Polinomios
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Guía de trabajo
Nº 5
OBJETIVO Nº 3:
General:
Estudiar las determinantes
Específicos:
Definir
determinantes
Calcular el valor de determinantes
Conocer las propiedades de los determinantes
POLINOMIOS
I. Definición de Polinomios:
Se llama polinomio a la siguiente expresión por
ejemplo:
𝑷 𝒙 = 𝟑 + 𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝟑 +𝟏
𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟓
Donde cada número que acompaña a las 𝒙 se llama
coeficiente, cada expresión que está entre los signos
más o menos se llama término, los pequeños números que
están sobre las variables se llaman exponentes de cada
término y el número que no está acompañado de la
variable se llama término independiente.
Los polinomios se pueden representar con cualquier
letra mayúscula o variable por ejemplo: 𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑦 , 𝑅 𝑧 … Finalmente para que una expresión sea polinómica la
variable siempre debe tener todos sus exponentes
positivos.
II. Valor numérico de un Polinomio:
Sea 𝑃 𝑥 un polinomio y 𝑎, un número real, se
llama valor numérico del polinomio 𝑃 𝑥 para 𝑥 = 𝑎, al valor que se obtiene al sustituir 𝑥 por 𝑎 en el
polinomio. Ejemplo:
Dado el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓, halar su valor para
𝑥 =1
2
𝑷 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓
𝑷 𝟏
𝟐 =
𝟏
𝟐 𝟐− 𝟒
𝟏
𝟐 + 𝟓 𝑷
𝟏
𝟐 =
𝟏
𝟒− 𝟐 + 𝟓 𝑷
𝟏
𝟐 =
𝟏
𝟒+ 𝟑 =
𝟕
𝟒
III. Propiedad fundamental de la división:
Dado dos polinomios 𝐷 𝑥 y 𝑑 𝑥 , con grado
𝐷 𝑥 ≥ 𝑑 𝑥 , al efectuar la división de 𝐷 𝑥 entre 𝑑 𝑥 , se hallan dos polinomios 𝑐 𝑥 y 𝑅 𝑥 , se obtiene que 𝑅 𝑥 < 𝑐 𝑥 y se obtiene la propiedad fundamental de la división que es:
𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 ∙ 𝑐 𝑥 + 𝑅(𝑥)
Donde 𝐷 𝑥 es el dividiendo, d 𝑥 es el divisor, 𝑐 𝑥 es el cociente y 𝑅 𝑥 es el resto o residuo del polinomio.
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I.- Ejercicios Propuestos
1. Hallar el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 para los valores
𝒙 = 𝟏, −𝟐,𝟏
𝟑
2. Hallar el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟏 para los valores
𝒙 = 𝟎, − 𝟏
𝟒
3. Considere el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y calcule su valor
numérico para 𝒙 = 𝟒, −𝟐,− 𝟏
𝟏𝟐, 𝟐, 𝟗
4. Considere el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟓 − 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟐 y calcule su valor
numérico para 𝒙 = −𝟓,−𝟏, 𝟎, 𝟐
𝟐
5. Calcular el valor numérico del polinomio 𝑷 𝒙 = −𝒙𝟓 + 𝟓𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒
cuando 𝒙 = −𝟑,−𝟏
𝟐, − 𝟑
6. Calcular el valor numérico del polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟓 + 𝟑 𝟑𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 + 𝟐 𝟑𝒙𝟐 −
𝟑𝒙 + 𝟑 𝟑 cuando 𝒙 = − 𝟑
7. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟔𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 y 𝑑 𝑥 = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑, obtener el cociente y el resto de la división
8. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟔𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 y 𝑑 𝑥 = 𝒙𝟐 + 𝒙 +𝟑,comprobar la propiedad fundamental de de la división
9. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟒 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟒, obtener el cociente y el resto de la división
10. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟒 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟒, comprobar la
propiedad fundamental de de la división
11. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 y 𝑑 𝑥 = 𝑥2 − 𝟐𝒙 + 𝟏, obtener el cociente y el resto de la división
12. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 y 𝑑 𝑥 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏, comprobar la propiedad fundamental de de la división
13. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟑, obtener el cociente y el resto de la división
14. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟑, comprobar la propiedad fundamental de de la división
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IV. Regla de Ruffini:
Es un método que permite aplicar un conjunto de normas prácticas que
sirven para abreviar un poco el proceso de efectuar una división por el
método usual, siempre y cuando el divisor sea un binomio de la forma 𝑥 ± 𝑏 o 𝑎𝑥 ± 𝑏. El término que dividirá a cada coeficiente del dividiendo será el opuesto del término independiente del divisor. Cabe destacar que antes
de proceder a dividir el polinomio por este método, hay que verificar que
el polinomio este completo y en caso de que no lo este, se debe
completar, como ya se ha visto en clase.
Por otra pare si el divisor es de la forma 𝑎𝑥 ± 𝑏, se debe proceder a dividir el dividiendo y el divisor por el coeficiente de la variable que
es 𝑎 del divisor 𝑎𝑥 ± 𝑏. Si el polinomio posee fracciones y estas se
pueden simplificar hay que hacerlo ya que facilita la resolución de las
operaciones
Ejemplo:
CASO I: forma 𝑥 ± 𝑏
Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥2 + 3 y 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2, hallar el cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini
1 3 −2
−2 −2
0 8
3 −16 −2
1 1 −4 8 −13
𝐶 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 8 y el 𝑅 𝑥 = −13
CASO II: forma 𝑎𝑥 ± 𝑏
Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 10𝑥2 − 7𝑥 + 5 y 𝑄 𝑥 = 2𝑥 +1
3, hallar el cociente y
el resto aplicando la regla de Ruffini (El coeficiente 𝑎 es 2)
𝑃 𝑥 = 10𝑥2 − 7𝑥 + 5 =10𝑥2
2−
7𝑥
2+
5
2= 5𝑥2 −
7𝑥
2+
5
2
𝑄 𝑥 = 2𝑥 +1
3=
2𝑥
2+
132
= 𝑥 +1
6
5
−7
2
-5
6
5
2
13
18
−1
6
5 −13
3
29
9
𝐶 𝑥 = 5𝑥 −13
3 y el 𝑅 𝑥 =
29
9
CASO III: cuando el divisor es de grado mayor que 1
4
Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 3𝑥12 − 10𝑥6 + 7𝑥3 + 6 y 𝑄 𝑥 = 𝑥3 + 2 hallar el
cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini (se divide el primer
termino del divisor entre cada término del dividendo excepto el término
independiente y el primer termino del divisor entre el mismo. Y al
obtener el cociente los exponentes se multiplican por el exponente del
primer término del divisor)
𝑃 𝑥 = 3𝑥12 − 10𝑥6 + 7𝑥3 =3𝑥12
𝑥3−
10𝑥6
𝑥3+
7𝑥
𝑥3
3
= 3𝑥4 − 10𝑥2 + 7𝑥
3
0
-6
-10 7 -4
6
−2 12 -6
3 -6 2 3 0
𝐶 𝑥 = 3𝑥3 − 6𝑥2 + 2𝑥 + 3 → 𝐶 𝑥 = 3𝑥9 − 6𝑥6 + 2𝑥3 + 3 y el 𝑅 𝑥 = 0
II.- Ejercicios Propuestos
1. Aplicar la Regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) 𝑃 𝑥 = 𝑥5 − 𝑥2 + 3𝑥 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
b) 𝑃 𝑥 = −𝑥3 +2
3𝑥2 −
1
3𝑥 − 4 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 −
5
2
c) 𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 ÷ 𝑄 𝑥 = 2𝑥 −1
2
d) 𝑃 𝑥 = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 3 ÷ 𝑄 𝑥 = 2𝑥 + 3
e) 𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 3𝑥2 + 2𝑥 ÷ 𝑄 𝑥 = 3𝑥 + 2
f) 𝑃 𝑥 = 3𝑥3 − 𝑥2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 3𝑥 − 2
g) 𝑃 𝑥 = 3𝑥4 + 3𝑥3 − 6𝑥2 + 2𝑥 − 8 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 3
h) 𝑃 𝑥 =𝑥3
2+ 𝑥2 +
2
3 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 +
1
2
i) 𝑃 𝑥 = 5𝑥8 − 𝑥6 + 𝑥4 − 𝑥2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥2 − 1
j) 𝑃 𝑥 = 𝑥6 − 7𝑥4 − 4𝑥2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥2 − 1
k) 𝑃 𝑥 = 3𝑥18 − 𝑥6 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥6 − 2
l) 𝑃 𝑥 =𝑥3
2+ 𝑥2 +
1
2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 −
1
2