D) 2 E) 2 2
Resolución
Tema: Gráfica de relaciones
Análisis y procedimiento
Nos piden calcular el área de la región C, donde
C x y x y x y= ≤ ≥{ }( , ) : ( , ) ( , )2 1
1 1 y
En forma equivalente de las definiciones, nos piden graficar
máx x y,{ } ≤ 1 ∧ |x|+|y| ≥ 1
|x|≤1 ∧ |y|≤1 ∧ |x|+|y| ≥ 1
Graficando e intersecando se obtiene que
1
1
–1
–1
Y
X
Por lo tanto, el área de la región C es 2.
Respuesta: 2
PREGUNTA N.o 20
De la sucesión (an) donde
ann n n= +( )3 4
1
donde n ∈ N.
Podemos afirmar que:
A) 5 < an ≤ 7 B) 4 < an < 6 C) 4 < an < 7 D) 3 < an ≤ 6 E) 3 < an ≤ 8
Resolución
Tema: Sucesiones
Análisis y procedimiento
Tenemos (an) tal que
ann n n= +( )3 4
1
→ a an
n1 7 4= ∧ =→+∞l mí
Ahora
• 3n < 4n
2⋅3n < 3n+4n
3 3 2 3 41 1
< ⋅ < +( )n n n n
3 < an
• 3n < 4n
3n + 4n < 2⋅4n
3 4 4 2 81 1
n n n n+( ) < ⋅ <
3 < an < 8
Por lo tanto, podemos afirmar que 3 < an ≤ 8.
Respuesta: 3 < an ≤ 8
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PREGUNTA N.o 21Si los radios de dos circunferencias miden 2 u y 6 u y la distancia entre los centros es de 20 u, calcule (en u) la distancia entre el punto de intersección de las tangentes interiores y el punto de intersección de las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15
ResoluciónTema: Semejanza de triángulos
Análisis y procedimientoDatos: r=2, R=6 y AB=20
Piden NM=3k
BR
3k
6 6
E
I
D
MH
JF
N 2k
CG
kA2
2r
Note que
NANB
AMMB
= =13
13
y
Luego, si AM=k → MB=3k y NA=2k.
Por dato, AB=20 → 4k=20 → k=5.
\ NM=15
Respuesta: 15
PREGUNTA N.o 22ABCD - EFGH es un hexaedro regular, con M ∈ AE, N ∈ BF, P ∈ CG y Q ∈ DH. Si AM=2 u, PC=4 u, AE=6 u y el volumen del sólido ADC - MQP es 42 u2, calcule la diferencia NB - QD (en u).
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
ResoluciónTema: Poliedros regulares
Análisis y procedimientoObservación: Según los datos, N no está definido, por lo que puede salir cualquier clave. En este caso, asumiremos lo más común, es decir, que M, Q, P y N son coplanares.
Datos:
AM=2; PC=4 y AE=6 vADC - MQP=42
Nos piden NB - QD.
DD
M
A
B C
Q
SP
G
HE
4
41
1NF
2 5
2
Del dato
VADC - MQP=42 → A ADCDQ
×+ +
=4 2
342
Como AADC=18, entonces, DQ=1.
En el ACGE, M y P son simétricos respecto de S.
Además, en el BDHF, Q y N son simétricos respecto de S.
Luego
NF=1 y BN=5.
\ NB – QD=4
Respuesta: 4
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PREGUNTA N.o 23En un triángulo ABC, AB=1 u, AC= u.3 Se toma un punto P exterior al lado BC, de modo que m BPC=2m BCA. Si BC=PC y AB // CP, calcule (en u) el valor de la mediana relativa al lado AC.
A) 52
B) 3
4 C)
72
D) 32
E) 2
3
ResoluciónTema: Relaciones métricas
Análisis y procedimientoNos piden BM=x (mediana relativa a AC).
Graficamos.
A
B
C
x
M
S
P
32
32
2θ
2θ
2θ
2θ
θ θ3θ180º– 4θ
180º– 4θ 1
1
De las condiciones, BC=PC y AB//PC→ m BAC=3q
Luego, se traza AS tal que AS=SC=.
En el ABC: teorema de Stewart
2 2 21 1 3 1 1 1+( ) = ( ) + ( ) − ( ) +( )
2(+1)=3 =1 → 2q=60º → q=30º
Finalmente, en el BAM: teorema de Pitágoras
x 2 2
2
13
2= +
→ x x2 74
72
= → =
Respuesta: 72
PREGUNTA N.o 24En una circunferencia se trazan dos cuerdas para-lelas a un mismo lado del centro, una de 15 cm y la otra de 25 cm. Si distan entre sí 8 cm, ¿cuál es la longitud (en cm) del diámetro de la circunferencia?
A) 25,1 B) 25,2 C) 25,3 D) 25,4 E) 25,5
ResoluciónTema: Relaciones métricas
Análisis y procedimientoNos piden AQ (AQ: longitud del diámetro).
Datos: AB // CD; AB=15; CD=25 y BM=8
Graficamos.
C DM5
85
151515B
Q
A
20252525
252
=
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Por teorema de cuerdas tenemos que 8×=5×20
→ =252
Luego
BQ = + =
252
8412
En el ABQ, aplicamos el teorema de Pitágoras
AQ( ) = ( ) +
2 22
15412
\ AQ=25,4
Respuesta: 25,4
PREGUNTA N.o 25La figura representa un cubo de arista a cm. Calcule el área (en cm2) del polígono PQRSTU si P, Q, R, S, T, U son puntos medios de las aristas.
S
T
U
PQ
R
A) 2 3 a2 B) 3 2 a2 C) 3 3 a2
D) 3 3
2a2 E)
3 34
a2
ResoluciónTema: Poliedros regulares
Análisis y procedimientoNos piden APQRSTU.
a2
2
a2
2
a2
2
a2
2
a
S
T
U
P
Q
R
a /2
a /2
a /2 a /2
a /2
a /2
a /2
a /2a /2a /2
a /2
a /2
a2
2
a2
2
Se observa que PQRSTU es un hexágono regular.
A PQRSTU
a=
6
22
34
2
\ A PQRSTU a=34
3 2
Respuesta: 34
3 2a
PREGUNTA N.o 26Por los vértices de un triángulo equilátero ABC se trazan rectas paralelas. Si las distancias de las rectas paralelas extremas a la central son 3 u y 5 u respectivamente, calcule el área del triángulo ABC (en u2).
A) 15 3 B) 463
3 C) 473
3
D) 16 3 E) 493
3
ResoluciónTema: Áreas de regiones triangulares
Análisis y procedimientoNos piden A ABC.
Dato: ABC es equilátero.
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L 1
L 2
132
RB
P
T
5
5
3
CQ
H
A60º 60º60º60º
60º+θ60º+θ60º+θ
131313
333θθθ
/2/2
333222
A ABC=2 34
(I)
En el trapecio ARTC aplicamos el teorema de la base media.
PQ = + =8 52
132
Como ARBQ es inscriptible
→ m QBP=m RAQ=60º+q
BPQ ∼ HAC
HCHC
= → =
132
32
13
3
En el AHC, aplicamos teorema de Pitágoras.
2 23169
3196
3= + = (II)
Reemplazamos (II) en (I).
A ABC =493
3
Respuesta: 493
3
PREGUNTA N.o 27En la figura, AB=8 cm, AC=12 cm, AE=10 cm y
D es punto medio de BE. Calcule BBBB
'''.
A B C
D
E
B'B''
A) 25
B) 37
C) 12
D) 35
E) 45
ResoluciónTema: Semejanza de triángulosAnálisis y procedimiento
8A
D
E
B'
B''
x
y
B C4
3
3
37º
53º
53º
37º37º37º
10
Nos piden BBBB
xy
'''
.=
BB'D ∼ EB''B
xy
=36
\ xy
=12
Respuesta: 12
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PREGUNTA N.o 28
Determine el número de triángulos escalenos, de perímetro menor que 10 u y cuyos lados tengan medidas enteras.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución
Tema: Triángulos
Análisis y procedimiento
A Cb
ac
B
Datos: a, b, c son valores enteros, además a ≠ b; b ≠ c; a ≠ c. También a+b+c < 10
Se sabe que b < a+c
Ahora sumamos b a cada miembro 2b < a+c+b 2b < 10 b < 5
Análogamente a < 5 c < 5
De lo anterior, el único triángulo que cumple es cuando a=4; b=3 y c=2.
Respuesta: 1
PREGUNTA N.o 29
Se inscribe un cuadrilátero ABCD en una circunfe-rencia como se aprecia en la figura. El perímetro del cuadrilátero es de 50 cm y el diámetro de la circun-ferencia AC es igual a 20 cm. Calcule r1+r2 en cm.
r2
r1O
B
CA
D
A) 3 B) 5 C) 6 D) 6,5 E) 7,2
Resolución
Tema: Puntos notables
Análisis y procedimiento
Datos: 2pABCD=50 ∧ AC=20
Nos piden r1+r2.
Luego
ABC AB BC AC rADC AD DC AC r
::
+ = ++ = +
+22
2
1
50 2 20 2 2 1= ( ) + +( )r r
\ r1+r2=5
Respuesta: 5
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PREGUNTA N.o 30
En la siguiente figura, del punto P se traza una
tangente PT y una secante PC. Si AC=12,5 cm,
CE=13,5 cm y AL=6 cm, determine el valor
de BCAB
.
P A C
E
T
L
B
A) 1,25
B) 1,50
C) 1,75
D) 2,00
E) 2,25
Resolución
Tema: Relaciones métricas
Análisis y procedimiento
Se observa que
CEP ∼ ALP
Luego
PA
PA +=
252
6272
→ PA=10
P A
6C
E
L
B272
252
Se cumple que
PB2=(AC)(PA) → PB=15
PBC ∼ PAB
\ BCAB
PCPB
= = 1 50,
Respuesta: 1,50
PREGUNTA N.o 31
En un tetraedro regular A - BCD de arista igual a 4 u, exterior a un plano P, las distancias de B, C y D al plano P son 2 u, 6 u y 4 u respectivamente. Calcule (en u) la distancia del incentro del triángulo BCD a plano P.
A) 2,5 B) 3,0 C) 3,5 D) 4,0 E) 4,5
Resolución
Tema: Poliedros regulares
Análisis y procedimiento
Datos: A - BCD es un tetraedro regular. BM=2 CQ=6 DN=4 I es incentro del BCD.
Piden x.
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Graficamos
A
B
C
DI
M N
Q
PP4
2 x6
Note que BCD - MNQ es un tronco de prisma triangular.
→ x =+ +2 6 4
3
\ x=4,0
Respuesta: 4,0
PREGUNTA N.o 32
En la figura siguiente, AB=RC.
A R C
B
6x 7x
x
Determine el valor de x.
A) 8º B) 10º C) 12º D) 14º E) 15º
Resolución
Tema: Congruencia de triángulosAnálisis y procedimientoTrazamos RL, tal que m LRC=6x.
Luego
A R C
BL6x
6x
7x
x
ABR ≅ CRL
Se deduce que m BAR=m LCR=x
Finalmente, en el ABC x+13x+x=180º 15x=180º
\ x=12º
Respuesta: 12º
PREGUNTA N.o 33
En la figura mostrada, M, N y P son puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en el sector circular AOB. Si m OPN=q rad, entonces el valor de cot(q) es:
O N B
P
M
A
A) 2 1− B) 2 2 1− C) 2 2 D) 2 1+ E) 2 2+
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Resolución
Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudoAnálisis y procedimiento
θ
θ
45º
O N B
P
M
A
r r
r
r
r
Del gráfico, se observa que
q+q=45º
θ = 452
º
→ cot cotºθ = 45
2
cot q=csc 45º+cot 45º
\ cotθ = +2 1
Respuesta: 2 1+
PREGUNTA N.o 34
Determine el rango de la función
f:[–1; 1] → R definida por
fx
xx( ) =( ) +
( ) −
arcsen
arccos
π
π2
2
A) [–1; 0] B) −
12
0; C) − 12
12
;
D) −
12
12
; E) [0; 1]
Resolución
Tema: Funciones trigonométricas inversas
Análisis y procedimiento
fx
xx( ) =+
−
arcsen
arccos
π
π2
2
fx
xx( ) =+
−+
−
arcsen
arccos
π
π2
21 1
fx x
xx( ) =+ + −
−−
arcsen arccos
arccos
π π
π2
2
21
fxx( ) =
+ −
−−
π π π
π2 2
2
21
arccos
fxx( ) =
−−
−ππarccos 2
1
Como –1 ≤ x ≤ 1→ 0 ≤ arccosx ≤ π
Luego
– 2π ≤ arccosx – 2π ≤ – π
− ≥−
≥ −12
12
1π π πarccos x
12 2
1≤ −−
≤ππarccos x
12
12
1 1 1− ≤ −−
− ≤ −ππarccos x
→ − ≤ ≤( )12
0f x
\ f x( ) ∈ −
12
0;
Respuesta: −
12
0;
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PREGUNTA N.o 35La ecuación de la cónica que sigue:
x xy y x y2 22 3 3 8 3 8 32 0+ + + − + =corresponde a:
A) Hipérbola B) Elipse C) Circunferencia D) Parábola E) Punto
ResoluciónTema: Secciones cónicas
Análisis y procedimientoDato:
x xy y x y2 22 3 3 8 3 8 32 0+ + + − + =Hallamos el ángulo de rotación.
cot 2
1 3
2 3
1
3θ =
−=
−
2q=120º → q=60º
Usamos las fórmulas de rotación. x=x'cosq – y'senq y=x'senq+y'cosq
Reemplazamos q=60º.
x
x y=
−' '32
y
x y=
+32' '
Reemplazamos en el dato.
x y x y x y x y' ' ' ' ' ' ' '−
+
−
+
+
+
32
2 33
23
23
32
2 22
+
+
−
−
+
+ =8 3
32
83
232 0
x y x y' ' ' '
Finalmente, simplificamos y tenemos que x' 2=4(y' – 2)
Respuesta: Parábola
PREGUNTA N.o 36
Sean x, y, z las medidas de los ángulos interiores de un triángulo tales que
cot(x)+cot(y)=3tan(z)cot(x)cot(y).
Determine tan(x) en función del ángulo y.
A) 2tan(y)
B) 3cos(y)
C) 4cot(y)
D) 3tan(y)
E) 4sen(y)
Resolución
Tema: Identidades trigonométricas de arcos compuestos
Análisis y procedimiento
cotx+coty=3tanz cotx coty
cot
cot cotcot
cot cottan
xx y
yx y
z+ = 3
tany+tanx=3tanz (I)
Como x+y+z=180º
→ tanx+tany+tanz=tanx tany tanz (II)
Reemplazamos (I) en (II).
3tanz+tanz=tanx tany tanz
4tanz=tanx tany tanz
4=tanx tany
tantan
xy
= 4
\ tanx=4coty
Respuesta: 4cot(y)
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PREGUNTA N.o 37
Una población de aves amazónicas tiene mo-delo de crecimiento dado por la fórmula: N(t)=103(2cos(bt)+5) aves, t en años, con fluc-tuaciones periódicas de 7 años. Determine el menor tiempo en que la población será de 6000 aves.
A) 3 años y 6 meses B) 2 años y 6 meses C) 2 años y 5 meses D) 1 año y 2 meses E) 1 año
ResoluciónTema: Funciones trigonométricas directas
Análisis y procedimientoPiden el menor tiempo en el que la población será de 6000 aves.
Datos:• N(t)=103(2cos(bt)+5) aves; t en años
• Periodo=7
→ 2
7πβ
=
β
π=
27
Luego
N tt( ) +
=1000 2
27
5cosπ
Si N(t)=6000, tenemos que
6000 1000 2
27
5= cosπt
+
cos27
12
πt=
27 3
76
π πtt= años→ =
t= año+ año116
Considere que el año tiene doce meses.
\ t=1 año+2 meses
Respuesta: 1 año y 2 meses
PREGUNTA N.o 38
Determine para qué valores de x ∈ ⟨0; 2π⟩ se cumple:
cot
sen sen
2
24
2 5 30
x
x x
( ) +( ) + ( ) −
>
A) π π6 2
;
B) π π6
34
;
C) π π6
56
;
D) π π π6
56
; { } E) 0
656
; ;π π π{ }ResoluciónTema: Inecuación trigonométrica
Análisis y procedimiento
Factorizamos
cotsen sen
; ;2 4
3 2 10 0 2
xx x
x+
+( ) −( ) > ∈ π
Como cot2x+4 ≥ 4 y 2 ≤ senx+3 ≤ 4
→ 2senx –1 > 0
sen x >
12
→ < ≤12
1sen x
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Analizamos en la C.T.
5π6
π6
12
xsenx1
∴ ∈xπ π6
56
;
Respuesta: π π6
56
;
PREGUNTA N.o 39En el paralelepípedo rectangular de la figura, de-termine aproximadamente la medida del ángulo q.
A) 30º
8
6
4
θθθ
B) 45º C) 60º D) 75º E) 90º
ResoluciónTema: Resolución de triángulos oblicuángulos
Análisis y procedimientoNos piden la medida aproximada de q.Dato:
8
8
106
6
4
4
θθθ
80
52
Por el teorema de cosenos tenemos que
cosθ =+ −( )( )
10 52 80
2 10 52
2 2 2
cos cos ,θ θ= → =
9 1365
0 5
\ q=60º
Respuesta: 60º
PREGUNTA N.o 40
Las letras S, C y R denotan la medida de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, respectivamente.Dadas las siguientes proposiciones:I. Existe un ángulo no nulo tal que S+R=C.II. Existe un ángulo no nulo tal que S=CR.III. Existe un ángulo tal que S > C.Son correctas:
A) solo II B) solo II y III C) solo I y III D) solo III E) I, II y III
ResoluciónTema: Relación numérica entre los sistemas
Análisis y procedimientoDatoS, C y R son lo convencional para un mismo ángulo.
I. Incorrecta Existe un ángulo no nulo tal que S+R=C.
Reemplazando S=9k, C=10k y R=π20
k
en la igualdad S+R=C, tenemos
920
10k k k+ =π → k=0
Como k=0, entonces no existe dicho ángulo.
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II. Correcta
Existe un ángulo no nulo tal que S=CR.
Reemplazando
S=9k, C=10k y R k= π20
,
tenemos 9 1020
k k k= ⋅ π, k ≠ 0
→ k = 18π
Luego, para k = 18π
existe dicho ángulo.
III. Correcta
Existe un ángulo tal que S > C.
Reemplazando S=9k y C=10k, tenemos
9k > 10k → 0 > k
Luego, para k < 0 existe dicho ángulo.
Respuesta: solo II y III
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