Lentes delgadasFacultad de Ciencias, Ciudad Universitaria

Universidad Nacional Autónoma de México, Coyoacán, 04510, México, D.F.

Pantoja Arcos Luis Eduardo-Hernández Rosas IrvingMoreno Tapia Juan Manuel-Esquivel Balsea Josué Roberto

fai@ciencias.unam.mx

3 de Septiembre del 2013

Resumen

Esta práctica nos llevó 3 sesiones y fue hecha para comprobar las ecuaciones que se tienenacerca del comportamiento de las lentes delgadas: sus puntos y distancias focales; el efecto deltipo de lente que se use; la magnificencia y proyección de alguna imagen así como su inversióny su disminución. Nos apoyamos de los sistemas ópticos y la teoría para, al final, corroborarque las relaciones son ciertas.

Resumen

This practice took us three classes and was planned to prove the equations we have aboutthe behavior of the thin lenses: their focal points and distance; the effect of the type of lensesused; the magnificence and projection of images as well as their reversal and reduction. Werelied on optical systems and theory to get, in the end, that the relationships are correct.

1. Introducción

El trabajo con las lentes ha sido estudiadodesde hace muchos años, por físicos y no fí-sicos llegando a conclusiones acerca del com-portamiento de estas que pueden resumirse (ri-gorusamente hablando) a la ecuación obtenidapor los fabricantes de lentes, los cuales, además,obtuvieron empíricamente un mejoramiento en

el uso de los mismos. De esta ecuación se des-prende inmediatamente la bien conocida ecua-ción gaussiana que culmina con el tratamientode los sistemas ópticos dando además una di-recta deducción de la ecuación del aumento la-teral y transversal.[1, págs. 149-169][2, págs. 47-63]. Con ello vemos que este tema ha sido pro-fundizado y comprendido desde hace bastantetiempo por lo cual nuestro trabajo aquà es sim-

1

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plemente apreciarlo por nosotros mismos.

1.1. Objetivos

Estos se dividen de acuerdo a las sesionesdedicadas[3]:

Para la primera sesión:

1. Se medirá la distancia focal de una lentepositiva a partir de la ecuación de Gauss.

2. Se medirá la distancia focal a partir delmétodo de puntos conjugados.

3. Determinar la distancia focal a partir deun objeto al infinito(cuyas ondas se consi-deran planas).

4. Calcular la distancia focal para el caso deuna lente divergente, a parir de la ecua-ción de Gauss: para este se sugirió usar co-mo objeto una diapositiva iluminada poruna lámpara colimadora.

Para la segunda sesión:

1. Construir en el laboratorio un microsco-pio y/o un telescopio con dos lentes sim-ples.

.

Para la tercera sesión:

1. Medir el poder de amplificación de unalente usando una lente positiva para au-mentar una imagen.

2. Para el caso de la determinación de las dis-tancias focales por los 3 métodos, se apli-cará el análisis de propagación de incerti-dumbres así como el de realizar la compa-ración de estos.

1.2. Análisis teórico

Como ya se dijo anteriormente en la prácti-ca, necesitamos esencialmente 2 ecuaciones quenos darán todo el trasfondo teórico del asunto:

1So

+1Si

= (nlm − 1)(1

R1− 1

R2) (1)

Ecuación del fabricante de lentes o ecuación de laslentes delgadas [1, pág. 158]

1f=

1So

+1Si

(2)

Ecuación gaussiana[1, pág 158]

Donde R1 y R2 son los radios de la lente; nlmel índice de refracción relativo al medio; So, Silas distancias objeto e imagen, respectivamentey; f la distancia focal de la lente. Estas dos nosdescriben todo el comportamiento de la refrac-ción de la luz en un lente delgada. El medio eneste experimento, será aire, o sea que el índicede refracción de la lente y el aire serán respec-tivamente nl = 1, 5 y nm = 1.Un diagrama detoda esta discusión se ven en la figura 1.

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Figura 1: Refracción en lentes delgadas

2. Desarrollo experimental

El material utilizado fue:

1. Lámpara colimadora de luz amarilla

2. Dos lentes delgadas convergentes

3. Pantalla

4. Cinco monturas

5. Riel para colocar las monturas

6. Diapositiva

7. Láser rojo

8. Mesa para el láser

9. Dos diafragmas

Antes de realizar cualquier medición en ca-da sesión alineamos la lente o el sistema de len-tes con el láser sobre su mesa y los diafragmasproyectando a la pantalla.

Comenzamos la primera sesión colocando lalámpara colimadora en su montura en un extre-mo del riel. Después se colocó la diapositiva ensu montura muy cerca de la lámpara y a ciertadistancia So de una lente convergente sobre sumontura, y con esta distancia fija se colocó lapantalla tras la lente(también con montura) yse movió hasta encontrar en cuál distancia seenfocaba mejor la imagen, o sea se buscó Si. Alusar la ecuación de Gauss esto nos da la distan-cia focal f .

En esa misma sesión usamos el método depuntos conjugados para localizar la distanciafocal. Una vez que ubicamos a qué distancia seveía mejor al imagen nos apoyamos en la dis-tancia focal obtenida para obtener los valores Ly D en la ecuación:

f =L2 − D2

4L(3)

Ecuación de los puntos conjugados[3]

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Donde L es mayor que 4 f y es la distanciaentere la diapositiva y la pantalla. Para utilizaresta ecuación dimos L ≥ 70 y colocamos la len-te en la distancia más cercana al objeto en la quese veía bien la imagen, Si1. Una vez encontra-do esta distancia alejamos la lente hasta encon-trar otra distancia en la que la imagen estuvierabien enfocada, siendo esta la distancia del pun-to conjugado Si2 , obteniendo así D = Si2 − Si1en la ecuación.

En la segunda sesión, procedimos a determi-nar la distancia focal a partir de un objeto en in-finito, y para ello usamos la luz del día y un parde lentes convergentes. Una lente la dejamos fi-ja y la otra la movimos hasta que estuvieran a ladistancia focal correspondiente obteniendo asíuna imagen nítida. Esta parte del experimentofue sólo corroboración de la distancia focal yaobtenida por lo que no se hicieron más medi-ciones.

Lo siguiente hecho ese mismo día, de for-ma cualitativa, fue el obtener la distancia fo-cal de una lente divergente. Esto se llevó acabousando un montaje como cuando obtuvimosla distancia focal de la lente convergente, sóloque aquí colocamos la lente divergente frentea la diapositiva y la lente convergente tras ella;variamos la distancia entre las lentes hasta en-contrar el punto en el que la imagen virtual dela lente negativa era el objeto de la lente positi-va. Un diagrama que representa la esencia de lorealizado se puede ver en la figura 2.

Para la tercera sesión medimos el poder deamplificación de una lente positiva y construirun telescopio con 2 lentes simples. En el caso delpoder de amplificación se uso una lente conver-gente para aumentar una imagen acercando elobjeto hasta que quedó a una distancia menorque la focal. El poder de amplificación está da-do por:

PA =0,25

L(1 +

L − lf

) (4)

Poder de amplificación de una lente[3]

Donde L es la distancia imagen, l es la dis-tancia objeto y f es la distancia focal. Obtenien-do así de nuevo la distancia focal.

Para el telescopio se usó 2 lentes convergen-tes tomando la posición del objeto mucho máslejos que la distancia focal. El poder de aumentoestá dado por:

PAtelescopio =ai

a=

− fobjeto

focular(5)

Ecuación del poder de amplificación[3]

Donde a es el ángulo que subtiende el objetodesde el ojo que lo observa, ai es el ángulo quesubtiende la imagen final vista por el ojo que loobserva, fobjeto es la distancia focal de la lentemás cercana al objeto y focular es la distancia fo-cal de la lente cercana al ojo. Un diagrama de lasituación es la figura 3.

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Figura 2: Sistema de lentes delgadas

Figura 3: Telescopio

3. Resultados

Los tabla de datos obtenidas para la lente so-la son:

Pantalla[cm] Lente[cm] Objeto[cm]

57.9 80 110.557.9 95 114.657.9 110 127.157.9 125 14157.9 140 155.6

Cuadro 1: Distancias de cada material con respecto a la regla del riel

Dado que la diferencia entre la distancia del lente y el objeto y la distancia del lente a la pantalla

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son las distancias objeto e imagen respectivamente tenemos que al sacar las diferencias y usar laecuación de Gauss se obtiene

So[cm] Si[cm] f [cm]

30.5 22.1 12.8219.6 37.1 12.8317.1 52.1 12.8716 67.1 12.92

15.6 82.1 13.11

Cuadro 2: Distancias de cada material con respecto a la regla del riel

µSo =1N

N

∑n=1

Son = 19,76cm (6)

σSo = (1

N − 1

N

∑n=1

(Son − µSo)2)1/2 = 6,02cm (7)

µSi =15

N

∑n=1

Sin = 52,1cm (8)

σSi = (1

N − 1

N

∑n=1

(Sin − µSi)2)1/2 = 23,72cm (9)

Por ello:

So[cm] Si[cm] f [cm]

30.5 ±6,02 22.1 ±23,72 12.8219.6 ±6,02 37.1 ±23,72 12.8317.1 ±6,02 52.1 ±23,72 12.8716 ±6,02 67.1 ±23,72 12.92

15.6 ±6,02 82.1 ±23,72 13.11

Cuadro 3: Distancias de cada material con respecto a la regla del riel

Entonces para obtener la desviación estandar de la distancia focal se tiene que:

(σSo)2(

∂ f∂So

)2 = (36,24cm2)((Si + So)Si − SiSo

(Si + So)2 )2 (10)

7

(σSi)2(

∂ f∂Si

)2 = (562,64cm2)((Si + So)So − SiSo

(Si + So)2 )2 (11)

Y por ello:

σf =

√(36,24cm2)(

(Si + So)Si − SiSo

(Si + So)2 )2 + (562,64cm2)((Si + So)So − SiSo

(Si + So)2 )2 (12)

Por lo que el cuadro 3 quedaría como:

So[cm] Si[cm] (σSo)2( ∂ f

∂So)2 (σSi)

2( ∂ f∂Si

)2 σf f [cm]

30.5 22.1 1.13 63.6 8.05 12.8219.6 37.1 6.64 8.03 3.83 12.8317.1 52.1 11.64 2.1 3.71 12.8716 67.1 15.41 0.77 4.02 12.92

15.6 82.1 25.6 0.37 5.1 13.11

Cuadro 4: Distancias de cada material con respecto a la regla del riel

De lo anterior se obtiene que:

µ f =1N

N

∑n=1

fn = 12,91cm (13)

µσf =1N

N

∑n=1

σfn = 4,94cm (14)

Y con esto obtenemos que la distancia focal obnida en el método de Gauss de la primera sesiónes:

f = 12,91 ± 4,94cm (15)

Para el método de puntos conjugados obtuvimos que:De ello obtenemos que:

µL =1N

N

∑n=1

Ln = 95cm (16)

µD =1N

N

∑n=1

Dn = 63,85cm (17)

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L[cm] Pantalla[cm] Objeto[cm] Primer distancia[cm] Segunda distancia[cm] D[cm]70 10 80 64.3 27.5 3780 10 90 75.5 26.7 42.590 10 100 86.2 26 60.2

100 10 110 96.4 25.4 71110 10 120 106.3 25.5 80.8120 10 130 116.7 25.1 91.6

Cuadro 5: Distancias de cada material con respecto a la regla del riel

σL = (1

N − 1

N

∑n=1

(Ln − µL)2)1/2 = 18,71cm (18)

σD = (1

N − 1

N

∑n=1

(Dn − µD)2)1/2 = 21,44cm (19)

(σL)2(

∂ f∂L

)2 = 350,1(12+

D2

L2 − 14

) (20)

(σD)2(

∂ f∂D

)2 = 459,67(D2L

) (21)

Y con esto se obtiene la tabla:

L[cm] D[cm] (σL)2( ∂ f

∂L )2[cm] (σD)

2( ∂ f∂D )2[cm] σf [cm] f[cm]

70 37 112 121.48 15.28 12.6180 42.5 112.2 122.1 15.31 14.3590 60.2 126.68 153.73 16.75 12.43

100 71 131.65 163.18 17.17 12.4110 80.8 134.75 168.82 17.42 12.66120 91.6 138.52 175.44 17.72 12.52

Cuadro 6: Distancias de cada material con respecto a la regla del riel

De donde obtenemos que:

µ f =1N

N

∑n=1

fn = 12,83cm (22)

Facultad de Ciencias, U.N.A.M., Semestre 2014-1 9

µσf =1N

N

∑n=1

σfn = 16,61cm (23)

Y por lo tanto:

f = 12,83 ± 16,61cm (24)

En la parte del objeto al infinito no se hicieron mediciones, por ello no influyen en esta sección.Lo mismo para cuando intentamos obtener la distancia focal de una lente divergente. Para elpoder de amplificación del telescopio tenemos que con la distancia focal obtenida(en promediode las (15) y (24)) usando la ecuación(5):

L[cm] l f[cm] (σL)2( ∂PA

∂L )2[cm] (σl)2( ∂PA

∂l )2[cm] (σPA)[cm] PA12.8712.8712.8712.8712.8712.87

Cuadro 7: Distancias de cada material con respecto a la regla del riel

4. Conclusiones

De las tablas y los objetivos del experimentose obtuvo que la distancia focal es 13±cm dondelo esperado (de acuerdo a la distancia marca-da en la lente) es 12cm dándonos así un error de1±cm.

Con esto confirmamos las ecuaciones de Gaussy del fabricante de lentes y por ello las deriva-das de estas.Un experimento que podría proceder a este se-ría el de lentes gruesas y sistema de lentes grue-sas, del cual podríamos ver que las lentes del-gadas son un caso especial de las gruesas.

Referencias

[1] Hecht, E. Optics. Adison-Wesley Pub Co. Reading Ma, segunda edición, 1987.

[2] Jenkins, Francias A. Fundamentos de óptica. McGraw Hill Book Company, tercera edición,1964.

[3] Hoja informativa de la práctica hecha por el profesor.