parcelador noveno 3p
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PARCELADOR GRADO NOVENO.
SUCESIONES
Def. 1: Una sucesión infinita o simplemente sucesión es una función
Es decir, una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros no negativos.
Notación: , , ,
Obs.: de hecho, la sucesión es un conjunto de pares ordenados que por comodidad se
anota ó simplemente por donde es el n-ésimo término de la sucesión, indicando de paso cual es el término general de la sucesión.
Ej. 1)
2)
3)
4)
5)
Def. 2: Sea una sucesión en . Diremos que:
I) es convergente en
entonces y sólo entonces se dice que L es el límite de la sucesión cuando ,
lo que se anota ó simplemente
( es decir, una sucesión se dice que tiene límite podemos hacer el n-ésimo término de la sucesión tan próximo a L tomando n suficientemente grande)
II) es acotada superiormente
III) es acotada inferiormente
IV) es acotada es acotada superior & inferiormente
es acotada superiormente.
Obs.: 1) Si converge en el límite es único.
Ejemplo:
1) Probar
Dado un número debemos encontrar tal que Sea =0,02 donde donde se toma N = 51
Luego , o sea, se tiene que En general para este caso (pues no siempre esto se puede hacer) & como
podemos hacer que
2) Demostrar que
Sea ¿Para qué “n” es cierto que
Para , es decir, para cualquier número positivo , hay un número tal
que con y .
3) Demostrar que
Sea ;
tal que se tiene que
4) ¿Qué valor de n es necesario dar, para que en el el error sea del 2%?
Def. 3:
1) Se dice que una sucesión es monótona
no decreciente no creciente
2) Se dice que una sucesión es monótona estricta
Ejemplos: A B
S convergente L
S creciente monótona convergente
A L B
S decreciente monótona convergente
A L …. B
S limitada divergente
A B
Obs.: 1) Toda sucesión no convergente es divergente
2) Si y si la sucesión . es obtenida de
.
cambiando un número finito de términos
3) Si la sucesión es una subsucesión de . , i.e. una sucesión
obtenida de la sucesión convergente suprimiendo algunos términos (un número finito)
TEO. 1.1: Si una sucesión es convergente, entonces, cualquier subsucesión es convergente y tiene el mismo límite.
TEO. 1.2: Supongamos dos sucesiones convergentes &
donde & ENTONCES:
I)
II)
III) donde k es cte
IV) Si = =
V) = =
TEO. 1.3: Si f es una función continua en x = L y si
= L
Es decir,
Ej.: Calcular
TEO. 1.4: Sean sucesiones tal que para cualquier n suficientemente grande se
tiene que:
Si = = L , entonces la sucesión converge y además
= L
TEO. 1.5: Sea una sucesión real monótona
es sucesión convergente es sucesión acotada. como ejemplos veamos dos límites importantes:
I) = 0 para
II)
Demostración:
I) Si = 0
Suponiendo que . Sea > 0 dado. Debemos demostrar que para casi todas las n. Como , sabemos que
.
Luego tenemos que con b > 0. En consecuencia:
(se tiene que )
II) i) para x = 0 es obvio
ii) para . Sea m un número fijo, tal que .
Para n > m, tenemos
n - m términos n - m términos
=
=
Para n grande, , es tan pequeña como deseemos, por I.) pues
También lo es (pues c no depende de n), y también lo es (pues ).
Ejemplo: Halle el límite de la sucesión , n = 1, 2, . . .
Sol.: = 3
=
Ejemplo: Calcule
Sol.: por Teo 3 se tiene que
Ejercicio: Demuestre que
1) para cada a > 1, tenemos
2) para cualquier x ,
3) Calcule: a) b)
4) Demuestre que: a) para q > 0
b) para q > 0
Ejemplo: 1) Calcule el )
Sol.:
=
Ejemplo 2) Calcule el
Sol.: etc.
TEO 1.6: (Criterio de Cauchy de convergencia)
Consideramos una sucesión en Entonces es convergente en
Demostración: ver texto FULKS
SERIES
Def: Sean una sucesión real. A partir de ella podemos formar otra sucesión infinita:
, tal expresión se la llama serie infinita ó simplemente
serie. Los números definidos pero no especificados se llaman términos de la serie y se llama el n-ésimo término (o término general) de la serie.
La sucesión se llama sumas parciales de la serie. Si la sucesión S(1), S(2),. . .
S(n) , . . . . sumas parciales converge hacia un número S, diremos que S es la suma de los
infinitos términos de la sucesión ( ie S = S(n) =
)
Conclusión: Una serie es convergente la sucesión de sumas parciales es convergente
Ejemplo :
De hecho S(1) = 1 . . .
S(n) =
Obs.: en general , si tal que la serie Se llama serie geométrica, donde
& = S(n) =
=
Obs.: Una serie que NO converge se dice DIVERGENTE, veamos 2 clases de divergencia.
Caso I : Si , decimos que la serie diverge a +
Ejemplos: 1) 1 + 1 + 1 + 1 + . . . . + 1 + . . . . = + Serie.Divergente.2) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . . = + Serie.Divergente 3) - 1 - 3 - 5 - 7 - . . . . = - Serie.Divergente4) Un ejemplo clásico de divergencia es la serie ARMÓNICA.
Demostración:S(1) = 1
.
.
.
> la serie parcial es divergente y
ésta serie es menor que la serie armónica la serie armónica es divergente.
Caso II : La serie diverge, pues su valor puede
ser 1 ó 0, según n sea par ó impar ( esto no se sabe)
TEO. 1.7: Sea una serie convergente
1) Si se elimina o se le agrega un número finito de términos, la (nueva) serie resultante es convergente.
2) Si en ella se altera un número finito de términos, la (nueva) serie resultante también es convergente.
TEO. 1.8.1 : (Condición necesaria para convergencia de series)
Si la serie converge = 0
Demostración:
Sea . Entonces
S(n)
Y también
S(n – 1)
además
Nota: El recíproco de este teorema es falso. Un contra ejemplo: es la serie armónica, pues
& la serie No converge.
8.2 Corolario: Si la sucesión no converge a 0, la serie no puede converger.
Ejemplo:
1) La serie diverge pues =
2) La serie ¿diverge ó converge?
Sol.: = de este resultado nada podemos decir
(de hecho, se verá que la serie diverge)
TEO. 1.8.3 :
1) Si
2) Si
cteskk 21 ,·
Obs.: del Teorema 1.8.3 vemos el carácter lineal de las serie convergentes por ejemplo:
TEO. 1.10.1 : (Criterio de comparación I )
a) Si (Serie Convergente)
entonces
(se dice que la serie domina a la serie )
b) Si & diverge &
entonces diverge.
Demostración: a) Sea
por hipótesis pero
puesto que , es acotada
existe &
(recordar: sucesión monótona & acotada sucesión convergente (Teo1.5 .)
b) Supongamos que es convergente, como por hip.
, sería convergente por a)
pero es divergente no puede ser convergente.
Ejemplo
1) Averiguar convergencia o divergencia de
Sol. :
& Serie armónica
& como la serie armónica es Serie Divergente es Serie Divergente
2) Averiguar convergencia de
Sol.:
(ver obs. Anterior después del teo 1.8.3)
de hecho
3) Averiguar convergencia de
Sol.:
& la serie es divergente (armónica)
es divergente.
4) Averiguar convergencia de
Sol.:
=
=
=
=
(Serie Convergente.)
Así : , , etc.
Nota: una serie se dice serie alternada
Ejemplo: es una serie alternada, pues
TEO. 1.10.2 : Sea una serie con términos positivos y negativos, si la serie de sus valores
absolutos es convergente, entonces , la serie dada ( ) es
convergente.
Dem.: Sea
es convergente pues es convergente
Sea (*)
Sea
es convergente pues es convergente
Sea (**)
Pero
la serie es convergente
Notas:
1) Cuando la serie con términos positivos y negativos cumple con el teorema 1.10.2
(anterior) entonces:
a) Si es convergente se dice que la serie es absolutamente convergente.
b) Si es divergente mientras que la serie converge, se dice que la serie
converge condicionalmente.
2) Una serie alternada es una de las tantas series que cumplen el teorema anterior.
Ejemplo:
Serie Divergente Serie condicionalmente
Convergente.
por otro lado como = ln ( 2), y
reordenando la serie da
ln (2) y reordenando la serie da
y reordenando la serie
da
ln(2) esto se debe a que la serie es
condicionalmente convergente ya que es divergente.
Por lo tanto, podemos comentar que: toda serie condicionalmente convergente puede converger a cualquier número real al efectuarle un reordenamiento de los términos de la serie, como se puede ver en el caso anterior.