PD7soluciones - Union (1)
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Mate 1 U Mate 1 UP Mate 1 U Mate 1 UP Mate 1 UP Mate 1 U Mate 1 UP Mate 1 UP Mate 1 Mate 1 UP Mate 1 Mate 1 U Pr´ actica dirigida 8 Matem´ aticas I Viernes 8 de noviembre de 2013 Clase 24 1. Dada la funci´ on f definida por f (x)= 2(x + 3) 2 − 4; si x ∈] − 4, −1] 1 2 |x − 3|− 1; si x ∈] − 1, 5] Efectue lo siguiente: a ) Determine los puntos de intersecci´on de la gr´ afica de f con los ejes coordenados. b ) Grafique f . c ) Determine los intervalos donde f es estrictamente creciente. d ) Gracique h definida por h(x)= −f (x). Soluci´on. a ) Para determinar, si existe el punto de intersecci´on con el eje de ordenadas debemos reemplazar x = 0. Como este valor pertenece al dominio de la funci´ on , tenemos: f (0) = 1 2 |0 − 3|− 1 ⇒ P 1 (0, 1/2). Para encontrar la intersecci´on con el eje de abscisas debemos hacer y = 0. Reemplazando se obtiene: P 2 ( √ 2 − 3, 0),P 3 (1, 0),P 4 (5, 0). Por lo tanto los puntos de intersecci´on son: (0, 1/2), ( √ 2 − 3), (1, 0) y (5, 0). b ) La gr´ afica es la siguiente: −4 −3 −2 −1 1 −4 −3 −2 −1 1 6 X Y c 2013 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducci´ on parcial o total. 1
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Practica dirigida 8
Matematicas I Viernes 8 de noviembre de 2013
Clase 24
1. Dada la funcion f definida por
f(x) =
{2(x+ 3)2 4; si x ] 4,1]1
2|x 3| 1; si x ] 1, 5]
Efectue lo siguiente:
a) Determine los puntos de interseccion de la grafica de f con los ejes coordenados.
b) Grafique f .
c) Determine los intervalos donde f es estrictamente creciente.
d) Gracique h definida por h(x) = f(x).
Solucion.
a) Para determinar, si existe el punto de interseccion con el eje de ordenadas debemos reemplazarx = 0. Como este valor pertenece al dominio de la funcion , tenemos:
f(0) =1
2|0 3| 1 P1(0, 1/2).
Para encontrar la interseccion con el eje de abscisas debemos hacer y = 0. Reemplazando se obtiene:
P2(2 3, 0), P3(1, 0), P4(5, 0).
Por lo tanto los puntos de interseccion son: (0, 1/2), (2 3), (1, 0) y (5, 0).
b) La grafica es la siguiente:
4 3 2 1 1
4
3
2
1
1
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X
Y
c2013 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproduccion parcial o total.
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c) Por definicion, f es estrictamente creciente cuando
x1, x2 A, [x 1 < x2 f(x1) < f(x2)].
Del grafico, los intervalos de crecimiento estricto son: [3,1] y [3, 5].d) Como h esta definida por h(x) = f(x), tenemos
h(x) =
{2(x+ 3)2 + 4 si 4 < x 112|x 3|+ 1 si 1 < x 5
Cuya grafica es:
4 3 2 1 1
4
3
2
1
1
6
X
Y
2. A continuacion se muestran las graficas de las funciones f y g
8 4 1 1 2 5 7
3
2
2
5
X
Y
5 5 8
9
4
4
X
Y
Efectue lo siguiente:
a) Calcule (f + g)(5/2) + (f g)(5).b) Determine el domminio de la funcion f + g.
c) Determine el dominio de la funcion f g.
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Solucion.
a)(f + g)(5/2) = f(5/2) + g(5/2) = 2 + 0 = 2
(f g)(5) = f(g(5)) = f(4) = 0 Por lo tanto (f + g)(5/2) + (f g)(5) = 2 + 0 = 2.b) Como el dominio de f + g se ontiene por la interseccion de Dom f y Dom g, luego
Domf Domg = [8, 7] [5, 8], entonces Dom (f + g)[5, 7].
c) Como Dom (f g) = {x : x Domg y g(x) Domf}x Domg = x [5, 8]Como g(x) Domf, entonces g(x) Ran g Domf , luego
g(x) [8, 4] x [6012
, 8] (del grafico)
Finalmente Dom (f g) = [5, 8].
3. La grafica
4 2a
c
3
b
X
Y
Representa a la funcion f definida por
f(x) ={a2x+ 8 a si x [4; 2a] 3x+ d si x [2a, c[
Si se sabe que x = 6 es una de las races de f determine el dominio y el conjunto de llegada de f .
Solucion.
Como (4,2) Graf(f), para x = 2 y f(x) = a2x+ 8 a, luego 2 = a2(4) + 8 a de
donde a = 2.
Reemplazando (4, b) en f(x) = 22x+ 8 2 tenemos b = 2
2(4) + 8 2 de donde b = 6.
Reemplazando (6, 0) en f(x) = 3x+ d tenemos 0 = 3(6) + d de donde d = 18.Reemplazando (c,3) en f(x) = 3x+ 18 tenemos 3 = 3(c) + 18 de donde c = 7. FinalmenteDomf = [4, 7] y Ran f = [3, 6].
4. Use las transformaciones de de coordenadas para obtener la grafica de cada una de las siguientes fun-ciones.
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Mate1
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a) f : [0; 6] R definida por f(x) = 3 +16 (x 2)2.
b) g : R {3/2} R definida por g(x) = 2 5x2x 3 .
c) h : R R definida por h(x) = 2 3|1 x|.
Solucion.
a) La grafica es:
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
X
Y
b) g(x) =2 5x2x 3 =
11
4
x 32
52. Ecuacion de la hiperbola cuando las asntotas son paralelas a los ejes
coordenados.
f(x)0ax+ b
cx+ d f(x) = k
x+ b+ a, donde C(b, a) es el centro.
Luego a = 52y b = 3
2y el centro de la hiperbola es: C(b, a) = C( 3
2, 5
2
). Su grafica es:
X
Y
c) La grafica es:
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X
Y
5. Dada la siguiente fucion
f(x) =
a|x+ 3| 1 , x < 1
bx+ 1 , 1 x 1x 2 + c , x 2
Sabiendo que f(2)f(1) = 3; f(6) = 5, grafique y determine el conjunto de llegada de f .
Solucion.
Calculamos primero a, b, c.
f(2) = a| 2 + 3| 1 = a|1| 1 = a 1f(1) = b(1) + 1 = b+ 1
Por dato f(2) + f(1) = 3, luego a b = 3f(1) = b(1) + 1 = b+ 1
f(4) = a| 4 + 3| 1 = a| 1| 1 = a 1.Como f(1) + f(4) = 1, reemplazando tenemos a+ b = 1. Finalmente de estas ecuaciones tenemosa = 1 y b = 2.Reemplazando los vaores calculados, tenemos que la funcion f es
f(x) =
|x 3| 1 , x < 12x+ 1 , 1 x 1x 2 + 3 , x 2
Luego la grafica es:
X
Y
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6. En cada uno de los siguientes casos:
a) Grafique g(x) = |f(x+ 3)| cuando f esta definica por:
f(x) =
{x , 0 x < 11 , 1 x 2
b) Grafique h(x) = f(x+ 2) cuando f esta definida por:
f(x) =
3
2x 1
2, 1 x < 3
(x 5)2 1 , 3 x 62
x 8 , 6 < x < 8
c) Grafique la funcion s(x) = 2f(x 1) + 3, si la grafica de f esta representada por:
2 1 1
1
1
X
Y
Solucion.
a) La grafica de f es:
X
Y
Como g(x) = |f(x+ 3)| 1, la grafica de g es
X
Y
b) La grafica de f es
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X
Y
Como h(x) = f(x 2), la grafica de h es:
X
Y
c) la grafica de la funcion s es:
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X
Y
7. f es una funcion definida por la regla de correspodencia:
f(x) =
3 +
a
x 1 , x 00 , 0 x < 1
bx2 3 , 1 x
Cuya grafica es la siguiente:
X2 1 2
2
3
Y
a) En un sistema de coordenadas elabore el gr afico de g(x) = f(x).b) Determine los valores donde h, definida por h(x) = g(x+2)+k, es estrictamente decreciente, k R.
Solucion.
a) La grafica de g es:
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X
Y
b) Analizando la grafica de h para ciertos valores, digamos para k = 5, 0 y 5 (valor positivo nevatigoy cero).
X
Y
Se observa que cuado k tome valor real (positivo, negativo o cero) h sera estrictamente decrecientepara x [2,[.
8. Elabore la grafica de una funcion cuadratica que cumpla con las siguientes caractersticas:
Intersecta la recta y = 1 en un punto de abscisa 4.
Es creciente cuando x [0, 2] .Intersecta al eje Y en un punto de ordenada 1.
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El conjunto de llegada es y [5, 3].
Solucion.
La grafica de la funcion cuadratica que cumple con dichas caractersticas es:
X
Y
Cuya ecuacion es G(x) = 12(x 2)2 + 3, x [0, 6].
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