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PRACTICA 3:FILTRADO DE SEALES

PRACTICA 3:FILTRADO DE SEALES

DEPARTAMENTO DE SEALES, SISTEMAS Y RADIOCOMUNICACIONES

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIN

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE MADRID

LABORATORIO DE SEALES Y COMUNICACIONES

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OBJETIVOS DE LA PRCTICA

Revisar la convolucin y su aplicacin a sistemas lineales.

Observar los efectos de filtrado de una seal sobre la seal de salida.

Destacar las analogas y diferencias entre sistemas lineales en tiempo continuo y en tiempo discreto, con especial inters en los filtros.

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Sistemas Discretos Caracterizacin de entrada a salida (E/S) Convolucin discreta Convolucin discreta mediante FFT

Filtros Discretos Caracterizacin de un filtro discreto Representacin en MATLAB Diagrama de polos y ceros Respuesta al impulso y Respuesta en frecuencia Diseo de filtros discretos

Filtros Analgicos Caracterizacin Analogas entre filtros analgicos y filtros discretos. Funcin de transferencia

Introduccin a los ejercicios de la prctica Utilizacin de fdatool Efectos de la simulacin

NDICE

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SISTEMAS DISCRETOS

En un sistema discreto la relacin e/s viene dada por una Convolucin de secuencias:

x(k)k)-h(n=x(n)h(n)= y(n)-=k

Mientras que en un sistema en tiempo continuo la relacin e/s viene dada por una Convolucin en tiempo continuo:

y(t) = h(t)* x(t) = h(t - ) x( )d-

Caracterizacin de sistemas de entrada a salida (e/s)

h(n)y(n)x(n)

h(n)h(n) (n)Respuesta al impulso

Impulso

x(n) * h(n) = y(n) (n) * h(n) = h(n)

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SISTEMAS DISCRETOS

Anlogamente, en los sistemas continuos el dominio transformado es el Dominio de Laplace, y se cumple:

X(z)H(z) = Y(z)

El dominio transformado en los sistemas discretos es el Dominio Z:

Y(s) = H(s) X(s)

Por la propiedad de la convolucin, la relacin e/s se transforma en un producto en el dominio transformado:

Dominio Z

zh(n) = H(z) n--=k

H(z)Y(z)X(z)

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Convolucin discreta

Ejemplo:Sea h(n)= x(n)= 1, 0n3; h(n)= x(n) = 0 (resto) Entonces h(n)*x(n) es de longitud 7 (ver Fig.)

Si h(n) longitud N, x(n) longitud M,

h(n)*x(n) longitud N+M1

Longitud de la convolucin

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Convolucin discreta

Si h(n) 0, N1 nN2 (longitud N2-N1+1)x(n) 0, M1 n M2 (longitud M2-M1+1),

entonces y(n)=h(n)*x(n)0, N1+M1 n N2+M2 (long. N2+M2-N1-M1+1) Efectos de la convolucin:

Alarga la duracin de las seales (desparrama la seal) Seal resultante ms suave (ms lisa, ms filtrada) Convoluciones reiteradas: seal gaussiana

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Convolucin discreta mediante FFT

Si h(n) tiene slo N valores no nulos (longitud N) se define su DFT como:

1-N0,1,...,=k ; eh(n) = H(z)kH Nkn2j-

1-N

0=nk

ez Nj

= =

2)(~

que tambin sern N valores, pero en el dominio transformado.

Su inversa es (reconstruccin de h(n) a partir de los N valores de la DFT):

1-N0,1,...,=n ; e(k)H N1 = h(n) N

kn2j1-N

=0k

~

1~ N0,1,...,=k ;] h(n) FFT[ = (k)H

1-N0,1,...,=n ;] (k)H [FFT = h(n) -1~

El Algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) es simplemente un algoritmo gil para el clculo de la DFT de una secuencia. Simblicamente:

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Convolucin discreta mediante FFT

Puede obtenerse la salida de un sistema mediante FFTs:

1-N0,1,...,=k ; (k)X(k)H=(k)Y ~~~ 1-N0,1,...,=n ];FFT[x(n)] FFT[h(n)] [FFT=y(n) -1

pero hay que tener en cuenta que esta ltima expresin realiza una Convolucin Circular, que slo coincide con la Convolucin lineal si no se producen solapamientos.Es decir, para que el resultado sea correcto todos los vectores que entran en las operaciones (h(n), x(n), y(n)) han de tener la misma longitud.

Mtodo a seguir: A partir de las longitudes de h(n) y x(n), calcular el tamao de su

convolucin lineal (Ny) Rellenar con ceros hasta que long[h(n)] =long[x(n)] = Ny Realizar la convolucin mediante FFT

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FILTROS DISCRETOS

eh(n)H(z)eH nj--=k

ezj

j

=

== )(

|H(ej)| arg{H(ej)}Respuesta en amplitud Respuesta en fase

Un filtro queda caracterizado por su respuesta en frecuencia, que tiene un significado fsico. Obtencin a partir de la transformada Z:

[ ])eargH(dd-=)( j

Retardo de grupo:

Nomenclatura: |H(ej)| |H()| La variable es la pulsacin y su margen de valores distintos es de 0 a ,

debido a que un sistema discreto est asociado a la existencia de un muestreo.

Caracterizacin de un filtro discreto

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Caracterizacin de un filtro discreto

Respuesta en amplitud: indica qu componentes de frecuencia son atenuadas por el filtro

A partir de |H(ej)| puede estimarse el diagrama de polos y ceros del filtro, y viceversa

Respuesta de fase: indica el desfase que sufren las distintas componentes de frecuencia cuando atraviesan el filtro

En los ceros de la respuesta en frecuencia cambia bruscamente (saltos de fase de 180 )

Los filtros que tienen una respuesta de fase lineal, no producen distorsin sobre la seal de entrada

Retardo de grupo: indica el retardo (en muestras o unidades de tiempo) que sufren las distintas componentes de frecuencia cuando atraviesan el filtro

Un retardo de grupo no constante, produce una distorsin sobre las seales Ejemplo: cadena de filtros paso-todo

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Representacin en MATLAB En el paso de continuo a discreto la frecuencia mxima de la

seal muestreada es la mitad de la frecuencia de muestreo: pulsacin de muestreo: s /2 ==== frecuencia de muestreo: fs /2 frecuencia normalizada: f=1

Retardo de grupo:

k() = - d(arg{H(ej)})/d

|H(ej)|

arg{H(ej)}

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LSCM-313

Diagrama de polos-ceros: Estabilidad

Supuesto filtro causal, es decir, h(n)=0, n la respuesta al impulso decrece lentamente y la respuesta

al escaln tambin va llegando lentamente a su mximo.

Con sistemas de orden superior (mayor nmero de polos), el tiempo que tarda en decrecer la respuesta al impulso depende de la posicin de los mismos, teniendo mayor influencia los ms cercanos a |z|=1

Los sistemas de orden superior pueden descomponerse en sistemas de orden 1 o 2.

( ) azaz

zaz

zH >

=

= ,11

1

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v2v1

1

a Re

Im

Influencia de los polos en la Respuesta al impulso Polo prximo a |z|=1 (|a|1) => Transitorio largo Polo lejos de |z|=1 (prximo a |z|=0) => Transitorio corto

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1h [n ]

a = 0 .7 5

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 00

1

2

3

4s [n ]

n

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 00

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1h [n ]

a = 0 .5

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 00

0 .5

1

1 .5

2s [n ]

n

[ ] [ ]

[ ] [ ]nua

ans

nuanhn

n

=

=+

11 1

Respuesta al impulso:

Respuesta al escaln:

filtro paso bajo de orden 1

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Influencia de los polos en la Respuesta en frecuencia

( ) ( )aev

veH

aee

aeeH

jj

j

j

jj

==

=

=

1

11

2

1

v2v1

1

a Re

Im

0 0.5 1 1 .5 2 2 .5 3-2 0

-1 8

-1 6

-1 4

-1 2

-1 0

-8

-6

-4

-2

0

dB

2 0 lo g 1 0 (a b s (H( )))

a = 0 .05a = 0 .75a = 0 .5

|a | d is m inu y e

Polo prximo a |z|=1 (|a|1) => Respuesta en frecuencia abrupta Polo lejos de |z|=1 (prximo a |z|=0) => Respuesta en frecuencia suave

filtro paso bajo de orden 1

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Diseo de filtros discretos

El dato es la mscara de transferencia para el mdulo de la respuesta en frecuencia |H(ej)|

Respuesta frecuencial de filtro discreto paso bajo

Por lo dicho anteriormente, filtros con mscaras muy abruptas rdenes elevados y polos prximosz=1 gran duracin del transitorio

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Diseo de filtros discretos

La respuesta en frecuencia tambin puede representarse mediante la Funcin de Atenuacin (inversa de la ganancia)

|)eH(| 20- = |)eH(|1 20 = )( j

j

loglog

c = atenuacin mxima en la banda de paso rizado(valor tpico: c= 0.5 dB).

a = atenuacin mnima en la banda atenuada(valor tpico: a = 60 dB).

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Filtro paso-bajo ideal

-c c -

H(ej)

c

c

[ ]

= nnh cc

sinc

( )

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LSCM-321

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re al P art

Imaginary Part

Filtro de Butterworth

4

Diagramas de polos-ceros

Butterworth

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real P art

Imaginary Part

Filtro e lptico

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real P art

Imaginary Part

Filtro de Chebychef

4

Diseo de filtros discretosFiltros de Butterworth, Chebychef y Elptico.

Elptico

Chebychevdirecto

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Am

plitu

d: 2

0*lo

g 10(

abs(

H))

buttercheby1ellip

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-4

-3

-2

-1

0

1

2

Amplitud: 20*log 1

0(abs(H))

butte rcheby1ellip

Datos de ejemplo:wn=0.2, paso=1.5 dB, aten=40 dBOrden: 4

Diseo de filtros discretosFiltros de Butterworth, Chebychef y Elptico.Mdulo de la Respuesta en Frecuencia

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LSCM-323

Diseo de filtros discretosFiltros de Butterworth, Chebychef y Elptico.Comparacin de caractersticas

Regularidad del retardo de grupo

En banda atenuadaNo tieneNo tieneCeros de transmisin

Orden para selectividad determinada

Deformaciones en rgimen transitorio

En ambas bandas

En banda de paso (tipo 1)No

Rizado de amplitud en las bandas

Baja

Media

Alta

Anchura de la banda de transicin para un orden dado

ElpticoChebychefButterworth

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FILTROS ANALGICOS

Caracterizacin Sistema analgico Convolucin en tiempo continuo

Funcin de red (plano s):

Comportamiento en frecuencia: s=jw (eje imaginario), 0

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LSCM-325

FILTROS ANALGICOS

Analogas entre filtros analgicos y discretos

v2v1

1

aRe

Ims=j

v1v2

Rea

FILTRO DISCRETO FILTRO ANALGICO

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Filtros analgicos: Funcin de Transferencia

Ejemplo: |H(s)| a partir del diagrama de polos y ceros

Filtro elptico paso bajo de orden 4

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LSCM-327

Filtros analgicos: Funcin de Transferencia (II)

LSCM-328

Filtros analgicos: Funcin de Transferencia (III)

jsH(s)jH ==)(

Deduccin del Mdulo de la Funcin de transferencia a partir de |H(s)|

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LSCM-329

Propiedades reconocibles examinando las posiciones de los polos en los filtros paso bajo

A mayor orden, mayor nmero de polos, y por tanto banda de transisin con cada ms abrupta.

La proximidad de los polos al eje jw hace dismunir la velocidad con que se atena la respuesta al impulso (tarda mucho tiempo en atenuarse, es decir, el transitorio del filtro es largo en el tiempo).

La proximidad de los polos al eje real hace dismunir la frecuencia de la oscilacin de la respuesta al impulso (oscilacin lenta).

EXPLICACIN:Si se desarrolla H(s) en torno a los polos: H(s) = A1/(s-s1) +A2(s-s2)+ A3/(s-s3)+...

Como

resulta: h(t) = [A1exp(s1t)+ A2exp(s2t)+ A3exp(s3t)+ ...]u(t)

F (s + ) e f(t)

L- t

1 K

s K u ( t )

L - 1

Influencia de la posicin de los polos

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Influencia de la posicin de los polos

))](Im[)](cos(Im[]Re[)]Im[](Re[

tsjsentseee

iits

tsjtsts

i

iii

+=

== +

Cada polo si influye en con su parte real e imaginaria en la rpidez con queoscila y con la que se atena la respuesta al impulso:

Trmino que se anula en la expresin de h(t) por que los polos de H(s) aparecen por pares conjugados

La parte real del polo es negativa para un filtro estable, por eso la exponencial atena

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LSCM-331

Ejercicio 3.1: p31a, p31b. Convolucin de seales- Convolucin lineal y mediante FFT- Convoluciones reiteradas de pulso con vector rectangular- Funciones de Matlab: conv, fft, ifft; whitebg

Ejercicio 3.2: p32. Resp. en frecuencia de filtros discretos- Entrada: datos del filtro (n, wc , c , a)- Resultados: estabilidad, diagrama polos-zero, rizado, ...- Funciones de Matlab: abs, arg, grpdelay, zplane, freqz- Diseo de filtros: butter, cheby1, cheby2, ellip- Herramienta de Matlab: fdatool- Signal Processing (y Filter Design) Toolbox (filtros, transformadas, enventanado, ...)

EJERCICIOS (I)

LSCM-332

Interfazgrficade

fdatool

EJERCICIOS (II)

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LSCM-333

Limitaciones:- Intervalo temporal finito: ventana de observacin. Debe ser mayor que el transitorio del filtro.- Ruido de clculo.

N longitud de h(n)>

EJERCICIOS (III)Ejercicio 3.3: p33.p. Respuesta de un filtro a diferentes entradas- Datos del filtro: n, c , a ; wc depender de la seal de entrada- Resultados: seal filtrada, estudio espectros- Funciones de Matlab: filter, freqz, fftshift

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Ejercicio 3.4: p34. Resp. en frecuencia de filtros analgicos- Entrada: datos del filtro (n, wc , c , a)- Resultados: estabilidad, diagrama polos-zero, rizado, respuesta

al impulso, ...- Funciones de Matlab: zplane, freqs, impulse

EJERCICIOS (IV)