PREGUNTA 11 :

ESTABELECER LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO FINITO QUE MODELA UMA

ARMADURA PLANA

PROBLEMA:

Se tiene la armadura plana mostrada en la figura 1, y se aplican cargas a ciertos nodos. Despreciándose los

efectos de temperatura y de peso de cada barra, se pide determinar los esfuerzos generados en cada barra

de la estructura. Se considera que éstas poseen sección constante.

Datos:

Diámetro de las barras: D=50 (mm)

Módulo de Elasticidad: E=3.1∗105(N /mm2)

SOLUCION:

Se escoge un sistema coordenado de referencia, se enumeran los nodos y los elementos de la armadura.

Además, se indican las posibles direcciones de los desplazamientos globales. El signo de los resultados,

indicará si éstas fueron correctamente asumidas.

TABLA DE CONECTIVIDAD

NODO X(mm) Y(mm)1 0 02 1500 03 3000 04 1500 15005 0 1500

ne = # elementos (barras) = 7

elemento NODOS(1) (2)

GDL1 2 3 4

Le(mm)

Ae(mm2)

Ee(N/mm2)

l m

1 1 2 1 2 3 4 1500 1963.5 3.1x105 0 1

2 2 3 3 4 7 8 1500 1963.5 3.1x105 -1 0

3 3 4 3 4 5 6 2121.3 1963.5 3.1x105 -0.7071 -0.7071

4 4 2 5 6 1 2 1500 1963.5 3.1x105 1 0

5 4 1 7 8 5 6 2121.3 1963.5 3.1x105 0 -1

6 5 3 9 10 5 6 1500 1963.5 3.1x105 0.7071 -0.7071

7 5 4 7 8 9 10 1500 1963.5 3.1x105 -1 0

X

Y

Obtención de la Matriz de Rigidez

Se sabe que:

k e=( E∗Al )e

∗[ l2 l∗m −l2 −l∗ml∗m m2 −l∗m −m2

−l2 −l∗m l2 l∗m−l∗m −m2 l∗m m2

]K=∑

e=1

ne

ke

K=[4.0579 0 0 0 −4.0579 0 0 0 0 00 4.0579 0 −4.0579 0 0 0 0 0 00 0 5.4926 1.4347 −1.4347 −1.4347 −4.0579 0 0 00 −4.0579 1.4347 5.4926 −1.4347 −1.4347 0 0 0 0

−4.0579 . 0 −1.4347 −1.4347 6.9273 0 0 0 −1.4347 1.43470 0 −1.4347 −1.4347 0 6.9273 0 −4.0579 1.4347 −1.43470 0 4.0579 0 0 0 8.1158 0 −4.0579 00 0 0 0 0 −4.0579 0 4.0579 0 00 0 0 0 −1.4347 1.4347 −4.0579 0 5.4926 −1.43470 0 0 0 1.4347 −1.4347 0 0 −1.4347 1.4347

]Aplicación de la Ecuación de Rigidez

F=K∗Q

[R1R2R3R40

−30000

−2000−50000

]=K∗[0000Q5Q6Q7Q8Q9Q10

]Cálculo de los desplazamientos globales

A partir del sistema de ecuaciones mostrado anteriormente, se obtiene un sistema reducido, eliminando las

variables producto de las reacciones (primeras 4 filas de la matriz F). Entonces, la matriz de rigidez reducida

(KR) resulta de eliminar las filas y columnas 1, 2, 3 y 4 de la matriz de rigidez original (K).

K=[4.0579 0 0 0 −4.0579 0 0 0 0 00 4.0579 0 −4.0579 0 0 0 0 0 00 0 5.4926 1.4347 −1.4347 −1.4347 −4.0579 0 0 00 −4.0579 1.4347 5.4926 −1.4347 −1.4347 0 0 0 0

−4.0579 . 0 −1.4347 −1.4347 6.9273 0 0 0 −1.4347 1.43470 0 −1.4347 −1.4347 0 6.9273 0 −4.0579 1.4347 −1.43470 0 4.0579 0 0 0 8.1158 0 −4.0579 00 0 0 0 0 −4.0579 0 4.0579 0 00 0 0 0 −1.4347 1.4347 −4.0579 0 5.4926 −1.43470 0 0 0 1.4347 −1.4347 0 0 −1.4347 1.4347

]Así se tiene que:

KR=[6.9273 0 0 0 −1.4347 1.43470 6.9273 0 −4.0579 1.4347 −1.43470 0 8.1158 0 −4.0579 00 −4.0579 0 4.0579 0 0

−1.4347 1.4347 −4.0579 0 5.4926 −1.43471.4347 −1.4347 0 0 −1.4347 1.4347

]

Y el sistema reducido resulta:

[0

−30000

−2000−50000

]=[6.9273 0 0 0 −1.4347 1.43470 6.9273 0 −4.0579 1.4347 −1.43470 0 8.1158 0 −4.0579 00 −4.0579 0 4.0579 0 0

−1.4347 1.4347 −4.0579 0 5.4926 −1.43471.4347 −1.4347 0 0 −1.4347 1.4347

]∗[Q5Q6Q7Q8Q9Q10

]Finalmente, los desplazamientos globales son:

Q=[0000Q5Q6Q7Q8Q9Q10

]=[0000

0.0123−0.0472−0.0123−0.0521−0.0246−0.0841

]Cálculo de las Reacciones

Conocida la matriz Q, remplazando en la ecuación de rigidez, se tiene:

F=[R1R2R3R40

−30000

−2000−50000

]=[−50000

1000050000

−30000

−2000−50000

]Donde:

[R1R2R3R4

]=[−50000100005000

] Cálculo de los esfuerzos

Se sabe que:

σ e=( El )e

∗[−l −m l m ]e∗⌈q1q2q3q 4

⌉

Donde:

σ 1=( El )1

∗[−l −m l m ]1∗⌈Q1Q 2Q3Q 4

⌉=0

σ 2=( El )2

∗[−l −m l m ]2∗⌈Q 3Q 4Q7Q 8

⌉ =2.5465

σ 3=( El )3

∗[−l −m l m ]3∗⌈Q 3Q 4Q 5Q 6

⌉=3.6013

σ 4=( El )4

∗[−l −m l m ]4∗⌈Q 5Q 6Q 1Q 2

⌉=−2.5465

σ 5=( El )5

∗[−l −m l m ]5∗⌈Q7Q 8Q5Q6

⌉=−1.0186

σ 6=( El )6

∗[−l −m l m ]6∗⌈Q 9Q 10Q 5Q 6

⌉=0

σ 7=( El )7

∗[−l −m l m ]7∗⌈Q7Q 8Q 9Q10

⌉=2.5465

Así se tiene que:

[σ ]=[σ 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ 6σ 7

]=[0

2.54653.6013

−2.5465−1.0186

02.5465

] E1=3.1*10^5

E2=2*10^5

D1=50

D2=40

D3=60

Configuracion 1:

E1, D1:

E2, D1:

E1,D2:

Código en MatLab

clc% ---------DATOS--------------------- % Número de nodos (nN)clc nN=input('Ingrese Número de Nodos = ');XY=zeros(nN,2); for i=1:nN clc disp('Nodo') disp(i) x=input('Ingrese Coordenada X = '); y=input('Ingrese Coordenada Y = '); XY(i,1)=x; XY(i,2)=y; end % Número de elementosclc ne=input('Ingrese Número de elementos = ');N=zeros(ne,2); for i=1:ne clc disp('Elemento '); disp(i) disp('') disp('Nodos A relacionar') N(i,1)=input('Nodo Inicial (1) = '); N(i,2)=input('Nodo Final (2) = '); end % Diámetro clcopc=input('¿Todos las barras tienen el mismo diámetro? SI (1) NO (0): '); if opc==0 D=[]; for i=1:ne clc disp('Elemento '); disp(i) disp('') d=input('Diámetro = '); D=[D;d] end else disp('') d=input('Diámetro = '); D=d*ones(ne,1);end % Módulo de Youngclc

opc=input('¿Todos las barras tienen el mismo E? SI (1) NO (0): ');if opc==0 E=[]; for i=1:ne clc disp('Elemento '); disp(i) disp('') e=input('Módulo de Young = '); E=[E;e] end else disp('') e=input('Módulo de Young = '); E=e*ones(ne,1);end % Número de grados de libertad conocidosclc nQ=input('Ingrese Número de grados de libertad conocidos = ');q=zeros(nQ,1); for i=1:nQ q(i,1)=input('#GDL = '); q(i,2)=input('Valor = '); endF=zeros(2*nN-nQ,2);Ford=zeros(2*nN-nQ,2); clcfor i=1:(2*nN-nQ) F(i,1)=input('GDL donde actúa la Fuerza = '); F(i,2)=input('Valor de la Fuerza = ');endFord(1:end,1)=sort(F(1:end,1));for i=1:(2*nN-nQ) for j=1:(2*nN-nQ) if F(j,1)==Ford(i,1) Ford(i,2)=F(j,2); end end endF=Ford KR=zeros(2*nN-nQ);Q=zeros(2*nN,1); % ---------CÁLCULOS------------------format shortg% Área de los elementos (mm2)elem=[];GDL=[];Le=[];le=[];me=[];Ltr=[];A=[];

K=zeros(2*nN);clc for i=1:ne % Matriz elementos elem=[elem;i]; % Matriz Grados de Libertad GDL=[GDL; 2*N(i,1)-1 2*N(i,1) 2*N(i,2)-1 2*N(i,2)]; % Matriz Longitud de cada elemento X1=XY(N(i,1),1); X2=XY(N(i,2),1); Y1=XY(N(i,1),2); Y2=XY(N(i,2),2); longe=((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2)^0.5; Le=[Le;longe]; % Matriz área a=pi*D(i)^2/4; A=[A;a]; % Matriz de cosenos directores respecto de X lle=(X2-X1)/longe; le=[le;lle]; % Matriz de cosenos directores respecto de Y mme=(Y2-Y1)/longe; me=[me; mme]; % Matriz para la rotación de coordenas Ltr=[lle^2 lle*mme -lle^2 -mme*lle; lle*mme mme^2 -lle*mme -mme^2; -lle^2 -mme*lle lle^2 lle*mme; -lle*mme -mme^2 lle*mme mme^2]; % Càlculo de la Matriz de Rigidez k=zeros(2*nN); k(2*N(i,1)-1:2*N(i,1),2*N(i,1)-1:2*N(i,1))=Ltr(1:2,1:2); k(2*N(i,1)-1:2*N(i,1),2*N(i,2)-1:2*N(i,2))=Ltr(1:2,3:4); k(2*N(i,2)-1:2*N(i,2),2*N(i,1)-1:2*N(i,1))=Ltr(3:4,1:2); k(2*N(i,2)-1:2*N(i,2),2*N(i,2)-1:2*N(i,2))=Ltr(3:4,3:4); k; k=E(i)*a/longe*k; K=K+k;end TC1=[elem GDL] TC2=[elem Le le me] K for i=1:(2*nN-nQ) for j=1:(2*nN-nQ) KR(i,j)=K(F(i,1),F(j,1)); endendKR

QR=inv(KR)*F(1:end,2); for i=1:(2*nN) for j=1:nQ if i==q(j,1) Q(i,1)=q(j,2); end end for k=1:(2*nN-nQ) if i==F(k,1) Q(i,1)=QR(k,1); end endendQ % Cálculo de la Fuerza total (solución) FT=K*Q; Reac=[]; for i=1:nQ Reac=[Reac;q(i,1) FT(q(i,1))]; end Reac %Cálculo de esfuerzos S=[]; for i=1:ne q1=Q(GDL(i,1)); q2=Q(GDL(i,2)); q3=Q(GDL(i,3)); q4=Q(GDL(i,4)); s=(E(i)/Le(i))*[-le(i) -me(i) le(i) me(i)]*[q1;q2;q3;q4]; S=[S;s]; endS