Modelo Media-Varianza para la Gestion dePortafolios

Maestra en Finanzas

Luis Chavez Bedoya, PhD

Esan Graduate School of Business

Lima, Junio de 2014

1 Relacion riesgo-rendimiento

2 Rendimiento esperado, varianza y covarianza

3 Rendimiento esperado y varianza de un portafolio

4 Problema del portafolio con activos riesgosos

5 Problema del portafolio con activo libre de riesgo

Introduccion

El balance entre rendimiento y riesgo es un aspectofundamental en las finanzas

Son dos caras de la misma moneda

No hay un consenso claro en como definir el riesgo de unactivo o de una decision financiera

Como incorporar y administrar el riesgo en las decisionesfinancieras?

Introduccion

El balance entre rendimiento y riesgo es un aspectofundamental en las finanzas

Son dos caras de la misma moneda

No hay un consenso claro en como definir el riesgo de unactivo o de una decision financiera

Como incorporar y administrar el riesgo en las decisionesfinancieras?

Introduccion

El balance entre rendimiento y riesgo es un aspectofundamental en las finanzas

Son dos caras de la misma moneda

No hay un consenso claro en como definir el riesgo de unactivo o de una decision financiera

Como incorporar y administrar el riesgo en las decisionesfinancieras?

Introduccion

El balance entre rendimiento y riesgo es un aspectofundamental en las finanzas

Son dos caras de la misma moneda

No hay un consenso claro en como definir el riesgo de unactivo o de una decision financiera

Como incorporar y administrar el riesgo en las decisionesfinancieras?

Introduccion

El balance entre rendimiento y riesgo es un aspectofundamental en las finanzas

Son dos caras de la misma moneda

No hay un consenso claro en como definir el riesgo de unactivo o de una decision financiera

Como incorporar y administrar el riesgo en las decisionesfinancieras?

Introduccion

Mucha de la teora financiera trata de explicar la relacionriesgo-rendimiento de los activos

A mas riesgo se requiere mayor rendimiento

No se debe compensar riesgos que pueden ser evitados

Existen actores en el mercado que corrigen desbalances enesta relacion

Introduccion

Mucha de la teora financiera trata de explicar la relacionriesgo-rendimiento de los activos

A mas riesgo se requiere mayor rendimiento

No se debe compensar riesgos que pueden ser evitados

Existen actores en el mercado que corrigen desbalances enesta relacion

Introduccion

Mucha de la teora financiera trata de explicar la relacionriesgo-rendimiento de los activos

A mas riesgo se requiere mayor rendimiento

No se debe compensar riesgos que pueden ser evitados

Existen actores en el mercado que corrigen desbalances enesta relacion

Introduccion

Mucha de la teora financiera trata de explicar la relacionriesgo-rendimiento de los activos

A mas riesgo se requiere mayor rendimiento

No se debe compensar riesgos que pueden ser evitados

Existen actores en el mercado que corrigen desbalances enesta relacion

Introduccion

Mucha de la teora financiera trata de explicar la relacionriesgo-rendimiento de los activos

A mas riesgo se requiere mayor rendimiento

No se debe compensar riesgos que pueden ser evitados

Existen actores en el mercado que corrigen desbalances enesta relacion

Rendimiento de un activo

Un instrumento de inversion que puede ser comprado y vendido sellama activo, un concepto fundamental de los activos es surendimiento

Rendimiento total

Supongamos que compramos un activo en el tiempo cero, y un anodespues lo vendemos. El rendimiento total de la inversion se definecomo:

rendimiento total =cantidad recibida

cantidad invertida

Rendimiento de un activo

Un instrumento de inversion que puede ser comprado y vendido sellama activo, un concepto fundamental de los activos es surendimiento

Rendimiento total

Supongamos que compramos un activo en el tiempo cero, y un anodespues lo vendemos. El rendimiento total de la inversion se definecomo:

rendimiento total =cantidad recibida

cantidad invertida

Rendimiento de un activo

Un instrumento de inversion que puede ser comprado y vendido sellama activo, un concepto fundamental de los activos es surendimiento

Rendimiento total

Supongamos que compramos un activo en el tiempo cero, y un anodespues lo vendemos. El rendimiento total de la inversion se definecomo:

rendimiento total =cantidad recibida

cantidad invertida

Rendimiento de un activo

Un instrumento de inversion que puede ser comprado y vendido sellama activo, un concepto fundamental de los activos es surendimiento

Rendimiento total

Supongamos que compramos un activo en el tiempo cero, y un anodespues lo vendemos. El rendimiento total de la inversion se definecomo:

rendimiento total =cantidad recibida

cantidad invertida

Rendimiento de un activo

Un instrumento de inversion que puede ser comprado y vendido sellama activo, un concepto fundamental de los activos es surendimiento

Rendimiento total

Supongamos que compramos un activo en el tiempo cero, y un anodespues lo vendemos. El rendimiento total de la inversion se definecomo:

rendimiento total =cantidad recibida

cantidad invertida

Rendimiento de un activo

Un instrumento de inversion que puede ser comprado y vendidofrecuentemente se llama activo, un concepto fundamental de losactivos es su rendimiento

Rendimiento porcentual

Supongamos que compramos un activo en el tiempo cero, y unano despues lo vendemos. El rendimiento porcentual o tasa derendimiento de la inversion se define como:

rendimiento porcentual =cantidad recibida cantidad invertida

cantidad invertida

Rendimiento de un activo

Un instrumento de inversion que puede ser comprado y vendidofrecuentemente se llama activo, un concepto fundamental de losactivos es su rendimiento

Rendimiento porcentual

Supongamos que compramos un activo en el tiempo cero, y unano despues lo vendemos. El rendimiento porcentual o tasa derendimiento de la inversion se define como:

rendimiento porcentual =cantidad recibida cantidad invertida

cantidad invertida

Rendimiento de un activo

Un instrumento de inversion que puede ser comprado y vendidofrecuentemente se llama activo, un concepto fundamental de losactivos es su rendimiento

Rendimiento porcentual

Supongamos que compramos un activo en el tiempo cero, y unano despues lo vendemos. El rendimiento porcentual o tasa derendimiento de la inversion se define como:

rendimiento porcentual =cantidad recibida cantidad invertida

cantidad invertida

Rendimiento de un activo

Sean X0 y X1 la cantidad de dinero invertida y recibida. Sidenotamos como r a la tasa de rendimiento, entonces

r =X1 X0

X0

Rendimiento de un activo

Sean X0 y X1 la cantidad de dinero invertida y recibida. Sidenotamos como r a la tasa de rendimiento, entonces

r =X1 X0

X0

Rendimiento de un activo

Sean X0 y X1 la cantidad de dinero invertida y recibida. Sidenotamos como r a la tasa de rendimiento, entonces

r =X1 X0

X0

Riesgo: ideas preliminares

No existe una definicion universalmente aceptada de riesgo

Queremos una medida de riesgo de los rendimientos de losactivos

Riesgo puede considerarse como una medida de dispersion delrendimiento

Estudiaremos la varianza y desviacion estandar como medidasde riesgo

Riesgo: ideas preliminares

No existe una definicion universalmente aceptada de riesgo

Queremos una medida de riesgo de los rendimientos de losactivos

Riesgo puede considerarse como una medida de dispersion delrendimiento

Estudiaremos la varianza y desviacion estandar como medidasde riesgo

Riesgo: ideas preliminares

No existe una definicion universalmente aceptada de riesgo

Queremos una medida de riesgo de los rendimientos de losactivos

Riesgo puede considerarse como una medida de dispersion delrendimiento

Estudiaremos la varianza y desviacion estandar como medidasde riesgo

Riesgo: ideas preliminares

No existe una definicion universalmente aceptada de riesgo

Queremos una medida de riesgo de los rendimientos de losactivos

Riesgo puede considerarse como una medida de dispersion delrendimiento

Estudiaremos la varianza y desviacion estandar como medidasde riesgo

Riesgo: ideas preliminares

No existe una definicion universalmente aceptada de riesgo

Queremos una medida de riesgo de los rendimientos de losactivos

Riesgo puede considerarse como una medida de dispersion delrendimiento

Estudiaremos la varianza y desviacion estandar como medidasde riesgo

Riesgo: varianza y desviacion estandar

La varianza y su raz cuadrada, la desviacion estandar son las dosmedidas mas comunes de la variabilidad o dispersion. Utilizaremos2 para denotar a la varianza, y para la desviacion estandar

A la desviacion estandar tambien se le denomina volatilidad

Riesgo: varianza y desviacion estandar

La varianza y su raz cuadrada, la desviacion estandar son las dosmedidas mas comunes de la variabilidad o dispersion. Utilizaremos2 para denotar a la varianza, y para la desviacion estandar

A la desviacion estandar tambien se le denomina volatilidad

Riesgo: varianza y desviacion estandar

La varianza y su raz cuadrada, la desviacion estandar son las dosmedidas mas comunes de la variabilidad o dispersion. Utilizaremos2 para denotar a la varianza, y para la desviacion estandar

A la desviacion estandar tambien se le denomina volatilidad

Relacion riesgo-rendimiento

Figura: Relacion riesgo rendimiento para una serie de activos

Relacion riesgo-rendimiento

Figura: Relacion riesgo rendimiento para una serie de activos

Relacion riesgo-rendimiento

Figura: Relacion riesgo rendimiento para una serie de activos. Portafoliosdominados aparecen en rojo

Relacion riesgo-rendimiento

Figura: Relacion riesgo rendimiento para una serie de activos. Portafoliosdominados aparecen en rojo

Riesgo y rendimiento: prediccion

Nosotros podemos calcular de manera precisa el riesgo yrendimiento historico de ciertos activos, pues basta una serie dedatos que produzca estimadores estadsticamente adecuados de lamedia y la varianza.

Lamentablemente, lo mas comun es que se necesite predecir tantola media como la varianza de los rendimientos para un periodofuturo: un mes, un ano etc.

Que tan bueno es utilizar datos historicos para predecir medias yvarianzas?

Riesgo y rendimiento: prediccion

Nosotros podemos calcular de manera precisa el riesgo yrendimiento historico de ciertos activos, pues basta una serie dedatos que produzca estimadores estadsticamente adecuados de lamedia y la varianza.

Lamentablemente, lo mas comun es que se necesite predecir tantola media como la varianza de los rendimientos para un periodofuturo: un mes, un ano etc.

Que tan bueno es utilizar datos historicos para predecir medias yvarianzas?

Riesgo y rendimiento: prediccion

Nosotros podemos calcular de manera precisa el riesgo yrendimiento historico de ciertos activos, pues basta una serie dedatos que produzca estimadores estadsticamente adecuados de lamedia y la varianza.

Lamentablemente, lo mas comun es que se necesite predecir tantola media como la varianza de los rendimientos para un periodofuturo: un mes, un ano etc.

Que tan bueno es utilizar datos historicos para predecir medias yvarianzas?

Riesgo y rendimiento: prediccion

Nosotros podemos calcular de manera precisa el riesgo yrendimiento historico de ciertos activos, pues basta una serie dedatos que produzca estimadores estadsticamente adecuados de lamedia y la varianza.

Lamentablemente, lo mas comun es que se necesite predecir tantola media como la varianza de los rendimientos para un periodofuturo: un mes, un ano etc.

Que tan bueno es utilizar datos historicos para predecir medias yvarianzas?

Rendimiento esperado, varianza y covarianza

Datos sobre los activos

Existen 3 activos disponibles para construir el portafolio:

Tabla: Informacion sobre escenarios y retornos de los activos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3(Optimista) (Moderado) (Pesimista)

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

Datos sobre los activos

Existen 3 activos disponibles para construir el portafolio:

Tabla: Informacion sobre escenarios y retornos de los activos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3(Optimista) (Moderado) (Pesimista)

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

Calculando los rendimientos esperados

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

r1 = E[r1] = (0.25)(10%) + (0.5)(2%) + (0.25)(8%) = 1.5%

r2 = E[r2] = (0.25)(4%) + (0.5)(3%) + (0.25)(2%) = 2.0%

r3 = E[r3] = (0.25)(1%) + (0.5)(0.5%) + (0.25)(0%) = 0.5%

Calculando los rendimientos esperados

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

r1 =

E[r1] = (0.25)(10%) + (0.5)(2%) + (0.25)(8%) = 1.5%

r2 = E[r2] = (0.25)(4%) + (0.5)(3%) + (0.25)(2%) = 2.0%

r3 = E[r3] = (0.25)(1%) + (0.5)(0.5%) + (0.25)(0%) = 0.5%

Calculando los rendimientos esperados

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

r1 = E[r1] =

(0.25)(10%) + (0.5)(2%) + (0.25)(8%) = 1.5%

r2 = E[r2] = (0.25)(4%) + (0.5)(3%) + (0.25)(2%) = 2.0%

r3 = E[r3] = (0.25)(1%) + (0.5)(0.5%) + (0.25)(0%) = 0.5%

Calculando los rendimientos esperados

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

r1 = E[r1] = (0.25)(10%) + (0.5)(2%) + (0.25)(8%) = 1.5%

r2 = E[r2] = (0.25)(4%) + (0.5)(3%) + (0.25)(2%) = 2.0%

r3 = E[r3] = (0.25)(1%) + (0.5)(0.5%) + (0.25)(0%) = 0.5%

Calculando los rendimientos esperados

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

r1 = E[r1] = (0.25)(10%) + (0.5)(2%) + (0.25)(8%) = 1.5%

r2 = E[r2] = (0.25)(4%) + (0.5)(3%) + (0.25)(2%) = 2.0%

r3 = E[r3] = (0.25)(1%) + (0.5)(0.5%) + (0.25)(0%) = 0.5%

Calculando los rendimientos esperados

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

r1 = E[r1] = (0.25)(10%) + (0.5)(2%) + (0.25)(8%) = 1.5%

r2 = E[r2] = (0.25)(4%) + (0.5)(3%) + (0.25)(2%) = 2.0%

r3 = E[r3] = (0.25)(1%) + (0.5)(0.5%) + (0.25)(0%) = 0.5%

Calculando los retornos esperados

Se pueden colocar los rendimientos esperados individuales, ri , enun vector

r =

r1r2r3

= 1.5%2.0%

0.5%

Denotamos como r al vector de rendimientos esperados

Calculando los retornos esperados

Se pueden colocar los rendimientos esperados individuales, ri , enun vector

r =

r1r2r3

= 1.5%2.0%

0.5%

Denotamos como r al vector de rendimientos esperados

Calculando los retornos esperados

Se pueden colocar los rendimientos esperados individuales, ri , enun vector

r =

r1r2r3

= 1.5%2.0%

0.5%

Denotamos como r al vector de rendimientos esperados

Vector de rendimientos esperados

En general, si existen n activos, el vector de sus retornos esperadoses dado por

r =

r1r2...rn

donde ri es el retorno esperado del activo i

Vector de rendimientos esperados

En general, si existen n activos, el vector de sus retornos esperadoses dado por

r =

r1r2...rn

donde ri es el retorno esperado del activo i

Vector de rendimientos esperados

En general, si existen n activos, el vector de sus retornos esperadoses dado por

r =

r1r2...rn

donde ri es el retorno esperado del activo i

Calculando la varianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

21 = E[(r1 r1)2] = E[(r1 1.5%)2]= (0.25)(10% 1.5%)2 + (0.5)(2% 1.5%)2

+(0.25)(8% 1.5%)2= 0.004075

1 = 6.38%

Calculando la varianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

21 = E[(r1 r1)2] = E[(r1 1.5%)2]= (0.25)(10% 1.5%)2 + (0.5)(2% 1.5%)2

+(0.25)(8% 1.5%)2= 0.004075

1 = 6.38%

Calculando la varianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

21 = E[(r1 r1)2]

= E[(r1 1.5%)2]= (0.25)(10% 1.5%)2 + (0.5)(2% 1.5%)2

+(0.25)(8% 1.5%)2= 0.004075

1 = 6.38%

Calculando la varianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

21 = E[(r1 r1)2] = E[(r1 1.5%)2]

= (0.25)(10% 1.5%)2 + (0.5)(2% 1.5%)2+(0.25)(8% 1.5%)2

= 0.004075

1 = 6.38%

Calculando la varianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

21 = E[(r1 r1)2] = E[(r1 1.5%)2]= (0.25)(10% 1.5%)2 + (0.5)(2% 1.5%)2

+(0.25)(8% 1.5%)2

= 0.004075

1 = 6.38%

Calculando la varianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

21 = E[(r1 r1)2] = E[(r1 1.5%)2]= (0.25)(10% 1.5%)2 + (0.5)(2% 1.5%)2

+(0.25)(8% 1.5%)2= 0.004075

1 = 6.38%

Calculando la varianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

21 = E[(r1 r1)2] = E[(r1 1.5%)2]= (0.25)(10% 1.5%)2 + (0.5)(2% 1.5%)2

+(0.25)(8% 1.5%)2= 0.004075

1 = 6.38%

Calculando la varianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

22 = E[(r2 r2)2] = E[(r2 2%)2]= (0.25)(4% 2%)2 + (0.5)(3% 2%)2

+(0.25)(2% 2%)2= 0.00055

2 = 2.35%

Calculando la varianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

De la misma forma:

23 = E[(r3 r3)2] = 0.0000125

3 = 0.35%

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

12 = E[(r1 r1)(r2 r2)] = E[(r1 1.5%)(r2 2%)]= (0.25)(10% 1.5%)(4% 2%)

+(0.5)(2% 1.5%)(3% 2%)+(0.25)(8% 1.5%)(2% 2%)

= 0.0014

= 21

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

12 =

E[(r1 r1)(r2 r2)] = E[(r1 1.5%)(r2 2%)]= (0.25)(10% 1.5%)(4% 2%)

+(0.5)(2% 1.5%)(3% 2%)+(0.25)(8% 1.5%)(2% 2%)

= 0.0014

= 21

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

12 = E[(r1 r1)(r2 r2)] =

E[(r1 1.5%)(r2 2%)]= (0.25)(10% 1.5%)(4% 2%)

+(0.5)(2% 1.5%)(3% 2%)+(0.25)(8% 1.5%)(2% 2%)

= 0.0014

= 21

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

12 = E[(r1 r1)(r2 r2)] = E[(r1 1.5%)(r2 2%)]

= (0.25)(10% 1.5%)(4% 2%)+(0.5)(2% 1.5%)(3% 2%)+(0.25)(8% 1.5%)(2% 2%)

= 0.0014

= 21

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

12 = E[(r1 r1)(r2 r2)] = E[(r1 1.5%)(r2 2%)]= (0.25)(10% 1.5%)(4% 2%)

+(0.5)(2% 1.5%)(3% 2%)+(0.25)(8% 1.5%)(2% 2%)

= 0.0014

= 21

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

12 = E[(r1 r1)(r2 r2)] = E[(r1 1.5%)(r2 2%)]= (0.25)(10% 1.5%)(4% 2%)

+(0.5)(2% 1.5%)(3% 2%)+(0.25)(8% 1.5%)(2% 2%)

= 0.0014

= 21

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

12 = E[(r1 r1)(r2 r2)] = E[(r1 1.5%)(r2 2%)]= (0.25)(10% 1.5%)(4% 2%)

+(0.5)(2% 1.5%)(3% 2%)+(0.25)(8% 1.5%)(2% 2%)

= 0.0014

= 21

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

13 = E[(r1 r1)(r3 r3)] = E[(r1 1.5%)(r3 0.5%)]= (0.25)(10% 1.5%)(1% 0.5%)

+(0.5)(2% 1.5%)(0.5% 0.5%)+(0.25)(8% 1.5%)(0% 0.5%)

= 0.000225

= 31

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

13 = E[(r1 r1)(r3 r3)] = E[(r1 1.5%)(r3 0.5%)]

= (0.25)(10% 1.5%)(1% 0.5%)+(0.5)(2% 1.5%)(0.5% 0.5%)+(0.25)(8% 1.5%)(0% 0.5%)

= 0.000225

= 31

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

13 = E[(r1 r1)(r3 r3)] = E[(r1 1.5%)(r3 0.5%)]= (0.25)(10% 1.5%)(1% 0.5%)

+(0.5)(2% 1.5%)(0.5% 0.5%)+(0.25)(8% 1.5%)(0% 0.5%)

= 0.000225

= 31

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

13 = E[(r1 r1)(r3 r3)] = E[(r1 1.5%)(r3 0.5%)]= (0.25)(10% 1.5%)(1% 0.5%)

+(0.5)(2% 1.5%)(0.5% 0.5%)+(0.25)(8% 1.5%)(0% 0.5%)

= 0.000225

= 31

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

13 = E[(r1 r1)(r3 r3)] = E[(r1 1.5%)(r3 0.5%)]= (0.25)(10% 1.5%)(1% 0.5%)

+(0.5)(2% 1.5%)(0.5% 0.5%)+(0.25)(8% 1.5%)(0% 0.5%)

= 0.000225

= 31

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

De la misma forma:

23 = E[(r2 r2)(r3 r3)] = E[(r1 1.5%)(r3 0.5%)]= 0.000075

= 32

Calculando la covarianza de los retornos

Prob. 0.25 0.5 0.25

Activo Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

1 10% 2% -8%2 4% 3% -2%3 1% 0.5% 0%

De la misma forma:

23 = E[(r2 r2)(r3 r3)] = E[(r1 1.5%)(r3 0.5%)]= 0.000075

= 32

Calculando la covarianza de los retornos

Podemos colocar las varianzas y covarianzas en una matriz

=

21 12 1321 22 2331 32

23

= 21 12 1312 22 2313 23

23

es la matriz de covarianza de los retornos

Debido a que ij = ji para i 6= j , es simetrica

Calculando la covarianza de los retornos

Podemos colocar las varianzas y covarianzas en una matriz

=

21 12 1321 22 2331 32

23

= 21 12 1312 22 2313 23

23

es la matriz de covarianza de los retornos

Debido a que ij = ji para i 6= j , es simetrica

Calculando la covarianza de los retornos

Podemos colocar las varianzas y covarianzas en una matriz

=

21 12 1321 22 2331 32

23

= 21 12 1312 22 2313 23

23

es la matriz de covarianza de los retornos

Debido a que ij = ji para i 6= j , es simetrica

Matriz e covarianza

Utilizando nuestros datos:

=

0.004075 0.0014 0.0002250.0014 0.00055 0.0000750.000225 0.000075 0.0000125

Matriz de covarianza en su forma general

En general, la matriz de covarianza de los retornos de los n activoses dada por

=

21 12 . . . 1j . . . 1n21

22 . . . 2j . . . 2n

......

. . ....

. . ....

i1 i2 . . . ij . . . in...

.... . .

.... . .

...n1 n2 . . . nj . . .

2n

Recordar que ij = ji para i 6= jLa diagonal de contiene 2i para i = 1, ..., n

Matriz de covarianza en su forma general

En general, la matriz de covarianza de los retornos de los n activoses dada por

=

21 12 . . . 1j . . . 1n21

22 . . . 2j . . . 2n

......

. . ....

. . ....

i1 i2 . . . ij . . . in...

.... . .

.... . .

...n1 n2 . . . nj . . .

2n

Recordar que ij = ji para i 6= j

La diagonal de contiene 2i para i = 1, ..., n

Matriz de covarianza en su forma general

En general, la matriz de covarianza de los retornos de los n activoses dada por

=

21 12 . . . 1j . . . 1n21

22 . . . 2j . . . 2n

......

. . ....

. . ....

i1 i2 . . . ij . . . in...

.... . .

.... . .

...n1 n2 . . . nj . . .

2n

Recordar que ij = ji para i 6= jLa diagonal de contiene 2i para i = 1, ..., n

Coeficiente de correlacion

Recordar que

ij =ijij

, para i 6= j

yii = 1

Es mas facil interpretar ij que ij porque 1 ij 1Se cumple que ij = ji

Se puede construir una matriz con elementos ij ,denominamos esta matriz como

Coeficiente de correlacion

Recordar que

ij =ijij

, para i 6= jy

ii = 1

Es mas facil interpretar ij que ij porque 1 ij 1Se cumple que ij = ji

Se puede construir una matriz con elementos ij ,denominamos esta matriz como

Coeficiente de correlacion

Recordar que

ij =ijij

, para i 6= jy

ii = 1

Es mas facil interpretar ij que ij porque 1 ij 1

Se cumple que ij = ji

Se puede construir una matriz con elementos ij ,denominamos esta matriz como

Coeficiente de correlacion

Recordar que

ij =ijij

, para i 6= jy

ii = 1

Es mas facil interpretar ij que ij porque 1 ij 1Se cumple que ij = ji

Se puede construir una matriz con elementos ij ,denominamos esta matriz como

Coeficiente de correlacion

Recordar que

ij =ijij

, para i 6= jy

ii = 1

Es mas facil interpretar ij que ij porque 1 ij 1Se cumple que ij = ji

Se puede construir una matriz con elementos ij ,denominamos esta matriz como

Matriz de coeficientes de correlacion - ejemplo

Utilizando los valores de ij en nuestro ejemplo:

=

1.00 0.935 0.9970.935 1.00 0.3320.997 0.332 1.00

Rendimiento esperado y varianza de un portafolio

Vector de pesos de un portafolio

Sea wi el peso del activo i en el portafolio, entonces

ni=1

wi = 1

Definimos el vector del pesos del portafolio como

w =

w1w2...wn

Vector de pesos de un portafolio

Sea wi el peso del activo i en el portafolio, entonces

ni=1

wi = 1

Definimos el vector del pesos del portafolio como

w =

w1w2...wn

Vector de unos

Definimos a 1 como el n-vector

1 =

11...1

Restriccion del portafolio

Recordar que la restriccion del portafolio viene dada por:

ni=1

wi = w1 + w2 + + wn = 1

Podemos expresar la constante como

1>w = 1

donde A> es la transpuesta A

Restriccion del portafolio

Recordar que la restriccion del portafolio viene dada por:

ni=1

wi = w1 + w2 + + wn = 1

Podemos expresar la constante como

1>w = 1

donde A> es la transpuesta A

Restriccion del portafolio

Recordar que la restriccion del portafolio viene dada por:

ni=1

wi = w1 + w2 + + wn = 1

Podemos expresar la constante como

1>w = 1

donde A> es la transpuesta A

Rendimiento esperado (media) del portafolio

Podemos expresar el rendimiento esperado de un portafolio como

rp =ni=1

riwi = r1w1 + r2w2 + + wn rn

En notacion matricial tenemos:

rp = r>w

Rendimiento esperado (media) del portafolio

Podemos expresar el rendimiento esperado de un portafolio como

rp =ni=1

riwi = r1w1 + r2w2 + + wn rn

En notacion matricial tenemos:

rp = r>w

Varianza de los rendimientos del portafolio

Podemos expresar la varianza de los rendimientos esperados delportafolio como

2p =ni=1

nj=1

wiwjij

En notacion matricial tenemos:

2p = w>w

Varianza de los rendimientos del portafolio

Podemos expresar la varianza de los rendimientos esperados delportafolio como

2p =ni=1

nj=1

wiwjij

En notacion matricial tenemos:

2p = w>w

Problema del portafolio con activos riesgosos

Problema del portafolio con activos riesgosos

Queremos resolver el siguiente problema de optimizacion:

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w =

Dado un target de rendimiento esperado, , queremos encontrarel portafolio con la menor varianza. Denotamos a los pesosoptimos del portafolio como w

Problema del portafolio con activos riesgosos

Queremos resolver el siguiente problema de optimizacion:

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w =

Dado un target de rendimiento esperado, , queremos encontrarel portafolio con la menor varianza. Denotamos a los pesosoptimos del portafolio como w

Problema del portafolio con activos riesgosos

Queremos resolver el siguiente problema de optimizacion:

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w =

Dado un target de rendimiento esperado, , queremos encontrarel portafolio con la menor varianza. Denotamos a los pesosoptimos del portafolio como w

Frontera eficiente

Por cada target de rendimiento, , podemos calcular elportafolio optimo w()

Tal portafolio optimo tiene una varianza dada por 2p(w())

La frontera eficiente es el grafico de vs. 2p(w())

(media-varianza)

La frontera eficiente tambien es el grafico de vs.p(w()) (media-desviacion estandar)

Los inversionistas solo seleccionaran portafolios que seencuentran en la frontera eficiente

Frontera eficiente

Por cada target de rendimiento, , podemos calcular elportafolio optimo w()

Tal portafolio optimo tiene una varianza dada por 2p(w())

La frontera eficiente es el grafico de vs. 2p(w())

(media-varianza)

La frontera eficiente tambien es el grafico de vs.p(w()) (media-desviacion estandar)

Los inversionistas solo seleccionaran portafolios que seencuentran en la frontera eficiente

Frontera eficiente

Por cada target de rendimiento, , podemos calcular elportafolio optimo w()

Tal portafolio optimo tiene una varianza dada por 2p(w())

La frontera eficiente es el grafico de vs. 2p(w())

(media-varianza)

La frontera eficiente tambien es el grafico de vs.p(w()) (media-desviacion estandar)

Los inversionistas solo seleccionaran portafolios que seencuentran en la frontera eficiente

Frontera eficiente

Por cada target de rendimiento, , podemos calcular elportafolio optimo w()

Tal portafolio optimo tiene una varianza dada por 2p(w())

La frontera eficiente es el grafico de vs. 2p(w())

(media-varianza)

La frontera eficiente tambien es el grafico de vs.p(w()) (media-desviacion estandar)

Los inversionistas solo seleccionaran portafolios que seencuentran en la frontera eficiente

Frontera eficiente

Por cada target de rendimiento, , podemos calcular elportafolio optimo w()

Tal portafolio optimo tiene una varianza dada por 2p(w())

La frontera eficiente es el grafico de vs. 2p(w())

(media-varianza)

La frontera eficiente tambien es el grafico de vs.p(w()) (media-desviacion estandar)

Los inversionistas solo seleccionaran portafolios que seencuentran en la frontera eficiente

Frontera eficiente

Por cada target de rendimiento, , podemos calcular elportafolio optimo w()

Tal portafolio optimo tiene una varianza dada por 2p(w())

La frontera eficiente es el grafico de vs. 2p(w())

(media-varianza)

La frontera eficiente tambien es el grafico de vs.p(w()) (media-desviacion estandar)

Los inversionistas solo seleccionaran portafolios que seencuentran en la frontera eficiente

Frontera eficiente

Por cada target de rendimiento, , podemos calcular elportafolio optimo w()

Tal portafolio optimo tiene una varianza dada por 2p(w())

La frontera eficiente es el grafico de vs. 2p(w())

(media-varianza)

La frontera eficiente tambien es el grafico de vs.p(w()) (media-desviacion estandar)

Los inversionistas solo seleccionaran portafolios que seencuentran en la frontera eficiente

Frontera eficiente

Figura: Frontera eficiente (media-desviacion estandar)

Frontera eficiente

El problema

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w =

no asegura que para el portafolio optimo wi 0 par todo i

Es decir, esta permitiendo la venta en corto de los activos, porquees posible que wi < 0 para ciertos i

Como se puede corregir esta situacion?

Frontera eficiente

El problemaMinimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w =

no asegura que para el portafolio optimo wi 0 par todo i

Es decir, esta permitiendo la venta en corto de los activos, porquees posible que wi < 0 para ciertos i

Como se puede corregir esta situacion?

Frontera eficiente

El problemaMinimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w =

no asegura que para el portafolio optimo wi 0 par todo i

Es decir, esta permitiendo la venta en corto de los activos, porquees posible que wi < 0 para ciertos i

Como se puede corregir esta situacion?

Frontera eficiente

El problemaMinimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w =

no asegura que para el portafolio optimo wi 0 par todo i

Es decir, esta permitiendo la venta en corto de los activos, porquees posible que wi < 0 para ciertos i

Como se puede corregir esta situacion?

Frontera eficiente

El problemaMinimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w =

no asegura que para el portafolio optimo wi 0 par todo i

Es decir, esta permitiendo la venta en corto de los activos, porquees posible que wi < 0 para ciertos i

Como se puede corregir esta situacion?

Frontera eficiente sin venta en corto

Se tendra que resolver

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w = w 0

Recordar que w 0 es equivalente a tener wi 0 para todo i

Como cambia la frontera eficiente?

Frontera eficiente sin venta en corto

Se tendra que resolver

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w = w 0

Recordar que w 0 es equivalente a tener wi 0 para todo i

Como cambia la frontera eficiente?

Frontera eficiente sin venta en corto

Se tendra que resolver

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w = w 0

Recordar que w 0 es equivalente a tener wi 0 para todo i

Como cambia la frontera eficiente?

Frontera eficiente sin venta en corto

Se tendra que resolver

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w = w 0

Recordar que w 0 es equivalente a tener wi 0 para todo i

Como cambia la frontera eficiente?

Frontera eficiente sin venta en corto

Figura: Frontera eficiente (media-desviacion estandar) con y sin venta encorto

Frontera eficiente con restricciones adicionales

Es posible anadir mas restricciones y resolver:

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w = w 0

Por ejemplo:

Los activos 1 y 2 no deben ser mas del 50% del portafolio:

w1 + w2 0.5

Se debe invertir al menos 30% en el activo 5:

w5 0.3

Frontera eficiente con restricciones adicionales

Es posible anadir mas restricciones y resolver:

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w = w 0

Por ejemplo:

Los activos 1 y 2 no deben ser mas del 50% del portafolio:

w1 + w2 0.5

Se debe invertir al menos 30% en el activo 5:

w5 0.3

Frontera eficiente con restricciones adicionales

Es posible anadir mas restricciones y resolver:

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w = w 0

Por ejemplo:

Los activos 1 y 2 no deben ser mas del 50% del portafolio:

w1 + w2 0.5

Se debe invertir al menos 30% en el activo 5:

w5 0.3

Frontera eficiente con restricciones adicionales

Es posible anadir mas restricciones y resolver:

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w = w 0

Por ejemplo:

Los activos 1 y 2 no deben ser mas del 50% del portafolio:

w1 + w2 0.5

Se debe invertir al menos 30% en el activo 5:

w5 0.3

Frontera eficiente con restricciones adicionales

Es posible anadir mas restricciones y resolver:

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w = w 0

Por ejemplo:

Los activos 1 y 2 no deben ser mas del 50% del portafolio:

w1 + w2 0.5

Se debe invertir al menos 30% en el activo 5:

w5 0.3

Frontera eficiente con restricciones adicionales

Es posible anadir mas restricciones y resolver:

Minimizar w>w

sujeto a 1>w = 1r>w = w 0

Por ejemplo:

Los activos 1 y 2 no deben ser mas del 50% del portafolio:

w1 + w2 0.5

Se debe invertir al menos 30% en el activo 5:

w5 0.3

Frontera eficiente con restricciones adicionales

Figura: Frontera eficiente (media-desviacion estandar) con restriccionesadicionales

Portafolio optimo

El portafolio w a seleccionar debe ser alguno de la fronteraeficiente. Pero, cual?

Se necesita especificar un trade-off balance entre riesgo yrendimiento

Una especificacion comun es encontrar el portafolio P quemaximice:

U(P) = rP T2Pdonde P es un portafolio de la frontera eficiente, y T es uncoeficiente de aversion al riesgo

Portafolio optimo

El portafolio w a seleccionar debe ser alguno de la fronteraeficiente.

Pero, cual?

Se necesita especificar un trade-off balance entre riesgo yrendimiento

Una especificacion comun es encontrar el portafolio P quemaximice:

U(P) = rP T2Pdonde P es un portafolio de la frontera eficiente, y T es uncoeficiente de aversion al riesgo

Portafolio optimo

El portafolio w a seleccionar debe ser alguno de la fronteraeficiente. Pero, cual?

Se necesita especificar un trade-off balance entre riesgo yrendimiento

Una especificacion comun es encontrar el portafolio P quemaximice:

U(P) = rP T2Pdonde P es un portafolio de la frontera eficiente, y T es uncoeficiente de aversion al riesgo

Portafolio optimo

El portafolio w a seleccionar debe ser alguno de la fronteraeficiente. Pero, cual?

Se necesita especificar un trade-off balance entre riesgo yrendimiento

Una especificacion comun es encontrar el portafolio P quemaximice:

U(P) = rP T2Pdonde P es un portafolio de la frontera eficiente, y T es uncoeficiente de aversion al riesgo

Portafolio optimo

El portafolio w a seleccionar debe ser alguno de la fronteraeficiente. Pero, cual?

Se necesita especificar un trade-off balance entre riesgo yrendimiento

Una especificacion comun es encontrar el portafolio P quemaximice:

U(P) = rP T2Pdonde P es un portafolio de la frontera eficiente, y T es uncoeficiente de aversion al riesgo

Portafolio optimo

El portafolio w a seleccionar debe ser alguno de la fronteraeficiente. Pero, cual?

Se necesita especificar un trade-off balance entre riesgo yrendimiento

Una especificacion comun es encontrar el portafolio P quemaximice:

U(P) = rP T2P

donde P es un portafolio de la frontera eficiente, y T es uncoeficiente de aversion al riesgo

Portafolio optimo

El portafolio w a seleccionar debe ser alguno de la fronteraeficiente. Pero, cual?

Se necesita especificar un trade-off balance entre riesgo yrendimiento

Una especificacion comun es encontrar el portafolio P quemaximice:

U(P) = rP T2Pdonde P es un portafolio de la frontera eficiente, y T es uncoeficiente de aversion al riesgo

Problema del portafolio con activo libre de riesgo

Activo libre de riesgo

Hemos asumido que existen n activos riesgosos; es decir que todostienen

i > 0

Un activo libre de riesgo tiene un rendimiento rf que esdeterminstico (siempre toma el mismo valor) y por consiguiente

f = 0

Activo libre de riesgo

Hemos asumido que existen n activos riesgosos; es decir que todostienen

i > 0

Un activo libre de riesgo tiene un rendimiento rf que esdeterminstico (siempre toma el mismo valor) y por consiguiente

f = 0

Activo libre de riesgo

Consideremos un activo riesgoso A que tiene rendimiento rA conmedia rA y varianza

2A

Es importante notar que

Af = E[(rA rA)(rf rf )] = 0

Es decir, la covarianza de estos dos activos es cero

Activo libre de riesgo

Consideremos un activo riesgoso A que tiene rendimiento rA conmedia rA y varianza

2A

Es importante notar que

Af = E[(rA rA)(rf rf )] = 0

Es decir, la covarianza de estos dos activos es cero

Activo libre de riesgo

Consideremos un activo riesgoso A que tiene rendimiento rA conmedia rA y varianza

2A

Es importante notar que

Af = E[(rA rA)(rf rf )] = 0

Es decir, la covarianza de estos dos activos es cero

Activo libre de riesgo

Ahora combinamos el activo A con el activo libre de riesgo en unportafolio P.

Damos un peso 1 al activo libre de riesgo y1 al activo A

Se demuestra que:

rP = rf + (1 )rA

P = (1 )AEstas ecuaciones representan una lnea en el diagramamedia-desviacion estandar

Activo libre de riesgo

Ahora combinamos el activo A con el activo libre de riesgo en unportafolio P. Damos un peso 1 al activo libre de riesgo y1 al activo A

Se demuestra que:

rP = rf + (1 )rA

P = (1 )AEstas ecuaciones representan una lnea en el diagramamedia-desviacion estandar

Activo libre de riesgo

Ahora combinamos el activo A con el activo libre de riesgo en unportafolio P. Damos un peso 1 al activo libre de riesgo y1 al activo A

Se demuestra que:

rP = rf + (1 )rA

P = (1 )AEstas ecuaciones representan una lnea en el diagramamedia-desviacion estandar

Activo libre de riesgo

Ahora combinamos el activo A con el activo libre de riesgo en unportafolio P. Damos un peso 1 al activo libre de riesgo y1 al activo A

Se demuestra que:

rP = rf + (1 )rA

P = (1 )AEstas ecuaciones representan una lnea en el diagramamedia-desviacion estandar

Activo libre de riesgo

Ahora combinamos el activo A con el activo libre de riesgo en unportafolio P. Damos un peso 1 al activo libre de riesgo y1 al activo A

Se demuestra que:

rP = rf + (1 )rA

P = (1 )A

Estas ecuaciones representan una lnea en el diagramamedia-desviacion estandar

Activo libre de riesgo

Ahora combinamos el activo A con el activo libre de riesgo en unportafolio P. Damos un peso 1 al activo libre de riesgo y1 al activo A

Se demuestra que:

rP = rf + (1 )rA

P = (1 )AEstas ecuaciones representan una lnea en el diagramamedia-desviacion estandar

Activo riesgoso A y activo libre de riesgo

Figura: Diferentes valores de media y desviacion estandar para elportafolio. Recordar que representa la posicion en el activo libre deriesgo, y 1 la posicion en el activo A

Frontera eficiente con activo libre de riesgo

Figura: Frontera eficiente (media-desviacion estandar) bajo la presenciadel activo libre de riesgo

Encontrando el portafolio tangente

Queremos resolver el siguiente problema de optimizacion:

Maximizar SR = rPrfP =r>wrfw>w

sujeto a 1>w = 1

A SR se le conoce como el ratio de Sharpe, y al portafolio solucioncomo portafolio tangente. El portafolio tangente solo contieneactivos riesgosos

Nada garantiza que wi 0 en el portafolio tangente

Encontrando el portafolio tangente

Queremos resolver el siguiente problema de optimizacion:

Maximizar SR = rPrfP =r>wrfw>w

sujeto a 1>w = 1

A SR se le conoce como el ratio de Sharpe, y al portafolio solucioncomo portafolio tangente. El portafolio tangente solo contieneactivos riesgosos

Nada garantiza que wi 0 en el portafolio tangente

Encontrando el portafolio tangente

Queremos resolver el siguiente problema de optimizacion:

Maximizar SR = rPrfP =r>wrfw>w

sujeto a 1>w = 1

A SR se le conoce como el ratio de Sharpe, y al portafolio solucioncomo portafolio tangente.

El portafolio tangente solo contieneactivos riesgosos

Nada garantiza que wi 0 en el portafolio tangente

Encontrando el portafolio tangente

Queremos resolver el siguiente problema de optimizacion:

Maximizar SR = rPrfP =r>wrfw>w

sujeto a 1>w = 1

A SR se le conoce como el ratio de Sharpe, y al portafolio solucioncomo portafolio tangente. El portafolio tangente solo contieneactivos riesgosos

Nada garantiza que wi 0 en el portafolio tangente

Encontrando el portafolio tangente

Queremos resolver el siguiente problema de optimizacion:

Maximizar SR = rPrfP =r>wrfw>w

sujeto a 1>w = 1

A SR se le conoce como el ratio de Sharpe, y al portafolio solucioncomo portafolio tangente. El portafolio tangente solo contieneactivos riesgosos

Nada garantiza que wi 0 en el portafolio tangente

Encontrando el portafolio tangente con restricciones

Podemos trabajar con:

Maximizar SR = rPrfP =r>wrfw>w

sujeto a 1>w = 1w 0

De esta forma aseguramos que el portafolio tangente tenga wi 0para todo i

Podemos anadir otras restricciones al problema de optimizacion

Encontrando el portafolio tangente con restricciones

Podemos trabajar con:

Maximizar SR = rPrfP =r>wrfw>w

sujeto a 1>w = 1w 0

De esta forma aseguramos que el portafolio tangente tenga wi 0para todo i

Podemos anadir otras restricciones al problema de optimizacion

Encontrando el portafolio tangente con restricciones

Podemos trabajar con:

Maximizar SR = rPrfP =r>wrfw>w

sujeto a 1>w = 1w 0

De esta forma aseguramos que el portafolio tangente tenga wi 0para todo i

Podemos anadir otras restricciones al problema de optimizacion

Encontrando el portafolio tangente con restricciones

Podemos trabajar con:

Maximizar SR = rPrfP =r>wrfw>w

sujeto a 1>w = 1w 0

De esta forma aseguramos que el portafolio tangente tenga wi 0para todo i

Podemos anadir otras restricciones al problema de optimizacion

Frontera eficiente con activo libre de riesgo

Figura: Frontera eficiente (media-desviacion estandar) bajo la presenciadel activo libre de riesgo y restricciones adicionales

Relacin riesgo-rendimientoRendimiento esperado, varianza y covarianzaRendimiento esperado y varianza de un portafolioProblema del portafolio con activos riesgososProblema del portafolio con activo libre de riesgo