LO ESENCIAL DEL RAZONAMIENTO LGICO.1Es evidente que dos proposiciones equivalentes de acuerdo con el otro en verdad o falsedad. Pues ya que cada uno de ellos implica al otro, no podemos tener uno de ellos verdadero mientras que el otro es falso. Por el contrario, si dos proposiciones de acuerdo con el otro en verdad o falsedad, sabemos (por definicin de implicacin) que implican mutuamente unos a otros y por lo tanto son equivalentes. Vemos que la equivalencia de proposiciones es muy parecida a la igualdad matemtica; en particular, las proposiciones equivalentes a la misma proposicin son equivalentes a unos a otros.Ciertas formas de proposiciones compuestas pueden reclamarse siempre ser equivalente a unos a otros, independientemente de sus proposiciones de componente en particular. Esas equivalencias, una vez ms, constituyen los principios lgicos generales. Uno de los ms importantes es el principio de la doble negacin, que ms o menos afirma que una proposicin negativa doble es equivalente a la correspondiente propuesta positiva.Formulamos esta como una regla de equivalencia de sitio * como sigue:REGLA 3. Para cada proposicin p,[~(~p)] pEsta regla puede justificarse fcilmente por el mtodo de tabla de verdad introducido en la seccin 3-4. Por lo tanto tenemos lo siguiente (apoyndose en la ley del medio excluido y la ley de la contradiccin):P ~p ~(~p)____________T F TF T F

La tabla muestra que p y ~ (~ p) siempre estn de acuerdo en la verdad o falsedad-por brevedad, podemos decir que estn de acuerdo en el valor de la verdad - y por lo tanto, deben ser equivalentes. Por supuesto las proposiciones que son "iguales por definicin" sern lgicamente equivalentes tambin. Por ejemplo, ahora podemos escribir.[(~p) v q] ( p q )

El valor del uso de equivalencias se ver de la siguiente regla de procedimiento, que contina la analoga con la igualdad.______* En un desarrollo ms formalizado la "regla" de la designacin hubieran reservado para un mtodo vlido de procedimiento en la deduccin como en el caso de nuestra regla fundamental o nuestra regla de sustitucin, que se introducir como regla 4. En nuestro desarrollo, sin embargo, utilizamos la palabra en un sentido ms general para cubrir ambos mtodos procesales y los principios generales de razonamiento.

FRENTE A LAS REGLAS DE CONVERSINREGLA 4. Regla de sustitucin. Dada una proposicin compuesta P, edificada por el uso de los conectores , V, ., ~, -->, de un limitado nmero de componente proposiciones p, q, r,..., podemos sustituir por p, q, r,... otras proposiciones para que stos sean equivalentes respectivamente sin cambiar el valor de verdad de P.Esta regla se puede justificar sealando que el valor de verdad de P est determinado nicamente por el valor de verdad de las proposiciones del componente, como puede verse por el mtodo de tabla de verdad. Por lo tanto cualquier propuesta de tener el mismo valor de verdad como una de las proposiciones de componente puede sustituirse por l sin ningn efecto sobre el valor de verdad de P.3.8 REGLAS INVERSoS OPUESTOSLa siguiente definicin da una combinacin til de los conceptos de "contrario" y proposiciones "opuestas".DEFINICIN. Lo contrario opuesto (tambin llamado contra positivo) de la proposicin p -> q es la proposicin (~ q) --> (~ p), o ms simple, ~ q -> ~ P.De la definicin vemos que el recproco opuesto de una implicacin dada se obtiene intercambiando hiptesis y la conclusin y la insercin de "no" delante de cada uno. Es evidente que el recproco opuesto es a la vez el opuesto a lo contrario y la inversa de lo contrario de la implicacin dada.Sabemos que ni la inversa ni lo contrario de una implicacin dada de manera lgica de la misma. Qu pasa con el recproco opuesto?Supongamos que la implicacin p --> q es verdadero. Si adems suponemos que (q) es falso, entonces no podemos tener (p) verdadera, porque en ese caso (q) sera verdad por la norma fundamental. Esto sera imposible por la ley de la contradiccin. As pues, tenemos la conclusin de que (p) es falsa. Esto puede formularse como una regla de inferencia, que llamaremos la regla inversa contrario:REGLA 5.*Regla inversa opuesta de la inferencia.P q ~q_____Por lo tanto ~p _________________*En cualquier desarrollo formal de la lgica, como Principio matemtico, esta regla, probablemente aparecer como un teorema en forma de una implicacin, afirm que es verdad para todas las proposiciones p, q; a saber.

Las mismas consideraciones muestran que cada vez que p -> q es una premisa que podemos obtener de l una nueva implicacin.(~q) (~p)En otras palabras, el recproco opuesto de una implicacin dada es consecuencia lgica de ello. Por consiguiente, el inverso opuesto de

(~q) (~p)Tambin se desprende. Esto nos dara~ (~q) ~ (~p)Pero por la regla de doble negacin (regla 3) sabemos que ~ (~p) p y ~ (~q) qPor lo tanto podemos hacer sustituciones de acuerdo con la Regla 4 y obtenerp qCualquier proposicin que sigue lgicamente (es decir, se puede deducir) de una proposicin dada seguramente est implcito en esa proposicin (aunque sabemos que lo contrario de esta afirmacin no se sostiene). En consecuencia, podemos afirmar como principio lgico general de que una implicacin y su recproco opuesto son lgicamente equivalentes. Esto nos formula como el principio de equivalencia opuesto contrario:Regla 6. Regla de equivalencia opuesta de enfrente.( p q) (~q ~p)Nosotros podramos formular las variaciones de la regla opuesta de enfrente y la equivalencia opuesta de enfrente a prever signos negativos en diferentes posiciones, pero es realmente innecesario hacer esto, ya que el principio esencial seguira siendo el mismo. Por ejemplo, si reemplazamos (p) por (~ p) en la Regla 5, obtenemos~p q ~qPor lo tanto ~(~p)Que es ~p q~qPor lo tanto p por regla 3 Las siguientes son algunas de las ilustraciones del uso de los mtodos de contrario opuesto.Ilustracin 1. El siguiente conjunto de declaraciones cumple con la regla 5.Si el tringulo ABC es issceles, entonces el ngulo A = ngulo B.Pero no el ngulo A = ngulo B.Por lo tanto el tringulo ABC no es issceles.Ilustracin 2. En un catlogo Universidad leemos lo siguiente: "Si un estudiante es graduado con distincin, debe tener un promedio acumulado de 94 o superior". Suponiendo que el requisito general indicado se aplica en el caso de un estudiante especificado, Jones, obtenemos la regla 6Si Jones no tiene un promedio acumulado de 94 o superior, entonces no se gradu con distincin.Ilustracin 3. Supongamos que queremos sacar una conclusin de las dos siguientes premisas:Si la investigacin es puramente poltica, no es deseable.La investigacin es deseable.Con las abreviaturas siguientes:p: la investigacin es puramente poltica,q: la investigacin es deseable,Vemos que nos dap (~q)qYa que la q es equivalente a la ~ (~q), obtenemos segn la regla opuesta de enfrente la conclusin ~pEsto es:La investigacin no es puramente poltica.

____________________[(p q) . (~q)] ~pEsta implicacin por s misma no es estrictamente la misma que la regla 5, pero toma en combinacin la regla fundamental, esto fcilmente justificara la regla 5. Suponiendo que las premisas p q y ~qTenemos la conjuncin( p q) . (~q)Al escribir el teorema[(p q) . (~q)] ~pObtenemos segn la regla fundamental la conclusin,~p