Practicas2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de CienciasEscuela Profesional de Matematica

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCION DELPROBLEMA DE BRINKMAN.

SEMINARIO DE MATEMATICA PURA Y APLICADA II

Alumno: Soto Rivera, Joel Richard

Codigo: 20071155A Nota:

Asesor: Dra. Irla Mantilla N.

LIMA-PERU2012

Resumen

La presente informe simula numericamente mediante el Metodo del Elemento Finito, lascargas radiales a las que puede someterse un cojinete deslizante sin que ocurra un contactoentre sus componentes solidos. Asimismo, se considera el fenomeno de la cavitacion, elcual se modela mediante la inecuacion variacional de Reynolds. Se considera un regimenestacionario, un lubricante incompresible e isoviscoso y dos grados de libertad en el des-plazamiento del eje. Este ultimo resulta desconocido una vez que al sistema se le imponencargas, cuestion que manifiesta junto a la determinacion de las presiones en el lubricante.Su resolucion numerica constituye el principal aporte. Se concluye, que para el problematratado, la excentricidad es el principal factor que influye en el modelo fısico.Palabras claves:2010 Mathematics Subject Classification:35A15-37A01-35A02

Indice general

1. Conceptos Preliminares. 4

1.1. Nociones de Lubricacion en cilindros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Excentricidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Ecuaciones de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Definicion del Modelo Matematico. 6

2.1. Problema Fısico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Condiciones del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1. Sobre su dominio y frontera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.2. Sobre el fluido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Resolucion Numerica. 8

3.1. Formulacion Variacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. Resolucion Numerica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Referencias 16

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Indice de figuras

1. Componentes de un cojinete deslizante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Posicionamiento relativo entre piezas mecanicas con distintas excentricidades. 5

2.1. Geometrıa (munon cilındrico) que muestra la direccion de la velocidad conflechas negras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1. Mallado por elementos triangules sobre el cilindro. . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2. Comportamiento de la presion sobre la superficie lateral del cilindro paraR=0.03, H=0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9



3.5. Comportamiento de la presion sobre la superficie lateral del cilindro paraR=0.03, H=0.05 y ε = 0,99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.6. Comportamiento de la presion sobre la superficie lateral del cilindro paraR=0.03, H=0.05 y ε = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11






3.12. Comportamiento de la presion sobre la superficie lateral del cilindro paraR=0.03, H=0.05 y ε = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.13. Espesor de la pelicula del lubricante para R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6 . . . . 15

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Introduccion

Desde la antiguedad, el hombre se ha preocupado por la perdida de potencia en lasmaquinas y el desgaste de las piezas en movimiento relativo. Tal es el caso que aun, ennuestros dıas, la investigacion de estos fenomenos tiene gran vigencia dada su complejidadmultifactorial. La maquinaria moderna se proyecta para trabajar a velocidades y tensionescada vez mayores, lo cual obliga a una cuidadosa consideracion de los fenomenos quese presentan en las superficies con movimiento relativo,especıficamente en los nudos defriccion. Un caso especial lo constituyen los cojinetes, como elementos de maquinas cuyafinalidad es servir de apoyo a los arboles(dıcese de una barra sujeta a torsion.) y ejes quegiran en el espacio, de manera que estos puedan rotar libremente y soportar ası las cargasque actuan sobre ellos. El termino cojinete deslizante hace referencia al conjunto formadopor el eje, el casquillo y el lubricante, tal y como muestra la figura en un corte transversalpracticado a este tipo de elemento. De manera general, permiten el movimiento relativode los componentes solidos en una o dos direcciones con un mınimo de friccion. Ademas,preven el movimiento en el sentido de la carga aplicada.

Figura 1: Componentes de un cojinete deslizante.

Journal Bearing: Es un dispositivo de antifriccion en el que un eje cilındrico, al que sellama munon, se apoya en una pieza estacionaria, a la que se llama cojinete. se utilizanpara llevar cargas radiales, por ejemplo, para soportar un eje giratorio. Un cojinete

simple consta de dos cilindros rıgidos. El cilindro exterior (cojinete) envuelve el munoninterno giratoria (eje). Normalmente, la posicion del centro del munon es excentrico conel centro del rodamiento. Un lubricante llena el pequeno espacio anular u holgura entreel munon y el rodamiento. La cantidad de excentricidad de la revista esta relacionada

con la presion que se genera en el cojinete para equilibrar la carga radial.

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Capıtulo 1

Conceptos Preliminares.

A continuacion presentamos las definiciones y conceptos fısicos usados a lo largo delpresente trabajo.

1.1. Nociones de Lubricacion en cilindros.

El desgaste es la mayor causa de perdida de materiales, por lo que cualquier reducciondel mismo puede aportar grandes beneficios.La friccion o rozamiento es una de las principales causas de disipacion de energıa, por loque su control puede traducirse en un importante ahorro energetico.La lubricacion es el modo mas efectivo de reducir la friccion y controlar el desgaste.El proposito de la lubricacion o engrase es el interponer una pelıcula de un materialfacilmente cizallable, de modo que el deslizamiento se realice en su seno, entre movimientode maquinas con movimiento relativo y cargados.

1.1.1. Excentricidad:

La excentricidad se define como la no coincidencia entre el eje de rotacion y el eje desimetrıa. La excentricidad puede tener lugar en diferentes tipos de elementos mecanicos,como son las poleas, las ruedas dentadas y en el posicionamiento relativo entre dos piezasconcentricas, caso del rotor y el estator de un motor.

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Figura 1.1: Posicionamiento relativo entre piezas mecanicas con distintas excentricidades.

1.1.2. Ecuaciones de Reynolds.

Las variaciones de la velocidad pueden concebirse como las desviaciones de la velocidadcon respecto a su valor medio temporal; de tal manera que las variaciones de la veloci-dad se vean como una variable aleatoria de media nula. En tanto la presion, tambien,puede descomponerse en una forma similar, ecuacion (1.1). Esta variable aleatoria es es-tacionaria, en amplio sentido, porque su media o esperanza matematica es constante,independiente de su parametro ındice, el tiempo; y la funcioon de correlacion dependesolo de las variaciones de este parametro,

∂vi = vi − vi, ∂pi = pi − pi. (1.1)

Por tanto, cuando la velocidad y la presion se descomponen en la media mas las desvia-ciones, para luego expandir la ecuacion de Navier-Stokes, y tamizarla con el promediotemporal sobre la base de la hipotesis ergodica, entonces se obtienen las ecuaciones deReynolds,

ρ

(∂

∂tvi +

∂

∂xj

⟨vivj⟩)

= − ∂

∂xj

p+ ρν∂2

∂x2j

vi − ρ∂

∂xj

⟨∂vi∂vj⟩. (1.2)

En la construccion del modelo se supone que la velocidad angular es constante, se des-precian los efectos de la tension supercial y se asume que el aire se comporta como ungas perfecto, en el sentido de que la densidad es proporcional a la presion. Se consideraque la anchura de la capa del fluido es muy pequena comparada con las otras dimensio-nes. Ademas, se desprecian las fuerzas inerciales comparadas con las fuerzas debidas a laviscosidad.

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Capıtulo 2

Definicion del Modelo Matematico.

2.1. Problema Fısico.

La presion en el lubricante (SAE 10 a 70C.) se rige por la ecuacion de Reynolds.Para un fluido incompresible con condicion de ausencia de deslizamiento, la ecuacion deReynolds estacionaria en el rango continuo esta dada por:

∇T · −ρ (∇T b · vb −∇Ta · va) = 0. (2.1)

En esta ecuacion, ρ es la densidad en Kgm3 , h es el espesor de lubricante (m), η es la

viscosidad (Pa ·s), p es la presion (Pa), a es la ubicacion (m) de la base del canal, va es lavelocidad tangencial (m

s) de la base del canal, b es la ubicacion (m) de la pared solida, y

vb es la velocidad tangencial (ms) de la pared solida. Aquı el munon giratorio se considera

que es la pared solida. La figura siguiente muestra la pared y el munon giratorio en elque se resuelve la ecuacion de Reynolds. Debido a que la presion es constante a traves delespesor de la pelıcula lubricante, COMSOL utiliza la proyeccion tangencial del operadorgradiente. Notar que en este caso el termino ρ (∇T b · vb −∇Ta · va) es igual a cero de aquise simplifica la ecuacion (1.1) de la siguiente forma:

∇T ·(−ρh3

12η∇Tp+

ρh

2(va + vb)

)= 0. (2.2)

El espesor de lubricante, h, se define como:

h = c(1 + ε cos θ)

Donde c ≡ RB −RJ es la diferencia entre el radio y el radio de rodamiento del munon, εes la excentricidad, y θ es la coordenada polar angular de un punto sobre el lubricante.

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Figura 2.1: Geometrıa (munon cilındrico) que muestra la direccion de la velocidad conflechas negras.

2.2. Condiciones del Problema.

Ahora enunciaremos que propiedades fısicas y que condiciones sobre su contorno posee elproblema.

2.2.1. Sobre su dominio y frontera:

Consideremos un cilindro de altura H y radio R con su base centrada en el punto (0,0,0),con una excentricidad de 0.03mm (la cual variaremos despues para observar como influyela excentricidad en el problema). La presion en los extremos del munon cilındrico se suponeque es similar a la presion del ambiente. Por lo tanto, las condiciones de frontera son:

p = 0 para z=0,L. (2.3)

Donde L es la longitud del munon cilindrico. Ademas de ello gira a una velocidad angularde 50π rad/s,

2.2.2. Sobre el fluido:

Consideremos un fluido incompresible con una viscosidad dinamica de 0.01 Pa · s y unadensidad de 860 Kg/m3.

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Capıtulo 3

Resolucion Numerica.

Para abordar la resolucion numerica del problema, primeramente realizamos un algo-ritmo para su resolucion numerica, que incluye una discretizacion mediante el metodo decaracterısticas combinado con elementos fınitos, para la cual se debe hallar su formulacionvariacional para luego a partir de ella se aproxime su solucion mediante M.E.F.

3.1. Formulacion Variacional.

La formulacion variacional del denominado problema de lubricacion consiste en encon-trar p ∈ Va tal que:∫

Ω

(γh2∇p+ h3p∇p)∇φ+ 6η

∫Ω

∂

∂x(ph)φ+ 6η

∫Ω

∂

∂y(ph)φ = 0, ∀φ ∈ V0 (3.1)

Donde Ω = (0, H) × (0, H), representa el dominio rectangular bidimensional de nuestroproblema() y los espacios y conjuntos funcionales son:

Va = φ ∈ H1(Ω)/φ = pa en ∂Ω.

V = φ ∈ H1(Ω)/φ = 0 en ∂Ω.Bajo ciertas hipotesis, se puede probar la existencia y unicidad de solucion de nuestroproblema hidrodinamico, ası como la existencia de cotas de la misma[1].El presente trabajo persigue como objetivo general desarrollar una aplicacion, basada enel Metodo del Elemento Finito, para la simulacion numerica de las cargas radiales a lasque puede someterse un cojinete deslizante sin que ocurra un contacto entre sus com-ponentes solidos y considerando la posible ocurrenciade la cavitacion. El alcance de estainvestigacion se limita a un regimen estacionario y se contemplan unicamente dos gradosde libertad en la funcion de holgura h. Como la variacion de la densidad con la presion enlos aceites mas usuales es muy pequena, se supondra un lubricante incompresible (ρ=cte).En adicion, se asume un lubricante isoviscoso. Debido a lo fina que resulta la pelıcula deaceite en estos dispositivos, dicha suposicion puede hacerse sin una perdida considerableen la precision de los resultados [2, pag. 25]. Se consideran sin rugosidades las superficiessolidas del cojinete deslizante ası como un regimen de lubricacion hidrodinamica.

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3.2. Resolucion Numerica.

Veamos los resultados para los siguientes parametros R=0.03m y H=0.05m, utilazandoesos parametros y considerando el siguiente mallado:

Figura 3.1: Mallado por elementos triangules sobre el cilindro.

A partir de aquel mallado mediante una aproximacion con elemtos finitos se obtiene:

Figura 3.2: Comportamiento de la presion sobre la superficie lateral del cilindro paraR=0.03, H=0.05

.

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Ahora si consideramos variar la altura(H) y el radio(R) del cilindro observaremos que sucomportamiento es similar que el caso previo.Veamos para R=0.02, H=0.07.


.

Veamos para R=0.04, H=0.04.


.

Claramente el comportamiento de la solucion es el mismo en los tres cilindros solo queestos se expande o contrae segun la dimension del cilindro.

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Pero veremos que ese comportamiento difiere un poco si variamos el parametro deexcentricidad(ε) considerando como el caso original R=0.03, H=0.05 y para este casoε variando desde 0 hasta 0.99 veremos como cambia el comportamiento de la presion alo largo se la superficie del cilindro: Empecemos con una excentricidad de 0.99 y luego lairemos disminuyendo gradualmente hasta llegar a 0.

Figura 3.5: Comportamiento de la presion sobre la superficie lateral del cilindro paraR=0.03, H=0.05 y ε = 0,99

.


.

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.


.

Observamos que mientras disminuye la los puntos donde se concentra la presion tiendenalejarse entre si proporcional a la excentricidad.

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.


.

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.

Figura 3.12: Comportamiento de la presion sobre la superficie lateral del cilindro paraR=0.03, H=0.05 y ε = 0

.

Hay que tener en cuenta que para el caso ε = 0 se tiene un espesor de lubricante hconstante la cual origina soluciones periodicas a lo largo de la superficie.

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Figura 3.13: Espesor de la pelicula del lubricante para R=0.03, H=0.05 y ε = 0,6.

De manera similar se comportan los otros casos a partir de aqui podemos que la excen-tricidad es el principal factor que influye en el comportamiento de la presion.

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Bibliografıa

[1] Hassan Lombera Rodrıguez Simulacion Numerica de un Cojinete DeslizanteRadial con Desplazamiento Desconocido. Inc.(2011)

[2] Hannukainen, Petri Non-linear journal bearing model for analysis ofsuperhar-monic vibrations of rotor systems. Tesis doctoral, University ofTechnology, Lappeen-ranta, Finland, 2008.

[3] Dowson, D., Higginson, G. R Elasto-Hydrodynamic Lubrication. 1983. pp.409-430 Printed in Great Britain

[4] Pinkus, O., Sternlicht, B., Theory of Hydrodynamic Lubrication . McGrawHill Book Company, 1961. pp. 41 -46-New York

[5] Irla Mantilla, Salome Gonzales Simulacion numerica de la cavitacion en co-jinetes mediante elementos finitos y el algoritmo de Uzawa. UPGC- Espana.(2010)

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