UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL

CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES

Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Modalidad PRESENCIAL

Módulo

“ALGEBRA”

ALUMNA:

Josselinne Natalia Bolaños Murillo

PERÍODO ACADÉMICO Septiembre 2013 – Febrero 2014

Tulcán, Febrero 2014

UPEC- Mision

Formar profesionales humanistas, emprendedores y competentes, poseedores de conocimientos científicos y tecnológicos; comprometida con la investigación y la solución de problemas del entorno para contribuir con el desarrollo y la integración fronteriza

Escuela – Mision

La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye al desarrollo Provincial, Regional y Nacional, entregando profesionales que participan en la producción, transformación, investigación y dinamización del sector agropecuario y agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad

UPEC – Vision

Ser una Universidad Politécnica acreditada por su calidad y posicionamiento regional

UPEC – Vision

Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria.

Descripcion del modulo

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje académico pedagógico de los educandos.

NIVELES DE LOGRO PROCESO

COG NITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -

DIMENSIÓN(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁpara alcanzar el logro)

COMPETENCIAS)Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

1. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP

Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER

Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR

Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR

Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

6. TEÓRICO PRÁCTICOAVANZADO CREAR

Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.

Conjunto de Números Reales

IntroducciónUn conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de números pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un conjunto se denomina elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno un poco circular. Las palabras conjunto y elemento son semejantes a línea y punto en geometría plana. No puede pedirse definirlos en términos más primitivos, es sólo con la práctica que es posible entender su significado. La situación es también parecida en la forma en la que el niño aprende su primer idioma. Sin conocer ninguna palabra, un niño infiere el significado de unas cuantas palabras muy simples y termina usándolas para construir un vocabulario funcional.Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar. De la misma forma, es posible aprender matemáticas prácticas sin involucrarse con términos básico no definidos.Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales; aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son:

√ 2  = 1.4142135623730951 . . .     π = 3.141592653589793 . . .     e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a a.

Conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:

Conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z corrientemente se presenta así:N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.

La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.

Conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así:Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.

En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2.Puede notarse que N ⊂ Z.

Conjunto de los números racionales

El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera

Q={mn ,conm ,n enteros y n≠0}La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuaciónax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.

Propiedades de los Números Reales

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.

Sean , entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad de la cerradura

La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real.  Por ejemplo:

Importante:La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el

orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por

ejemplo:

Importante:La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o

multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o

multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:

Importante:La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de

adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar  las operaciones

aritméticas.

Propiedad de identidad (elemento neutro)

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento

neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:

25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado

elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado

de la multiplicación:

25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

Propiedad del inverso

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como

sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el número 

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

,   el inverso multiplicativo para esta multiplicación es 

Operaciones con Números Reales

SumaPara sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo.Ejemplo.-5 + (-9)

Solución:Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes del valor.Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el valor absoluto más grande.La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el número con mayor valor absoluto.Ejemplo.3 + (-8)Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa.3 + (-8) = -5

RestarTodo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente.a – b = a + (-b)Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a aEjemplo.5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.5 – 8 = 5 + (-8) = -3

Multiplicación

Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.EjemploCuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos.Propiedad del cero en la multiplicaciónPara cualquier número a,

División

Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.Ejemplos.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.

Exponentes y RadicalesLa potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:Una de las definiciones de la potenciación, por recurcion, es la siguiente:x1 = x Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1.Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de números.Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.Propiedades de la potenciaciónLas propiedades de la potenciacion son las siguientes:Potencia de potenciaLa potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes.Multiplicación de potencias de igual baseLa multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.División de potencias de igual baseLa división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.Propiedad distributivaLa potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.En general:ab = ba Si y sólo si a=b.En particular:(a + b)m = am + bm (a &#8722; b)m = am &#8722; bm

Se cumple en los siguientes casos:Si m=1. Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0. Si a y b son iguales a 0 y m&#8800;0. Propiedad conmutativaLa propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.En particular:ab = ba Si y sólo si a=b.Potencia de exponente 0Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.a0 = 1 si se cumple que Potencia de exponente 1Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.a1 = a Potencia de base 10Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente.101 = 10 como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente106 = 1000000 104 = 10000 Gráficográfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones.

RadicaciónEs el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: “La radicación de la empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretaría de Producción”, “Los hechos muestran que la radicación en suelo australiano no fue una buena idea para la familia González”,“Tenemos que luchar contra la radicación de esos hábitos nocivos en nuestra comunidad”.

En el campo de la matemática, se conoce como radicación a la operación que consiste en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicación es el proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la

raíz. Ésta será la cifra que, una vez elevada al índice, dará como resultado el radicando.

Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que indica el índice, da como resultado el radicando.Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raíz cúbica de 8. Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica). A través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado alcubo (2 x 2 x 2) es igual a 8.Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x 2 (2elevado al cubo) llegamos a la raíz cúbica de 8.

EcuacionesEcuaciones Lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. a) ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a

1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

.

 Ecuaciones Fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

Ecuaciones Literales

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.

Ejemplo:

Ecuaciones Cuadráticas

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son

ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones

polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde  a, b, y c son números reales. 

 Ejemplo:

9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10

3x2  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10              a = -6, b = 0, c = 10 

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 

1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática   

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.  Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8  

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2] 

( x +   )   (x  -   ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2

                                                                    4 · -2 = -8 x + 4 = 0       x – 2 = 0   x + 4 = 0      x – 2 = 0 x = 0 – 4      x = 0 + 2 x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.   

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. 

Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 

4x2 + 12x – 8  = 0  4        4      4      4

x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.  

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos] 

x2  + 2x + 1    = 8 + 1

x2  + 2x + 1 = 9

(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.                                  Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. 

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ± √9

 

x + 1 =  ± 3

x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3       x = -1 – 3 x = 2               x = -4   

Fórmula General:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: 

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos

(−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a

identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver

cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos

resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Resolver la ecuación  2x2 + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2,     b = 3   y     c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

Así es que las soluciones son

Programación Lineal

Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios actual, pueden encontrarse gran cantidad de aplicaciones.

La función objetivo define la cantidad que se va a maximizar o minimizar en un modelo de programación lineal.

Las restricciones limitan o reducen el grado en que puede perseguirse el objetivo.Las variables son las entradas controlables en el problema.

Para resolver un problema de programación lineal es recomendable seguir ciertos pasos que son:

1. Entender el problema a fondo.

2. Describir el objetivo.3. Describir cada restricción.4. Definir las variables de decisión.5. Escribir el objetivo en función de las variables de decisión.6. Escribir las restricciones en función delas variables de decisión.7. Agregar las restricciones de no negatividad.

Términos Claves

Modelo MatemáticoRepresentación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricción se describen con expresiones matemáticas.

Restricciones de no negatividadConjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas.

Solución FactibleSolución que satisface simultáneamente todas las restricciones.

Región FactibleConjunto de todas las soluciones factibles.

Variable de holguraVariable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menos o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado.

Forma EstándarProgramación lineal en el que todas las restricciones están escritas como igualdades. La solución óptima de la forma estándar de un programa lineal es la misma que la solución óptima de la formulación original del programa lineal.

Punto ExtremoDesde el punto de vista gráfico, los puntos extremos son los puntos de solución factible que ocurren en los vértices o "esquinas" de la región factible. Con problemas de dos variables, los puntos extremos están determinados por la intersección de las líneas de restricción.

Variable de ExcedenteVariable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable puede interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido.

Camiones Perinolas Restriccion totalMaquina A 2 1 ≤ 80 40Maquina B 3 1 ≤ 50 50Acabado 5 1 ≤ 70 70

Costo 7 2Variables 10 20

Zmaxima 110Objetivo

Se deben producir 10 camiones y 20 perinolas a la semana para obtener una utilidad máxima de $110.

A B Restricción

Total

Carbohidra

2 2 ≥ 16 16

Proteinas 4 1 ≥ 20 20

Costo 1,2 0,8Variables

4 4

Zminimo 8

Objetivo