Escribir los siguientes textos en PcTeXEjercicio 1. Calcular los siguientes lımites:

1. lımn→∞

(1 +

1

n

)n

2. lımn→∞

(2 +

2

n

)n2

3. lımn→∞

2n + 3n2 + 4n3

n4 − 2n

Ejercicio 2. Calcular los siguientes lımites:

(i) lımx→1

f(x), si f(x) =

x2 + 5 si x > 11 si x = 12√

x2 − 4x + 4 si x > 1

(ii) lımx→1

g(x), si g(x) =

x2 + 5 si x > 11 si x = 12√

x2 − 4x + 4 si x > 1

1. Continuidad de funciones

Definicion 1 Sea la funcion f : A → R, A ⊆ R y sea x0 ∈ A, se dice que f escontinua en x0, si para cada E(f(x0), ε) dado, existe un entorno E(x0, δ) tal que six ∈ E(x0, δ) entonces f(x) ∈ E(f(x0), ε)

Teorema 1 Sea f : A → R, A ⊆ R una funcion, entonces las dos condicionessiguientes son equivalentes:

1. f es continua en a.

2. f verifica:

(a) f(a) ∈ A, es decir, existe f(a)

(b) Existe lımx→a

f(x) = L

(c) f(a) = L

Ejercicio2:Escribir los enunciados de los siguientes ejercicios y resuel-valos:

1

1. Sea P (x) = x3 − 3x5 + 2x y Q(x) = x4 − 5x3 − 2x + 3 efectuar las siguientesoperaciones entre polinomios:

(a) P (x) + Q(x) = x3 − 3x5 + 2x + x4 − 5x3 − 2x + 3 = −4x3 − 3x5 + x4 + 3

(b) P (x)−Q(x) = x3 − 3x5 + 2x− x4 − 5x3 − 2x + 3 = −4x3 − 3x5 − x4 + 3

(c) P (x)Q(x) = x3 − 3x5 + 2xx4−5x3−2x+3 : x3 − 3x5 + 2xx4−5x3−2x+3

2. Calcular los siguientes lımites:

(a) lımx→∞

n√

n3 + 3n : (n3 + 3n)1n

(b) lımx→∞

n√

n3 + 3n

2n− 3nobserve la diferencia lımx→∞

n√n3+3n2n−3n3 = 0

(c) lımx→∞

(n3 + 3n)n =∞

3. Analizar la convergencia de las siguientes series:

(a)∞∑

n=1

n

√3n− 54

2n2− 53 =

∞∑n=1

(1

2

3n− 625

n2− 5n3

) 1n

(b)∞∑

n=1

n

√√√√(3n− 54

2n2

)2

− 5n3

n

=∞∑

n=1

(1

4

(3n− 625)2

n4− 5n3

) 1n

n

(c)∞∑

n=1

en + e−n

2=∞

(d)∞∑

n=1

12√

sen2x− cos2x:∞∑

n=1

12

√(sen2x− cos2x)

Ejercicio3:Calcular los siguientes lımites de funciones:

1. (a) lımx→0

sin ax

x= a

(b) lımx→0

sin 7x

3x:7

3

(c) lımx→0

2x − 3x

x= ln2− ln3

(d) lımx→0

x−1

cot x= 1

2

(e) lımx→0+

(1

x

)tan x

= 1

Ejercicio 4: Graficar las siguientes conicas, teniendo en cuenta el tipode coordenadas mas adecuado.

(a) x2 + y2 = 9

(b) x2

9+ y2

4= 1

(c) x2

5− y2

3= 1

(d) −2x2 + 3x− 1 = 0

Observando las graficas obtenidas indicar los elementos notables de cada una deellas.

Ejercicio 5: Graficar las siguientes cuadricas, teniendo en cuenta el tipode coordenadas mas adecuado.

1. (a) x2 + y2 + z2 = 9

(b) x2

5− y2

3= 2z

(c) −2x2 + 3x− z (cilindricas)

Ejercicio 6:Graficar la funcion f(x) = ex

x2+1, indicar la posible ecuacion de una

asıntota oblicua observando el grafico.

Ejercicio 7:Obenerlas raices de las siguientes ecuaciones:

1. (a) 3x2 − 2x + 1 = 0, verificar el valor obtenido observando la grafica corre-spondiente.

(b) x3 − 3x2 + 2x− 6 = 0

(c) x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = 0

Ejercicio 8:Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analitica ygraficamente:

(a)

{x− 3y = 22x− 6y = 4

(b)

{−2x + 3y = −1x− 2y = 0

3