UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

Facultad Regional Rosario

Departamento de Matematica

Analisis Matematico I I. S. I.

Evaluacion parcial de practica para examen - Tema 1

1. Dada la funcion

f(x) =

{1cosx

xsi x 6= 0,

0 si x = 0,

determinar la ley para f y su dominio.

2. Realizar el estudio completo y grafica (dominio, continuidad, lmites, simetras, in-tersecciones con los ejes coordenados, intervalos de monotona, intervalos de conca-vidad, extremos relativos y absolutos, asntotas) para f(x) = x

lnx.

3. Un alambre de 60 cm de largo se va a partir en dos trozos. Una de las partes vaa doblarse en forma de circunferencia y la otra en forma de triangulo equilatero.Como se debe cortar el alambre para que la suma de las areas del crculo y deltriangulo que se forman sea maxima, y como se debe cortar para que sea mnima?

4. Justificar por que las siguientes proposiciones son FALSAS.

a) La funcion f(x) = 1/x tiene mnimo y maximo absoluto en el intervalo [pi, pi].b) Si f (2) = 0 entonces f presenta un extremo para x = 2.

c) Si f(x) tiene un mnimo en x = 1, entonces f (1) = 0.

d) Si la grafica de f admite una asntota oblicua, entonces existe y es finito

lmx+

f(x)

x.

e) Si g(x) = |f(x)| es continua en A D (f), entonces f(x) es continua en D (f).5. Calcular en cada caso

a) f (x) si f(x) = ln cosx 1x

, para x > 1.

b) lmx0+

(1

x 1

ln x

).

SOLUCION PROPUESTA

1. Para x 6= 0 es f (x) = cos(x) + x sen(x) 1x2

.

Para x = 0 procedemos de la siguiente manera:

lmh0

f(h) f(0)h

= lmh0

1coshh

h= lm

h0

1 coshh2

= lmh0

senh

2h=

1

2= f (0).

Luego, tenemos que

f (x) =

{cos(x)+x sen(x)1

x2si x 6= 0,

12

si x = 0.

2. a) Dom (f) = R+ {1} = (0, 1) (1,+).b) La funcion es continua en su dominio por ser cociente de funciones continuas.

c) Debemos calcular los siguientes lmites:

lmx+

x

ln xlh= lm

x+

1

1/x= +.

lmx0+

x

ln x= 0.

lmx1+

x

ln x= +.

lmx1

x

ln x= .

d) La funcion no es par ni impar porque su dominio no es simetrico.

e) La grafica no tiene interseccion con los ejes porque 0 no pertenece a su dominio.

f ) Es

f (x) =ln(x) 1ln2(x)

, x > 0 x 6= 1.

El unico punto crtico de f es x0 = e. Luego

Intervalo f ()

(0, 1) 1/2 1+ln(2)ln2(2)

.= 3,52406 < 0 f es decreciente en el intervalo (0, 1).

(1, e) 2 1+ln(2)ln2(2)

.= 0,638674 < 0 f es decreciente en el intervalo (1, e).

(e,+) 3 1+ln(3)ln2(3)

.= 0,0817038 > 0 f es creciente en el intervalo (e,+).

Ademas en x0 = e existe un mnimo relativo y vale f(e) = e.

g) Es

f (x) =2 ln(x)x ln3(x)

, x > 0 x 6= 1.

Ademas f (x) = 0 x = e2. Luego

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Intervalo f ()

(0, 1) 1/2 4+ln(4)ln3(2)

.= 16,1739 < 0 f es concava en el intervalo (0, 1).

(1, e2) 2 2+ln(2)2 ln3(2)

.= 1,9621 > 0 f es concava en el intervalo (1, e2).

(e2,+) 10 2+ln(10)10 ln3(10)

.= 0,00247857 < 0 f es concava en el intervalo (e2,+).

Ademas en x1 = e2 existe un punto de inflexion a tangente oblicua y vale

f(e2) = e2/2.

h) La grafica de la funcion f no presenta asntotas horizontales por el punto (c),pero si presenta una asntota vertical (punto (c)) de ecuacion x = 1. Ademas

lmx+

f(x)

x= lm

x+

1

ln x= 0.

Como se haba determinado que la grafica de f no presentaba asntotas hori-zontales, por el resultado anterior, tampoco presenta asntotas oblicuas.

i) La grafica de f es

2 4 6 8

-5

5

10

15

20

3. Sea x la porcion de alambre destinada al crculo. Es claro que 0 x 60. El radiopara un crculo de permetro x es r = x

2pi, y el area

pir2 = pi( x2pi

)2=

x2

4pi. (1)

La porcion de alambre remanente para el triangulo equilatero es 60 x. Cada ladodel triangulo mide 60x

3= 20 1

3x, y el area

3

2

(20 1

3x

). (2)

El area total, A sera funcion de x y resulta de (1) y (2)

A(x) = x2

4pi+

3

2

(20 1

3x

), 0 x 60.

La derivada de A en el intervalo (0, 60) es

A(x) = x2pi3

6,

que se anula para x = pi3. Resulta entonces

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x A(x)0 10

3.= 17,3205

pi3

103 pi

12

.= 17,0587

60 900pi

.= 286,479

Para que el area sea maxima, se debe destinar el alambre completo para el crculo.Para que el area sea mnima se debe destinar pi

3

.= 1,8138 para el crculo y el resto

del alambre para el triangulo equilatero.

4. a) La funcion f no esta acotada en el intervalo ya que lmx0+

f(x) = + ylmx0

f(x) = . Notar que no se cumplen las hipotesis del teorema de Weiers-trass.

b) Sea por ejemplo f(x) = (x 2)3, x. En f (2) = 0 y sin embargo en x = 2existe un punto de inflexion a tangente horizontal.

c) La funcion no necesariamente tiene que ser derivable en x = 1. As ocurre porejemplo con f(x) = |x 1|, x.

d) La grafica de la funcion f podra presentar una asntota oblicua pero tener pordominio {x R : x < 0} y por lo tanto el lmite cuando x + no podracalcularse.

e) Basta considerar f(x) = 1, para x > 0 y f(x) = 1 para x 0.5. Se tienen los siguientes resultados

a) f (x) = tan(x1x

)x2

, para x > 1.

b) lmx0+

(1

x 1

ln x

)= +.

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