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Práctica 3

EcuacionesCurso Pre-Universitario I/2012

A. ECUACIÓN LINEAL CON UNA INCÓGNITA .

Resolver las siguientes Ecuaciones:

1. 5x + 2 = 4− 3x

2. ?(x + 1)2 − (x− 1)2 = 4x

3.3x + 5

5− 2x− 7

4=

3x + 21

5

4.ax + b

a+

bx− a

b=

b

a

5.3

x− 2− 5

x + 4=

10

x2 + 2x− 8

6.1

x− 2+

1

x− 3=

1

x2 − 5x + 6

7.3abc

a + b+

a2b2

(a + b)3+

(2a + b)b2x

a(a + b)2= 3cx +

bx

a

8.a + x

a2 + ax + x2− a− x

ax− x2 − a2=

3a

x(a4 + a2x2 + x4)

9.an

a− x+

(a + n)(anx + nx2 + x2 + x3)

x3 + nx2 − a2x− a2n=

ax

n + x+

nx2

x2 − a2

10.x− a− b

c+

x− b− c

a+

x− c− a

b= 3

11.x

ab+

x

bc+

x

ac− 1 = abc− x(a + b + c)

B. ECUACIONES CUADRÁTICAS .

1. Resuelva las siguientes ecuaciones usando factorización:

1

2 PRÁCTICA NO. 3: ECUACIONES

a) 15x2 + 14x = 8

b) 2a2x2 − abx− 3b2 = 0

c) 12x2 = 3x + 2

d) 3ax2 + 9ax + 2x + 6 = 0

2. Resuelva las siguientes ecuaciones usando la fórmula general:

a) 8x2 + 9x− 18 = 0

b) 2b2x2 − 3abx + a2 = 0

c) x2 + 13 = 6x

d) (h2 − 1)x2 − 2h2x + h2 = 0

3. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x− 10√

x + 9 = 0

b) x4 − 10x2 + 25 = 0

c) −3a4 − 14a2 = −5

d) x−2 − x−1 = 20

e) x2/3 + 11x1/3 + 28

4. Determinar el valor de k de manera que las raíces de cada ecuación sean iguales.

a) x2 + 2kx + x = 0

b) (2k + 2)x2 − 4x + k = 0

5. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a)√

x− 5−√4x− 7 = 0

b)√

x2 + 2x + 1−√4x + 1 = 0

c)√

x2 + x + 3−√x2 + 3x + 4 = 1

d)√

x + 5− 4√2x + 1− 2

= −1

e)√

21 +√

12 +√

14 + x = 5

6. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) Determine el valor de k de tal manera que la suma de las raíces de la

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PRÁCTICA NO. 3: ECUACIONES 3

ecuación:

− kx2

x− 2=

x + 1

x− 1

1− 2

x + 2

sea igual a1

3b) Determine el valor de k de tal manera que la diferencia de las raíces de la

ecuación:

−kx2 + 1

x + 1=

x− 21

x− 1

1− 2

x + 2

sea igual a 0.

c) Calcular el valor de k en la ecuación (k + 2)x2 + 5x + 2k = 0 para que el

producto de sus raíces sea igual a2

3.

d) Halle k tal que (2k + 1)x2 + kx + k = 4(kx + 2), la suma de sus raíces seaigual a su producto.

e) Hallar p y q tal que la ecuación x2 +(−2p− q +1)x+(−3p+ q +2) = 0 tengaraíces iguales a 1.

f ) Sea x1 y x2 las dos raíces de la ecuacion ax2 + bx + c = 0. Si la suma de sus

cuadrados es 4 y el producto es1

2. Hallar el valor de

b2 + c2

a2

.

C. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES .

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

{x −y = 1

x +2y = 0b)

{2x +y = 2

x −y = 3

c)

{2x +3y = 4

−x +y = 1d)

{−x +3y = 0

−x −y = 3

e)

{xa

+yb

= 3x2a

−3yb

= −2d)

{1x

+ 2y

= 12x− 2

y= −7

4

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2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

x − y + z = 1

2x + 2y − 3z = 1

−2x + 2y − z = −1

b)

2x + y − z = 2

x − y − 2z = 4

2x − y = 0

c)

2x + 3y − z = 1

−x + y − 2z = 1

x + 2y + z = −1

d)

−x + 3y − z = 0

−x − y + z = 0

x − y + 2z = 4

e)

x − y+z3

= 4

y − x+z8

= 10

z − y−x2

= 5

f)

1x

+ 2y

= 76

1y

+ 2x

= 23

2x

+ 1z

= 76

g)

3x − 2y = 0

3y − 4z = 25

−5x + z = −14

h)

5x − 2y + z = 24

2x + 5y − 2z = −14

x − 4y + 3z = 26

D. SISTEMAS DE ECUACIONES .

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: (Sugerencia: Use el cambio devariable x = ky o y = kx).

a)

{x2 + xy − 2y2 = 0

11x2 + 3xy − 11y2 = 27b)

{9x2 − 9xy − 4y2 = 0

45x2 − 69xy + 17y2 = 45

c)

{2x2 − xy + y2 = 1

4x2 + 16xy − 4y2 = 5d)

{4x2 − 4xy + y2 = 1

18x2 + 17xy − 18y2 = 12

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: (Sugerencia: Use el cambio devariable x = u + v, y = u− v).

a)

{2x2 + 7xy − 2y2 = −16

2x2 − 3xy + 2y2 = 20b)

{x2 + y2 − 15x − 15y = 40

3x2 + 3y2 + 5xy = 15

E. PROBLEMAS VARIOS .

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1. Un avión tiene dos tanques de gasolina. La cantidad total de gasolina en ambostanques es de 24 litros. El primer tanque contiene 4 litros más que el segundo.¿Cuanta gasolina hay en cada tanque?.

2. Un antiguo artista dibujo escenas de caza en las paredes de una caverna, in-cluyendo 43 figuras de animales y personas. Había 17 figuras más de animalesque de personas. ¿Cuantas figuras de personas dibujo el artista?

3. Deniska puede comer un frasco de mermelada en 6 minutos. Mishka puedecomer un frasco similar dos veces más rápido. ¿En cuánto tiempo comerán unfrasco de mermelada juntos?

4. Un ganso encontró una bandada de gansos en el aire y dijo: “Hola, centena degansos!.” El líder de la bandada le contestó: “No hay un ciento de nosotros. Sihubiera tantos de nosotros como hay y tantos mas y la mitad más y un cuartomás y tu también volaras con nosotros, entonces podría haber un ciento denosotros.” ¿Cuántos gansos había en la bandada?

5. Un hombre nadaba río arriba en el Río Neva. Cerca al Puente Republicanoperdió un envase, después de 20 minutos notó la pérdida y se devolvió paraencontrar el envase; lo alcanzó cerca al Puente Leughtenant Schmidt. Hallar lavelocidad de la corriente del río si la distancia entre estos dos puentes es de2km.

6. Un alumno de álgebra tiene calificaciones parciales de 75, 82, 71 y 84 ¿Quécalificación debe obtener en la siguiente prueba para elevar su promedio a 80?

7. Antes del examen final, un alumno tiene calificaciones parciales de 72, 80, 65, 78

y 60. El examen final cuenta como la tercera parte de la calificación definitiva.¿Que calificación debe recibir el alumno para tener un promedio final de 76?

8. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menoren 65. Hallar el producto de dichos números. Resp.: 225522.

9. Hallar dos números sabiendo que su suma es 36 y que al dividir el mayor porel menor el cociente es 2 y el resto 3. Resp.: 25, 11.

10. Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro es igual a110cm y que su longitud es 5cm más pequeña que el doble de su altura. Resp.:35, 20.

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11. Un campesino piensa utilizar 180 pies de malla para encerrar un terreno rectan-gular, aprovechando parte de la orilla recta de un río como cerca de uno de loslados del rectángulo. Halle el área del terreno, si la longitud del lado paraleloal río es el doble de la longitud de uno de los lados adyacentes. Resp.: 4050.

12. Diofanto fue un notable matemático griego que desarrolló su actividad en Ale-jandría en el siglo III A.C. y del cual se conservan muy pocos datos biográfi-cos. Sin embargo se dice que su epitafio contenía la siguiente inscripción:

Caminante: aquí yacen los restos de Diofanto.Y los números pueden mostrar cuán larga fue su vida, cuya sexta parte

constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además unaduodécima parte cuando sus mejillas se cubrieron de vello. Luegode una séptima parte se casó, y transcurrido un quinquenio le hi-zo dichoso el nacimiento de su primogénito, cuya existencia durótan sólo la mitad de la de su padre. Luego de cuatro años buscan-do consuelo en la ciencia de los números, descendió Diofanto a lasepultura.

Qué edad alcanzó Diofanto? A qué edad se casó? Cuántos años vivió su hijo?.

13. ¿Cuántos minutos faltan para el mediodía, si hace 8 minutos faltaban 9/5 de loque falta ahora?

14. Para determinar el volumen de agua en un estanque puede procederse de lasiguiente manera. Agregamos 10 litros de agua que contienen 6300 gramos decolorante. Cuando el colorante está bien disuelto en el volumen total, recu-peramos 10 litros de agua y observamos que ésta tiene ahora 1,75 gramos decolorante. ¿Cuál es el volumen del agua en el estanque? Resp: 35990.

15. Drini, según la receta de su médico, debe tomar todo el contenido de un frascode píldoras en 4 días de la siguiente manera: el primer día, la mitad del total; elsegundo día un tercio de lo que queda; el tercer día, un cuarto de lo que queday el cuarto día 6 píldoras. ¿Cuántas píldoras había originalmente en el frasco?Resp: 24.

16. Un comerciante tenía cierta cantidad de dinero. El primer año gastó 100$ yaumentó el resto con un tercio de éste.Al año siguiente volvió a gastar 100$ y aumentó la suma restante en un tercio

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de ella .El tercer año gastó de nuevo otros 100$. Después que hubo agregado su terceraparte el capital llegó al doble del inicial. ¿Cuál era el capital inicial?. (Resp:1480$).

F. PROBLEMAS VARIOS .

1. Hallar un número distinto de cero tal que el quíntuplo de su cuadrado dis-minuido en treinta veces ese número sea igual a cero.

2. El largo de un terreno rectangular es de 18 metros mayor que el ancho y su áreaes igual a 360 metros cuadrados. Calcular las medidas del terreno.

3. Adriana es 6 años mayor que Lupita y la suma de los cuadrados de sus edadeses igual a 356.

4. La diferencia de dos número es 6 y su suma multiplicada por el número menores igual a 36. Encontrar el valor de cada número.

5. El cuadrado de un número disminuido en 54 equivale a 10 veces el exceso delnúmero sobre 3. ¿Cuál es el valor del número requerido?

6. El largo de un lote de terreno excede al ancho en 5 metros. Si aumentamos 5

metros tanto al largo como al ancho el valor del área se duplica. Encontrar lasdimensiones del terreno.

7. Se tienen dos números consecutivos; el cuadrado del mayor excede en 16 alcuádruplo del menor. ¿Cuáles son los valores de los números consecutivos re-queridos?

8. Hallar tres números enteros consecutivos tales que el cociente del mayor entreel menor equivale a 4/21 del número intermedio

9. Hallar la edad de una persona sabiendo que si al cuadrado se le resta el triplede la edad resulta nueve veces esta. Solución: 12 años

10. La diferencia de los cubos de dos números enteros pares consecutivos es 488.Calcularlos. Solución: 8, 10y − 8,−10

11. Si a un lado de un cuadrado se le alarga 2 m y al contiguo en 7 m, obtenemosun rectángulo cuya área es 22m2 más que el doble del cuadrado. Calcular lasdimensiones del cuadrado. Solución: 1m y 8m.

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12. La base de un rectángulo es 2m mayor que la altura. Si a la base se le aumenta1m y a la altura en 2m, resulta otro rectángulo cuya área es 24m2 mayor que elprimero. Calcular las dimensiones de este. Solución: 6m por 8m.

13. Averiguar el perímetro de un triángulo rectángulo isosceles cuya área es 12m2.Solución: 16m

14. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que vienen medidospor tres números pares consecutivos. Solución: 6, 8y10

15. Un rectángulo tiene un lado doble que el otro. Si al mayor se le aumenta en dosunidades y el menor se disminuye en 2 unidades el rectángulo así obtenidotiene 4m2 de área más que la mitad del primer rectángulo. Calcular las dimen-siones. Solución: 4m por 8m.

16. Un piso cuadriculado está cubierto por azulejos cuadrados del mismo tamañode forma que quedan alineados. Los azulejos de las dos diagonales del piso sonnegros. Los azulejos restantes son blancos. Si hay 101 azulejos negros, ¿cuál esel número de azulejos blancos? Resp: 2500.

G. PROBLEMAS VARIOS .

1. Mario tiene una granja lechera. Tiene leche con 5 % de grasa y leche descremadasin grasa. ¿Cuánta leche con 5 % de grasa y leche descremada debe mezclarpara obtener 100 litros de leche con 3, 5 % de grasa?

2. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesadossacos, lamentábase el caballo de su pesada carga, a lo que el mulo de dijo: ¿Deque te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble de la tuya. Encambio si te doy un saco tu carga sería igualar a la mia. ¿Cuantos sacos llevabacada uno? Resp.: 7, 5.

3. Un industrial de la mueblería fabrica sillas, mesas para café y mesas para come-dor. Se necesitan 10 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 12 parabarnizarla. Se necesitan 12 minutos para lijar una mesa para café, 8 para pintar-la y 12 para barnizarla. Se necesitan15 minutos para lijar una mesa de comedor,12 para pintarla y 18 para barnizarla. La mesa de lijado esta disponible 16 horasa la semana, la mesa de pintura 11 horas a la semana y la mesa de barnizado

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18 horas. ¿Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse por semana demodo que las mesas de trabajo se ocupen todo el tiempo disponible?

4. Una refinería produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolinasin azufre requiere de 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la plantade refinación. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4

minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinación. Si la planta demezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinación 2, ¿cuántas toneladas decada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al máximo?

5. Un industrial produce dos tipos de plástico: regular y especial. Cada toneladade plástico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cadatonelada de plástico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la plantaB. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al día y la planta B 15, ¿cuántastoneladas de cada tipo de plástico pueden fabricarse diariamente de modo quelas plantas operen a toda su capacidad?

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