Pr0bl3m45 y Cu35t10n35 d3 4lg3bra

PROBLEMAS Y CUESTIONES DE

LGEBRA LINEALY

CLCULO INFINITESIMAL

2

(RESOLUCIN DE EXMENES DESDE 1999 HASTA 2006)

ANTONIO PREZ CARRI FERNANDO GARCA ALONSO

JOS ANTONIO REYES PERALES

Profesores Titularesde la

Escuela Politcnica Superior de la

Universidad de Alicante

3UREOHPDV\FXHVWLRQHVGHiOJHEUDOLQHDO\FiOFXORLQQLWHVLPDO

Antonio Prez Carri Fernando Luis Garca Alonso Jos Antonio Reyes Perales

ISBN: 9788499481296

HERRNY

,6%1HGLFLyQHQSDSHO

(GLWD(GLWRULDO&OXE8QLYHUVLWDULR7HOI&&RWWROHQJR6DQ9LFHQWH$OLFDQWHZZZHFXIP

0DTXHWD\GLVHxR*DPPD7HOI&&RWWROHQJR6DQ9LFHQWH$OLFDQWHZZZJDPPDIPJDPPD#JDPPDIP

5HVHUYDGRVWRGRVORVGHUHFKRV1LODWRWDOLGDGQLSDUWHGHHVWHOLEURSXHGHUHSURGXFLUVHRWUDQVPLWLUVHSRUQLQJ~QSURFHGLPLHQWRHOHFWUyQLFR R PHFiQLFR LQFOX\HQGR IRWRFRSLD JUDEDFLyQ PDJQpWLFD R FXDOTXLHU DOPDFHQDPLHQWR GH LQIRUPDFLyQ R VLVWH PD GHUHSURGXFFLyQVLQSHUPLVRSUHYLR\SRUHVFULWRGHORVWLWXODUHVGHO&RS\ULJKW

A nuestros padres

vPrlogo

El objetivo de este libro es el de ser un complemento de la obra Ampliacin de Fundamentos de Matemtica Aplicada, ofreciendo una nueva coleccin de problemas resueltos que fueron propuestos en exmenes de distintas convocatorias, los cuales permiten profundizar en los conocimientos ya adquiridos e incluso autoevaluar destrezas. Adems, las cuestiones tericas, que tambin aparecen resueltas, inciden en la mejora del grado de comprensin de la teora de los distintos temas e inducen al planteamiento de un estudio ms crtico de la misma.

Por otro lado, se pretende no slo proporcionar una gua del nivel de conocimientos que se exige en los exmenes sino tambin modelos de cmo exponer y desarrollar con claridad, precisin y rigor las cuestiones tericas y los problemas, todo esto con la comodidad que supone la recopilacin de los ejercicios, tanto tericos como prcticos, de distintas convocatorias en un solo volumen.

Dada la variedad de problemas y cuestiones tericas que se resuelven en la presente obra, sta constituye una valiosa y prctica recopilacin, utilizable en cualquier disciplina afn impartida en las titulaciones de Escuelas Tcnicas o Facultades de Ciencias.

La estructura de captulos ha sido desarrollada por aos y no por cursos debido a que, en cada uno de estos ltimos, los contenidos de los programas se utilizan en las convocatorias del ao natural. Esta distribucin facilita en gran manera la identificacin de los modelos de exmenes y la localizacin de la tipologa de los mismos con el fin de poder acceder rpidamente a aquellas cuestiones o problemas especficos segn el ao en que fueron propuestos. El libro contiene la resolucin de problemas, cuestiones y test propuestos en los exmenes de la Titulacin de Arquitectura Tcnica de la Escuela Politcnica Superior de la Universidad de Alicante, durante los aos 1999 a 2006 inclusive.

vi

Tanto en las cuestiones tericas como en los problemas se ha marcado la separacin entre la parte de lgebra y la de clculo, respetando el orden de aparicin en los exmenes, cuyos modelos aparecen con el formato original para que se opte entre la autoevaluacin , el anlisis o la profundizacin segn las necesidades . Al final del libro aparece un cuadro descriptivo de las convocatorias con las respectivas modalidades de examen, valoraciones de las cuestiones y de los problemas, peso respectivo en la nota final, opciones en la entrega, y ubicacin en el libro.

Finalmente, los autores quieren expresar su agradecimiento a los profesores: Juan Francisco Navarro Llinares, Alberto Escapa Garca y Mara Salud Berbegal Rico, por su valiosa colaboracin en la elaboracin de los exmenes que aparecen resueltos en esta obra.

Los autores

vii

ndice

Ao 1999 .......................................................................................................................... 1

Convocatoria de febrero - Examen parcial (lgebra lineal y geometra).................... 3 Convocatoria de junio - Examen parcial (clculo en varias variables) .....................21 Convocatoria de junio - Examen final.......................................................................31

lgebra lineal y geometra ..................................................................................34 Clculo en varias variables .................................................................................43

Convocatoria de septiembre ......................................................................................51lgebra lineal y geometra ..................................................................................52 Clculo en varias variables .................................................................................57

Convocatoria de diciembre........................................................................................61 lgebra lineal y geometra ..................................................................................62 Clculo en varias variables .................................................................................68

Ao 2000 .........................................................................................................................73

Convocatoria de febrero - Examen parcial (lgebra lineal y geometra)...................75 Convocatoria de junio - Examen parcial (clculo en varias variables) .....................87 Convocatoria de junio - Examen final.......................................................................95

lgebra lineal y geometra .................................................................................96 Clculo en varias variables .............................................................................. 104

Convocatoria de septiembre ................................................................................... 109lgebra lineal y geometra ............................................................................... 110 Clculo en varias variables .............................................................................. 116

Convocatoria de diciembre..................................................................................... 121 lgebra lineal y geometra ............................................................................... 122 Clculo en varias variables .............................................................................. 126

viii

Ao 2001 ...................................................................................................................... 131

Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 133 Parte I: lgebra lineal...................................................................................... 135

Teora.................................................................................................... 135 Prctica ................................................................................................. 135

Parte II: Clculo en varias variables ............................................................... 145 Teora.................................................................................................... 145

Prctica ................................................................................................. 147 Convocatoria de junio - Examen extraordinario..................................................... 151

Parte I: lgebra lineal...................................................................................... 152 Teora.................................................................................................... 152 Prctica ................................................................................................. 153

Parte II: Clculo en varias variables ............................................................... 158 Teora.................................................................................................... 158

Prctica ................................................................................................. 159 Convocatoria de septiembre ................................................................................... 161 Teora (cuestiones) ........................................................................................... 162

lgebra lineal ....................................................................................... 162 Clculo en varias variables .................................................................. 163

Prctica (problemas) ......................................................................................... 163 lgebra lineal ....................................................................................... 163 Clculo en varias variables .................................................................. 168

Convocatoria de diciembre..................................................................................... 171 Teora (cuestiones) ........................................................................................... 172

lgebra lineal ....................................................................................... 172 Clculo en varias variables .................................................................. 172

Prctica (problemas) ......................................................................................... 174 lgebra lineal ....................................................................................... 174

Clculo en varias variables .................................................................. 179

Ao 2002 ...................................................................................................................... 183

Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 185 Teora (cuestiones tipo test)-Modelo de examen.............................................. 185

lgebra lineal-Respuestas .................................................................... 187 Clculo en varias variables-Respuestas............................................... 194

Prctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 201 lgebra lineal-Soluciones .................................................................... 202

Clculo en varias variables-Soluciones ............................................... 207 Convocatoria de septiembre .................................................................................. 211 Teora (cuestiones tipo test)-Modelo de examen.............................................. 211



Clculo en varias variables-Soluciones ............................................... 235

ix

Convocatoria de diciembre .................................................................................... 239 Teora (cuestiones tipo test)-Modelo de examen.............................................. 239




Ao 2003 ...................................................................................................................... 259

Convocatoria de junio - Examen final.................................................................... 261 Teora (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 261



Clculo en varias variables-Soluciones ............................................... 278 Convocatoria de junio - Examen extraordinario..................................................... 283 Teora (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 283



Clculo en varias variables-Soluciones ............................................... 300 Convocatoria de septiembre ................................................................................... 305 Teora (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 305



Clculo en varias variables-Soluciones ............................................... 319 Convocatoria de diciembre..................................................................................... 325 Teora (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 325




Ao 2004 ...................................................................................................................... 347



x Prctica (problemas)-Modelo de examen ......................................................... 359 lgebra lineal-Soluciones .................................................................... 360

Clculo en varias variables-Soluciones ............................................... 365 Convocatoria de junio - Examen extraordinario..................................................... 371 Teora (cuestiones)-Modelo de examen ........................................................... 371










Ao 2005 ...................................................................................................................... 433











xi

Ao 2006 ...................................................................................................................... 497











Bibliografa.................................................................................................................. 563Cuadro de informacin .............................................................................................. 565

Ao 1999

Convocatoria de febrero -Examen parcial

3

AMPLIACIN DE FUNDAMENTOS MATEMTICOS PARA LAS CONSTRUCCIONES ARQUITECTNICAS

ARQUITECTURA TCNICA PRIMER EXAMEN PARCIAL (01 02 1999)

1.- Sean las matrices:

1 1 3

5 2 6

2 1 3

A

y B A I .

a) Halle ,nB n` .b) Calcule 1B utilizando el mtodo que considere oportuno.

2.- Discuta la regularidad de la matriz

1 1

1 2 1

1 1 0

x

M x

x

segn los valores reales de x.

3.- En el espacio vectorial 3 se consideran los siguientes conjuntos:

31 , ,U x y z ^ `0x y z y 32 , 2 ,3U t t t ^ `t

Se pide que:

a) Pruebe que son subespacios vectoriales de 3 .b) Halle una base de 1 2U U y de 1 2U Uc) Obtenga unas ecuaciones implcitas de 1 2U U y de 1 2U U .d) Cualquier vector de 3 se puede expresar de forma nica como suma

de un vector de 1U y otro de 2U ?

4.- Estudie, segn los valores reales de m, la posicin relativa de los planos:

1 2 32 1 ; 2;x y mz m x my z m mx y z mS S S{ { {

Si para algn valor de m, la interseccin de los tres planos es una recta, halle la ecuacin de sta en forma continua.

Ao 1999

4

5.- En el espacio vectorial 3 definimos el producto:

1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3, , , , 4 2 2 2 2x x x y y y x y x y x y x y x y x y x x D

Se pide que:

a) Compruebe que se trata de un producto escalar. b) Obtenga la matriz de Gram respecto de la base ^ `1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1B .c) Halle una base ortonormal a partir de la base anterior. d) Calcule la proyeccin ortogonal del vector 1,3, 2 sobre el subespacio

1,1,0 , 2,1,3H

6.- Resuelva los siguientes apartados:

a) Dado el plano 4 3 2 0x y zS { , halle la recta de mxima pendiente, respecto del plano XOY, que pasa por el punto P, punto de corte de S con la recta r, siendo:

0

0

xr

y

{

b) Determine la ecuacin del plano que pasa por la recta r anterior y que dista una unidad del punto 3, 2,1Q .

c) Si el plano S contiene 4 vrtices de un cubo de forma que stos no pertenezcan a una misma cara y el punto Q es otro de los vrtices, calcule el volumen del cubo y el vrtice 'Q , opuesto a Q, que se halla en la misma cara pero en distinto semiespacio que Q respecto al plano S .

NOTA: El/la alumno/a deber resolver 5 de los 6 ejercicios. Cada ejercicio se efectuar en un folio o grupo de folios, sin mezclar dos ejercicios en un mismo folio. El D.N.I. del/la alumno/a estar sobre la mesa en un lugar visible. Los folios se acumularn unos encima de otros conforme se vayan utilizando, de manera que no se queden dispersos por la mesa.


5

1. Sea

1 1 3A = 5 2 6

-2 -1 -3 y B = A+I. Halla `nB n . Calcula -1B , utilizando el

mtodo que consideres oportuno.

SOLUCIN:

Empezaremos estudiando las potencias de A:

2

1 1 3 1 1 3 0 0 0

5 2 6 5 2 6 3 3 9

2 1 3 2 1 3 1 1 3

A A A

3 2

0 0 0 1 1 3 0 0 0

3 3 9 5 2 6 0 0 0

1 1 3 2 1 3 0 0 0

A A A

Luego la matriz A es nilpotente de orden 3

A continuacin calculamos las potencias de B mediante el desarrollo del binomio de Newton, es decir:

1 2 2 2( 1)0 1 2 2

nn n n nn n n n nB A I I I A I A I nA A

pues (matriz nula) para 3kA O k t . Y sustituyendo las distintas potencias resulta:

2 2 2

2 2 2

1 3

3 7 3 2 3 9

2 2 23 3 3 2

2 2 2

n

n n n

n n n n n nB

n n n n n n

Para hallar la matriz inversa de la matriz regular B, se puede proceder de varias formas:

a) Mediante la expresin conocida :

1 1 ( ) tB Adj AB

Ao 1999

6

b) A travs de operaciones elementales sobre las filas de Bc) Usando la nilpotencia de A.

Utilizaremos el ltimo mtodo:

Puesto que A B I y 3A O resulta que 3B I O con lo que si desarrollamos dicha potencia obtenemos la siguiente expresin:

3 23 3B B B I O

Se pasa la matriz identidad al segundo miembro de la igualdad y descomponemos en factores el primer miembro:

2 3 3B B B I I

De donde claramente se llega a que:

1 2 2 23 3 2 (3 3 ) 3B B B I A A I A I I A A I

1 2

0 0 0 1 1 3 1 0 0 0 1 3

3 3 9 5 2 6 0 1 0 2 2 3

1 1 3 2 1 3 0 0 1 1 0 1

B A A I

|||||||

2. Discute la regularidad de la matriz M segn los valores reales de x, siendo :

x 1 -1M = x - 1 2 1

x + 1 -1 0

SOLUCIN:

Dado que M es regular si su determinante es distinto de cero, debemos estudiar las soluciones de la ecuacin det(M) = 0 .

1 1

1 2 1 0 3 1 1 0

1 1 0

x

x x x x

x

o

(1)


7

Dado que si 0

si 0

x xx

x x

t

resulta que la ecuacin 1 se transforma segn el intervalo

en que sea estudiada, con lo que:

Si2

1 3( 1) ( 1) ( ) 0 5 2 05

x x x x x x o o o (absurdo)

Si 1 0 3( 1) ( 1) ( ) 0 4 0 4x x x x x x d o o o (absurdo)

Si4

0 1 3( 1) ( 1) ( ) 0 3 4 03

x x x x x xd o o o (absurdo)

Si2

0 1 3( 1) ( 1) ( ) 0 5 2 05

x x x x x xd o o o (absurdo)

Por lo tanto la matriz M es regular para todo valor real de x ya que ningn valor real es solucin de la ecuacin 1.

Nota: Si estudiamos la funcin asociada al primer miembro de la ecuacin 1:

d d d

-5x - 2 x < -1x + 4 - 1 x < 0

f(x) = 3 x + 1 + x - 1 + x =3x + 4 0 x < 15x + 2 1 x

Y la representamos grficamente

Observamos que no corta al eje de abscisas lo que corrobora el anlisis realizado.

|||||||

Ao 1999

8

3. En el espacio vectorial ( )\ \3 , se consideran los siguientes conjuntos:

( )

( )

31

32

U = {(x, y,z) : x + y + z = 0} ,U = {(t,2t,3t) :t }

Se pide: a) Pruebe que son subespacios vectoriales de ( )\ \3 .b) Halle una base de 1 2U U y de 1 2U U . c) Obtenga las ecuaciones implcitas de los s.e.v. del apartado anterior.. d) Cualquier vector de ( )\ \3 puede expresarse de forma nica como suma de

un vector de 1U y otro de 2U ?

SOLUCIN:

a) Vamos a utilizar el teorema de caracterizacin de subespacios vectoriales, es decir dado el espacio vectorial U sobre el cuerpo ( y H un subconjunto de ste , con

H U z , resulta que:

H es subespacio vectorial de U u v H u v HO P O P G G G G

(

que se puede expresar de la siguiente forma:

H es subespacio vectorial de U u v H u v H

u H u HO O

G G G G

G G(

Pasemos pues a estudiar los distintos casos:

^ ` 31 ( , , ) / 0 ( )U x y z x y z \ \ , adems 1U z pues 1(0,0,0) U

Sean 1 1 1( , , )u x y zG

y 2 2 2( , , )v x y zG

elementos de 1U1 1 1

2 2 2

0(1)

0

x y z

x y z

i) Veamos que u v G G

1U

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 (1)

( , , ) ( , , ) ( , , );

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0

u v x y z x y z x x y y z z

x x y y z z x y z x y z

G G

por lo que:

1u v U G G


9

ii) Comprobemos que uO G

1U con O \

En efecto,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1)( , , ) ( , , ) ( ) 0 0u x y z x y z x y z x y z u UO O O O O O O O O O O o o

G G

Luego 1U s es subespacio vectorial de 3( )\ \ .

El conjunto 2U es claramente:

^ ` ^ ` , 2 ,3 / 1,2,3 / 1,2,3t t t t t t

Que es el conjunto de todas las combinaciones lineales del vector (1,2,3), es decir, un subespacio vectorial de 3( )\ \ .

b) Para determinar los subespacios suma e interseccin, previamente, hallaremos los sistemas mnimos generadores de stos por separado.

^ ` ^ ` ^ `1 ( , , ) / 0 ( , , ) / ( , , ) / ,U x y z x y z x y z x y z y z y z y z ^ `1 ( 1,1,0) ( 1,0,1) / , ( 1,1,0), ( 1,0,1)U y z y z

Y

2 1, 2,3U como hemos visto en el anterior apartado.

Una base de 1U es ^ `1 ( 1,1,0), ( 1,0,1)B y una base de 2U es ^ `2 1, 2,3B Para determinar el subespacio suma 1 2U U basta hallar un sistema mnimo de generadores a partir del sistema ^ `1 2 ( 1,1,0), ( 1,0,1), (1, 2,3)B B . Puesto que es libre coincide con el sistema mnimo buscado y es base de 1 2U U , por lo que

31 2U U

Adems, dado que ^ `31 20

( , , ) / 2 0 (0,0,0)

3 0

x y z

U U x y z y x

z x

, la inter-

seccin de 1U y 2U no tiene base.

c) Como consecuencia de los resultados precedentes 1 2U U no tiene ecuaciones implcitas mientras que las ecuaciones implcitas de 1 2U U son:

Ao 1999

10

0

0

0

0

x

y

z

t

Es claro, por tanto, que 1U y 2U son subespacios suplementarios respecto de 3( )\ \ .

d) Puesto que 1U y 2U son subespacios suplementarios 31 2 ( )U U \ \ cada vector de 1 2U U , es decir, cada vector de

3 ( )\ \ se puede expresar de forma nica (vase la definicin de suma directa) como suma de vectores de los subespacios sumandos. Lo que responde a este ltimo apartado.

|||||||

4. Estudie la posicin relativa de los planos:

{ { {1 2 3 x + y + mz = -2(m+ 1); x + my + z = m+ 2; mx + y + z = m

segn los valores reales del parmetro m. Si, para algn valor de m, la interseccin de los tres planos es una recta, halle la ecuacin de sta en forma continua.

SOLUCIN:

Estudiaremos el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas y sus soluciones segn los valores de m .

Procederemos mediante el mtodo de Gauss:

2 2

2 2

1 1 2( 1) 1 1 2( 1)

1 1 2 0 1 1 3 4

1 1 0 1 1 2 3

1 1 2( 1)

0 1 1 3 4

0 0 2 2 6 4

m m m m

m m m m m

m m m m m m

m m

m m m

m m m m

Puesto que 22 (1 )( 2)m m m m estudiamos los siguientes casos:

Caso 1: 1m La ecuacin 3 en el sistema de Gauss (el ltimo equivalente al primero) se convierte en 0 12 , lo que resulta absurdo, por lo que el sistema es incompatible y los tres planos no tienen ningn punto en comn, tratndose de tres planos paralelos:


11

1

2

3

4

3

1

x y z

x y z

x y z

SSS

{ { {

Caso 2: 1m z

Caso 2.1: 2m o La ecuacin 3 es redundante ( 0 0 ), y no se produce ninguna incompatibilidad en la 1 y 2, con lo que estamos ante un sistema compatible indeterminado simple. De esta forma los tres planos tienen infinitos puntos en comn contenidos en una recta.

El sistema equivalente obtenido es el siguiente:

3 4 32 2 3 3 6 6 3 4 3

3 2 33 3 2 0 3 2 3 3 2 3

3 0 3

x zx y z x y z x z

y zy z x y z y z

z z

{ { {

Tomando z como parmetro.

Una ecuacin de la recta, en forma continua, puede ser la siguiente:

4 203 3

1 1 1

x y z

Caso 2.2: 2m z o Este caso nos permite obtener tres ecuaciones independientes con tres incgnitas, o sea , un sistema compatible determinado cuya nica solucin es el vrtice del triedro que forman los tres planos para cada valor de

1m z y 2m z

Nota: En otro ejercicio de caractersticas similares se utilizar el teorema de Rouch.

|||||||

5. En el espacio vectorial 3 ( )\ \ definimos el siguiente producto:

D1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3x ,x ,x y , y , y = 4x y - 2x y - 2x y + 2x y + x y + x y + 2x y

a) Compruebe que se trata de un producto escalar.b) Obtenga la matriz de Gram respecto de la base ^ `B = (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) .c) Halle una base ortonormal a partir de B.d) Calcule la proyeccin ortogonal del vector (-1,3,2) sobre el SEV

H = (-1,1,0),(2,1,3) .

Ao 1999

12

SOLUCIN:

a) Si queremos probar este apartado en los mismos trminos que en la definicin de producto escalar que aparece en la bibliografa de los autores, consideramos la expresin del producto anterior mediante la aplicacin:

3 3:M u o

Tal que:

1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3( , , ), ( , , ) 4 2 2 2 2x x x y y y x y x y x y x y x y x y x yM

Para determinar si la aplicacin M es un producto escalar debemos comprobar si se cumple 3, ( ) ,u v w y D E

G G JG\ \ \ que:

1. M es simtrica ( ) ( )u v v uM M G G G G 3( )u v G G \ \2. M es bilineal ( ) ( ) ( ),u v w u w v wM D E DM EM G G JG G JG G JG

3. M es definida positiva ( ) 0u uM !G G 0u zG G

a) Veamos pues si se verifican las condiciones anteriores 3, ( ) ,u v w y D E G G JG

\ \ \

Simetra:

1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3( ) ( , , ), ( , , ) 4 2 2 2 2u v x x x y y y x y x y x y x y x y x y x yM M G G

1 1 3 1 1 3 2 2 3 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 34 2 2 2 2 ( )y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x v uM M G G

Bilinealidad:

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3

( ),u v w x x x y y y z z zx y x y x y z z z

M D E M D E

M D E D E D E

G G JG

1 1 1 1 1 3 3 3 1

2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3

4 2 2

2 2

x y z x y z x y z

x y z x y z x y z x y z

D E D E D ED E D E D E D E

1 1 1 1 1 3 1 3 3 1 3 1

2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3

4 4 2 2 2 2

2 2 2 2

x z y z x z y z x z y z

x z y z x z y z x z y z x z y z

D E D E D ED E D E D E D E

1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3

1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3

4 2 2 2 2

4 2 2 2 2

x z x z x z x z x z x z x z

y z y z y z y z y z y z y z

D D D D D D DE E E E E E E

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( )x x x z z z y y y z z z u w v wDM EM DM EM G JG G JG


13

Definida positiva:

Para probar esta condicin se utilizan habitualmente dos pasos. 1 Dado un vector 3( ) u

G\ \ se prueba que ( ) 0u uM t

G G ( es decir , que M es no

negativa)

1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3( ) ( , , ), ( , , ) 4 2 2 2 2u u x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xM M G G

2 2 2 2 2 2 2 21 3 2 3 1 3 2 31 2 3 1 3 2 2 34 4 2 2 2 4 24x x x x x x x xx x x x x x x x

2 2 21 3 2 2 3 02x x x x x t (por ser suma de cuadrados) 2 ( ) 0 0u u uM

G G G G

Resulta evidente

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3

1 3

2 1 2 3

2 3

( ) 0 0 02

2 0

0 (0 0 0)

0

u u x x x x x x x x x x x

x x

x x x x

x x

M M o o o

o

G G

De 1 y 2 se sigue que ( ) 0 0u u uM ! zG G G G

Luego M es un producto escalar y en consecuencia el producto definido dota al espacio vectorial 3 ( )\ \ de estructura de espacio vectorial eucldeo.

b) En general en un espacio vectorial eucldeo ( ),n\ \ D si calculamos el elemento ) )

(0,...,1,...0) (0,..., 1,...0)i j

ijg D , de la matriz de Gram en la base cannica, coincidir con el coeficiente del trmino i jx y . Por lo tanto la matriz de Gram de dicho producto

escalar respecto de dicha base est formada por los respectivos coeficientes de los trminos que lo definen. Puesto que 1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 2 3 34 2 2 2 2x x x y y y x y x y x y x y x y x y x y D , los ijg son los coeficientes de los trminos i jx y , por lo que

4 0 2

0 2 1

2 1 2CG

Lgicamente dado que los trminos 2 1x y y 1 2x y no aparecen en la expresin del

producto escalar , sus coeficientes son nulos.

Para hallar la matriz de Gram en otra base distinta a la hallada anteriormente podemos proceder de dos formas:

Ao 1999

14

Forma 1: Usando la definicin del producto escalar

La nueva base es ^ `1 2 3 (1 0 0) (1 1 0) (1 1 1)B u u u JG JJG JJG

, entonces:

11 1 1

12 1 2

13 1 3

22 2 2

23 2 3

(1 0 0) (1 0 0) 4 0 0 0 0 0 0 4

(1 0 0) (1 1 0) 4 0 0 0 0 0 0 4

(1 0 0) (1 1 1) 4 2 0 0 0 0 0 2

(1 1 0) (1 1 0) 4 0 0 2 0 0 0 6

b u u

b u u

b u u

b u u

b u u

JG JGD DJG JJGD DJG JJGD DJJG JJGD DJJG JJGD

33 3 3

4 4 2

4 6 5

2 5 6(1 1 0) (1 1 1) 4 2 0 2 1 0 0 5

(1 1 1) (1 1 1) 4 2 2 2 1 1 2 6

BG

b u u

o

DJJG JJGD D

Forma 2: Mediante la congruencia de matrices de Gram de un mismo p.e. respecto de distintas bases.

Si P es la matriz de cambio de base de B a la cannica C , entonces :

tB CG P G P

Resulta claro que

1 1 1 1 0 0 4 0 2 1 1 1 1 0 0 4 4 2

0 1 1 1 1 0 0 2 1 0 1 1 1 1 0 0 2 3

0 0 1 1 1 1 2 1 2 0 0 1 1 1 1 2 1 1BP G

o

4 4 2

4 6 5

2 5 6BG

c) Usaremos el mtodo de Gram-Schmidt a partir de la base B por el procedimiento de los ijg (en este caso los ijb )

1 1 (1,0,0)t u G JG

2 2 1t u uO JG JJG JG

12 11 0 4 4 0 1b bO O Oo o o

2 2 1( 1) (1,1,0) (1,0,0) 0 1 0t u u JG JJG JG

Luego

2 0 1 0t JG


15

3 3 2 1t u u uD E JG JJG JJG JG

13 12 11

23 22 12

0 2 4 4 0

0 5 6 4 0

b b b

b b b

D E D ED E D E

o o o

31

2D E

3 3 2 13 3 1 1 2

1 (1 1 1) (1,1,0) (1,0,0)2 2 2 2 2

t u u u

JG JJG JJG JG

3

1 1 2

2 2 2t

JG

La base 1 2 3t t t G JG JG

es ortogonal. Para poder trabajar con ms comodidad en la

normalizacin de los vectores podemos buscar otra base cuyos vectores sean

proporcionales a los de 1 2 3t t t G JG JG

y cuyas coordenadas sean enteras. Sea pues la

siguiente base ortogonal de coordenadas enteras:

^ `1 2 3' ' ' (1,0,0) (0,1,0) (1, 1,2)t t t JJG JJG JJG

Normalizacin:

1 1 1 1 1 1 1 11' ' ' 4 2t t t t t u u b JJG JJG JJG G G JG JG

D D D

ahora podemos usar el hecho de que:

2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 2 32x x x x x x x x x x x D

2 2 22 2 2' ' ' (0 1 0) (0 1 0) 0 1 1 2t t t JJG JJG JJG

D D

2 2 23 3 3' ' ' (1, 1, 2) (1, 1, 2) 0 1 1 2t t t JJG JJG JJG

D D

Finalmente la base ortonormal obtenida, siendo '

'i

i

i

tw

t JJGJJGJJG con 1 2 3 i , es la

siguiente:

1 2 3

1 1 1(1,0,0) (0,1,0) (1, 1,2)

2 2 2w w w

JJG JJG JJG

d) Para obtener la proyeccin ortogonal del vector ( 1,3,2)u G

sobre el SEV

( 1 1 0) (2,1,3)H se puede proceder de la siguiente forma (vase la nota 2, al final del ejercicio):

Puesto que 3( ) H H A \ \ , el vector 3( )uG\ \ puede descomponerse de forma

nica como suma de un vector de H ms otro de AH , es decir,

Ao 1999

16

H Hu u u A G JJG JJJG

lo que nos lleva a :

( 1,3,2) ( 1 1 0) (2,1,3)H

u uD E A G JJJG

donde ( 1 1 0) (2,1,3)D E es la proyeccin ortogonal de uG

sobre el subespacio vectorial H

( 1,3,2) ( 1 1 0) ( 1 1 0) ( 1 1 0) (2,1,3) ( 1 1 0) ( 1 1 0)H

uD E A JJJG

D D D D

( 1,3,2) (2,1,3) ( 1 1 0) (2,1,3) (2,1,3) (2,1,3) (2,1,3)H

uD E A JJJG

D D D D

Los ltimos trminos son nulos pues son producto de un vector por un ortogonal a l.

4 0 2 1 4

( 1,3, 2) ( 1 1 0) 1 3 2 0 2 1 1 1 3 2 2 16

2 1 2 0 3

D

4 0 2 1 4

( 1 1 0) ( 1 1 0) 1 1 0 0 2 1 1 1 1 0 2 6

2 1 2 0 3

D

4 0 2 1 4

(2,1,3) ( 1 1 0) 2 1 3 0 2 1 1 2 1 3 2 3

2 1 2 0 3

D

4 0 2 2 2

( 1,3, 2) (2,1,3) 1 3 2 0 2 1 1 1 3 2 5 19

2 1 2 3 3

D

4 0 2 2 2

(2,1,3) (2,1,3) 2 1 3 0 2 1 1 2 1 3 5 18

2 1 2 3 3

D

y sustituyendo en las dos ecuaciones anteriores:

16 6 3

19 3 18

D ED E

o

7 2

3 3D E

luego el vector buscado es:

7 2( 1 1 0) (2,1,3) 1 3 23 3


17

Nota 1: Podemos observar que la proyeccin ortogonal coincide con el vector que queramos proyectar. Esto es debido, lgicamente, a que dicho vector pertenece al subespacio vectorial H.

Nota 2: La resolucin de este ejercicio se puede realizar por distintos mtodos, por lo que en los sucesivos ejercicios de otros exmenes utilizaremos otros mtodos con el fin de explorar todas las modalidades y enriquecer de esta forma la capacidad de procedimiento del/la alumno/a.

|||||||

6. Resuelva los siguientes apartados:

a) Dado el plano : 4x - 3y + z + 2 = 0 , halle la recta de mxima pendiente de ste respecto del plano XOY que pasa por P, punto de corte de con la recta r, siendo:

z = 0r :x = y

b) Determine la ecuacin del plano que pasa por la recta r, anterior y que dista una unidad del punto Q(3,2,1).

c) Si el plano contiene cuatro vrtices de un cubo de forma que stos no pertenezcan a una misma cara y el punto Q es otro de los vrtices, calcule el volumen del cubo y el vrtice Q, opuesto a Q, que se halla en la misma cara pero en distinto semiespacio que Q respecto al plano .

SOLUCIN:

Ao 1999

18

a) En primer lugar hallamos el punto P

4 3 2 0 2 0

0 0 ( 2, 2,0)

x y z x

P r z z P

x y x y

S

{ { o

Para determinar la recta de mxima pendiente segn las condiciones del ejercicio seguiremos el siguiente proceso:

1) Llamamos D al plano 0z y hallamos la recta s S D

4 3 2 0 4 2 6 3 6

0 0

4( 2) 3( 2) 2 20 3 4 0

x y z x ys

z z

x y x y zz

S D

{ { { {

Nota 1: En realidad slo nos interesa la direccin de la recta s , con lo que podramos haber simplificado calculando 4,-3,1 (0,0,1) = 3,4,0

2) Obtenemos ahora un plano auxiliar E que es perpendicular a s y pasa por P

3 4 0 0x y z DE {

como pasa por P 3 ( 2) 4 2 0 0 0 14D Do o o 3 4 14 0x yE {

3) La recta, t , de mxima pendiente de S respecto al plano D , que pasa por el punto P , es la interseccin de los planos S y E

4 3 2 0 2 23 4 14 0 4 3 25

x y z x y zt

x yS E

{ { {

NOTA 2: Otra forma de obtener la forma continua de la recta es forzando un punto de E por ejemplo (2,-5,z) y obtener z mediante o z = -25 y buscar la direccin mediante el producto vectorial de los vectores caractersticos de y E o 4,-3,1 3,4,0 = -4,3,25

b) Dada la recta 0

01 1 0

x yx y zr

z

{ {

consideramos el haz de planos

concurrentes, es decir,

( ) 0x y zJ O{


19

De todos los planos del haz buscamos aquel cuya distancia al punto Q sea una unidad, o sea,

2 2 2

3 2( , ) 1

1 1d Q

OJ

O

Y entonces 2

2

1 11

2 2

OO

O

o

con lo que 1

( ) 0 2 2 02

x y z x y zJ { {

c)c.1) Volumen del cubo

Sea a la longitud de la arista del cubo.

Por lo tanto la diagonal de una de sus caras mide 2a

Dada la posicin del plano S respecto del cubo, la del punto Q respecto de S y del cubo, resulta que:

2( , ) 2 ( , )

2a

d Q a d QS S o

Entonces, como:

2 2 2

4 3 3 2 1 1 2 9 9( , )

26 134 ( 3) 1d Q aS

o

el volumen es :

339

13 13V u

Ao 1999

20

c.2) Clculo del punto Q

El punto Q es el simtrico de Q respecto de S , as que para su obtencin seguiremos los pasos relativos a los problemas de este tipo.

1) Hallamos la ecuacin de la recta r perpendicular a S que pasa por Q:

3 43 2 1

' 2 34 3 1

1

xx y z

r y

z

OO

O

{ {

2) Calculamos el punto medio, M, del segmento 'QQ , siendo 'M rS

Sustituyendo las coordenadas genricas de un punto de la recta r en S , obtenemos el valor del parmetro que determina el punto M:

9 42 79 174(3 4 ) 3(2 3 ) 1(1 ) 2 0 26 9 0 , ,

26 26 26 26MO O O O O o o o

3) Obtencin del punto Q a partir de la relacin 1 '2

OM OQ OQ JJJJG JJJG JJJJG

Sea 1 2 3' , ,Q q q qc c c , entonces:

1 2 3 1 2 342 79 17 1 3 53 4, , 3,2,1 , , ' , , , ,26 26 26 2 13 13 13q q q Q q q q c c c c c c o

|||||||

Convocatoria de junio - Examen parcial

21

2 EXAMEN PARCIAL AMPLIACIN DE FUNDAMENTOS MATEMTICOS ( A.T. )

( 08 - 06 - 1999 )

1. Sea f(x,y) =x

x y

4

2 2z

(x, y) 0,0)

0 (x, y) = (0,0)

( . Estudie :

a) La continuidad de la funcin . b) Se verifica que fxy (0,0) = fyx (0,0) ?

2. Dada la funcin f(x,y) = ln (3x+4y) , hallew

w w x y

n

n-k

fk

3. Usando el clculo diferencial, calcule de forma aproximada el valor de la expresin :

3 32,01 1,01e

tomando 2009 como valor de e3

4. Integre la ecuacin diferencial (2xy2 - 3y3) dx + (7 - 3xy2) dy = 0

5. Dada la familia uniparamtrica de curvas y2 = 2x2(1- a x) . a) Obtenga la ecuacin diferencial asociada a dicha familia. b) Halle la familia de trayectorias ortogonales a la mencionada familia de

curvas.

6. Resuelva la Ec. Diferencial Lineal Completa de 3er orden: 8 cosxy y e xccc

Notas : CADA EJERCICIO se resuelve en UN FOLIO O GRUPO DE FOLIOS. Los ejercicios 1, 2 y 3 son OBLIGATORIOS y de los 3 restantes se ELIGEN

DOS. NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORAS DE NINGN TIPO. Cualquier verificacin o sospecha de copia emplazar directamente a los

alumnos/as implicados a la convocatoria de septiembre. Cada alumna/o situar su D.N.I u otro documento identificativo (carnet de

conduccin) en el ngulo superior derecho de su espacio en la mesa. Cada ejercicio ser puntuado sobre 2 puntos. Las notas provisionales saldrn el mircoles 9 de junio por la tarde y la

revisin se efectuar entre jueves,10 de junio, por la tarde y viernes, 11 de junio, por la maana segn las indicaciones que aparecern hoy , despus del examen , en el tabln de anuncios.

Ao 1999

22

1. Seaz

4

2 2x si (x, y) (0,0)

f(x, y) = x + y0 si (x, y) = (0,0)

.

Estudie: a) La continuidad de la funcin b) Se verifica que fxy(0,0) = fyx(0,0)?

SOLUCIN:

a) Como 2 2 0 0x y x y , el nico punto de posible discontinuidad del campo escalar, es el origen de coordenadas.Para estudiar la continuidad del campo en el origen veamos que:

4

2 2( , ) (0,0)lim (0,0) 0

x y

xf

x yo

Pasando a coordenadas polares cos

sin

x

y

U TU T

se tiene:

4 4

2 42 2 2 2

coscos , sin cos

cos sinf

U TU T U T U TU T U T

y como 2 4 20

, cos 0fU

U T U T Uo

d o , el campo escalar es continuo en el origen.

b) Veamos las derivadas parciales en el origen.

4

2

0 0 0

( ,0) (0,0)(0,0) lim lim lim 0x h h h

hf h f hf h

h ho o o

0 0 0

(0, ) (0,0) 0(0,0) lim lim lim 0 0y h h h

f h ff

h ho o o

Si , 0,0x y z entonces:

3 2 2 4 5 3 2

2 22 2 2 2

4 2 2 4( , )x

x x y xx x x yf x y

x y x y

;

4

22 2

2( , )y

x yf x y

x y

luego:

5 3 2

22 2

2 4 si , 0,0

( , )

0 si , 0,0

x

x x yx y

x yf x y

x y

z

;

4

22 2

2 si , 0,0

( , )

0 si , 0,0

y

x yx y

x yf x y

x y

z

Como:


23

2

0 0

(0, ) (0,0) 0(0,0) (0,0) (0,0) lim lim 0x xxy x h h

f h fff f

y x y h ho ow w

w w w

2

0 0

( ,0) (0,0) 0(0,0) (0,0) (0,0) lim lim 0y yyx y

h h

f h fff f

x y x h ho ow w

w w w

Se verifica la igualdad (0,0) (0,0)xy yxf f

|||||||

2. Dada la funcin f(x,y)=ln(3x+4y) con x, y > 0, halle ww w

n

k n-kf(x,y)

x y

SOLUCIN:

Si ( , ) ln(3 4 )f x y x y , se tiene:

11 0!3 33 4 3 4

f

x x y x y

w w

122

2 22

1 1!13 3 3

3 4 3 4

f

x x y x y

w w

232 3

3 33

2 1 1 2!3 3 3

3 4 3 4

f

x x y x y

w w

343 4

4 44

3 2 1 1 3!3 3 3

3 4 3 4

f

x x y x y

w w #

1( 1) ( 1)!

33 4

k kk

kk

f k

x x y

w w

(1)

Veamos ahora que el ensayo de la expresin genrica (1) es cierto para cualquier valor de k ` . Para ello procederemos por induccin completa sobre k:

1. Base de induccin:

Comprobamos que se cumple para 1k . En efecto:

1 1 1

111

( 1) (1 1)! 0!3 3

3 43 4

f

x x yx y

w w

2. Hiptesis de induccin:

Suponemos que se cumple hasta k p , es decir, suponemos que:

Ao 1999

24

1( 1) ( 1)!

33 4

p pp

pp

f p

x x y

w w

3. Paso de induccin:

Veamos que la expresin (1) se cumple para el siguiente valor de k, es decir, para 1k p .

En efecto:

N

1 1

1

1

11

1 11

( 1) ( 1)!3

3 4

13 ( 1) ( 1)!

3 4

3 ( 1) ( 1)! 33 4

1 (3 ( 1) ( )! 3

3 4

p p pp

pp pHiptesis

deinduccin

p pp

p pp

p p pp

f f p

x x x x x y

px x y

pp

x y

px y

w w w w w w w w

w w

1

1) ( )!

3 4

p

p

p

x y

Lo que nos asegura que la expresin (1) se cumple k ` (el cambio de variable en la derivacin parcial slo cambia la expresin respecto al factor que origina el coeficiente de la misma)

1

1 1

( 1) ! ( 1) !3 4 3 4

3 4 3 4

k k kk k

k kk

f k k

x y x y x y

w w w

1 122

2 22

( 1) 1 ! ( 1) 1 !3 4 4 3 4

3 4 3 4

k kkk k

k kk

k kf

x y x y x y

w w w

2 232 3

3 33

( 1) 2 ! ( 1) 2 !3 4 4 3 4

3 4 3 4

k kkk k

k kk

k kf

x y x y x y

w w w #

1 11 ( 1) 1 ! ( 1) 1 !( , ) 3 4 4 3 4

3 4 3 4

k m k mk mk m k m

k m k mk m

k m k mf x y

x y x y x y

w w w

Y haciendo n k m resulta:

1( 1) 1 !3 4

3 4

nnk n k

nk n k

nf

x y x y

w w w

|||||||


25

3. Usando el clculo diferencial, calcule de forma aproximada el valor de la expresin:

3 32.01 + 1.01etomando 20.09 como valor de e3.

SOLUCIN:

Aplicando el concepto de diferencial de una funcin en un punto, tenemos:

0 1 0 2 0 0 0 0 1 20 0 0 0 1 0 0 2

( , ) ( , ) ( , ) ,

( , ) ( , ) ( , )x x

f x h y h f x y df x y h h

f x y f x y h f x y h

Consideramos la funcin 3 3

( , ) x yf x y e , diferenciable en el punto 0 0( , ) (2,1)x y y el vector de incrementos 1 2, (0.01,0.01)h h , calculamos:

8 1 3(2,1) 20.09f e e

3 32

3 3

3 3

3 12(2,1) 2 40.18

2 92

x yf x fe e ex xx y

w w w w

3 32 3

3

3 3

3 3(2,1) 10.045

22 92

x yf y f ee ey xx y

w w w w

Resultando:

3 32.01 1.01 (2 0.01,1 0.01) (2,1) (2,1) (2,1) 0.01f f

e f fx y

w w w w

20.09 (40.18 10.045)0.01 20.59225 .

|||||||

4. Integre la ecuacin diferencial 2 3 22xy -3y dx + 7 -3xy dy = 0 .

SOLUCIN:

Sea 2 3( , ) 2 3P x y xy y y sea 2( , ) 7 3Q x y xy . La ecuacin diferencial no es exacta, ya que:

2 24 9 3y xP xy y Q y z

Estudiemos el tipo de factor integrante ( , )x yP que podemos utilizar para reducir a exacta la ecuacin diferencial dada.

Para ello analizaremos los tipos usuales de factores integrantes:

Ao 1999

26

Como el cociente 2

2

4 6

7 3y xP Q xy y

Q xy

no depende slo de x, entonces xP Pz .

Como el cociente

2

2 3 2

2 2 34 6 2

2 3 2 3y xP Q y x yxy y

P xy y y x y y

slo depende de y, entonces

yP P y el factor integrante viene dado por :

2

2

1dyyy ey

P

Con lo que la siguiente ecuacin es diferencial exacta:

2 3 2

2 2

2 3 7 3( , ) ( ) ( , ) ( ) 0

xy y xyP x y y dx Q x y y dy dx dy

y yP P

Al ser exacta existe una funcin ,F x y tal que

2 3 2

2 2

2 3 7 3F F xy y xydF dx dy dx dy

x y y y

w w w w

Es decir 0dF , por lo que la solucin general de la ecuacin diferencial es .F cte

Para hallar la solucin general seguiremos 4 pasos (en cualquiera de los dos mtodos que vamos a emplear)

Mtodo 1: Partimos de F

x

ww

Paso 1: Expresin inicial de ,F x y

2 3

22

2 3, , 3

F xy yF x y dx y F x y dx y x xy y

x yM M Mw o

w

Donde yM es una funcin que depende slo de y.

Paso 2: Determinacin de yM

Puesto que 2

22 2

7 3 73 3 3

xy Fx xy y x x y

y y y yM M w w c o

w w

Resulta 27 7

y yy y

M Mc o


27

Paso 3: Expresin final de ,F x y : 2 2 7, 3 3F x y x xy y x xyy

M

Paso 4: Solucin general o integral general de la ecuacin diferencial.

2 7, 3F x y C x xy Cy

o

Mtodo 2: Partimos de F

y

ww


2

2

7 3 7, , 3

F xyF x y dy x F x y dy x xy x

y y yM M Mw o

w

Donde xM es una funcin que depende slo de x.

Paso 2: Determinacin de xM

Puesto que 2 3 2 3

2 2

2 3 7 2 33 3

xy y F xy yxy x y x

y x x y yM M w w c o w w

Resulta 22x x x xM Mc o

Paso 3: Expresin final de ,F x y :

27 7, 3 3F x y xy x xy xy y

M

Paso 4: Solucin general o integral general de la ecuacin diferencial .

2 7, 3F x y C x xy Cy

o

|||||||

5. Dada la familia uniparamtrica de curvas 2 2y = 2x (1 - ax) . a) Halle la ecuacin diferencial asociada a dicha familia.

b)Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la mencionada familia de curvas.

Ao 1999

28

SOLUCIN:

a) Consideramos las ecuaciones:

2 2

(2 3 )

2 (1 )

yy x ax

y x ax

c

Utilizando las dos ecuaciones anteriores se elimina el parmetro a , del modo siguiente:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 3 21 2 3

2 2 2 2y x y x y y x

ax yy x xx x x x

c

Obtenindose as, la ecuacin diferencial 2 2, , 3 2 2 0F x y y y x xyyc c , de la familia uniparamtrica de curvas.

b) Para el clculo de las trayectorias ortogonales, consideramos la ecuacin

diferencial1

, , 0F x yy

c , en el caso que nos ocupa:

2 21 1, , 3 2 2 0F x y y x xyy y

c c .

La ecuacin diferencial propuesta es posible resolverla como una ecuacin homognea:

22 2

22

2 32 3

yxy x

y yx y y

x

c c

realizando el cambio de variable y

u y xu y u xux

c c se tiene:

3 2

2 2 2 3

2 2 3 2 32 3 2 3 2 3 3

u u du u u dxu xu xu u x du

u u dx u u x

c c

Integrando en los miembros de la igualdad:

23

3 2

2 3 2 1 1ln ln

3 3 3

ux du u du u C

u u u

Deshaciendo el cambio de variable y operando, se obtiene la solucin general de la ecuacin diferencial propuesta.


29

2 2

2 2 2

1ln ln ln ln ln ln

3 33

y x xx C x y x C y C

x y yyx

2

22

32

ln3

x

yxy C y Dey

, sera la familia uniparamtrica de trayectorias

ortogonales.Nota: El lector puede observar que la ecuacin diferencial

c2 2 13y - 2x + 2xy = 0

y

se puede transformar en c2 23y - 2x y + 2xy = 0 que a su vez se transforma en la ecuacin 2 23y - 2x dy + 2xydx = 0 que es reducible a exacta pues yP = 2x y xQ = -4x con lo que :

y xP - Q 6x 3= =P 2xy y

,

de donde se deduce que el factor integrante es = y y su expresin es la siguiente:

3

- dyy

3

1 = y = e =

y

La ecuacin diferencial 2 2

3 3

3y - 2x 2xydy + dx = 0

y y ya es exacta y siguiendo los pasos habituales:

i. M M2

2 2

2x xF(x, y) = dx + (y) = + (y)

y y

ii.

M M w w co o w w

2 2 2 2 2

3 2 3 3

3y - 2x F x 3 2x 2x= = + (y) - = - + (y)

y y y y y y y

M Mco o3(y) = (y) = 3lnyy

iii. M2 2

2 2

x xF(x, y) = + (y) = + 3lny

y y

iv. La solucin general es

o o2

2x2 23y

2 2

x C x+ 3lny = C lny = - y = Ke

y 3 3y

|||||||

Ao 1999

30

6. Resuelva la ecuacin diferencial lineal completa de 2 orden ccc xy - 8y = e cosx .

SOLUCIN:

Planteamos la ecuacin diferencial homognea 8 0y yccc . Su ecuacin caracterstica es 3( ) 8 0P O O , con soluciones 1 2 32, 1 3 , 1 3i iO O O .

El sistema fundamental de soluciones es ^ `2 , cos 3 , sin 3x x xe e x e x y la solucin general de la ecuacin homognea, ( )Hy x , se obtiene mediante la combinacin lineal:

21 2 3( ) cos 3 sin 3x x xHy x C e C e x C e x Para el clculo de una solucin particular, de la ecuacin completa, consideramos la expresin:

( ) cos( ) ( )sin( )ax p qe M x bx N x bx

Donde 1a , 1b , ( ) 1pM x y ( ) 0qN x . Dado que 1 ir no es raz de la ecuacin caracterstica, ensayamos como solucin particular de la ecuacin completa:

( ) cos sinxPy x e A x B x .:

( ) 2 cos 2 sinxPy x e A B x A B xccc

Imponiendo que 8 cosxP Py y e xccc , se obtiene la igualdad:

10 2 cos 2 10 sin cosx xe A B x A B x e x

siendo posible, por identificacin de coeficientes, plantear el sistema de ecuaciones:

10 2 1 5 1 .

2 10 0 52 52

A BA y B

A B

Por lo que la solucin general de la ecuacin completa es:

21 2 3( ) ( ) ( ) cos 3 sin 35 1

cos sin52 52

x x xH P

x

y x y x y x C e C e x C e x

e x x

|||||||

Convocatoria de junio - Examen final

31

UNIVERSIDAD DE ALICANTEAMPLIACIN DE FUNDAMENTOS MATEMTICOS DE LAS

CONTRUCCIONES ARQUITECTNICAS (A.T.) E.P.S. CONVOCATORIA DE JUNIO. EXAMEN FINAL

(14 de junio de 1999)

Parte I (materia del primer parcial)

1) Sea A una matriz real cuadrada de orden 2, entonces:

a) Halle A, si existe, sabiendo que tA A I y que 2A , donde I es la identidad de orden 2.

b) En caso de A exista, descompngase como suma de una matriz simtrica ms otra antisimtrica, y en caso de que no exista, explique el procedimiento genricamente.

2) Dadas las filas

2 21

2 22

2 23

2 24

F a ab ab b

F ab a b ab

F ab b a ab

F b ab ab a

de una matriz real cuadrada de orden 4, calcule 1 2 3 4det , , ,F F F F y exprselo como potencia de 2 2a b .

3) Sean los siguientes subespacios vectoriales de 3 :

3, ,U x y z ^ `2x y z

3, ,V x y z ^ `3 , , 2 ,x k y k z k k

a) Halle, si existe, una base de cada uno de ellos, del subespacio suma y del subespacio interseccin de stos.

b) Razone la certeza o falsedad de que 3U V

Ao 1999

32

4) Dados los planos:

1

2

3

1 0

2 2 0

3 0

x a y z

a x y z

x z

SSS

{

{ {

Estudie, segn los valores reales de a, la posicin relativa de los mismos y halle, en el caso que corresponda, el vrtice del triedro que forman los tres planos.

5) Sea 2[ ]P x ax bx c ^ `, ,a b c el E.V. de los polinomios de grado menor o igual que 2, con indeterminada en x, a coeficientes reales, en el que se define el siguiente producto escalar:

( ) ( ) (0) (0) (1) (1) ( 1) ( 1)p x q x p q p q p q D

ejemplo:

2(2 1) ( 2)x x x D2 2 2(2 0 1) (0 0 2) (2 1 1) (1 1 2) (2( 1) 1) (( 1) ( 1) 2) 4

Se pide:

a) Halle la matriz de Gram de dicho producto escalar respecto de la base ^ `21, ,x x y compruebe el ejemplo.

b) Calcule la proyeccin ortogonal del vector 3x 1 sobre el subespacio 2 1H x .

6) Se tiene un cubo con una de sus caras en el plano S x + 2 y +2 z + 3 = 0.

Por otro lado se conoce el punto P(2,-2,1), exterior al cubo, y que pertenece a la recta perpendicular a S que pasa por el centro, C, del cubo. Sabiendo que d(P,C) = 4 unidades de longitud (d = distancia):

a) Halle el volumen del cubo. b) Halle el punto P, simtrico de P respecto a S y las coordenadas cartesianas de C.


33

Parte II (materia del segundo parcial)

1) Dada la funcin 2

2 2( , )

x yf x y

x y

, se pide:

a. Estudie la continuidad de la funcin en 2b. Prolongue la funcin por continuidad a una funcin ,f x yc. Halle ,xf x y y ,yf x y

2) Dada la funcin 2 3, , 2f x y z x xy z

a. Halle la derivada direccional de f en 1, 1, 2 en la direccin del vector 1,3,1 .

b. En que direccin es mxima la derivada direccional? Cul es ese valor mximo?

3) Calcule la diferencial, en el punto 0,0,0 de la funcin :

, , , cos sin ,xy zf x y z e x z x xyz G

4) Integre la ecuacin diferencial

32 2 5 2 2 0xy y dx x x dy

5) Dada la familia uniparamtrica de curvas cos xy a e

a. Obtenga la ecuacin diferencial asociada a dicha familia. b. Calcule la familia de trayectorias ortogonales a la misma.

6) Resuelva la ecuacin diferencial lineal completa de 2 orden:

2'' 4 ' 4 8 xy y y e Notas:

o Los/as alumnos/as que se presenten a un parcial debern resolver 5 de los 6 ejercicios correspondientes al mismo.

o Los/as que se presenten a toda la asignatura deben elegir 5 de los 6 ejercicios siguientes 1, 3 y 6 de la parte I y los ejercicios 1,3 y 5 de la parte II, siendo obligatorio el ejercicio 3 de la parte I y el 1 de la parte II.

o Cada alumno/a situar su DNI u otro documento de identificacin en el ngulo superior derecho de su espacio en la mesa.

o Cada ejercicio se valorar sobre 2 puntos. o Cada problema debe resolverse en un folio o grupo de folios, sin mezclar problemas distintos en

un mismo folio. o NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORAS DE NINGUN TIPO.

Ao 1999

34

lgebra lineal y geometra1. Sea A una matriz real, cuadrada, de orden 2, entonces:

a) Halle A, si existe, sabiendo que tA+ A = 2I y que tdet(A ) = 2 , donde I es la identidad de orden 2.

b) En caso de que A exista, descompngase como suma de una matriz simtrica mas otra antisimtrica y, en caso de que no exista, explique el procedimiento genricamente.

SOLUCIN:

a) Sea a b

Ac d

, entonces de la primera condicin impuesta se llega a que:

2 2 11 0

2 2 00 1

2 2 1

t

a aa b a c

A A I b c b cc d b d

d d

o o

Por otro lado puesto que det det 2tA A se tiene que:

N N2

1

2 1 1 1, 1a d b c

ad bc bc c c b

o o o r B

Luego tenemos dos matrices que cumplen el enunciado del problema:

1

1 1

1 1A

y 21 1

1 1A

b) Partiendo de que el E.V. n n nM S AS , con :

nM es el E.V. de las matrices cuadradas de orden n sobre el cuerpo . nS es el E.V. de las matrices simtricas de orden n sobre el cuerpo . nAS es el E.V. de las matrices antisimtricas de orden n sobre el cuerpo .

Es decir toda matriz real cuadrada de orden dado puede descomponerse de forma nica como suma de una matriz simtrica y una matriz antisimtrica (obviamente del mismo orden que la matriz descompuesta). Es ms, si A es una matriz real cuadrada de orden n

t nA A S y t nA A AS de donde

1 12 2

n nS AS

t tA A A A A

En nuestro caso:


35

1 1 1 1

1

1 12 2

1 1 1 0 0 1

1 1 0 1 1 0

n n

t t

S AS

A A A A

A

y

2 2 2 2

2

1 12 2

1 1 1 0 0 1

1 1 0 1 1 0

n n

t t

S AS

A A A A

A

|||||||

2. Dadas las filas 2 21F = (a ab ab b ), 2 2

2F = (ab a b ab), 2 2

3F = (ab b a ab), 2 2

4F = (b ab ab a ) de una matriz real cuadrada de orden 4, halle 1 2 3 4det(F F F F ), , ,y exprselo como potencia de 2 2a b- .

SOLUCIN:

La matriz descrita es la siguiente:

2 2

2 2

2 2

2 2

a ab ab b

ab a b abM

ab b a ab

b ab ab a

Hallemos su determinante utilizando las propiedades de ste.

P P P2 2 2 2 2 2 2 2

31 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

0 0

0 0

0 0

0 0 0 2

a ab ab b a b ab b a b ab b

ab a b ab a b b ab a b b ab

ab b a ab b a a ab b a a ab

b ab ab a b a ab a ab a b

P

P2 2 2 2 2 2

542 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0 2

0 2 0 2

a b b ab a b b ab

a b b a a ab a b a b ab

ab a b ab a b

2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2

24

2

a b aba b a b a b a b

ab a b

2 42 2 4 4 2 2 2 22a b a b a b a b 1.- Se sustituye 1C (columna 1) por 1 4C C y 2C por 2 3C C .2.- Se sustituye 4F (fila 4) por 4 1F F .3.- Se desarrolla el determinante de orden 4 por 1C .

4.- En el determinante de orden 3 se sustituye 2F por 2 1F F .5.- Se desarrolla el determinante de orden 3 por 1C .

|||||||

Ao 1999

36

3. Sean

^ ` 3U = (x, y,z) ( )/x + y = 2z y

^ ` 3V = (x, y,z) ( ) / x = 3k, y = -k, z = 2k; k

Subespacios vectoriales del e. v. 3 ( )\ \ :

a) Halle, si existe, una base de cada uno de ellos, del subespacio suma y del subespacio interseccin de stos.

b) Razone la certeza o falsedad de que 3U V = ( ) .

SOLUCIN:

a) Vamos a buscar en primer lugar una base de cada uno de los s.e.v.

^ ` ^ `3 3, , / 2 , , / 2U x y z x y z x y z x z y

^ ` ^ `3 32 , , / , 1,1,0 2,0,1 / ,z y y z y z y z y z

1,1,0 , 2,0,1

As pues, dado que el sistema ^ `1,1,0 , 2,0,1 es generador de U y libre, es una basede U. La dimensin del subespacio vectorial es por tanto igual a 2. Adems, una ecuacin implcita del subespacio es 2x y z , segn la definicin de ste.

^ ` ^ `3 3, , / 3 , , 2 ; 3 , , 2 /V x y z x k y k z k k k k k k

3, 1,2

Con lo que, trivialmente, el sistema ^ `3, 1, 2 es una base de V. La dimensin del s.e.v. V es 1 y de forma evidente, a partir de las ecuaciones paramtricas (eliminando el parmetro k), obtenemos unas ecuaciones implcitas de V: 3x y ; 2z y

Pasamos ahora a los subespacios suma e interseccin de U y V:

Para determinar una base del s.e.v. suma U V partimos de las bases respectivas de cada s.e.v. y construimos un sistema unin de stas. Si el nuevo sistema es libre entonces constituye una base de U V que al tener dimensin 3 coincide con 3 .Si el sistema es ligado, buscaremos un sistema mnimo de generadores que ser base de U V .


37

Por lo tanto, puesto que

1 1 0

2 0 1 2 0

3 1 2

z

el sistema ^ `1,1,0 , 2,0,1 , 3, 1, 2 es

una base de 3U V . Este subespacio impropio no tiene ecuaciones implcitas.

Nota: Otra base del subespacio vectorial suma, por ser igual al e.v. total, es la base cannica.

En cuanto al s.e.v. interseccin U V hallaremos una base buscando, en caso de que exista, un sistema libre que lo genere:

^ ` ^ `3 32

/ , , / 3 0,0,0

2

x z y

U V w w U w V x y z x y

z y

G G G

Este s.e.v. impropio no tiene base y unas ecuaciones implcitas son las de ambos s.e.v. o bien:

0

0

0

x

y

z

b) Dado que 3U V y que ^ `0U V G resulta cierta la expresin del enunciado.

|||||||

4. Dados los planos:

{

{

{

1

2

3

x + (1 + a)y + z = 0 (2 + a)x - y - 2z = 0 3x - z = a

Estudie, segn los valores reales de a, la posicin relativa de los mismos y halle, en el caso que corresponda, el vrtice del triedro que forman los tres planos.

SOLUCIN:

En la discusin de las posiciones relativas de los tres planos utilizaremos el teorema de Rouch Frobnius.

Dado el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas determinado por las ecuaciones de los tres planos:

Ao 1999

38

1 0

2 2 0

3

x a y z

a x y z

x z a

Consideramos la matriz del sistema M y la matriz ampliada M*:

1 1 1

2 1 2

3 0 1

a

M a

1 1 1 0

2 1 2 0

3 0 1

a

M a

a

1) Estudio del rango de M, segn los valores reales de a:

Como 2 3M a a resulta que 2 si 0 3

3 si 0 3

a argM

a a

z z

2) Estudio del rango de M* para los valores de a que determinan el rango de M:

Caso 1 : Si 0a

2rgM rgM

El sistema es homogneo compatible indeterminado. Los tres planos se cortan en una recta.

Caso 2 : Si 3a

P P* **1 4 1 0 4 1 0 4 0 05 1 2 0 1 2 0 1 7 0 3 2

3 0 1 3 0 1 3 0 4 3

rgM rg rg rg rgM z

* Pues 1 2 33C C C

** Debido a que 2 2 14C C Cc c c

El sistema es incompatible. Los tres planos no tienen puntos en comn cortndose dos a dos en tres rectas paralelas.

Caso 3 : Si 0 3a az z

3rgM rgM

El sistema es compatible determinado. Los tres planos tienen un nico punto en comn situado en el vrtice del triedro que forman.Para determinar las coordenadas del vrtice usaremos el mtodo de Cramer:


39

> @2 2 2 2

0 1 1

0 1 2 1 11 2 1 1 20 1 1 2 2 1

3 3 3 3 3

a

aa

a a a aa ax

a a a a a a a a a

> @2 2 2 2

1 0 1

2 0 2 1 12 2 43 1 2 2 4

3 3 3 3 3

aa

a a a aa a ay

a a a a a a a a a

2 22 2 2 2

1 1 0

2 1 0 1 13 31 2 13 0 2 1 3 3

3 3 3 3 3

a

a aa

a a aa a aa a a az

a a a a a a a a a

Luego para cada valor real de a con 0 3a az z tenemos tres planos que forman un triedro cuyo vrtice es el punto:

22 1 4 3 3, ,

3 3 3a a a a

a a a

|||||||

5. Se considera el espacio vectorial > @\2P de los polinomios de grado menor o igual que dos con indeterminada en x, a coeficientes reales, en el que se ha definido el siguiente producto escalar:

Dp(x) q(x) = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(-1)q(-1)

Ejemplo:

D 2

2 2 2

(2x + 1) (x - x + 2) == (2 0 + 1)(0 - 0 + 2) + (2 1 + 1)(1 - 1 + 2) + (2 (-1) + 1)((-1) - (-1) + 2) = 4

Se pide que:

a) Halle la matriz de Gram de dicho producto respecto de la base

2B = 1,x,x y compruebe el ejemplo.

b) Calcule la proyeccin ortogonal del vector 3x - 1 sobre el subespacio vectorial 2 H = x 1-

Ao 1999

40

SOLUCIN:

a) La matriz de Gram G de un producto escalar D , referida a una base

1 2 3B u u u

JG JJG JJG

viene dada por G ijg donde ij i jg u u JG JJGD .

Dado adems que G es simtrica basta con calcular los seis elementos que la definen. En este ejercicio los vectores son polinomios de grado menor o igual que dos, con indeterminada en x, a coeficientes reales.

11 1 1

12 1 2

2213 1 3

22 2 2

2223 2 3

2 233 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 3

1 1 0 1 1 1 1 0

1 1 0 1 1 1 1 2

0 0 1 1 1 1 2

0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 1

g u u

g u u x

g u u x

g u u x x

g u u x x

g u u x x

JG JGD DJG JJGD DJG JJGD DJJG JJGD DJJG JJGD DJJG JJGD D 2 2

3 0 2

0 2 0

2 0 2

1 1 2

BG

o

Comprobemos el ejemplo:

23 0 2 2 8

2 1 2 1 2 0 0 2 0 1 1 2 0 2 4

2 0 2 1 6

x x x

D

Nota: Recuerde el lector que la eficacia de la utilizacin de la matriz de Gram reside en la correcta referencia de las coordenadas de un vector respecto de la base dada.En este caso la base respecto de la que se ha calculado la matriz de Gram es ^ `21, x,x y as las coordenadas del vector 2ax + bx + c referidas a dicha base son c,b,a .

b) Para hallar la proyeccin ortogonal del vector 3 1u x G

sobre 2 1 GH v xprocedemos del siguiente modo:

Como U H H A , todo vector u UG

se descompone de forma nica del modo siguiente:

u v wO G G JG

donde wJG

es un vector ortogonal a v HG

.

El vector vOG

es la proyeccin ortogonal de uG

sobre H. Calculemos O :

u v G GD v w v v v w v v v v vO O O O G JG G G G JG G G G G GD D D D D


41

de dondeu v

v vO G GDG GD

Por lo tanto en nuestro caso:

2

2 2

3 1 11

1 1

x x

x xO

D

D

Pues

23 0 2 1 1

3 1 1 1 3 0 0 2 0 0 1 3 0 0 1

2 0 2 1 0

x x

D

2 23 0 2 1 1

1 1 1 0 1 0 2 0 0 1 0 1 0 1

2 0 2 1 0

x x

D

y entonces la proyeccin ortogonal de 3 1x sobre el s.e.v. 2 1H x es el vector:

2 1x

|||||||

6. Se tiene un cubo con una de sus caras en el plano : x + 2y + 2z + 3 = 0 . Por otro lado se conoce el punto P(2,-2,1), exterior al cubo, y que pertenencen a la recta perpendicular a que pasa por el centro, C, del cubo.

Sabiendo que d(P,C) = 4 unidades de longitud (d = distancia):

a) Calcule el volumen del cubo. b) Halle el punto P, simtrico de P respecto a y las coordenadas

cartesianas de C.

SOLUCIN:

a) Si observamos la figura

Ao 1999

42

llegaremos fcilmente a la relacin:

Longitud de la arista del cubo = 2 , , 2 4 ,d P C d P a a d PS S o

Como 2 2 2

1 2 2 2 2 1 3 3, 1

31 2 2d P S

se tiene que 6a u y 3216V u

b.1) Obtencin de P

La siguiente figura lineal simplifica la visin del objetivo:

Dado que P es el simtrico de P respecto del plano S , seguiremos los pasos habituales:

1) Clculo del punto medio, M, del segmento 'PP .

1.1) Ecuacin de la recta r, perpendicular a S , que pasa por P(2,-2,1)

22 2 1

2 21 2 2

1 2

xx y z

r y

z

OO

O

{ {

1.2) Clculo de las coordenadas de M r S


43

2 2 3 0

2

2 2

1 2

x y z

xM r

y

z

OS

OO

{

Sustituyendo las coordenadas genricas de un punto de la recta r en S ,obtenemos el valor del parmetro que determina el punto M:

1 5 8 11(2 ) 2( 2 2 ) 2(1 2 ) 3 0 9 3 0 , ,

3 3 3 3MO O O O O o o o

2) Obtencin del punto P a partir de la relacin 1 '2

OM OP OP JJJJG JJJG JJJJG

Sea 1 2 3' , ,P p p pc c c , entonces:

1 2 3 1 2 35 8 1 1 4 10 1, , 2, 2,1 , , ' , , , ,3 3 3 2 3 3 3p p p P p p p c c c c c c o b.2) Obtencin de C

Basta ver la figura 2 para entender que P es el punto medio del segmento CP luego:

Si 1 2 3, ,C c c c y 1' 2OP OC OP JJJJG JJJG JJJG

entonces:

1 2 3 1 2 34 10 1 1 2 14 5, , , , 2, 2,1 , , , ,3 3 3 2 3 3 3c c c C c c c o

|||||||

Clculo en varias variables

1. Dada la funcin 2

2 2x yf(x,y) =

x + y, se pide:

a) Estudie la continuidad de la funcin en 2 . b) Prolongue la funcin por continuidad a una funcin f(x, y) . c) Halle xf (x, y) y yf (x, y) .

SOLUCIN:

a) Como el dominio de f son ^ `2 (0,0) , estudiamos la continuidad en el origen, ya que en todo punto distinto de l, el campo es continuo.

Ao 1999

44

Para estudiar la continuidad del campo en el origen hay que estudiar 2

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x y

x yo .

Pasando a coordenadas polares cos

sin

x

y

U TU T

se tiene:

3 2

22 2 2 2 0

cos sincos , sin cos sin 0

cos sinf

U

U T TU T U T U T T UU T U T o

d d o

Luego2

2 2( , ) (0,0)lim 0

x y

x y

x yo

y dado que f no esta definida en el origen, presenta una

discontinuidad de tipo evitable en este punto.

b) Por existir 2

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x y

x yo , es posible prolongar el campo por continuidad del

modo siguiente:

2

2 2 si ( , ) (0,0) ( , )

0 si ( , ) (0,0)

x yx y

f x y x y

x y

z

z

c) Veamos las derivadas parciales en el origen.

0 0

( ,0) (0,0) 0 (0,0) lim lim 0x h hf h f

fh ho o

0 0

(0, ) (0,0) 0 (0,0) lim lim 0y h hf h f

fh ho o

Si ( , ) (0,0)x y z entonces:

2 2 2 3

2 22 2 2 2

2 ( ) 2 2x

xy x y xx y xyf

x y x y

2 2 2 2 4 2 2

2 22 2 2 2

( ) 2y

x x y yx y x x yf

x y x y

Por lo que:

3

22 2

2 si ( , ) (0,0)

( , )

0 si ( , ) (0,0)

x

xyx y

f x y x y

x y

z

z


45

4 2 2

22 2 si ( , ) (0,0)

( , )

0 si ( , ) (0,0)

y

x x yx y

f x y x y

x y

z

z

|||||||

2. Dada la funcin 2 3f(x, y,z) = x - 2xy + z .a) Halle la derivada direccional de f en (1,-1,2) en la direccin del vector (-1,3,1). b) En que direccin es mxima la derivada direccional?Cul es ese valor mximo?

SOLUCIN:

a) Si ( 1,3,1) 1 9 1 11 v v , consideramos 1 3 1, ,11 11 11

v

wv

Por tratarse de un polinomio, el campo es diferenciable y por tanto:

1 3 1(1, 1,2) (1, 1,2) (1, 1, 2) (1, 1, 2) (1, 1, 2)

11 11 11

w w w w w w f f f

D f fx y zw

w .

Como:

2 2 (1, 1,2) 4xf

f x yx

w w

2 (1, 1,2) 2yf

f xy

w w

23 (1, 1,2) 12zf

f zz

w w

Entonces:

4 6 12 2 11(1, 1,2) (1, 1,2)

1111 11 11D f f w w

b) Dado que el valor mximo de la derivada direccional en un punto, se obtiene en la direccin y sentido del vector gradiente en el punto considerado, tal valor mximo, es el modulo del vector gradiente en dicho punto.

Direccin: (1, 1,2) (4, 2,12)f

Valor mximo: (1, 1,2) 16 4 144 164 2 41f

|||||||

Ao 1999

46

3. Calcule la diferencial de la funcin xy-z(x, y,z) = e ,cosx + zsinx,xyzf en el punto (0,0,0).

SOLUCIN:

Dado que las funciones coordenadas de f son de clase 3Cf , la funcin vectorial f es diferenciable y su matriz Jacobiana viene dada por:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

f f f

x y z

f f fJ

x y z

f f f

x y z

w w w w w w w w w w w w w w w w w w

f

Sabemos que ( ) , ,dx

d dx dy dz J dy

dz

{

0 0ff x x , en el caso que nos ocupa:

1 1 (0,0,0) 0w w w w

xy zf fyex x

1 1 (0,0,0) 0w w w w

xy zf fxey y

1 1 (0,0,0) 1w w w w

xy zf fez z

2 2sin cos (0,0,0) 0f f

x z xx x

w w w w

2 20 (0,0,0) 0f f

y y

w w w w

2 2sin (0,0,0) 0f f

xz z

w w w w

3 3 (0,0,0) 0w w w wf f

yzx x

3 3 (0,0,0) 0w w w wf f

xzy y

3 3 (0,0,0) 0w w w wf f

xyz z


47

As pues:

0 0 1

(0,0,0)( , , ) 0 0 0 0

0 0 0 0

dx dz

d dx dy dz dy

dz

{

f

Por lo que (0,0,0)( , , ) ,0,0d dx dy dz dz f

|||||||

4. Integre la ecuacin diferencial 2 32x y + 2y + 5 dx + 2x + 2x dy = 0 .

SOLUCIN:

Sea 2( , ) 2 2 5P x y x y y y sea 3( , ) 2 2Q x y x x . La ecuacin diferencial no es exacta, ya que:

2 2( , ) ( , )2 2 6 2P x y Q x y

x xy x

w w z w w

Estudiemos el tipo de factor integrante ( , )x yP que podemos utilizar para reducir a exacta la ecuacin diferencial dada.

Para ello analizaremos los tipos usuales de factores integrantes:

Como el cociente 2

3 2

4 22 2 1

y xP Q x x

Q x x x

depende slo de x, entonces xP P .

y el factor integrante viene dado por :

22

12

11

xdx

xx ex

P

Con lo que la siguiente ecuacin es diferencial exacta:

2 32 2

2 2 5 2 2( , ) ( ) ( , ) ( ) 0

1 1

x y y x xP x y x dx Q x y x dy dx dy

x xP P

Al ser exacta existe una funcin ,F x y tal que (simplificando)

2

52 2

1

F FdF dx dy y dx xdy

x y x

w w w w

Ao 1999

48

Es decir 0dF , por lo que la solucin general de la ecuacin diferencial es .F cte

Para hallar la solucin general seguiremos 4 pasos

Partimos de F

y

ww

(cuya expresin es ms sencilla)


, , 2 2FF x y dy x F x y xdy x xy xy

\ \ \w o w

Donde x\ es una funcin que depende slo de x.

Paso 2: Determinacin de x\

Puesto que 2 25 5

2 2 2 21 1

Fy xy x y y x

x x x x\ \w w c o

w w

Resulta 25

5arctan1

x x xx

\ \c c o

Paso 3: Expresin final de ,F x y :

, 2 2 5arctanF x y xy x xy x\

Paso 4: Solucin general o integral general de la ecuacin diferencial .

, 2 5arctanF x y C xy x C o

|||||||

5. Dada la familia uniparamtrica de curvas -xy = ae : a) Obtenga la ecuacin diferencial asociada a dicha familia. b) Calcule la familia de trayectorias ortogonales a la misma.

SOLUCIN:

a) Consideramos las ecuaciones: x

x

y ae

y ae

c

Utilizando las dos ecuaciones anteriores se elimina el parmetro a , del modo siguiente:


49

1 0x

x

y aey y y y

y ae

c c c

Obtenindose as, la ecuacin diferencial , , 0F x y yc ,es decir, 0y yc , de la familia uniparamtrica de curvas.

b) Para el clculo de las trayectorias ortogonales, consideramos la ecuacin

diferencial1

, , 0F x yy

c , en el caso que nos ocupa:

10y

y

c

.

La ecuacin diferencial propuesta es posible resolverla como una ecuacin en variables separadas:

210 1

2y

y yy ydy dx x Cy

c o o o c

La solucin general de la ecuacin diferencial propuesta es:

2 2y x K Que es la familia uniparamtrica de trayectorias ortogonales .

|||||||

6. Resuelva la ecuacin diferencial lineal completa de 2 orden:

cc c -2xy + 4y + 4y = 8e .

SOLUCIN:

Planteamos la ecuacin diferencial homognea 4 4 0y y ycc c . Su ecuacin caracterstica es 2( ) 4 4 0P O O O , con solucin 2O , de multiplicidad dos. El

sistema fundamental de soluciones es ^ `2 2,x xe xe y la solucin general de la ecuacin homognea, ( )Hy x , se obtiene mediante la combinacin lineal:

2 2 21 2 1 2( ) x x xHy x C e C xe e C C x

Para el clculo de una solucin particular, consideramos la expresin:

( )s ax px e M x

Ao 1999

50

Donde 2a , ( ) 8pM x y 2s , dado que 2 es raz de la ecuacin caracterstica de multiplicidad dos. Ensayamos como

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