PLAN DE CONTINUIDAD PEDAGÓGICA. Matemática – 5° año A/B. Profesor Oscar Paes Rodriguez (5°A) / Profesora Silvina Galinelli (5°B)

Funciones polinómicas:

En esta primera parte lo que vamos a hacer es representar funciones polinómicas a partir de su expresión factorizada.

El ejercicio sería: Representar la función 2 31

. 2 . 3 . 12

y x x x

Antes que nada vamos a hacer algunas aclaraciones sobre la notación que vamos a utilizar…

2 31

. 2 . 3 . 12

y x x x

Para poder hacer el dibujo, vamos a realizar una serie de pasos…

1°) Calculamos la ordenada al origen.

Ya sabemos que debemos hacer; cambiamos la “x” por “0” y resolvemos…

2 31

. 0 2 . 0 3 . 0 12

y

2 31

. 2 . 3 . 12

y

1.4.3.1

2y

6y (La función corta al eje y en 6 )

Esta notación es lo mismo

que poner f(x). Por

comodidad, cambiamos

“f(x) por “y”

Este número de acá

es el coeficiente

principal de la

función.

Los números de acá me indican la MULTIPLICIDAD DE LAS

RAICES de la función.

2°) Calculamos las raíces de la función.

Este paso es muy simple. Acá debemos igualar la fórmula a cero…

2 31

. 2 . 3 . 1 02

x x x

Resolver esto es muy fácil, ya que para que una multiplicación sea cero, algunos de sus factores deben ser

cero. Entonces, las soluciones saldrán de cada paréntesis…

2 31

. 2 . 3 . 1 02

x x x

2 0x 3 0x 1 0x

2x 3x 1x

(La función tiene tres raíces)

3°) Indicamos la multiplicidad de cada raíz.

2x Tiene multiplicidad 2 (o sea, es de orden PAR). Por lo tanto, la función REBOTA en el eje X.

3x Tiene multiplicidad 1 (o sea, es de orden IMPAR). Por lo tanto, la función CORTA al eje X.

1x Tiene multiplicidad 3 (o sea, es de orden IMPAR). Por lo tanto, la función CORTA al eje X.

4°) Ahora, con todos estos datos, podemos hacer el gráfico.

La ordenada al origen es 6y

REBOTA en 2x

CORTA en 3x y 1x

Listo! Ya tenemos la función representada.

5°) Por último, vamos a analizar la función a partir del dibujo. Debemos definir C , 0C y C

Recuerden que para esto se pueden ayudar pintando el dibujo…

0C es el CONJUNTO DE CEROS. En este conjunto siempre van las raíces de la función.

0 3; 1;2C

C es el CONJUNTO DE POSITIVIDAD. En este caso, la función positiva es lo que pintamos de amarillo.

Vemos que corresponde a un intervalo del eje X…

3; 1C

C es el CONJUNTO DE NEGATIVIDAD. En este caso, la función negativa es lo que pintamos de rosado.

Vemos que corresponde a tres intervalos del eje X…

; 3 1;2 2;C

Para finalizar hacemos una pregunta. ¿Qué grado tiene la función 2 31

. 2 . 3 . 12

y x x x ?

RECORDAMOS: El grado de la función es igual a LA SUMA DE LOS GRADOS DE CADA FACTOR.

En nuestro caso, la función tiene GRADO 6.

2 + 1 + 3 = 6

Hacemos otro ejemplo más de práctica…

El ejercicio sería: Representar la función

2

314. .

2y x x

Respetamos los mismos pasos que en el ejemplo anterior…

1°) Calculamos la ordenada al origen.

Ya sabemos que debemos hacer; cambiamos la “x” por “0” y resolvemos…

2

314. 0 .0

2y

21

4. .02

y

14. .0

4y

0y (La función corta al eje y en 0 )

2°) Calculamos las raíces de la función.

2

314. . 0

2x x

1

02

x 0x

1

2x 0x

(La función tiene dos raíces)

3°) Indicamos la multiplicidad de cada raíz.

1

2x Tiene multiplicidad 2 (o sea, es de orden PAR). Por lo tanto, la función REBOTA en el eje X.

0x Tiene multiplicidad 3 (o sea, es de orden IMPAR). Por lo tanto, la función CORTA al eje X.

4°) Ahora, con todos estos datos, podemos hacer el gráfico.

En este caso tenemos un problema: La ordenada al origen vale cero! Si marcamos las raíces y la ordenada

en los ejes cartesianos, nos queda esto…

Acá vamos a recurrir a un punto de ayuda. Para no hacernos mucho lio, lo que hacemos siempre es tomar

1x y reemplazarlo en la función…

2

314. 1 .1

2y

23

4. .12

y

94. .1

4y

9y

Esto me dice que cuando 1x la función vale 9 , es decir, es POSITIVA.

Con esa ayuda, sabemos que la función en ese valor está por arriba del eje X. Entonces, puede empezar a graficar

la curva desde “arriba”…

REBOTA en 1

2x CORTA en 0x

Recuerden además que siempre se trata de un gráfico aproximado; lo terminamos…

Empezamos el dibujo desde acá; sabiendo donde REBOTA y donde CORTA…

5°) Por último, vamos a analizar la función a partir del dibujo. Debemos definir C , 0C y C

1;0

2C

0 1

;02

C

1

; 0;2

C

En los primeros 6 minutos de este video aparece un ejemplo similar a los que hicimos…

https://youtu.be/8RYZvwLc_Qc

Ahora si: Proponemos algunos ejercicios de práctica!

ACTIVIDAD 1 Dadas las siguientes funciones...

a) 21

. 4 . 24

y x x

b) 3

212. . 4

2y x x

c) 2. 4 . 1 . 3y x x x x

d) 2 4

4. 1 . 1p x x x

e) 2 22

. 6 . 3 . 13

q x x x x

Proponemos algunos ejercicios más de integración.

ACTIVIDAD 2 Para cada una de las siguientes funciones, definir C , 0C y C

Función 1

Función 2

Función 3

Función 4

TEOREMA DEL FACTOR

El teorema del factor establece que un polinomio (𝑥) tiene un factor (𝑥 − 𝑘) si y solo si k es una raíz de (𝑥), es decir

𝑓 (𝑘)= 0

Entonces si quiero deducir un polinomio, f(x), en forma factorizada, que tenga grado 3, ceros 2, − 1 y 3, y que

satisfaga f(1) = 5. ¿Qué pasaría?

De acuerdo con este teorema, f(x) tiene los factores x − 2, x + 1 y x − 3. No existen más factores de grado 1, ya que

según el teorema del factor, otro factor lineal, x − k, produciría un cuarto cero de f(x), contradiciendo al teorema

anterior. Por consiguiente, f(x) tiene la forma f(x) = a(x − 2)(x + 1)(x − 3) para algún número “a”. Pero si se

conoce que f(1) = 5, entonces lograríamos hallar el valor de “a” ( teniendo en cuenta que F(x) es Y y además x=1 e

Y=5) solo hay que proceder a la sustitución y luego despejar “a”.

F(x)=a(x-2)(x+1)(x-3)

5=a(1-2)(1+1)(1-3)

5=a(-1).2.(-2)

5=a.4

5/4= a

Entonces la función quedaría de esta manera.

F(x)= 5/4(x-2)(x+1)(x-3)

Vamos a hacer algunas actividades...

1) Los ceros de la función h(x) son -1 y 3. Y Satisface h(-2)=10 ¿Cuál de las siguientes puede ser h(x)? Escoge 1

respuesta:

h(x)=2(x-1)(x+3)

h(x)=2(x+1)(x-3)

h(x)=-2(x-1)(x-3)

h(x)=-2(x+1)(x+3)

2) Deducir un polinomio, f(x), en forma factorizada, que tenga grado 3, ceros {-2; 1; 2} y que satisfaga f(2) = 6.

3) Hallar la función polinómica p(x) de grado 3 tal que su conjunto de ceros es {1; 1; 5} y además se cumple que P

(2)=9

4) Definir una función de grado 3 cuyos ceros son {-1; 1; 3} ¿cuantas funciones con estos datos podrías armar?

¿Podrías definir dos distintas a la primera que se te ocurrió?

5) Definir la función polinómica T(x) de grado 4 cuyos ceros de la función son {-1; 2} y satisface T (1)= -8.

Fecha de entrega: 24 de Mayo

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Profesora Galinelli : Silvina.galinelli@live.com

Profesor Paes : josue14_paes@hotmail.com