Parámetros Máquina Sincrónica

LOS PARÁMETROS PARA LA MÁQUINA SINCRÓNICA EN RÉGIMEN TRANSITORIO

contenido

1.1 Introducción .........................................................................................................2

1.2 La solución para las corrientes durante el cortocircuito .......................................3

1.3 Circuitos equivalentes..........................................................................................4

1.4 Constantes de tiempo y reactancias....................................................................9

1.5 Determinación de las reactancias fundamentales a partir del cortocircuito trifásico ..............................................................................................................10

1.6 Valores base del rotor........................................................................................12

1.7 Circuito equivalente en el eje en cuadratura......................................................13

1.8 Valores base para las variables mecánicas.......................................................16

1.9 Procedimientos alternativos...............................................................................17

Jörg Müller 2005

Los parámetros de la máquina sincrónica en régimen transitorio

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2

Los parámetros para la máquina sincrónica en régimen transitorio

1.1 Introducción La descripción del acoplamiento inductivo entre los devanados del estator y del rotor puede hacerse en términos de inductancias propias y mutuas o en términos de un esquema de acoplamiento inductivo apropiado1. Las inductancias propias y mutuas, si bien se pueden calcular a partir de la información geométrica y de los materiales, no son todas medibles. Esta dificultad se puede obviar si se opta por interpretar el acoplamiento inductivo entre los devanados del estator y del rotor en términos de sendos "transformadores" en los ejes d y q respectivamente. Así, los parámetros asociados al circuito equivalente del "transformador en el eje directo" se pueden determinar a partir de las reactancias y constantes de tiempo transitorias y subtransitorias y del valor inicial de la componente unidireccional transitoria de la corriente de campo. La obtención de los circuitos equivalentes requiere que las inductancias mutuas entre los devanados equivalentes del estator y del rotor deben ser recíprocas. Esta exigencia, siempre satisfecha por devanados físicos, se puede cumplir para los devanados ficticios equivalentes mediante la introducción de valores en p.u. y el uso de cantidades base apropiadas en los circuitos del rotor. El circuito equivalente en el eje directo, obtenido de esta manera, se caracteriza por incorporar un elemento que representa un flujo de dispersión común a los dos circuitos del rotor, ausente en el modelo tradicional, que permite predecir adecuadamente el comportamiento transitorio de la corriente de campo. Este aspecto es de gran importancia para la representación satisfactoria de la máquina sincrónica en el análisis de situaciones como la estabilidad transitoria bajo el efecto de reguladores de tensión rápidos o el comportamiento de sistemas de excitación con semiconductores bajo condiciones transitorias y está incorporado en programas de simulación como el EMTP. En este capítulo se presentará un procedimiento para determinar las reactancias y resistencias, necesarias para la caracterización dinámica de la máquina sincrónica, a partir de los oscilogramas de las corrientes de armadura y de campo durante un cortocircuito trifásico dinámico, es decir, a partir de la aplicación de un escalón de tensión.

1 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 2


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3

1.2 La solución para las corrientes durante el cortocircuito Considérese como punto de partida las ecuaciones (1.7.13), (1.7.14), (1.7.17), (1.7.18) y (1.7.19) del capítulo 1, "Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio", de los apuntes para la asignatura "Máquinas Eléctricas I" ELI-326:

)iLiL(dtd)iLiLiL(

dtdiRv QQ1q1q1DD1ff1d1d1d11d1 +

γ−+++= (1.2.1)

)iLiLiL(dtd)iLiL(

dtdiRv DD1ff1d1d1QQ1q1q1q11q1 ++

γ+++= (1.2.2)

DDfd11ffffff iLiLiL(dtdiRv +++= ) (1.2.3)

( )DDfDfdDDD iLiLiLdtdiR +++= 110 (1.2.4)

)iL+iL(dtd+iR = O q11QQQQQ (1.2.5)

Para un cortocircuito trifásico con velocidad constante a partir de vacío (corrientes de armadura iniciales nulas) se logra las siguientes expresiones para las componentes alternas de frecuencia fundamental de la corriente de la fase a2

)t(cose'X1

"X1e

X1

'X1

X1V2i o1

"T/t

d1d1

'T/t

d1d1d1p)alt(a

dd γ−ω

−+

−+= −− (1.2.6)

y para las componentes unidireccionales de la corriente de campo

, e"T

T-1 - e 'X

'XXI+I = i dd "T/t

d

*D'T/t

d1

d1d1fofofu

− −− (1.2.7)

si se considera que T"d << T'd. Las corrientes quedan expresadas en términos de las reactancias transitoria X'1d y subtransitoria X"1d en el eje directo y de las constantes de tiempo transitoria T'd y subtransitoria T"d y de T*

D, que son funciones derivadas a partir de las reactancias propias y mutuas.

2 Bernard Adkins, "The General Theory of Electrical Machines", John Wiley - New York.


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4

Las reactancias transitoria y subtransitoria corresponden a las reactancias de cortocircuito del "transformador de tres devanados" en el eje directo (d), para cuyo análisis se recurre convenientemente a un circuito equivalente.

1.3 Circuitos equivalentes La formulación de un circuito equivalente pasa por la definición de un esquema de acoplamiento inductivo. Esto puede realizarse en forma explícita con ayuda de la noción circuito electromagnético3, lo que tiene la ventaja de una mayor transparencia física, o, más formalmente, imponiendo que la matriz de reactancias en p.u. sea simétrica. Esto implica que las reactancias mutuas deben ser recíprocas, lo que se logra mediante el uso de valores base adecuados. Esta segunda y más abstracta forma de abordar el problema conduce a topologías alternativas para el circuito equivalente, lo que permite una interesante comparación con el circuito equivalente "tradicional", el que no reproduce adecuadamente el comportamiento de las variables del rotor. En lo que sigue se usa esta segunda posibilidad para derivar en forma sistemática circuitos equivalentes. Para ello se reescribe convenientemente las ecuaciones (1.2.1), (1.2.3) y (1.2.4) en forma matricial y con variables y parámetros expresados en p.u. Los valores base para el estator son las amplitudes de los valores nominales de la tensión (√2V1n) y de la corriente (√2I1n), mientras que los valores base para el campo son Vfb e Ifb y para la jaula VDb e IDb, los que pueden ser elegidos libremente.

−

0v

ev

f

d1d1

=

D

f

rr

r

0000001

D

f

d1

iii

τ+

dd

DDf1D

fDf1f

D1f1d1

xxxxxxxxx

D

f

d1

iii

(1.3.1)

con

x1f = X1f ,V2

I

n1

bf xf1 = 32

X1f bf

n1

VI2

(1.3.2)

x1D = X1D ,V2

I

n1

bD xD1 = 32 X1D

bD

n1

VI2

(1.3.3)

xDf = XDf ,VI

bD

bf xfD = XfD bf

bD

VI

(1.3.4)

3 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía - Capítulo 3


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5

xf = Xf ,VI

bf

bf xD = XD bD

bD

VI

(1.3.5)

τ = ω1 t (1.3.6)

τγ

+=−ddi

xV2

IXixe Q

Q1

n1

QbQ1q1q1d1

43421

, (1.3.7)

donde para los parámetros en p.u. se ha adoptado la notación con letras minúsculas, mientras que para las variables en p.u. no se ha introducido una notación especial, ya que no existe el riesgo de confusiones. Los cuatro valores base para el campo y la jaula representan otros tantos grados de libertad que permiten satisfacer la exigencia que las reactancias mutuas (1.3.2) a (1.3.4) sean recíprocas. Al imponer 1ff1 xx = (1.3.8) y 1DD1 xx = (1.3.9) se exige, como se desprende de (1.3.2) y (1.3.3), que

IV = IV = IV3 DbDbfbfb1n1n . (1.3.10) Se aprecia que en un sistema recíproco la potencia base es común a todos los circuitos. Reemplazando (1.3.10) en (1.3.4) se verifica trivialmente que

DffD xx = . (1.3.11) Como aún quedan dos grados de libertad, se puede exigir que

xxxx d1D1f1 −== , (1.3.12) con lo que se impone al estator el esquema de acoplamiento inductivo de la figura 1.3.1. El último grado de libertad disponible queda expresado convenientemente mediante la reactancia x, que es de libre elección. Los cuatro valores base para el rotor se determinan como función de x a partir de (1.3.2) y (1.3.3), considerando (1.3.10) y (1.3.12).


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6

IIV3 = V , x)-x(

XV2 = I

fb

1n1nfb1d

1f

1nfb (1.3.13)

IIV3 = V , x)-x(

XV2 = I

Db

1n1nDb1d

1D

1nDb (1.3.14)

Si ahora se reemplaza estos valores base en (1.3.4) se obtiene

)x-x()x-x( = x = xc1d

21d

DffD , (1.3.15)

donde x)XXXX

23-(1=x 1d

fD1d

1D1fc (1.3.16)

es una reactancia característica de la máquina.

Φ 1f=Φ 1D=Φ 1d -Φ x

Φ 1d

Φ x

Φ fD=Φ 1d-Φ x+Φ rc

Φ rc

Φ f

Φ Dc

Figura 1.3.1 Esquema de acoplamientoinductivo en el eje directo.


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7

De acuerdo con el esquema de acoplamiento inductivo de la figura 1.3.1 resulta conveniente rescribir (1.3.15) como

x +x)-x( = x rc1dfD (1.3.17) donde

x-xx)-xx)(-x(x

c1d

1dccr = (1.3.18)

representa el flujo común a los dos circuitos del rotor, mientras (x1d - x) representa el flujo común a los tres circuitos en el eje directo. En concordancia con lo anterior, el flujo enlazado respectivamente por los circuitos f y D se puede expresar mediante las reactancias

x + x + x)- x( = x fcrc1df (1.3.19) y

x+x+x)-x(=x Dcrc1dD (1.3.20) Al reunir las expresiones obtenidas para las reactancias propias y mutuas en la matriz de reactancias de (1.3.1) se logra:

(1.3.21)

Se aprecia que estas relaciones son satisfechas por el circuito equivalente galvánico de la figura 1.3.2.

x1d (x 1d -x) (x1d -x) 1d

(x1d -x) (x 1d -x) + xrc + xfc (x1d -x) + xrc f

(x1d-x) (x 1d -x) + xrc (x1d -x) + xrc + xDc D

1d f D

r 1 xσ1

x1d-xσ1

xrc

rD

xDc

xfc

rf

v f

ifi 1d

(v1d -e 1d ) iD

Figura 1.3.2 Circuito equivalente para el eje dcon x=xσ1


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8

Como la reactancia x es de libre elección, puede hacérsela igual a xσ1, la reactancia de dispersión del estator. Pero también es posible elegir x = xc, con lo que se obtiene el circuito equivalente de la figura 1.3.3, donde xrc = 0.

A pesar de las diferencias aparentes, ambos circuitos equivalentes conducen a los mismos resultados.

r 1 x c

x1d-xc

rD

xDc

xfc

rf

vf

ifi 1d

(v 1d-e 1d ) iD

Figura 1.3.3 Circuito equivalente para el eje dcon x=xc

r 1 x σ1

xmdrD

xσD

xσf

rf

vf

ifi 1d

(v 1d-e 1d ) iD

Figura 1.3.4 Esquema de acoplamiento inductivoy circuito equivalente tradicionalpara el eje d

1d D f

Φ σ 1 Φ σD Φ σf

Φ md

1


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9

En cambio, el circuito equivalente "tradicional" de la figura 1.3.4 sólo representa correctamente la situación en el estator y no considera el acoplamiento de los devanados del rotor por flujos que no enlazan al estator (Φrc). El circuito equivalente de la figura 1.3.3, topológicamente similar al de la figura 1.3.4, toma en cuenta este acoplamiento a través de xc, que difiere de la reactancia de dispersión del estator xσ1. En general, para turbogeneradores xc > xσ1, mientras que para máquinas de polos salientes xc < xσ 1. Si se opta por el circuito equivalente de la figura 1.3.2 y se hace x = xσ1, resulta que para turbogeneradores xrc > 0, mientras que para máquinas de polos salientes xrc < 0.

1.4 Constantes de tiempo y reactancias Las constantes de tiempo y reactancias transitorias y subtransitorias que caracterizan a las soluciones para las corrientes en las relaciones (1.2.6) y (1.2.7) pueden ser expresadas en términos de los parámetros del circuito equivalente en el eje directo. Si se toma como base el circuito equivalente de la figura 1.3.3, se tiene que las constantes de tiempo de vacío (estator abierto) en el eje directo son respectivamente

)x-x+x(r

1'T c1dfc

fdo ω≈ (transitoria) (1.4.1)

x-x+x)x-x(x+x

r1="T

c1dcf

c1dcfcD

Dod

ω(subtransitoria) (1.4.2)

Las constantes de tiempo de cortocircuito se calculan como

−+

ω=

d1

cd1ccf

fd x

)xx(xx

r1'T (transitoria) (1.4.3)

x1+

x1+

)x-x(1

1+x r1 = "T

cfcc1d

DcD

d

ω (subtransitoria)

ω xx + x)x-x(

xx)x-x(+xr1 = "T

c1dcc1d

cfcc1dDc

Dd (subtransitoria) (1.4.4)

rx=T

D

cD*D ω

(1.4.5)


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10

La reactancia transitoria se determina considerando a la jaula como si estuviera abierta (iD=0)

x'T'T=

x+x-xx)x-x(+x='x 1d

od

d

fcc1d

fcc1dc1d (1.4.6)

Para la determinación de la reactancia subtransitoria se considera que la jaula está cerrada.

cfcDcd1

cd1

x1

x1

)xx(1

1x"x++

−

+=

xTTTT =

x)x-x( + x)x-x( + xxxx)x-x( + x= "x 1d

dodo

dd

Dcc1dfcc1dfcDc

fcDcc1dc1d ″′

″′ (1.4.7)

1.5 Determinación de las reactancias fundamentales a partir del cortocircuito trifásico

La representación de la evolvente del oscilograma de la corriente de armadura en escala semilogarítmica, según se vio al discutir el ensayo de cortocircuito, permite determinar los valores numéricos correspondientes a cinco parámetros: T'd, T"d, x1d, x'1d y x"1d. Por otro lado, el circuito equivalente de la figura 1.3.3 está caracterizado por seis parámetros: xc, x1d, xDc, xfc, rD y rf. Para obtener la información adicional necesaria se recurre al oscilograma de la corriente de campo. Según se desprende de la ecuación (1.2.7), el valor inicial (t = 0+) de la componente unidireccional de la corriente de campo vale

i"TT

'x'x-x+i=i fo

d

*D

1d

1d1dfouo . (1.5.1)

Sea "T

Tx

x-x = i

i-i = ad

*D

d1

d1d1

fo

fouo

′′

(1.5.2)

De manera que a partir de a, obtenida del oscilograma de la corriente de campo (figura 1.5.1), se puede obtener la constante de tiempo TD

*.


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11

La determinación de a requiere de una cuidadosa evaluación del oscilograma, para lo que se recurre convenientemente al método de la escala semilogarítmica, usado para la determinación de la reactancia subtransitoria4.

Reemplazando (1.4.4) a (1.4.6) en (1.5.2) se obtiene

xx+)x-x(x+)x-x(x)x-x(

xx+x)x-x(xx)x-x(+x

x = afccc1dfcc1dc

2c1d

1dfccc1d

cfcc1dDc

Dc ⋅ (1.5.3)

A partir de las ecuaciones (1.4.3), (1.4.4), (1.4.6), (1.4.7) y (1.5.3) se logran las siguientes relaciones 5:

"xa-'x-x'xa-'x-x "x = x

1d1d1d

1d1d1d1dc (1.5.4)

"x-'x)x-'x)(x"-x(=x

1d1d

cd1c1dDc (1.5.5)

4 Apuntes Máquinas Eléctricas I ELI-326 – Capítulo 3. 5 Yao-nan Yu et al. "Experimental determination of exact equivalent circuit parameters of synchronous machines", IEEE Transactions PAS Nov./ Dec. 1971 (Discussion by M. Canay!).

t/s 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

200

400

600

800

1000

1200

i f /A if

iu

I f0

I u0

0

evolventes

Figura 1.5.1 Oscilograma de la corriente de campo después del cortocircuito en el que se incluye las evolventes y la componente unidireccional.


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12

'x-x)x-x)(x-'x(=x

1d1d

c1dc1dfc (1.5.6)

Tx+x-x=r

D

cDcd1D ω

(1.5.7)

Tx+x-x=r

f

cfcd1f ω

(1.5.8)

)x-x()x"-x)(x-x(+)"x-x)(x-x(

"xx"T = T con

c1d2

c1dcd11d1dc1d

1d

1ddD

''' ′ (1.5.9)

T - 'x

x 'T = Ty D1d

1ddf (1.5.10)

0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24 0.28 100

200

300

400

600

800 1000

i’u

(iu-If0)

iu/A

t/s

Figura 1.5.2 Representación semilogarítmica de las componentes unidireccionales transitoria y subtransitoria de la corriente de campo, después de restar If0.

i”u

(iu0-if0)=(i’u(0)-i”u(0))

que permiten evaluar los coeficientes de la matriz (1.3.21) a partir de la información generada mediante el ensayo de cortocircuito dinámico. La relación (1.5.10) difiere de la relación obtenida anteriormente considerando otras simplificaciones.

1.6 Valores base del rotor Al definir los valores base para el estator en términos de la potencia aparente nominal y de la tensión nominal, todos los parámetros medibles desde el estator como x1d, x'1d, x"1d, x2, r1 resultan independientes de la elección de los valores base para el rotor.


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Las variables y parámetros correspondientes al estator pueden expresarse en unidades físicas multiplicando el valor en p.u. por el correspondiente valor base. En cambio, los parámetros que no pueden ser determinados sólo mediante mediciones desde los terminales de armadura (xD, r D, xDf, etc...) están afectados por la elección de los valores base para el rotor. Pero resulta que en general estos valores base son desconocidos, lo que impide expresar las magnitudes de las variables en términos no relativos (en unidades físicas). En el caso del circuito de campo, sin embargo, es posible conocer junto con el valor para rf dado por (1.1.8) el valor de la resistencia Rf mediante su medición directa.

Como bf

bff V

IRrf = (1.6.1)

y de (1.3.10) IP=V

bf

1nbf (1.6.2)

se tiene que n1

2bf

ff PI

Rr = (1.6.3)

de manera que se puede determinar n1f

fbf P

RrI = (1.6.4)

y IP=V

bf

1nbf (1.6.5)

1.7 Circuito equivalente en el eje en cuadratura Para la obtención del circuito equivalente en el eje q se procede en forma similar que con el eje d. Rescribiendo (1.2.2) y (1.2.5) en forma matricial y en p.u. se tiene, en analogía con (1.3.1), que

−

0ev q1q1 =

Q

1

r00r

Q

q1

ii

τ

+dd

Q

q

QQ

Qq

ii

xxxx 1

1

11 (1.7.1)

con VI X= x

1n

1n1q1q (1.7.2)

VI X = x

Qb

QbQQ (1.7.3)


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14

V2I X = x

1n

Qb1Q1Q (1.7.4)

VI2 X 2

3 = xQb

1n1QQ1 (1.7.5)

y [ ]τγ

++=ddixixixe DD1ff1d1d1q1 . (1.7.6)

Para que la matriz de reactancias sea simétrica, es decir, x1Q = xQ1, debe cumplirse la relación (1.3.10)

I V3 = IV 1n1nQbQb (1.3.10a) Del grado de libertad restante se puede disponer en forma similar a (1.3.14) anotando

x-x = x 1q1Q (1.7.7) Con esto la matriz de reactancias toma la forma

(1.7.8)

x1q x1q-x 1q x1q-x x1q-x-xQc Q 1q Q

Φ1q

Φx

ΦQΦQc

Figura 5.3.1 Esquema de acoplamientoinductivo en el eje q

Φ1Q=Φ1q -Φx


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15

donde, en correspondencia con el esquema de acoplamiento inductivo de la figura 1.7.1, se anotó

( )Qcq1Q xxxx +−= (1.7.9) A (1.7.8) le corresponde el circuito equivalente de la figura 1.7.2. Para facilitar la determinación de los parámetros a partir de mediciones realizadas en la máquina, en este caso conviene hacer x = 0, así, mediante la reactancia subtransitoria en el eje q

Qcq1

Qcq1q1 xx

xxx

+=′′ , (1.7.10)

determinada ya sea con el método de Dalton-Cameron6, ya sea a través de la evaluación de un rechazo de carga con la reacción de armadura alineada en el eje en cuadratura7, se calcula

. "x - x

x "x = x1q1q

1q1qQc (1.7.11)

Por otro lado, mediante el ensayo de deslizamiento se determina x1d (s) y x1q (s) para varios valores de deslizamiento.

Reemplazando en el circuito equivalente de la figura 1.7.2 rQ por (rQ/s) se puede escribir para la reactancia x1q (s)

6 IEEE Std 115-1995 Test Procedures for Synchronous Machines 11.13.1.2 7 F.P.de Mello, J.R.Ribeiro "Derivation of synchronous machine parameters from test" IEEE-PAS-96,N°4

r1 x

x1q-xrQ

xQc

i 1q

(v 1q -e 1q ) iQ

Figura 1.7.2 Circuito equivalente para el eje q


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16

x + )/sr(

]xx + )/sr[(x = (s)x 2

Q2

Q

QQc2

Q1q1q con xQ = x1q + xQc (1.7.12)

la que, al realizar la división sintética, toma la forma

x + )/sr(x x - x = (s)x 2

Q2

Q

Q21q

1q1q de donde (1.7.13)

, xx +

s1

xxr =

(s)x - x1

21q

Q2

Q21q

2Q

1q1q (1.7.14)

expresión que puede ser evaluada gráficamente (figura 1.7.3) para la determinación de rQ. El intercepto con el eje de abscisas es igual a

)T(=rx 2

qOQ

Q2

′′ω

, (1.7.15)

por lo que Tx=r

qO

QQ

′′ω (1.7.16)

1.8 Valores base para las variables mecánicas La descripción dinámica de la máquina se completa con la ecuación de equilibrio de los momentos:

T -]i - i p[ 23 =

dtd

pJ

m1d1q1q1d2

2

ψψγ (1.8.1)

Considerando que el valor base para los enlaces de flujo del estator es

, V2 = 1

1n1b ω

ψ (1.8.2)

(1.8.1) toma la siguiente forma en términos de valores relativos (p.u.):

2q1x

Qx

( ) ( )20qT1

2

QrQx "ω=

( )2s1

( )sq1xq1x1

−

Figura 1.7.3 Obtención de rQ a partir del ensayo de deslizamiento


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17

t-]i-i[=dd2H m1d1q1q1d2

2

1 ψψτ

γω (1.8.3)

donde pS2

J=H 2n

2ω (1.8.4)

es la constante de inercia con la dimensión tiempo, el doble de cuyo valor referido

T=2H a1ω (1.8.5) es la constante de tiempo de arranque (en p.u.) de la máquina. Bajo el efecto de un momento constante igual a Tn=pSn/ω1 la máquina aceleraría desde ωm=0 hasta ωm=ω1/p en 2H[s] o Ta [radianes]. La siguiente tabla contiene rangos de valores típicos para la constante de inercia de diferentes tipos de máquinas En términos de la constante de tiempo de arranque Ta la ecuación de movimiento mecánico toma la forma adimensional

[ ] . t-ii = dd

T md1q1q1d12

2

a ψ−ψτγ (1.8.6)

1.9 Procedimientos alternativos Los párrafos anteriores enfatizaron la relación entre los parámetros medibles a través de ensayos de cortocircuito y de deslizamiento y los parámetros de las ecuaciones de Park (1.22 – 1.25). Como estos ensayos no están exentos de riesgo y son difíciles de realizar en máquinas en servicio, en la práctica se prefiere obtener estos parámetros a partir de ensayos de rechazo de carga con la reacción de armadura alineada respectivamente en los ejes d y q8.

8 F.P.de Mello, J.R.Ribeiro "Derivation of synchronous machine parameters from test" IEEE-PAS-96, N°4, July/August 1977

H en segundos Tipo de máquina5 - 7 Turbogenerador 2 – 4 Hidrogenerador

0,5 – 1,5 Motor sincrónico 0,05 – 1,5 Motor asincrónico

Parámetros Máquina Sincrónica

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