Péndulos Acoplados2.1 Objetivos

1. Identificar y determinar las frecuencias propias de oscilación para un sistema de dos grados de libertad.

2. Determinar el valor de aceleración de la gravedad.

2.2 Preinforme

1. A qué se denomina grado de libertad?

2. A qué se denomina modo propio de oscilación?

3. Haga las consideraciones físicas necesarias para deducir las ecuaciones (2.1) y (2.2).

4. En qué consiste el método dinámico para determinar la constante elástica del resorte.

5. En qué consiste el método estático para determinar la constante de un resorte.

2.3 Fundamento Teórico

En esta práctica de laboratorio se estudia el comportamiento de un sistema oscilatorio formado por dos péndulos simples idénticos, fijos a un mismo soporte con un resorte de constante elástica k colocado entre ellos, conocido con el nombre de péndulos acoplados.

 

Figura 2.1.

La inclusión del resorte entre los péndulos hace que sus movimientos no sean independientes. El movimiento de uno de ellos influye en el movimiento del otro y viceversa dando como resultado un movimiento que se conoce como oscilaciones

acopladas. Dado que para describir el movimiento de cada uno de los péndulos son necesarias dos funciones de posición angular con respecto al tiempo: θ1(t) y θ2(t), se dice que el sistema posee dos grados de libertad.

La dinámica asociada al movimiento de cada uno de los péndulos puede resumirse de la siguiente manera: cuando la masa se separa de la posición de equilibrio una cierta cantidad angular, aparece sobre ella un torque restaurador τ que tiende a llevarla de nuevo a dicha posición, causándole una aceleración angular α, la cual se relaciona con dicho torque a través de la expresión:

τ = Iα

I: es el momento de inercia de la masa M respecto al eje de rotación.

De la definición de I y de α, la anterior ecuación se escribe como:

τ = ML2θ’’

Utilizando esta ecuación y la definición de τ, se encuentra que para el péndulo cuyo desplazamiento es θ1 se tiene la siguiente ecuación de movimiento:

ML2θ’’1 = −MgLsenθ1 + kℓ2sen(θ2 − θ1) (2.1)

y para el otro

ML2θ’’2 = −MgLsenθ2 − kℓ2sen(θ2 − θ1) (2.2)

Si los desplazamientos θ1 y θ2 son pequeños la aproximación Senθ ≈ θ será válida con lo cual las expresiones (2.1) y (2.2) se rescriben como:

ML2θ’’1 = −MgLθ1 + kℓ2 (θ2 − θ1) (2.3)

y

ML2θ’’2 = −MgLθ2 − kℓ2 (θ2 − θ1) (2.4)

Dado que las anteriores ecuaciones se encuentran acopladas, se sigue el Siguiente procedimiento de desacople:

Al sumar las ecuaciones (2.3) y (2.4) se obtiene:

ML2θ’’1 = −MgL θ1 (2.5)

Y al restarlas:

ML2θ’’2 = −(MgL + 2k2ℓ2) θ2 (2.6)

Donde: θ1 = θ1 + θ2 y θ2 = θ1 − θ2

Escribiendo (2.5) y (2.6) en la forma

Θ’’1 + ω12θ1 = 0

Θ’’2 + ω22θ2 = 0

Se obtienen las ecuaciones desacopladas cuyas frecuencias son:

ω12 =g/L (2.7)

y

ω22=g/L+ 2ε2

k/M (2.8)

Correspondientes a los dos modos propios de oscilación, en fase ω1 y en contratase ω2, que presentan los péndulos acoplados. En este caso ε2

= ℓ2/L

2.

2.4 Materiales

Equipo de péndulos acoplados: Soportes (con prensas), hilos metálicos, masas de 1kg y resorte de acople.

Nivel de burbuja.

Cinta métrica graduada en milímetros. Cronómetro.

Figura 2.2: Figura 2.3:

2.5 Precauciones

• Coloque el nivel arriba sobre los soportes de los hilos metálicos y sobre las masas de los péndulos. Haga los ajustes apropiados.

• La longitud de los soportes que sostienen los hilos metálicos deben ser iguales.

• El resorte no debe quedar deformado al conectarlo entre los hilos y debe estar a nivel.

• Las oscilaciones deben ser pequeñas: Ligeros desplazamientos de sus posiciones de equilibrio.

2.6 Procedimiento

1. Determine la constante elástica del resorte que va a utilizar. Para ello monte el equipo disponible. Con las masas suministradas. Utilice el método estático y el método dinámico.

2. Monte el arreglo ilustrado en la Figura (2.1) El resorte debe ubicarse por debajo de L/2. Procure que las longitudes y las masas de los péndulos sean iguales.

2.7. Análisis

Método estático (Newton y ley de Hook) F = mg  y  F = - k X

Método dinámico (2πf)2 = k / m, f = n /T

Figura 2.4

3. Determine la relación ε = ℓ/L. Donde ℓ es la distancia entre el punto de suspensión y el punto de ubicación del resorte.

4. Para la misma posición haga oscilar los péndulos en fase como se muestra en la Figura (2.2). Tome 30 oscilaciones y determine el período.

5. Para la misma posición haga oscilar los péndulos en contrafase como se muestra en la Figura (2.3). Tome 30 oscilaciones y determine el período.

6. Repita los pasos 4 y 5 para otras 4 posiciones de acople entre el resorte y los Péndulos.

2.7 Análisis

1. Con los datos del numeral 1 haga dos gráficos correspondientes a los métodos estáticos y dinámicos utilizados. De las regresiones lineales pertinentes determine el valor de k y compárelos entre sí.

2. Con los datos experimentales hallados en los numerales 4 y 5 obtenga ω1 y ω2 con sus respectivas incertidumbres. Compárelos con los valores teóricos dados por

las ecuaciones (2.7) y (2.8). Asuma un valor de g para el laboratorio de (978 ± 0,5)cm/s2.

3. Con los valores obtenidos en el paso 6, construya una gráfica de ω22 vs ε2.

4. Determine la ecuación experimental a partir de su gráfico y por comparación con la ecuación (2.8) determine los valores de g y k.

5. Compare el valor de la constante del resorte obtenido en el numeral uno con el valor encontrado en el paso anterior y el valor de g con el valor aceptado.

2.8 Preguntas

1. Explique con los resultados del experimento la existencia de los modos propios de oscilación que se presentan para el sistema péndulos acoplados.

2. Consulte algunas aplicaciones para oscilaciones acopladas.