PoliedroPoliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas

poligonais que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas

do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região

poligonal contendo n lados.

Definição: Poliedro é uma reunião finita de polígonos planos chamados de faces onde:

1. Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um outro polígono.

2. A interseção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice ou é vazia.

Cada lado de um polígono comum a exatamente duas faces, é chamado uma aresta do

poliedro e cada vértice de uma face é um vértice do poliedro.

Exemplo de não poliedro.

Poliedros convexos:Todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior desse poliedro. Dizemos que

um poliedro é convexo se o seu interior é convexo.

Definição de convexo: “um conjunto C, do plano ou do espaço, diz-se convexo, quando

qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C esta inteiramente contido em C”

Definição: Um poliedro é convexo se qualquer reta o corta em no Maximo, dois pontos.

Observação: A reunião das faces de um poliedro convexo é denominada superfície poliédrica

fechada

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos formados por planos adjacentes têm medidas

menores do que 180 graus.

Abaixo, veja mais exemplos de poliedros convexos e suas planificações:

Abaixo, veja mais exemplos de poliedros não convexos.

Duas Desigualdades Importantes (para poliedros convexos);

V(numero de vértices) F(faces) A(arestas)

1. 2A 3F

2. 2A 3V

Relação de Euler

Para todos poliedros convexos vale a seguinte relação;

V(numero de vértices) F(faces) A(arestas)

V+F=A+2 ou V-A+F=2

Essa relação foi descoberta e demonstrada pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-

1708).

Observação: Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é

convexo.

Poliedro A Poliedro D Poliedro E

Exemplos.

A bola de futebol que apareceu pela primeira vez na copa de 70 foi inspirada em um conhecido poliedro

convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Pergunta-se quantos

vértices possui tal poliedro.

Temos 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais no total de 32 faces F=32.

Encontrar o numero de arestas do poliedro A (arestas):

2A=5F +6F =5*12+6*20=180

A=90

Como o poliedro e convexo vale a relação de Euler V-A+F=2, de onde concluímos que V=60.

  V A FV-

A+F

tetraedro 4 6 4 2

cubo 8 12 6 2

octaedro 6 12 8 2

dodecaedro 20 30 12 2

icosaedro 12 30 20 2

poliedro A 12 18 8 2

poliedro D 16 32 16 0

  V A FV-

A+F

prisma de base triangular 6 9 5 2

prisma de base pentagonal 10 15 12 2

prisma de base n-gonal 2n 3n n+2 2

pirâmide de base quadrada 5 8 5 2

pirâmide de base hexagonal 7 12 7 2

pirâmide de base n-gonal n+1 2n n+1 2

poliedro E 28 60 30 -2

Poliedros de Platão

Um poliedro é chamado poliedro de Platão quando satisfaz três condições:

1. Condição: Todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas. n.F=2A

2. Condição: Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo número (m) de arestas.

m.V=2A

3. Condição: O poliedro é euleriano, isto é, V - A + F = 2.

Observação: Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros de Platão.

m n A V F Nome

3 3 6 4 4 tetraedro

3 4 12 8 6 hexaedro

4 3 12 6 8 octaedro

3 5 30 20 12 dodecaedro

5 3 30 12 20 icosaedro

Poliedros regulares

Um poliedro convexo é regular quando:

Suas faces são polígonos regulares e congruentes. Em todos os seus vértices concorre o mesmo número de arestas.

Num poliedro regular, percebe-se imediatamente que:

Todas as faces têm o mesmo número de arestas (pois as faces são congruentes); Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo número de arestas; O poliedro é euleriano (pois é convexo).

Assim, todo poliedro regular é poliedro de Platão. Por isso, existem cinco tipos de poliedros

regulares:

Tetraedro hexaedro octaedro dodecaedro icosaedro

Teorema. Existem apenas cinco poliedros regulares convexos.

Para demonstrar, seja n o numero de lados de cada face e seja p o numero de arestas que concorrem

em cada vértice. Temos 2A=nF=pV ou A= e V= .

Substituindo na relação de Euler obtemos - + F = 2

F= . 2p+2n-np<0

Como p 3, chegamos a n < 6. As possibilidades são então as seguintes:

. n = 3 F= n = 5 F=

n = 4 F=

Prismas

Definição e Elementos

Prisma é um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em planos

paralelos e as demais faces são paralelogramos.

Nomenclatura e Classificação

Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases.

Assim:

• um prisma é triangular quando suas bases são triângulos;

• um prisma é quadrangular quando suas bases são quadriláteros;

• um prisma é pentagonal quando suas bases são pentagonais;

• um prisma é hexagonal quando suas bases são hexagonais.

...

Quando as arestas laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é

chamado de reto; caso contrário, de oblíquo.

.

Exemplos

Cubo

Definição e Elementos

Cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular

regular cuja altura é igual à medida da aresta da base.

O cubo da figura tem arestas de medida l, então,

• as diagonais de suas faces medem l , pois são diagonais de quadrados de lados com

medidas iguais a l.

• as diagonais do cubo medem l , pois:

Assim:

Paralelepípedos

Definição

Chamamos de paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogramos; dessa forma, todas as

faces de um paralelepípedo são paralelogramos.

Exemplos

Paralelepípedo Reto Retângulo

Diagonais de um paralelepípedo retângulo

No paralelepípedo da figura com dimensões a, b e c, sejam d1 e d, as diagonais da face ABCD

e do paralelepípedo, respectivamente.

No triângulo ABC, temos:

AC2 = AB2 + BC2

ou então,

No triângulo ACG, temos:

AG2 = AC2 + CG2

ou então,

Como , temos:

d2 = a2 + c2 + b2 ou

Exercícios resolvidos:

(VUNESP – 07) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que suas

dimensões são proporcionais a 9, 12 e 20, e que a diagonal mede 100 m.

Resolução

d2 = a2 + b2 + c2

1002 = (20k)2 + (12k)2 + (9k)2

1002 = 625k2

Assim, 25k = 100 k = 4

Então, a = 20 · 4 = 80 m

b = 12 · 4 = 48 m

c = 9 · 4 = 36 m

V = a · b · c = 80 · 48 · 36

(Fuvest-SP) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6

cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um

paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:

a) 16 m                    d) 19 m

b) 17 m                    e) 20 m

c) 18 m

Resposta: D

Pelo enunciado, o volume do paralelepípedo é igual à soma dos volumes dos cubos.

Assim,

8 · 8 · x = 63 + 103

64 x = 216 + 1 000

64 x = 1 216 x = 19

(Mackenzie-SP) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m2

de área lateral. Seu volume vale

a) 16 m3          d)

b) 32 m3          e)

c) 64 m3

Resolução

(Mackenzie-SP 2000) Se a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 6

480°, então o número de lados da base do prisma é

a) 8               d) 12

b) 9               e) 15

c) 10

Resolução

Sendo n o número de lados da base do prisma, então este possui n faces laterais

quadrangulares e duas faces que são polígonos de n lados. Portanto, a soma dos ângulos 

internos de todas as sua faces é

n · 360° + 2 · (n – 2) · 180°

Conseqüentemente,

n · 360° + 2 · (n – 2) · 180° = 6 480° n = 10

Resposta: C

O conceito de pirâmide

Pirâmides

Consideremos um polígono contido em

um plano (por exemplo, o plano horizontal) e

um ponto V localizado fora desse plano. Uma

Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que

têm uma extremidade em V e a outra num ponto

qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome

de vértice da pirâmide.

Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides

no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas

piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir

barracas.

Elementos de uma pirâmide

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.

Vértice o vértice da pirâmide: é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.

Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou

regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.

Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois

vértices consecutivos da base.

Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo

num vértice do polígono situado no plano da base.

Apótema: É a altura de cada face lateral.

Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.

Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Clã

ssificação das pirâmides pelo número de lados da base

triangular quadrangular pentagonal hexagonal

base:triângulo base:quadrado base:pentágono base:hexágono

Pirâmide Regular reta

Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do

vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.

R raio do circulo circunscrito

r raio do círculo inscrito

l aresta da base

ap apótema de uma face lateral

h altura da pirâmide

al aresta lateral

As faces laterais são triângulos isósceles congruentes

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um

determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser

realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum

outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente

sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.

As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.

Analise do livro

O livro e muito bom por sinal apresenta muitas ilustrações exemplos e exercícios trazendo

sempre exemplos para explicar e tentar ajudar o aluno no decorrer do conteúdo.

Porem o livro começa tacando os poliedros e exemplos do mesmo mais não define nada

formalmente deixando o conteúdo em aberto assim também acontece com conexos e relação de

Euler. O livro também não trás os sólidos de Platão entrando direto nos poliedros regulares não

mostrando ao aluno que existem os sólidos de Platão e todos são poliedros regulares.

Em pirâmide e prismas o livro também não define e nem constrói a relações corretamente

deixando sempre o conteúdo em aberto mas tenta por exemplos defini pirâmides e prismas sem

nem uma construção ou definição apropriada para a serie.

Em poliedros o livro comete alguns erros de não trazer as notações antes de utilizaras podendo

deixar o aluno confuso ou sem saber que A,F,V são as arestas faces e vértices do poliedro.

No geral o livro e muito bom trazendo muitos exemplos exercícios e planificações do

conteúdo a bordado e apropriado como material de auxilio pedagógico.