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Unidad 3 La Integral definida 3 - 41

Sugerencias para quien imparte el curso

Anteriormente se calcularon algunas áreas empleando solamente fórmulas de la geometría plana para obtener áreas de triángulos, rectángulos y trapecios; Se utilizó también la aproximación numérica. Sin embargo éste último método aun cuando es muy útil, conlleva muchas operaciones y es factible cometer algún error en el

desarrollo de la solución. Al concluir lo anterior cabe mencionar que hasta aquí se tiene una primera aproximación a una importante relación entre las funciones f(x) y A(x), que se conoce como el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Arribamos ahora al uso de una herramienta muy poderosa, La función área A(x) que hemos obtenido, también se conoce como la integral de la función f(x) y el procedimiento para encontrarla se realiza mediante una operación llamada integración.Es muy importante reconocer el concepto de Integral definida como un poderoso recurso para calcular áreas, volúmenes, etc.

Conceptos clave

13. Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f una función continua en el intervalo [ a, b ] , y F cualquier función para la cual

se tiene que F´(x) = f(x). Entonces

b

a

f x dx F(x) b

a

= F(b) – F(a)

De esta manera se define la Integral definida

14. Propiedades de la integral definida

a) Si f(a) existe, entonces ( ) 0

a

a

f x dx

b) Si f es integrable en [a, b ], entonces ( ) ( )

a b

b a

f x dx f x dx

c) Si f es integrable en [a, b ], entonces b b

a a

kf x dx k f x dx , en donde k es

cualquier constante .

Sean f y g funciones integrables en [ a, b ], entonces

3 - 42 Unidad 3 La Integral Definida

d) b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

e) b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx , donde c está en [ a, b ],

f) b b

a a

kdx k dx k b a , donde k es cualquier constante.

g) Sea f integrable en [ a, b ] y f(x) 0 para toda x en [ a, b ], entonces

0

b

a

f x dx

Obtengamos el valor de integrales definidas sencillas y posteriormente lo aplicaremos al cálculo de áreas

Ejemplo 5

Evaluar 2

5

5x dx

Solución; usando las propiedades (b) y (f) tenemos

2

5

5xdx

=

5 5 2 2

2 2

25 4 125 20 1455 5 5 5 5

2 2 2 2 2 2 2

x xx dx xdx

Ejemplo 6

Obtén

0 3

3 3

1 0

x dx x dx


Solución; usando la propiedad (e) 0 3

33 3 3

11 0

x dx x dx x dx

, ahora integrando y

evaluando tenemos

El resultado de la integral indefinida es F(x) = 4

4

xC evaluando

F(3) = 4(3) 81

4 4 y F(-1) =

4( 1) 1

4 4

y hacemos la diferencia F(3) – F(-1)

Sugerencia para quien imparte el curso

Enfatizar a los alumnos, que la manera más fácil de obtener una integral definida es calcular la integral indefinida y después sustituir en la variable x el límite superior, después el límite inferior y posteriormente hacer la diferencia de acuerdo al teorema fundamental del Cálculo.

Ejemplo 7

Evalúa 3

2

2

2 4 3x x dx

Solución. Usando las propiedades de la integral definida y el teorema fundamental del cálculo tenemos

3

2

2

2 4 3x x dx =

33 3 3

2 2 2

2

2 2(3) 2(2)2 3 2(3) 3(3) 2(2) 3(2)

3 3 3

xx x

Completa el resultado

Ejercicio 10

Usando las propiedades de la integral definida y el teorema fundamental del cálculo evalúa las siguientes integrales


1. 6

1

xdx

2. 5

2

5 dx

3. 3

1

6 3x dx

4. 4

2

1

3 2 4x x dx

5. 4.5

2

2

1 2x dx

Ejemplo 8

Calcula 2

2

0

cos xdx

Solución; Usando la identidad trigonométrica cos2 A = 1 1

cos 22 2

A en la integral

al sustituir tenemos 2

2

0

cos xdx

= 2

0

1 1cos 2

2 2x dx

=

2 2

0 0

1 1cos 2

2 2dx xdx

¿Cuánto vale la primera integral? _____________

¿Cuánto vale la segunda integral? ______________

Sumando los resultados tendremos


Ejercicio 11

1. Evaluar 2

0

sen dx

2. Evaluar 3

2

1

10x x dx

3. Evaluar 2

2

0

cos

1

xdx

sen x

Obtengamos ahora, mediante la integral definida, las áreas que obtuviste previamente usando las fórmulas de geometría plana

Ejemplo 9

El área bajo la función constante f(x) = c, donde c es una constante arbitraria

cualquiera en el intervalo [0, x] es:

Y

f(x) = c

0

0 0

( ) ( ) (0)

x xx

A f x dx c dx cx c x c cx

Ejemplo 10

El área bajo la función constante f(x) = c, donde c es una constante arbitraria cualquiera en el intervalo [a, x] es:

0 x X


Y f(x) = c ( ) ( ) ( ) ( )

xx x

a a a

A f x dx c dx cx c x c a c x a

Ejemplo 11

El área bajo la función constante f(x) = c, donde c es una constante arbitraria cualquiera en el intervalo [a, b] es:

Y f(x) = c ( ) | ( ) ( ) ( )

bb b

a a a

A f x dx c dx cx c b c a c b a

Ejemplo 12

El área bajo la función lineal f(x) = x en el intervalo [0, x] es:

Y

f(x) = x

2 2 2 2

0

0 0

( ) (0 )( )

2 2 2 2

x xxx x x

A f x dx x dx

0 x X

Ejemplo 13 El área bajo la función lineal f(x) = x en el intervalo [a, x] es:

a b

X

0 a x X


Y f(x) = x 2 2 2 2 2( )

2 2 2 2

xx

a

a

x x a x aA x dx

0 a x X

Ejemplo 14

El área bajo la función lineal f(x) = x en el intervalo [a, b] es:

Y

f(x) = x 2 2 2 2 2( )

2 2 2 2

bb

a

a

x b a b aA x dx

Ejemplo 15

El área bajo una función f(x) = mx + b , siendo m positiva en el intervalo [0, x] es:

Y

f(x) = mx + b

2 2

0

( )2 2

xx

o

mx mxA mx b dx bx bx

0 x X

Ejemplo 16 El área bajo una función f(x) = mx + b en el intervalo [a, x] es:

0 a b X


Y f(x) = mx + b

0 a x X

2 2 2 2 2( )( ) ( )

2 2 2 2

xx

a

a

mx mx ma m x aA mx b dx bx bx ba b x a

Ejemplo 17

El área bajo una función f(x) = mx + b, siendo m negativa en el intervalo [a, b] es:

Y f(x) = mx + b

0 a b

2 2 2 2 2( )( ) ( )

2 2 2 2

bb

a

a

mx mb ma m b aA mx b dx bx bb ba b b a


Recalcar a los alumnos que se han obtenido los mismos resultados utilizando fórmulas geométricas, que usando la integral definida. Pedir a los alumnos aplicar la integral definida para obtener, con valores numéricos, el área que se encuentra limitada por los ejes coordenados, las funciones que se proporcionan y los intervalos

señalados. Que los alumnos planteen la integral y la resuelvan.


Ejercicio 12

a) f(x) = 5 en el intervalo [1, 5]

b) f(x) = -2x en el intervalo [-2, 0]

c) f(x) =0.5x en el intervalo [1, 6]


d) f(x) = 3x + 2 en el intervalo [1, 4]

e) f(x) = - 2x +1 en el intervalo [0.5, 5]



Preguntar a los alumnos porqué consideran que resultó negativa esta área, permitirles hagan conjeturas sobre esto y aclarar al final que el área calculada se encuentra debajo del Eje X y ésa será la interpretación que se le dará al signo. Sin embargo el valor del área siempre será el valor absoluto correspondiente

f) f(x) = - 3x–2 en el intervalo [-2, 5]

Sugerir a los alumnos calcular 3 integrales diferentes como las que se encuentran enseguida. Tomar en cuenta que de la gráfica se observa que la segunda y tercera partes se encuentran abajo del eje X.

2

3

1

2

( 3 2)A x dx

_____________________________________________

0

2

2

3

( 3 2)A x dx

______________________________________________

5

3

0

( 3 2)A x dx _______________________________________________

ÁREAS BAJO UNA CURVA

Conceptos clave

El área pedida se debe dividir en 3

partes. La primera de -2 a 2

3 ; la

segunda de 2

3 hasta cero y la tercera

parte de cero a 5. ¿Cómo se obtendría el área total?


Si deseamos obtener el área de la superficie limitada por una curva y = f(x) y uno de los ejes de coordenadas, conviene mostrar en la gráfica el elemento de área (un rectángulo) y utilizar alguno de los casos siguientes:

ax

Un extremo del rectángulo se apoya en el eje X y el otro en la curva. En este primer caso el elemento de área (rectángulo) es vertical, su altura es y = f(x) y su ancho dx, por lo tanto el área se calcula con la siguiente integral:

( )

x b x b

x a x a

A y dx f x dx

En este segundo caso el elemento de área (rectángulo) es horizontal, el largo es x=g(y) y la altura dy, por lo tanto el área se obtiene con la siguiente integral:

bx

y = f(x) Y

X

y=d

y=c

X

Y

15.

16.

x = g(y)


( )

y d y d

y c y c

A x dy g y dy

Un extremo del elemento de área (el rectángulo) se apoya en el eje Y mientras que el otro en la curva.

Problema de la parábola (1)

Calcular el área bajo la curva f(x) = x2+1 desde x = 1 hasta x = 3.


Encontrar el área bajo la curva f(x) = - x2 +4 x +8.

Lo nuevo en este ejercicio es que no se dan explícitamente los límites de la región cuya área se pide calcular.

Observando la forma de la función, sabemos que se trata de una parábola que abre hacia abajo, ¿porqué?

Necesitamos encontrar las abscisas de los puntos donde la parábola corta el

eje X, para esto, resolvemos la ecuación -x2 +4 x +8 = 0

Obtenemos 1 22 2 3 y 2 2 3x x

Tratándose de una parábola cuyo vértice está arriba del eje X, queda definida una región bajo la curva y = f(x), es decir entre la curva y el eje X.

En este caso el rectángulo es vertical

¿Con qué integral se calcula esta área?


¿Cuál es la integral con la que se calcula el área?


Encontrar el área entre la curva 21( ) 4 7

2f x x x , y el eje X.

Una vez más, se deben encontrar las raíces de f(x), que serán los valores de x donde f(x) corta al eje X, es decir donde f(x) = 0:

214 7 0

2x x , de donde

1 24 30 4 30x y x

¿Cuál es la integral con la que se obtiene el área?

El resultado debe ser A=109.5445 u2

Nuevamente el rectángulo es vertical


El área seguirá siendo positiva como aprendimos a manejarla en Geometría elemental. El signo menos sólo nos informa que el área se ubica abajo del eje X. No será tomado en cuenta cuando se tenga que sumar el área con la de otras regiones.

Problema de la parábola horizontal

Calcular el área comprendida entre la curva y2 = x+1, el eje Y y las rectas horizontales y = 1 y y = 3.

Por la posición que tiene ahora la superficie a determinar, el elemento de área debe ser horizontal

Lo que lleva implícita la idea de sumar una serie de rectángulos de altura dy y largo x = g(y). Con lo que ahora utilizaremos el concepto clave 14

( )y d

y cA g y dy

verifica lo siguiente

La integral ahora será 3 23

2 2

11

20( 1) ( ) ________________

3 3

yA y dy y u

Ejemplo 18

Encontrar el área de la superficie limitada por la curva 2 4y x , el eje Y , las

rectas y=2 y y=5

La gráfica corresponde a una parábola vertical con vértice en el origen, pero ahora se pide el área con referencia al eje Y


El área se obtiene calculando la integral 2

5

2 4

ydy

Comprueba que el resultado es A=39

4 u2

Ejemplo 19

Encontrar el área bajo la curva f(x) = x3 + 3x2 – x + 1, en el intervalo

[- 2, 1].

Se muestra enseguida su gráfica:

En este caso el rectángulo es vertical y el área se calcula mediante la integral

1

3 2

2

3 1A x x x dx

¿Cuál es el valor de la integral?


Problema del área total

Encontrar el área total comprendida entre la función f(x) = x3- 9x, y el eje X.

Calculando las raíces de x3- 9x = 0, para conocer los puntos donde corta al eje X

obtenemos x1 =-3, x2 =0 y x3= 3

Es conveniente observar la gráfica de esta función para entender cómo calcular el área solicitada:

Por lo tanto: 2

2

81_____________

4

81

4

81uAT

¿Qué ocurriría si el alumno no se percatara que una parte del área está bajo

el eje X? Calcularía simplemente

3

3

23 0_________________________________________)9( udxxxA (!!!)

Problema del área bajo una arcada de ( )f x sen x

A1

A2

El área entre la curva y el eje X consta de dos regiones, A1 arriba y A2 abajo del eje X.

Por lo que establecimos anteriormente para áreas abajo del eje X, el área total que buscamos deberá obtenerse con la suma del valor absoluto del área de cada una de las regiones:

21 AAAT ahora:

0

3

3

1 ________________)9( dxxxA

_________________________ 2

4

81u

3

0

3

2 ________________)9( dxxxA

_________________________ 2

4

81u


Una arcada de la función sen x corresponde al área entre la curva ( )f x sen x

y el eje X en un período completo

Completa los cálculos cuidadosamente:

0

2

0

2

)cos(cos xxdxxsendxxsenAT = ___________________

___________________________________________________________ = 4u2

Ejercicio 13

Obtén el área bajo la curva en el intervalo señalado:

1. y = -x2 +1 en el intervalo [-2, 2] 2. y = x3 en el intervalo [-1, 0] 3. y = - x3+x2 en el intervalo [–1, 1] 4. y = x3 - x + 2 en el intervalo [-1.5, 1.5]

5. y = x4 – x2 + 1 en el intervalo [- 1, 1] 6. y = x3 – 2x2 + x + 1 en el intervalo [0, 2] 7. y = 3x3 + 3x2 + x + 2 en el intervalo [-1, 0]

8. f(x) = cos x, desde x = 2

hasta x =

2

De ser posible bosqueja la gráfica de cada función al resolverlos.

El área requerida consta de dos partes, una positiva desde cero hasta π, que está arriba del eje X y la otra, negativa,

desde hasta 2 que está situada abajo del eje X. para evitar que las áreas se anulen una con otra tomaremos el valor absoluto de la segunda


ÁREA ENTRE DOS CURVAS

Conceptos clave

Al obtener el área entre dos curvas, se presentan también los dos casos siguientes:

17.

Los límites de integración, a y b, corresponden a las abscisas de los puntos de intersección de las curvas.

18.

En este caso el elemento de área (rectángulo) se coloca en forma vertical estando el extremo superior en la curva que abre hacia abajo y el inferior en la curva que abre hacia arriba.

Si y1 = f1(x) corresponde a la primera curva y y2 = f2(x)

corresponde a la segunda, la altura del rectángulo es

1 2( ) ( )f x f x y el ancho dy

Por lo tanto para obtener el área se utiliza la siguiente integral:

1 2( ( ) ( ))

b

a

f x f x dy

En este segundo caso el rectángulo se coloca en forma horizontal de modo que sus extremos están en una y en otra

curva. Si 1 1( )x g y corresponde

a la curva que abre hacia la

izquierda y 2 2 ( )x g y

corresponde a la que abre hacia la derecha, el largo del rectángulo es ahora

1 2( ) ( )g y g y y la altura es dy ,

por lo tanto el área se obtiene utilizando la siguiente integral:

1 2( ) ( )

d

c

A g y g y dy


Los límites de integración corresponden ahora a las ordenadas de los puntos de intersección de las curvas

Ejemplo 20

Al dar inicio al estudio de esta Unidad planteamos un problema inicial que corresponde a hallar la superficie de un terreno. Se sugirió obtener el área con-

siderando el área de una superficie acotada por la parábola 2y x y la recta

2 1y x al utilizar un sistema de coordenadas, como se puede apreciar en la

figura siguiente y eligiendo una escala apropiada.

Con lo que hemos aprendido hasta ahora podemos considerar si el elemento de área puede ser horizontal o vertical.

Si inscribimos un rectángulo horizontal hay una parte del área cercana al vértice de la parábola en la cual los extremos del rectángulo estarían solo en la parábola.

Por otro lado si insertamos un rectángulo vertical, en cualquier posición éste tiene sus extremos en la parábola y en la recta.

Por lo anterior elegimos el rectángulo vertical cuya altura es la diferencia entre la ordenada de la recta y la ordenada de la parábola.

Los límites de integración serán las abscisas de los puntos de intersección.

Para esto, igualamos las y 2 2 1x x y resolvemos esta ecuación. Las raíces

son: 1 21 2 , 1 2x x


Entonces la integral será: 1 2 2.414213

2

1 2 0.414213( ) (2 1 )recta parábolay y dx x x dx

Comprobar que el resultado es 3.771236 u2

Ejemplo 21

Obtener el área limitada por las curvas 2 22 3 y 6 3y x x y x x

Resolvemos en primer lugar el sistema formado por las ecuaciones, en este

caso igualando las y , 2 22 3 6 3x x x x

Igualando a cero y simplificando tenemos 22 8 0x x

Las raíces de esta ecuación son 1 20, 4x x . Estos valores, al sustituirlos en

las ecuaciones nos proporcionan los puntos ( 0, -3) y (4, 5).

Observemos la gráfica enseguida

¿Cuál es el valor de esta integral?

Debiste haber obtenido 64

3

Ejemplo 22

Obtener el área entre la curva 24y x y la recta 1y x

Al igualar las y, resulta la ecuación 24 1x x , simplificándola tenemos 2 5 0x x

Las raíces de la ecuación son:

1 2

1 21 1 211.791287, 2.791287

2 2x x

El elemento de área debe ser vertical, su altura es la diferencia entre la y de la parábola que abre hacia abajo y la y de la parábola que abre hacia arriba:

2 2

2 1( ) ( 6 3 2 3)y y x x x x

El ancho es dx

Por tanto el área se calcula con la integral

4

2

0

( 2 8 )A x x dx


La gráfica se muestra enseguida y el elemento de área debe ser vertical con

una altura 2( 5)parábola rectay y x x

Y un ancho dx


Debiste haber obtenido A=16.039014 u2

Ejemplo 23

Obtener el área comprendida entre las curvas 2 24 y 2y x y x

Para resolver el sistema se igualan las x y se tiene 2 24 2y y

Al igualarla a cero y simplificar se tiene 22 6 0y cuyas raíces son 3y

La gráfica se muestra enseguida

Para obtener el área se podrá integrar desde cero hasta 3 y multiplicar por 2

Para obtener el área se debe calcular la siguiente integral:

1.791287

2

2.791287

( 5)A x x dx

Observando la gráfica nos percatamos que el área buscada queda dividida exactamente a la mitad por el eje X, por lo tanto podemos colocar el elemento de área en forma horizontal. El largo del rectángulo será la diferencia entre las x de las parábolas

2 2 2(2 4) (6 2 )y y y

La altura será dy


3

2

0

2 (6 2 ) ________A y dy

¿Cuál es el valor de esta integral ?

Debiste haber obtenido A= 13.8564 u2

Ejemplo 24

Obtener el área de la superficie limitada por la curva 2 2y x y la recta

2y x

Igualamos las x para resolver el sistema y obtenemos la ecuación 2 2 4 0y y

La cual tiene como raíces 1 21 5 1.23606, y 1 5 3.23606y y ,

Conviene, en este caso considerar el elemento de área horizontal

El largo del rectángulo será la diferencia entre la x de la parábola y la x de la

recta 2( 2 4)y y y la altura dy

Los límites de integración serán 1 5 1 5y , que corresponden a las

ordenadas de los puntos de intersección, por lo tanto el área se obtendrá con la integral

1.23606

2

3.23606

( 2 4)A y y dy


A= 14.90711 u2


Ejercicio 14

Obtener el área comprendida entre las siguientes curvas.

1. 2( )f x x y 2( ) 4f x x x

2. ( ) 2 , ( ) 2x xf x f x y la recta x=2

3. f(x) = 2x – x2 y g(x) = - 3

4. 3 2( ) 2 3 9f x x x x y 3 2( ) 2 3f x x x x

5. 2( )f y y y ( ) 4g y

6. f(y) = 3y – y2 y g(y) = 3 – y

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