Pauta Primera Prueba Matemáticas

Universidad Técnica Federico Santa MaríaSede Viña del MarDepartamento de CienciasÁrea Matemática

CERTAMEN No1ING. DE EJEC. EN

MANTENIMIENTO INDUSTRIAL18 de Mayo de 2013

1. Cuando un camión con remolque vira en una esquina o en un cruce de caminos, sus ruedas posterioresdescriben una curva como la que se ilustra a continuación. (Ésta es la razón por la que a veces lasruedas traseras suelen subirse a las aceras al dar la vuelta). Podemos hallar la ecuación de esa curvasi imaginamos las ruedas traseras como una masa M en el punto (1, 0) sobre el eje x, unida poruna varilla de longitud unitaria a un punto P , que representa la cabina del conductor, en el origen.Cuando el punto P sube por el eje y, arrastra a M . La curva descrita por M se llama tractriz (dellatín tractum, arrastrar) y se puede probar que es la gráfica de la función y = f(x) que satisface elsiguiente problema de valores iniciales.

dy

dx=

x√1− x2

− 1

x√1− x2

(1)

y = 0 cuando x = 1.

Determine si la función

y = ln

(√1− x2 + 1

x

)−√1− x2

satisface el problema de valores iniciales.

Solución: Si evaluamos en la función dada con x = 1 se obtiene y = 0.

La derivada de y1 = ln(√

1−x2+1x

)se calcula usando regla de la cadena, y derivada de funciones

elementales:

dy1dx

=x√

1− x2 + 1

d

dx

(√1− x2 + 1

x

)=

(x√

1− x2 + 1

)− x2√1−x2

− (√1− x2 + 1)

x2

=

(x√

1− x2 + 1

)(−√1− x2 + 1

x2√1− x2

)= − 1

x√1− x2

La derivada de y2 = −√1− x2 es la función

dy2dx

=x√

1− x2, así que por lo tanto,

dy

dx=dy2dx

+dy1dx

=x√

1− x2− 1

x√1− x2

Por lo tanto, la función dada satisface el problema de valores iniciales.

2. Determine para qué valor del parámetro β, la función y(x) = 3e−3x sen(4x) satisface la relacióny′′(x) + 6y′(x) + β y = 0

Solución: Derivando se tiene que y′(x) = 12e−3x cos(4x)−9e−3x sin(4x), y′′(x) = −21e−3x sin(4x)−72e−3x cos(4x). Sustituyendo en la ecuación diferencial

Renato Vásquez T 1




βy(x) = 3βe−3x sen(4x)

6y′(x) = 6(12e−3x cos(4x)− 9e−3x sin(4x)

)= 72e−3x cos(4x)− 54e−3x sin(4x)

y′′(x) = −21e−3x sin(4x)− 72e−3x cos(4x)

y′′(x) + 6y′(x) + βy(x) = 3βe−3x sin(4x)− 21e−3x sin(4x)− 72e−3x cos(4x)+

6(12e−3x cos(4x)− 9e−3x sin(4x)

)= 3βe−3x sin(4x)− 75e−3x sin(4x)

= 3(β − 25)e−3x cos(4x)

Entonces y′′(x) + 6y′(x) + βy(x) = 0 si β = 25

3. Calcular la antiderivada de las siguientes funciones:

(a) f(x) =sec2(4x+ 1)5√

tan(4x+ 1)

(b) g(x) = (x+ 4)√2x+ 3

Solución:

(a) Usamos el cambio de variable

u = tan(4x+ 1)

du = 4 sec2(4x+ 1)dx

∫sec2(4x+ 1) dx5√tan(4x+ 1)

=

∫du/4

5√u

=1

4

∫u−1/5du =

5u4/5

16+ C

=5

16tan

45 (4x+ 1) + C

(b) Usamos el cambio de variable

u = 2x+ 3

x =u− 3

2

dx =1

2du

∫(x+ 4)

√2x+ 3 dx =

∫ (u− 3

2+ 4

)√u1

2du

=

∫ (u3/2

4+

5√u

4

)du

=u5/2

10+

5u3/2

6+ C

=1

10(2x+ 3)5/2 +

5

6(2x+ 3)3/2 + C

4. Un conductor que viaja a rapidez constante de 15ms pasa por un cruce escolar, cuyo límite de

velocidad es de 10ms . En ese preciso momento, un oficial de policía en su motocicleta, que está

parado en el cruce, arranca para perseguir al infractor, con aceleración constante de 30ms2

(a) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el oficial de policía alcance al infractor?(b) ¿A qué rapidez va el policía en ese instante?(c) ¿Qué distancia total habrá recorrido cada vehículo hasta ahí?

Solución:

Sean sM , vM la posición y la velocidad del motociclista ,sP , vP y aP , la posición, la velocidad y laaceleración del policía entonces:

Renato Vásquez T 2




s′′M (t) = 0, por lo tanto sM (t) = 15t. Mientras que s′′P (t) = 30, por lo tanto sP (t) = 15t2. ¿Para quévalor de t, las distancias recorridas son iguales?. Esto se responde resolviendo la ecuación 15t = 15t2,esto es en t = 0 y t = 1

(a) t = 1 segundo.

(b) s′P (1) = 30 metros por segundo.

(c) sP (1) = 15 metros.

Renato Vásquez T 3

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