UNTELS ESTADÍSTICA Y DISEÑO EXPERIMENTAL

PRACTICA DE VALOR ESPERADO – VARIABLE ALEATORIA

1. Suponga que un juego al azar consiste en lazar un dato y que el jugador puede ganar $7 si obtiene al menos 5 puntos o perder $2 en caso contrario.a) ¿Cuánto espera ganar en el juego el jugador?b) Cuánto debería ganar para que el juego sea justo?

2. Suponga que un juego consiste en lanzar un dado y que si se obtiene al menos 5 puntos se gana $2, en caso contrario se pierde el número obtenido en dólares..¿Calcular la utilidad esperada en el juego?

3. Una tienda de comestibles comercializa diariamente un producto que compra a $8 y vende a $10 cada unidad. Debido a que el producto es perecedero, las unidades que se queden al finalizar el día se desechan; perdiendo además del costo $1 por unidad. El vendedor ha establecido que la distribución de probabilidad de la demanda diaria del producto es que se da en la tabla:

Demanda: d 0 10 20 30 40 50Probabilidad 1/10 1/10 2/10 3/10 2/10 1/10

Si el vendedor comercializara 30 unidades diariamente ¿Cuánto seria su utilidad esperada?

4. Una empresa de ingeniería debe preparar una propuesta para ganar una licitación. El costo de prepararla es S/. 5000 y la tabla de utilidades es:

Utilidad 0 10000 30000 50000Probabilidad 0.10 0.20 0.50 0.20

La probabilidad de que la propuesta sea aceptada es 30%. ¿Cuánto es la utilidad esperada?

5. Un inversionista debe decidir por uno de los dos proyectos A o B. Si invierte en el proyecto A, puede ganar 41000 si lo administra bien o perder 10000 en caso contrario. Si invierte en el proyecto B, puede ganar 20000 si lo administra bien o ganar 2000 en caso contrario. Si las probabilidades son 3 a 2 de que no lo administre bien.

a) ¿Cuál de los 2 proyectos debería tomar de manera que el beneficio esperado sea máximo?b) ¿Cuánto debería ganar en el proyecto B si lo administra bien de manera que el beneficio esperado

sea igual al del proyecto A?

6. Para que las siguientes funciones, determine la constante K para que f(x) satisfaga las condiciones de una función de probabilidad.a) f(x) = X/K X = 1,2,3,4

b) f(x) = KX X = 1,2,3,…., 12

c) f(x) = k

2x X = 0,1,2,3,4

7. Verifique si las siguientes funciones pueden definir distribuciones de probabilidad

UNTELS ESTADÍSTICA Y DISEÑO EXPERIMENTAL

a) f(x) = x

15 X = 0,1,2,3,4,5

b) f(x) = 14

X = 3,4,5,6

c) f(x) = x+125

X = 0,1,2,3,4,5

8. Suponga que f(x) = e− x para 0 < x. Calcule las siguientes probabilidades

a) P(1 < X) b). P(1 < X < 2.5) c). P(X =3) d). P(X < 4) e). P(3 ≤ X)

9. La función de densidad de probabilidad de la longitud de de una bisagra para puertas es f(x) = 1.23 para 74.6 < X < 75.4 milímetros. Calcule lo siguiente:

a) P(X < 74.8) b). P(X < 74.8 ó X > 75.2) c). Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3 milímetros ¿Cuál es la proporción de bisagras que cumple con las especificaciones?

10. La función de densidad de probabilidad del tiempo de falla(en horas) de un componente electrónico de una copiadora es:

f(x) = e

x1000

1000 para _ x > 0

Calcule la probabilidad de que:

a) El componente tarde más de 3000 horas en fallarb) El componente falle en el lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas

11. Una estación de servicio es aprovisionado de gasolina una vez a la semana. El volumen X de la posible venta semanal en miles de galones tiene la siguiente función de distribución:

F(X) = 1 – (1 – X )4 para 0 < X < 1

a) ¿Cuál debe ser la capacidad de su tanque para que la probabilidad que su provisión se agote en una semana sólo de 0.01?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la venta semanal este entre 800 y 900 galones?

12. La vida útil de una batería en años es una variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad:

f(x) = 0.2 e−0.2x 4 ,x ≥ 0

El fabricante ofrece una garantía de un año. Si la batería falla en es periodo se reemplaza por otra, a lo mas una sola vez. Si el costo de fabricación es de $20 por cada batería y se vende a $50 cada una.a) ¿Cuánto es la utilidad esperada del fabricante?b) ¿Cuánto debe ser el tiempo de garantía que el fabricante debe ofrecer para que solo devuelva el

5% de las baterías producidas?