PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL · PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL Modul 4. Transformasi Z . Content...
Transcript of PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL · PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL Modul 4. Transformasi Z . Content...
PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL
Modul 4.
Transformasi Z
Content
• Overview TZ untuk fungsi eksponensial kausal dan anti kausal, ROC, Zero Pole, TZ fungsi impuls, TZ fungsi sinusoidal
• Overview ITZ : Pecahan Parsial dan Integrasi Kontur, manipulasi ITZ berdasarkan propertynya, ROCnya (kausal dan anti kausal), fungsinya. contoh : ITZ fungsi logaritma f(z) dan TZ fungsi x(n)/n.
Latar Belakang
“Domains of representation ” Domain-n (discrete time) : Sequence, impulse response, persamaan beda
Domain- : Freq. response, spectral representation
Domain-z : Operator, dan pole-zero
Apabila suatu kasus sulit dipecahkan pada suatu domain tertentu, maka transformasi ke domain yang lain akan mudah menyelesaikannya.
Content
• Transformasi-Z Langsung
• Sifat-sifat Transformasi-Z
• Transformasi-Z Rasional
• InversTransformasi-Z
• Transformasi-Z Satu Sisi
TRANSFORMASI-Z LANGSUNG
Definisi :
Contoh 1:
n
nznxzX )()(
5321
1
1
7521)(
1,0,7,5,2,1)(.a
zzzzzX
nx
1,0,7,5,2,1)(b. 2 nx
31122 752)( zzzzzX
Contoh 2:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal di bawah ini:
0),()(c.
0),()(b.
)()(a.
3
2
1
kknnx
kknnx
nnx
1.1)()(a. 01
zznzXn
n
k
n
n zzknzX
)()(.b 2
k
n
n zzknzX
)()(c. 3
Contoh 3:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari sinyal )()( nunx
1:1dimana,1
1
...1)()(
1
1
21
0
zROCzz
zzznuzXn
n
1:,1
1)()()(
1
zROC
zzXnunx
Contoh 4:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari sinyal )()( nunx n
zROCzz
AAAAA
zznuzX
n
n
n
n
n
nn
:1dimana,1
1
1
1...1
)(
1
1
32
0
0
1
0
zROCz
zXnunx n :,1
1)()()(
1
TABEL FUNGSI DASAR TZ
SIFAT-SIFAT (PROPERTY) TZ
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Linieritas
3:,31
1)(3)(
2:,21
1)(2)(
122
111
zROCz
zXnunx
zROCz
zXnunx
n
n
Tentukan transformasi Z dari sinyal
3:32:
651
1
31
4
21
3)()3(4)2(3
21
1
11
zROCzzROC
zz
z
zzZXnunx nn
)()()()()()( 2121 zXbzXazXnxbnxanx
Contoh 5:
)()3(4)2(3 nunx nn
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Pergeseran
1:,1
1111
zRROC
zZXnunx x
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
ZXznnxn0)( 0
Contoh 5:
)3( nunx
1:,1
31
3
13
zRROC
z
zZXzZXnunx x
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Time Reversal
1:,1
1111
zRROC
zZXnunx x
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
Contoh 6:
)( nunx
11:,1
1
1
111
zR
ROCzz
zXnunxx
)()( 1 zXnx
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Diferensiasi dalam domain z
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Contoh 7: dz
zdXznnx
)()(
)()( nuannx n
azRROCaz
zXnuanx xn
:,
1
1)()()(
111
21
1
21
2
11
11
)(
1
1)()()()(
az
az
az
azz
azdz
dz
dz
zdXzzXnuannx n
21
1
1
)(
az
aznuan n
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Konvolusi antara dua sinyal
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :
Contoh 8:
)()()()(*)()( 2121 zXzXzXnxnxnx
lainnya
nnxnx
,0
50,1)(1,2,1)( 21
543212
211 1)(21)( zzzzzzXzzzX
)1)(21()()()( 543212121
zzzzzzzzXzXzX
76121 1)()()( zzzzXzXzX
1,1,0,0,0,0,1,1)(*)()( 21 nxnxnx
TRANSFORMASI Z RASIONAL
Pole dan Zero
Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) =
Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0
N
0k
k
k
M
0k
k
k
N
N
1
1o
M
M
1
1o
za
zb
zazaa
zbzbb
)z(D
)z(N)z(X
Fungsi Rasional
o
NN
o
N
o
MM
o
M
N
o
M
ooo
a
az
a
aZ
b
bz
b
bz
za
zb
zD
zNzXba
11
11
)(
)()(00
N(z) dan D(z) polinom
o
NN
o
N
o
MM
o
M
N
o
M
ooo
a
az
a
aZ
b
bz
b
bz
za
zb
zD
zNzXba
11
11
)(
)()(00
)pz()pz)(pz(
)zz()zz)(zz(z
a
b
)z(D
)z(N)z(X
M21
M21MN
o
o
N
1k
k
M
1k
kMN
)pz(
)zz(
zG)z(X
Tentukan pole dan zero dari 21
1
5,05,11
5,12)(
zz
zzX
Jawab:
)5,0)(1(
)75,0(2
)5,0)(1(
75,02
5,05,1
75,02)(
22
1
zz
zz
zz
zz
zz
z
z
zzX
5,01:
75,00:
21
21
ppPole
zzZero
Contoh 9:
21
1
5,01
1)(
zz
zzX
)]5,05,0()][5,05,0([
)1(
5,0
)1()(
2
jzjz
zz
zz
zzzX
*2121
21
5,05,05,05,0:
10:
ppjpjpPole
zzZero
Tentukan pole dan zero dari
Jawab:
Contoh 10:
INVERS TRANSFORMASI -Z
Definisi Invers Transformasi-Z
n
nznxzX )()( dzzzXj
nx n
1)(2
1)(
Cluardizbila
Cdalamdizbiladz
zfd
kdzzz
zf
j
o
o
zz
k
k
C ko
o
,0
,)(
)!1(
1
)(
)(
2
1 1
1
Teorema residu Cauchy :
Ekspansi deret dalam z dan z-1
n
nznxzX )(
Tentukan invers transformasi-z dari 21
2
1
2
31
1)(
zz
zX
Jawab:
4321
16
31
8
15
4
7
2
31)( zzzzzX
,16
31,
8
15,
4
7,
2
3,1)(nx
Contoh 11:
Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z
)()()()(
)()()()(
2211
2211
nxnxnxnx
zXzXzXzX
KK
KK
21 5,05,11
1)(
zzzX
)5,0()1(5,05,1
)(
)5,0)(1(5,05,1)(
212
2
2
2
z
A
z
A
zz
z
z
zX
zz
z
zz
zzX
Tentukan invers transformasi-z dari
Jawab:
Contoh 12:
)5,0()1(5,05,1
)( 212
z
A
z
A
zz
z
z
zX
)5,0()1(
2)(
z
z
z
zzX
)(])5,0(2[)( nunx n
5,05,1
)5,0()(
)5,0)(1(
)1()5,0(2
212121
zz
AAzAA
zz
zAzA
1215,05,0
5,005,01
21111
122121
AAAAA
AAAAAA
5,05,1
)5,0()(
5,05,1
)(2
21212
zz
AAzAA
zz
z
z
zX
)5,0(
1
)1(
2)(
zzz
zX
)5,01(
1
)1(
2)(
11
zzzX
Pole-pole berbeda semua
N
N
k
k
pz
A
pz
A
pz
A
z
zX
1
1)(
N
Nkk
kk
pz
ApzA
pz
Apz
z
zXpz
)()()()(
1
1
kpz
k Az
zXpz
k
)()(
21
1
861
23)(
zz
zzX
4286
23)( 212
z
A
z
A
zz
z
z
zX
Tentukan invers transformasi-z dari
Jawab:
Contoh 13:
72
14
)2(
23)()4(
42
8
)4(
23)()2(
4
2
2
1
z
z
z
z
z
zXzA
z
z
z
zXzA
4
7
2
4)(
zzz
zX
11 41
7
21
4)(
zzzX
)(])4(7)2(4[)( nunx nn
Ada dua pole yang semua
N
N
k
k
k
k
pz
A
pz
A
pz
A
pz
A
z
zX
2
21
1
1
)(
)(
kpz
kk
z
zXpzA
)()( 2
1
kpz
kk
z
zXpz
dz
dA
)()( 2
2
211 11
1)(
zz
zX
)1()1(1)1)(1(
)( 32
212
2
z
A
z
A
z
A
zz
z
z
zX
2
1
)1(
)()1(
4
1
)1(
)()1(
1
22
2
1
2
2
1
z
z
z
z
z
zXzA
z
z
z
zXzA
Tentukan invers transformasi-z dari
Jawab:
Contoh 14:
4
3
)1z(
z2z
)1z(
)z)(1()1z)(z2(
)1z(
z
dz
d
z
)z(X)1z(
dz
dA
1z
2
2
2
2
22
3
)(4
3
2
1)1(
4
1)( nunnx n
)1(
43
)1(
21
1
41
)(2
zzzz
zX
Pole kompleks
*
*
21
21
AAAA
pppp
22
11
11
21
1
211
11
11
1**)(1
)**(*)(
**1
***
*1
*
1
zaza
zbb
zppzpp
zpAApAA
zppzppz
pzAAzApA
zp
A
pz
A
o
12
21
1
1
11)(
zp
A
zp
AzX
)Re(2*
)Re(2)Im()Re()Im()Re(*
AAAb
AAjAAjAAA
o
)Re(2*)(
)Re(2)Im()Re()Im()Re(*
1 pppa
ppjppjppp
22
222 *)(Im)(Re
)]Im())][Re(Im()[Re(*
pppappp
pjppjppp
)Im()Im(2)Re()Re(2
)]Im())][Re(Im()[Re(
)]Im())][Re(Im()[Re(**
pApA
pjpAjA
pjpAjApAAp
*)Re(2)**(
]Im()Re()Im()[Re()]Im()Im()Re()[Re(
)]Im())][Re(Im()[Re(*
1 AppAApb
pAApjpApA
pjpAjAAp
21
1
5,01
1)(
zz
zzX
22
11
11
21
1
15,01
1)(
zaza
zbb
zz
zzX o
5,0)(Im)(Re5,0
5,0*)Re(1*)Re(2
5,0)Re(1)Re(2
5,0)Re(1)Re(2
2222
1
1
pppa
ApApb
ppa
AAbo
Tentukan invers transformasi-z dari
Jawab:
Contoh 15:
5,0)p(Im25,0)p(Im)p(Re 222
5,0)ARe(5,0)pRe(
5,0j5,0p5,0)pIm(25,0)p(Im2
)5,0j5,0)](AIm(j5,0[*Ap
5,05,05,0)Im(
5,0)Im(5,025,0*)Re(
jAA
AAp
11
11
)5,05,0(1
5,05,0
)5,05,0(1
5,05,0
*1
*
1)(
zj
j
zj
j
zp
A
pz
AzX
11 )5,05,0(1
5,05,0
)5,05,0(1
5,05,0)(
zj
j
zj
jzX
45j45j e707,05,0j5,0e707,05,0j5,0
nn
njnj
njn
njnj
njn
ejejnx
nn
n
n
n
n
njnj
45sin)707,0(45cos)707,0(
)45sin45)(cos707,0)(5,0(
)45sin45(cos)707,0)(5,0(
)45sin45)(cos707,0)(5,0(
)45sin45(cos)707,0)(5,0(
)707,0)(5,05,0()707,0)(5,05,0()( 4545