Práctica 9Formula de Cauchy

ySeries de potencias.

1

Capítulo 14

Fórmulas de Cauchy

Objetivos: El alumno debe aprender a manejar las fórmulas de Cauchy para las derivadas y aplicarlas correcta-mente a los ejercicios.

14.1 Teoremas

Teorema 1: Fórmula integral de Cauchy.Sea analítica, una curva de Jordan en con sentido positivo (contrario a las agujas del reloj),

sea además Int . Entonces, para cada

El resultado del teorema es sumamente importante, nos dice que los valores de una función analítica, en elinterior de una curva de Jordan, , se conocen si se conocen los valores de en (este es con ).

Ahora bien, la condición "Int " se podría obviar si exigimos que sea simplemente conexo. (Así no tendrá

huecos).Sin embargo, tiene muchas aplicaciones el teorema 1 despejando la integral:

Teorema 2: Fórmula de Cauchy para las derivadasSea una función analítica en una región y una curva de Jordan contenida en , e Int y tal que

para cada Int , entonces, admite derivadas de cualquier orden, las cuales vienen dadas por

Nótese que la condición Int se podría obviar si se exigiese que fuese simplemente conexo. Además,

el teorema nos afirma que al ser analítica en , existen infinitas derivadas para , cosa que no ocurre para

.Además, despejando la integral:

con esta fórmula y la del teorema 1 tenemos poderosas herramientas para calcular otro tipo de integrales.Observe que hasta ahora sólo podíamos calcular integrales de los tipos siguientes:

1. a partir de la definición.

2. si se satisface el teorema de Cauchy.

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Capítulo 14

Fórmulas de Cauchy

Objetivos: El alumno debe aprender a manejar las fórmulas de Cauchy para las derivadas y aplicarlas correcta-mente a los ejercicios.

14.1 Teoremas

Teorema 1: Fórmula integral de Cauchy.Sea analítica, una curva de Jordan en con sentido positivo (contrario a las agujas del reloj),

sea además Int . Entonces, para cada

El resultado del teorema es sumamente importante, nos dice que los valores de una función analítica, en elinterior de una curva de Jordan, , se conocen si se conocen los valores de en (este es con ).

Ahora bien, la condición "Int " se podría obviar si exigimos que sea simplemente conexo. (Así no tendrá

huecos).Sin embargo, tiene muchas aplicaciones el teorema 1 despejando la integral:

Teorema 2: Fórmula de Cauchy para las derivadasSea una función analítica en una región y una curva de Jordan contenida en , e Int y tal que

para cada Int , entonces, admite derivadas de cualquier orden, las cuales vienen dadas por

Nótese que la condición Int se podría obviar si se exigiese que fuese simplemente conexo. Además,

el teorema nos afirma que al ser analítica en , existen infinitas derivadas para , cosa que no ocurre para

.Además, despejando la integral:

con esta fórmula y la del teorema 1 tenemos poderosas herramientas para calcular otro tipo de integrales.Observe que hasta ahora sólo podíamos calcular integrales de los tipos siguientes:

1. a partir de la definición.

2. si se satisface el teorema de Cauchy.

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Capítulo 14

Fórmulas de Cauchy

Objetivos: El alumno debe aprender a manejar las fórmulas de Cauchy para las derivadas y aplicarlas correcta-mente a los ejercicios.

14.1 Teoremas

Teorema 1: Fórmula integral de Cauchy.Sea analítica, una curva de Jordan en con sentido positivo (contrario a las agujas del reloj),

sea además Int . Entonces, para cada

El resultado del teorema es sumamente importante, nos dice que los valores de una función analítica, en elinterior de una curva de Jordan, , se conocen si se conocen los valores de en (este es con ).

Ahora bien, la condición "Int " se podría obviar si exigimos que sea simplemente conexo. (Así no tendrá

huecos).Sin embargo, tiene muchas aplicaciones el teorema 1 despejando la integral:

Teorema 2: Fórmula de Cauchy para las derivadasSea una función analítica en una región y una curva de Jordan contenida en , e Int y tal que

para cada Int , entonces, admite derivadas de cualquier orden, las cuales vienen dadas por

Nótese que la condición Int se podría obviar si se exigiese que fuese simplemente conexo. Además,

el teorema nos afirma que al ser analítica en , existen infinitas derivadas para , cosa que no ocurre para

.Además, despejando la integral:

con esta fórmula y la del teorema 1 tenemos poderosas herramientas para calcular otro tipo de integrales.Observe que hasta ahora sólo podíamos calcular integrales de los tipos siguientes:

1. a partir de la definición.

2. si se satisface el teorema de Cauchy.

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Capítulo 14

Fórmulas de Cauchy

Objetivos: El alumno debe aprender a manejar las fórmulas de Cauchy para las derivadas y aplicarlas correcta-mente a los ejercicios.

14.1 Teoremas

Teorema 1: Fórmula integral de Cauchy.Sea analítica, una curva de Jordan en con sentido positivo (contrario a las agujas del reloj),

sea además Int . Entonces, para cada

El resultado del teorema es sumamente importante, nos dice que los valores de una función analítica, en elinterior de una curva de Jordan, , se conocen si se conocen los valores de en (este es con ).

Ahora bien, la condición "Int " se podría obviar si exigimos que sea simplemente conexo. (Así no tendrá

huecos).Sin embargo, tiene muchas aplicaciones el teorema 1 despejando la integral:

Teorema 2: Fórmula de Cauchy para las derivadasSea una función analítica en una región y una curva de Jordan contenida en , e Int y tal que

para cada Int , entonces, admite derivadas de cualquier orden, las cuales vienen dadas por

Nótese que la condición Int se podría obviar si se exigiese que fuese simplemente conexo. Además,

el teorema nos afirma que al ser analítica en , existen infinitas derivadas para , cosa que no ocurre para

.Además, despejando la integral:

con esta fórmula y la del teorema 1 tenemos poderosas herramientas para calcular otro tipo de integrales.Observe que hasta ahora sólo podíamos calcular integrales de los tipos siguientes:

1. a partir de la definición.

2. si se satisface el teorema de Cauchy.

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2

3. (o si el sentido es negativo).

4.

si el sentido es positivo y si el sentido es negativo, con una curva de Jordan con Int .

5. Con el teorema 1 podemos calcular una integral analítica, curva de Jordan en sentido positivo

con Int , entonces, para cada Int .

6. Con el teorema 2 podemos calcular una integral analítica, una curva de Jordan en

sentido positivo con Int , entonces, para Int .

Todos estos resultados los podemos entrelazar entre si y tener potentes herramientas para el cálculo de integrales

complejas muy complicadas.

Ahora exhibimos un importante resultado: Teorema 3: Teorema de Morera

Sea región simplemente conexo y es continua en . Si además para toda

curva de Jordan en , se concluye que es analítica en .

Este teorema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar que una función

dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy complicada paraanalizar las condiciones de analiticidad.

14.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular Re y Im con sentido positivo.

Solución

Figura 14.1:

como es una función racional, es analítica en pero y

Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador )es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la

clase 13, .

158

3. (o si el sentido es negativo).

4.

si el sentido es positivo y si el sentido es negativo, con una curva de Jordan con Int .

5. Con el teorema 1 podemos calcular una integral analítica, curva de Jordan en sentido positivo

con Int , entonces, para cada Int .

6. Con el teorema 2 podemos calcular una integral analítica, una curva de Jordan en

sentido positivo con Int , entonces, para Int .

Todos estos resultados los podemos entrelazar entre si y tener potentes herramientas para el cálculo de integrales

complejas muy complicadas.

Ahora exhibimos un importante resultado: Teorema 3: Teorema de Morera

Sea región simplemente conexo y es continua en . Si además para toda

curva de Jordan en , se concluye que es analítica en .

Este teorema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar que una función

dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy complicada paraanalizar las condiciones de analiticidad.

14.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular Re y Im con sentido positivo.

Solución

Figura 14.1:

como es una función racional, es analítica en pero y

Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador )es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la

clase 13, .

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Problema 1.

3. (o si el sentido es negativo).

4.

si el sentido es positivo y si el sentido es negativo, con una curva de Jordan con Int .

5. Con el teorema 1 podemos calcular una integral analítica, curva de Jordan en sentido positivo

con Int , entonces, para cada Int .

6. Con el teorema 2 podemos calcular una integral analítica, una curva de Jordan en

sentido positivo con Int , entonces, para Int .

Todos estos resultados los podemos entrelazar entre si y tener potentes herramientas para el cálculo de integrales

complejas muy complicadas.

Ahora exhibimos un importante resultado: Teorema 3: Teorema de Morera

Sea región simplemente conexo y es continua en . Si además para toda

curva de Jordan en , se concluye que es analítica en .

Este teorema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar que una función

dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy complicada paraanalizar las condiciones de analiticidad.

14.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular Re y Im con sentido positivo.

Solución

Figura 14.1:

como es una función racional, es analítica en pero y

Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador )es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la

clase 13, .

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3. (o si el sentido es negativo).

4.

si el sentido es positivo y si el sentido es negativo, con una curva de Jordan con Int .

5. Con el teorema 1 podemos calcular una integral analítica, curva de Jordan en sentido positivo

con Int , entonces, para cada Int .

6. Con el teorema 2 podemos calcular una integral analítica, una curva de Jordan en

sentido positivo con Int , entonces, para Int .

Todos estos resultados los podemos entrelazar entre si y tener potentes herramientas para el cálculo de integrales

complejas muy complicadas.

Ahora exhibimos un importante resultado: Teorema 3: Teorema de Morera

Sea región simplemente conexo y es continua en . Si además para toda

curva de Jordan en , se concluye que es analítica en .

Este teorema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar que una función

dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy complicada paraanalizar las condiciones de analiticidad.

14.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular Re y Im con sentido positivo.

Solución

Figura 14.1:

como es una función racional, es analítica en pero y

Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador )es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la

clase 13, .

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3. (o si el sentido es negativo).

4.

si el sentido es positivo y si el sentido es negativo, con una curva de Jordan con Int .

5. Con el teorema 1 podemos calcular una integral analítica, curva de Jordan en sentido positivo

con Int , entonces, para cada Int .

6. Con el teorema 2 podemos calcular una integral analítica, una curva de Jordan en

sentido positivo con Int , entonces, para Int .

Todos estos resultados los podemos entrelazar entre si y tener potentes herramientas para el cálculo de integrales

complejas muy complicadas.

Ahora exhibimos un importante resultado: Teorema 3: Teorema de Morera

Sea región simplemente conexo y es continua en . Si además para toda

curva de Jordan en , se concluye que es analítica en .

Este teorema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar que una función

dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy complicada paraanalizar las condiciones de analiticidad.

14.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular Re y Im con sentido positivo.

Solución

Figura 14.1:

como es una función racional, es analítica en pero y

Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador )es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la

clase 13, .

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3. (o si el sentido es negativo).

4.

si el sentido es positivo y si el sentido es negativo, con una curva de Jordan con Int .

5. Con el teorema 1 podemos calcular una integral analítica, curva de Jordan en sentido positivo

con Int , entonces, para cada Int .

6. Con el teorema 2 podemos calcular una integral analítica, una curva de Jordan en

sentido positivo con Int , entonces, para Int .

Todos estos resultados los podemos entrelazar entre si y tener potentes herramientas para el cálculo de integrales

complejas muy complicadas.

Ahora exhibimos un importante resultado: Teorema 3: Teorema de Morera

Sea región simplemente conexo y es continua en . Si además para toda

curva de Jordan en , se concluye que es analítica en .

Este teorema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar que una función

dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy complicada paraanalizar las condiciones de analiticidad.

14.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular Re y Im con sentido positivo.

Solución

Figura 14.1:

como es una función racional, es analítica en pero y

Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador )es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la

clase 13, .

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3. (o si el sentido es negativo).

4.

si el sentido es positivo y si el sentido es negativo, con una curva de Jordan con Int .

5. Con el teorema 1 podemos calcular una integral analítica, curva de Jordan en sentido positivo

con Int , entonces, para cada Int .

6. Con el teorema 2 podemos calcular una integral analítica, una curva de Jordan en

sentido positivo con Int , entonces, para Int .

Todos estos resultados los podemos entrelazar entre si y tener potentes herramientas para el cálculo de integrales

complejas muy complicadas.

Ahora exhibimos un importante resultado: Teorema 3: Teorema de Morera

Sea región simplemente conexo y es continua en . Si además para toda

curva de Jordan en , se concluye que es analítica en .

Este teorema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar que una función

dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy complicada paraanalizar las condiciones de analiticidad.

14.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular Re y Im con sentido positivo.

Solución

Figura 14.1:

como es una función racional, es analítica en pero y

Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador )es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la

clase 13, .

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3. (o si el sentido es negativo).

4.

si el sentido es positivo y si el sentido es negativo, con una curva de Jordan con Int .

5. Con el teorema 1 podemos calcular una integral analítica, curva de Jordan en sentido positivo

con Int , entonces, para cada Int .

6. Con el teorema 2 podemos calcular una integral analítica, una curva de Jordan en

sentido positivo con Int , entonces, para Int .

Todos estos resultados los podemos entrelazar entre si y tener potentes herramientas para el cálculo de integrales

complejas muy complicadas.

Ahora exhibimos un importante resultado: Teorema 3: Teorema de Morera

Sea región simplemente conexo y es continua en . Si además para toda

curva de Jordan en , se concluye que es analítica en .

Este teorema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar que una función

dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy complicada paraanalizar las condiciones de analiticidad.

14.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular Re y Im con sentido positivo.

Solución

Figura 14.1:

como es una función racional, es analítica en pero y

Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador )es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la

clase 13, .

158

3. (o si el sentido es negativo).

4.

si el sentido es positivo y si el sentido es negativo, con una curva de Jordan con Int .

5. Con el teorema 1 podemos calcular una integral analítica, curva de Jordan en sentido positivo

con Int , entonces, para cada Int .

6. Con el teorema 2 podemos calcular una integral analítica, una curva de Jordan en

sentido positivo con Int , entonces, para Int .

Todos estos resultados los podemos entrelazar entre si y tener potentes herramientas para el cálculo de integrales

complejas muy complicadas.

Ahora exhibimos un importante resultado: Teorema 3: Teorema de Morera

Sea región simplemente conexo y es continua en . Si además para toda

curva de Jordan en , se concluye que es analítica en .

Este teorema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar que una función

dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy complicada paraanalizar las condiciones de analiticidad.

14.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular Re y Im con sentido positivo.

Solución

Figura 14.1:

como es una función racional, es analítica en pero y

Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador )es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la

clase 13, .

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Problema 2

Calcular Re y Im con

Solución

Obsérvese que aquí el radio de es 4 luego tanto como están en el Int (

Figura 14.2:

y ).

Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver

clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidos

íntegramente en . Sea la región entre y . Es evidente que al no estar en que es racional,será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua

allí.

Por lo tanto . Ahora,

y

si , y si

por lo tanto con

.

Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con y analítica en y

, luego se concluye que:

las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales

primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).

159

Problema 2.Problema 2

Calcular Re y Im con

Solución

Obsérvese que aquí el radio de es 4 luego tanto como están en el Int (

Figura 14.2:

y ).

Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver

clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidos

íntegramente en . Sea la región entre y . Es evidente que al no estar en que es racional,será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua

allí.

Por lo tanto . Ahora,

y

si , y si

por lo tanto con

.

Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con y analítica en y

, luego se concluye que:

las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales

primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).

159

Problema 2

Calcular Re y Im con

Solución

Obsérvese que aquí el radio de es 4 luego tanto como están en el Int (

Figura 14.2:

y ).

Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver

clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidos

íntegramente en . Sea la región entre y . Es evidente que al no estar en que es racional,será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua

allí.

Por lo tanto . Ahora,

y

si , y si

por lo tanto con

.

Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con y analítica en y

, luego se concluye que:

las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales

primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).

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Problema 2

Calcular Re y Im con

Solución

Obsérvese que aquí el radio de es 4 luego tanto como están en el Int (

Figura 14.2:

y ).

Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver

clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidos

íntegramente en . Sea la región entre y . Es evidente que al no estar en que es racional,será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua

allí.

Por lo tanto . Ahora,

y

si , y si

por lo tanto con

.

Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con y analítica en y

, luego se concluye que:

las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales

primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).

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Problema 2

Calcular Re y Im con

Solución

Obsérvese que aquí el radio de es 4 luego tanto como están en el Int (

Figura 14.2:

y ).

Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver

clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidos

íntegramente en . Sea la región entre y . Es evidente que al no estar en que es racional,será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua

allí.

Por lo tanto . Ahora,

y

si , y si

por lo tanto con

.

Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con y analítica en y

, luego se concluye que:

las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales

primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).

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Problema 2

Calcular Re y Im con

Solución

Obsérvese que aquí el radio de es 4 luego tanto como están en el Int (

Figura 14.2:

y ).

Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver

clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidos

íntegramente en . Sea la región entre y . Es evidente que al no estar en que es racional,será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua

allí.

Por lo tanto . Ahora,

y

si , y si

por lo tanto con

.

Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con y analítica en y

, luego se concluye que:

las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales

primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).

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Problema 2

Calcular Re y Im con

Solución

Obsérvese que aquí el radio de es 4 luego tanto como están en el Int (

Figura 14.2:

y ).

Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver

clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidos

íntegramente en . Sea la región entre y . Es evidente que al no estar en que es racional,será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua

allí.

Por lo tanto . Ahora,

y

si , y si

por lo tanto con

.

Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con y analítica en y

, luego se concluye que:

las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales

primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).

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Problema 2

Calcular Re y Im con

Solución

Obsérvese que aquí el radio de es 4 luego tanto como están en el Int (

Figura 14.2:

y ).

Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver

clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidos

íntegramente en . Sea la región entre y . Es evidente que al no estar en que es racional,será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua

allí.

Por lo tanto . Ahora,

y

si , y si

por lo tanto con

.

Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con y analítica en y

, luego se concluye que:

las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales

primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).

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Problema 2

Calcular Re y Im con

Solución

Obsérvese que aquí el radio de es 4 luego tanto como están en el Int (

Figura 14.2:

y ).

Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver

clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidos

íntegramente en . Sea la región entre y . Es evidente que al no estar en que es racional,será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua

allí.

Por lo tanto . Ahora,

y

si , y si

por lo tanto con

.

Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con y analítica en y

, luego se concluye que:

las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales

primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).

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Problema 3.Problema 3

Calcular Re y Im con

Solución

Aquí Int Int y . Luego, por el ejercicio anterior,

Figura 14.3:

con y analítica en y curva de Jordan en

, luego

por el teorema 1 (clase 14, fórmula integral de Cauchy). Por lo tanto,

Problema 4

Calcular

Solución

Análogo al problema 3, con , lo cual esla circunferencia de centro y radio 2. Dibújela y sitúe y respecto de ella, verá

que int y ni al int . Luego, ponga , ponga y verifique las

condiciones de la fórmula integral de Cauchy para concluir que

160

Problema 3

Calcular Re y Im con

Solución

Aquí Int Int y . Luego, por el ejercicio anterior,

Figura 14.3:

con y analítica en y curva de Jordan en

, luego

por el teorema 1 (clase 14, fórmula integral de Cauchy). Por lo tanto,

Problema 4

Calcular

Solución

Análogo al problema 3, con , lo cual esla circunferencia de centro y radio 2. Dibújela y sitúe y respecto de ella, verá

que int y ni al int . Luego, ponga , ponga y verifique las

condiciones de la fórmula integral de Cauchy para concluir que

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Problema 3

Calcular Re y Im con

Solución

Aquí Int Int y . Luego, por el ejercicio anterior,

Figura 14.3:

con y analítica en y curva de Jordan en

, luego

por el teorema 1 (clase 14, fórmula integral de Cauchy). Por lo tanto,

Problema 4

Calcular

Solución

Análogo al problema 3, con , lo cual esla circunferencia de centro y radio 2. Dibújela y sitúe y respecto de ella, verá

que int y ni al int . Luego, ponga , ponga y verifique las

condiciones de la fórmula integral de Cauchy para concluir que

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Problema 3

Calcular Re y Im con

Solución

Aquí Int Int y . Luego, por el ejercicio anterior,

Figura 14.3:

con y analítica en y curva de Jordan en

, luego

por el teorema 1 (clase 14, fórmula integral de Cauchy). Por lo tanto,

Problema 4

Calcular

Solución

Análogo al problema 3, con , lo cual esla circunferencia de centro y radio 2. Dibújela y sitúe y respecto de ella, verá

que int y ni al int . Luego, ponga , ponga y verifique las

condiciones de la fórmula integral de Cauchy para concluir que

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Problema 3

Calcular Re y Im con

Solución

Aquí Int Int y . Luego, por el ejercicio anterior,

Figura 14.3:

con y analítica en y curva de Jordan en

, luego

por el teorema 1 (clase 14, fórmula integral de Cauchy). Por lo tanto,

Problema 4

Calcular

Solución

Análogo al problema 3, con , lo cual esla circunferencia de centro y radio 2. Dibújela y sitúe y respecto de ella, verá

que int y ni al int . Luego, ponga , ponga y verifique las

condiciones de la fórmula integral de Cauchy para concluir que

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Ejercicio 3.

Ejercicio 4.

Problema 3

Calcular Re y Im con

Solución

Aquí Int Int y . Luego, por el ejercicio anterior,

Figura 14.3:

con y analítica en y curva de Jordan en

, luego

por el teorema 1 (clase 14, fórmula integral de Cauchy). Por lo tanto,

Problema 4

Calcular

Solución

Análogo al problema 3, con , lo cual esla circunferencia de centro y radio 2. Dibújela y sitúe y respecto de ella, verá

que int y ni al int . Luego, ponga , ponga y verifique las

condiciones de la fórmula integral de Cauchy para concluir que

160

Problema 6

Hallar Re y Im con

Solución

Siguiendo el procedimiento análogo al ejercicio anterior, demostramos que

con

Por lo tanto,

Recordar que y que .

Problema 7

Hallar Re y Im con

162

12

Problema 4.Problema 5

Hallar Re y Im con , con sentido positivo

Solución

La curva aquí viene parametrizada por . (El alumno puede demostrar que , con

y representa a una circunferencia de centro y radio . En efecto: ponga, de donde , si se elevan al cuadrado y se suman se obtiene:

.)Por lo tanto es una circunferencia de centro y radio 2, una vuelta completa. es una curva de Jordan

Figura 14.4:

no es analítica en ni en .

Se describen circunferencias con tales que y Int con la misma

orientación (positiva). Se descompone

Sea y

Ahora podemos aplicar el teorema 2 de la clase 14: Fórmula integral de Cauchy para las derivadas, puesto que es

analítica en , pero y Int (en un examen debe explicarse la analiticidad de en ). esanalítica en pues e Int (Explique). Observa además que Int Int y

que son curvas de Jordan. Enuncie aquí el teorema 2 de la clase 14 para concluir que: existen

y que (aquí ). Ahora

Demuestre que Por lo tanto,

Así que Re , Im .

161

Problema 5

Hallar Re y Im con , con sentido positivo

Solución

La curva aquí viene parametrizada por . (El alumno puede demostrar que , con

y representa a una circunferencia de centro y radio . En efecto: ponga, de donde , si se elevan al cuadrado y se suman se obtiene:

.)Por lo tanto es una circunferencia de centro y radio 2, una vuelta completa. es una curva de Jordan

Figura 14.4:

no es analítica en ni en .

Se describen circunferencias con tales que y Int con la misma

orientación (positiva). Se descompone

Sea y

Ahora podemos aplicar el teorema 2 de la clase 14: Fórmula integral de Cauchy para las derivadas, puesto que es

analítica en , pero y Int (en un examen debe explicarse la analiticidad de en ). esanalítica en pues e Int (Explique). Observa además que Int Int y

que son curvas de Jordan. Enuncie aquí el teorema 2 de la clase 14 para concluir que: existen

y que (aquí ). Ahora

Demuestre que Por lo tanto,

Así que Re , Im .

161

Problema 5

Hallar Re y Im con , con sentido positivo

Solución

La curva aquí viene parametrizada por . (El alumno puede demostrar que , con

y representa a una circunferencia de centro y radio . En efecto: ponga, de donde , si se elevan al cuadrado y se suman se obtiene:

.)Por lo tanto es una circunferencia de centro y radio 2, una vuelta completa. es una curva de Jordan

Figura 14.4:

no es analítica en ni en .

Se describen circunferencias con tales que y Int con la misma

orientación (positiva). Se descompone

Sea y

Ahora podemos aplicar el teorema 2 de la clase 14: Fórmula integral de Cauchy para las derivadas, puesto que es

analítica en , pero y Int (en un examen debe explicarse la analiticidad de en ). esanalítica en pues e Int (Explique). Observa además que Int Int y

que son curvas de Jordan. Enuncie aquí el teorema 2 de la clase 14 para concluir que: existen

y que (aquí ). Ahora

Demuestre que Por lo tanto,

Así que Re , Im .

161

13

Problema 5

Hallar Re y Im con , con sentido positivo

Solución

La curva aquí viene parametrizada por . (El alumno puede demostrar que , con

y representa a una circunferencia de centro y radio . En efecto: ponga, de donde , si se elevan al cuadrado y se suman se obtiene:

.)Por lo tanto es una circunferencia de centro y radio 2, una vuelta completa. es una curva de Jordan

Figura 14.4:

no es analítica en ni en .

Se describen circunferencias con tales que y Int con la misma

orientación (positiva). Se descompone

Sea y

Ahora podemos aplicar el teorema 2 de la clase 14: Fórmula integral de Cauchy para las derivadas, puesto que es

analítica en , pero y Int (en un examen debe explicarse la analiticidad de en ). esanalítica en pues e Int (Explique). Observa además que Int Int y

que son curvas de Jordan. Enuncie aquí el teorema 2 de la clase 14 para concluir que: existen

y que (aquí ). Ahora

Demuestre que Por lo tanto,

Así que Re , Im .

161

Problema 5

Hallar Re y Im con , con sentido positivo

Solución

La curva aquí viene parametrizada por . (El alumno puede demostrar que , con

y representa a una circunferencia de centro y radio . En efecto: ponga, de donde , si se elevan al cuadrado y se suman se obtiene:

.)Por lo tanto es una circunferencia de centro y radio 2, una vuelta completa. es una curva de Jordan

Figura 14.4:

no es analítica en ni en .

Se describen circunferencias con tales que y Int con la misma

orientación (positiva). Se descompone

Sea y

Ahora podemos aplicar el teorema 2 de la clase 14: Fórmula integral de Cauchy para las derivadas, puesto que es

analítica en , pero y Int (en un examen debe explicarse la analiticidad de en ). esanalítica en pues e Int (Explique). Observa además que Int Int y

que son curvas de Jordan. Enuncie aquí el teorema 2 de la clase 14 para concluir que: existen

y que (aquí ). Ahora

Demuestre que Por lo tanto,

Así que Re , Im .

161

14

Problema 5

Hallar Re y Im con , con sentido positivo

Solución

La curva aquí viene parametrizada por . (El alumno puede demostrar que , con

y representa a una circunferencia de centro y radio . En efecto: ponga, de donde , si se elevan al cuadrado y se suman se obtiene:

.)Por lo tanto es una circunferencia de centro y radio 2, una vuelta completa. es una curva de Jordan

Figura 14.4:

no es analítica en ni en .

Se describen circunferencias con tales que y Int con la misma

orientación (positiva). Se descompone

Sea y

Ahora podemos aplicar el teorema 2 de la clase 14: Fórmula integral de Cauchy para las derivadas, puesto que es

analítica en , pero y Int (en un examen debe explicarse la analiticidad de en ). esanalítica en pues e Int (Explique). Observa además que Int Int y

que son curvas de Jordan. Enuncie aquí el teorema 2 de la clase 14 para concluir que: existen

y que (aquí ). Ahora

Demuestre que Por lo tanto,

Así que Re , Im .

161

15

Problema 5.

Problema 6

Hallar Re y Im con

Solución

Siguiendo el procedimiento análogo al ejercicio anterior, demostramos que

con

Por lo tanto,

Recordar que y que .

Problema 7

Hallar Re y Im con

162

16

Problema 5.

Problema 6

Hallar Re y Im con

Solución

Siguiendo el procedimiento análogo al ejercicio anterior, demostramos que

con

Por lo tanto,

Recordar que y que .

Problema 7

Hallar Re y Im con

162Solución

Figura 14.5:

con y curvas de Jordan con la misma orientación, pero cosa que se

consigue eligiendo adecuadamente.

Sea además analítica en y en la región entre ellas, por ser

cociente de función trigonométrica entre polinomio, y los ceros del polinomio, y estar fuera y .Además, es continua también en y en , por la misma razón. Luego, aplicando el teorema de

deformación en su forma generalizada, podemos escribir la igualdad entre las integrales del comienzo de la solución

(14.2). Ahora, el alumno debe revisar que en cada uno de los sumandos del segundo miembro de (14.2) se verificael teorema 1 (Fórmula integral de Cauchy) y llegar entonces a que:

por lo tanto se concluye que Re , Im .

Problema 8

Calcular

Solución

.

Problema 9

Calcular

Solución

163

Problema 6

Hallar Re y Im con

Solución

Siguiendo el procedimiento análogo al ejercicio anterior, demostramos que

con

Por lo tanto,

Recordar que y que .

Problema 7

Hallar Re y Im con

162

i

0

-i

17

Problema 5.

Problema 6

Hallar Re y Im con

Solución

Siguiendo el procedimiento análogo al ejercicio anterior, demostramos que

con

Por lo tanto,

Recordar que y que .

Problema 7

Hallar Re y Im con

162Solución

Figura 14.5:

con y curvas de Jordan con la misma orientación, pero cosa que se

consigue eligiendo adecuadamente.

Sea además analítica en y en la región entre ellas, por ser

cociente de función trigonométrica entre polinomio, y los ceros del polinomio, y estar fuera y .Además, es continua también en y en , por la misma razón. Luego, aplicando el teorema de

deformación en su forma generalizada, podemos escribir la igualdad entre las integrales del comienzo de la solución

(14.2). Ahora, el alumno debe revisar que en cada uno de los sumandos del segundo miembro de (14.2) se verificael teorema 1 (Fórmula integral de Cauchy) y llegar entonces a que:

por lo tanto se concluye que Re , Im .

Problema 8

Calcular

Solución

.

Problema 9

Calcular

Solución

163

Solución

Figura 14.5:

con y curvas de Jordan con la misma orientación, pero cosa que se

consigue eligiendo adecuadamente.

Sea además analítica en y en la región entre ellas, por ser

cociente de función trigonométrica entre polinomio, y los ceros del polinomio, y estar fuera y .Además, es continua también en y en , por la misma razón. Luego, aplicando el teorema de

deformación en su forma generalizada, podemos escribir la igualdad entre las integrales del comienzo de la solución

(14.2). Ahora, el alumno debe revisar que en cada uno de los sumandos del segundo miembro de (14.2) se verificael teorema 1 (Fórmula integral de Cauchy) y llegar entonces a que:

por lo tanto se concluye que Re , Im .

Problema 8

Calcular

Solución

.

Problema 9

Calcular

Solución

163

18

Solución

Figura 14.5:

con y curvas de Jordan con la misma orientación, pero cosa que se

consigue eligiendo adecuadamente.

Sea además analítica en y en la región entre ellas, por ser

cociente de función trigonométrica entre polinomio, y los ceros del polinomio, y estar fuera y .Además, es continua también en y en , por la misma razón. Luego, aplicando el teorema de

deformación en su forma generalizada, podemos escribir la igualdad entre las integrales del comienzo de la solución

(14.2). Ahora, el alumno debe revisar que en cada uno de los sumandos del segundo miembro de (14.2) se verificael teorema 1 (Fórmula integral de Cauchy) y llegar entonces a que:

por lo tanto se concluye que Re , Im .

Problema 8

Calcular

Solución

.

Problema 9

Calcular

Solución

163

Solución

Figura 14.5:

con y curvas de Jordan con la misma orientación, pero cosa que se

consigue eligiendo adecuadamente.

Sea además analítica en y en la región entre ellas, por ser

cociente de función trigonométrica entre polinomio, y los ceros del polinomio, y estar fuera y .Además, es continua también en y en , por la misma razón. Luego, aplicando el teorema de

deformación en su forma generalizada, podemos escribir la igualdad entre las integrales del comienzo de la solución

(14.2). Ahora, el alumno debe revisar que en cada uno de los sumandos del segundo miembro de (14.2) se verificael teorema 1 (Fórmula integral de Cauchy) y llegar entonces a que:

por lo tanto se concluye que Re , Im .

Problema 8

Calcular

Solución

.

Problema 9

Calcular

Solución

163

19

Solución

Figura 14.5:

con y curvas de Jordan con la misma orientación, pero cosa que se

consigue eligiendo adecuadamente.

Sea además analítica en y en la región entre ellas, por ser

cociente de función trigonométrica entre polinomio, y los ceros del polinomio, y estar fuera y .Además, es continua también en y en , por la misma razón. Luego, aplicando el teorema de

deformación en su forma generalizada, podemos escribir la igualdad entre las integrales del comienzo de la solución

(14.2). Ahora, el alumno debe revisar que en cada uno de los sumandos del segundo miembro de (14.2) se verificael teorema 1 (Fórmula integral de Cauchy) y llegar entonces a que:

por lo tanto se concluye que Re , Im .

Problema 8

Calcular

Solución

.

Problema 9

Calcular

Solución

163

Solución

Figura 14.5:

con y curvas de Jordan con la misma orientación, pero cosa que se

consigue eligiendo adecuadamente.

Sea además analítica en y en la región entre ellas, por ser

cociente de función trigonométrica entre polinomio, y los ceros del polinomio, y estar fuera y .Además, es continua también en y en , por la misma razón. Luego, aplicando el teorema de

deformación en su forma generalizada, podemos escribir la igualdad entre las integrales del comienzo de la solución

(14.2). Ahora, el alumno debe revisar que en cada uno de los sumandos del segundo miembro de (14.2) se verificael teorema 1 (Fórmula integral de Cauchy) y llegar entonces a que:

por lo tanto se concluye que Re , Im .

Problema 8

Calcular

Solución

.

Problema 9

Calcular

Solución

163

20