PDF (Capítulo I)
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Sean X, Y, conjuntos y f: X >• Y. La relación en X "X-vx •<í=*í>f(x) = f(x )", es una relación de equivalencia. Sea p: X > X/'\' (p está bien definida pues X I > ¡jQ x = x^ f(x) = f(xM x=x^ Sea f^: X/'V' > Y (f„ está bien definida pues o o DQ ^ f(x) [x]=Cx^J<}=={>f(x) = f(x^)) Es claro que p es sobre y f es 1-1 Entonces: toda función se puede factorizar como la com- posición de una epiyección con una inyección: ^'^r. P- X —í—>• Y X Ao Además, si f es sobre, f^ es una biyección y se f es 1-1 p es una biyección. Ej: Sea R^ — ^ R TR^ >TR (x.y) I > ^x^+y^ N^2/^o En el caso de que X, Y sean grupos y f homomorfismo: x'V'X^^^=^f(x) = f(xM«=^f(x) [f(xM] ••^=f(xx^"M = ly. Entonces x'>^x < > xx ~ eN(f). T-l
Transcript of PDF (Capítulo I)
Sean X, Y, conjuntos y f: X >• Y. La relación en X
"X-vx •<í=*í>f(x) = f(x ) " , es una relación de equivalencia.
Sea p: X > X/'\' (p está bien definida pues
X I > ¡jQ x = x^ f(x) = f(xM x=x^
Sea f^: X/'V' > Y (f„ está bien definida pues o o
DQ ^ f(x) [x]=Cx^J<}=={>f(x) = f(x^))
Es claro que p es sobre y f es 1-1
Entonces: toda función se puede factorizar como la com
posición de una epiyección con una inyección: ^ ' ^ r . P-
X —í—>• Y
X Ao
Además, si f es sobre, f^ es una biyección y se f es
1-1 p es una biyección.
Ej: Sea R^ — ^ R TR^ >TR
(x.y) I > ^x^+y^ N ^ 2 / ^ o
En el caso de que X, Y sean grupos y f homomorfismo:
x'V'X^^^=^f(x) = f(xM«=^f(x) [f(xM] ••^=f(xx^"M = ly.
Entonces x'>x < > xx ~ eN(f).
T-l
Tengamos en cuenta qun si, en general., X es un grupo y
N<I X, entonces X/N es un grupo, donde: R/N es el co
ciente de X por la relación de equivalencia "congruencia
módulo N" definida por x H y mod N<t=*> xy" cN. La opera
ción en X/N es [x;] C YÜ " C^vj •
Hay que observar que aún si N jno es normal, la relación
X 'V' y <^~^ xy~ eN sigue siendo una relación de equivalen
cia. Lo que no se puede asegurar ahora es que X/N sea
un grupSJ'O bajo la operación l[x'3 [y~] ~ t^Yj • (f e todos mo
dos X/N puede ser un grupo bajo otra operación).
Ej S, = {( ). (12), (13), (23). (123), (132)}
H = {( )> (12)} es un subgrupo de S3
H ^ S3 : (23)(12)(23) = (13) ^ H..
^3/H = { H. (1,3) H, (2,3) H }
3/H no es un grupo bajo la operación C^lCb] = [a^ ,
pero claro está que uno puede forzarlo a ser un gru
po.
Lema: N -¿3 X ->-X/N es un homomorfismo
T-2
Tengamos en cuenta que si, en general , X es un grupo y
N<1X, entonces X/N es un grupo, donde: X/N es el cocien
te de X por la relación de equivalencia "congruencia mó
dulo N" definida por xsy mod N4==^xy~ eN. La operación
en X/N es W [y] = M
Hay que observar que aún si N n£ es normal, la relación
x'^y»=xy~ eN sigue siendo una relación de equivalencia.
Lo que no se puede asegurar ahora es que X/N sea un gru
po bajo la operación [x] [y] = [x)^ . (De todos modos X/N
puede ser un grupo bajo otra operación).
Ej: $3 = {( ), (12). (13), (23), (123), (132)}
H = {( )» (12)} es un subgrupo de S,
H^ÍJS^: (23)(12)(23) = (13)¿H.
S3/H = {H,(1,3)H, (2.3)H}
S3/H no es un grupo bajo la operación [a] [b] = fabj ,
pero claro está que uno puede forzarlo a ser un gru
po.
Lema: N<3X«-»p: X -> X/N es un homomorfismo:
T-2
dm: Si N es un subgrupo normal de X, p es un homo
morfismo por la definición de la operación en X/N.
Si p es un homomorfismo, sea xeX. Entonces:
[xx^ = Cx7 [xj <-=-> xxN = xNxN = xx(x"'Nx)N
N = (x''Nx)N -^r^ x'^Nxc N
Entonces N es un subgrupo normal de X,
Consideremos un homomorfismo f: G ->G^
Tenemos pues que p es un homomorfismo ya que N<^ G
También f^ es un homomorfismo, pues siéndolo p:
^ í C g j C g , - ] ) = fo ( rg^g ,3 ) = g , g , = ^ g ? ^oüg;!
Además si G >G^ es un epimorfismo entonces
G - G/N, y en particular:
T-3
dm: Si N es un subgrupo normal de X, p es un homomor
fismo por la definición de la operación en X/N.
Si p es un homomorfismo, sea xeX. Entonces:
[X.KJ = [x] [x]<=»xxN = xNxN = xx(x"'^Nx)N
=»N = (x"-^Nx)N =^x'-^Nxc:N.
Entonces N es un subgrupo normal de X.
Consideremos un homomorfismo f: G >G 1
• \ / •
->G'
G/ N(h) = h"Mlr)
Tenemos pues que p es un homomorfismo ya que N< G
También f es un homomorfismo, pues siéndolo p:
í'o([gi] [gz) ) = 'e([gig2] )=gig2=fo[g3 fo[g3
Además si G > G es un epimorfismo entonces
G=G/N. y en particular:
1-3
Primer teorema de isomorfismos:
Toda imagen homomórfica es un cociente
G
G
-^ G
-^ h(G)
y-f
G/N
Antes de abordar el segundo teorema de esos tengamos en
cuenta que:
M, N <j G •=¿> MN G:
a ) MN es un s u b g r u p o de G
1 e MN
"iir i i (maHa)~ ^ = m i n j n a ^ m ^ * = m i ( n i n 2 ' )mi 'mm2^=mn
b) MN <3 G
g (mn)g" ' = (gmg"M ( g n g ' M = m'n*
c ) MN = NM: mn ± mnm~'m = n*m (En g e n e r a l : s i MN
subgrupo de G enton
ces MN = NM) .
T-4
Primer teorema de i sornorf i snos :
Toda imagen homomórfica es un cociente
G j] . r ' > tl
G ^ -> h(G)
Pv
G/N
Antes de abordar el segundo teorema de esos tengamos en
cuenta que:
M, N<1G4-=»MN<G:
a) MN es un subgrupo de G
leMN _i _i -1 -1 _i »i
mjnjimjnj) ^mjnjnj mg =mj(nin2 )mj mm2 =mn
b) MN<]G
g(mn)g" =(gmg' )(gng' )=m n
c) MN=NM: mn=mnm~ m=n m (En general: si MN subgrupo
de G entonces M N = N M ) .
T-4
Si H c K c G son subgrupos con 11 <q G, entonces H <3 K
En particualr si H <J G y K subgrupo de G, entonces
H c H K c G y HK/H es el subgrupo de G/H formado por
todos los cogrupos Hhk donde hkelIK. Puesto que
Hhk = Hk, entonces HK/H está formado precisamente por
todos los cogrupos de H con representante en K.
Segundo teorema de isomorfismos
Sean H y K subgrupos de G con H «d G.
HftK<d K y
K ^ HK HAK H
Entonces
Demostración: HK H/IK
h k »- -V kH^K
es un ep imor f ismo con núcleo H
a) Está bien d e f i n i d o :
hk = h»k^ - = > h» ' h = K^K-^e H^K ^ = > K = V (tíf\K) r = >
kH/lK = K»H/)K
b) Es un homomorfismo
T-5
Si HcKcG son subgrupos con H<}G, entonces H-<lK. En parti
cular si H<¡6 y K subgrupo de G, entonces Hc H KcG y
HK/H es el subgrupo de 6/H formado por todos los cogru
pos Hhk donde hkcllk. Puesto que Hhk = Hk, entonces HK/H
está formado precisamente por todos los cogrupos de H
con represetante en K.
Segundo teorema de isomorfismos
Sean H y K subgrupos de G con H<G. Entonces HHK^K y
Demostraci ón HK
hk i
K HHK
f
}
Sí
- >
HK H
> ^ ^ HflK
kH K
es un epimorfismo con núcleo H
a) Está bien definido
-1 hk=h*k^=^h^ h = K'K-*eHnK=»KSKMHnK)—?"kHnK=K^HnK
b) Es un homomorfismo
T-5
f ( h k h H M = f{h(khH."Mt<kM = l<k^/l = kf\ k'f\ =f(hk) f ( h H M
HK H/\K
HK Núcleo de f
c) Que f es sobre es claro.
d) Núcleo de f = {hk| k (HnK) = HAK} = {hk| keH/lK}§ H
Teorema de la correspondencia
Sea K < ^ G y sea 6 B ^ Q / K p ( g ) = C g 3
Entonces p define una correspondencia biunívoca entre
los subgrupos de 6 que contienen a K y los subgrupos
de G/K. Mas aún: a subgrupos normales en G corres
ponden subgrupos normales en G/K, y viceversa:
T-6
f (h k h' k M ^ f {h (k h' k • M k k M = k k n = k n k Vi - f (h k) f (h H M
HK HHK
HK Núcleo de f
c) Que f es sobre es claro.
d) Núcleo de f={hklk(HnK)=HnK}={hk|keHnK}SH
Teorema de la correspondencia
Sea K<G y sea G 2 — ^ Q / K p(g)=[g]
Entonces p define una correspondencia biunívoca entre
los subgrupos de G que contienen a K y los subgrupos de
G/K. Mas aún: a subgrupos normales en G corresponden
subgrupos normales en G/K, y viceversa:
T-6
S <-A K ^
->G = G/K
^ S = S/K
- > { ! )
N «e A G
• ^ N = N/K
G
a) La c o r r e s p o n d e n c i a es 1 - 1
K ¿ 1 S , T ^ G " S = T
s e S ~ > sK = tK •==> s = t K * K ' ^ ^ ; > s e T (KcT)
Entonces S c T. Simétricamente T c: S. Luego
S = T
b) La correspondencia es sobre:
Sea L subgrupo de G/K. Entonces p"*(L) es un
subgrupo de G (que, claro está, contiene a K):
1. = p-'(K) E p-'(L)
gi. ga e p"Ml) •:=> P(gi), p(g2)eL=> p(gi)[p(g2)]"
p(gig¡M c l ^ p gig¡^ e pML)
T-7
S f-
K <r-
N <
G
->G = G/K
-> S = S/K
-> {1}
->• N = N/K A G
a) La correspondencia es 1-1
KcS, TcG"S=T
1 1 seS —^sK=tK==»s = tK K"—í» seT( KcT)
Entonces ScT. Simétricamente TcS. Luego S*T
b) La correspondencia es sobre
Sea L subgrupo de G/K. Entonces p'i(L) es un sub
grupo de G (que, claro está, contiene a K):
lg = p-MK)eP"ML)
gi. g2ep'*(L)-=^p(gi), p(g2)eL*==^p(gi)[p(g2)J'^
P ( g i g 2 M e L = ^ g i g ¡ ep '^(L)
T-7
c) A subgrupos normales en G corresponden subgrupos
normales en G/K:
Si K c N <i G, entonces si g e G gNg~'cN.
Luego jjg"] Ñfg]"^ = (gK)Ñ(gK)"^ = KÑK = KÑ = Ñ (KcN)
Es decir, Ñ < G.
d) Y viceversa:
Si Ñ<3 G entonces si ñ" e Ñ, ^ g \ ñ [g]~^eÑ V[g] e G
Sea nep~*(Ñ). Entonces F = p(n)eÑ. Luego
[g"] ñ" [g]"' e Ñ, es decir, p (g )p(n )f p(g )] " =
p(gng'MEÑ. Por lo tanto
gng"»e p~ ' {ñ ) y p"MÑ)<l G.
Tercer teorema de isomorfismos:
Sean G un grupo y M y N subgrupos normales de G
tales que H <^ Entonces M/N ««g G/N y G/N ,,. M/N ~ ^'^^
dm . Sea N
gN ^
^ M
-í gM
Entonces
T-8
a) h está bien definida:
gi ' 9 2 i^z=>> giN = g2N^f=e> gig¡'eNcM ^=¡^ giM = gaM
b) h es un homomorfismo:
giNgaN = gigzN f *- gigzM = giMgaM
c) El núcleo de h es M/N:
{ gN I gN l ^ M } = { gN | geM } = M/N.
d) Es claro que h es un epimorfismo.
G/N ^ G M/N M
Por a ) , b ) , c) y d)
Sucesiones exactas
Def. Una sucesión exacta de grupos consiste de 3 gru
pos y dos homomorfismos
A > B 3 .> c tales que
f(A) = g"^(lc) = N(g).
T-9
Propiedades elementales
1) gof es la función trivial que escribiremos 1.
2) f es 1 - 1 . ^ = > 1
exacta.
-> A -> B es
3) g es sobre c5==> B
exacta.
•^ C -> 1 es
4) f es 1 - 1 y g es sobre ^: - ^
-> A -í> B -> C • ^ 1
es exacta
Def. Una sucesión exacta corta es una sucesión
-^ A -> B -> C • » 1
Prop. f es 1 - 1 y g es sobre. Además
\ / B/f(A)
T-10
f(A)<i B y B/f(A) - C
Generalizando tenemos:
Def. Sean Aj, , An grupos y fj, , fn ho
momorf i smos ;
Al —Í-L-»A2 —^^^-^A- - An-1 fn-l -?• An
Se llama una sucesión exacta en Ai si
im ff^ i JH: = Ker fi i 'I
Si la sucesión es exacta en todo Ai, decimos que
la sucesión es exacta.
Ej,: 1 •> A ^ AxC > C > 1
li: O
a i > (a , le)
(a, c) * >• c
x2 -> 7 -* Zj
I X Z'2
-> o
ii: 1 -> 23 ^ ^ S3 4.
* Z2 > O
grupo alternante de permutaciones pares
{ ( ), (123), (132) }c S3
T-11
f(A)<B y B/f(A)=^C
Generalizando tenemos:
Def; Sean Ai, , An grupos y fi, , fn homomor-
f ismos;
fl f Al > A2
1 ' 2
-> A, > A3 ^ ' • -> An-1 ""- > An
Ej
Se llama una sucesión exacta en Ai si
im f<_i= Ker fi
Si la sucesión es exacta en todo Ai, decimos que
la sucesión es exacta.
Ej : 1 > A > AxC > C ^ 1
a I — > (a, le)
(a, c) » > c
-> Z —^^^-^ Z ^ Z 2 -> O
ZxZj
Ej: 1 > Z3 > S3 i,
->• Za >• O
grupo alternante de permutaciones pares =
{( ) , (123), (132)}cS,
T-n
í l - -> 23^ I ,
li
Í6
Def; Se dice que la sucesión exacta corta
1 •> A — - — c B — S _ ^ c > 1
Se escinde, si existe s (homomorfismo) de C en B
Tal que gs = Id . (En tal caso s es 1 - 1).
En la categoría de grupos abelianos.
Sean A c. B ^ B/A = C Entonces B-AxC < ^
O =*• A c—^^—> B —^—e» C > O se es-
ci nde.
C->) AxB/A — 2 — > B/A — ^ — i ^ AxB/A
(a. b'^A) S >b" A » •>(0^, b"^A)
ps(b*A) = písíb'^A)) = p(0^,b'*'A) = b*A ps = Id
Es claro que s es un homomorfismo.
T-12
( * = ) Defi namos i: B -* AxC Entonces:
b » • (b - sp(b), p(b))
1) P(b) e C
(b - sp(b)) c f(A) = A (ya que p(b-sp(b) = 0)
2) i es un homomorfismo:
i (0) = O
i (bl + bz) = (bl + b2
= (bl + b2
sp(bi + bz), p(bi + bj))
sp(bi) - sp(b2), p(bi)+p(b2))
3)
= (bl- spíbi), p(bi)) + ( b2 -sp(b2),p(b,))
= i(bi) + i(b2)
i es 1 - 1 :
i(b) = O «»(b - sp(b), p(b)) = O
p(b) = O " sp(b) = b
p(b) = O " s(0) = b
b = O (pues s es un hom.)
4) i es sobre:
Dado (a, b) = (a, b + A) e AxC = AxB/A, existe
b e B tal que i(b) = (a, F):
b = a + s(b + A):
T-13
i(b) = (a + s(b + A) - sp(e) - s(b + A), p(a) • (b -!- A))
= (a - sp(a), p(a) + (b + A))
= (a, b + A) = (a, b) porque: .> 7 '' ' '
P(a) + (b + A) = (a + A) + (b » A) + (b + Ai - b'+ A (aeA)
sp(a) = s(p(a)) - s(n + A) = s(0) = O
NOTA: El teorema es válido para cualquier estructura al
gebraica: módulos, anillos, - - -
Pero, en el caso no abcliano lo anterior no es cierto
-•> Z: ~> S -> Z: ^ 1
lie f/^ { ( ), (123),(132) \{ ( ), (12) }
g(A3) = { ( ) } s(( )) = ( )
g(S3 - A¿) = { (12)}s((12)) = (12)
g(s(( )))= g(( )) = ( ) gos = id
g(s((12))) = g((12)) = (12)
Pero S 3 / Z 3 X Z 2 = Z G (Ze es cíclico y S3 no lo es)
Sean N, Q subgrupos. Los automorfismos de N forman
un grupo. Los automorf i smos interiores de N forman unS'."
T-14
i(b) = (a + s(b+A)-sp{a)-s{b + A) ,p(a) + (b-i-A))
=(a-sp(a), p(a)+(b+A))
=(a, b+A)=(a,F) porque:
p(a)+(b+A)=(a+A)+(b+A)=(o+A)+(b+A)=b+A(atA)
sp(a)=s(p(a))=s(0+A)=s(C)=0
Nota: El teorema es válido para cualquier estructura al
gebraica: módulos, anillos, - - -
Pero, en el caso no abeliano lo anterior no es cier
to:
->1
A3={( ). (123). (132)}. {( ). (12)}
g(A3)={( )} s(( ))=( )
g(S,-A3)={{12)}s((12))=(12)
g(s(( )))=g(( ))=( ) gos = Id
g(s((12)))=g((12))={12)
Pero Ss i ZsxZ = Ze (Zs es cíclico y S3 no lo es)
Sean N. Q subgrupos. Los automorfismos de N forman un grupo
Los automorfismos interiores de N forman un subgrupo
T-14
normal de los automorfismos de N isomorfo a N/7(N)
(ver problema 1.9.5 en Jacobson) (Aut Z ^ Z^)
Sea (j) : Q •^ Aut N un homomorfismo
q y - > (},,
En N X Q definimos la siguiente operación
(n; q) (m, p) = (n<}) (m), qp). Entonces: (g-l) la o-
p e r a c i ó n es c e r r a d a en N x Q
( g - 2 ) ( ( n , q ) ( m , p ) ) ( 1 , r ) = (n(})q(m), qp) ( 1 , r )
= ( ( n ( | > q { m ) ) ( ( í ) ^ p ( l ) ) , ^ q p r ) = (n(í.q(m)(})q ((f)p(l ) ) , q p r )
( n , q )^m, p ) ( l , r ) ) = ( n , q) (me») ( 1 ) , p r )
= (n( | )q(m(})p( l ) ) , q p r ) = (n(f)q(m)(},q ((¡)p(l ) ) , q p r )
( g - 3 ) ( n . q ) ( l N . I Q ) = (n(}>j^(lN). q l q ) = ( n , q ) = ( I^ . I g ) (n , q )
_ i 1 1 1 1 1
( g - 4 ) ( n , q)((í'q ( n ' ) , q ) = (nc^qO(^q (n ) , qq" ) = ( 1 , 1)
1 1 1 1 1 1
(«{•q (n" ) , q" ) ( n , q) = (cj," ( n ' ) 4) i ( n ) , q" q)
(4>q ( 1 ) . 1) = ( 1 . 1)
T-15
(Además se t i ene que N<7NX^Q " NX^Q/N = Q) 9 9
Resumen: NxQ es un grupo bajo la operación
(n, q)(m, p) = {n<}) (m), qp). Dicho grupo se
denota por NX.Q
N x ^ d ) - N < N x ^ Q : ( p , q ) ( n , l ) ( p , q )" * = ( p<í.q (n ) p " ' , 1) eNx^{ 1}
Identificando (1, q) (n, 1) (1, q ) " = cj cj" = <}, (n)
->N ^ • ^ P TT
->Gc -^1 es exacta
n •- ->(n, 1)
(n, q)»- - q
La sucesión se escinde si y solamente si P = ^ ^ A , ^ •
{ < ^ ) Basta definir s(q) = (1, (\) _ 1
( =^) Definimos <f>q(n) = s(q) f(n) (s(c|))" (*)(un au-
tomorfismo de N pues N ^ f(N)-<iP). Así definida Í)) .
<{> : Q -V Aut N es un homomorfismo.
q - • ^ ^ .
Sea ahora i -^ Nx.Q 4»
P ^ -•>(p.STTp' , Tr(p))
(*) Piénsese en la conveniencia de esta definición aparentemente artificial.
T-2 6
Entonces i es un isomorfismo
1) i está bien definida: irpcQ y psTT(p" )eN pues _ 1 _ 1 _ 1
iT(pS7r(p ))= IT(P) ITSIT(P ) = IT(P)'!T(P ) = 1 (iTS = id)
ii) i es 1 - 1
i(p) = 1 =í>7r(p) = 1 - p.STr(p"') = 1 :=>T7(p-') = 1 -
=>p.s(l) = 1 •=> p = 1
iii) i es sobre: (recuérdese que por ser la sucesión
exacta:
f(N) = KerTT P TT 1)
Sea (n, q)eNx<j)Q. Veamos que p = n,s(q) se aplica
por i sobre (n, q):
1 l(n.sq) = (n.(sq)(sTrsq" )(siTn' ), (TTn)(Trsq))
1 _i
(n(sq)(sq) (sirn) , (un) q)
= (n(sTrn)" , {Trn)q)
= (n» q) ya que n e N = Ker TT y por lo
T-17
t a n t o frn = 1 .
iV) i es un homomorfismo:
i ( l ) = ( 1 . 1) = 1
i ( m i m 2 ) = (mim2STT(mim2)' , T^im^mz)}
_ 1 _ I = (mim2(s7rm2) ( s i r m í ) , ( i rmí) (irmz ) )
_ 1 _ 1 i ( m i ) l ( m 2 ) = ( m i ( s i T m i ) ~ , u m i ) (m2 (sTrm2 ) , 7rm2)
_ 1 _ 1 ( m i ( s 7 r m i ) (j)Ttmi (mz (sirma ) ' , ( i rmí) (Trm2))
_ 1 _ 1 _ 1 ( m i ( s i r m j ) " (sirmí ) f (m2 ( s i i m z ) " ) ( s i r m í ) ~ , ( u m j ) (TTm2 ) )
= (mim2 (s i rm2)~ ( s u m í ) " . ( i rmí) (TTm2 ) )
NOTA 1
Sabemos pues que en la cat. de los grupos, si N <} P, la
sucesión
1 => N ^ P V Q -> 1
T-iS
se escinde si y solo si P =: Nx^Q
NOTA 2
En particular sabemos que en la categoría de grupos abe
lianos la sucesión
O -> A -> B > B/A > O
se escinde si y solo si B ^ AxB/A (Asubgrupo de B)
Lo que nos inclina a preguntar: en la categoría de grupos,
¿ qué clase de grupos Q hacen que V p la sucesión si
guiente se escinda ?
(1 > Ker (p) ^ -> ) G
obligado, salvo isomorfismos
•^ Q -> 1
(A dichos grupos los llamaremos grupos 1 ibres)
E j : En la categoría de grupos abelianos todo epimorfis
mo sobre 2 se escinde:
(A tiene elementos de orden infinito pues de lo contrario
T-19
no existiría ningún epimorfismo sobre Z .
Definamos s(l) = a é p" (1). Entonces s es una escisión
Además se tiene:
-> B -> A -»i
B <5 2 (I
B X Z
-> Z -> O
Lo dicho demuestra que Z es libre abeliano.
Pero 2 (J) también es libre no abeliano:
Ej: Todo epimorfismo sobre J
se escinde:
_ 2 _ 1 o 1 2 t _ _ _ X . X . X . X , X ,
-> J
s t a l que s ( l = x°) = a e p ' (x® = 1)
Se t i e n e entonces:
- ^ N • ^ G
NxpJ
- » • J -> 1
ii: 2 -> I' no se e s c i n d e :
T-20
S(l) = a ^=i>S(l + 1) = S(0) 2a -=%> a
Una manera que se manifestará equivalente de mirar el mis
mo asunto es la siguiente:
Ej: Sean V, W espacios vectoriales y 6 una base de V.
Entonces ¿f(V > W) <f >{f|f : 3 W} :
Def. En la categoría de grupos
Se dice que F es "LIBRE" con base X c. F si pa
ra todo grupo G y toda función f: X > G,
existe un único homomorfismo 7 : F G
tal que T \ x = f :
Ej: Todo espacio vectorial es "LIBRE" con base cualquier
base del espacio
T-21
ii: Z (J) es LIBRE con base {1} ({X })
Ahora la equivalencia entre los conceptos:
Un grupo F es "LIBRE" si y solo si todo epimorfismo
sobre F se escinde; es decir, un grupo es "LIBRE" si y
solamente si es libre.
Lema 1 Si F y F' son grupos libre con base X en-1
tonces F =í F :
F Jl£5_ p
VI ^
X
í F' F'
X 01
- F
:]
por la unicidad (*)
hog = Id
~ >
hog(F) = F " hog|x = Idx
(*)goh(F')= F'" gohlx = I d x J ' goh = Id
NOTA: Podemos entonces hablar de éj_ grupo
libre con base X
Lema 2. X genera a F (F grupo libre con base X) :
Sea 6 el subgrupo generado por X. Entonces
6 es libre con base X :
'T H (como f es único, su res
tricción a G es también
ú n i c a ) .
T-22
Luego, por el lema 1, G = F
COROLARIO : X existe el grupo libre con base X.
Demostración de la equivalencia de concepto de libertad
a) Si un grupo F es LIBRE, todo epimorfismo sobre
F se escinde:
-^ F
Ui
-> 1
X = {x„}
Sea g„ep" (X^) (ax. de elección). Sea s(X^) = g^
Entonces s es claramente un homeomorfismo y
ps(X„) = p(g„) = X„
b) Si todo epimofirmismo sobre un grupo F se escinde,
entonces F es un grupo LIBRE (omitimos la demos
tración) .
T-23
PRODUCTO
Def. Sean A y B dos objetos de una categoría. Un pro
ducto de A por B consta de un objeto P y dos
funciones py; y Pg tales que dado cualquier ob
jeto C y dos funciones f y g, existe una única
función h tal que el diagrama que sigue conmuta:
Ej: Sean A, B dos objetos de la cat. de los grupos,
(no de anillos de integridad, por ejemplo). Enton
ces A X B es un producto:
A x B
p. y Pg las proyecciones canónicas, h(c) = (f(c),g(c))
T-24
h es única por la def. de igualdad en A x B.
COPRODUCTO
Def. Refrasear la def. de producto pero invirtiendo el
sentido de todas las flechas del diagrama.
Ej: En la categoría de los conjuntos la "unión ajena"
es un coproducto:
X v; Y
h(t) f(t) si t e X
g(t) si t e Y
Ej: En la categoría de grupos abelianos A x B es co
producto :
(o, b)
Unicidad
^ ( ^ ' ' ^ - ' ^ ' ^ ' Obligado h(0, b) = f(b)
h(a. b) = f(a) + f(b)
h(a, b) = f(a) + g(b)
h((a,b) + (a\b')) = h(a+a\b+b') = f(a + a')+g(b + b ) = f(a) + f(a ) +
Ej: En la categoría de grupos
T-26
ZG
II
Zz X Z3
^
ZfxJZz
NOTA: Zn : grupo cíclico de orden n
Z n = l i n i
-> nZ -*• Z - ^ Zn -> O
2: • - ^ ^ Z -> Zn - O
( r» 7 ) / \ / - » u n i d a d y generador de Z 2 X Z 3 = Z 6
(T , 0) -t (O, T)
Z j X Z3
I I I
( 1 2 ) ( 1 2 3 )
Z» T
T-27
ZsX^Z^ - Ss
Z^X.Zs = Z2XZ3 "2 (j)
NOTAS: Z2XZ3 = {(0,0),(0,T), (0,2).(T,ñ),(T,T),(1,2)}
Z2xZ3=Zc={(o,o),(T,T).(o,2),(i.ñ),(o,T),(T,2)}=<{(T,T)}>
S3 = <{ (1, 2), (123) }>
Z3 = { ( ), (123), (132) } = grupo alternante de
permutaciones pares
Z2 = { ( ), (12)Z3}
ZjX^Z^ = S3 ; Z^X^Zs = Z2XZ3 = Zg
Si existiera h se debería tener:
h(T.T) = h ((T,Ü) + (ir,T)) = (12)(123) Pero (12) (123 ) JÍ (123) (12) /
h(T,T) = h ((0,T) + (T,0)) = (123)(12)
Producto (r coproducto) de una familia de objetos de una
categoría.
T-28
Def; Si (Aa)«el es una familia de objetos de una cati
goría, un producto TT A ^ consta de un objeto <=el
P = TT A^ y de una familia de funciones «el
(p„)a: ^ tales que para cualquier objeto C y
cualquier familia (f° )a ^ de funciones, existe
una única función h tal que el siguiente diagra
ma conmuta (en el sentido de que
(Y«el) (p h = f„):
Ej: El producto cartesiano en la categoría de los con
juntos
P = TT A^ = { (a^)„el | a„cA„ }
T-29
A,
P3((a„)) = a 6
1^ h(c) = (f^(c)) / — ^
P3(h(c)) = P3((fjc)))= f ^ i c )
Ej: En la categoría de los grupos de torsión (todo elemento
tiene orden finito):
TT Z n ^ P = { (an) | ane Zn " (an) tiene orden
cartesiano ^^.^.^^ j
h (en la cat. de grupos)
Pero h(c) tiene orden finito. Entonces h(c)cP,
P es pues un producto en la cat. de grupos de tor
sión.
T-30
Coproducto
Ej: En la cat. de grupos (abelianos o no) si I es
infinito, riAcc no es un coproducto como se verá «el
mas tarde, (es decir, no es la suma directa).
Ej: En la cat. de grupos abelianos: (S = suma directa)
Im(ÍA) Im (ig) generan S:
Si T es el subgrupo de S generado por A y B
(¿., ¿p se puede pensar como inclusiones), enton
ces: Si el diagrama de la derecha conmuta,
t = ai bl a2 b2_ _ _ a ^ b^
h(t) = f(ai) g (bl) f(aj g (bJ
Por lo tanto h|T es única. Luego S = T
T-31
Ej: Pero en el caso infinito no es cierto:
A3 c A ^ ^^^
a. ^ 6
-^ (O, O, . _ _ , 83, O, O,
Un conjunto (finito) de generadores no genera
TTAoc, por ejemplo no genera a (1, 1, 1, _ _, 1,_ _ .
Coproducto en la categoría no abeliana, (también llamado
producto libre (A * B)).
El siguiente se llama el conjunto de las sucesiones alter
nas de elementos ?* 1, y consta de 5 tipos de sucesiones
{ aibia2b2 - - - anbn;
biaib2a2 _ _ _ bmam;
aibi _ _ > ap_ibp_iap;
b i a i « _ _ bQ_,a(j_ibq;
( ) = sucesión vacía }
cada elemento de A * B tie
ne una única representación
(reducida) que pertenece a
uno solo de estos tipos de
sucesión.
Definamos un producto en este conjunto así:
Se yustaponen las dos sucesiones que se han de multipli
car (en su orden). Si dos aes quedan yuxtapuestas se
T-32
multiplican en A; si el resultado de este producto en
A es 1/ , se ignora este elemento quedando yuxtapues
tas dos bees que se multiplican en B, ignorando el re
sultado ID si se da; _ etc
Este es un producto cuya asociatividad es de engorrosa
demostración. Este producto no es conmutativo aunque
A y B sean conmutativos. (ab j* ba por la unicidad de
la representación).
Ejemplo: Z * Z^ tiene orden infinito. En general to
do producto libre tiene orden infinito por la
unicidad de la representación:
ab i (ab)^ i (ab)' i . . .
Este producto * satisface las condiciones para ser co
producto
T-33
¿BÍb)
ígd)
(a)
( )
(b)
( )
= aaa
= bbb .
si
Sl
(Notemos que h debe cumplir h((a))=f(a), h(0) = 1
h((b))=g(b). Además
h(aibi _ _ _ anbn)=TT f(ai)g(bi) y lo análogo para
los otros tipos de sucesiones. Estas condiciones
efectivamente definen a h como un homomorfismo;
(único) si con estas condiciones está bien defini
da. Y lo está, pues si aibi _ _ _ anbn = ( ),
(a.j o b- pueden ser l's, con
lo que aquí caben los 5 tipos
de sucesiones alternadas)
entonces
f(ai) f(bi) _ f(an)f(bn) = 1
Luego h esta bien definida.
(Análogamente se define el producto libre infinito).
(peA*B=í>h(pp') = h( ) como h( )=1 (único), h(p) es único)
Propiedades elementales del producto libre son:
A * B = B * A
(A * B) * C = A * (B * C)
A * 1 = A
T-34
Ejs: Observemos el producto libre de Z- (generado por 2 2
a, a = 1 ) por Z (generado por b, b = 1):
{( ); (ab)"; (ab)'"a; b(ab)P; b(ab)'^b}
m, n, p, q e 2.
(ab) es de orden infinito;
a(ab)"a = (ab)""
b(ab)"b = (ab)""
aba(ab)"aba = (ab)""
(ab)" = ba
El subgrupo generado por (ab) es isomorfo a Z, es
normal y Z -* Z /<(ab)> = Z , es decir.
-^ Z -> z^ * z^ <(ab)>
es una sucesión exacta
-> 1
Definamos p : (ab)" t-
(ab)'"a h
b(ab)^b -
-> (aa)" = 1
m. -> (aa)'"a = a
b(ab)^ I > a(aa)P = a
->- a(aa)^a= 1
p es un epimorfismo y su núcleo son los elementos de
T~35
longitud par, es decir, los enteros, pues
(abab _ _ _ ab)' = (baba _ _ _ ba)
CFR. MASSEY
En la categoría de grupos abelianos tenemos:
Sea X = {Xoc}. Sea la. el grupo abe l iano c í c l i c o i n f i
n i t o generado por X^ : {nXcc|neZ}. Entonces < Zcc es
un grupo l i b r e con base X:
® Z, - ^ A
Sea (f(x„,) = f(0,0.
' Entonces
. X«, 0. , 0) = f(Xc.)
n i ncciX„.)= í' n„. f (Xo:,.) = I n„. f (X„.)
Por la manera como fué definida, 7 es el único homomor
fismo de ® Zoc en A tal que f | x = f.
Sea X = {Xa}. Sea J„ = {X^ \x\ e Z} el grupo cíclico
T-36
infinito generado por Xoc. Entonces, en la categoría de
grupos, * Zoc es un grupo libre con base X.
-^ G
X ={X„}
n n. Sea f ( n X "" ) = n rf(X«jl ' . Entonces f es el
i= 1 i i= L T J
único homomorfismo de * JJ -> G tal que f | x = f
Nótese que f es el mismo homomorfismo que define a * J
como un coproducto, si se toma f^ así:
f3(X3) = [f(X3)]
Entonces f está bien definida como ya se vió
T-37
Proposición. Dado un grupo G, existe un grupo libre
F y un epimorfismo de F e.*- G.
Dm. Sea X un conjunto de generadores de G y sea F
el grupo libre con base en X.
Entonces existe un homomorfismo h de F > G
-> G
Como los generadores de G están en la imagen de
h. h es un epimorfismo.
Veremos más adelante el teorema de Ni elsen-Schreier
todo subgrupo de un grupo libre es libre. Entonces
todo grupo G es el cuoc. de un grupo libre F
por un subgrupo (libre) de F, Ker h.
T-38
TOPOLOGÍA ALGEBRAICA
NOTAS INICIALES
1) Continuo es un conjunto conexo y compacto.
2) Si X es un espacio métrico compacto, todo recubri
miento abierto tiene un número de Lebesgue.
I
3) Un arco en X es una función continua de To, ij en
X.
4) La reunión de dos espacios conexos por arcos no dis
juntos es un espacio conexo por arcos.
5) {Sen 1/x} [) {(O, y)} es conexo pero no es conexo por
arcos.
6) Una función reparametrizante es una función continua
(|> : I ^ I tal que 4>(0) = O y <^{1) = 1
7) Los siguientes arcos no son el mismo arco, aunque sus
imágenes sean la misma curva:
T-39
¿ - {0 ) ; I C - {0}
t \- Tri t t t- zPAiri t
Objeto de nuestro e s t u d i o :
Sea X conexo por arcos y Xo, Xi eX. Estudiaremos
C(X, Xo, X l ) = { r : I -> X | r ( n ) = Xo, rci)= ( X i ) , r c o n t . }
C(X, Xo, Xl) f (í> pues X es conexo por arcos.
r e C y <|) : I > I una reparametrización — ^ r ^ e C .
E j : Si X = A \/B donde A y B son conexos por arcos
y A B )< ({), entonces X es conexo por arcos:
Dm. Sean X Q , X I e X. Debemos demostrar que
C(X, X Q , Xl) ^ (J>.
Caso 1 Xo, XieA (o B ) = r ^ ({> C(A, X Q , X i ) < ^ C ( X , XoXj)
T-40
Caso 2 XocA y XicB (o v i c e v e r s a )
Sea y E AflB. Sean re C(A, X Q , y ) y
á e C ( B , y , X i )
S e a CC : i > x
t ^ T(2 t ) ^ t i V ^
(^(2t - 1)^ t l V ^
Entoces « e C(X, XQ, Xi). (ver lema)
Lema: Sea X un esp. top. tal que AVB = X (A, B cerrados).
Sean f : A > Y, g: ^ Y (Y otro esp. top.)
funciones conts. tales que f|(AoB) = gí/ /\B. Enton
ces la función h : X > Y def. por
h(x) = [ f(x) si xeA es cont.
g(x) si xeB
En general tenemos la aplicación
C(X, Xo, Xl) X C(X, Xl, X2) 1> C(X, Xo, X2)
(« . B) í ^ r = « * B
r(t) = \ «(2t) , t < V 2
6(2t-l) , t > V 2
; * no es siquiera
asociativa.
En el caso particular Xi = XQ = X2. notaremos
C(X, X Q ) = C(X.Xo, X Q ) .
T-41
En C(X, Xo) » * es una operación.
Def. Dadas «, 3 e C(X, x^, x, ) decimos que « y 3
son homotópicas (relativamente a {O, 1} ) si e-
xiste una función F : I x l > X (que nota
remos F : ecv g) tal que F|Ix{o} =« F({0}xl) =Xo
F|lx{l} = F({l}xl) =X,
La relación « "o B,;±=:^«<y 3 son homótopicas
(con reí. a {O, 1}) es una relación de equivalen
cia:
1 ) « e C ( X , X o , X i ) , ='v,oc :
F : I X I > I es tal que F : «'-a ,
(X. y) \ > «(x)
comprobar fácilmente.
2) V « . 3 e C(X, Xo, Xl) , «c'\.3 =5? 3' «
Sea F: «'v.B. Entonces G : Ixl — =^ X es t.q:
(xjy) f ^ - ^ F(x,l-y)
G(x. 0) = F(x, 1) = 3(x) G(0. y) = F(0,l-y) = Xo
G(x, 1) = F(x,0) = «(x) G{1, y) = F(l,l-y) = Xi
T-42
Entonces G : 3 ' «. Luego 3 ' «
3) -V'=. B, r e C(X,Xo,Xi) , «'v 3 y B'^ r=í> < ^ r :
Si F : « ' \ ^ 3 y G : 3'^r, entonces:
6
Debemos construir H.t.q
Sea H: Ixl -^ I Entonces
(x,y) » - ^ \ F(x,2y) Si O < y < V 2
G(x,2y-1) Si V 2 < y < 1
H(0,y) = F(0.y)=G(0,y) = Xo H(x ,0) = F(x,0)=«(x)
H(l,y) = F(l,y) = G(l,y) = Xi H(x, 1 )=G(x,l) = r(x)
Notación: \j=^'J = clase de homotopía de
C(X,Xo »Xi)
iT,( X . x o, X1) = C (X , X o, X1) /'v
en
La aplicación C(X ,Xo ,Xi )xC(X ,Xi ,X2 ) —•>C(X,Xo.X2)
induce la fción TT (X ,Xo ,Xi )XIT(X ,Xi ,X2 ) — > (X,Xo»X2)
(en otras palabras, * preserva clases de equival.,
es decir, a '\. oc' y 3 'v. 3' 1 ^ « •* 3 = «' * 3'.
T-43
Sean F: « 'x « ' y G: 3 ' 3 ' . Entonces
H: I x l •> X
( t , s ) • -> \ F ( 2 t , s ) S i O l t < V 2
G ( 2 t - l , s ) Si V2 < t < 1
Es claro que H es continua. Ahora bien:
('F(2t,0)=«(2t) Si t < V2¡ H(tí)=\ f=(cc*B)(t)
(G(2t-l,0) = 3(2t-l) Si t >V2
H(t,l):
'F(2t,l) =«(2t)
G(2t-l,l)= 3' (2t-l)
=(-'*3')(t)
H(0,s) = F(0,s) = Xo
H(l,s) = G{l,s) = X2
Luego H: o c - * 3 ' ^ ' « ' * 3
Corolario. * induce una operación en
Tfj (X, X o )
T-44
Lema:
-^ ( I , O, 1) una r e p a r a m e t r i z a -Sea (}): (I, O, 1) -
ción. Entonces V'' E C(X, x., , x, ) , ec % oc(t, .
Dm,
Sea F(t, s) = «((1 - s)t + S(!)(t)). combinación lineal
convexa. Puede comprobarse que F: « '\' «(¡).
Def; H* = (I, O, 1) -> (I, O, 0) se llama una pseu-
doreparametrización
parametr. ^pseudore-parametr,
Notación. En 7r,(X, x ) , e = "[cj "I con ^^ (t) = X,
Lema Y «e C(X, Xo), e % « «i» (y pseudoreparametri za-X o
ción)
T-45
Dm. F(t, s) = «((1 - s)0 + s -ít))
F(t, 0) = cc(o) = Xo
F(t, 1) = «(H'(t)) = °c4'(t)
F(o, s) = cc(O) = Xo
F(l, s) = «(0) = Xo
= -(s^'(t))
Teorema: Tri(X, Xo) es un grupo bajo la operación indu
cida por -*-.
1) Asociatividad. (« -* 3) * r '\' « * (3 * r):
^ ( cc*3) /2 t ) . r ( 2 t - l ) ^ ^<x(2t) ( 3 * r ) j 2 t - l ) ^
« 3 3 r
( 4 t ) t < V " Í B ( 4 t - 2 ) / / 2 < t<VH
(oc*3)(2 t ) = ;) 3 * r ( 2 t - l ) = ,
3 ( 4 t - l ) t > V"* r ( 4 t - 3 ) j V ' » < t l 1
'oc(4t) , o<t<V'» r*'(2t) , n i t iVz
( = * 3 ) * r ( t ) = ) 3 ( 4 t - l ) , V ' . i t < V 2 « * ( 3 * r ) ( t ) = \ 3 ( 4 t - 2 ) V 2 < ^ t < V ' .
r ( 2 t - l ) j V 2 < t < 1 r ( 4 t - 3 ) . V ' ' < t < l
T-46
F ( t , s ) = 3 ( 4 t - s - l )
s-f 1 O £ t £ —T— es t a l que
s ± i < t < s + 2 4 - ^ - 4
, ( 4 t . | ± | ) l í l < t < 1 V.
2-s ^ s-2^ 4
F ( t , 0 ) = (ce * B) * r F ( 0 , s ) = Xo
F ( t , l ) = « * ( 3 * r ) F ( l , s ) = Xo
Luego (oc * 3) * r % = * ( 3 * r )
2) e = r e 1 es el elemento neutro de TTI(X, X O ) ; e s to
e s : ' * e^ " Xo
« e TTi ( X . X e ) .
e s : c c ^ ^ e ' \ , o c , e ^ ^ o c / v a , p a r a t o d o X o X o
«*e ^ Xo —
( 2 t ) O < t < V 2 ( « ( 2 t ) , O < t 1 V 2
V 2 I t < 1 (^ « ( 1 ) / / 2 1 t < 1
T-47
Entonces « * e = « ( { i ' ^ ' ^ en donde (f; e s l a r r ? -X o
p a r a m e t r i z a c i ó n ;
4)(t) = f 2t O < t < V 2
1 Va < t < 1
De manera análoga e * « 'v oc, Xo
3) El elemento inverso de « e C(X, Xo) es 3: I *• X
t \ i>«(l-t);
es decir, « * 3 ' ^ e ^ y 3 * « ' ^ e „ X o X o
^cc(2t) t < Va r-(2t) t < V;
^*3(t)
3(2t-l) t > V 2
Entonces
V, cc(2-2t) t > V 2
a*3 = «<|) en donde 4) es la pseudoreparametri zaci ón:
«í>(t)
2t Si O < t < V ;
2-2t Si V 2 < t < 1
Entonces, por el lema « * 3 ' e Xo
Análogamente se tiene 3 * ce '\, e Xo
T-48
Observación: Los siguientes problemas pueden ser temas
de estudio:
-^ Tfl (X,Xo ,Xi ) ITl (X,Xo) X TTi (X,Xo,Xi )
TTi (X,Xo ,Xi) X 7ri(X,Xi )
En un contexto mas general que el ya estudiado se tiene
- > TT 1 ( X , X o , X 1 )
1 ) e „ * o: '^ CC Xo
2 ) ( r * S ) * « -^ r * ( S * <==)
i r i ( X , X o . X i ) X i T i ( X , X i ) > • i T i ( X , X o ) Xo Xi
( r , « ) -_ 1
-> r * 0 * r
( TTl ( X , X o , X l ) •^—> TTl ( X , X i , X o ) )
He ahí un problema relacionado con automorfismos in
teriores, así como con acciones sobre un grupo.
De ahora en adelante utilizaremos por lo general las le
tras del alfabeto latino para designar caminos y las le
tras del alfabeto griego para designar clases de homoto
pía de caminos.
T-49
Prop
Sea X un esp. conexo por arcos y Xo, Xi e X.
Sea r =tgl e ITI(X, Xi, X Q ) . Entonces r define un
isomorfismo de iri(X, Xo) sobre TTJÍX, Xi) así:
r * : TTi(X, X o ) •-- •iTj(X, X i )
lal = « \ ¡ \^g*a*?] .
a) r* está bien definido: rg*a*g^lc TTI(X, Xi) y además
a ' a'r=p- g*a*g" = g-<ta'*?. más aún:
g 'x. g'-, - ?*q e..'\ ?*g''x ?'*g ' -^ ?*g ' *?''^?'*g ' *?'-=:ÍC^
g 'V g"' . Entonces se tiene:
g '^ g'-=^> g*a*g" 'v g'*a*g'' .
(NOTA: r* solo depende de la clase r).
b) r* es un homomorfismo:
r* («* 3) = \g *a *b*g"J = [g* a*g'*g* b-*:gj
-.[g*a*g']*\_g*b*gj= r*(«)*r*(3).
(^*^[^P~-t*e,^*?l = [g*g>[e/])
T-50
_ 1 .-_ -1 - 1
c) Si definimos (r*) lbl=Yg*b*gj entonces (r*) es in
versa de r*:
1 1 _ , r _ _ •)
(r*) (r*(«)) = (r*) ([g*a*g J)=[ g*g*a*g*g| = [a] = ce
r*(r*" (3)) = r*([g*b*g])= ^g*g*b*g*i' J = \ h ] = 3
(NOTA: todo lo anterior es posible gracias a las propie
dades de la operación "*" y en especial a su asociativi
dad).
Ejemplo: ( V T e ÍK') ( T T I ( 1 R \ T) = 1 = ITI( )R', 0)):
Si \;g]e TTiCií^', " )» F ( t , s ) = ( l - s ) g ( t ) es t a l
que F : g " e_ . Entonces fg " ! = I e_']
Por lo t an to ^ iC f i ^ » o) = ^ e j ] , = 1
NOTA: Si r, TI e 'rri(X, Xi, Xo) entonces se obtienen
dos isomorfismos r*, n*: ITI(X,XO) '•fri (X ,Xi) .
¿ Cómo difieren r* y x]* ? :
Sean r=[g], i= [ h]] . Entonces, si cc£-^j(x, X o ) ,
\(n*)" o r*j (cc)=(n*)" ^*a*g1=|_F*g*a*g*hJ
=1(F*g)*a*(F*g)" j
í NTv'HRSLDAD NACIONAL T_51 '^!^^f-'<'TECA CENTRAL
TTl es un functor:
Sea f: (X, Xo) » (Y, yo) una fción continua tal
que f(xo) = yo y definamos Tr(f) = fy, así:
f* : Tri(X, Xo) Tri(Y, yo)
« = [_ a3 ' 1>- jfoal.
Entonces f^ es un homomorfismo
(Por consiguiente ir es un functor que envía espacios cone
xos por arcos a grupos y funciones continuas a homomorfismos)
(X. Xo)
(Y, yo)
TTl (X, Xo)
0/ TT,(Y, yo)
a) f^ está bien definido: Es claro que foaeC(Y, yo)
Veamos que f*(*=) no depende de a e lal = «::
a' -=3> foF fo^'V' ^ 0 ^ ' ' F : a,
F(o,s) = F(l,s)=Xfl=s>foF(0,s) = foF(l, s) = f{xo)
F(t.o)=a(t) r -. fí»F(t, o) = f(a(t)) = foa(t)
F(t,l)=a'{t) foF(t,l) = f(a'(t))= foa'(t).
= yo
T-52
b) f* es un homomorfismo
Por definición de "*"
fo (a*b)= fo [ a(2t) Si t<V2
b(2t-l) Si t>V2
(foa)(2t) Si t<V2
(fob)(2t-l) Si t>V2 (foa)*(fob)
Entonces:
f*( [.a3*[bl) = f*([a*b^) = f«(a*b) = (foa) * (fob)
= (f*tal) * (f* [bl).
Para que -rr sea un functor se debe cunplir además
c) (fog)* = f*Og*, es decir (fog)oa = fo(goa) y
d) Id* = Id.
Es claro que c) y d) se cumplen.
Pro pos ición:
T-53
En conclusión, TT es un functor que envía espacios to-
pológicos y funciones continuas en grupos y homomorfis
mos .
->Y Def; Sean f,g fciones conts, de X -
Decimos que f ,^ g (f homotópica a g)
existe F : Xx I *• Y tal que
F(x, o) = f(x) y F(x, 1) = g(x)
(F continua, I = [.o, l ] ) .
Sl
Def. Sea A _ X y F como en la anterior definición
Decimos que f ' o (reí. A) si f|A = g|A y
mas aún, F(a, t) = f(a) = g(a) Y*^^ ^ VacA.
Ej; Si A = <[), la segunda definición se reduce a
la primera
ii: X = I, A = {O, 1} es la homotopía de caminos
T-54
Lema. Si f '^g ( r e í ( x o ) ) en tonces
f*= g*: TTl(X, X o ) > T T l ( Y , f ( X o ) )
r
Como f*(CaJ) y g*(Ca]) son respectivamente
[foaj y £goa] , lo que dice el lema es que fca- -goa. Es
to es claro puesto que F(xo, s) = f(xo) = g(xo) y enton
ces :
H(t. s) = F(a(t). s) es tal que
H{o, s) = F(a(o), s) = F(xo, s) = f(xo) = yo
H(l, s) = F(a(l), s) = F(xo, s) = = yo
H(t, o) = F(a(t). o) = f(a(t)) = foa(t)
H(t. 1) = F(a(t), 1) = g(a(t)) = goa(t)
El anterior problema se puede generalizar: ¿Qué sucede
cuando f ' g (no necesariamente relativo a (xo)) y
cuando, como antes, f(xo) = g(xo) = yo ?
T-55
Sea a(s) : I
S i-
-> Y
-í? a(s) = F(xo, s)
Entonces a es continua pues a = F|{xo}x I
Además a(o) = F(xo, o) = f(xo) = yo= g(xo ) = F{xo, 1 )= o(l)
Luego a e C(Y, yo) y la relación entre f*y g*
viene dada ahora por conjugación por a:
Si G(t,s) = F(a(t). s), entonces
G(t.o) = foa(t)
G(t,l) = goa(t)
G(o,s) = F(xo ,s) = a{s)
G(l,s) = F(xo,s) = a(s)
Podemos entonces obtener H : foa ' a*goa*a así
T-5b
^ I ^-^ ^ ''y
^ -
\e<\
H : foa 'X' a * goa-í o , es dec i r ,
f*(cc) = f * ( | :a ] ) = [ f o a ] =
= í a*goa*aJ = = L (J ] *g* [a ] * [F ] = [al*g*(c^)*f^a J
o, más informalmente, f*(°^) = ag*(ce) F
Lo dicho puede precisarse mas:
€"< f^*cv*g^
^>
í- g,>^»0»«g'
^ '
ÜíAw 4 . U
J: I d e n t i f i caciones
T-57
X es el homeomorfismo
X(x, y) =
Za. w2 Vx''+ y (x. y) Si |x|> |ylj« O
2—rr2-Vx'' y (x, y) Si !x|< |y|
Si X = y = O
y Ip' es
TT r(- - — ) Si f l e < f
r (re) =
r( ^ )
r e
r(30 - Tr)
Si — ^1 4
Si — ^1 4
_ , TT Sl 4
i e < ^
l e i ^
< e < ^ — — 4
Puesto que las partes contiguas del dominio se inter
sectan en cerrados y las restricciones son todas con
tinuas y coinciden en las intersecciones, ^ ' es con
tinua. Existe pues i) = X ' ^ o i i * o \
Proposición: Sean Pi: XxY >X y p2: XxY -> Y
T-58
las proyecciones canónicas. Entonces el homomorfis
mo Pi*xp2* : TTl (XxY, (xo ,yo)) « TTi(X,Xo )xiT2(Y,yo)
es un isomorfismo:
a) Sean [^c^ c TTI (X ,xo )XTTI (Y ,y o ) . Entonces [ c~l =
( t a l , £ b] ) donde faJcTTi (X ,Xo) y [ b ] ETTI (Y ,y o ) . Por
l o tan to [a'Jx [b] cTTi (XxY, ( xo , y o ) ) y se cumplo que
P i *xp2* (Ca]x [b3) = ( [ a ] , [b- ] ) = l e ]
Luego Pi*xp2* es epiyectivo.
b) Sea [ d c Núcleo de Pi*xp2*. Entonces piOdeTeXc]
y p20de[eyo]}; esto es, existen homotopías
Hl : Piod ' . e^ y Ha : P20d ^ ey^
Entonces Hi x Ha : I x l • X X Y
(t.s) I V (Hi(t,s), H2(t,s))
es una homotopía entre d y e(xo, yo)
C7>.^„)
('X^.'^:Í (^ .^^ ; f.cj) c J
T-59
Retracci ones
Def. Una retracción r de X en A£X es una fción (cont.)
r : X > A t.q, rlA = Id
Ej: Si X es Hausdorff y existe una retracción
r : X !> A, entonces A es cerrado:
Id : X > X y r : X -> A^X son funcio
nes continuas de X *- X.
Entonces {xeX|Id(x) = r(x)} = A es cerrado
Proposición
a) Dos espacios homeomorfos tienen grupos isomorfos
X —í—9-Y —9—«>X — ~ 9>Y
Tri(X) —f:!L^i(Y) _2i^,(X) —íi^7ri(Y)
b) Pero no es necesario que sean homeomorfos para tener
grupos isomorfos:
T-60
Si r : X
entonces
-> A es una retracción y a e A,
A ._iA_> X '- c-l±-^
TT,(A,a) -^^^TTi(X,a) -^^^TTi(A,a) -^-«^TTI(X)
Entonces (TTI es un functor)
i*or-*: = idTTi(A), r*oi-*- = idTri(X)
luego i * e s l - l y r * e s sobre con lo que se
dá el isomorfismo por inclusión.
Ejemplo: El grupo del círculo es el mismo del pla
no complejo sin el cero:
Def; Un retracto por deformación es un sube. A c X
t.q. J r : X *- A, retracción, t.q. ¿QV '\' i^
Ej: El círcuq es un retracto por deformación del plano
complejo sin el cero.
-^^¿l-ÍO} ' > S' — ^ — ^ € - { 0 }
I ^ Tf
T-61
La homotopía es
( l - t ) -|-|-j- + t z
r * i * = idTTi (S ' )
i * r * = idTTi ( £ - { 0 } )
^ -• ' 1
Teorema: El grupo fundamental de S es Z
A) Sea p '. JR > S
t • -> e " ^^ = cos .2Trt + isen2TTt
p es sobra y su restricción a rn,n+l) es 1 - 1
y sobre (neZ)
í- 4- • ^ Tr, r,4.1 ^ « 2 - I T Í t _ ^ 2 - l T Í t ' „ 2 T T Í t ' / 2Tri ( t - t ' )
t . t e ^ n , n + l j ^ e =e = ^ e (e
- 1) = 0==->t,t ' e |^n ,n+l) / ^ t - t ' e Z = > t = t '
Sea a : I 1 1
-> S un camino cer rado aeC(S ,1)
En el s i g u i e n t e diagrama a se llama "un levanta
miento de a"
T-62
a) Si a existe, es único:
Sean a, a' levantamientos de a. Entonces
p(a(t) = p(a'(t)) -Vtel (con a(0)=a'(0)=...=1)
T=^{a - a') (t) e i ^x> (por continuidad) a - a' es
costante
^^-^ _ '. = O = (a - V ) (0)
b) Existencia de un levantamiento:
Sean n = S'-{-l},v= S'-{1}. Entonces {n.v} es un 1
recubrimiento abierto de S . Por lo tanto _ 1 _ 1
{a (n)> a (v)} es un recubrimiento de I que
(I es compacto) tiene un número de Lebesgue e.
Sea _ \ _ . _. Entonces a (fO,-4-]) cn (a{0)=l) N ^
Como p : ( -1/2 , 1/2) V n es homeomorf ismo
con p(0) = 1 , se t i e n e
( - 1 / 2 , 1/2)
P1 ^ q V
[o. 1/N] -^ n it
Hemos hecho un levantamiento local de a
qoa(o) = q(a(o)) = q(l) = O
ahora. a( 1/N,2/N )cno a([l/N,2/N] ) ^ v
T-63
Supongamos lo último. Entonces
(n,n+l) donde se escoge tal que
Si qoa(l/N) > O, n=0 y
Si qoa(l/N) < O, n=-l
loa es un levantamiento local de a, tal que
loa (1/N) = qoa (1/N)
qoa y loa son funciones continuas definidas
sobre ro,l/N] y sobre [l/N,2/Nj respectivamen
te, y tales que qoa (1/N) = loa (1/N). Por lo
tanto existe una extensión continua
j : [o, 2/ñ] -> J^
De esta manera podemos seguir levantando inter
valos hasta finalizar, en un proceso finito, con
el levantamiento global de a.
Nótese que así como a (0) =0, a(l)E Z ya que
a(l) = 1 y o.
p a = a
B) Levantamiento de la homotopía (descripción)
Sea F una homotopía entre dos caninos « y
3, es decir, F: Ixl ?>S' tal que
T-64
F(t,o) = cc(t)
F(t,l) = 3(t)
F(o,s) = F(l,s) = 1
Entonces tenemos
Ixl
(IK, o)
-- (s-, 1)
Supongamos a ya levantado. Entonces podemos
levantar F empezando por «.
Esto es lo que debemos obtener:
Ixo (é?, o)
Ixl (S'. 1)
Otra representación de lo que debemos obtener
R ^ " • ^ f >
r-65
Tomemos el mismo recubrimiento ya utilizado: 1 _ 1 _ 1
{n,v} de S , Entonces {F~ (n),F~ (v)}>lxl y
si e es un número de Lebesgue tomamos 1/N < c
'VA'
yAz Y/M
Es c l a r o que
F ( Í O , 1 / N ] X [ O , 1 / N ] ) c n
;—] pues « ( I O , 1 / N ] ) ¿ : n
Entonces tenemos el primer
levantamiento local:
N •
1
r.
[.o, -^x[0, -i]
1 . 1 ),o
-> (n.l)
((-1 1
), o)=(n,l)
Como ya sabemos en cual de los abiertos ri o v
están contenidas las márgenes por F de cada
uno de los cuadrados de la primera fila de aba
jo (pues conocemos ce), entonces podemos levan
tar F sobre toda la primera fila. Pero hecho
este levantamiento ya conocemos a donde levan
tan los bordes superiores de los cuadros de la
primera fila y con este conocimiento podemos le
vantar toda la segunda fila, . , . etc, hasta le
vantar todo F en un proceso finito.
T-66
Notóse que ya obtenido F debernos tener
'X,
(1)4(1) y en general F(l,s) = «(l) e Z
«(0)=3(0)=0 % 'V, F(o,s)-'i(n) = o
C) Está definida la fción
TTl(SM) - -V Z
•^ ^ ( 1 )
Veamos que esta función es un isomorfismo
a) Es un homomorfismo: Dados C° l y [3]
conocemos cc(i) y 3(1). Queremos le
vantar ahora a
ce*3: I ^ S
^-(2t) t < Va t H
^3(2t-l) t > V 2
El levantamiento l o c a l en [o , l /2 | , es «. L l a -
memos 3' el l e v a n t , l o c a l en L l / 2 , l J . Entonces
p 3 ' = P 3 = > ( v ) p ( 3 ' - 3 ) = l = > ^ ' - 3 = C
=> 3 ' ( 1 ) = 3(1) + C
3 ' ( 0 ) + C % 3 ' ( l ) = < í ( l ) + 3 ( l )
3 ' ( l ) - 3 ' ( 0 ) = 3 ( l ) - 3 ( 0 )
« ( 1 )
T-67
Por lo tanto
^ ce*3(l) = -(1) + 3(1)
y 1 es un homomorfismo
b) El homomorfismo 1 es sobre:
Sea neZ. Entonces cc(t ) = e'^^'"* es tal
que (1) = n
c) Es 1 - 1
Si Lcc3 i - ->• cc(i) = o, entonces °e
se levanta cerrado y contractible a un
punto.
Entonces ce e [ij
Luego C° l = [l'i = [e:J =e
Hemos demostrado que:
TTi(s', 1) = Z.
Coro!ari o
El grupo fundamental de ¿T - {0} es también 2 pues como
vimos S' es un retracto por deformación áe (^ - {0}
T-68
Mas álgebra antes del teorema de Van Kampfen
Recuérdese la def. del producto libre A * B
Def. Dados 3 grupos y 2 homomorfismos
=./ xr» A* í?.
El "producto libre con igualadores" P(oe, g) se de
fine (cuando exista) como un grupo tal que
b) Si D es cualquier grupo y f y g son homo-
morfismos tales que fce = g3, entonces existe
un único homomorfismo h t.q.
hi = f y hj = g :
T-69
( N o t a c i ó n : El subgrupo normal generado por S c G se
e s c r i b e S^ = H N scN-flG
f i _ i {Trgisa ga } )
P r o p o s i c ó n :
Veamos que P(ce,3) A * B
{ i « ( c ) . J 3 ( c ) - ' | c e C } ^ ^ * ^
(comentarios: La idea es aprovechar el producto libre
A*B para que P y h hereden sus propiedades.
Como debemos sujetarnos a la restricción i «== = j 3, for
zamos a que i "K c). (j 3(c ))" e Te] se cumpla VceC, pero
al hacer esto en el grupo C, y si no se quiere dañar su
estructura, hay que "matar" junto con icc(c) (J3(c))" a
todas sus potencias y conjugados y productos de conjugados)
T-70
dm: Supongamos que D es cualquier grupo tal que
C
Se tiene entonces:
a) ia = cej (claramente).
b) definamos h por h' = h^p. Entonces:
b-1) f = h'i' = hpi' = hi
g = h'j' = hpj' = hj
b-2) h es única por serlo hp = h'
De lo cual resulta la proposición.
Teorema de Van Kampen
Sea X=nl/v con n.v a b t s , nf\v f i y n . v y nftV
conexos por a rcos . Consideremos
T-71
rt, (.^Av,-'O
R-. C ^ , M 7
Entonces P(«í,/j) es el grupo fundamental de (X,a)
Hay que demostrar que;
TTl (nuv ,a ) TTi('^, a )* Tri(v,a)
{ i « ( c ) . ( J 3 ( e ) ) " I CGTTi ('»inv,a ) }
I I
V
rt. ("iuv , o
A*B
Como sabemos, e x i s t e un único homomorfismo .
Veamos que dicho homomorfismo es s o b r e :
T-72
Sea r ¿- C('>j i/v, a ) . Veamos que
r'\' «i*3i* *"n*^n •j CC i e C (n I a ) i = 1, . . . , n
3i e C(v ,a )
I -1 -
-^ nuv es cont. Entonces r (n). r~ (v) es
un recubto abto. de I compacto que tiene un número de
Lebesgue e > 0. Sea 1/N < e. Entonces r(0)=ae nnv•
?+1
Si r(l/N), ,,, , r(i/N) e nn^ y r(-|;|-)^ nnv, conecte
mos los arcos para obtener r([0, i/Nj) c nftv, Ahora
bien, r(—;p)e n-v ó »'(—¡r") e v-n- Supongamos lo prime
ro. Si r ( ^ ) . .... r(li^) e n-v y r ( ^ ^ ) i n-v
entonces conectemos para obtener ^¡TJy l±kll]
los pts, terminales en nnv ... etc.
c n con
Es Vellido pues s i m p l i f i c a r la e y e r i t u r a suponiendo que
r ( 0 ) , r ( l / N ) , . . . , r ( ^ ) . r ( l ) e nnv y que
rlíT, =Tr=-J e s t án a l t e r n a t i v a m e n t e en n o en v.
$eiin Ol- camino en v\(\\/ de r ( 0 ) a r ( l / N )
02= " de r ( 0 ) a r ( í / N )
n-1 de r ( 0 ) a r ( ^ )
T-73
Sean ce j
3i
° 2
32
r 1 [0, 1/N]*ai camino cerrado en n
ai*r I 1/N. 2/N *a2 " " " v
a2*r I 2/N, 3/N *a3
a3*r I 3/N, 4/N *0.,,
etc.
Entonces r 'v. «^ . g j ^ ccj * 32* . . . * "'p * 3^
Por lo tanto el homomorfismo es sobre.
Resta solamente constatar que su núcleo es precisamente
{i -(c) (J3(c))"' |c € ui(nnv, a)}^*^
Ej : El grupo fundamental de la lemniscata
c > 0 c^ fY l - V
Uov es reductible a un pto. Luego TTi(nAv) = 1
Entonces TTi(nvv) = TTi(n) * Tri(v) = Z * Z.
2
Ej: El plano proyectivo P
se llama plano proyectivo al conjunto de todas las
rectas en t que pasan por 0.
Un modelo del plano proyectivo se obtiene por iden-2
tificación de pto. antípodales de la espera S o, lo que es lo mismo, por identificación de puntos
T-74
antipodales de los bordes de un disco. Una vecindad del
"borde" (una vez hechas las identificaciones) se ve co
mo una cinta de Mobius, Por eso es que también se obtie
ne el plano proyectivo al pegar un disco al borde de una
cinta de Mobius.
Esto no puede hacerse en R . Sinembargo, una represen
tación del plano proyectivo (con autointersecciones) se
logra así:
Grupo fundamental del plano proyectivo: 2 2
Sean n = P - {a} (a c P )
V = D ? a = disco abto. que contiene a a
Entonces «{fj v es un disco abto. sin un pto.
Sea f : (S'. 1) > (S'. 1) la función que iden-Z •- -• V
tífica los ptos. antipodales de S'. Entonces
f* : Z -
m Y-
- I
*> 2m
\TL = Tr,(S ))
T-75
Tenemos:
SV
'z^\ •:=' X
0 sea
•7 z^
Ahora bien: n{\v = D - {a}
Pero V i- -^ f(Iv'l) v" . donde f(x) = tan TT X
hace D - {0}= R - {0}. Luego TTi('>inv, a) = Z
Es claro que v es contractible a un punto y por consi
guiente TTI (v) = 1.
Demostremos ahora que n contiene un círculo como retrac
to por deformación y por consiguiente TTi(n) = Z :
En primer lugar veamos que D - {a} - S'xQl, «>)
(D m disco) :
T-76
El homeomorf i smo es v" ^ { 7 , f(l - |v|))
TTX en donde de nuevo f(x) = tan —
Ahora bien:
TTi(S'X [O, co)) c Tri(s') X TTidO, co)) = 2
I Recuérdese que bajo las hipótesis usuales se tiene
TTi(X X Y, (Xo, yo)) = TTl(X, Xo) X TT i (Y, yo)J
2
De lo dicho se concluye que TTI(P - {a}) = Z, ya que
al identificar puntos antipodales de una circunferencia
se obtiene una circunferencia y lo mismo se cumple para
un cilindro:
- ^
-=>> ü Entonces, finalmente, por el teorema de V.K. ,
TTiP Z. * 1
{3 = 1) 21
Nota ilustrativa
T-77
Tri(nftv) = Z
TTl(v) = 1
Ejemplo: El ejemplo anterior se puede generalizar: Si
se tiene f : (S', 1) — » - (S', 1 ) ,
Z h H> t
entonces f* : Z xn Z (multi pl, por n)
Si se escogen abiertos -^ y v de la misma manera que
antes se obtiene:
TT 1 (n) = Z^
TTl (n(\v)
¿:»TTi (n) = 1
T-78
De tal manera que en el caso general se obtiene
TTl ( n n v ) = TTiX •3 z n n 2
{ 3 = 1 } n Z
Corolario del último ejemplo:
Todo grupo abeliano finitamente generado es el grupo fun
damental de un espacio topológico:
Sea A un grupo abeliano finitamente generado. Entonces,
por el teorema fundamental de los grupos abelianos finita
mente generados A = Zf ® 1 & _ ^ _ @ Z e J Q . . . ® I
Por lo tanto, si X = S'x .jo xS'Xn x . . . x X , 1 n ^
TTiX = A .
Observación: X no es una superficie si n > 2 :
Puede verse que ddemostración se reduce a probar que una
"mariposa de n alas" no es homeomorfa a un disco. Es
cierto en general que una mariposa de n alas no es ho
meomorfa a otra de m alas, n ^ m :
Descripción de la demostración:
T-79
La demostración se basa en que si existiera un homeomor-
fismo h : Hn i- Mm , entonces
h : Mn - -j •' - Mm -^h(*)j también sería un
homeomorfismo para cualquier escogencia de * ,
Por disjunción de casos:
1) Si * está en la intersección de las alas y h(*)
también está en la intersección, Mn - {*} y
Mm - {*} pueden deformarse para obtener sendas "ma
riposas de alambre" (puede pensarse que el "hueco"
dejado por * (respectivamente por h(*)) se amplía
hasta los bordes). Si además se contraen los ejes a
sendos puntos obtendríamos que, si llamamos f a di
cha deformación, los grupos fundamentales de f(Mn)
y f(Mm) deberían ser isomorfos
M (*")
T-80
Pero deichos grupos son los grupos libres en n - 1
y m - 1 generadores respectivamente, los cuales no
son isomorfos a no ser que m = n
2) Si * está en la intersección pero h(*) no lo es
tá, al establecer la deformación f sobre
Mm - {h(*)} obtendríamos:
O Puxi-f p
y deberíamos tener que el grupo libre en n - 1 ge
neradores es isomorfo a Z. Contradicción si n > 2
3) Si ni *. ni h(*) están en la intersección, se
llega a una conclusión similar.
Ejemplo: El grupo fundamental del toro.
/. I
L Sfc ** T- \ <K \ ^ \
a.«=q.
r» En este caso tenemos Tri(v) = 1, Tri(nftv) = 2„
T-81
Veamos cual gruño es TTi(n)
->. y
- >
Luego Tri(n) = Z3* Zj,
Obtengamos ahora Z
dentro de n :
- f ZD*Z deformando
T' (D ^ • %
^
Vemos que ce f-
Tenemos pues:
1 I
-> 3r3' r"
Zp^Zp = TTI(TI)
Tri(<\nv) =
1 = , , ( " '
T-82
Entonces TTIT Zp*Z r
{3r = r3} A*B
, es d e c i r , TTI T
es el grupo generado por 3 y r y t a l que 3 y
r conmutan. TTIT es pues el grupo abe l i ano en dos
gene rado re s , e s to e s , TTIT = Z + Z
Otro t i p o de Ejemplos:
2 3 2 3
Ejemplo: R ^ R ya que si R = R se tendría
2 3
R - {0} =í R - {0} y en consecuencia
S' Ul
Tr,S' = Z- .= 1 = TTiS
_ 2
Ejemplo: No existe retracción alguna r: D =>S'
Si la hubiera tendríamos
S ^ s
-*- D •*• S' y en consecuencia
id
Z = Tri(SM) ' ^ ^ J D ,1)
>
r* = 1 -^*— Tr,(S',l) = Z
id*
Pero si « ^ o es un generador de Z,
T-8 3
Teorema
incl* (ce) = 1 y r*(l) = 0. Luego
id* (oc) = o, contradicción.
2 ;
Toda fción. cont. f : D ^ D
(D cerrado) tiene un pto, fijo
dm. Si f no tiene ningún pto, fijo la fción
r(x) = f(x)+t(x-f(x)) donde t(x, y)>l es tal oue
|r(x)I = 1, es una retracción de D en S'
(ya que si x S', r(x) = x). contradicción.
- ^ S' que preserve Ejemplo: No existe f: S
puntos antipodales.
Supongamos que existe. Consideremos el siquiente diagra
ma:
2 f S i ^S'
Identificación > de pts. antipo= dales V
..2
P -*
g_ Y
S'
Identi ficación de ptos. antipodales
Por f preservar pts. antipodales, g está bien definí
da y el diagrama conmuta.
Pero g* tiene que ser trivial pues el generador (|>(ce) 2
de TTiP es de o rden 2 y e l ú n i c o e lemen to de o rden
T-84
2 de TTi(S') = Z es 0 (ce es un semimeridiano de S )
De otro lado pf« es un camino cerrado de S', es de
cir p*fce = 1 e TTiS'. Pero esto es una contradicción.
Ejemplo: (consecuencia del precedente)
Si S — ^ — > R es tal que 4»(-x) = - ^ { x ) para 2
todo X, entonces ^ x z S , (j)(x) = O
Si <l)(x) ^ O para todo x entonces i (x) = i ¿ / < • es
una fcion. de S
les.
->• S' que preserva pts. antipoda-
Ejemplo: (consecuencia del precedente)
Si f : S 2 2
->• R , entonces ^xeS , f(x) = f(-x)
La fción. <{>(x) = f(x) - f(-x) es tal que ^(-x) = -<t>{x)
Entonces ^ x . <{>(x) = f(x) - f(-x) = o, es decir,
3 X. f(x) = f(-x)
Corolario: No existe biyección continua de S sobre 2
R
T-8 5
Revestimientos
-V X (E, X conexos por arcos. Def. Sea p: E
p continua).
Se dice que p (ó E) es un revestimiento de X
si dado xeX existe un abto. n tal que xe^£X 1
y P" (n) es una unión ajena de abiertos r]<^
y p|nce n es un homeomorf i smo.
Def; A un tal n lo llamaremos "una vecindad especial
de X.
Ej: 1 R
X t-
-^—> S* es un revestimiento de S' ÍTTix
-*- e
aeS'.-d^ «en = S'-í-l) ó aev = S' - íl)
"(n) = ^ (- i + K,i + K) y { 4 + K. i + K)= n p v;./ - - V - 2 • - ' 2 keZ
p"\v) = * (k. K + 1) keZ
2 • -, 2
( k. k + 1) = V
E j: 2 S' ^ '> S' es un revestimiento de S' ,n
X -H - X
Con la misma escogencia de ^ y v del ejem-1 n-1
pío 1. p Ti=^ {e - < X < — — } k=0 " "
T-86
Análogamente para p (v)
E j : 3 S -> P (p identifica pts, antipoda
les) es un revestimiento del plano proyectivo
-fe*
E j : 4 Ei -*- X-j es un revestimiento pa-Si Pi
ra todo i = 1. ... , n, entonces
p X ... xpn : E x ... xEn » XiX ,,. xXn I '
es un recbto.
dm,
Sean pi : Ei Xl , p: X2
revestimientos de Ei y E2 respectivamente.
Sea X = (xi.x2) e x = Xix X2. Entonces exis
ten ni abto. de Xi y n2 abto. de X2 con
Xl erii y X2en2 t.q.
P7 ni=Unieo (n„ abts. de Ei) y Pi!ni«=
homeomorfismo .
T-R7
Análogamente para p nz-
Sea n = nixn2. Entonces n es abto. de X,
xen y además, si p = Píxpz tenemos
_ 1 _ 1 1 1
a) p (n) = P (nixn2) = (p (ni))x(p (na) ) = (b'ni°=)x{t/n23) 3
= Tii^ X n23. Es decir, p~ (n) es la ~i 3
unión, claramente ajena, de abts. de E=EjXE2.
b) P|ni¿xn2oo • nloo X n23 ^ EixEa = E es un
homeomorf ismo por serlo Pi : m'' —
Pa : nz3 —
(x^ ^x*fc.Xi^-Xi;^X2n-*X2^Pi(xi^)-^ Pi(xi);\P2(xzj^)
•* El y
-> E:
•P2(X2)<^>p(Xj^) »-p(x)).
Ej: 5 Consecuencia del ejemplo precedente:
pxp : RxR >• S'xS' es un recbto. del
toro por el ejemplo 1.
Ej: 6 S,xS. > S( xS. es un revestimiento del to-
(z.w) » -> (z",w'") ro por el ejemplo 2.
T-B8
Ej: 7 iRxS' -*- S'xS' es un revestimiento del
(t,z) » >- (e ^ ,z") toro por los ejemplos
1 y 2.
Ej: 8 Un revestimiento de la lemniscata
Ej: 9 Otro revestimiento de la lemniscata
• I o I -2. 3 ' -
NOTAS 1) La imagen inversa de un pto. eX por un reves
timiento p : E í>- X es un subespacio
discreto de E
2) Todo homeomorfismo local es un revestimiento.
T-89
3) Pero nc todo revestimiento es un homeomorfis
mo local :
(0.2) í-ni t
-> S f
o N L
es un revestimiento, pero no existe vecindad
1
de 1 e S cuya imagen inversa le sea homeo
morf ica.
Levantamiento de caminos
Dado un revestimiento de (X,Xo) y un camino
(I, o) > (X, Xo), existe un único camino
(I, o) > (E, e«) (donde p(eo) = Xu) tal que
«:
o. P oe
Dm,
Cada punto x eX tiene una vecindad especial. Sea ín)
un recubrimiento de X formado por vecindades especia-_ i 1
les. Entonces {ce (n)} es un recbto. de I. Sea |T
un número de Lebesgue de este último recbto. Establez-
T-90
Y K-f 1 c a m o s la p a r t i c i ó n {-¡q-' -^r^) K = o , ., , N - 1 d e I.
1 ~i Entonces 1) "^(fo, TJ-J )cn para alguna vecindad especial
n. Sea no la componente conexa de la preimagen de n
que contiene a eo (no está bien determinada pues _ 1
p" (XQ) es discreto), entonces
tp'-ii
Sea ocj la fción. (pjno) o(ce|\jo, 3 ) (un camino de
(p» iq-3 * no cuya proyección por p es cc[ o, |;J-])
«1 es un levantamiento local de ce.
Consideremos ahora I TT , TTU Sea v una vecindad es-
pecial que contenga "([^ ' ^J)• Entonces v corta a
n ( " ( Tj- ) e nAv) y cada componente conexa
T-91
de la preimagen de n corta a cada comp. conexa de la
preimagen de v. Sea Vo la componente conexa de _i
p~ (v) que corta a no. (vo está bien determinada pues
es la única que comparte con no el punto "I(-M).
Sea «2 la función (p|vo)" o (<=|'[ 7 1^3^ ^"" camino
' ' V f -N' N
Vo cuya proyección por p es
oc(r^ , M"])' "2 es pues otro levantamiento local de
oe que, por un lema anterior, se extiende (conjuntamente
con ocj) a un levantamiento local de ce en [ o, TTJ.
Continuando de esta manera obtenemos un levantamiento
global «: de oc en N pasos.
T-92
Veamos ahora que dicho levantamiento es único:
Supongamos que «= y ce son dos levantamientos de ce
que empiezan en OQ • Entonces -.
O e {t eCo, jT^I «(t) = a (t) } ^ (}) es un conjunto ce
rrado (por continuidad de « y oc ). Pero también es
abierto: Sea s un pto. de dicho conjunto. Entonces
p °=(S) = ce(s) = p oc ( S ) . Por ser p un revestimiento
existen vecindades N de =(s) y No de « (s) = «Vs)
homeomorfas. Entonces por la inyectividad de p|No.
«(t) = ccVt) en No. Como oe y «i son continuas y
CC y oci coinciden en No (abto), entonces a"i(No)
es una vecindad abta. de s contenida en el conjunto
en cuestión. Luego dicho conjunto es abto.
'V/
Pero siendo Po, 77"] conexo, los únicos subconjuntos
abts. y cerrados son *** y fo, vrl. Entonces « y ce»
coinciden en todo To, r r l .
Por lo tanto el levantamiento oc es único,
NOTA: Un camino cerrado no necesariamente levanta en
un camino cerrado.
T-93
Levantamiento de homotopías
Dado el siguiente diagrama
Ixl
(E, Co)
V - > ( ^ , ^ )
en donde p es un revestimiento de X y F : ce % 3
una homotopía entre los caminos cerrados «= y 3, en-'V/
^ tonces existe una (única) homotopía F : ce % 3 tal que o.
PoF = F.
Dm.
Supongamos levantada oc y sean e^ = a(o), ej = «(1)
Tenemos entonces:
IxO
O
Ixl
ce (E.eo)
•^ (X.xo)
T-94
o v i s t o de o t ra manera
_^ -^ — * íX e.
Sea {r\ } un recubrimiento abto. de X formado por ve-_ 1
cindades especiales. Entonces (F (n,,)) es un recubto.
abto, de Ixl (compacto). Sea \r2N
un número de Lebes
gue para dicho recubto. Establezcamos la partición
^[fv T-] 4^' "^l 1 K. 1 = 0. .. , N - 1 } de Ixl.
'í I_°» FI'^L^' ]T1^^'^ para alguna vecindad especial
que contiene a Xo y a = ([0, TT])- Sea no la parte
— ^ 'VI r 1 »«
conexa de p (n) que contiene eo y *^([0, M-j) • Enton
ces no contiene p"o F { { j i y -JT] X [ 0, j A ) ' •
"" ^ V^
T-95
Hemos levantado F localmente en lo, -rrl x \ o , yr I.
Si de la misma manera levantamos F en I -pj-, TTJ x lo, -rrl,
la extensión continua de estos: dos levantamientos nos
da un levantamiento local de T o , Ñ-J x jo, r r l ... y fi
nalmente tendremos el levantamiento local de I x j o , TT Í
i
I I \
De igual manera levantamos ahora las demás hileras hasta 'V
obtener el levantamiento global F en un número finito
de pasos.
La unicidad de tal levantamiento se fundamenta en las
mismas razones que prueban la unicidad del levantamiento
de caminos.
T-96
Teorema. Si p : (E, eo) - ^ (X, Xo) es un revés
timiento de (X, Xo)» entonces
p* TTi{E, eo) ^ fTi(X, Xo) es 1 - 1
(Por lo tanto TTI(E, eo) = P*(TTI(E, eo))CTTi(X, Xo) !)
Dm, Sea = (I, o, 1) (E, eo) un camino
% cerrado que representa a L" J TTI(E, eo).
Supongamos P*L«]= 1- Fsto quiere decir que 3 F :
Pja 'v e„. (en X). Por lo tanto existe F : r 'v oen E
Ahora bien : r = « pues Por = Po^ y el levantamiento
F es único. Además o = e^ Pues p (F( Ixl) ) = Xo = p(eo). c o
luego F{I x 1) = eo = a(t). Entonces F : oc «v e^o.
y t « 3 = 1» es decir, p* es 1 - 1.
Ej IR
t •-
•^ S
-V e'^^**
1 C Z
Ej: 2: C « [
7 1
J , , C l
> o
y Z "
1*. •*• z
K ^ ^ n K
T-97
Ej: 3
(E, eo) =
libre en un número contable de generadores /^ ^libre en dos generadores
F(ocJ ^ - ^-^ F(oc, a) = ^,(X, Xo)
« k -
«2 \ > B'ocg '^V-V^
( ^
. " * .
^^^''^^yf'^^í''^
Ej; Sea p : E -*- X un revestimiento
_ i - »
Entonces, si Xp, Xi X, eard p' (xp)^card p (xi):
Sea r(I. o, i) ^^> (x. xo, xi),
Definamos p" (xo) p" Vxi) así : Sea
fieeP (XQ).
Dado r (un levantamiento, únicol, de r), con
r(o) . eo . f(eo) ^ f ^(jj^
T-98
Prop
Dicha función f tiene una inversa definida por
r ya que, si e<, es fijo, ro r es nul homotópi co,
lo que quiere decir que r r
Ej -> X es un revestimiento de X Si p : E _ 1
y A C X. (con lo que p (A) es la unión ajena
de sus componentes conexas), entonces
_ i - 1
p I p (A) : p (A) ^ A es un revesti
miento de A.
Sea a e A. Sea n una vecindad especial de a
en X. Entonces n(\A es una vecindad especial de
_ 1 - 1 - 1 I A - *
a en A ya que p (nnA) = p (n)AP (A)=(t/n«)nP C^) _ 1
es una unión ajena de abts. de p" (A) y obviamen-_ i / \ - ^
te p I ntcOP (A) : n^f^P ^^^ '^^^ ^^ "" homeomorfismo.
Sea X conexo por arcos y A c X, A conexo por arcos
E => X un revestimiento de X. (Sabemos Sea p : E — _ 1
que p I p (A) es un revestimiento de A)
Si Tri(A, a) - Tii(X, A) es sobre, entonces
T-99
p ( A ) es conexo por arcos:
P " V A )
dm. Sean a, b e p" (A). Entonces p ( a ) , p(b) e A.
Sea r un camino (en A) entre p(a) y p(b). En-
•v -» tonces r es un camino (en p (A)) entre a
1 1
y bi , donde b y b están sobre la misma fibra
(es decir, p(b^) = p(b)).
1
Ahora bien : b y b son extremos de algún cami
no a en E. p a es un camino cerrado (en X ) 1
que conecta p(b ) con p(b). Luego paCTTi(X,b)
Sea « un camino cerrado en A basado en p(b)
y homotópico a pa. (Existe por hipótesis).
Entonces « es un camino que une b con b y
está contenido en p~ (A). Entonces r * oc es un
camino (en p (A)) que une a con b. Luego p (A)
es conexo por arcos.
100
Prop. Sea p : E í> X un revestimiento de X
Sea f : (Y, yg) 5> (x, X Q ) . Entonces
f levanta a algún (y por lo tanto único) f,
si y solamente si f*TTi(Y, yp) c P*TTÍ(E. O Q )
Ejemplo:
S' -
Z \-
S'
i/
-> S'
n TTX(S') = 1
p*
2n TTi(S' ) = Z
Z = TT,(S') f*
n V-
-> Z = TTi(S')
-* 3n
f no levanta porque {3n} ^ {ín}
Ejemplo: Para el mismo revestimiento anterior.
f : S'
Z
S' sí
levanta:
Un levantamiento es
T~101 í-Ní^XRSIDAD NACJON.\L HmuOTECA CENTRAL
Proposición: Dado cualquier grupo G existe un espacio
topológico del cual G es el grupo fundamental.
Antes de presentar una descripción de la demostración es
necesario recordar algunas cosas:
a) Generadores normales de un grupo
Mientras que el subgrupo de So generado por (12)
es {( ) , (12)} . el subgrupo normal generado por
(12) es el más pequeño de los subgrupos normales
de S3 que contiene a (12), esto es, <((12)^ = S3
Como grupo, S3 está generado por {(12), (123)} ,
pero como subgrupo normal de sí mismo, S3 está ge
nerado por (12).
El subgrupo normal de G generado por {r„} es N p
si todo elemento r c N tiene la forma
B i ^ ' T S ' ^°" h ^ ^'
b) Presentación de un grupo
Dado cualquier grupo G existen F y p, F gru
po libre y p : F »• G un epimorfismo:
Sea {gQ.) un conjunto de generadores de G (puede
tomarse todo G si se quiere)
T-102
Sea F el grupo libre en las letras X ^
Entonces p : F > G define un epimorfismo
X « • g oc ^ < x
Sea N el núcleo de p. Entonces la sucesión
1 •> N «: > F ^ G *- 1
es una sucesión exacta.
Sea {r^} un conjunto de aeneradores normales de N p
Def. Se dice que G tiene la presentación
< ^3> = ^ F/N
Ej: Z tiene un generador; el gpo. libre en un gene
rador es Z,
O ^ N -*- Z -> z 2
{F. T)
-* o
N = elementos pares.
Ahora, si usamos la notación multiplicativa.
{xS = N V T
Entonces Z tiene la representación: <^X | X ^
T-103
Ej: El anterior ejemplo se puede generalizar.
2^ = <X j X"> pues 2^ = Tx/{X"}
Ej: ^ÍXecH y- es el grupo libre en las letras X^
Def. Si G tiene la representación < X^ | ^ o ^ y las
X, se llaman generador y los rg se llaman rela
ciones.
NOTA: Estos temas se estudian en la llamada "teoría com
binatoria de grupos"
Ej: 2 X Z tiene dos generadores : (1. o) y (o. 1)
Sea F el grupo libre en dos generadores
X -• *- (1. o) y y < *• (o, 1). Entonces
- 5 - 1 * 2 -t- 1
k' "k
los elementos de F son de la forma
v3' .bi «32 b, v*m bn IJ 1^ ., .
X y X y ^ ... X y , enddonde a^, b
pueden tomar el valor cero.
El níicleo de p es N = {X*' y^' . . . X®" y''" 1 ai = Jbi = 0}
Puede demostrarse que N. como subgrupo normal
T-104
está generado por £x. y^ donde [x, y] =XyX"'y'
Entonces 2 x Z =<\X, y | ( x y"] S
Ej: \ X 2:3 =<X.y I [x,y], x S y3>
Ahora podemos describir la demostración de la proposición;
De la parte b) se concluye que dado G. gpo, G tiene
una presentación, G = <rx | r_V
--> G
<". l'-e) = f/"
El espacio topológico X del cual G es el grupo funda
mental se construye así:
1) Por cada X^ se toma un círculo SJ y se toma la
reunión ajena de dichos círculos U S '
2) Se identifican todos los puntos 1 e S oc oc
T-105
- ^
\N
^ S' ^ yg,
1 = 1
Obtenemos así Tri(VS^ ) = < X^ I )> "
generadores X :
grupo libre en los
* => ^ , OO - ^ « ^ »* , - - —
3) Cada r- es "una palabra en las letras X^"
fg e ^ X ^ I ^ . Tenemos entonces
P B • I - V s; con \_pg-] = rg
Ahora, por cada r. , camino cerrado con base en el p
2
pto. 1, pego un disco D. identificando su borde con p
T-106
Hecho lo anterior se tiene un espacio topológico
VS^ L| uDg cuyo grupo fundamental no sólo es G
sino que tiene la presentación G.
E j: Z x Z'= {x, y | [x, y~J } es el grupo fundamen
tal del toro:
C-xol -
\
T-107
