Polígono regular - Wikipedia, la enciclopedia libre.pdf
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Polígono regular De Wikipedia, la enciclopedia libre En geometría, se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente; para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, ...). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás. 1 Índice 1 Elementos de un polígono regular 2 Propiedades de un polígono regular 3 Ángulos de un polígono regular 3.1 Ángulo central 3.2 Ángulo interior 3.3 Ángulo exterior 4 Galería de polígonos regulares 5 Área de un polígono regular 5.1 Área en función del perímetro y la apotema 5.2 Área en función del número de lados y la apotema 5.3 Área en función del número de lados y el radio 5.4 Área de un polígono en función del lado 6 Diagonales de un polígono regular 6.1 Número de diagonales 6.2 Longitud de la diagonal más pequeña 7 Véase también 8 Referencias 9 Bibliografía 10 Enlaces externos Elementos de un polígono regular Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno. Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro. Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y cuerda. Propiedades de un polígono regular Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida. Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida. Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.
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Polígono regularDe Wikipedia, la enciclopedia libre
En geometría, se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulosinteriores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro ladosse llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente; para polígonos demás lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, ...).
Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.1
Índice
1 Elementos de un polígono regular2 Propiedades de un polígono regular3 Ángulos de un polígono regular
3.1 Ángulo central3.2 Ángulo interior3.3 Ángulo exterior
4 Galería de polígonos regulares5 Área de un polígono regular
5.1 Área en función del perímetro y la apotema5.2 Área en función del número de lados y la apotema5.3 Área en función del número de lados y el radio5.4 Área de un polígono en función del lado
6 Diagonales de un polígono regular6.1 Número de diagonales6.2 Longitud de la diagonal más pequeña
7 Véase también8 Referencias9 Bibliografía10 Enlaces externos
Elementos de un polígono regular
Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de susvértices.Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro delpolígono.Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco decircunferencia y cuerda.
Propiedades de un polígono regular
Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.
Ángulos de un polígono regular
Ángulo central
Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y sumedida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígonocomo sigue:
en grados sexagesimales
en radianes
Ángulo interior
El ángulo interior, , de un polígono regular mide:
en grados sexagesimales
en radianes
La suma de los ángulos interiores, , de un polígono regular es de:
en grados sexagesimales
en radianes
Ángulo exterior
El ángulo exterior, , de un polígono regular es de:
en grados sexagesimales
en radianes
La suma de los ángulos exteriores, , de un polígono regular es:
en grados sexagesimales
en radianes
Galería de polígonos regulares
Triángulo equilátero(Triángulo regular)(3).
Cuadrado (cuadriláteroregular).(4)
Pentágono regular.(5)
Hexágono regular.(6)
Heptágono regular.(7)
Octágono regular.(8)
Eneágono regular.(9)
Decágono regular.(10)
Endecágonoregular.(11)
Dodecágonoregular.(12)
Tridecágonoregular.(13)
Tetradecágonoregular.(14)
Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.
Área de un polígono regular
Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular,dependiendo de los elementos conocidos.
Área en función del perímetro y la apotema
El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:
Demostración
Área en función del número de lados y la apotema
Sabiendo que:
Además , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).
Observando la imagen, es posible deducir que
Sustituyendo el lado:
Finalmente:
Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.
Área en función del número de lados y el radio
Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es suárea, a la vista de la figura, tenemos que:
donde el ángulo central es:
sabiendo que el área de un polígono es:
y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:
ordenando tenemos:
sabiendo que:
resulta:
o lo que es lo mismo:
Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo queresulta útil en muchos casos.
Área de un polígono en función del lado
Y si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de lasiguiente manera:
Sea el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":
El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:
Despejando la apotema tenemos:
Sustituimos la apotema por su valor:
Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.
Diagonales de un polígono regular
Número de diagonales
Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:
De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningúndiagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.Esto es valido para los n vértices del polígono.
Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamientoanterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.
Según el razonamiento tendremos que:
Longitud de la diagonal más pequeña
La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vérticesalternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, elradio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, esteradio y la diagonal son perpendiculares en A.
Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:
que resulta:
de donde deducimos que:
Sabiendo el valor del ángulo central:
La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuantomayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.
Véase también
Anexo:Ecuaciones de figuras geométricasPolígonoPolígono equiláteroEstrella (figura geométrica)Regla y compásTrigonometría
Referencias
↑ Weisstein, Eric W. «Polígono regular (http://mathworld.wolfram.com/RegularPolygon.html) » (en inglés). MathWorld.Wolfram Research.
1.
Bibliografía
Echegaray, José (2001) (en español). Geometría: ángulos, polígonos y circunferencias (1 edición). Editorial Bruño.pp. 32. ISBN 978-84-216-4219-1.
1.
(en español) Geometría, polígonos, circunferencia y círculo (1 edición). Editorial Acueducto, S.L.. 2000. pp. 32.ISBN 978-84-95523-32-7.
2.
(en español) Geometría, polígonos, circunferencia y círculo, Educación Primaria (1 edición). Editorial Escudo,S.L.. 1997. pp. 32. ISBN 978-84-89833-36-4.
3.
Enlaces externos
Polígono regular (http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/pentag.html) en thales.cica.es
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Categoría: Polígonos
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