páginas 49 a 56 - Página de Luis Castro Pérez
14
página 145
Transcript of páginas 49 a 56 - Página de Luis Castro Pérez
página 145
página 146
EXPONENTES
La idea de los exponentes nace con la necesidad de abreviar ciertas multiplicaciones. Como es sabido,cuando se multiplica una cantidad n por sí misma k veces, o sea
veces
...k
n n n n
se abrevia nk , es decir que
veces
... k
k
n n n n n
Por ejemplo, para no escribir 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3, se abrevia 36, que visto a la inversa 45 significa
.4 4 4 4 4
Con esta noción de que la potenciación es una multiplicación abreviada, es fácil entender por qué, porejemplo, a4 × a5 = a4 + 5 = a9, es decir que al multiplicar dos cantidades con la misma base, la regla es quese suman los exponentes, ya que
4 5
9
a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a aa
Entonces puede afirmarse que:
Cuando se multiplican dos cantidades con la misma base, el producto tiene la misma basecon exponente igual a la suma de los dos exponentes originales.
m n m na a a
Ejemplo 1: a5 × a12
Solución: a5 × a12 = a 5 + 12 = a17
página 147
DIVISIÓN
Es fácil entender también por qué, a la inversa, al dividir a 7 ÷ a 5 = a 7 - 5 = a 2, es decir que al dividirdos cantidades con la misma base, la regla es que se restan los exponentes conservando la misma base,ya que
7 4 a a a a a a aa a
a a a a
3a
O bien, si se quiere dividir, por ejemplo, , ya que4 5 3 3 4 3 5 3 2a b a b a b ab
4 5 3 3 a a a a b b b b ba b a b
a a a b b b
2ab
Lo anterior puede sintetizar en la siguiente regla:
Cuando se dividen dos cantidades con la misma base, el cociente tiene la misma base conexponente igual a la resta de los dos exponentes originales conservando la misma base.
m n m na a a
Ejemplo 2: d 7 ÷ d
Solución: d 7 ÷ d = d 7 - 1
= d 6
Ejemplo 3: a 6 b 6 x 2 ÷ ab 3 x 2
Solución: a 6 b 6 x 2 ÷ ab 3 x 2 = a 6 - 1 b 6 - 3 x 2 - 2
=a 5b 3
página 148
POTENCIAS DE POTENCIAS
Finalmente es fácil también entender, a partir del significado de un exponente, por qué, por ejemplo,
, es decir que al elevar una potencia a otra potencia, la regla es que se multiplican los 24 4 2 8a a a
exponentes , ya que
24 4 4a a a
4 4
8
a a
a a a a a a a a a
De la misma forma, si ahora se quiere elevar basta recurrir de nuevo a la definición de poten- 33 2a b
cia para deducir la manera en que debe efectuarse, en este caso elevar al cubo es la abreviatura de habermultiplicado tres veces por sí mismo.
Efectivamente,
33 2 3 2 3 2 3 2a b a b a b a b
a a a b b a a a b b a a a b b
= 9 6a b
Se ve que la misma regla recientemente descrita, que se suman los exponentes , sigue aplicándose,solamente que en forma distributiva sobre cada literal.
Es decir que:
Cuando una cantidad a m
se eleva a la potencia n , se multiplican los exponentes mientras
la base vuelve a ser la misma.
nm m na a
página 149
Ejemplo 4: 74a
Solución: 74 4 7 28a a a
Ejemplo 5: 23 9b cx
Solución: 23 9 3 2 1 2 9 2 6 2 18b cx b c x b c x
Ejemplo 6: 23 7x y
Solución: Recordar que un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término más el doble produc-to del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término . Entonces
2 2 23 7 3 3 7 72x y x x y y
3 2 3 7 7 22x x y y 6 3 7 142x x y y
POTENCIAS DE FRACCIONES
Recurriendo nuevamente al significado de exponente, resulta sencillo deducir el resultado de elevar unafracción a un cierto exponente, para lo cual únicamente se requiere recordar que dos fracciones se multipli-can numerador por numerador y denominador por denominador.
Así, si se quiere efectuar, por ejemplo, , se tiene que
35
2
a
b
35 5 5 5 5 5 5
2 2 2 2 2 2 2
a a a a a a a
b b b b b b b
5 5 5 15
2 2 2 6
a a
b b
que no es otra cosa que el resultado de elevar el numerador al cubo y el denominador al cubo. Es decir que
página 150
Para elevar una fracción a la potencia k , se elevan separadamente tanto el numerador
como el denominador a dicha potencia k .
k k
k
a a
b b
Ejemplo 7:
46
5
a x
y
Solución:
44 66
5 45
a xa x
y y
6 4 1 4
5 4
a x
y
24 4
20
a x
y
página 151
EJERCICIO 11.1
Efectuar las siguientes operaciones con exponentes:
1) a6 ÷ a2 2) t 9 ÷ t 5 3) q11 ÷ q10
4) x14 ÷ x5 5) y19 ÷ y11 6) c13 ÷ c12
7) b33 ÷ b17 8) a16 ÷ a16 9) x20 ÷ x20
10) 11) 12) 35a 52x 33y
13) 14) 15) 47c 78b 311t
16) 17) 18) 25 11h w 25 7k j 24 3n m
19) 20) 21) 25 3a b 211 8r q 33 5a b
22) 23) 24) 63 2a b 75 9 22d e f 56 10 2b x y
25) 26) 27) 82 9bf h 35 ka b 22 2 aac x
28) 29) 30)
64
5
a
be
114
2 8
a x
b y
45 7
3
b c d
x y
31) 32) 33)
59
3 2
deh
x y
3
5 3
1
4ax y
8
4 9
1
2am q
página 152
EXPONENTES NEGATIVOS
Todas las reglas de los exponentes están basadas en su propia definición de ser una multiplicaciónabreviada.
Un caso interesante es cuando se tiene una cantidad entre sí misma, por ejemplo, a 12 ÷ a 12 , que apli-cándole la regla respectiva de restar los exponentes se llega a que
a 12 ÷ a 12 = a 12 - 12 = a 0
y como se sabe que cualquier cantidad dividida entre sí misma da 1, eso significa que a 0 = 1 . Se puedegeneralizar fácilmente imaginando que cualquier número elevado a la potencia cero es igual a 1, ya queviene de dividir una cantidad entre sí misma, lo que originó una resta de exponentes iguales.
Cualquier cantidad con exponente 0 es igual a 1 , ya que se trata de una división de una canti-
dad entre sí misma.
Aún más, si se tiene ahora, por ejemplo, a 2 ÷ a 5, aplicando la regla respectiva de restar exponentes sellega a que
a 2 ÷ a 5 = a 2 - 5 = a - 3 (A)
que es lo mismo que
(B)2 53
1a aa a
a a a a a a
Por lo tanto las expresiones (A) y (B) deben de ser iguales, esto es que
33
1a
a
De aquí se desprende la siguiente regla
Si una cantidad escrita en el numerador se traslada al denominador, su exponente cambiade signo. Y a la inversa, si una cantidad escrita en el denominador se traslada al numera-dor, su exponente cambia de signo.
página 153
Ejemplo 8: Escribir la siguiente expresión de manera que no aparezca con exponentes negativos.
2 3
3 8
a c
b x
Solución: La literal a ya tiene exponente positivo, por lo tanto no debehacérsele nada, si está en el numerador debe quedar allí. Lomismo puede decirse de la literal x . En cambio, como la c
tiene exponente negativo debe trasladarse al denominadorpara que al cambiar su signo aparezca con su exponente posi-tivo; y como la b también tiene exponente negativo debetrasladarse al numerador para que su exponente cambie a po-sitivo (ver figura 11.1), de manera que se obtiene
2 3 2 3
3 8 3 8
a c a b
b x c x
Ejemplo 9: Escribir la siguiente expresión con todas las cantidades en el numerador.
4 8 9
3 15
b d y
a cx
Solución: Todas las cantidades del denominador, tomadasuna por una ( 5 , a 3 , c , x- 1), deben cambiar designo en su exponente al trasladarse al numera-dor, en tanto que todas las numerador debenquedar iguales, ya que no se trasladan. Verlo enla figura 11.2. Nótese en el caso del coeficiente5, lo mismo que la literal c, que aunque inicial-mente no tienen exponente escrito, en realidadlo tienen como +1 , por eso al trasladarse “haciaarriba” aparecen con exponente menos uno.
Entonces
4 8 91 3 4 1 8 9
3 15
5
b d ya b c d xy
a cx
NOTA: Un error muy frecuente que comete el alumno en casos como el del ejemplo anterior es que al trasla-
dar el 5 del denominador al numerador, en vez de cambiar el signo de su exponente a , cambia15
el signo de la cantidad misma a . 5
figura 11.1
figura 11.2
página 154
EJERCICIO 11.2
Escribir las siguientes cantidades
a) sin exponentes negativos;b) sin denominadores (todo en el numerador):
1) 2) 3)5 2
1
a d
b x
4 1
6
b f g
ac
2 1
1 4
b c x
a d y
4) 5) 6)1 7 4
3
a b x
5
2 2
5b
a x
1 5
33
c g
b
7) 8) 9)2
5
2
5
1
1 4
4
2a bc
3 2
2
3
2
b c
a x
10) 11) 12)3 3
1 5
3b c
a d
5 2
3 33
c d
a b
1 2
1 5
3 a
b c
13) 14) 15)2 1 6
1 12
b d g
a
4
4 44
xy
a b
2 2
2 2 22
d h
a b
16) 17) 18)3 3
3 3 3
3 b
a c x
2 2
2 2
a b
x y
4 4
4 44
b d
a x
página 155
EXPONENTES FRACCIONARIOS
En matemáticas frecuentemente se da el hecho llamado rebasar su definición , que consiste en que dadala definición de alguna operación, ésta llega a pasar más allá en virtud de que operacionalmente se obtienentambién resultados congruentes.
Por ejemplo, la multiplicación nace de la necesidad de abreviar ciertas sumas. Efectivamente, se sabeque para no escribir, por ejemplo, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 , se abrevia como 3 × 6 . En otras palabras, cuandose tiene 4 × 5 , se sabe de inmediato que en realidad se pretende sumar .4 4 4 4 4
Se puede definir entonces la multiplicación como una suma abreviada.
Cuando se tiene 2.01 × 3 la definición de multiplicación continúa vigente, pues significa simplementeque se quiere hacer la suma 2.01 + 2.01 + 2.01; sin embargo, ¿qué significa la multiplicación 3.17 × 1.96?¿Se puede 3.17 sumar uno punto noventa y seis veces?. Desde el punto de vista de la definición de multi-plicación carece de sentido, pero operacionalmente es congruente con las multiplicaciones que se apegana la propia definición.
Así, pues, la multiplicación entre cantidades ambas no enteras esun caso de una operación que rebasa su definición. Otro caso es elde las funciones trigonométricas, las que nacen a partir de triángulosrectángulos. Por ejemplo, se descubrió que al tener un triángulo rec-tángulo con un ángulo de 250, al dividir el lado ye entre el lado x
(verlo en la figura 11.3) siempre daba el mismo valor 0.466307658sin importar si el triángulo fuese grande, mediano o chico. Ese valores el que corresponde a tan 25. Los valores de las funciones seno,coseno y tangente que vienen dados en tablas (ahora en la calculado-ra) nacieron de triángulos rectángulos, es decir, su definición inicialfue dada para ángulos agudos o a lo más el recto. El seno se definecomo el cateto opuesto entre la hipotenusa y eso solamente tienesentido en un triángulo rectángulo.
Sin embargo, con el tiempo se rebasó está definición obteniendovalores para las funciones seno , coseno , tangente , etc. para todoslos ángulos mayores de 90 grados. Un estudio más a fondo se haráen el segundo semestre.
Entendida la idea de rebasar su propia definición , el caso que nos ocupa es el de la potenciación.También con el tiempo fue rebasada. Se recordó al inicio de este tema que la idea de los exponentes nacecon la necesidad de abreviar ciertas multiplicaciones. Cuando se multiplica una cantidad n por sí mismak veces, se abrevia nk. Analizado desde la propia definición, tiene sentido hablar de 43 como la abreviaciónde 4 × 4 × 4, o bien de 1.342 como la abreviación de 1.34 × 1.34, pero ¿qué significa 31.2 ? Desde la propiadefinición, carece de sentido, pero al rebasar dicha definición, adquiere un sentido y un significado con-gruente operacionalmente con las potencias que se apegan a la definición.
Como ya se dijo, al elevar una potencia a otra potencia la regla es que se multiplican los exponentes.De manera que si
figura 11.3
página 156
, 23 3 2 6a a a
al aplicarle la operación inversa raíz cuadrada también deberá aplicarse la operación inversa al exponente,es decir, dividirlo entre dos, esto es que
6 6 2 3a a a
Por lo tanto, en congruencia con este procedimiento,
5 5 2 5/2a a a
o bien
3 7 7 3 7/3a a a
De donde se deduce la siguiente regla para exponentes fraccionarios:
En un exponente fraccionario, el numerador representa la potencia a la que estáelevada la base y el denominador el índice del radical que lo afecta.
/ mn m na a
Ejemplo 10: Escribir con radical la expresión .1/4x
Solución: Como el denominador es el índice del radical, significa que debe escribirse adentro de una raíz cuar-ta, mientras que el numerador es la potencia de x ; de manera que
4 41/4 1x x x
Ejemplo 11: Escribir con radical la expresión .3/8x
Solución: Como el denominador es el índice del radical, significa que debe escribirse adentro de una raíz octa-va, mientras que el numerador 3 es la potencia de x ; de manera que
página 157
83/8 3x x
Ejemplo 12: Escribir con radical la expresión 3/1053x y
Solución: El denominador 10 indica que todo debe ir adentro de un raíz décima y el numerador 3 que debeestar elevado al cubo, de manera que
3/10 3105 53 3x y x y
Ejemplo 13: Escribir con exponente fraccionario la expresión 4 7b
Solución: El exponente 7 es el numerador y el índice del radical 4 es el denominador, de manera que
4 7 7/4b b
Ejemplo 14: Escribir con exponente fraccionario la expresión 56 2 8 37bx y a
Solución: El exponente fraccionario debe tener denominador 6 (que es el índice del radical) y numerador 5 (quees el exponente al que está elevado todo el paréntesis), de manera que
5 5/66 2 8 3 2 8 87 7bx y a bx y a
página 158
EJERCICIO 11.3
Escribir con radical las expresiones que estén con exponente fraccionario; o con exponente fraccionario las queestén en radical
1) x2/3 2) y4/3 3) a1/6 4) b3/2
5) c7/5 6) (3x2y)1/3 7) (6a7bc3)2/5 8) (3bd6x2)4/3
9) 4(c2xy3)7/3 10) 7(abc2)5/8 11) b(2a + 2x4)1/4 12) (x2 - y3)8/7
13) x2(x2 - xy)2/5 14) ab4(3 + 2xy7)6/7 15) (a + b)(a - b)2/9 16) x1/2 + y1/2
17) a1/3 - b2/3 18) 3a1/2 + 2a1/3 19) 4x2/3 - 3y3/2 20) 3ab1/2 - xy2/3
21) 22)7x 25 y 25 y
23) 24)7 5b8 b
25) 26)5 2x y3 2 7a b
27) 28) 324 a b 233 2 x
29) 30) 536 5b x 5 46 3x y
31) 32)5 33 5ab x y 927 282x x y
33) 34) 456 4 xy5 2 3x x
35) 36) 114 4xy a b 2 23 3a b a b
37) 38) 3 72 634 2 3x y 6 32 3 27 a b b a
39) 40)5
7
x x
y y
63 2
3 2
8
8
a a
b b
