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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI POR LA VINCULACIÓN DE LA UNIVERSIDAD CON EL PUEBLO UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y HUMANÍSTICAS MODALIDAD MODULAR ESPECIALIDAD: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INGENIERÍA COMERCIAL ASIGNATURA: ESTADÍSTICA II AUTOR: DR. FRANKLIN HERNÁN GARZÓN VACA E-MAIL: [email protected] CELULAR: 098 906 629 LATACUNGA – ECUADOR
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI POR LA VINCULACIÓN DE LA UNIVERSIDAD CON EL PUEBLO
UNIDAD ACADÉMICA DE
CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
Y HUMANÍSTICAS
MODALIDAD MODULAR
ESPECIALIDAD: CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
INGENIERÍA COMERCIAL
ASIGNATURA: ESTADÍSTICA II
AUTOR: DR. FRANKLIN HERNÁN GARZÓN VACA
E-MAIL: [email protected]
CELULAR: 098 906 629
LATACUNGA – ECUADOR
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ÍNDICE
Información general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objetivos generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 1 Elementos de estadística descriptiva 1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Medidas estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capítulo 2 Probabilidades
2.1. Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reglas de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Experimento de pasos múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama del árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilidad de un evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Reglas básicas de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complemento de un evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reglas de adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regla general de la adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regla especial de multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Distribución de probabilidad normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Características de una curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puntuaciones tipificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de probabilidades utilizando valores z. . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Capítulo 3 Métodos y distribuciones muestrales 3.1. Muestreo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Por qué obtener muestra de la población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Métodos de muestreo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muestra aleatoria simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muestra aleatoria sistemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muestreo aleatorio estratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muestreo por conglomeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representatividad de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Teorema del límite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribución de muestreo de medias mustrales . . . . . . . . . . . . . . . Error estándar de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intervalo de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Determinación del tamaño de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capítulo 4 Prueba de hipótesis 4.1. Qué es una hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Qué es una prueba de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Pasos para probar una hipótesis . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de significación de una cola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de significación de dos colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Pruebas estadísticas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Media poblacional: σ conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Media poblacional: σ desconocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capítulo 5 Pruebas de bondad y regresión lineal 5.1. Proporciones poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prueba de hipótesis para una proporción poblacional . . . . . . . . . .
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34
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35 35 35 35 36
37
37 38 40
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48 52 53 56
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Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diferencia de medias cuando se trabaja con dos muestras . . . . . . Inferencia estadística de dos proporciones poblacionales . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Prueba estadística no paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de bondad de ajuste Chi – cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coeficiente de correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coeficiente de correlación de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anexos ANEXO I Tabla de números aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ANEXO II Tabla de valores z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ANEXO III Tabla de niveles de significación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ANEXO IV Tabla de valores t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ANEXO V Tabala de valores chi – cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59 60 62 64
65
65 69
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72 72
74
76
77
79 80 81 82 83
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INFORMACIÓN GENERAL 1. DATOS INFORMATIVOS
ASIGNATURA : Estadística II PERÍODO SEMANAL : Dos períodos CICLO ACADÉMICO : abril – septiembre del 2010 DOCENTE : Dr. Franklin Hernán Garzón Vaca TELÉFONO : 098 906 629 E- MAIL : [email protected]
2. NÚMERO DE ENCUENTROS
PARCIALES ENCUENTROS
PRESENCIALES
PRIMERO 7
SEGUNDO 7
TERCERO 7
TOTAL 21
3. FECHAS DE ENCUENTROS
ENCUENTROS PRESENCIALES Según el horario establecido
COMPLEMENTARIAS En cada parcial los estudiantes asistirán un día entre semana, para reforzar contenidos, para despejar inquietudes de la asignatura y asesorar tareas de consulta, exposiciones o evaluación.
Se respetarán las fechas de los encuentros presenciales semanales establecidos en el horario, en caso de no asistir los estudiantes, se asumirá la clase como dictada y se deberá realizar las actividades correspondientes al encuentro según lo señalado en la guía de estudios. El primer encuentro se iniciará desde la primera semana de inicio del ciclo académico.
4. ASISTENCIA El 70% del total de las horas presenciales permitirá aprobar el módulo. El 31% del total de las horas presenciales no le permitirá aprobar el módulo.
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5. ASESORIA DIDÁCTICA A continuación se detallan los contenidos que se van a tratar en cada parcial, de tal forma que le corresponde a usted investigarlos antes de cada encuentro presencial. PRIMER PARCIAL
ENCUENTROS TEMAS
1 Estadística descriptiva tablas y gráficos
2 Estadística descriptiva medidas numéricas
3 Reglas de conteo y asiganación de probabilidades
4 Eventos y sus probabilidades
5 Reglas básicas de probabilidad
6 Distribución de probabilidad normal
7 Probabilidades utilizando valores z
SEGUNDO PARCIAL
ENCUENTROS TEMAS
1 Métodos de muestreo aleatorio
2 Distribución de muestreo de medias muestrales
3 Intervalos de confianza y tamaño de la muestra
4 Hipótesis – Tipos de hipótesis
5 Prueba de significación de una cola y dos colas
6 Prueba de hipótesis: Media poblacional: σ conocida
7 Prueba de hipótesis: Media poblacional σ desconocida
TERCER PARCIAL
ENCUENTROS TEMAS
1 Prueba de hipótesis para una proporción poblacional
2 Inferencia entre dos medias poblacionales
3 Inferencia entre dos proporciónes poblacionales
4 Prueba de bondad de ajuste Chi – Cuadrada
5 Variables independiente y dependiente
6 Correlación
7 Regresión lineal
6. METODOLOGÍA
La modalidad modular costituye una innovación eucativa importante a nivel de la educación superior, tiene como base la investigación que es la que contribuye al desarrollo del proceso de enseñanza – aprendizaje donde el rol del profesor es el de orientador que guía el aprendizaje de sus estudiantes quienes adquieren nuevas formas de trabajo en el aula y fuera de ella a fin de que posibiliten el desarrollo de las potencialidades de cada uno de ellos a través del método activo, trabajo colaborativo, análisis, síntesis, interpretación, modelos mentales, seminario – taller, proyecto de aula, etc.
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7. EVALUACIÓN Se aplicará la evaluación procesual bajo los siguientes parámetros
PARÁMETRO PROCENTAJE
Auto evaluación 10%
Talleres 30%
Trabajos de investigación 30%
Prueba final en cada parcial 30%
8. BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA - ANDERSON, David R., estadística para administración y economía,
Cengage Learning Editores, S.A., México, 2008. COMPLEMENTARIA - HOKINS, Kenneth D.: estadística básica para las ciencias sociales y del
comportamiento, Prentice, México, 1997.
- PAGANO, Robert: estadística para las ciencias del comportamiento, Thomsom, México, 2006.
- KAZMIER,Leonard J.: Estadística aplicada a la dministración y economía, McGraw – Hill, Interamericana, S.A., México, 1998.
9. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE El aprendizaje de la estadística exige una clara comprensión de las definiciones, propiedades, leyes, a tal punto que sus esfuerzos deben orientarse en primer lugar a la aprehensión de los fundamentos teóricos, puesto que, éstos son los que permiten las aplicaciones a través de los ejercicios y problemas, por lo que deberá dedicar por lo menos una hora diaria para la lectura del módulo, ya que aquí encontrará una amplia explicación de cada uno de los temas a tratar. Asegúrese de comprender cada uno de los conceptos que se presentan, resultará inútil seguir adelante sin hacerlo, si alguno resulta muy difícil consulte a sus compañeros, a su tutor o profesor de la materia. Revise luego los ejercicios resueltos del texto, estos no deben tener secretos para usted, debe saber de donde resulta y cómo se obtiene cada resultado que consta en él y para que sirve cada paso que se da en la resolución, si encuentra dificultad en alguno de ellos anótelo para que pida la explicación respectiva, trate luego de reslver esos mismos ejercicos por su cuenta.
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10. ESTRUCTURA DEL MÓDULO El presente texto se ha estructurado con un programa sencillo de cinco unidades en las cuales se hace una profunda revisión teórica de los conceptos más importantes de la estadística inferencial, que permita al estudiante de la Carrera de Ciencias, Administrativas, Humanísticas y del Hombre, responder con criterio propio, lo importante del estudio de la estadística inferencial. Consta de una gran variedad de ejercicios resueltos, los cuales le indican paso a paso el proceso que debe seguir para obtener los resultados, es importante que el estudiante, siga el proceso ya que a través de él puede terminar de comprender la teoría desarrollada. Al final de cada tema se presenta una actividad de refuerzo con ejercicios propuestos, como tarea para que usted lo desarrolle, actividad muy importante en el estudio de la estadística ya que le permitirá adquirir agilidad y destreza en la solución de ejercicios, además auto evaluar su conocimiento. Al final del módulo se presentan los anexos, donde constan las tablas estadísticas que se utilizan en la solución de los ejerccios resueltos y en los ejercicios propuestos.
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INTRODUCCIÓN _________________________________________________________________ En Estadística I usted aprendió a describir mediante métodos cuantitativos los elementos de un determinado conjunto, que se llamábamos población estadística. Esta descripción, responde a los modelos objetivos de la estadística, y más concretamente a uno de los propósitos de la Estadística Descriptiva. Sin embargo, y con frecuencia, para realizar un estudio sobre las distintas propiedades de los elementos de una población estadística no se dispone de los datos correspondientes a todos los individuos de la población, sino solamente los correspondientes a una parte de ella, que recibe el nombre de muestra. En este sentido, la estadística ofrece métodos por los cuales, a partir de los datos de los individuos de esta muestra se pueden establecer conclusiones que pueden adoptarse para el conjunto de endivíduos de una población. En el presente texto le ayudará a comprender, que a partir de datos empíricos correspondientes a una muestra de la población, se puede construir un modelo matemático mediante el cual se caracteriza el comportamiento de toda la población con relación a cierto fenómeno o a cierta propiedad, a esta parte de la estadística, que hace inferencias sobre el comportamiento de toda la población en base a los datos extraídos de una muestra de ella se denomina Estadística Inferencial y será en esencia, el tema que se tratará en este ciclo. El presente texto de trabajo de ninguna manera pretende ser una obra completa de estadística, sino más bien un aporte para maestros y estudiantes, como un recurso didáctico para optimizar el proceso de aprendizaje de esta área de estudio, por lo que el módulo está orientado a las aplicaciones y ha sido escrito pensando en las necesidades de quienes no son matemáticos; los conocimientos matemáticos requeridos son los utilizados en el álgebra. Aunque el texto está orientado hacia las aplicaciones, se ha tenido cuidado de presentar un desarrollo metodológico sólido y de emplear notación convencional al tópico que se estudia. Finalmente se puede decir que los estudiantes encontrarán que este texto les proporciona una buena preparación para el estudio de material estadístico utilizado en ciencias afines como son la investigación y el diseño de proyectos. OBJETIVOS GENERALES - Reconocer la importancia de la Estadística como instrumento básico para la
organización, sistematización, inferencia y validación de los conocimientos en las diversas disciplinas científicas, humanísticas y del hombre.
- Comprender los principios y definiciones de esta ciencia para aplicarlos en la resolución de problemas y toma de decisiones con criterios estadísticos válidos.
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PRIMER
PARCIAL
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PRIMER ENCUENTRO
1.1. Definiciones
La estadística descriptiva se define como la ciencia que analiza series de datos (por ejemplo, edad de una población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de verano, costos de producción, etc) y trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de estas variables. Recuerde que las variables pueden ser de varios tipos: Variables cualitativas: Son aquellas que no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo).
Variables cuantitativas: son aquelas que tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales).
Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alunmos de una clase).
Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).
Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).
Variables discretas: sólo pueden tomar valores enteros. Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).
Variables continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, el precio de un producto puede ser: 80.3 dólares, 94.57 euros, etc.
La estadística descriptiva trabaja sólo con variables unidimensionales las mismas que son analizadas por medio de ciertas medidas estadísticas, que son:
1.2. Medidas estadísticas Informan sobre el valor de localización de una serie de datos, cabe indicar que los conceptos de cada una de estas medidas ya fueron tratados en el ciclo anterior, por lo que se sugiere al estudiante revisar los contenidos del módulo I.
UNIDAD I
ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media aritmética (D N A)1 X = Xi
n μ =
Xi
N
Media aritmética (D A F)2 X = Xi ∙ f
N
Media aritmética (D A I )3 X = Xm ∙ f
N
Mediana (D N A) Me = Variable que se ubica en el centro
Mediana (D A F) Me = Valor de la variable que indica la
posición de la frecuencia acumulada
Mediana ( D A I) Me = Li +
N2 − fam
f i
Moda ( D N A) Mo = valor que más se repite
Moda ( D A F) Mo = variable de mayor frecuencia
Moda ( D A I) Mo = Li + d1
d1 + d2 ∙ i
MEDIDAS DE ORDEN
Cálculo de la posición PQ =
nN
m ; m = (4, 10, 100)
Cuartiles (D A I) Qn = Li +
nN4 − fam
f i
Deciles (D A I) Qn = Li +
nN10 − fam
f i
Percentiles (D A I) Qn = Li +
nN100 − fam
f i
Rango intercuartil RIC = Q3 − Q1
Rango interpercentil RIP = P90 − P10
1 DNA = datos no agrupados
2 DAF = datos agrupados con freciuencia
3 DAI = datos agrupados con intervalos
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MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Varianza4 s2 = Xi − X 2
n − 1 σ2 =
Xi − X 2
N
Desviación estándar (D N A) s = Xi − X 2
n − 1 σ =
Xi − X 2
N
Desviación estándar (D A F) 𝒔 = 𝑿𝒊 − 𝑿 𝟐 ∙ 𝒇
𝑛 − 1 𝒔 =
𝑿𝒊 − 𝑿 𝟐 ∙ 𝒇
𝑵
Desviación estándar (D A I) 𝒔 = 𝑿𝒎 − 𝑿 𝟐 ∙ 𝑓
𝑛 − 1 𝒔 =
𝑿𝒎 − 𝑿 𝟐 ∙ 𝑓
𝑵
Coeficiente de variación CV =s
X 100%
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Socialización del módulo y su estructura. - Sinopsis de los elementos de la estadística descriptiva. TAREA PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO - Revise los contenidos estudiados en estadística I. - Lea y comprenda las definiciones de la página 11 del módulo.
- Repase las fórmulas de las páginas 12 – 13 del texto.
SEGUNDO ENCUENTRO
Ejercicios propuestos 1. Una asociación recaba información sobre sueldos anuales iniciales de los
recién egresados de universidades de acuerdo con su especialidad. El salario anual inicial de los administradores de empresas es $ 39 580. A continuación se presentan muestras de los sueldos anuales iniciales de especialistas en marketing y en contaduría (los datos están en miles) Egresados de marketing 34.2 45.0 39.5 28.4 37.7 35.8 30.6 35.2 34.2 42.4 Egresados de contaduría 33.5 57.1 49.7 40.2 44.2 45.2 47.8 38.0 53.9 41.1 41.7 40.8 55.5 43.5 49.1 49.9 a. Para cada uno de los grupos de sueldos iniciales calcule la moda,
mediana y media.
4 definición de desviación estándar s = s2
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b. Para cada uno de los grupos de sueldos iniciales calcule el primer y tercer cuartil.
c. ¿Qué diferencia existe entre los sueldos de los dos egresados?
2. Las puntuaciones obtenidas por un jugador de boliche en seis juegos fueron 182, 168, 184, 190, 170 y 174. Use estos datos como una muestra y calcule los estadísticos descriptivos siguientes: a. Rango b. Varianza c. Desviación estándar d. Coeficiente de variación
3. El Dow Jones Travel Index informa sobre lo que pagan por noche en un
hotel en las principales ciudades de Estados Unidos los viajeros de negocios. Los precios promedio por noche en 20 ciudades son las siguientes:
a. ¿Cuál es la media en el precio de estas habitaciones? b. ¿Cuál es la mediana en el precio de estas habitaciones? c. ¿Cuál es la moda? d. ¿Cuál es el tercer cuartil?
4. La oficina de censos de Estados Unidos proporciona estadísticas sobre las familias en este país, informaciones como edad al contraer el primer matrimonio, estado civil actual y tamaño de la casa. Los datos siguientes son edades al contraer el primer matrimonio en una muestra de hombres y en una muestra de mujeres. Hombres 26 23 28 25 27 30 26 35 28 21 24 27 29 30 27 32 27 25 Mujeres 20 28 23 30 24 29 26 25 22 22 25 23 27 26 19
Ciudad Pago Ciudad Pago
Atlanta 163 Minneapolis 125
Boston 177 New Orleans 167
Chicago 166 New York 245
Cleveland 126 Orlando 146
Dallas 123 Phoenix 139
Denver 120 Pittsburgh 134
Detroit 144 San Francisco 167
Houston 173 Seattle 162 Los Angeles 160 St. Louis 145
Miami 192 Washington D.C. 207
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a. Determine la mediana en la edad de hombres y mujeres al contraer el primer matrimonio.
b. Calcule el primer y tercer cuartil tanto en los hombres como en las mujeres.
c. Hace 30 años la mediana en la edad al contraer el primer matrimonio era 25 años entre los hombres y 22 años entre las mujeres. ¿Qué indica esta información acerca de la edad a la que deciden contraer matrimonio los jóvenes de hor en día?
5. La asociación estadounidense de Inversionistas Individuales realiza cada
año una investigaciónsobre los corredores de bolsa con descuento (AAII Journal,enero del 2003). En la tabla se muestran las comisiones que cobran 24 corredores de bolsa con descuento por dos tipos de transacciones: transacción con ayuda del corredor de 100 acciones a $ 50 la acción y transacción en línea de 500 acciones a $ 50 la acción.
Corredor
Con ayuda del corredor
de 100 aciones a
$50/acción
En línea 500
acciones a $50/acción Corredor
Con ayuda del corredor
de 100 aciones a
$50/acción
En línea 500
acciones a $50/acción
Accutrade 30.00 29.95 Merrill Lynch Direct 50.00 29.95
Ameritrade 24.99 10.99 Muriel Siebert 45.00 14.95
Banc of America 54.00 24.95 NetVest 24.00 14.00
Brown & Co. 17.00 5.00 Recom Securities 35.00 12.95
Charles Schwab 55.00 29.95 Scottrade 17.00 7.00
CyberTrader 12.95 9.95 Sloan Securities 39.95 19.95
E*Trade Securities 49.95 14.95 Strong Investments 55.00 24.95
First Discount 35.00 19.75 TD Waterhouse 45.00 17.95 Freedom Investments 25.00 15.00 T. Rowe Price 50.00 19.95
Harrisdirect 40.00 20.00 Vanguard 48.00 20.00
Investors National 39.00 62.50 Wall Street Discount 29.95 19.95
MB Trading 9.95 10.55 York Securities 40.00 36.00
a. Calcule el rango y el rango intercuartil en cada tipo de transacción. b. Calcule la varianza y la desviación estándar en cada tipo de
transacción. c. Calcule el coeficiente de variación en cada tipo de transacción. d. Compare lavariabilidad en el costo que hay en los dos tipos de
transacciones.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de letura de las definiciones de la página 11 – 12 – 13 del módulo. - Organizar grupos de tabajo para la solución de los ejercicios propuestos. TAREA PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO - Termine de resolver los ejercicios propuestos de la página 14 – 15. - Elabore un resumen de las páginas 16 a 18, (utilice organizadores gráficos).
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TERCER ENCUENTRO
2.1. Probabilidades La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado suceso cuando se realiza un experimento aleatorio. Los valores de probabilidad se encuentran en una escala entre 0 y 1. Los valores cercanos a 0 indican que las posibilidades de que ocurra un evento son muy pocas. Los cercanos a 1 indican que es casi seguro que ocurra un evento.
Posibilidad creciente de que ocurrencia
0 0.5 1.0 Probabilidad
Es tan posible que el evento ocurra como que no ocurra
En las probabilidades, un experimento es definido como “ un proceso que genera resultados definidos”5. Y en cada una de las repeticiones del exprerimento, habrá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales. A continuación se dan varios ejemplos de experimentos con sus correspondientes resultados.
Experimento Resultado experimental
Lanzar una moneda Tomar una pieza para inspeccionarla Realizar una llamada de ventas Lanzar un dado Jugar un partido de futbol
Cara, cruz Con defecto, sin defecto Hay compra, no hay compra 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ganar, perder, empatar
Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles). Reglas de conteo y asignación de probabilidades Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales. A continuación damos a conocer tres reglas de conteo muy utilizadas:
5 David R. Anderson: Estadística para administración y economía, p. 143.
CAPÍTULO II
PROBABILIDADES
17
1. Experimentos de pasos múltiples Esta forma de conteo describe como una serie de sucesos presentan n resultados posibles, entonces el número total de resultados es el producto de las posibilidades. Ejemplo Considere un experimento que consiste en lanzar dos monedas. Este experimento es de dos pasos: al lanzar la primera moneda es posible que obtengamos cara o cruz, de igual manera al lanzar la segunda, si se emplea H para denotar cara y T para denotar cruz, el espacio muestral (S) se determina de la siguiente manera:
𝑆1 = 𝐻 , 𝑇 𝑆2 = 𝐻, 𝑇
𝑆1 = 𝑛1 𝑆2 = 𝑛2
𝑆 = 𝑛1 𝑛2
𝑆 = 2 2 = 4
𝑆 = 𝐻 , 𝐻 , 𝐻 , 𝑇 , 𝑇 , 𝐻 , 𝑇 , 𝑇
2. Diagrama del árbol
Es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples. Para el ejemplo del lanzamiento de dos monedas, el diagrama del árbol es el siguiente:
Paso 1
Primera moneda Paso 2
Segunda moneda Resultado experimental
(puntos muestrales) (H , H)
(H , T)
(T , H)
(T , T)
𝑆 = 𝐻 , 𝐻 , 𝐻 ,𝑇 , 𝑇 , 𝐻 , 𝑇 , 𝑇
3. Combinaciones
Otra regla útil que permite contar el número de resultados experimentales de n objetos de un conjunto N (usualmente mayor ) es:
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REGLA DE CONTEO PARA COMBINACIONES El número de combinaciones de N objetos tomados de n en n es
𝐶𝑛𝑁 =
𝑁𝑛 =
𝑁!
𝑛! 𝑁 − 𝑛 !
Donde 𝑁! = 𝑁 𝑁 − 1 𝑁 − 2 . . . 2 1
n! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 . . . 2 1
y por definición 0! = 1
NOTA: El signo ( ! ) se lee factorial; por ejemplo 5 factorial se escribe 5!, el resultado es el producto de este número por todos los números naturales que le anteceden, excepto el cero; asi:
5! = (5)(4)(3)(2)(1) 7! = (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)
Ejemplo En un conjunto de cinco partes, ¿cuántas combinaciones de dos partes pueden seleccionarse?
𝐶25 =
52 =
5!
2! 5 − 2 !=
5 4 3 2 1
2 1 3 2 1 =
20
2= 10
De manera que hay 10 resultados posibles en este experimento, si le damos una etiqueta a cada perte como A, B, C, D y E, las diez combinaciones serán AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE y DE. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de tareas enviadas: resuelva el siguiente ejercicio ( se entregará en ese
momento). - TAREA PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Invente tres ejercicios sobre eventos probabilísticos y aplique lo aprendido. Tarea grupal - Luego de leer comprensivamente el contenido de las páginas 22 – 23 – 24,
elabore un resumen (utilice organizadores gráficos).
CUARTO ENCUENTRO
Cálculo de la probabilidad Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace, define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
P A =casos favorables
casos posibles
19
Ejemplos - Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2.
El caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: P(A) = 1 / 6 = 0,166 (es decir 16,6%)
- Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par.
En este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto: P(A) = 3 / 6 = 0,50 (es decir 50%)
- Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5.
P(A) = 4 / 6 = 0,666 (es decir 66,6%)
Probabilidad de un evento6 La probabilidad de cualquier evento es igual a la suma de las probabilidades de los puntos muestrales que forman el evento.
𝑃 𝐶 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3+ . . . +𝑃𝑛
Ejemplo Un proyecto de construcción consiste en dos etapas, etapa 1 (diseño), etapa 2 (construcción), se estima que el plazo para concluir la obra es 10 meses, para asegurar la entrega del proyecto se compara con 40 proyectos similares, obtieniendose los siguientes resultados.
Etapa 1 Etapa 2 Número de proyectos
Diseño Construcción Punto muestral con esta duración 2 6 (2,6) 6 2 7 (2,7) 6 2 8 (2,8) 2 3 6 (3,6) 4 3 7 (3,7) 8 3 8 (3,8) 2 4 6 (4,6) 2 4 7 (4,7) 4 4 8 (4,8) 6 Total 40
6 Evento es una colección de puntos muestrales
20
Cuando se trata de un evento debemos hallar la probabilidad de cada punto muestral, como indica la tabla.
Tiempo de terminación Número de proyectos
Probabilidad del
Punto muestral del proyecto con esta duración
punto muestral
(2,6) 08 meses 6 P = 6/40 = 0.15 (2,7) 09 meses 6 P = 6/40 = 0.15 (2,8) 10 meses 2 P = 2/40 = 0.05 (3,6) 09 meses 4 P = 4/40 = 0.10 (3,7) 10 meses 8 P = 8/40 = 0.20 (3,8) 11 meses 2 P = 2/40 = 0.05 (4,6) 10 meses 2 P = 2/40 = 0.05 (4,7) 11 meses 4 P = 4/40 = 0.10 (4,8) 12 meses 6 P = 6/40 = 0.15
Total 40 Total 1.00
Determinar a. La probabilidad de que el proyecto dure 10 meses o menos.
En la tabla podemos ver que existen 6 casos en los que la obra se podría concluir en 10 meses o menos, entonces:
P(C) = P(2,6) + P(2,7) + P(2,8) +P(3,6) + P(3,7) + P(4,6)
P(C) = 0.15 + 0.15 + 0.05 + 0.10 + 0.20 + 0.05 = 0.70
Es decir que existe una probabilidad del 70 % de concluir la obra en 10 meses o menos.
b. El evento de que el proyecto dure menos de 10 meses Al consultar la tabla se puede observar que tres datos dan esa información; que son los siguientes:
P(C) = P(2,6) + P(2,7) +P(3,6)
P(C) = 0.15 + 0.15 + 0.10 = 0.40
Luego hay un 40 % de probabilidad de que ocurra este evento. c. La probabilidad de que el proyecto dure más de 10 meses
Los datos de la tabla indican que tres casos sobrepasan los diez meses; que son:
P(C) = P(3,8) +P(4,7) + P(4,8)
21
P(C) = 0.05 + 0.10 + 0.15 = 0.30
Por lo tanto la probabilidad de que el proyecto se termine luego de los 10 meses es de 30 %. NOTA: Siempre que se puedan identificar todos los puntos muestrales de un experimento y asignar a cada uno su probabilidad, es factible de calcular la probabilidad de un evento usando la definición. Sin embargo en muchos experimentos la gran cantidad de puntos muestrales hace difícil este proceso. Ejercicios propuestos 1. Considere el experimento de lanzar una moneda tres veces.
a. Elabore un diagrama del árbol de este experimento. b. Enumere los resultados de este experimento. c. ¿Cuál es la probabilidad que le corresponde a cada uno de los
resultados?.
2. ¿De cuántas maneras es posible seleccionar tres objetos de un conjunto de seis objetos?. Use las letras A, B, C, D, E y F para identificar a los objetos y enumere todas las combinaciones diferentes de tres objetos.
3. La National Highway Safety Administration (NHTSA) realizó una investigación para saber si los conductores de Estados Unidos están usando sus cinturones de seguridad. Los datos fueron los siguientes.
Conductores que emplean el cinturón
Región Si No
Noreste 148 52 Oeste medio 162 54 Sur 296 74
Oeste 256 48
____ ___ Total 858 228
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en Estados Unidos un conductor lleve puesto el cinturón?
b. Un año antes, la probabilidad era 0.75. El director de NHTSA esperaba que al siguiente año la probabilidad llegara a 0.78. ¿Estará satisfecho con los resultados?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que se use el cinturón en las distintas regiones del país? ¿En qué región se usa más el cinturón?
d. En la muestra ¿qué proporción de los conductores peovenía de cada región del país? ¿en qué región se seleccionaron ,ás conductores? ¿Qué región viene el segundo lugar?
22
e. Si admite que en todas las regiones la cantidad de conductores es la misma, ¿ve usted alguna razón para que la probabilidad estimada en el inciso a sea tan alta? Explique.
4. La empresa Kentucky Fraid Chiquen ( KFC), ha empezado un proyecto
que tiene como objetivo incrementar la capacidad de generación de una de sus plantas. El proyecto fue dividido en dos etapas: etapa 1 (diseño) y etapa 2 (construcción). A los administradores no les es posible pronosticar el tiempo exacto requerido en cada una de las etapas del proyecto. Para ello analizan la construcción de proyectos similares y encuentran que la etapa de diseño lleva 2, 3, o 4 meses y la construcción entre 6, 7, u 8 meses. Los administrativos han establecido como meta 10 meses para la terminación de todo el proyecto.
a. Ontenga los puntos muestrales del proyecto b. Trace un diagrama de árbol de los sucesos c. Determine la posible duración del proyecto
5. La National Highway Safety Administration (NHTSA) realizó una
investigación para saber si los conductores de Estados Unidos están usando sus cinturones de seguridad. Los datos fueron los siguientes.
Conductores que emplean el cinturón
Región Si No
Noreste 148 52 Oeste medio 162 54 Sur 296 74
Oeste 256 48
____ ___ Total 858 228
f. ¿Cuál es la probabilidad de que en Estados Unidos un conductor lleve puesto el cinturón?
g. Un año antes, la probabilidad era 0.75. El director de NHTSA esperaba que al siguiente año la probabilidad llegara a 0.78. ¿Estará satisfecho con los resultados?
h. ¿Cuál es la probabilidad de que se use el cinturón en las distintas regiones del país? ¿En qué región se usa más el cinturón?
i. En la muestra ¿qué proporción de los conductores peovenía de cada región del país? ¿en qué región se seleccionaron ,ás conductores? ¿Qué región viene el segundo lugar?
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Exposición de los grupos para conrolar tareas. - Refuerzo y solución de ejercicios de aplicación. TAREA PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual Termine de resolver los ejercicios propuestos de la página 21 – 22. Tarea grupal Elabore un resumen de las páginas 23 a 27, utilice organizadores gráficos.
23
2.2. Reglas básicas de probabilidad Complemento de un evento Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de todos los puntos muestrales que no están en A. el complemento de A se denota Ac.
𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴𝑐 = 1
Ejemplo Considere el caso de un administrador de ventas que, después de revisar los informes de ventas, encuentra que 80 % de los contactos con clientes nuevos no producen ninguna venta. Si A es el envento que hubo venta y Ac el evento que no hubo venta, despejando de la ecuación tenemos:
P(A) = 1 - P(Ac) P(A) = 1 – 0.80 = 0.20
La conclusión es que la probabilidad de una venta en el contacto con un cliente nuevo es de un 20 %. Reglas de adición Si dos eventos A y B son “mutuamente excluyentes”7, la regla especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas.
P(A o B) = P(A) + P(B)
Ejemplo Una empesa de aviación (Airways) acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos de Boston a Nueva York:
Llegada Frecuencia
Antes de tiempo 100
A tiempo 800
Demorado 75
Cancelado 25
Total 1000
7 Si no tienen puntos muestrales en común
QUINTO ENCUENTRO
24
Determine la probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado.
Solución
Probabilidad que llegue a tiempo Probabilidad que llegue demorado Probabilidad que llegue antes de tiempo o demorado
P(A) = 100 /1000 = 0.1 P(B) = 75 /1000 = 0.075 P(A o B) = P(A) + P(B) P(A o B) = 0.1 + 0.075 P(A o B) = 0.175
Regla general de adición Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
El diagrama de Venn que ilustra esta regla es:
Ejemplo En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos. Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su habitación?
Solución
Probabilidad de tener un estéreo Probabilidad de tener una televisión Probabilidad que de tener uno de cada uno Probabilidad de tener un estéreo o una televisión
P(S) = 320 /500 = 0.64
P(T) = 175 /500 = 0.35
P(S ∩ T) = 100 /500 = 0.20
P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S ∩ T) P(S o T) = 0.64 +0.35 - 0.20 P(S o T) = 0.79
B
A
A ∩ B
25
Regla especial de multiplicación Para calcular la probabilidad de la intersección de dos “eventos independientes”8 A y B, simplemente se multiplican las probabilidades.
P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B
Ejemplo Chris posee dos inventarios independientes uno de otro. La probabilidad de que el inventario A aumente su valor el próximo año es 50% y la probabilidad de que el B aumente el suyo es del 70 %. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el próximo año?
P(A ∩ B) = (0.5)(0.7)
P(A ∩ B) = 0.35
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno aumente su valor el próximo año?
Esto implica que cualquiera de los dos o ambos aumenten, Así A puede aumentar un 50 % y B aumentaría el 30 %; de ahí tenemos que:
P(al menos uno) = (0.5)(0.3) + (0.5)(0.7) + (0.7)(0.5)
P (c) = 0.85
Es decir existe un 85 % de probabilidad. Probabilidad condicional Es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ya ocurrió otro evento, se denota como P(A|B) y la fórmula a utilizar será:
P(A | B) = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐵
P(B | A) = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴
Ejemplo La directora de la escuela de administración recolectó la siguiente información acerca de los estudiantes de licenciatura de la universidad:
8 Si la ocurrencia de uno no afecta la probabililidad de ocurrencia del otro.
26
Área Hombre Mujer Total
Contabilidad 170 110 280
Finanzas 120 100 220
Mercadotecnia 160 70 230
Administración 150 120 270
Total 600 400 1000
¿Cál es la probabilidad que una mujer esté en el área de contabilidad? Solución El ejercicio muestra un ejemplo de probabilidad codicional, por lo que debemos encontrar primero la probabilidad que sea mujer y estudie matemática, luego la probabilidad condicional; de la siguiente manera: Probabilidad que sea mujer y estudie contabilidad
P M ∩ C =110
1000
Probabilidad que este en el area de contabilidad
P(M|C) =P(M ∩ C)
P(M)=
1101000400
1000
=11
40= 0.275
Ejercicios propuestos 1. En una muestra de 1500 estudiantes, 720 dijeron estudiar inglés, 275
dijeron estudiar francés y 120 dijeron estudiar ambos idiomas. Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que estudie inglés o francés?.
2. Una empesa de aviación (Airways) acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos de Boston a Nueva York:
Llegada Frecuencia
Antes de tiempo 100
A tiempo 800
Demorado 75
Cancelado 25
Total 1000
Determine a. La probabilidad de que un vuelo llegue a tiempo o se cancele. b. La probabilidad de que el vuelo llegue antes de tiempo o demorado.
27
3. La directora de la escuela de administración recolectó la siguiente
información acerca de los estudiantes de licenciatura de la universidad:
Área Hombre Mujer Total
Contabilidad 170 110 280
Finanzas 120 100 220
Mercadotecnia 160 70 230
Administración 150 120 270
Total 600 400 1000
Determine a. La probabilidad que un hombre este en el área de finanzas. b. La probabilidad que una mujer esté en el área de administración o
mercadotecnia . c. La probabilidad que un hombre y una mujer estdien en el área de
finanzas. j. Cierto departamento de una compañía esta compuesto por 8 hombres
y 4 mujeres, de entre ellos se va elegir al nuevo jefe del departamento, para lo cual se entrevistará a dos de ellos. Si todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos, ¿cual es la probabilidad de que las dos personas entrevistadas sean mujeres?
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de tareas mediante exposiciones grupales. - Refuerzo teórico y práctico por parte del docente resolviendo ejercicios.
TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual Resuelva los ejercicios propuestos de la página 27. Tarea grupal Luego de leer comprensivamente el contenido de las páginas 27 a 29, utilice el software para graficar curvas de distribución normal.
SEXTO ENCUENTRO
2.3. Distribución de probabilidad normal
La distribución de probabilidad más usada para describir variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad normal. La distribución normal tiene gran cantidad de aplicaciones prácticas, en las cuales la variable aleatoria puede ser el peso o la estatura de las personas, puntuaciones de exámenes, resultados de mediciones científicas, precipitación pluvial u otras cantidades similares. La distribución normal describe que tán probables son los resultados obtenidos de un muestreo.
28
Curva normal Es un gráfico en forma de campana que se extiende a lo largo del eje x, es decir es saintótica ya que las colas jamás tocan el eje horizontal. Para cada valor de x existe una altura, la misma que puede obtenerse utilizando la siguiente función:
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD NORMAL
𝑓 𝑥 =1
𝜎 2𝜋𝑒− 𝑥−𝜇 2 2𝜎2
Donde μ = media
σ = desviación estándar π = 3.14159 e = 2.71828
A continuación puede observar una curva normal que tiene la misma media pero distintas desviaciones estándar.
Características de una distribución normal 1. Todas las distruibuciones normales se diferencian por la media μ y la
desviación estándar σ.
2. El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media, la cual coincide con la mediana y la moda.
3. La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo, positivo o cero.
4. El área bajo la curva normal se mide en porcentajes, ya que la curva es simétrica, el área bajo la curva a la izquierda de la media es 0.50 y el área
x
σ = 5
σ = 10
μ
29
bajo la curva a la deracha de la media es 0.50, lo que da el total de los casos de la población.
Puntuaciones tipificadas ( z ) El punto z llamado también valor estandarizado, mide el número de desviaciones estándar a las que x se encuentra de la media,puede ser negativo o positivo y su rango de valores son ] - 4 , 4 [ .
Los puntos z se encuentran en la tabla del anexo III, cuyos valores indican el área bajo la curva de ese punto.
Para hallar los valores z utilizamos la siguiente fórmula:
𝑧 =𝑋 − 𝜇
𝜎
Donde z = punto z para X 𝜇 = media
σ = desviación estándar
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de tareas mediante exposiciones grupales y solución ejercicios. - Solución de los ejercicios propuestos con manejo de la tabla estadística de
valores z . TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Resolver los ejercicios propuestos en la página 31 y 32. - Estudie la segunda unidad completa para la aplicación de la prueba de fin de
parcial.
SEPTIMO ENCUENTRO
Cálculo de probabilidades utilizando valores z Existen tres tipos de probabilidades que son necesarias comprenderlas para el análisis de resultados:
1. La probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar z sea menor o igual que un valor dado.
2. La probabilidad de que z esté entre dos valores dados y
3. La probabilidad de que z sea mayor o igual que un valor dado.
Ejemplo 1 De un test aplicado a 500 estudiantes para medir el coeficiente intelectual (CI), se obtuvo una media de 100 puntos y una desviación estándar de 17 puntos. ¿cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar obtenga un CI superior a 130 puntos? ¿cuántos estudiantes obtienen más de 130?
30
Datos N = 500
μ = 100 σ = 17 X = 130
Hallamos el valor z9
𝑧 =130 − 100
17= 1.7647
Según la tabla del Anexo III, el área bajo la curva es = 0.4608
Ubicamos los valores en la curva normal
Luego la probabilidad es del 4 % Para obtener el número de estudiantes que obtienen más de 130 puntos, ralizamos una regla de tres; de la siguiente manera:
100 % 500 4 % x
𝑥 =500 × 4
100
𝑥 = 20 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Nota: La tabla proporciona el área bajo la curva medido desde la posición de la media hata el valor z. Ejemplo 2 En una empresa de calzado, fabrican 250 pares de zapatos en promedio al día, si la desviación estándar es 105, ¿cuál es la probabilidad que cierto día los obreros confeccionen entre 150 y 300 pares de zapatos? Datos N = 700
μ = 250 σ = 105 X1 = 150 X2 = 300
Hallamos el valor de z1
𝑧1 =150 − 250
105= −0.952
Área bajo la curva = 0.3298
Hallamos el valor de z2
𝑧2 =300 − 250
105= 0.476
Área bajo la curva = 0.1808
Ubicamos los valores en la curva normal
9 La tabla de valores z se detalla en el Anexo III
z = 1.76
P = 0.50 – 0.46 P = 0.04
0.46
31
P = 0.3298 + 0.1808 = 0.5106 , es decir la probabilidad es 51.06 % Ejemplo 3
Una persona con buena historia crediticia tiene una deuda de $ 15 015. Suponga que la desviación estándar es de $ 3540 y que los montos de las deudas están distribuidos normalmente. ¿cuál es la probabilidad de que la deuda de una persona sea menos de $ 10 000
Datos μ = 15 015 σ = 3540 x = 10 000
Hallamos el valor z
𝑧 =10000 − 15015
3540
𝑧 = −1.416 Área bajo la curva 0.4207
Ejercicios propuestos 1. Dado que z es la variable normal estándar, calcule las probabilidades
siguientes.
a. P ( z > 0.44) b. P ( z < 1.20)
c. P (0 ≤ z ≤ 0.83) d. P (-1.57 ≤ z ≤ -1.04)
2. Dado que z es la variable normal estándar, halle z en las situaciones
iguientes. a. El área a la izquierda de z es 0.2119 b. El área a la derecha de z es 0.6915 c. El área ente –z y z es 0.2052 d. El área entre –z y z es 0.9030
3. En un examen de estadística la media de las calificaciones es 68 y la
desviación estándar 17; encontrar: a. El rango percentil para una calificación de 76 b. El rango percentil para una calificación de 42
z1 = - 0.95 z2 = 0.47
32.9
8 %
18.0
8 %
P = 0.50 – 0.4207 P = 0.0793
La probabilidad es del 7.93 %
z = - 1.41
0.4207
32
c. La probabilidad de que los estudiantes obtengan calificaciones entre 76 y 80
4. En el ciclo diversificado de una institución educativa existen 150 estudiantes cuya media de calificaciones es 85/100, en un test de destrezas, con una desviación típica de 3,68. se desea conocer la probabilidad y la cantidad de estudiantes: a. Que están sobre 88 puntos b. Que están entre 75 y 90 puntos c. Estudiantes están bajo 78 puntos
5. El precio promedio de las acciones que pertenecen a S&P es de $ 30 y la
desviación estándar es $ 8.20. Suponga que los precios de las acciones están distribuidos normalmente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de una
empresa sea por lo menos de $ 40? b. ¿De qué precio de las acciones de una empresa no sea myor a $ 20? c. ¿De cuánto deben ser los precios de las acciones de una empresa
para que esté éntre las 10 % mejores? Nota: Para cada ejercicio utilice la tabla de valores z del anexo II y además trace la curva normal.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Entrega del instrumento de evaluación diseñada por el docente. TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Lea en forma comprensiva las páginas 34 a 36 del texto. Tarea grupal - Utilicen la técnica de muestreo que comprendió de la lectura y seleccione una
muestra de una población cualquiera.
33
SEGUNDO
PARCIAL
34
PRIMER ENCUENTRO
3.1. Muestreo aleatorio Una muestra aleatoria es una muestra seleccionada de manera que cada elemento o persona en la población que se estudia tiene una probabilidad conocida de quedar incluido en la muestra. Consideremos los siguientes ejemplos de selección de muestras 1. Un fabricante de neumáticos elabora un nuevo modelo que tendrá mayor
duración que los actuales neuméticos de la empresa. Para estimar la duración media, en millas, el fabricante selecciona una muestra de 120 neumáticos nuevos para probarlos. De los resultados de esta prueba se obtiene una duración media de 36 500 millas. Por lo tanto, una estimación de la duración media, en millas, de la población de nuevos neumáticos es 36 500 millas.
2. Los miembros de un partido político deseaban apoyar a un determinado candidato para asambleísta, y los dirigentes del partido deseaban tener una estimación de la proporción de votantes registrados que podían estar a favor del candidato. El tiempo y el costo de preguntar a cada uno de los individuos de la población de votantes registrados eran prohibitivos. Por tanto, se seleccionó una muestra de 400 votantes registrados; 160 de los 400 votantes indicaron estar a favor del candidato. Una estimación de la proporción de la población de votantes registrados a favor del candidato es 160/400 = 0.40.
Estos dos ejemplos ilustran algunas de las razones por las que se usan muestras, es importante darse cuenta de que los resultados muestrales sólo proporcionan una estimación de los valores de las características de la población, ¿Por qué obtener muestras de la población? • Existe una imposibilidad física de verificar todos los elementos de la
población. • El costo de estudiar todos los elementos de una población es alto. • Los resultados de la muestra suelen ser adecuados. • Contactar a toda la población es tardado, por la naturaleza destructiva de
ciertas pruebas.
CAPÍTULO III
MÉTODOS Y DISTRIBUCIONES MUESTRALES
35
3.2. Métodos de muestreo aleatorio A continuación usted puede encontrar los diferentes métodos para definir una muestra . Muestra aleatoria simple Es una muestra formulada de manera que cada elemento o persona en la población tiene la misma oportunidad de quedar incluida. Muetra aleatoria sistemática Los artículos o individuos de la población se colocan en cierto orden. Se elige un punto de partida aleatorio y después se selecciona uno cada k-ésimo elemento de la población para la muestra. Muestreo aleatorio estratificado Se divide la población en subgrupos, llamados estratos o categorías y se selecciona una muestra de cada estrato como: aspectos económicos, sociales educativos, etc. Muestreo por conglomeración Primero se divide la población en subgrupos (estratos), atendiendo al espacio físico como el tipo de institución o el carácter de los acontecimientos, se selecciona un estrato. La muestra se toma del estrato seleccionado. Ejemplo Al director de personal de Electronics Associates, Inc. (EAI), se le ha encargado la tarea de elaborar un perfil de los 2500 administradores de la empresa. Las características a determinar son el sueldo medio anual de los administradores y la proporción de administradores que ha terminado el programa de capacitación de la empresa. Asuma que se va a emplear una muestra de 30 administradores, entonces a cada uno se le asigna un número del 1 al 2500 en el orden que aparezcan en la nómina de personal. A continuación se consulta la tabla 2.1. al consultar el primer renglón de la tabla se da cuenta que cada dídito, 6, 3, 2, 7, 1, … es un dígito aleatorio con la misma oportunidad de aparecer en cualquier otro. Como el número mayor de la lista de administradores EAI, 2500, tiene cuatro dígitos, se seleccionarán números aleatorios de la tabla en grupos de cuatro dígitos. Para la selección de los 30 datos de la muestra podemos empezar en cualquier lugar de la tabla y avanzar sistemáticamente en una de las
36
direcciones, para comprender su uso en este ejercicio, utilizaremos la primera fila de izquierda a derecha. De la siguiente manera:
6327 1599 8671 7445 1102 1514 1807 1458 6839 3108 . . . . TABLA 1 NÚMEROS ALEATORIOS
10
63271 59986 71744 51102 15141 80714 58683 93108 13554 79945 88547 09896 95436 79115 08303 01041 20030 63754 08459 28364 55957 57243 83864 09911 19761 66535 40102 26646 60147 15702 46276 87453 44790 67122 45573 84358 21625 16999 13385 22782 55363 07449 34835 15290 76616 67191 12777 21861 68689 03263
Para seleccionar los datos que van ha ser parte de la muestra hacemos el siguiente análisis: El primer número 6327 es mayor que 2500 por tanto se descarta. El segundo número 1599, está entre 1 y 2500. Por tanto el primer administrador seleccionado para la muestra aleatoria es el administrador que tiene el número 1599 en la lista. Este proceso sigue hasta que se tiene la muestra aleatoria de 30 administradores. Representatividad de la muestra - Las muestras aleatorias son más representativas que las no aleatorias.
- Se debe escoger la técnica de muestreo que más convenga a la
investigación.
- Una muestra nunca suele ser perfecta.
- Mientras mayor es el tamaño de la muestra, menor es el error.
- Lo fundamental es que la muestra sea representativa, para que los resultados inferidos a la población sean válidos.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de lectura con una guía de preguntas estructurada. - Determinación de muestras utilizando el método sistemático.
TAREA PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Revise el contenido de las páginas 37 a 39 del texto. - Apréndase la teoría y las fórmulas.
10
La tabla completa se encuentra en el Anexo I
37
3.3. Teorema del límite central
Distribución de muestreo de medias muestrales 𝝁𝒙 Es la distribución de probabilidad de todas la medias muestrales posibles de un tamaño de muestra dado, seleccionadas de una población, y la probabilidad de ocurrencia asociada con cada media muestral. Ejemplo El despacho de abogados Hoya & Associados tiene cinco socios. En su junta de socios semanal cada uno informa el número de horas que cobraron a los clientes por sus servicios la semana anterior. Los resultados se presentan en el siguiente cuadro
Socio Horas
Luis 22
Hernán 26
Carlos 30
Manuel 26
Tomas 22
Total 126
Si se seleccionan al azar dos socios, ¿cuántas muestras diferentes son posibles?
CnN =
Nn =
N!
n! N − n !
C25 =
5!
2! 5 − 2 !=
5 4 3!
2 1 3!
C25 = 10
Si a cada socio le asignamos números del 1 al 5, la hora total de trabajo y las medias muestrales son:
Socios Suma Total Media
(1,2) 22 + 26 48 24
(1,3) 22 + 30 52 26
(1,4) 22 + 26 48 24
(1,5) 22 + 22 44 22
(2,3) 26 + 30 56 28
(2,4) 26 + 26 52 26
(2,5) 26 + 22 48 24
(3,4) 30 + 26 56 28
(3,5) 30 + 22 52 26
(4,3) 26 + 22 48 24
SEGUNDO ENCUENTRO
38
Organicemos las medias muestrales en una distribución de muestreo
Media muestral Frecuencia Frecuencia relativa
22 1 1/10
24 4 4/10
26 3 3/10
28 2 2/10
Calculamos la media de las medias muestrales y comparamos con la media poblacional.
Media de las medias muestrales
𝜇𝑥 = 22 1 + 24 4 + 26 3 + 28 2
10
𝜇𝑥 = 25.2
Media poblacional
μ =(22 + 26 + 30 + 26 + 22)
5
μ = 25.2
Nota: Observe que la media de las medias muestrales es igual a la media poblacional. El ejemplo nos permite entonces establecer algunas reglas básicas:
- La distribución de las medias obtenidas de una población tiende a ser normal, y la gráfica de la distribución será una curva normal aún cuando la distribución fundamental sea sesgada.
- La media de las muestra 𝑢𝑥 es sensiblemente igual a la media (𝑢) de la población de la cual se extraen las muestras 𝑢𝑥 = 𝑢
- Si la estimación probabilística del valor de la media de la población se basa en una sola muestra aleatoria de tamaño n, probablemente la aproximación será tanto más cercana cuanto mayor sea el valor de n.
Error estándar de la media 𝝈𝒙 El término error estándar de la media se refiere a la desviación estándar de un estudio puntual, el valor del error estándar de la media ayuda a determinar qué tan lejos puede estar la media muestral de la media poblacional. Para hallar el valor de la desviación estándar de la media utilizamos las siguientes fórmulas:
Población infinita σx =σ
n
Población finita σx =σ
n∙
N − n
N − 1
39
Al aumentar n la probabilidad de extraer valores extremos se hace notoriamente menor. De aquí que si se toman las medias de las muestras
como puntuación de una nueva distribución, su desviación estándar 𝜎𝑥 será menor a medida que n crece, porque contiene cada vez menos puntuaciones extremas.
Ejemplo 1 La media aritmética de las estaturas de los 42 000 estudiantes de secundaria de una ciudad es de 1.58 metros y la desviación estándar es de 0.08 metros. Si se toman 50 muestras de 40 alumnos en cada muestra, hallar la media esperada de la distribución muestral y su error estándar. Solución
𝑢𝑋 = 𝑢 = 1.58
𝜎𝑋 =𝜎
𝑛=
0.08
40= 0.01
Ejemplo 2 Utilice una computadora para generar 100 muestras al azar de tamaño n=15 de una población finita que consta de los enteros de 1 a 1000 y una desviación estándar poblacional σ = 289. ¿Cuál es la desviación estándar de la muestra?
Datos
n = 15
N = 1000
σ = 289
σx =σ
n∙
N − n
N − 1
σx =289
15∙
1000 − 15
1000 − 1
σx = 74.68 ∙ 0.99
σx = 73.9
σx ≅ 74
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de letura por medio de exposiciones. - Refuerzo del docente. - Organizar grupos de tabajo para la solución de los ejercicios propuestos. TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Lea detenidamente las páginas 40 a 42 y elabore un resumen del tema. - Revise los ejercicios resueltos y utilice la tabla del anexo que se indica.
40
Intervalo de confianza IC Al trabajar con una o dos muestras no se puede conocer la media aritmética poblacional, sin embargo el error estándar de la media permite hallar el rango de valores dentro del cual es posible que fluctue la verdadesra media aritmética poblacional. Se puede estimar también la probabilidad de que la media aritmética poblacional realmente caiga dentro de ese rango de valores medios. El intervalo de confianza utiliza cualquier porcentaje dentro de la curva normal, pero los más comunes son 95 % y 99% cuyos valores z son 1.96 y 2.58 respectivamente. Nota: Los valores z de cualquier porcentaje se detallan en la tabla del Anexo II, llamados también “nivel de confianza”11. Para hallar el valor estimado del intervalo de confianza se utiliza el siguiente modelo matemático.
𝐼𝐶 = 𝑥 ± 𝑧 𝜎𝑥 donde 𝑥 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝜎𝑥 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎
Ejemplo 1 De una población se obtiene una muestra de 626 personas, si la distribución tiene una media muestral de 80 y una desviación estándar de 12. Determinar el intervalo de confianza de 95 %
Datos 𝑛 = 626
𝑥 = 80 𝜎 = 12 𝑧 = 1.96
Encontramos el error estándar de la media
𝜎𝑥 =𝜎
𝑛=
12
626= 0.48
Hallamos el intervalo de confianza
𝐼𝐶 = 𝑥 ± 𝑧 𝜎𝑥 𝐼𝐶 = 80 ± 1.96 0.48 𝐼𝐶 = 80 ± 0.94 Luego el rango de valores que fluctua la media es
79.06 → 80.94
11
Porcentaje dentro de la curva normal Anexo II
TERCER ENCUENTRO
41
μ
Ejemplo 2
Dada una distribución con 𝑥 = 75 , 𝜎 = 12 y una muestra de 500, determine el intervalo de confianza del 85 %.
Buscamos en la tabla el valor z z = 1.43
𝜎𝑥 =𝜎
𝑛=
12
500= 0.54
𝐼𝐶 = 75 ± 1.43 0.54 𝐼𝐶 = 75 ± 0.77
74.23 → 75.77
3.4. Determinación del tamaño de la muetra
Cuando la población es muy grande, el tamaño de la muestra puede ser hallada aplicando los siguientes modelos matemáticos.
POBLACIÓN FINITA n =
N ∙ σ2 ∙ Z2
(N − 1) ∙ E2 + σ2 ∙ Z2
POBLACIÓN INFINITA n =σ2 ∙ Z2
E2
DONDE n = tamaño de la muestra
N = tamaño de la población
2 = varianza de la población (p q)
Z = nivel de confianza
E = error admisible:
p = probabilidad de éxito (0.5)
q = probabilidad de fracaso (0.5)
Eejemplo 1 Un estudio en Estados Unidos encuestó a 900 golfistas para conocer su opinión acerca de cómo se les trataba en los cursos de golf. Si se desea que en el estudio se estime un error del 0.025 a 95% de cofianza.
47.5 % 47.5 %
2.5 % 2.5 %
-1.96 𝜎𝑥 1.96 𝜎𝑥
95 % de todos
los valores 𝑥
z = -1.43 z = 1.43
42.5 % 42.5 %
7.5 % 7.5 %
μ
42
Solución Como se puede apreciar, el problema se trata de una población finita, por lo tanto tenemos: Datos N = 900 Z = 95 %, consulte la tabla (Z = 1.96) E = 0.025
2= p.q = (0.5)(0.5) = 0.25
Aplicamos la fórmula
n =N ∙ σ2 ∙ Z2
(N − 1) ∙ E2 + σ2 ∙ Z2
n =900 ∙ 0.25 ∙ 1.96 2
(900 − 1) 0.025 2 + 0.25 1.96 2
𝐧 =𝟖𝟔𝟒. 𝟑𝟔
𝟏. 𝟓𝟐= 𝟓𝟔𝟕. 𝟖
𝐧 𝟓𝟔𝟖 golfistas Eejemplo 2 El porcentaje de personas que no tenía un seguro médico en Estados Unidos es 15.6 %. Se le pide a un comité del Congreso realizar un estudio para obtener información actualizada. ¿qué tamaño de muestra le recomienda usted al comité, si el objetivo es que la estimación tenga un margen de error de 0.03? Use 95 % de confianza: El ejercicio se trata de una población infinita Datos Z = 95 %, consulte la tabla (Z = 1.96) E = 0.03
2= p.q = (0.156)(0.844) = 0.132
q = 100 - 15.6 = 84.4 %
Aplicamos la fórmula
n =σ2 ∙ Z2
E2
𝑛 = 0.132 1.96 2
0.03 2
𝐧 =𝟎. 𝟓𝟎𝟕
𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟗=
𝐧 = 𝟓𝟔𝟑. 𝟑𝟑
𝐧 𝟓𝟔𝟑 personas Ejercicios propuestos 1. Una organización desea estimar la proporción de trabajadores que que
están a favor de una disposición de la emprea. Se cuenta con una lista con los nombres de 645 empleados. Tomando números aleatorios de tres dígitos del renglón 10 de la tabla (anexo 1) y avanzando por esa fila, de izquierda a derecha, determine los 10 primeros trabajadores que serán seleccionados.
43
2. Un investigador desea conocer la proporción de estudiantes que ven un determinado programa de televisión, la población es de 2750 estudiantes y se estima un error del 10% y un nivel de confianza del 95%, qué tamaño de muestra se debe tomar?
3. Para una investigación de campo mediante estimación se propone un error admisible del 6% y un nivel de confianza del 99%; cual es el tamaño de la muestra?
4. Calcular el tamaño de la muestra que se necesita para aplicar una
encuesta si se tiene una población de 3500 estudiantes de secundaria, se estima un error del 6%. y un 95% de confianza con una varianza del 0.25.
5. Con objeto de estimar la cantidad media que gasta un cliente en una
comida en un restaurante, se recogieron los datos de una muestra de 49 clientes. Suponga que la desviación estándar de la población es $5. ¿cuál es el margen de error para 95 % de confianza? Si la media poblacional es $250.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de tareas enviadas: resuelva el siguiente ejercicio ( se entregará en
ese momento). - Refuerzo por parte de profesor en la solución de problemas.
TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Termine de resolver los ejercicios propuestos de la página 43. Tarea grupal - Luego de leer comprensivamente el contenido de las páginas 43 a 46, elabore
un resumen (utilice organizadores gráficos).
44
CUARTO ENCUENTRO
3.1. Qué es una hipótesis
La estadística inferencial es un proceso inductivo mediante el cual las mediciones efectuadas en una muestra, permiten la generalización de la propiedad medida, como propiedad de toda la población. Se puede entonces considerar a un estadígrafo como una aproximación de un parámetro poblacional. Entiéndose por estadígrafo a un estimador del parámetro que da origen al estudio de hipótesis. Hipótesis Hipótesis es una afirmación o suposición respecto al valor de un parámetro poblacional. Son ejemplos de hipótesis, o afirmaciones hechas sobre un parámetro poblacional las siguientes: - El ingreso mensual promedio de todos los ciudadanos es $4500 - El 20% de los delincuentes capturados son sentenciados a prisión - El 90% de las formas fiscales son llenadas correctamente Todas estas hipótesis tienen algo en común, las poblaciones de interés son tan grandes que no es factible estudiar todos sus elementos. Como ya sabemos, una alternativa a estudiar la población entera es tomar una muestra de la población de interés. De esta manera podemos probar una afirmación para determinar si la evidencia soporta o no la afirmación.
3.2. Qué es una prueba de hipótesis Prueba de hipótesis es un procedimiento basado en una evidencia muestral y la teoría de la probabilidad, usado para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable para no ser rechazada, o es una afirmación poco razonable y ser rechazada. Una prueba de hipótesis comienza con una afirmación o suposición acerca de un parámetro poblacional, tal como la media poblacional. Una hipótesis podría ser que la colegiatura que pagan los estudiantes universitarios de la República del Ecuador es en promedio de $3000. Para comprobar esta hipótesis no podríamos contactar a todos los estudiantes universitarios de la república, el costo sería exorbitante. Para
CAPÍTULO IV
PRUEBA DE HIPÓTESIS
45
probar la validez de esta afirmación podríamos seleccionar una muestra de la población de estudiantes y basados en ciertas reglas de decisión, aceptar o rechazar la hipótesis. Si la media muestral fuera de $1000 ciertamente tendríamos que rechazar la hipótesis, pero si la media muestral fuera $2990 ¿podríamos asumir que la media poblacional si es de $3000?, ¿podemos atribuir al error de muestreo la diferencia de $10 entre las dos medias, o es una diferencia significativa?
3.3. Pasos para probar una hipótesis Hay un procedimiento de cuatro pasos que sistematizan la prueba de hipótesis, que son:
Paso 1: Establecer las hipótesis nula y alterna Hipótesis nula Ho Hipótesis nula es la hipótesis a ser probada se simbolizada por Ho, el subíndice cero implica “cero diferencia”. La hipótesis nula es una afirmación que será aceptada si los datos de la muestra no nos proveen de evidencia convincente de que es falsa, es decir, si se acepta la hipótesis nula decimos que la evidencia no es suficiente para rechazarla pero no podemos afirmar que es verdadera. Hipótesis alterna Ha La hipótesis alterna es la afirmación que se acepta si se rechaza la hipótesis nula. Esta hipótesis, también llamada hipótesis de investigación, se simboliza con Ha. La hipótesis alterna es aceptada si la evidencia proporcionada por la muestra es suficiente para afirmar que la Ho es falsa. Paso 2: Determinar el criterio de contraste Consiste en especificar el nivel de significancia, el tipo de distribución, y los valores críticos. Existen cuatro posibilidades al tomar una decisión respecto a una hipótesis: Nivel de significancia12 Es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera. El nivel de
significancia es simbolizado por
12
Para nuestro estudio aceptaremos el valor de 0.05 es decir ± 5 %
Aceptar Ho Rechazar Ho
Ho verdadera Decisión correcta Error Tipo I
Ho falsa Error Tipo II Decisión correcta
46
No hay un nivel de significancia para todos los estudios, se puede utilizar cualquier valor de probabilidad entre 0 y 1. Tradicionalmente, el nivel de 0.05 es aplicado a proyectos de investigación, el nivel 0.01 a control de calidad, y 0.10 a sondeos políticos. Usted como investigador debe decidir el nivel de significancia antes de colectar la muestra de datos. El tipo de distribución se determinará dependiendo de la naturaleza de la hipótesis y del tamaño de la muestra. Cuando la hipótesis es relativa a medias poblacionales y las muestras son grandes (n > 30) se utiliza la distribución normal. Cuando la hipótesis es relativa a la media y la muestra es chica (n≤ 30) se utiliza la distribución t de student. Los valores críticos son los valores de la variable de la distribución que limitan el área crítica, que es la parte de la curva que corresponde al nivel de significancia.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Debate sobre la lectura de hipótesis. - Trabajo en grupo para plantear hipótesis nula y alterna. - Refuerzo por parte del profesor. TAREA PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Luego de leer comprensivamente el contenido de las páginas 47 a 48, elabore
un resumen (utilice cuadros organizadores).
QUINTO ENCUENTRO
Prueba de significación de una cola Si la Ho tiene el signo (<) el problema es de la cola izquierda, si tiene el
signo(>) es de la cola derecha, y en ambos casos la cola vale . Para comprender mejor la zona de rechazo y aceptación, presentamos los siguientes gráficos de una distribución muestral de medias, con probabilidad de cometer un error tipo I y II.
PRUEBA DE LA COLA INFERIOR ( O IZQUIERDA)
Es decir una prueba es de una cola cuando la hipótesis alterna Ha indica una dirección, por ejemplo:
13
Valor medido en porcentaje
Ho: μ ≥ μ0
Ha: μ < μ0
Distribción muestral de 𝑥 cuando Ho es
verdadera
Rechazar Ho
∝
47
Ho: El ingreso económico medio de mujeres es menor o igual que el ingreso
económico medio de los hombres. Ha: El ingreso económico medio de los hombres es mayor que el ingreso
económico medio de las mujeres.
PRUEBA DE LA COLA SUPERIOR ( O DERECHA)
Prueba de significación dos colas El área crítica cuando la hipótesis alterna tiene el símbolo (≠ ) se divide entre
dos y se dice que el problema es de dos colas, y cada cola vale /2.
Es decir si no se especifica dirección según la hipótesis alterna, se aplica una prueba de dos cola, por ejemplo: Ho: No hay diferencia entre el ingreso económico medio de los hombres y el
ingreso económico medio de mujeres. Ha: Hay una diferencia entre el ingreso económico medio de los hombres y el
ingreso económico medio de mujeres. Paso 3: Calcular el estadístico de prueba El estadístico de prueba es un valor obtenido de la información de la muestra para compararlo con el criterio de contraste y rechazar o aceptar la hipótesis.
∝ / 2 ∝ / 2
Ho: μ = μ0
Ha: μ ≠ μ0
Rechazar Ho Rechazar Ho
Aceptar Ho
1 - ∝
Nota: 𝜎𝑥 =𝜎
𝑛
Ho: μ ≤ μ0
Ha: μ > μ0 Distribción muestral de 𝑥 cuando Ho es
falsa Rechazar Ho
∝
48
El estadístico de prueba cambia de acuerdo a la distribución que se utilice.
Puede ser z o t.
Estadístico z
Estadístico t
𝑧𝑥 =𝑥 − 𝜇
𝜎𝑥
𝑡 =𝑥 − 𝜇
𝑠
𝑛
Paso 4: Tomar decisión y conclusión Una regla de decisión es establecer las condiciones sobre las cuales se acepta o rechaza una hipótesis. Si el estadístico de prueba queda dentro de la zona crítica la hipótesis alterna deberá ser aceptada. Si el estadístico de prueba queda fuera de la zona crítica la hipótesis alterna deberá ser rechazada.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Debate sobre la lectura de prueba de hipótesis. - Trabajo en grupo para comprobar hipótesis. - Refuerzo por parte del profesor. TAREA PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Luego de leer comprensivamente el contenido de las páginas 48 a 52, elabore
un resumen (utilice cuadros organizadores).
SEXTO ENCUENTRO
3.4. Pruebas estadísticas paramétricas
Las pruebas paramétricas se las aplica exclusivamente cuando hay valores numéricos y la decisión depende de la forma de la población.
Media poblacional: 𝛔 conocida Llamada también prueba z, muestra cómo realizar una prueba de hipótesis
para la media poblacional en el caso en que σ es conocida.
Prueba de la cola
inferior Prueba de la cola
superior Prueba de dos
colas
Hipótesis Ho: μ ≥ μ0
Ha: μ < μ0 Ho: μ ≤ μ0
Ha: μ > μ0 Ho: μ = μ0
Ha: μ ≠ μ0
Estadístico de prueba
𝑧𝑥 =𝑥 − 𝜇
𝜎𝑥 𝑧𝑥 =
𝑥 − 𝜇
𝜎𝑥 𝑧𝑥 =
𝑥 − 𝜇
𝜎𝑥
Regla de rechazo método del valor
crítico
Rechazar Ho si z ≤ - zα
Rechazar Ho si z ≥ zα
Rechazar Ho si z ≤ - zα/2
o si z ≥ zα/2
49
Ejemplo 1 La empresa Jamestown Steel Company fabrica y ensambla escritorios y otros muebles para oficina, en diversas plantas del oeste de Nueva York. La producción semanal del escritorio Modelo A325 en la Planta Fredonia, se distribuye normalmente, con una media de 200 y una desviación estándar de 16. Recientemente, debido a la expansión del mercado, se han introducido nuevos métodos de producción y se han contratado más empleados. El vicepresidente de la compañía quisiera saber si ha habido un cambio total en la producción semanal del citado mueble de oficina. Para lo cual toma una muestra de 48 escritorios obteniendo una media semanal de 203.5. utilice el nivel de significancia de 0.01. Solución Paso 1: Establecemos las hipótesis nula y alterna Ho: El promedio de escritorios producidos en la planta Fredonia de la
empresa Jamestown es de 200. Ho: µ = 200 Ha: El promedio de escritorios producidos en la planta Fredonia de la
empresa Jamestown es diferente de 200. Ha ≠ 200
Por lo tanto el problema es de dos colas Paso 2: Establecemos el nivel de significancia
α = 0.01
∝/2 = 99/2 ∝/2 = 49.5 %
Según Anexo III
z∝/2 = ± 2.58 Psao 3: Calculamos el estadístico de prueba
Datos
𝑛 = 48 𝑥 = 203.5
𝜇 = 200 𝜎 = 16
Desviación estándar de la media
𝜎𝑥 =𝜎
𝑛
𝜎𝑥 =16
48= 2.3
Estadístico de prueba
𝑧𝑥 =𝑥 − 𝜇
𝜎𝑥
𝑧𝑥 =203.5 − 200
2.3= 1.52
Interpretación Gráfica
2.58 -2.58
49.5 % 49.5 %
Ho
μ 𝑥
50
Paso 4: Tomar decisiones y Concluir Puesto que para rechazar Ho debe cumplirse 𝑧 ≤ −𝑧𝛼 2 o 𝑧 ≥ 𝑧𝛼 2 ,
Entonces verificamos 2.58 ≤ -1.52 como puede ver no cumple por lo tanto aceptamos la hipótesis nula Ho.
También podemos decir que, como el estadístico de prueba 𝑧𝑥 = 1.52 quedó dentro de la zona crítica, la hipótesis alterna deberá ser rechazada. La conclusión podría ser la siguiente: “No hay evidencia suficiente para afirmar que la empresa Jamestown Steel Company distribuya una cantidad diferente a 200 productos, en un nivel de significancia de 0.01” Ejemplo 2 La Federal Trade Commission, FTC, realiza periódicamente estudios estadísticos con objeto de comprobar las afirmaciones de los fabricantes acerca de sus productos. Por ejemplo, en la etiqueta de una lata grande de Hilltop Coffee dice que la lata contiene 3 libras de café. La FTC sabe que el proceso de producción de Hilltop no permite llenar las latas con 3 libras exactas de café por lata, incluso si la media poblacional del peso de llenado de todas las latas es de 3 libras por lata. Sin embargo, mientras la media poblacional del peso de llenado sea por lo menos 3 libras por lata, los derechos del consumidor estarán protegidos. Suponga que se selecciona una
muestra de 36 latas de café con una media 𝑥 = 2.92, σ = 0.18 y 1% de error. Solución Paso 1: Establecemos las hipótesis nula y alterna
Ho: media poblacional de llenado por lo menos 3 libras por lata Ho: μ ≥ 3
Ha: media poblacional de llenado menor que 3 libras po lata. Ha: μ < 3
Como puede ver el problema es de una cola (inferior) Paso 2: Establecemos el nivel de significancia
α = 0.01
∝ = 99 – 50 ∝ = 49 %
Según Anexo III
z∝ = -2.33
Psao 3: Calculamos el estadístico de prueba
Datos
𝑛 = 36
𝑥 = 2.92 𝜇 = 3
Desviación estándar de la media
𝜎𝑥 =𝜎
𝑛
Estadístico de prueba
𝑧𝑥 =𝑥 − 𝜇
𝜎𝑥
51
𝜎 = 0.18 𝜎𝑥 =
0.18
36= 0.03 𝑧𝑥 =
2.92 − 3
0.03= −2.67
Interpretación gráfica
Paso 4: Tomar decisiones y Concluir
Puesto que para rechazar Ho debe cumplirse 𝑧𝑥 ≤ −𝑧∝
Verificamos si -2.67 ≤ -2.33, si cumple la condición por lo tanto se puede rechazar Ho y concluir de la siguiente manera: La Federal Trade Commission, FTC manifiesta que Hilltop Coffee está llenando las latas de café con menos peso del debido. Ejemplo 3 Una cadena de tiendas de descuento expide su propia tarjeta de crédito. El gerente de esta función desea averiguar si el saldo insoluto medio mensual es mayor que $400, el nivel de significancia se fija en 0.05, una muestra aleatoria de 172 saldos insolutos revelo que la media muestral es de $407, y que la desviación estándar de la muestra vale $38 ¿Debería concluir el funcionario de crédito que la media poblacional es mayor que $400, o bien es razonable suponer que la diferencia de $7 (obtenida de 407-400) se debe al azar? Solución Paso 1: Establecemos las hipótesis nula y alterna
Ho: media poblacional del saldo insoluto menor o igual que 400. Ho: μ ≤ 400
Ha: media poblacional del saldo insoluto mayor que 400. Ha: μ > 400
Como puede ver el problema es de una cola (superior) Paso 2: Establecemos el nivel de significancia
α = 0.05
∝ = 95 – 50 ∝ = 45 %
Según Anexo III
z∝ = 1.64
-2.33
0.99
0.01
μ
52
Psao 3: Calculamos el estadístico de prueba
Datos
𝑛 = 172 𝑥 = 407 𝜇 = 400
𝜎 = 38
Desviación estándar de la media
𝜎𝑥 =𝜎
𝑛
𝜎𝑥 =38
172= 2.89
Estadístico de prueba
𝑧𝑥 =𝑥 − 𝜇
𝜎𝑥
𝑧𝑥 =407 − 400
2.89
𝑧𝑥 = 2.42
Representación gráfica
Paso 4: Tomar decisiones y Concluir
Puesto que para rechazar Ho debe cumplirse 𝑧𝑥 ≥ 𝑧∝
Verificamos si 2.42 ≥ 1.64, si cumple la condición por lo tanto se puede rechazar la hipótesis nula Ho y aceptamos la alterna Ha y concluir de la siguiente manera: El saldo insoluto medio de la tarjeta de crédito supera los $400. Ejercicios propuestos 1. Una empresa de bienes raíces, vigila los montos de las rentas de ciertas
algunas ciudades. A mediados del 2002, la renta promedio de una ciudad era de $895 por mes. Suponga que, según los estudios trimestrales anteriores, es razonable que la desviación estándar poblacional es $225. En un estudio reciente, de una muestra de 180 ciudades en todo el país y cuya media es $900 ¿permite a esta empresa concluir que la media de la renta actual de las ciudades es superior a la media encontrada en el
2002?. Con ∝ = 0.01.
2. En Estados Unidos un hogar paga en promedio $32.79 mensuales por el servicio de Internet. En una muestra de 50 hogares de un estado del sur le media muestral fue $ 30.63 con una desviación estándar poblacional de $ 5.60 y un nivel de confianza de 0.01. Formule las hipótesis si los datos favorecen la conclusión de que la cantidad media pagada por el servicio de Internet es menor a la media de todo el país. ¿Cuál es su conclusión?
1.64
0.05
0.95
μ 𝑥
53
3. CNN y ActMedia presentaron un canal de televisión dirigido a las personas que esperan en las colas de los supermercados. En este canal se presentaban noticias, reportajes y publicidad. La duración de la programación estaba basada en la suposición de que la media poblacional del tiempo que los clientes esperan en la cola de la caja era 8 minutos. Se tomará una muestra para verificar si el tiempo medio de espera es realmente 8 minutos. En una muestra de 120 clientes la media muestral fue 8.5 minutos. Suponga que la desviación estándar poblacional es 3.2 minutos y se estima una confianza del 5 %. ¿Cuál es su conclusión?
Nota: Para cada ejercicio realice una representación gráfica.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de tarea, escribir los pasos para la prueba de hipótesis (se entregará
material impreso). - Solución de los ejercicios que constan como ejemplo en el texto. TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Resuelva los ejercicios propuestos de la página 52, 53. - Estudie la tercera y cuarta unidad completa para la aplicación de la prueba de
fin de parcial.
SEPTIMO ENCUENTRO
Media poblacional: 𝛔 deconocida Llamada también prueba t de Student, muestra cómo realizar una prueba de
hipótesis para la media poblacional en el caso en que σ es desconocida. El siguiente cuadro le ayudará a tomar decisiones cuando se trate de rachazar la hipótesis nula Ho.
Prueba de la cola
inferior Prueba de la cola
superior Prueba de dos
colas
Hipótesis Ho: μ ≥ μ0
Ha: μ < μ0 Ho: μ ≤ μ0
Ha: μ > μ0 Ho: μ = μ0
Ha: μ ≠ μ0
Estadístico de prueba
𝑡 =𝑥 − 𝜇
𝑆𝑥 𝑡 =
𝑥 − 𝜇
𝑆𝑥 𝑡 =
𝑥 − 𝜇
𝑆𝑥
Regla de rechazo método del valor
crítico
Rechazar Ho si t ≤ - tα
Rechazar Ho si t ≥ tα
Rechazar Ho si t ≤ - tα/2
o si t ≥ tα/2
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑆𝑥 =𝑠
𝑛 𝑔𝑙 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑14 = 𝑛 − 1
Ejemplo 1 Una revista de viajes de negocios desea clasificar los aeropuertos internacionale de acuerdo con una evaluación hecha por la población de
14
Los grados de libertad se muestran en el Anexo IV
54
viajeros de negocios. Se usa una escala de evaluación que va desde un mínimo de 0 hasta un máximo de 10, y aquellos aeropuertos que ontengan una media mayor que 7 serán considerados como aeropuertos de servicio superior. Para obtener los datos de evaluación, el personal de la revista entrevista una muestra de 60 viajeros de negocios de cada aeropuerto. En la muestra tomada en el aeropuerto Heathrow de Londres la media muestral es
𝑥 = 7.25 y la desviación estándar muestral es 𝑆 = 1.052. de acuerdo con estos datos muestrales, ¿deberá ser designado Heathrow como un
aeropuerto de servicio superior?. Nivel de significancia ∝ = 0.05. Solución Paso 1: Establecemos las hipótesis nula y alterna
Ho: μ ≤ 7 Ha: μ > 7
Paso 2: Establecemos el nivel de significancia
α = 0.05 gl = n – 1 gl = 60 – 1 = 59
Buscamos el valor de t en el anexo IV
t∝ = 1.761 Psao 3: Calculamos el estadístico de prueba
Datos
𝑛 = 60 𝑥 = 7.25 𝜇 = 7
𝑆 = 1.052
Desviación estándar de la media
𝑆𝑥 =𝑆
𝑛
𝑆𝑥 =1.052
60= 0.135
Estadístico de prueba
𝑡 =𝑥 − 𝜇
𝑆𝑥
𝑡 =7.25 − 7
0.135= 1.84
Representación gráfica
Paso 4: Tomar decisiones y Concluir Puesto que para rechazar Ho debe cumplirse t ≥ tα
Verificamos si 1.84 ≥ 1.76, si cumple la condición por lo tanto se puede rechazar la hipótesis nula Ho y aceptamos la alterna Ha y concluir de la siguiente manera: Heathrow debe ser considerado como aeropuerto de servicio superior.
t = 1.761
∝=0.05
μ 𝑥
55
Ejemplo 2 Holiday Toys distribuye sus productos a través de más de 1000 puntos de venta. Al planear su producción para la temporada de invierno siguiente, la empresa debe decidir cuantas unidades de cada producto fabricar, antes de saber cuál será la verdadera demanda en cada punto de venta. Para la temporada venidera, el gerente de marketing espera que la demanda de su nuevo juguete sea en promedio 40 unidades por punto de venta. Antes de tomar la decisión final de producción, con base en dicha estimación, la empresa decide hacer una encuesta de 25 puntos de venta con objeto de obtener más información acerca de la demanda del nuevo producto. A cada uno de estos puntos de venta se le proporciona información sobre las características del nuevo juguete e información sobre el costo y el precio de venta sugerido. Después se le pide a cada punto de venta que anticipe la cantidad que pedirá. La media de la muestra arroja un valor de 37.4, la desviación estándar de la muestra es 11.79 unidades y el nivel de confianza es 0.05. ¿Cuál será la decisión final de la empresa para la nueva temporada? Solución Paso 1: Establecemos las hipótesis nula y alterna
Ho: μ = 40 Ha: μ ≠ 40
Paso 2: Establecemos el nivel de significancia
Como es de dos colas
∝/2 = 0.025 gl = n – 1 = 25 – 1 = 24
Como es de dos colas
t∝/2 = 2.064
Psao 3: Calculamos el estadístico de prueba
Datos
𝑛 = 25 𝑥 = 37.4 𝜇 = 40 𝑆 = 11.79
Desviación estándar de la media
𝑆𝑥 =𝑆
𝑛
𝑆𝑥 =11.79
25= 2.36
Estadístico de prueba
𝑡 =𝑥 − 𝜇
𝑆𝑥
𝑡 =37.4 − 40
2.36= −1.10
2.06 - 2.06
∝/2 = 0.025 ∝/2 = 0.025
56
Paso 4: Tomar decisiones y Concluir Para rechazar la hipótesis Ho debe cumplirse t ≤ - tα/2 o t ≥ tα/2
Comparamos los valores -1.10 ≤ -2.064, se puede apreciar que no cumple la condición, tampoco -1.10 ≥ 2.064 por lo tanto la hipótesis nula no puede ser rechazada. Este resultado indica que Holyday Toys puede continuar con su plan de
produción para la temporada próxima de acuerdo a la expectativa de μ = 40 Ejercicios propuestos 1. Según las especificaciones, el tiempo medio que se requiere para inflar
una balsa de hule es 7.5 segundos. Como se ha seguido que esta cifra podría ser demasiado baja, se infla una muestra tomada al azar de 45
balsas, lo que produce 𝑥 = 7.6 segundos y 𝑆 = 0.6 segundos. ¿Qué se puede concluir en el nivel de significancia 0.01?
2. El departamento de seguridad de un almacén desea saber si el tiempo promedio que requiere el velador para hacer su ronda es 12 minutos. Si, en una muestra aleatoria de 36 rondas, el velador, promedio hace una ronda de 12.3 minutos con una desviaron estándar de 1.2 minutos, ¿se puede rechazar la hipótesis nula = 12.0 minutos en el nivel de
significancia 0.05
3. El departamento de reclamaciones o demandas en la aseguradora McFarland Insurance Company, revela que en promedio cuesta $60 (dólares) la realización de todos los trámites, manejar todo el papeleo, pagar al investigador, y otros. Este costo se consideró muy alto comparado con el de otras compañías aseguradoras, y se instauraron medidas para abatir los costos. A fin de evaluar el impacto del costo de tales medidas MacFarland seleccionó aleatoriamente una muestra de 26 demandas y encontró que la media muestra! tenía el valor de $57, y la desviación estándar, era de $10. En el nivel de significancia de 0.01, ¿se puede concluir que las medidas realmente redujeron el costo? O bien, ¿se debe concluir que la diferencia de $3 entre la media muestra! ($57) y la media poblacional ($60) puede atribuirse at azar?
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de tareas. - Entrega del instrumento de evaluación diseñada por el docente.
TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea grupal - Lea en forma comprensiva las páginas 58, 59 del texto, realice un resumen y
prepare material expositivo ( preferentemente diapositivas).
57
TERCER
PARCIAL
58
PRIMER ENCUENTRO
5.1. Proporciones poblacionales Prueba de hipótesis para una proporción poblacional Los métodos para realizar la prueba de hipótesis son semejantes a los usados en los ejemplos anteriores, sino que se trabaja con porcentajes. El siguiente cuadro se presenta una síntesis para la prueba de hipótesis por proporción poblacional.
Prueba de la cola
inferior Prueba de la cola
superior Prueba de dos
colas
Hipótesis Ho: p ≥ p0
Ha: p < p0 Ho: p ≤ p0
Ha: p > p0 Ho: p = p0
Ha: p ≠ p0
Estadístico de prueba
𝑧 =𝑝 − 𝑝
𝜎𝑝 𝑧 =
𝑝 − 𝑝
𝜎𝑝 𝑧 =
𝑝 − 𝑝
𝜎𝑝
Regla de rechazo método del valor
crítico
Rechazar Ho si z ≤ - zα
Rechazar Ho si z ≥ zα
Rechazar Ho si z ≤ - zα/2
o si z ≥ zα/2
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝜎𝑝 = 𝑝 1 − 𝑝
𝑛 𝑝 =
𝑓
𝑛
Donde 𝑝 proporción muestral
𝑝 proporción poblacional n tamño de la muestra f frecuencia
Ejemplo 1 Suponga que un nutriólogo afirma que cuando menos el 75% de los niños preescolar de cierto país tienen dietas deficientes en proteínas y que un estudio de muestra revela que esto es cierto en 206 niños de preescolar en una muestra de 300. Demuestre la afirmación en el nivel de significancia 0.05. Solución Paso 1: Establecemos las hipótesis nula y alterna Ho: Cuando menos el 75% de los niños de preescolar de cierto país tienen
dietas deficientes en proteínas Ho: p ≥ 0.75 H1: Los niños de preescolar de cierto país que tienen dietas deficientes en
proteínas son menos del 75% p < 0.75
CAPÍTULO V
PRUEBAS DE BONDAD Y REGRESIÓN LINEAL
59
Paso 2: Establecemos el nivel de significancia
cola inferior
∝ = 0.05
Buscacos en el Anexo III 95% - 50 % = 45%
z∝ = -1.64 Psao 3: Calculamos el estadístico de prueba
Datos
𝑛 = 300
𝑓 = 206
𝑝 =206
300=
𝑓
𝑛= 0.69
𝑝 = 0.75
Desviación estándar de la media
𝜎𝑝 = 𝑝 1 − 𝑝
𝑛
𝜎𝑝 = 0.75 1 − 0.75
300
𝜎𝑝 = 0.025
Estadístico de prueba
𝑧 =𝑝 − 𝑝
𝜎𝑝
𝑧 =0.69 − 0.75
0.025
𝑧 = −2.4
Prueba de cola inferior
Paso 4: Tomar decisiones y Concluir Para rechazar Ho debe cumplirse z ≤ - zα Luego tenemos que -1.64 ≤ 2.4, la condición si se cumple por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna. Entonces podemos concluir que los niños de cierto país que tienen dietas deficientes en proteínas son menos del 75%. Ejercicios propuestos 1. Un médico afirma que cuando mucho el 10% de todas las personas
expuestas a cierta cantidad de radiación sentirá, algún efecto. Si, en una muestra tomada al azar, 4 de 13 personas sienten algún efecto, demuestre la afirmación en el nivel de significado 0.05.
2. Suponga que 5 de 12 estudiantes de medicina presumiblemente una muestra tomada al azar, afirman que realizarán práctica privada poco
-1.64
∝=0.05
60
después de graduarse. ¿Apoya esto la afirmación de cuando menos del 70% de todos los estudiantes de medicina realizarán práctica privada poco tiempo después de graduarse?. Utilice el nivel de significado 0.05.
3. Un crítico de Tv asevera de cuando menos el 80% de todos los televidentes encuentran inconvenientes el nivel de ruido de cierto comercial. Si, 9 de 5 personas a quienes se es muestra este comercial objetan el nivel de ruido, ¿qué podemos concluir de esta afirmación en el nivel de significado 0.05?.
4. En una muestra aleatoria de 13 estudiantes de administración no graduados, 6 afirman que realizarán trabajos avanzados en contaduría. Demuestre la afirmación de que el 20% de todos los estudiantes de administración no graduados realizarán trabajos avanzados de contaduría, mediante el uso de la hipótesis alternativa p 0.20, y el nivel de significado de 0.01.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de lectura mediante un debate de una proporción poblacional. - Solución de problemas de aplicación por medio de los cuatro pasos. TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Resuelva los ejercicioas propuestos de la página 59 y 60. Tarea grupal - Estudie el contenido de las páginas 60, 62 y realice un resumen.
SEGUNDO ENCUENTRO
Diferencia de medias cuando se trabaja con dos muestras Para hacer una inferencia entre dos poblaciones, se elige una muestra aleatoria n1 de la población 1 y otra n2 de la población 2, si además se
conocen las desviación estándar poblacional σ1 σ2, el estadístico de prueba de hipótesis es el siguiente:
Estadístico de prueba
𝑧 =𝑥 1 − 𝑥 2𝜎𝑥 1−𝑥 2
DONDE 𝑛1 media de la muestra 1
𝑛2 media de la muestra 2
Eroor estándar de la media
𝜎𝑥 1−𝑥 2 = 𝜎1
2
𝑛1+
𝜎22
𝑛2
𝜎1 desviación estándar de la población 1
𝜎2 desviación estándar de la población 2 Ejemplo En una muestra de 30 empleados de una gran empresa, el salario medio por
hora es 𝑥 1 = $9.5; con 𝜎1 = $1. En una segunda gran empresa, el salario
medio por hora de una muestra de 40 empleados es 𝑥 2 = $9.05 con 𝜎2 = $1.2. Pruebe la hipótesis de que no existe diferencias entre el índice salarial promedio de las dos empresas, con un nivel de significancia de 5% y sobre el
61
supuesto de que las varianzas de las dos poblaciones no son necesariamente iguales. Solución Paso 1: Establecemos las hipótesis nula y alterna Ho: No existe diferencia entre el índice salarial promedio de las dos
empresas: Ho: μ1 = μ2 H1: Hay diferencia significativa entre el índice salarial promedio de las dos
empresas Ha: μ1 ≠ μ2 Paso 2: Establecemos el nivel de significancia
Dos colas
∝/2 = 0.025
Buscacos en el Anexo III
95% ÷ 2 = 47.5%
z∝/2 = 1.96 Psao 3: Calculamos el estadístico de prueba
Datos
𝑛1 = 30 𝑛2 = 40 𝑥 1 = 9.5 𝑥 2 = 9.05
𝜎1 = 1 𝜎2 = 1.2
Error estándar de la media
𝜎𝑥 1−𝑥 2 = 𝜎1
2
𝑛1+
𝜎22
𝑛2
𝜎𝑥 1−𝑥 2 = 1 2
30+
1.2 2
40
𝜎𝑥 1−𝑥 2 = 1
30+
1.44
40
𝜎𝑥 1−𝑥 2 = 0.0693 = 0.26
Estadístico de prueba
𝑧 =𝑥 1 − 𝑥 2𝜎𝑥 1−𝑥 2
𝑧 =9.5 − 9.05
0.263
𝑧 =0.45
0.263
𝑧 = 1.70
Paso 4: Tomar decisiones y Concluir Para rechazar la hipótesis Ho debe cumplirse z ≤ - zα/2
De los cálculos tenemos 1.70 ≤ 1.96, si cumple la condición por lo tanto se acepta la hipótesisi nula y se rechaza la alterna.
1.96 - 1.96
∝/2 = 0.025 ∝/2 = 0.025
62
Se puede concluir que no existe diferencia entre el índice salarial entre las dos empresas.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de letura por medio de exposiciones grupales de la prueba de
hipótesis con dos muestras. - Organizar grupos de tabajo para la solución de los ejercicios propuestos. TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea grupal - Revise la teoría de las páginas 62 a 64 y elabore un resumen con la ayuda de
un organizador gráfico.
TERCER ENCUENTRO
Inferencia estadística acerca de dos proporciones poblacionales Sean p1 la media de la población 1 y p2 la media de la población 2, lo que interesa aquí son inferencias acerca de la diferencia entre dos proporciones p1 - p2. Para hacer una inferencia acerca de esta diferencia, se elige una muestra aleatoria simple n1 y otra otra muestra n2. Para plantear las hipótesis cuando se trabaja con dos muestras, existen tres formas que son::
Ho: p1 – p2 ≥0
Ha: p1 – p2 <0
Ho: p1 – p2 ≤ 0
Ha: p1 – p2 > 0
Ho: p1 – p2 = 0
Ha: p1 – p2 ≠ 0
El estadístico de prueba se puede calcular con la siguiente fórmula:
𝑧 = 𝑝 1 − 𝑝 2
𝜎𝑝 1−𝑝 2
Donde
𝜎𝑝 1−𝑝 2 = 𝑝 1 − 𝑝 1
𝑛1+
1
𝑛2 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟
𝑝 1 =𝑓1
𝑛1 𝑝 2 =
𝑓2
𝑛2 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑝 =𝑛1𝑝 1 + 𝑛2𝑝 2
𝑛1 + 𝑛2 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝1 = 𝑝2
Ejemplo Una empresa que se dedica a elaborar declaraciones de impustos desea comparar la calidad del trabajo que se realiza en dos de sus oficinas originales. Suponga que la empresa desea realizar una prueba de hipótesis
63
para determinar si las proporciones de errores en las dos oficinas son diferentes. Para ello se toman dos muestras, en la primera oficina se tomo una muestra de 35 empleados de entre 250 y de la segunda oficina 27
empleados de 300. Nivel de significancia ∝ = 0.01 Solución Paso 1: Establecemos las hipótesis nula y alterna
Ho: p1 – p2 = 0
Ha: p1 – p2 ≠ 0 Paso 2: Establecemos el nivel de significancia
Dos colas
∝ = 0.01
∝/2 = 0.005
Buscacos en el Anexo III
99 ÷ 2 = 49.5%
z∝ = 2.57
Psao 3: Calculamos el estadístico de prueba
Proporciones muestrales
𝑝 1 =𝑓1
𝑛1
𝑝 1 =35
250
𝑝 1 = 0.14
Estimador
𝑝 =𝑛1𝑝 1 + 𝑛2𝑝 2
𝑛1 + 𝑛2
𝑝 =250 0.14 + 300 0.09
250 + 300
𝑝 = 0.1127
Estadístico
𝑧 = 𝑝 1 − 𝑝 2
𝜎𝑝 1−𝑝 2
𝑧 = 0.14 − 0.09
0.027
𝑧 =0.05
0.027
𝑧 = 1.85
𝑝 2 =𝑓2
𝑛2
𝑝 2 =27
300
𝑝 2 = 0.09
Error estándar
𝜎𝑝 1−𝑝 2 = 𝑝 1 − 𝑝 1
𝑛1+
1
𝑛2
𝜎𝑝 1−𝑝 2 = 0.1127 1 − 0.1127 1
250+
1
300
𝜎𝑝 1−𝑝 2 = 0.0007333 = 0.027
DATOS
n1= 250 f1 = 35 n2= 300 f2 = 27
64
Representación gráfica
Paso 4: Tomar decisiones y Concluir Para hechazar Ho debe cumplirse z ≤ - zα Luego tenemos que 1.85 ≤ 2.57, la condición si se cumple por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna. Entonces podemos concluir que las proposiciones en las dos oficinas difieren, siendo la 1 la que tenía una mayor tasa de errores.. Ejercicios propuestos 1. Para comparar el conocimiento de los alumnos de primer ingreso de
sucesos actuales en dos universidades de la comunidad, a muestras de 60 alumnos de primer año de cada una de las dos universidades de la comunidad se aplicó una prueba especial. Si los de la primera universidad de la comunidad obtuvieron una calificación promedio de 76.4 con una desviación estándar de 5.0, mientras que los de la segunda universidad de la comunidad obtuvieron un promedio de 71.8 con una desviación estándar de 4.6, demuestre en el nivel de significado 0.01 si la diferencia entre estas medias de dos muestras es importante.
2. En dos universidades se condujo un estudio de muestra del número de gises que utiliza el profesor en promedio. Si 80 profesores de una universidad promediaron 12.5 gises por mes con una desviación estándar de 2.4, mientras que 60 profesores de la otra universidad promediaron 11.3 gises por mes con una desviación estándar de 3.3, demuestre en el nivel de significado 0.05 si la diferencia entré las medias es significativa.
3. Suponga que desea investigar si los hombres y las mujeres ganan sueldos
comparables en cierta industria. Si los datos de la muestra revelan que 60 hombres perciben en promedio $212.50 por semana con una desviación estándar de $ 15.60, mientras que las mujeres tienen un ingreso promedio de $196.10 a la semana con una desviación estándar de $18.20,
demuestre la hipótesis nula 21 contra la hipótesis alternativa
21 en el nivel de significado 0.01.
2.57 2.57
∝ = 0.005 ∝ = 0.005
65
4. Para demostrar la efectividad de un nuevo medicamento que alivia el dolor, a 80 pacientes de una clínica se les dio una pastilla que contiene el medicamento y a otros 80 se les administró un placebo. En el nivel de significancia 0.01 ¿Qué podemos concluir acerca de la efectividad de la droga el primer grupo 56 de los pacientes sintieron un efecto benéfico, mientras que 38 de los que recibieron el placebo si sintieron también un efecto benéfico?
5. Un estudió demostró que 84 de 200 personas que vieron un anuncio de un
desodorante durante la cobertura por televisión de un encuentro de fútbol y 96 de 200 personas que vieron el mismo anuncio en un programa de variedades recordaron dos horas después el nombre del desodorante. Utilice el nivel de significado 0.05 para demostrar la hipótesis nula de que no hay diferencia entre las proporciones verdaderas correspondientes.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de tareas enviadas exposición de los grupos de trabajo. - Refuerzo por parte de profesor en la solución de problemas de aplicación. TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Resuelva los ejercicios propuestos de las páginas 64 y 65. Tarea grupal - Luego de leer comprensivamente el contenido de las páginas 65 a 69, elabore
un resumen (utilice organizadores gráficos).
CUARTO ENCUENTRO
4.2. Prueba estadística no parametrica Esta prueba se utiliza generalmente para determinar la relación entre variables cualitativas. Prueba de bondad de ajuste Chi – Cuadrada15 Esta prueba estadística es aplicable cuando la variable nominal está compuesta por dos o más categorías. La prueba de bondad de ajuste siempre es una prueba de una cola, en la que el rechazo se presenta en la cola superior de la distribución chi – cuadrada.
15
La tabla de valores del chi – cuadrada se encuentra en el Exexo V
0.95 de los valores x2
0
0.025
0.025
X2
66
Para realizar una prueba de bondad de ajuste chi – cuadrada se deben seguir los siguientes pasos: Paso 1: Establezca la hipótesis nula y alternativa Paso 2: Seleccionar una muestra aleatoria y anotar la frecuencia obsarvada fi en cada categoría. Paso 3: Suponer que la hipótesis nula es verdadesra y determinar la frecuencia esperada ei en cada categoría multiplicando la probabilidad de esa categoría por el tamaño de la muestra. Paso 4: Calcular el valor del estdístico de prueba
𝑋2 = 𝑓𝑖 − 𝑒𝑖
2
𝑒𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑒 = 𝑇𝑓 𝑇𝐶
𝑇𝑀
Donde
X2 chi- cuadrada Tf total de la fila TC total de la columna TM total de la muestra
Paso 5: Aplicar la regla de rechazo
Rechazar Ho si X2 ≥ X2∝ Donde ∝ es el nivel de significancia utilizado para la prueba y se tienen k – 1 gardos de libertad. Nota: Los límites de la región de rechazo están definidas por gl = K-1 cuando se compara K proporciones de muestra. Ejemplo 1 Un es tudio sobre participación en el mercado realizado por la empresa Scott Merketing Research indica que, a lo largo de los años las participaciones en el mercado se han estabilizado en 30 % para la empresa A, 50% para la empresa B y 20 % para la empresa C. recién la empresa C ha elaborado un nuevo y mejorado producto para sustituir a uno de sus productos en el mercado y pidió a la empresa Scott Merketing Research que determinara si el nuevo producto modificaría su participación en el mercado. Para este estudio la empresa de investigación de mercado empleó una muestra de 200 consumidores. A cada individuo se le pide que indique su preferencia entre el producto de la empresa A, el producto de la empresa B o el nuevo producto de la empresa C. Solución Paso 1: Establecemos las hipótesis
67
Ho: pA = 0.30, pB = 0.50, pC = 0.20
Ha: las proporciones poblacionales no son pA = 0.30, pB = 0.50, pC = 0.20 Paso 2: Seleccionar una muestra aleatoria y anotar la frecuencia obsarvada fi en cada categoría. Las 200 respuestas obtenidas se presentan a continuación en forma resumida.
Frecuencia observada fi
Producto de la empresa A
48
Producto de la empresa B
98
Producto de la empresa C
54
Paso 3: Suponer que la hipótesis nula es verdadesra y determinar la frecuencia esperada ei en cada categoría multiplicando la probabilidad de esa categoría por el tamaño de la muestra.
Paso 4: Calcular el valor del estdístico de prueba
𝑋2 = 𝑓𝑖 − 𝑒𝑖
2
𝑒𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑋2 = 7.84
Paso 5: Aplicar la regla de rechazo Buscamos este valor en la tabla del anexo V que nos indica el grado de libertad y el nivel de confianza 0.05.
Grados de libertad gl = k -1
gl = 3 – 1 = 2
Nivel de significancia
∝ = 0.05
X2∝ = 5.991
Frecuencia observada
Frecuencia esperada
Diferencia Cuadrado
de la diferencia
Cuadrado de la diferencia dividido entre frecuencia
esperada Categoría Proporción
hipotética fi ei fi - ei ( fi - ei)2
( fi - ei)2/ ei
Empresa A 0.30 48 60 -12 144 2.40
Empresa B 0.50 98 100 -2 4 0.04
Empresa C 0.20 54 40 14 196 4.90
Total 200 X2 = 7.84
68
Representación gráfica
La regla de rechazo de la cola superior dice se rechaza Ho si X2 ≥ X2∝, luego
7.34 > 5.991 si cumple la condición por lo tanto se rechaza Ho. Del problema se puede concluir entonces que la introducción del nuevo producto de la empresa C si modifica la estructura de la participación de mercado. Ejemplo 2 Un Ingeniero de Contabilidad toma muestra diaria de 10 neumáticos que salen de una línea de ensamblaje y él desea verificar sobre la base de los datos que siguen, los números de llantas con defectos observados en 200 días, si es cierto que el 5% de todos los neumáticos tiene defectos. Demuestre en el nivel de significado 0.05, si el ingeniero de control de calidad está muestreando una población binomial n = 10 y P = 0.05
Paso 1: Planteamos las hipótesis
Ho: El porcentaje verdadero de neumáticos con defectos es el 5%.
Ho: X2 < X2∝
Ha: El porcentaje verdadero de neumáticos con defectos no es del 5%.
Ha: X2 >X2a
Paso 2: Establecemos el nivel de significancia
Grados de libertad gl = K - 1 gl = 3 – 1 = 2
Nivel de significancia
∝ = 0.05
X2∝ = 5.991
0
0.05
X2
5.991
69
Representación gráfica
Paso 3: Calcular el valor del estdístico de prueba
Nota:Se recomienda al estudiante organizar una tabla de datos, fijándose en los elementos que constan en el estadístico de prueba. Paso 4: Tomar decisiones y Concluir
Para rechazar la Ho debe cumplirse X2 ≥ X2∝, entonces 8.26 ≥ 5.991 si
cumple la condición por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna. El porcentaje verdadero de neumáticos con defectos no es del 5% . Ejercicios propuestos
- Una fábrica de cerveza produce tres tipos de cerveza: ligera, clara y
oscura. Al analizar los segmentos de mercado de las tres cervezas, el
grupo de investigación de mercado de la empresa se preguntó si las
preferencias de los consumidores por estos tres tipos de cerveza diferían
entre hombres y mujeres. En caso de que las preferencias fueran
independientes del género del consumidor, iniciarían una campaña
publicitaria para todas las cervezas. Pero si las preferencias por los
distintos tipos de cerveza dependían del género del consumidor, la
empresa ajustaría sus promociones a los mercados. Con un nivel de
significancia de 0.05.
16
La probabilidad de n elementos a un porcentaje se detalla en el Anexo VI
Unidades con defectos
probabilidad16
fi ei fi - ei ( fi - ei)2 ( fi - ei)2/ ei
0 0.599 138 119.8 18.2 331.24 2.765
1 0.315 53 63.0
10 100 1.59
2 o más
0.075 9 17.2 -8.2 67.24 3.9
Total 200 X2 = 8.26
0
0.05
X2
5.991
70
Cerveza preferida
Género
Ligera Clara oscura Total
Hombre 20 40 20 80
Mujer 30 30 10 70
Total 50 70 30 150
- Desde el año 2000, Toyota Camry, Honda Accord y Ford Taurus han sido
los tres automóviles de pasajeros en Estados Unidos mejor vendidas. Los
datos de ventas del 2003 indican que las participaciones en el mercado de
estos tres automóviles son las siguientes: Toyota 37%. Honda 34% y Ford
29%. Suponga que en una muestra de 1200 ventas de automóviles de
pasajeros durante el primer trimestre del 2004 se enduentran los datos
siguientes.
Automóviles de pasajeros Unidades vendidas
Toyota Camry 480
Homda Accord 390
Ford Taurus 330
¿Estos datos sirven para concluir que las participaciones en el mercado de
estos tres automóviles cambiaron en el primer trimestre del 2004?. Use
0.05 como nivel de significancia. ¿cuál es su conclusión?
- La siguiente es la distribución del número de llamadas que se reciben en' el
conmutador de un edificio del gobierno durante 400 intervalos de cinco
minutos:
Número de llamadas Frecuencias
0 95
1 116
2 112
3 47
4 o más 30
Utilice el nivel de significado 0.05, para demostrar si el número de llamadas que se reciben en el conmutador en un intervalo de cinco minutos es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con X = 1.5, es decir, que las probabilidades de recibir 0, 1, 2, 3 o 4 o más llamadas son 0.22, 0.33, 0.25, 0.13 y 0.07.
71
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Debate sobre la lectura de la prueba de bondad de ajuste Chi – cuadrada. - Refuerzo por medio de un taller en clase formando grupos de trabajo (de tres
estudiantes). TAREA PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Resuelva los ejercicios propuestos de las páginas 69 y 70. - Investigue en otro texto los tipos de variables que existen y como se define la
ecuación de la recta.
QINTO ENCUENTRO
5.3. Correlación Los requerimientos de las ciencias son más allá del comportamiento de una variable, y en muchos de sus problemas necesitan investigar la relación entre dos o más variables. Por ejemplo, ¿Existe alguna relación entre altura de los árboles y el diámetro de sus troncos a cierto nivel del suelo? ¿Hay alguna relación entre las calificaciones obtenidas por los estudiantes en sus exámenes de admisión a la Universidad y su rendimiento académico en ella?, ¿tiene relación la estatura de una persona con su peso?, etc. En una distribución bidimensionales a la primera variable se simboliza con la X y a la segunda variable con la Y. Para investigar la correlación entre dos variables, en estadística se ha creado los coeficientes de correlación que permiten expresar cuantitativamente el grado de relación que existe entre dos variables. Para confrontar dos variables se utilizan los llamadss diagramas de dispersión, que son planos cartesianos en los que se marcan los puestas correspondientes a los pares ordenados (x, y) de los valores de la variable. Nota: Para establecer comparaciones entre dos variables en el estudio debe existir el misma número de observaciones para los dos variables. A continuación usted puede observar algunos gráficos de dispersión
Correlación lineal positiva
Correlación lineal negativa
72
Correlación aproximada a cero
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Control de tarea mediante un debate entre grupos de trabajo. - Explicación de variables dependiente e independiente y su aplicación en la
estadística. TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea grupal - Revise el texto en las páginas 72 a 74 y prepare una exposición con la ayuda
de Power Point.
SEXTO ENCUENTRO
Coeficiente de correlación r Los coeficientes de correlación son medidas que indican la situación relativa de los sucesos respecto a las dos variables y son números que varían entre los límites [-1 , -1], su magnitud indica el grado de asociación entre las variables; el valor r = 0 indica que no existe relación entre las variables; los valores ±1 son indicadores de una correlación perfecta positiva o negativa. El siguiente cuadro de valores nos permite de alguna manera interpretar su valor cuantitativo.
VALOR DE CORRELACIÓN SIGNIFICADO
± 1 Correlación perfecta
± 0.90 a ± 0.99 Correlación muy alta
± 0.70 a ± 0.89 Correlación alta
± 0.40 a ± 0.69 Correlación moderada
± 0.20 a ± 0.39 Correlación baja
± 0.01 a ± 0.19 Correlación muy baja 0 Correlación nula
Coeficiente de correlación de Pearson Para datos muestrales el coeficiente de correlación está definido por medio del siguiente modelo matemático:
𝒓 = 𝒙𝒚
𝒙𝟐 𝒚𝟐
Donde
𝒙 = 𝑿 − 𝑿 Desviación de la variable X
𝒚 = 𝒀 − 𝒀 Desviación de la variable Y 𝑥𝑦 Sumatoria del producto de las dos desviaciones. 𝑥2 Sumatoria del cuadrado de la primera desviación. 𝑦2 Sumatoria del cuadrado de la segunda desviación.
73
Ejemplo Se recogen datos de 10 restaurantes de Armand’s Pizza ubicados todos cerca de un campus universitario. Para la observación X es el tamaño de la población de estudiantes (en miles) e Y son las ventas trimestrales (en miles de dólares). Los datos se presentan en la siguiente tabla.
Restaurante Población de estudiantes (miles)
Ventas trimestrales (miles $)
1 2 58
2 6 105
3 8 88
4 8 118
5 12 117
6 16 137
7 20 157
8 20 169
9 22 149
10 26 202
Encuentre el coeficiente de correlación entre las variables y trace el gráfico de dispersión. Solución: Hallamos la media aritmética de cada variable
𝑋 = 𝑋
𝑛
𝑋 =140
10
𝑋 = 14
𝑌 = 𝑌
𝑛
𝑌 =1300
10
𝑌 = 130
Completamos la tabla según los elementos que indican la fórmula
Restaurante X Y x y xy 𝒙𝟐 𝒚𝟐
1 2 58 -12 -72 864 144 5184
2 6 105 -8 -25 200 64 625
3 8 88 -6 -42 252 36 1764
4 8 118 -6 -12 72 36 144
5 12 117 -2 -13 26 4 169
6 16 137 2 7 14 4 49
7 20 157 6 27 162 36 729
8 20 169 6 39 234 36 1521
9 22 149 8 19 152 64 361
10 26 202 12 72 864 144 5184
Totales =140 =1300 =2840 =568 =15730
74
Ubicamos los puntos en el plano para ver la dispersión de los datos
Aplicamos la fórmula de correlación de Pearson, vemos que en este caso resulta ser muy alta.
𝑟 = 𝑥𝑦
𝑥2 𝑦2
𝑟 =2840
568 15730 =
2840
2989.08
𝑟 = 0.95
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE - Trazando puntos en el plano cartesiano e identifique las variables. - Solución de los ejercicios que constan como ejemplo en el texto. TAREAS PARA EL PRÓXIMO ENCUENTRO Tarea individual - Utilice un software para graficar ecuaciones lineales. (investigue) - Estudie el contenido de la página 74 y 75. - Estudie todo el capítulo V para la evaluación de fin de parcial. Tarea grupal - Resuelva los ejercicios de la página 76.
SEPTIMO ENCUENTRO
5.4. Regresión lineal Regresión es un método que se emplea para predecir el valor de una variable en función de valores dados a la otra. Mediante una ecuación lineal se puede indicar cuál es la relación entre una y otra variable. El modelo de regresión lineal más simple es el que corresponde a la definición de la recta cuando se conocen, la pendiente y la intersección con el eje de ordenadas, asi:
75
𝑌 = 𝛽1𝑋 + 𝛽0
𝛽1 = 𝑟 𝑠𝑦
𝑠𝑥
𝛽0 = 𝑌 − 𝛽1𝑋
Donde
β1 Pendiente de la recta
β2 Intercepto con el eje de ordenadas
Ejemplo Volviendo al ejemplo anterior de los restaurantes de Armand’s Pizza, trace la línea de regresión predichos sobre la variable dependiente Y. Solución Como ya tenemos calcularo r, interesa ahora hallar la desviación estándar de
la muestra de cada variabley los valores de la pendiente 𝛽1 y el intercepto 𝛽0.
𝑠𝑥 = 𝑥2
𝑛
𝑠𝑥 = 568
10= 7.54
𝛽0 = 𝑌 − 𝛽1𝑋
𝑠𝑦 = 𝑦2
𝑛
𝑠𝑦 = 15730
10= 39.66
𝛽0 = 130 − 5 14
𝛽1 = 𝑟 𝑠𝑦
𝑠𝑥
𝛽1 = 0.95 39.66
7.54
𝛽1 = 5
𝛽0 = 60
Definimos y graficamos la recta
Recta
𝑌 = 𝛽1𝑋 + 𝛽0
𝑌 = 5𝑋 + 60
Tabla de valores
X Y
0 60
-12 0
Gráfica
ACTIVIDAD FINAL - Entrega de trabajo final - Entrega del instrumento de evaluación diseñado por el docente. - Fin del ciclo.
76
Ejercicios propuestos
1. En los pares (X,Y) que se dan, X es la calificación alcanzada por 10 alumnos en sus exámenes de admisión calificado sobre 100 puntos e Y es el promedio de las calificaciones sobre 5 obtenidas en el primer semestre, los datos son: (80:2.8), (75; 3.2); (100; 4.5), (95;4), (90:4), (85;3.7), (60;2.5), (60;2),(55;2), (50:1.8). Determine:
a. El coeficiente de correlación b. Trace un diagrama de dispersión c. Realice una regrasión lineal y trace la gráfica
2. Las siguientes son las velocidades de la mecanografía y las velocidades de
lectura de nueve secretarias. Hallar:
Velocidad de mecanografía
(palabras por minuto) Velocidad de lectura (palabras por minuto)
1 1.8 2 1.5 3 1.4 4 1.1 5 0.9 6 1.0 7 1.8 8 1.3 9 0.8 10 0.7
a. El coeficiente de correlación b. Trace un diagrama de dispersión c. Realice una regrasión lineal y trace la gráfica
3. Los datos siguientes pertenecen a un estudio de la relación que existe
entre la Prueba I y el examen final de la asignatura de estadística de los estudiantes de una universidad, se quiere averiguar que tan relacionadas están estas variables y además se pretende hacer una regresión lineal. Los datos son los siguientes:
Estudiante Test I Prueba final
Estudiante Test I Prueba final
Estudiante 1 84 66 Estudiante 11 88 81 Estudiante 2 70 77 Estudiante 12 65 74 Estudiante 3 87 84 Estudiante 13 87 74 Estudiante 4 68 56 Estudiante 14 89 74 Estudiante 5 81 86 Estudiante 15 69 74 Estudiante 6 96 81 Estudiante 16 80 71 Estudiante 7 90 79 Estudiante 17 75 94 Estudiante 8 82 82 Estudiante 18 84 83 Estudiante 9 89 81 Estudiante 19 76 68 Estudiante 10 70 84 Estudiante 20 74 69
77
BIBLIOGRAFÍA
- ALCAIDE I, Ángel: Estadística Aplicada, Pirámide, Madrid, 1996.
- ANDERSON, David R., estadística para administración y economía, Cengage Learning Editores, S.A., México, 2008.
- BARBANCHO, Alonso: Estadística elemental moderna. s.e.,Barcelona,
España, 1998.
- BUSTAMANTE- LUNA, Estadística Descriptiva. Editorial Universidad Particular de Loja, Loja - Ecuador 1994
- HOKINS, Kenneth D.: estadística básica para las ciencias sociales y del comportamiento, Prentice, México, 1997.
- KAZMIER,Leonard J.: Estadística aplicada a la dministración y economía,
McGraw – Hill, Interamericana, S.A., México, 1998.
- PAGANO, Robert: estadística para las ciencias del comportamiento, Thomsom, México, 2006.
78
ANEXOS
79
Anexo I
TABLA I NÚMEROS ALEATORIOS
24418 23508 91507 76455 54941 72711 39406 57404 73678 08272 62941 02349 71389 45605 77644 98489 86268 73652 98210 44546 27174 68366 65614 01443 07607 11826 93326 29664 64472 72294 95432 53555 96810 17100 35066
88205 37913 98633 81009 81060 33449 68055 98455 78685 71250 10329 56135 80647 51404 48977 36794 56054 59243 57361 65304 93258 93077 72941 92779 23581 24548 56415 61927 84533 26564 91583 83411 66504 02036 02922
11338 12903 14514 27585 45068 05520 56321 23853 68500 92274 87026 99717 01542 72990 94096 74920 25822 98026 05394 61840 83089 83160 82362 09350 98536 38155 42661 02363 97425 47335 69709 01386 74319 04318 99387
83951 11954 24317 20345 18134 90062 10761 93085 35203 05740 03206 92012 42710 34650 33762 83193 58450 89880 78101 44392 53767 49665 85397 85137 30496 23469 42846 94810 37541 82627 80051 72521 35342 56119 97190
22145 85304 35348 82854 55846 18076 12415 27153 08662 61078 52433 22184 33998 87436 00301 49425 66682 25442 83668 66236 79755 43815 43272 73778 63469 50083 70696 13558 14689 86482 74157 46012 97765 27552 49617
16680 55936 82453 19532 49988 13176 94219 86938 60429 01137 86168 78257 86249 46134 33944 29219 73161 46061 30946 22210 79302 16045 67736 18608 18198 19468 76358 69203 37044 52523 25627 63107 30806 80857 84383
61471 45322 35340 35132 42163 69332 98851 47422 21296 16785 16785 39249 51463 95963 24133 39719 14484 14484 88717 29289 77360 67253 67064 10748 10748 16767 57345 42285 62382 76941 01635 01635 77516 98468 51686
98011 16503 09201 03523 87192 66483 55649 37366 24386 20654 85117 74078 64120 04643 73587 83993 54176 05221 94119 20108 78101 33583 68291 50547 96085 62180 27453 18567 02878 33223 39199 49536 56199 05993 71201
91498 41673 17195 33175 04994 09879 70337 91127 19815 30219 55591 21125 43827 78862 12997 55013 18662 81724 24305 37661 18956 96098 13651 15393 69995 14762 69734 89150 97627 17837 10472 18983 28387 99781 52977
40064 47981 31484 76603 54088 91095 00010 16239 68743 71374 55863 22672 91609 51514 58354 24913 20435 30965 17453 65623 93058 52567 65085 60220 84641 18273 49604 47418 06236 29052 91392 07551 83532 68130 56970
80
Anexo II
TABLA II PROBABILIDAD DE DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0754 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2080 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2258 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2518 0.2549 0.7 0.2580 0.2612 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2996 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4191 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4831 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4972 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998
3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 3.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
z z
81
Anexo III
TABLA III NIVEL DE SIGNIFICACIÓN VALORES Z
NIVEL DE CONFIANZA
% DOS COLAS UNA COLA
100 3.99 3.7 99.74 3
99 2.58 2.33 98 2.32 2.05 97 2.17 1.88 96 2.05 1.75
95.44 2 95 1.96 1.64
94 1.88 1.56 93 1.81 1.48 92 1.75 1.41 91 1.69 1.34 90 1.64 1.28 89 1.59 1.23 88 1.55 1.18 87 1.51 1.13 86 1.47 1.08 85 1.43 1.04 84 1.4 1 83 1.37 0.96 82 1.34 0.92 81 1.31 0.88 80 1.29 0.84 79 1.25 0.8 78 1.22 0.77 77 1.2 0.74 76 1.17 0.7 75 1.15 0.67
LOS VALORES MÁS SIGNIFICATIVOS SON 99% Y 95%
82
Anexo III
TABLA IV DISTRIBUCIÓN t DE ESTUDENT
Área en la cola superior g.l 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 0.20
1 63.66 31.82 12.71 6.31 3.08 1.376 2 9.92 6.96 4.30 2.92 1.89 1.061 3 5.84 4.54 3.18 2.35 1.64 0.978 4 4.6 3.75 2.78 2.13 1.53 0.941
5 4.03 3.36 2.57 2.02 1.48 .920 6 3.71 3.14 2.45 1.94 1.44 .906 7 3.5 3.00 2.36 1.90 1.42 0.896 8 3.36 2.90 2.31 1.86 1.40 0.889 9 3.25 2.82 2.26 1.83 1.38 0.883
10 3.17 2.76 2.23 1.81 1.37 0.879 11 3.11 2.72 2.20 1.80 1.36 0.876 12 3.06 2.68 2.18 1.78 1.36 0.873 13 3.01 2.65 2.16 1.77 1.35 0.870 14 2.98 2.62 2.14 1.76 1.34 0.868
15 2.95 2.60 2.13 1.75 1.34 0.866 16 2.92 2.58 2.12 1.75 1.34 0.865 17 2.9 2.57 2.11 1.74 1.33 0.863 18 2.88 2.55 2.10 1.73 1.33 0.862 19 2.86 2.54 2.09 1.73 1.33 0.861
20 2.84 2.53 2.09 1.72 1.32 0.860 21 2.83 2.52 2.08 1.72 1.32 0.859 22 2.82 2.51 2.07 1.72 1.32 0.858 23 2.81 2.50 2.07 1.71 1.32 0.858 24 2.80 2.49 2.06 1.71 1.32 0.857
25 2.79 2.48 2.06 1.71 1.32 0.856 26 2.78 2.48 2.06 1.71 1.32 0.856 27 2.77 2.47 2.05 1.70 1.31 0.855 28 2.76 2.47 2.05 1.70 1.31 0.855 29 2.76 2.46 2.40 1.70 1.31 0.854
30 2.75 2.46 2.04 1.70 1.31 0.854 40 2.7 2.42 2.02 1.68 1.30 0.851 60 2.66 2.39 2.00 1.67 1.30 0.848
t
Área o probabilidad
83
Anexo III
TABLA V DISTRIBUCIÓN CHI- CUADRADA
Areas en la cola superior
g.l 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 0.5 1.00 1.50 1.80 1.90 1.95 1.98 1.99
1 7.9 6.6 5.02 3.8 2.7 1.3 0.455 1.102 0.0158 0.0039 0.0010 0.0002 0.0000 2 10.6 9.2 7.38 6.0 4.6 2.77 1.39 0.575 0.21 0.10 0.0506 0.02 0.01 3 12.8 11.3 9.35 7.8 6.3 4.11 2.37 1.21 0.58 0.35 0.22 0.12 0.07 4 14.9 13.3 11.14 9.5 7.8 5.39 3.36 1.92 1.06 0.71 0.48 0.30 0.21
5 16.7 15.1 12.83 11.1 9.24 6.63 4.35 2.67 1.61 1.15 0.83 0.55 0.41 6 18.5 16.8 14.45 12.6 10.6 7.84 5.35 3.45 2.20 1.64 1.23 0.87 0.68 7 20.3 18.5 16.01 14.1 12.0 9.04 6.35 4.25 2.83 2.17 1.69 1.24 0.99 8 22.0 20.1 17.54 15.5 13.4 10.20 7.34 5.07 3.49 2.73 2.18 1.65 1.34 9 23.6 21.7 19.02 16.9 14.7 11.40 8.34 5.90 4.17 3.33 2.70 2.09 1.73
10 25.2 23.2 20.48 18.3 16.0 12.50 9.34 6.74 4.87 3.94 3.25 2.56 2.16 11 26.8 14.7 21.92 19.7 17.3 13.70 10.30 7.58 5.58 4.57 3.82 3.05 2.60 12 28.3 26.2 23.337 21.0 18.5 14.80 11.30 8.44 6.30 5.23 4.40 3.57 3.07 13 29.8 27.7 24.74 22.4 19.8 16.0 12.30 9.30 7.04 5.89 5.01 4.11 3.57 14 31.3 29.1 26.12 23.7 21.1 17.10 13.30 10.2 7.79 6.57 5.63 4.66 4.07
15 32.8 30.6 27.49 25.0 22.3 18.20 14.30 11.0 8.55 7.26 6.26 5.23 4.60 16 34.3 32.0 28.85 26.3 23.5 19.40 15.30 11.9 9.31 7.96 6.91 5.81 5.14 17 35.7 33.4 30.19 27.6 24.0 20.50 16.30 12.8 10.10 8.67 7.56 6.41 5.70 18 37.2 34.8 31.53 28.9 26.0 21.60 17.30 13.7 10.90 9.39 8.23 7.01 6.26 19 38.6 36.2 32.85 30.1 27.2 22.70 18.30 14.6 11.70 10.10 8.91 7.63 6.84
20 40.0 37.6 34.17 31.4 28.4 23.80 19.30 15.5 12.40 10.90 9.59 8.26 7.43 21 41.4 38.9 35.48 32.7 29.6 24.90 20.30 16.3 13.20 11.60 10.30 8.90 8.03 22 42.8 40.3 36.78 33.9 30.8 26.00 21.30 17.2 14.00 12.30 11.00 9.54 8.64 23 44.2 41.6 38.08 35.2 32.0 27.10 22.30 18.1 14.80 13.10 11.70 10.20 9.26 24 45.6 43.0 39.36 36.4 33.2 28.20 23.30 19.0 15.70 13.80 12.40 10.90 9.89
25 46.9 44.3 40.65 37.7 34.4 29.30 24.30 19.9 16.50 14.60 13.10 11.50 10.50 26 48.3 45.6 41.92 38.9 35.6 30.40 25.30 20.8 17.30 15.40 13.80 12.20 11.20 27 49.6 47.0 43.19 40.1 36.7 31.50 26.30 21.7 18.10 16.20 14.60 12.90 11.80 28 51.0 48.3 44.46 41.3 37.9 32.60 27.30 22.7 18.90 16.90 15.30 13.60 12.50 29 52.3 49.6 45.72 42.6 39.1 33.70 28.30 33.6 19.80 17.70 16.00 14.30 13.10
30 53.7 50.9 46.978 43.8 40.3 34.80 29.30 24.5 20.60 18.50 16.80 15.00 13.80 40 66.8 63.7 59.34 55.8 51.8 45.60 39.30 33.7 29.10 26.50 24.40 22.20 20.70 50 79.5 76.2 71.42 67.5 63.2 56.30 49.30 42.9 37.70 34.80 32.40 29.70 28.00 60 92.0 88.4 83.29 79.1 74.4 67.00 59.30 52.3 46.50 43.20 40.50 37.50 35.50
70 104.2 100.4 95.02 90.5 85.5 77.60 69.30 61.7 55.30 51.70 48.80 45.40 43.30 80 166.3 112.3 106.63 101.9 96.6 88.10 79.30 71.0 64.30 60.40 57.20 53.50 51.20 90 128.3 124.1 118.14 113.1 107.6 98.60 89.30 80.6 73.30 69.10 65.60 61.80 59.20
100 140.2 135.8 129.56 124.3 118.5 109.10 99.30 90.1 82.40 77.90 74.20 70.1 67.30
X2
84
NOTAS
✉@ ☏
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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