POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Observa: 3×3 3×3×3×3×3 7×7×7 5×5×5×5 2×2×2×2×2×2

Para expresar multiplicaciones que tienen factores iguales se usa la potenciación.

Potenciación

La potenciación es la operación que expresa una multiplicación de factores iguales. n veces 𝒃 𝒏 =𝒃×𝒃×𝒃×𝒃×𝒃× … ×𝒃 Donde: 𝑏 : 𝑛 : 𝑏 𝑛 : base exponente potencia

Términos

Base, es el número que se multiplica repetidamente. Exponente, es el número que indica las veces que se multiplica la base por si misma. Potencia, es el resultado obtenido de multiplicar. 5 veces 3×3×3×3×3 3e 5 = = 243 exponente base potencia

Operador

No hay un signo para la potenciación, la forma como se escriben la base y el exponente indican la operación. El exponente se escribe a la derecha y en la parte superior de la base.

Base 𝑏 𝑛 exponente

Ejemplos

Resolvemos operaciones de potenciación.

Ejemplo

1) 7 e2 =7×7= 497 elevado al cuadrado es igual a 49

2) 5 e3 =5×5×5= 1255 elevado al cubo es igual a 125 25 ×5 125

3) 6 e4 =6×6×6×6= 12966 elevado a la cuarta es igual a 1296 36 × 36 1296

4) 3 e5 =3×3×3×3×3= 2433 elevado a la quinta es igual a 243 9 × 9 ×3 81 × 3 243 243

5) 2 e6 =2×2×2×2×2×2=64 2 elevado a la sexta es igual a 64

Ejercicios propuestos Alista lápiz y papel.

Resuelve:

1) 2 e0 + 2 e1 + 2 e2 + 2 e3 +…+ 2 e8 2) 3 e0 + 3 e1 + 3 e2 + 3 e3 +…+ 3 e7 3) 3 e4 + 5 e3 + 2 e3 + 7 e2 + 6 e4 4) 7 e2 − 5 e2 + 3 e5 − 1 e8 + 13 e2 5) (12−5) 2 + (9−3) 2 + (8−5) 4 + (13−4) 2 6) (11+4) 2 + (5+4) 2 + (13+7) 2 + (1+5) 2 7) (5 . 4) 2 + (3 . 2) 2 + (4 . 3) 2 + (5 . 3) 2 8) (50 :10) 2 + (24 :3) 2 + (21 :7) 2 + (45 :5) 2

Potencias especiales

Potencia de exponente cero.Potencia de exponente unitario.

Potencia de exponente cero

La potencia de exponente cero es igual a la unidad.

EJEMPLOS:

𝑎 0 =1 1) 5 e0 =1 2) 9 e0 =1

Potencia de exponente unitario

La potencia de exponente unitario es igual a la base.

EJEMPLOS: 𝑎 1 =𝑎

1) 5 e1 =5 2) 12 e1 =12

Propiedades

En muchas ocasiones nos facilitarán los cálculos.

Potencia de un producto

Es igual al producto de las potencias enésimas de los factores.

EJEMPLOS:

(𝑎×𝑏) 𝑛 = 𝑎 𝑛 × 𝑏 𝑛

1) (5×4) 2 = 5 e2 × 4 e2 = 25 ×16 = 4002) (2×6) 3 = 2 e3 × 6 e3 = 8×216 = 1728

Potencia de un cociente

Es igual al cociente de la potencia enésima del dividendo entre la potencia enésima del divisor.

EJEMPLOS:

(𝑎 :𝑏) 𝑛 = 𝑎 𝑛 : 𝑏 𝑛1) (6 :3) 2 = 6 e2 : 3 e2 =36 :9 = 4

2) (10 :2) 3 = 10 3 : 2 3 = 1000 :8 = 125

Producto de potencias de igual base

Es igual a la base común elevada a la suma de los exponentes de las potencias. EJEMPLOS:

𝑎 𝑚 × 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚+𝑛1) 5 e2 × 5 e4 = 5 e6

2) 3 e5 × 3 e2 = 3 e7

Cociente de potencias de igual base Es igual a la base común elevada a la diferencia de los exponentes de las potencias. EJEMPLOS:

𝑎 𝑚 : 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛1) 3 e8 : 3 e6 = 3 e2 2) 2 e100 : 2 e95 = 2 e5

Potencia de potencia Es igual a la primera base elevada al producto de los exponentes de las potencias. EJEMPLOS:

𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑎 𝑚𝑛

1) ( 3 e2 ) e4 = 3 e8

Ejercicios Resolvemos ejercicios aplicando las propiedades de la potenciación.

Ejercicio 1 Simplifica la siguiente expresión:

2 e3 × 2 e7 × 2 e5 2 e4 × 2 e8 = 2 e15 2 e12 = 2 e3 =8

Ejercicio 2 Simplifica la siguiente expresión:

5 e4 × 5 e8 × 3 e7 x 3 e4 × 5 e10 × 3 e2 = 5 e12 × 3 e7 x 5 e10 × 3 e6 = 5 e2 ×3 =75

Ejercicio 3 Verifica la siguiente igualdad: (4×3×2) e3 = 4 e3 × 3 e3 × 2 e3 (12×2) 3 e64×27×8 (24)e 3 1728×8 13 824 13 824

Al resolver las operaciones en ambos lados de la igualdad se obtiene el mismo resultado.

Ejercicio 5 ¿Cuántos cubitos hay en el cubo? 3 x 3 x 3 = 27 3 3 3 RESPUESTA: En el cubo grande hay 27 cubitos

ACTIVIDAD POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES