Matemticas Financieras

Rentas Perpetuas: Definicin, Valor Presente, Valor Futuro, Costos Capitalizados, Costos Equivalente.

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Rentas PerpetuasEs una anualidad cuyo plazo no tiene fin.

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Valores de las Rentas Perpetuas simples: 1. Clculo del Valor Futuro de una renta perpetua 2. Clculo del Valor Presente de una renta perpetua simple

ordinaria 3. Clculo del Valor Presente de las Rentas perpetuas

simples anticipadas. 4. Valor Presente de las Rentas Perpetuas por pagar al

final de cada cierto nmero de perodos de capitalizacin.

Valor Futuro de una renta perpetua

Debido a que nunca cesarn los pagos de una renta perpetua, resulta imposible calcular su valor futuro

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Clculo del Valor Presente de una renta perpetua simple ordinaria

Sea la renta perpetua de $A, pagadera al final de cada perodo, a la tasa i por perodo:

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Se deduce que el valor presente de la renta perpetua es aquella cantidad P que, en un perodo produce como intereses la suma A, es decir:

A = P*i

donde P = A * 1/i

El factor 1/i es el valor presente de una renta

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La frmula anterior se puede obtener como:

P = lim A 1-(1+i)-n n! i P= lim A 1- 1/(1+i)n n! i Como lim 1/(1+i)n = 0 n!

Por lo Tanto, P = A/i

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Valor Presente de las Rentas perpetuas simples anticipadas

Cuando el pago de la renta perpetua es de inmediato, al dibujar el diagrama se observa que el valor actual es equivalente al de una renta perpetua vencida, aumentada en el primer pago que debe efectuarse de inmediato

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De lo anterior se deduce que el valor presente de la renta perpetua anticipada es aquella cantidad P que, disminuida en la primera cuota A, produce como intereses la suma A, es decir:

(P-A)*i = A De este modo, P = A/i + A Si el pago que debe efectuarse de inmediato es W

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Ejemplo 1En el testamento de una persona se establece que parte de sus bienes se invertirn de modo que el hospital de ancianos reciba, a perpetuidad, una renta de $1.000.000 cada fin de ao. Si la tasa de inters es del 8%, hallar el valor actual de la donacin

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P = A* 1/i A= 1.000.000 i=0,08

P = 1.000.000 /0,08 P = 12.500.000

Ejemplo 2

Al fallecer, una persona deja un legado a un Hospital, estipulando lo siguiente: $600.000 para la adquisicin de ciertos equipos y $800.000 anuales para su mantenimiento. Hallar el valor actual del legado, si la tasa es del 8%.

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Valor Presente de las Rentas Perpetuas por pagar al final de cada cierto nmero de

perodos de capitalizacin

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F = A [ (1+i)n -1] i Se reemplaza F = W , n=k

W= A [ (1+i)k -1] i

P = A * 1/i P = W*i * 1 [ (1+i)k -1] i

P = W [ (1+i)k -1]

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El valor W de cada pago puede considerarse como el valor futuro de k pagos de valor A, efectuados al final de cada perodo de capitalizacin.

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Ejemplo

Un municipio toma la decisin de crear un fondo para proveer a perpetuidad las reposiciones de un puente de madera cuyo costo es de $9.000.000. Los ingeniero estiman que ser necesario reemplazarlo cada 12 aos, a un costo de $5.460.000. Encontrar el valor requerido para el fondo a fin de proveer los reemplazos futuros, si la tasa de inters es del 7%

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W= 5.460.000 i= 7% k=12 P = W [ (1+i)k -1] P = 5.460.000 (1+0,07)12 -1 P = 5.460.000 = 4.360.355 1,25219159

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