CONCEPTOSDE MATEMATICA

• © • O OPARA EL MAESTRO

EL PROFESOR

jC EL ESTUDIANTE□ o m mO 9i En este número:

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Olimpíada matemática.,~. Marsliall II. Stone.

La probabilidad y su medida.

Los conjuntos en la escuela primaria.

El proyecto Southampton.

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Olivetti proyecta produce distribuye ias máquinas de la información!

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INFORMES: EN TU E80UELA 0 EN ELINEOUAS HERAS 2540, CAPITAL FEDERAL)

MINISTERIO DE CULTURA y EDUCACION

INSTITUTO NACIONAL PARA EL MEJORAMIENTO

DE LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS (IN E C)

iggidlflCERTOS1FUNTAP DE MATEMATICACONCEPTOSDE MATEMATICA PUBLICACION TRIMESTRAL

Sede: Fernández Blanco 2045 - Bs.AÑO IV Octubre-Noviembre-Diciembre 1970 No 16

CARTA AL LECTORAs.Domicilio particular del director:

Paraguay 1949 - 6o A - Bs. As.* Con este número se cumple el cuarto año de vida de CON-

CEPTOS DE MATEMATICA y queda para sus consecuentes lectores el juicio sobre Ia labor cumplida. Sabemos que no es­tamos exentos, ni mucho menos, de errores, pero, en medio de tantas dificultades como las que hemos tenido que vencer, estamos satisfechos de la labor realizada y de haber cumplido con los propósitos que nos propusiéramos y que son de so­bra conocidos.* No pensamos desertar de la tarea e iniciaremos el nuevo año con renovado ímpetu. Nos ha de hacer falta para el cumplimiento de nuestro quehacer porque, sin duda, las cir­cunstancias no parecen mejorar. Este año hemos debido soportar dos importantes aumentos en todos los precios de producción y hemos podido hacerlo gracias aI apoyo de per­sonas desinteresadas que, entendiendo necesaria la continui­dad de la aparición de la revista, se han brindado gentilmente para que pudiéramos vencer las dificultades.* Examinada cuidadosamente la situación y dado que resulta imposible asignar un valor de suscripción que esté fuera del alcance de los docentes, hemos resuelto fijar en 12 pesos ley 18.188 el valor de la suscripción por 1971 quedando inva­riable el de 4 dólares fijado para las suscripciones del exte­rior. Pero entendiendo que ello no ha de bastar para las necesidades actuales, hemos creado la categoría de PRO­TECTORES DE LA REVISTA para que aquellas que puedan y quieran hacerlo colaboren con una suma acorde con sus posibilidades. Sabemos que este requerimiento encontrará la solidaridad de algunos de nuestros suscriptores y que otros, impedidos de hacerlo personalmente por circunstancias muy respetables, no tendrán dificultad en encontrar algún medio de colaboración. En cada una de las ciudades argentinas, existe por lo menos alguna empresa a la cual le resultará muy fácil secundarnos en nuestra tarea sabiendo que con­tarán con el agradecimiento de los docentes de su medio y de los docentes latinoamericanos. Recuérdase que CON­CEPTOS DE MA TEMA TICA es, en todo el mundo, la única revista en castellano dedicada a los problemas científicos y pedagógicos de la enseñanza de la matemática.

Esperamos que este llamado sea calurosamente acogido y que CONCEPTOS DE MATEMATICA pueda proseguir su función docente.

Finalizamos deseando a nuestros lectores felices fiestas y un próspero año 1971.

Director - EditorJOSE BANFl

❖

VAsesores: José Babini, Juan I. Bla-

quier, Frédérique Papy, Georges Papy, Luis A. Santaló.

Redactores: Raúl A. Chiappe, Emi­lio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydée Fernández, Atilio Piaña, Elsa SabbattieHo, Andrés Valeiras y Cristina Verdaguer de Banfi.

Dibujante: Arquitecto Julio R. Juan.

Suscripción anual: Argentina mSn. .,12.- Exterior, 4 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMA­TICA.

Ejemplar suelto: mSn. 350.-Ejemplar atrasado: m$n.400.-.Lugares de venta: En nuestra sede,

Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Libería y Edi­torial El Ateneo, Florida 340; Li­brería del Colegio, Alsina y Bolí­var; Librería General de Tomás Pardo, Maipú 618: Librería Rc- sio. Callao 621; Librería Santa Fe, Santa Fe 2427, Buenos Ai­res; Librería del Azul, San Mar­tín 472, Azul; Librería “F.ras- mo”, San Martín 3330, Mar del Plata; Librería El Universitario, H. Irigoyen y San Juan. Corrien-

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tual: No 966.821.

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♦Impreso en COGTAL

Rivadavia 767, Capital

< §« 8 | _S 5 S> I FRANQUEO PAGADO ^ u < | Concesión N° 2687

INTERES GENERAL Concesión N° 8205E.D.A. S.A.G.I.I. y E. (En form.)

Av. Forest 774 • Tel. 64-1396 - Buenos Aires

EL DIRECTOR

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UN EDITORIAL LA ENTREVISTA

Marshail H Stoneen justa oímpicaLa matemática

Una vez más nos ha visitado Marshail H. Stone y una vez más hemos estado en contac­to con sus altos valores científicos y humanos. Invistió la representación de la C.I.A.E.M. (Comisión Interamericana para la Enseñanza de la Matemática) cuya presidencia ejerce acompañado en la vicepresidencia por el dele­gado argentino y asesor de CONCEPTOS DE MATEMATICA, Dr. Luis A. Santaló.

Su llegada, el 5 de diciembre, en compañía de su esposa nos acordó el privilegio de larga conversación acerca de los objetivos de su viaje. El profesor Stone, cuya amistad nos honra, es un enamorado de nuestro país y prolongará su estadía para volver a visitar San Carlos de Bariloche y la región de los lagos, a la que considera de privilegiada belleza natu­ral. Conversamos desde Ezeiza hasta el hotel sin la formalidad de las entrevistas. Stone es demasiado cordial y demasiado franco como para que hubiera necesidad de interrogatorio.

En lo que se refiere a los objetivos de su viaje nos dijo que habiendo transcurrido unos. 9 años de la Conferencia de Bogotá y unos cuatro de la Conferencia de Lima, era llegada la hora de examinar sus consecuencias, de sa­ber cómo se habían llevado a la práctica sus recomendaciones y cuáles dificultades habían surgido y qué nuevos proyectos estaban en marcha. De lo que se trataba, en suma, era de reunir los antecedentes para la celebración de un nuevo Congreso al año próximo. No estaba seguro de si convenía una reunión general, a la manera de las anteriores, o diversas reuniones parciales cuyas conclusiones analizaría el co­mité ejecutivo de la C.I.A.E.M. Todo se dis­cutiría con Santaló, sin descuidar entrevistarse con la Comisión Argentina de la C.I.A.E.M., con la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática, con las autoridades del I.N.E.C. (Instituto Nacional para la Enseñanza

_de las Ciencias) y con los profesores, argen­

tinos en una conferencia que CONCEPTOS DE MATEMATICA tendrá el honor de aus­piciar y que se realizará en el Colegio Nacional de Buenos Aires.

Al informarle al Dr. Stone sobre algunas de las características de la enseñanza actual de la matemática entre nosotros y de algunas de las dificultades que se presentan, nos indicó que, al igual que en otros países, ellas derivaban de la complejidad del problema y, a veces, de la falta de comprensión, de las dificultades eco­nómicas o de otros tipos. Esto es más evidente en nuestro continente por más que los pro­gresos obtenidos no sean desdeñables, lejos de ello. De ahí la necesidad del consejo oportuno de personas representativas, de llegar con ins­trucciones precisas y material adecuado, es­pecialmente a las zonas en que los docentes no les resulta fácil obtener información mo­derna. Tuvo palabras de elogio —que agrade­cemos— para nuestra labor y nos instó a pro­seguirlas pese a las dificultades que pudieran surgir porque "en castellano no conozco otra revista de ese tipo".

Con referencia a lo que se está haciendo en el resto del mundo nos habló de los progresos de distintos planes, con los naturales tropiezos pero con un loable espíritu de iniciativa; de todos ellos le parece de lo mejor los planes de los países escandinavos, singularmente el de Dinamarca. Agregó que incluso en Rusia, que hasta hace poco se mantenía apegada a las normas tradicionales, desde hace un par de años se ha producido un gran vuelco con la vigencia de programas modernos.

Stone, con la fuerza de su creencia en la imperiosa necesidad de llevar adelante la tarea a la que está dedicado y que a veces le ha impedido proseguir con sus trabajos de inves­tigación mediante la cual se ha colocado entre los primeros matemáticos del mundo, piensa sinceramente que se está andando por el buen

Hace ya bastante tiempo que en la Argentina, al igual que sucede en el resto del mundo, se ha difun­dido una positiva preocupación a este respecto. La actualización de los contenidos y, sobre todo, de la metodología de la enseñanza de esta disciplina re­presenta un movimiento amplio y que ha llegado a un gran porcentaje de los ámbitos docentes. Es to­davía muy lenta, sin embargo, la renovación pro­funda que debiera hacerse y convendría que se pu­diera avanzar por ese camino con mucho mayor decisión. Estas olimpíadas que a partir del año próxi­mo se realizarán —y que en forma experimental o en establecimientos aislados han sentado ya valiosos an­tecedentes— son parte de impulso renovador que conviene intensificar.

Es sabido que las naciones tienen actualmente sus riquezas esenciales en la ciencia y en el aprovecha­miento de la inteligencia de sus hijos. Es necesario, por jo tanto, transformar radicalmente aquella vieja tradición de cierto temor y hostilidad que suele acompañar todavía a la matemática en el ánimo adolescente y juvenil y despertar, por el contrario, entusiasmo hacia su estudio y profundización. Las competencias anunciadas pueden hacer mucho en tal sentido.

Será indispensable, con todo, tomar algunas pre­cauciones. La primera, evitar que nazca un nefasto espíritu de competición o de afán de triunfo de unos sobre otros; ello deterioraría los principios esencialos sobre los que se basa el espíritu científico, que deba caracterizarse por el afán de cooperación y el aban­dono de toda ambición de vanagloria personal. Lue­go, ha de recordarse que no se procura con este tipo de actividades descubrir genios con el objeto de ex­hibirlos, sino estimular a todos al desenvolvimiento da sus aptitudes y que más importante, quizá, que el hallazgo de un talento de excepción puede ser la cabal utilización de múltiples talentos do buen nivel. Finalmente, las autoridades deberán velar para que el afán competitivo o exhibicionista no se difunda ins­titucionalmente entre los establecimientos que par­ticipen de las olimpíadas, a fin de que su auténtica finalidad no quede dea/irtuada.

De ésta manera, el país podrá asistir a un torneo olímpico donde lucirá la mente de nuestra ÍuventlV y cuyos beneficios recaerán sobre la sociedad en conjunto.

Con el mismo propósito con que hasta ahora se han efectuado las Ferias de Cioncias- en los estable­cimientos de enseñanza media de todo el país, y que a lo largo de varios años han demostrado sus posi­tivos efectos sobre la juventud como estimuladoras de inquietudes científicas, se realizarán durante 1971 olimpíadas escolares de matemática, que culminarán en jornadas de carácter nacional. El nombre dado a estas actividades no dobe desorientar y hacer creer que se trata de torneos en los que se prentede vencer sobre los adversarios. Por el contrario, la intención es revivir el sentido más puro de las clásicas compe­tencias helénicas y despertar en los alumnos el afán desinteresado por el saber, así como el ontusiasmo por llegar a niveles cada vez más altos de cono­cimientos.

Podría pensarse que la idea es nada más que una interesante iniciativa didáctica, cuyo valor queda re­ducido a los ámbitos pedagógicos en los que se des­envuelve. Es, sin embargo, algo que va mucho más allá y que por lo tanto debe interesar a toda la co­munidad. Es conveniente, en consecuencia, alertar a la opinión pública para que cobre conciencia de la trascendencia que estas labores docentes alcanzan sobre la vida entera de la sociedad.

La matemática ha constituido desde antaño, una disciplina con fama negra entre los estudiantes de los cursos secundarios. Es común que ea la considere una grave dificultad, y a veces termina por alzarse como un escollo insalvable para muchos alumnos. Existe unanimidad de opiniones entre los especialistas en cuestiones didácticas en atribuir buena porte de responsabilidad en tal situación a errores metodoló­gicos que a veces arrancan desde los primeros grados de la escuela primaria y suelen prolongarse en las aulas del nivel medio. Pero lo que antaño se reducía a un motivo de preocupación para los jóvenes y sus padres -o, a lo sumo, para los especialistas en estos temas— se ha convertido en un grave problema social general. Porque la matemática ha pasado en la ac­tualidad a formar perte del bagaje formativo inelu­dible de la casi totalidad de los altos estudios, y las necesidades que con respecto a estos contenidos exis­ten hoy son incomparablemente mayores que pocas décadas atrás. Estimular el gusto personal por la matemática, capacitar para su aprendizaje hasta sus más altos niveles y orientar vocaciones para formar especialistas es hoy una exigencia que afrontan todos los países medianamente desarrollados.

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ORIENTACIONde ellos realmente ingeniosos. Si logramos que los estudianes

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tes, algunoscamino. "Observe Ud. Están apareciendo muí-buenos, en los de alguna manera

comprendan que pensar esesencial para el tratamiento de las situa-

científicas como cotidianas y que

titud de libros, muchos muy que se desarrolla el aspecto moderno. Y ade­más, lo que me parece muy importante re-

mucho más interesantes para los alum- . Sin dejar de lado la explicación rigurosa

de los conceptos, agregan otros aspectos muy vocabularios, temas selectos,

aspectos históricos, temas recreativos, etc. que acercan los libros a los estudiantes. Agréguense los nuevos materiales que surgen en todas par-

manaciones tanto es fundamental saberse plantear los problemas

de ellas derivan aún cuando no siempre resolverlos, habremos dado un gran

nuestro empeño de dar a los jóvenes enseñanza acorde cqn los tiempos que

sultánnos que

podamosatractivos como Métodos deductivos en matemáticapaso en

una corren".

Cari B. ALLENDOERFER (EE.UU.)

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El estudio de la geometría demostrativa ha sido parte esencial de la educación de los hombres desde el mismo principio de nuestra civilización occidental. Su descubrimiento no sólo fue una contribución al progreso de la matemática sino también el factor principal para la formación de nuestros métodos de pensamiento en campos tales como la filoso­fía, religión, ciencia, política y literatura. No es nuestro propósito bosquejar aquí toda la amplia influencia de este tema sobre nuestra cultura. Queremos más bien discutir la natura­leza esencial de los métodos de Euclides, su influencia sobre la matemática, su lugar en el pensamiento matemático moderno y su impor­tancia en la educación de los estudiantes secundarios.

Examinemos primero el curso de geometría racional tal como se la enseña comúnmente en los años finales del ciclo básico. Se puede con­siderar que este curso tiene tres objetivos prin­cipales: 1) enseñar algunos de los hechos importantes de la geometría, como, por ejem­plo, las propiedades de los triángulos, círculos, rectas paralelas y otros por el estilo; 2) ense­ñar el método deductivo tal como se lo aplica en el razonamiento matemático, dando así a los estudiantes una muestra de la naturaleza

del razonamiento matemático; 3) enseñar razonamiento lógico per se y mostrar a los estudiantes cómo se lo puede aplicar en situa­ciones no matemáticas. Esto es en gran parte lo que se puede esperar de cualquier curso particular, y por eso no es sorprendente que haya sido objeto de críticas y que careciera de popularidad. Gran parte de la dificultad deriva del hecho de que el curso combina la geome­tría con el razonamiento lógico en forma tal que muchos estudiantes tienen la idea de que el razonamiento lógico está restringido a situa­ciones geométricas. Cuando encuentran dificul­tades en geometría aumentan su resentimiento contra la lógica general.

Tal como se ha desarrollado la matemática parece no existir razones que obliguen a usar la geometría de Euclides como el ejemplo principal del método deductivo de razona­miento lógico. De hecho, existen razones para creer que dicha geometría es incluso un ejem­plo infortunado para emplear con los princi­piantes. La geometría euclidiana es un sistema matemático bastante complicado y, tal como se la presenta en muchos libros de texto, ni siquiera es completamente lógica. Euclides comienza con un número más bien grande de axiomas y postulados, algunos de los cuales no

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El profesor Stone, a la derecha, conel director de CONCEPTOS DE MATEMATICA

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punto: intersección de dos rectas; recta: distancia mas corta entre dos puntos.

El descubrimiento de tales cadenas circu­lares de definiciones es un buen ejercicio para los estudiantes. Otro buen ejercicio consiste en proporcionar a los estudiantes un diccionario de una lengua extranjera (destinada tan sólo a los nativos de ese país) y pedirles que encuen­tren el significado de algún término particular en e$e lenguaje usando sólo ese diccionario particular.

Mediante estos recursos, podemos conven­cer a nuestros estudiantes que el proceso de la formación de definiciones es un proceso cir­cular que no es útil para nosotros a menos que podamos hacer un corte en el círculo y comenzar en alguna parte. En un sistema deductivo, esto se cumple eligiendo un pe­queño número de términos que no se defi­nirán, a los cuales no asignaremos ningún sig­nificado. Podemos emplear términos comunes, por ejemplo "punto" y "recta" como térmi­nos no definidos, pero, cuando hacemos eso, debemos quitar de nuestras mentes todas las connotaciones con las cuales ordinariamente asociamos a estos términos. Acaso fuera mejor comenzar con algunos términos sin sentido, como "pont" y "gerd". La elección de tér­minos no definidos dependerá, por supuesto, del sistema deductivo particular que estamos construyendo. Más adelante veremos algunos ejemplos de cómo se los elije en casos par­ticulares.

Términos definidos. Una vez que tenemos un vocabulario básico de términos no de­finidos, podemos definir otros términos en función de ellos. Al proceder 'así, podemos admitir que tenemos cierto lenguaje ordinario, no técnico, para ayudarnos. Empleando los términos no definidos y los términos no téc­nicos de nuestro lenguaje común, procedemos a definir términos técnicos adicionales en nuestro sistema deductivo. Supongamos que en geometría "punto", "segmento de recta" y "unir" sean términos indefinidos. Entonces, podemos definir un triángulo cómo la figura constituida por tres puntos (no unidos por un solo segmento de recta) y los tres segmentos de recta que unen a esos puntos de a pares. Obsérvese que hemos usado cierto número de términos castellanos comunes como cons­tituida", |"tres", "pares", etc., puesto que ellos no tienen un significado técnico en geometría como tales.

Proposiciones Cuando hemos construido un vocabulario adecuado de términos técnicos —tanto no definidos como definidos— ya es­tamos en condiciones de formar sentencias que emplean esos términos y también tér­minos castellanos no técnicos. Estas sentencias deben observar las reglas usuales de la buena gramática y también se las debe establecer tan claramente que tenga significado denominarlas "verdaderas" o "falsas". Por ejemplo, el si­guiente enunciado es demasiado vago como para que se lo pueda permitir: "Un triángulo consiste de tres rectas y tres puntos". Por su­puesto, no tenemos que saber si alguna de nuestras sentencias es verdadera o falsa para poder usarla; uno de nuestros problemas será el de establecer la verdad o falsedad a medida que avanza nuestro trabajo. Muchas de las sentencias redactadas por la gente común dejan de tener esta última propiedad, pues a menudo están malamente establecidas de modo que su verdad o falsedad debe ser cali­ficada. De cualquier modo, los matemáticos son prudentes y usan del lenguaje con mayor precisión que lo usual en el habla común. Aun así es posible entrar en dificultades. Consi­deremos la siguiente sentencia que, para abre­viar, denominaré S:

S: "Toda sentencia que contenga más de nueve, palabras.es falsa". Si admitimos que S es verdadera, entonces, puesto que S contiene diez palabras, también es falsa. Vemos enton­ces que S no es totalmente una sentencia apropiada para que la usemos en nuestro sis­tema deductivo. Los lógicos han dado reglas bastante cuidadosas relativas a la formación de sentencias que no serán permitidas en las dis­cusiones, pero ellas son demasiado complica­das para ser dadas aquí. Si el estudiante es cuidadoso acerca de su uso del lenguaje y

' evita sentencias engañosas como S, probable­mente no caerá en dificultades de este tipo. Daremos ahora el nombre técnico de propo-

j siciones a las sentencias que están permitidas en nuestro discurso.

Hemos admitido que toda proposición puede ser significativamente denominada ver­dadera o falsa, pero nuestra discusión sobre esos términos ha sido algo engañosa. Esos términos, "verdadero" y "falso" tienen con­notaciones basadas en nuestra experiencia o fi­losofía particular, y estas connotaciones deben ser desechadas en este punto. Para nosotros, es ahora mejor olvidar los significados usuales de

cipal parte de este artículo está dedicada al desarrollo de este conjunto de ¡deas.

son particularmente de naturaleza elemental; pero el estudiante moderno ha hallado que incluso no son suficientes para el desarrollo completamente riguroso del tema. Aun cuando sea dudoso que muchos estudiantes estén incómodos por los deslices lógicos de Euclides, ciertamente pueden estar sometidos a la con­fusión a causa de la complejidad del tema, y no ven el bosque por los árboles. La razón de que la geometría euclidiana haya sido tradicio­nalmente usada como el primer ejemplo de razonamiento lógico es que hasta tiempos recientes no había otro ejemplo que pudieran aplicar los docentes. Ahora hay otros disponi­bles; además, cierto número de otros ejemplos matemáticos de sistemas deductivos ayudarán mucho más eficazmente a este propósito.

Uno de los ejemplos más simples de teoría deductiva que puede emplear el docente es el de "grupo". Esta es una noción deductiva que puede emplear el estrechas vinculaciones con la aritmética y el álgebra ordinarias así como con otras disciplinas matemáticas más compli­cadas. Otro ejemplo muy simple es el de una "geometría proyectiva finita". Las ideas de una geometría semejante pueden ser fácilmen­te introducidas en el ciclo básico, y serían mucho más comprensibles para los estudiantes que la usual geometría de Euclides. Más ade­lante discutiremos los detalles de un sistema tal. Sistemas deductivos más complicados se presentan en todas las ramas de la matemática, y dos de ellas. Cuerpos y Algebra de Boole, han demostrado ser de máxima importancia.

LO ESENCIAL DE UN SISTEMA DEDUCTIVO

Términos no definidos. Lo primero que se requiere para la comprensión de cualquier

del conocimiento es que el estudiante los significados de los términos que

ramaconozcaestá empleando. A edad temprana el niño aprende los significados de palabras tales como "perro" cuando su madre señala a un animal y lo llama "perro". A medida que va creciendo se le enseña a buscar los significados de los términos no familiares en un diccionario, donde presumiblemente los encontrará expli­cados mediante el uso de palabras que ya conoce. Entonces comienza a creer que cada palabra tiene una definición y que en realidad debería conocer un nuevo tema aprendiendo

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las definiciones de las palabras especiales que „ tienen significados técnicos en dicho tema.

Debido a esta experiencia, resulta un duro golpe para un joven estudiante cuando su maestro le dice que ciertos términos están "indefinidos". Esto no sólo es contrario a su experiencia diaria, sino que además él puede encontrar las así llamadas definiciones de esos términos en su diccionario. Lo real es, .sin embargo, que el punto de partida de cualquier sistema deductivo, es la elección de un conjun­to de términos a los cuales se toma como completamente indefinidos. En verdad, éste es uno de los puntos esenciales en que difiere un sistema deductivo de cualquier cosa que un estudiante haya aprendido antes. Es, por tan­to, muy importante que comprenda la razón de esta nueva conducta.

Una pequeña experiencia con un dicciona­rio mostrará al estudiante que el diccionario carece de utilidad si al comenzar no conoce los significados de algunos términos. Porque sin conocer algunos términos no puede ni si­quiera comprender la definición más simple. Si examina la definición de cualquier palabra, verá que se emplean otros términos; luego examinará esos otros términos y encontrará sus definiciones; examinará luego estas últimes definiciones, etc. Eventualmente, él mismo se encontrará andando en círculos como los si­guientes:

Puesto qué el método deductivo es parte esencial def pensamiento matemático moder­no, el docente debería usar cualquier oportu­nidad para ilustrarlo en todos los aspectos de su trabajo. No obstante, acaso la ilustración no baste para enseñar a los estudiantes la es­tructura esencial de un sistema deductivo. En alguna etapa de los planes de estudio de la matemática de la escuela secundaria debería haber una seria discusión de los sistemas de­ductivos per se, y también deberían emplearse posteriores aplicaciones a situaciones matemá­ticas y no matemáticas para reforzar la com­prensión de Jos estudiantes sobre los métodos deductivos. Acaso el momento adecuado esto sea al ooncluir el ciclo básico, pero nin­gún juicio firme al respecto se puede hacer antes de que se haya llevado a cabo mucho trabajo experimental en la enseñanza. La prin-

para

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trar algún modelo que emerge de su asunto. Cuando este modelo ha sido ensayado, está pronto para tratar de erigir su sistema deducti­vo y de elegir sus términos no definidos y sus axiomas. Examinemos dos ejemplos de este tipo de proceso.

Existe la leyenda según la cual la geometría plana se desarrolló por las necesidades prácti­cas de los granjeros de los tiempos antiguos que deseaban establecer limites para sus cam­pos y para resolver otros problemas de medi­ción de las tierras. Ellos bien pudieron haber observado ciertos hechos elementales sobre los campos tales como la proposición: "Dos lineas limítrofes se encuentran en una esquina; entre cada dos esquinas hay una línea limítrofe", y otros por el estilo. Para erigir su sistema de­ductivo deben entonces haber construido una formación como la siguiente:

ban interesados en este asunto. Anotaremos que los observadores muy bien pueden encon trarse con sistemas axiomáticos diferentes cuando enfrentan situaciones prácticas diferen­tes. En la antigüedad el hombre no se alejaba mucho de su hogar y su experiencia puede haberle conducido a aceptar como axioma que:

osos términos y tratarlos como "rótulos" no definidos que colgamos de las proposiciones. La vinculación entre estos rótulos y los signifi­cados usuales de los términos resultará eviden­te cuando más adelante lleguemos a discutir la relación entre los sistemas deductivos y sus aplicaciones a la naturaleza.

Ahora nuestra tarea básica es colgar un rótulo de verdadera o falsa sobre todas las proposiciones de nuestro sistema en que poda­mos hacerlo, o por lo menos sobre las proposi­ciones que nos interesan más. Como en el caso de los términos y sus definiciones, podemos no progresar en este sentido a menos que ten­gamos un lugar de salida. Debemos tomar algunas proposiciones -con preferencia, relati­vamente pocas y arbitrariamente denominar­las verdaderas o falsas. Es usual formular esas proposiciones de modo que todos los rótulos que le correspondan sean "verdadera". Cuando hemos elegido un conjunto semejante de pro­posiciones "verdaderas" iniciales, hemos esta­blecido un conjunto de axiomas. Subrayando, hemos establecido que:

Un axioma es una proposición inicial que se admite como cierta.

En Euclides hay una división de las propo­siciones iniciales en axiomas y postulados, pero la diferencia entre estos dos tipos de proposiciones es muy artificial; ignoraremos este punto y designaremos a todas las proposi­ciones de este tipo con el único nombre dee "axiomas".

En muchos tratamientos introductorios se dice que un axioma es una verdad evidente por sí misma, y este enunciado será aclarado más adelante. No queremos adoptar este pun­to de vista. Cualquier conjunto de axiomas puede ser usado como punto de partida de un sistema deductivo; no necesitando de ningún modo ser evidentes por sí mismos y no existe peligro incluso si cuestionamos la validez de algunos de ellos o de todos. Para los propósi­tos del sistema que estamos construyendo, admitiremos que ellos son verdaderos. Si hemos elegido un mal conjunto de axiomas, nuestro sistema deductivo puede dificultades como la de ser inconsistente, o bien puede no sernos útil en aplicaciones. (Se dice que un sistema deductivo es inconsistente si existe alguna proposición del sistema de la cual se puede probar que es tanto "verdadera" como falsa . Todavía tenemos el derecho de elegir los axiomas que nos plazcan, en la me­

dida en que tenemos que sufrir las consecuen­cias de tal elección.

Una vez que tenemos establecidos nuestros axiomas, procedemos a combinarlos en propo­siciones más complicadas, y deseamos tener re­glas para colocar "rótulos" sobre ellas. Estas reglas constituyen lo que usualmente se deno­mina "cálculo propocisional" y son las herra­mientas básicas de la lógica. Esas reglas son arbitrarias en cierta medida, pero hay un con­junto que es usado por casi todos lo matemá­ticos, y que discutiremos en detalle más ade­lante. Usando estas reglas para determinar los rótulos más apropiados para proposiciones cada vez más complicadas, desarropamos !a superestructura de nuestro sistema deductivo. Las proposiciones que resultan verdaderas, son denominadas teoremas.

Síntesis: Un sistema deductivo consiste de una colección de términos no definidos, de otros términos definidos en función de aqué­llos y de términos castellanos comunes, de proposiciones iniciales denominadas axiomas que admitimos son verdaderas, y de una colec­ción de proposiciones denominadas teoremas que determinamos son ciertas sobre la base de nuestros axiomas y las leyes admitidas de la lógica. Nos encaminamos ahora a una discu­sión más detallada de las distintas componen­tes de un sistema deductivo.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180 grados.

Sin embargo, otros hombres más aventure ros descubrieron que la tierra es en verdad una esfera, y esta observación puede haberlos con ducido al axioma:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados.

No es el caso de argüir cuál de estos axio­mas es correcto; cada uno es una descripción de lo encontrado por los observadores en sus investigaciones, y cada uno puede ser usado como axioma para una geometría útil.

Como segundo ejemplo consideremos un sistema algebraico abstracto motivado por nuestra experiencia con la adición de pares de números naturales (esto es, números enteros positivos). Observamos que son cié?tos los siguientes enunciados:1) Podemos sumar cualquier par de números

naturales y obtener un número natural.2) La suma de dos números, como 2 I- 7, es

igual a la suma de esos mismos números tomados en orden inverso, esto es 7 + 2.

3) La adición sucesiva de tres números, como (3+6 + 4, da el mismo resultado que si se hubiera realizado la adición en el orden 3 + (6 + 4).

4) Si la adición de un número, digamos 4, un número a da el mismo resultado que la adición de 4 a un número b, entonces a y b son el mismo número.En álgebra expresamos estas observaciones

más sólidamente de la siguiente manera: Si a, b y c representan números naturales arbitra­rios, entonces:1) a + b es un número natural c.2) a + b = b+ a3) (a + b) + c = a + (b + c)4) Si c + a = c + b, entonces a — b

Términos no definidos

SituaciónprácticaEsquinaLímiteCampo

PuntoRectaPlano

Aunque no se asigna ningún significado a "punto", "recta" y "plano", en las aplica­ciones de este sistema deductivo al problema práctico, estos términos serán luego traducidos por "esquina", "límite" y "campo", respecti­vamente. Habiendo obtenido ya los términos no definidos (o por lo menos algunos de ellos) nuestros granjeros proceden a establecer sus axiomas. Estos serán enunciados abstractos derivados de las relaciones observadas en situa­ciones práctica. Entonces, pueden haber desa­rrollado lo siguiente:

AXIOMAS

Se estableció antes que cualquier conjunto de axiomas puede usarse como origen de tro sistema deductivo. Sin embargo, seríamos tontos si nos diéramos rienda suelta en la elec­ción de esos axiomas, pues la mayoría de los sistemas así establecidos carecería de valor para nosotros. La elección de un conjunto útil de axiomas es un asunto delicado que requiere gran intuición y poder creador. Es difícil con­vertir los golpes geniales en una fórmula opor­tuna, pero por lo menos podemos ¡lustrar cómo se pueden descubrir buenos sistemas de axiomas.

La mayoría de las ciencias, así como otras ramas del conocimiento, comienza con una frase descriptiva, de observación. El investiga­dor interesado mira a su alrededor y registra lo que encuentra. Al principio, sus observa­ciones son aisladas y sin coordinación, pero si es inteligente y perceptivo, comienza a encon-

nues-a

AxiomasSituaciónpráctica

Dos rectas se cortan en un punto

Dos límites se en­cuentran en una es­

quina.Una recta está de­terminada por dos

puntos.

Un límite se ubica entre un par de

esquinas.provocar

De esa manera se pueden haber creado los axiomas de la geometría plana. No son enun­ciados evidentes por sí mismos con respecto al mundo físico, pero son las abstracciones de las observaciones de hombres prácticos que esta-

Logramos nuestra verdadera abstracción de estas observaciones tomando a a, b y c como símbolos no definidos y suponiendo que "o" es una operación que se puede usar para binar dos elementos no definidos; entonces,

\com-

1011

iw

. "

Por ejemplo, en la mecánica celeste la tierra es considerada como una esfera aunque sabemos que tiene montañas y valles y que está aplas­tada en los polos. En otras ramas de la cien­cia, sin embargo, estos aspectos de la tierra deben ser tomados en cuenta. Luego, construir un modelo es casi como pintar, pues un artista no hace una reprpdjcción fotográfica sino que selecciona los detalles de la escena que sonimportantes para sus propósitos.

Para dar un ejemplo de modelo matemático en las cencíos Sociales, consideremos el pro blpma de seleccionar un funcionario político, d¿anios elvintendente de un pueblo pequeño. Supongamos que hay cinco candidatos y que cada uno de los 500 votantes del pueblo pue­de colocar a los cinco candidatos según su propio orden preferencial. ¿Quién será electo intendente? Hay un conjunto de procedi­mientos diferentes que se pueden adoptar,

el de elegir al candidato con el maypr

tomaremos como nuestros axiomas a las pro posiciones:

de esos términos expresamos los distintos prin­cipios de las distintas filosofías que se han expresado. Esos son nuestros axiomas. Si tene­mos mucha suerte, podemos deducir de estos axiomas un método único de elección que lue­go será adoptado. Sin embargo, existen otras dos posibilidades: 1) Puede haber varios méto­dos de elección que sean consistentes con nuestros axiomas. Entonces, podemos usar cualquiera de ellos, o podemos introducir axiomas adicionales hasta que sólo subsista un método. 2) Nuestros axiomas pueden volverse inconsistentes, de manera que no haya ningún método de elección que sea consistente con todos ellos. Entonces, tendremos que hacer un discernimiento social: ¿Sobre la base de cuáles axiomas queremos proceder? La matemática no nos dice qué elección debemos hacer, pero aclarará la situación diciéndonos cuáles elec­ciones son posibles y expresándolas en tér­minos inequívocos. Tendremos, por tanto, una base mejor para nuestra decisión que si no hubiéramos andado a través del proceso de la construcción de nuestro modelo. Es claramen­te imposible dar aquí los detalles de un mo­delo semejante.

Al discutir el aspecto social anterior hemos observado que los sistemas axiomáticos pue­den llegar a ser inconsistentes, y algunas pocas palabras de explicación son necesarias acerca de este concepto. Un sistema es inconsistente si es posible probar que una proposición parti­cular es, a la vez, verdadera y falsa. Tales siste­mas de axiomas carecen de valor para nosotros y deben ser desechados de inmediato. La cues­tión real es: ¿Cómo sabemos si un dado siste­ma de axiomas es inconsistente? Si nos encontramos con una inconsistencia, la cues­tión está decidida. Podemos, sin embargo, emplear muchos años en desarrollar los teore­mas en nuestro sistema sin hallar una inconsis­tencia, y con todo no tenemos la seguridad de que en el día siguiente no encontremos una. En otros términos ¿cómo podemos estar segu­ros de que un sistema deductivo es consistente? En matemática, somos bastante precavidos acerca de esta cuestión. Tantas per­sonas han usado el sistema de números reales tanto y tan extensivamente que creemos que es consistente. No obstante, frecuentemente aceptamos esto como hipótesis de trabajo y procedemos como si estuviera firmemente es­tablecido. Supongamos ahora que tenemos an­te nosotros un sistema deductivo particular.

digamos el basado en los axiomas 1') a 4'). Para mostrar que es consistente, observamos que los números reales satisfacen a esos axio­mas si "o" es identificada con Si acepta­mos ; que la aritmética de esos números es consistente, se sigue que no puede haber in­consistencia entre nuestros axiomas. Aunque esto no prueba la consistencia del sistema dado, por lo menos nos da una razón muy fuerte para creer en su consistencia, y proce­demos según esta suposición. Es imprudente ir demasiado lejos en el desarrollo de un sistema deductivo sin detenerse primero en la consis­tencia de los axiomas, pues una inconsistencia descubierta algún tiempo después puede inva­lidar todo el trabajo que se ha hecho.

Sería engañoso sugerir que todos los siste­mas de axiomas usados por los matemáticos están desarrollados como modelos de alguna aplicación práctica. Aun cuando la construc­ción de modelos es la fuente de muchas de nuestras disciplinas matemáticas, algunas ramas matemáticas no tienen tal origen. Un método común para obtener otros sistemas axiomá­ticos consiste en formar algún conjunto nor­mal de axiomas (construido como modelo) y luego modifitar o suprimir alguno de los axio­mas. Por ejemplo, en álgebra podemos admitir todas las reglas usuales, excepto que no requi- riremos que aX b = bX a. De un álgebra tal se dice que es no conmutativa. En geometría, el ejemplo más familiar de este tipo se refiere al quinto postulado de Euclides que es equiva­lente a la proposición de que existe una única recta paralela a una recta dada y que pasa por un punto dado que no esté en dicha recta. Este axioma fue modificado de dos maneras distintas admitiendo: 1) que dicha recta para­lela no existe, y 2) que existen más de una de tales paralelas. Estas geometrías no euclidianas resultaron luegd ser modelos de situaciones físicas concretas pero su existencia como sis­temas abstractos no dependió de estos descu­brimientos posteriores. Los sistemas axiomá­ticos de esta clase se han vuelto un lugar común en la matemática moderna y han servi­do para dos propósitos: 1) por el examen de las consecuencias de las modificaciones de las teorías existentes, se ha iluminado la estruc­tura de dichas teorías, y 2) se han desarrolla­do nuevas teorías que después resultaron de máxima importancia en aplicaciones que bastante imprevisibles cuando el sistema se examinó por primera vez. Sería demasiado

(Sigue en pág. 16)

1) a o b es uno de nuestros elementos indefinidos, c.

2) a o b = b o a. (léase a operando sobre b) 3} (a o b) o c - a o (b o c)4) Si c o a — co b. entonces a = b

Obsérvese que estas expresiones ya no se refieren a la adición de números, sino que las propiedades de la operación indefinida "o" sobre Ios-símbolos no definidos a, b, c. Por supuesto, podemos interpretar que a, b y c son númoros naturales y "o" la adición, pero también podemos hacer otras interpretaciones. Por ejemplo, podemos interpretar a a, b y c como'números naturales y a "o" como la mul­tiplicación. Llegamos entonces a un nuevo conjunto de enunciados sobre la multiplica­ción, las cuales también concuerdan con nues­tra experiencia. Esto ilustra un punto de gran importancia y valor:

El mismo sistema deductivo puede ser abstraído de un grupo de situaciones completamente diferentes. Los teoremas obtenidos en este sistema serán entonces aplicables a gran variedad de situaciones.

Este proceso de observar la naturaleza y luego abstraer nuestras observaciones y axio­mas ha sido proseguido muy sistemáticamente en las ciencias físicas* Los sistemas deductivos así obtenidos se conocen con el título general de "física teórica" y han sido extraordinaria­mente efectivos para ayudarnos a comprender este aspecto de nuestro mundo. En otras disci­plinas, como la economía. Ja psicología, la sociología y ia guerra, el uso del sistema de­ductivo es todavía una relativa novedad. Tal émpleo, sin embargo, se efectuó en muchos lugares antes y después de la Segunda Guerra Mundial, y hay un grupo creciente de eruditos que están intentando aplicar el método ax¡o~ mático a una cantidad de campos del cono­cimiento. En su terminología, ellos están cons­truyendo "modelos matemáticos" de partes de sus disciplinas. Un modelo matemático no es nada más que un sistema deductivo en el cual los términos no definidos y los axiomas repre­sentan ciertos aspectos de las realidades obser­vadas. En la construcción de un modelo siem­pre es necesario ignorar ciertos aspectos de la naturaleza y concentrarse sobre aquellos aspec­tos que parecen ser de máxima importancia.

comonúmero de primeras preferencias, nominar los dos candidatos con el mayor y el número si­guiente al mayor de primeras preferencias, res­pectivamente, y luego realizar una elección entre ellos; o bien, habiendo cada elector numerado sus elecciones 1, 2, 3, 4, 5, sumar los puntajes de cada candidato y declarar elec­to al candidato con el menor puntaje total. ¿Cómo elegiremos entre alternativas de esta clase? Sólo podemos hacerlo formulando nuestra filosofía de lo que es socialmente de­seable en una situación semejante. Al comien­zo, colocaremos cierto número de objetivos sociales que fueron propuestos por las distin­tas personas interesadas. Primero, estarán en términos más bien vagos como la conveniencia de la "regla de la mayoría", o la "protección de los menores". Podemos desear discutircuestiones tales como: "Es deseable la regla de la mayoría s¡ una minoría muy grande se opone fuertemente al candidato favorecido por la minoría?" "¿O sería mejor preferir la segunda opción de la mayoría si es más acep­table para la minoría? " Si la discusión conti­núa, las ¡deas se aguzan y comenzamos a cons­truir nuestro modelo. Puesto que los nombres de los votantes y los nombres cíe los candida­tos y sus calificaciones carecen de importan­cia, los representamos con símbolos nuestros términos no definidos. Introducimos una relación de desigualdad no definida con la cual representaremos el orden de preferencia expresado por los votantes. Luego, en función

1

•sonV,

eran

V13

Todo este plan se ha desarrollado partiendo de las siguientes hipótesis básicas.

a) la matemática actual deriva de la manera en que la practican los profesionales de todos los niveles. Pueden pertenecer a las universidades, a los cuerpos de in­vestigadores, a la industria o al comercio y ser investigadores, científicos, téc­nicos, etc., pero, cualquiera sea su ac­tividad, una de las mayores responsa­bilidades de un plan de estudios es la de estar íntimamente ligada a quienes la practiquen, interpretando sus ideas en forma coherente.

b) Se cree que los conceptos matemáticos deben ser revelados gradualmente, ¡n- troducendolos intuitivamente y des­arrollándolos paralelamente a otras ideas intuitivas de modo que surja un esque­leto lógico. Esto puede cumplirse con cualquier niño, pero en algún momento, algunos pueden querer volver al trabajo vocacional mientras otros querrán for­malizar los resultados con mayor ra­pidez y con rigor propio de la uni­versidad.

c) Un aspecto importante es el recono­cimiento de que a menudo es posible tratar tópicos avanzados de manera elemental. Por ejemplo, la idea de vec­tor puede introducirse muy pronto mediante la introducción de enteros orientados, o por la combinación de movimientos. La variedad de problemas que se plantean a los alumnos harán surgir nuevos elementos, por ejemplo, las matrices. La comprensión de los con­ceptos conducirá naturalmente a la formación de la estructura abstracta de espacio vectorial. Se propicia un trata­miento de los temas que lleve a mul­titud de aplicaciones en todos los hive- les de los conceptos básicos, que deben ser tan reales como plenos de sentidos para los alumnos.

d) Los métodos de enseñanza están cam­biando, no sólo por la evolución de los temas descritos sino también por las nuevas ¡deas pedagógicas sobre el pro­ceso de aprendizaje. Se buscará siempre que el alumno emplee todos sus cono­cimientos para enfrentar nuevos pro­blemas, tratando de que realizen descu­

brimientos y los codifiquen por sí mismos.

e) Por último, el S.M.P. ha tratado, lo mis­mo que otros proyectos internacionales, de ayudar a los estudiantes a establecer modelos aptos para la investigación es­colar. Se asigna especial importancia a la apreciación de las relaciones espaciales y al correspondiente razonamiento geo­métrico, algebraico y aritmético; al re­conocimiento de modelos que conduzcan a las estructuras matemáticas, a la dis­tinción entre situaciones continuas y discretas, a la variedad de formas de representación de las relaciones mate­máticas, y al efecto que tendrán las computadoras sobre la matemática.

En conclusión, la actitud del S.M.P. con respecto a la matemática escolar está inte­grada, matemática y pedagógicamente.

Se piensa, además, que tanto la escuela pri­maria como la secundaria deben, sin pérdida de tiempo, volver a examinar su trabajo a la luz de los resultados actuales realizando una crítica evaluación de los programas antiguos y modernos. Pareciera que se admite que en ambos niveles el objetivo final del aprendizaje, de acuerdo con modernas teorías psicopeda- gógicas, se esfuerza por hacer comprender la inutilidad tanto de un conocimiento general totalmente basado en la erudición cuanto de una superespecialización práctica que impida la comprensión teórica de los nuevos proble­mas. Por ello se entiende que de nada sirve el recitado mecánico de los libros de texto ni la visión restringida de los datos específicos. Hay que analizar exhaustivamente los contenidos y determinar qué se debe aprender y porqué. Entendemos, pues, que se trata de hallar una senda intermedia entre dos posiciones extre­mas, la europea y la norteamericana, que, en esencia, consiste en elaborar un contexto cul­tural sobre el cual se pueda basar una sólida formación específica.

Los textos. Entendemos que constituyen un aspecto fundamental del S.M.P. Se los ha trabajado con mucho cuidado y, sin duda, constituyen un aporte precioso para todos los que estén interesados en este arduo problema de la "enseñanza moderna" de la matemática, constituyendo los "Teacher's guide" un aporte que estimamos valioso. Para que nuestros lec­tores tengan una clara idea del plan, informa­remos del contenido de las diversas publica-

I

CRISTINA VERDAGUER DE BANFI fArgentina)

los últimosInnegablemente ha habido en diez años un gran cambio en la enseñanza de la matemática y los que abogan por los cam­bios y los planifican deben tener un sentido crítico riguroso y ser sensibles a las críticas de los demás. Por eso, es una carga bastante pe­sada para los reformistas, establecer lo más claramente posible sus bases filosóficas y el S.M.P. ha tratado de hacerlo exhaustivamente.

En otra oportunidad nos hemos ocupado de este proyecto, denominado THE SCHOOL MATHEMATICS PROJECT, cuyo director es el destacado matemático británico Bryan THWAITES. A nuestra manera de ver es una de las realizaciones más coherentes y ambi­ciosas destinadas a modernizar la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria, y si

la ha concebido para responder a losbien serequerimientos de los alumnos de la comu­nidad británica de naciones, presenta también muchísimos aspectos que, sin duda, han de resultar útiles para todos los docentes del

El objetivo original del S.M.P. fue el de producir nuevos textos, por un lado y nuevos,

incluso más importantes, cambios en los métodos de enseñanza. Ahora, debido al gran número de profesores que han adherido y de alumnos que reciben esa enseñanza, se ha crea­do una gran responsabilidad. El proyecto no puede dormir sobre sus laureles, sino que debe continuar su tarea, proporcionando nuevas sugestiones y corrigiendo sus errores si los hubiera.

El rasgo cardinal del proyecto es que se trata de una libre asociación de profesores cuyo interés común es mejorar la enseñanza de la matemática desarrollando programas, escribiendo textos e ideando otros materiales; la investigación es, pues, valiosamente libre y sin presiones. El trabajo se ha concentrado en tres aspectos principales: la producción de una serie de libros de texto; la organización de reuniones de profesores y la introducción de nuevos exámenes distintos de los tradicionales. También se han escrito guías de los profeso­res; para mostrar en detalle por lo menos una manera de tratar los nuevos tópicos y también nuevos enfoques de los tópicos tradicionales, así como las interrelaciones mutuas.

e

mundo.10 años de la iniciación delHoy, a unos

trabajo, los creadores estiman que se han lo­grado los objetivos originales, pero que, a la vez, conviene reflexionar acerca del quehacer füturo. Ya no interesa tanto explicar la ne­cesidad de modificar la enseñanza de la ma­temática escolar, porque eso ya .es aceptado por la gran mayoría de las personas cultas. En cambio será mucho más interesante para los lectores describir las motivaciones que se pre-

ahora a los realizadores del proyecto, ysentanlas influencias y coacciones que se ejercen, las cuales son empleadas en nuevos trabajos cons­tructivos.

En los últimos tiempos se ha dedicado pre­ferente atención a los problemas determinados por la admisión de alumnos en las universi­dades, puesto que éstas (correcta o errónea­mente) han hecho saber su gran interés por determinada preparación de tales alumnos. Claro es que lo que ellas proponen está lejos de los criterios prácticos que se estiman in­dispensables para la formulación de los planes de estudio de la escuela secundaria. Y por más que se trate de contemporizar, la elección en­tre las necesidades de los alumnos y los re­querimientos específicos de la universidad no puede provocar ninguna duda.

1

Los cursos de readiestramiento para pro­fesores han demostrado ser de máxima impor­tancia para profundizar, junto a los autores de los textos del S.M.P. y más críticamente, los temas más difíciles de enseñar.

14

Il

H

Libro F. (Temas provisorios). Diagramas de flujo. Matrices en funcionamiento: redes. Mo­delo numérico (recurriendo a los decimales). Isometrías Trigonometría (seno y coseno). Matrices en funcionamiento: Relaciones. Es­tadística. Resolución de otras ecuaciones. Ma­trices en funcionamiento: transformaciones. Probabilidad y conjunto de soluciones. Computación y programación.

Libro G. (Temas provisorios). Combinación de isometrías. Porcentajes más difíciles. Tri­gonometría. Algebra. Matrices y transforma­ciones: su combinación. Redes. El círculo. Probabilidades combinadas. Programación li­neal. Regla de cálculo. Estadística.

Libro H. Los títulos de los capítulos se es­tán discutiendo, pero incluirán: Programación lineal. Computación. Deslizamientos y tensio­nes. Matrices y transformaciones: su combi­nación. Estadística. Trigonometría.

La tiranía del espacio nos impide reseñar otras publicaciones del S.M.P., que ya han superado el número de 30. Pero no podemos dejar de señalar nuestros plácemes por la obra cumplida, especialmente porque sabemos que será proseguida sin vacilaciones y porque el agudo sentido crítico de los responsables del proyecto los llevará a establecer todas las co­rrecciones que la práctica aconseje.

dones. Nos referiremos ahora tan sólo a los libros que se emplean en las escuelas secun­darias comunes. Son los siguientes.

Libro A. Modelos numéricos. Coordenadas. Angulos. Bases numéricas. Simetría. Rápida visión de las fracciones. Otros modelos numé­ricos. Polígonos. Dos maneras de ver la divi­sión. Poliedros.

Libro B. Letras para los números. Mosaicos. Decimales. Area. Comparación de fracciones. Angulo. Relaciones. Bases binaria y duode­cimal. Estadística. Números orientados. To­pología.

Libro C. Area. Números dirigidos. De la re­lación al gráfico. Multiplicación y división de decimales. Gráficos extendidos. Reflexiones. Redes. Rotaciones. Regla de cálculo. Estadís­tica. Planos de simetría.

Libro D. Multiplicación y división de frac­ciones. Dilataciones. Multiplicación y división de números orientados. Vectores. Puntuación y orden. Gráficos. Razón. Diagramas y corres­pondencias. Simetría en tres dimensiones. Porcentajes. Interpretación gráfica. Modelos numéricos.

Libro E. Triángulos rectángulos. Conjuntos. Matrices. Experimentos. Raíces cuadradas. Re­solución de ecuaciones. Probabilidad. Regla de cálculo. Volumen. Dilatación (una introduc­ción a la trigonometría). El círculo. Redes. Poliedros.

S. I. BROWN y M. I. WALTER (Inglaterra)

El objeto de este articulo es analizar una técnica que se puede emplear para alentar a los estudiantes a plantear sus propios pro ble- mas y también suministrar una herramienta por medio de la cual los responsables de la enseñanza y de la redacción de planes de estu­dios puedan ampliar la variedad de opciones. Un intento inicial de excitación cerebral: aplicación del teorema de Pitágoras.

Raramente nos encontramos con cuestiones más estimulantes o más amplias (a pesar de que no se necesita mucha sofisticación para comprender cierto número de cuestiones más interesantes que las tres antedichas, hasta que se siga un curso de teoría de números). En ese momento se introducen nociones tales como las de las primitivas ternas pitagóricas. Aunque en los puntos 1 y 2 anteriores nos ocupamos de las ternas pitagóricas —tres números natura­les tales que el cuadrado de uno es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos— no se trata de ternas pitagóricas primitivas porque cada terna tiene un factor común no trivial. Así 3, 4, 5 y 5, 12, 13 son ternas pitagóricas primitivas.

Cuestiones adicionales encontradas en un texto sobre teoría de números pueden ser las siguientes:

4. ¿Cuántas ternas pitagóricas primitivas hay?

5. Supongamos que u > b son números na­turales primos entre sí. Demostrar que u2 —v2, u2 + v2 y 2uv son ternas pita­góricas primitivas.

Manejando un poco las tablas de las ternas pitagóricas primitivas se descubren multitud de cuestiones o conjeturas aún más desafiantes. Se puede, por ejemplo, comenzar a examinar las propiedades de la divisibilidad de las ternas pitagóricas primitivas.

No es nuestro principal intento en este mo­mento hacer agregados a los ejercicios de los libros de texto comunes o aún extender aqué­llos que (como 4 y 5) parecen ser más estimu­lantes pero que todavía se relacionan directa­mente con el teorema de Pitágoras. En su

(1) Aparecido en Mathematics-Teaching, N° 51, del verano de 1970, publicamos este interesante artí­culo en versión castellana de la profesora Cristina Verdaguer de Banfi.

l

Elijamos el teorema de Pitágoras. ¿Qué aso­cia Ud. con él? Algunas respuestas típicas da­das por maestros y estudiantes incluyen:

¡ a2 + b2 = c2ii El cuadrado de la hipotenusa es igual a

la suma de los cuadrados de los ca­tetos.

iii ¿Quién lo descubrió?iv Algunos triángulos rectángulos famosos

son: 3, 4. 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17.v Los griegos usaron nudos en una soga

para construir triángulos rectángulos.vi Introducción a los números irracionales.

vii Historia griega.viii ¿Cuántos triángulos rectángulos puede

encontrar Ud?

¿Qué ocurre usualmente en la clase después que el teorema de Pitágoras ha sido estable­cido y/o demostrado? A continuación se enuncia una lista de preguntas (a menudo pre­sentada en clase a los estudiantes) que se pare­cen mucho a las que aparecen en libros que hemos examinado.

1. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 y 8 m, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?

2. ¿Puede un triángulo rectángulo tener la­dos de 10, 24 y 26 m?

3. Demostrar que cada cateto de un trián­gulo rectángulo es menor que la hipo­tenusa.

(viene de pág. 13)

observado experimentalmete. Las conclusiones que saquemos de esos modelos son conjeturas, debemos examinarlas para ver si corresponden a la realidad. El valor de nuestra matemática reside en que sin ella raramente seríamos capaces de adivinar las relaciones que nuestra matemática nos ha sugerido. La matemática ha sido particularmente valiosa en la ciencia fí­sica, porque el modelo matemático de este tema ha resultado notablemente verdadero para la vida. Tenemos, por tanto gran confian­za en la verdad física de nuestras conclusiones matemáticas. En las aplicaciones más nuevas de la matemática a las ciencias sociales los modelos matemáticos no están tan altamente desarrollados, y tenemos menos confianza en las conclusiones derivadas de ellos. No obs­tante, cuando los modelos mejoran, la utilidad de la matemática en esos temas aumenta en forma notable.

esperar que todo sistema axiomático de esta clase resultara valioso y muchos de ellos se hap dejado a un lado después de un examen superficial. Pero fuera de este inconveniente, han emergido algunos verdaderamente impor­tantes y su desarrollo justifica el tiempo empleado en los otros.

Ahora estamos en posición de comprender la relación entre la matemática y el mundo diario. La matemática misma nada tiene que hacer con la realidad y nada puede probar sobré el mundo. Se la ha denominado "juego en el que no sabemos de que estamos hablan­do ni siquiera si nuestras conclusiones ciertas''. Aun cuando esta descripción de la matemática es estrictamente

son

correcta, pocos quisieran estudiar matemática si esa fuera toda la historia. Nuestras teorías matemáticas abstractas son abstracciones del mundo real; son modelos de las relaciones que hemos

1617

KI

M

I»'

alguna constante particular? Es­to a2 + b2 = k <c2 para k fijo,

(d) ¿Cuál es el gráfico de a2 + b2 <c2?

(~3)4 un triángulo reflejo.Consideremos el atributo 6: "Hay tres varia­

bles asociadas al teorema de Pitágoras".¿Qué ocurriría si no hubiera tres variables?

¿Cuál sería entonces el caso? Entre las posibi­lidades pueden estar

(~6)i supóngase que haya cuatro variables.(—€)2 supóngase que haya dos variables.(~6)3 supóngase que hay tres variables y

algunas constantes.Consideremos el atributo 7: "Las variables

están relacionadas por un signo igual."¿Qué ocurriría en el caso de que las varia­

bles no estuvieran relacionadas por un signo igual? ¿Cuál sería la relación? Algunas posibi­lidades son

—7) i las variables están relacionadas por el signo "<": a2 + b2 <c2

(~7)2 las variables están relacionadas por el signo a2 + b2 >c2

(—^7)3 las variables están relacionadas por la división: a2 + b2 divide a c2

(~7)^ las variables están relacionadas por el signo "<": a2 + b2 <c2

Obsérvese que en cada ejemplo hemos va­riado un atributo de la lista original.

Acaso no resulte obvio que esta estrategia pueda llevarnos a algo que valga la pena. La recompensa debe, por supuesto, implicar algo más que la mera variación de los atributos. ¿Qué otra cosa se puede hacer? Uno de los pasos siguientes consiste en enfocar un atribu­to cambiado por vez. En el próximo párrafo elegimos para ilustración el atributo 7 (véase Nivel 2 de la fig. 2).

9. Hay tres exponentes, todos los cuales son iguales.

10. Los exponentes son números enteros positivos.

lugar, investigaremos maneras de engendrar nuevas ideas en te clase usando el teorema de Pitágoras como punto de partida. (~7) i

Formulando una preguntaAntes de continuar, señalemos un punto

que puede no ser obvio. Volvamos a examinar las variaciones del párrafo anterior. Compa­remos lo hecho allí con lo hecho en el exa­men anterior. Obsérvese que por primera vez hemos formulado preguntas más bien que cambiado el atributo. Para la finalidad de las ¡deas curriculares el enfoque ¿Qué, si no? es sólo un comienzo y obviamente debe prose­guir con el planteamiento de preguntas. Esque­máticamente podemos representar al ¿Qué si no? y la formulación de preguntas por los niveles II y III en la fig. 2. Nos referimos es­pecíficamente a una variación y cuestiones re­lacionadas con el atributo 7.

Algunas de las cuestiones pueden ser trivia­les, o sin sentido, o no bien definidas. No obstante, no descartaremos, igual que en el pá­rrafo precedente, a ninguna de ellas en esta etapa, pues pueden resultar útiles en otra eta­pa o en otro contexto.

Seleccionaremos ahora algunas de las cues­tiones anteriores no principalmente con la fi­nalidad de obtener respuestas sino para ganar alguna ¡dea acerca de la naturaleza del análisis implicado.

Podemos representar esquemáticamente lo que hemos hecho hasta ahora en la *ig. 1.

Dada esta lista de atributos (parcialmente dependiente y no exhaustiva), ¿cómo nos ayu­dará a plantear nuevos problemas?

Una lista tío atributos

Para comenzar este proceso, hagamos una lista de atributos a los que se refiere el teore­ma de Pitágoras. Si se piensa geométricamente sobre el teorema de Pitágoras como "el cua­drado de la hipotenusa de un triángulo rectán­gulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" la lista puede incluir los siguientes puntos:

La estrategia del ¿Qué, si no?

El primer paso de nuestra estrategia es exa­minar una vez más cada uno de los atributos formulando la pregunta: ¿Qué, si no?

Ilustramos e! procedimiento con varios ejemplos.

Consideremos por ejemplo el atributo 3: "El teorema se refiere a triángulos rectángu­los."

>1. La proposición es un teorema.2. El teorema se refiera a longitudes de

segmentos de recta.& El teorema so refiera a triángulos rectán­

gulos.4. El teorema so refiero o ároa3.6. El teorema ce refiere a cuadrados. Su-

pongumosque so hayo líeg.tdo o un "impa­sse". Si entonces se piensa algebraica­mente sobre el teorema mediante la ex­presión j2 = b2 + c2 se puede exten­der la lista de modo de incluir:

6. Hay tres variables asociadas al teorema de Pitágoras.

7. Las variables están relacionadas por un signo igual.

8. Hay un signo más entre dos de las va­riables.

i

¿Cuál sería el caso si el teorema no se refi­riera a triángulos rectángulos? ¿Qué ocurriría si uno de los ángulos no fuera recto? ¿Qué otra cosa podría ser? Obviamente pudimos investigar qué ocurre en el caso de

[^3)i un triángulo acutángulo.(~3)2 un triángulo obtusángulo.

Aunque pueda parecer absurdo, no dejemos fuera de la lista los casos de

(~3)3 un "triángulo" con un ángulo de ungiro. Analizando una pregunta

Volvamos a examinar las distintas partes de (—7), (a-d).

(~7)¡ (a) ¿Tiene a2 + b2 <c2 alguna sig­nificación geométrica?

Un primer paso podría ser el de traducir la

< }Elección de un teorema

Excitación cerebral sobre un atributo cambiado

desigualdad algebraica en una aseveración geo­métrica: "La suma de los cuadrados de los dos catetos de un triángulo rectángulo es menor que el cuadrado de la hipotenusa". Aunque esto no ocurre nunca en un triángulo rectán­gulo con ángulo recto en C, ¿qué ocurre si el ángulo recto está en A oenfl?

Supongamos que abandonamos el criterio de que el triángulo sea rectángulo, pero siga­mos enfocando -usando notaciones conven­cionales- al lado opuesto al C ¿En qué condi­ciones puede a2 + b2 ser menor que c2 y cuál es la significación geométrica? La ley del seno

Teorema de Pitágoras Como hemos visto en el párrafo anterior, hay muchas variaciones posibles del atributo 7. Elijamos una de ellas.

Consideremos (—7)i: "Las variables están relacionadas por un signo "<": a2 + b2 <c‘.

¿Qué nos viene a la mente? Algunas posi­bilidades, no necesariamente independientes, son:

i

)Lista de atributos

(•—-7) 1 (a) ¿Tiene a2 +b2 <c2 alguna sig­nificación geométrica?

(~7)i (b) ¿Para qué números se cumple la desigualdad a2 +b2 <c2?

(~7)i (c) ¿Cuántos ejemplos existen en que ao + b2 difiere de * c2 en

NIVEL I 1 2 3 7 8 91 nco­

asegura que para tres lados cualesquiera. a, b y c de un triángulo, a2 + /j2

Figura 1

ia19:

;

)c H'Elección de un teorema

V"

G

$Teorema de Pitágoras

C"tFs)C Lista de atributos

I97 8321 B ANIVEL I X

)) (( ¿Qué si no? Atributo 7

¿Qué si no? Atributo n Oyfy

Sg[>v, •<T>5C

('7)4(-7), ('7J, ('7),$NIVEL II

Las variables están relacionadas por

a! + ó3 < c3

Las variables están relacionadas por división:

c3 !j3 t b¡

Las variables están relacionadas por “<

<?3 I- ó3 < c:

Las variables están relacionadas por "<"•

ir ' 6: > c3

f Ai 2

Figura 3TFormule una pregunta

para (~7), observación de que la desigualdad se mantiene para todas las ternas de la forma (1, 1 ,n) para n > 2 es en cierto sentido tan insatisfactoria como la observación de que hay infinitas ter­nas pitagóricas basadas sobre la observación de que igualdad a2 + b2 = c2 se cumple para to­das las ternas de la forma (3n, 4n, 5n) para cualquier valor de.77. Lo mismo que el proble­ma de encontrar el número de ternas pitagó­ricas se vuelve más interesante definiendo las ternas pitagóricas primitivas, así también vale la pena definir una solución de modo que (1, 1,77), para todo 77 >2 representa sólo una, más bien que un número infinito de soluciones.

Examinemos ahora la cuestión (~7)¡ (c): "¿Cuántos ejemplos existen en que a2 +62 djfiere de c2 en alguna constante par­ticular? " El análisis y la ordenación de las dificultades de esta cuestión depende en parte del dominio que elijamos. Por ejemplo, si ele­gimos como dominio el conjunto de los núme­ros complejos, entonces, para todo k fijo, re­sulta claro de inmediato que hay infinitas ter­nas. Dejamos que el lector decida por un aná­lisis del problema sobre el antedicho dominio o el de los números racionales o irracionales. ¿Qué ocurre si consideramos estos problemas

fijando k? ¿Qué ocurre si se elige como domi­nio el conjunto de los números naturales? ¿Puede Ud. hallar a, b y c de modo que a2 + b2 = 1 + c2 ? ¿Qué ocurre con a2+b2=2+c2? ¿Con a2 + b2 = n + c2? Ternas que satisfacen a las dos primeras ecua­ciones son respectivamente: (4,7,8) y (3, 5, 6). ¿Cuántas ternas hay para cada k?

Aunque no examinaremos ahora (—’7)! (d), el lector puede desear manejar la cuestión an­tes de que la discutamos brevemente en el próximo párrafo.

('7), (b)(-7), (a) ('7), (c)NIVEL III

Para qué números se cumple la desigualdad a3 + 63 < c3

Tiene a3 + b: < c; alguna significación geométrica

Figura 2

= c2 + 2abcosC. Por lo tanto: a2 -f ó2 < cl si 2dócosC es negativo. Esto sólo ocurre cuando el ángulo C es obtuso.

Puesto que la pregunta (¿en qué condi­ciones puede a2 + b2 ser menor que c2 y cuál comprensible para cualquiera que no conozca nada de trigonometría, es interesante observar que el problema se puede analizar sin dicha

Consideremos (~7)i (b): "¿Para qué nú­meros se cumple la desigualdad a2 +b2 <c2? ".

Este problema es valioso por la experiencia que nos da para la organización y definición de un problema. Algunas soluciones son: (1,1,3); (1,1,4); (1,1,5), (1,1,6); (1,1,7). Sin mucha dificultad se puede ver fácilmente que (1,1,77) satisfará la desigualdad para cual­quier 77 mayor que 2. Por tanto, esto nos da infinito número de soluciones; por supuesto, hemos excluido un número infinito de posibi­lidades. Dejamos para que sean caracterizadas por el lector las soluciones en el sentido en que u2 —v2] u2 + v2 y 2uv pueden generar ternas'pitagóricas primitivas. La respuesta de que hay infinitas soluciones, basadas sobre la

Ciclos

Presentación de la escena

Podríamos continuar el proceso comenzado en el tercer párrafo (la estrategia de ¿Qué, si no? ) enfocando sistemáticamente cada uno de los atributos del segundo párrafo (lista de atri­butos). Ofreceremos una visión panorámica en el siguiente párrafo. Sin embargo, indicaremos ahora cómo una aplicación algo menos siste­mática del ¿qué, si no? puede sugerir tensión de ese proceso. Comencemos conside­rando el siguiente problema que hemos dado cuando revisamos la lista de atributos.

V

ley.Se puede obtener una ¡dea sobre la signifi­

ca c i ó n geomética de la desigualdad a 2 “F ó2 <! c2 tratando de mostrar geomé­tricamente la diferencia de área entre la de los cuadrados de los lados y el cuadrado de la "hipotenusa". En la fig. 3, los rectángulos CC"H'H' y GG'C'C representan le diferencia (cJ -(a2 +b2)).

sumauna ex-

recor-

20 21

I!I

!>'cado aquí mediante la colocación de la rama izquierda de la fig. 4 en el contexto del plano total. La flecha negra de la fig. 5 indica que hemos impuesto (—7)^ sobre (—9)x. No hay, por supuesto, nada especial acerca de esta im­posición particular, y para multiplicar nuevas formas significativas podemos formar el ciclo de un atributo como (~7)4j a través del diagra-

lector, el esquema se vuelve mucho más engo­rroso para expresar que para entenderlo con- ceptualmente, podemos describir brevemente cómo la técnica de los ciclos puede ser explo­tada más adelante con el fin de generar pro­blemas. Comencemos sugiriendo un ejemplo de nuestra propia experiencia con la técnica. En el párrafo quinto, planteamos el problema: ¿Cuál es el gráfico de a2 + b2 <c2 ((—7)i (d) ). Analizando el caso podemos, por supuesto, aclarar si estamos manteniendo fijas algunas de las variables, o no. Esto es, el gráfico puede ser de 1, 2 ó 3 dimensiones. Dejamos el análisis de este problema como ejercicio para el lector. Anotemos meramente, sin embargo, que la cuestión análoga para el caso de la igualdad (gráfico de a2 + b2 =c2) no se nos había ocurrido explícitamente cuan­do comenzamos originalmente el proceso de excitación cerebral sobre cuestiones directa­mente relacionadas con el teorema de Pitágo- ras (párrafo segundo).

Además de la construcción de ciclos de atributos desde el nivel 2 a los niveles 2 y 1, podemos también formular un ciclo de cues­tiones, —nivel 3— a través de los niveles 2 y 1. Por esta razón instamos al lector a no dese­char cuestiones que pueden parecer sin sentido

¿Qué se puede decir sobre la sucesión (/V-/í)? ¿Qué otra relación entre N y n se puede observar? Si n es 100, ¿puede dar Ud.

aproximación grosera de N? ¿Estará alre­dedor de 100, de 300 o de 1000? Dejamos al lector la investigación de este problema pero antes de buscar por un análisis en un texto de teoría de números, le instamos a observar grá­ficamente el problema. Usando papel milime-- trado muy probablemente se adquirirá una sensación intuitiva de un problema que requie­re un análisis bastante detallado si se lo exami­na rigurosamente y desde un punto de vista puramente teórico.

Dejamos el análisis de este problema y nos concentramos en su enunciado con el objeto de esclarecer una técnica que hemos encontra­do valiosa para la generación de nuevos pro­blemas.

Problema: Para cualquier valor fijo de n (n número natural), ¿cuántos pares ordenados de enteros (a, b) satisfacen la desigualdad a2 + b2 < n.

Podemos comenzar el problema con la má­xima naturalidad construyendo la tabla:

a,b) : a2 + b2 <n

una

V = número de Dares ordenados

n ma.Podemos tomar una propiedad tal como

(~7)4 e imponerla sobre todos los atribu­tos originales (excluyendo aquel del cual de­riva: (7) ), o bien pedemos imponerlo sobre todos los otros atributos ¿Qué, si no? exclu­yendo sus "derivados", por ejemplo (~7)j,..., (~7)m si son mutuamente excluyentes.

Cierto número de imposiciones a nivel de atributos (Nivel I) o a nivel ¿Qué, si no? (Ni­vel II) pueden, en efecto, no tener sentido. No se pretende, por otra parte, que esta téc­nica garantice la generación de sólo formas sensatas. Provee al lector de una experiencia de apertura mental aunque, por supuesto, él debe actuar como juez en todo el esquema.

10 (0,0)1 (0, ) (±1.0) (0,± 1) 5

9293

134215

7216217258299371037 .11 La técnica de ios ciclos3712 Examinemos una vez más el problema plan­

teado al comienzo de este párrafo. Enfo­quemos por un momento tan solo la relación: a2 + b2 <77. ¿Cómo podría haberse obtenido esta relación (O mediante la aplicación del principio del ¿qué, si no? en los diez atribu­tos originales del tercer párrafo? Es claro que una aplicación matemática particular del prin­cipio no originaría una sentencia de la forma: a2 + ó2<77. ¿Cómo podríamos obtenerla de nuestra lista original de atributos del tercer pá­rrafo? Existen claramente (por lo menos) dos trayectorias posibles que se pueden tomar, véase fig. 4, ramas de la izquierda y de la de­recha.

451345144515

Sin suministrar representaciones esquemá­ticas adicionales para el proceso de excitación cerebral (pues, como lo puede comprobar el

491657176118

Tabla I

a7+b7=c7Se insta al lector a completar la segunda columna de la tabla anterior para verificar las anotaciones de la tercera columna.

Se puede hacer cierto número de observa­ciones, basándose en la tabla.

(i) Hay un número impar de pares orde­nados.

(i¡) Entre n y n + 1 el número de pares ordenados crece en 4 o en 8.

(iii) No hay más que 3 valores sucesivos de n que tienen el mismo número de pa­res ordenados como solución.

El lector estará naturalmente ansioso por formular otras observadoras. Sin embargo, hasta ahora sólo nos hemos concentrado en la columna N. ¿Qué ocurre si intentamos investi­gar la cuestión original: ¿Para cualquier n, cuál es el valor de N? Aquí comenzamos a examinar la relación entre las anotaciones de las columnas primera y tercera. Una obser­vación podría ser la siguiente:

La suma de n y N es una sucesión creciente a medida que avanzamos en la tabla.

¿Qué ocurro si no se cumple el atributo 7?

(igualdad)

¿Qué ocurre si no se cumplo el atributo 9?

(exponentos iguales)Primero pudimos aplicar (véase rama iz­

quierda de fig. 4) el principio del ¿Qué, si no? al atributo de la igualdad (número 7 del párrafo 3) y luego volver aplicar el mismo principio al atributo 9: "tres exponentes ¡gua­les", o bien pudimos (rama derecha) invertir el proceso.

El proceso de variar un atributo proseguido por la .variación de otro sugiere una técnica sistemática que pudimos emplear con el objeti­vo de formular nuevos problemas de excita­ción cerebral. Sin mucho esfuerzo comenza­mos a generar enorme número de nuevas com­binaciones de atributos cambiados siguiendo el ciclo a través de las diversas ramas del diagra­ma (fig. 2) y mediante el principio del ¿Qué, si no? Demostremos qué es lo que está impli-

O2 + b7<c7 j7+ü7 nrSs

r

¿Qué ocurre si no so cumple el atributo 9? {exponentes iguales)

¿Qué ocurre si no se cumple el atributo 7?

(igualdad)

xza7 +6* <n

Figura 4

22 .23

;I

I

Analizando esta cuestión comprendemos que sería una constante particular? " Analizando esta cuestión comprendemos que sería nece­saria como estrategia (nivel 4) para distinguir ios dominios posibles. Esto, a su vez, cuerda, por otra parte, que no hemos exami­nado estrechamente la proposición original del teorema de Pitágoras desde el punto de vista de dominio (excepto en la noción de las ter­nas pitagóricas). Entonces, fuimos llevados a reaplicar esta estrategia (enfocada sobre los dominios) junto a la cuestión de cuántos al enunciado original del teorema de Pitágoras. Recordamos así el siguiente fascinante proble-

¿ Qué, si no?1. Considere semilongitudes de los lados.2. Observe las distintas proyecciones de los

tres lados.3. Observe la orientación de los tres lados.

Atributo 3El teorema se refiere a ángulos rectos.¿Qué, si no?1. Suponga que el triángulo es obtusán-

gulo.2. Suponga que el triángulo es acutángulo.3. Suponga que tenemos un ángulo llano.4. Considere un ángulo reflejo.

Atributo 4El teorema se refiere a áreas.¿Qué, si no?1. Expréselo para que se refiera a volúme­

nes.2. Considere dimensiones mayores (o me­

nores).

Atributo 5El teorema se refiere a cuadrados.¿Qué, si no?1. Considere rectángulos sobre los lados.2. Considere triángulos sobre los lados.3. Considere polígonos semejantes (no po­

lígonos) sobre sus lados.4. Considere polígonos cualesquiera sobre '

los lados.

nos re-)U’J dt jUiiutoi

rjnI

t-« «Ji.-l'-l esliT» ¡x» ti v5ro •SujJ

H;y lr*i r.ron?n*r»

ma:)) c( ¿Cuántos puntos racionales satisfacen a

x2 -V y2 = 25?Por supuesto (±5, 0), (0, ±5), (±3, ±4),

(±4, ±3) satisfacen la ecuación. ¿Qué puede decir acerca de otros? Nosotros estimulamos el apetito del lector sin resolver el problema si señalamos que (25/13, 60/13) es, por lo me­nos, una solución adicional.

<Qj¿. u no? uC<( ati.tuio 9<OlC. U no?

ubre «v.r-jio 7

iI I«-OI, (-Oí*I-SI,<-01,(-71.(-71,

\N •• • I*

qie hiy 3v»db>n v b isicne tul

tlr.odl a 1* prirrtra POtOTOJ »’ * b? mn

Siipijiv}r< CMC UI «jnabct rrtin fí«(jocaiJci roí "<<3"

a3 >b‘ Ce3

Figura 5 Aplicación sistemática del ¿Qué, si no? a los atributos

párrafo, nos ayudó la construcción de una ta­bla indicando los casos específicos. La noción de la construcción de una tabla es, por supues­to, una ayuda tanto en el análisis como en la generación de problemas. He aquí una estrate­gia que puede ser comunicada a otros niveles. La fig. 6 es un bosquejo grosero de los dis­tintos niveles que se pueden usar como filtros de otros problemas adicionales en el plantea­miento y el análisis.

en un contexto; una cuestión ‘'tonta" puede adquirir significación cuando se la impone a una forma diferente.

Finalmente, con el objetivo de tomarle la mano al análisis de problemas (menos para plantearlos, aún cuando, por supuesto, están relacionados), podemos construir ciclos de es­trategias para ¡a solución. A esto lo denomina­remos nivel 4. Así, por ejemplo, en el caso del problema planteado al comienzo de este

Volvemos ahora a un rápido panorama de las proposiciones del nivel 2 que resultaron de la aplicación del principio del ¿Qué, si no? a los atributos originales.

Aún cuando los atributos (nuestra lista de 10) no son obviamente del todo independien­tes entre sí (ni siquiera hemos pretendido que agoten las posibilidades) hemos tratado en ca­da aplicación del principio del ¿Qué, si no?, de enfocarlo sobre el término clave (puesto en bastardilla para cada atributo) y hemos inten­tado mantener constantes todos los otros atri-

Atributo 8Hay tres variables asociadas al teorema de

Pitágoras.¿Qué, si no?1. a < b2 = c2 + d22. a2 + b2 +d2 = c23. a2 — b24. a2 -fó2 +c2 +...= (? )2

Atributo 7Las variables están relacionadas por un

signo igual.¿Qué, si no?1. a2 +b2<c22. a2 <c23. a2+b2>c24. a2 +b2 divide a c25. a2 + b2 es primo con respecto a c26. a2 +b2 difiere de c2 en una constante.

Atributo 8Hay un signo más entre dos de las varia­

bles.

butos.Nivel 1: Lista de atributos Nivel 2: ¿Qué, si no?Nivel 3: Planteamiento de problemas. Nivel 4: Estrategia para la resolución.

En cada caso hemos indicado el atributo y sugerido algunas variaciones ¿Qué, si no?

f Atributo 1La proposición es un teorema.¿Qué, si no?1. Expréselo como definición.2. Expréselo como axioma.3. Acepte que es falso (vale decir, geome­

tría no euclidiana).

lFigura 6

rrafo quinto. Enfocando nuestra atención so­bre el atributo de la igualdad (atributo 7 del nivel 1) y empleando el principio del ¿Qué, si no?, llegamos a la relación a2 + b2 <c2 (ni­vel 2). Una de las cuestiones (actividad del ni­vel 3) impuestas a este atributo de nivel 2 era: (—7)! (c): una constante particular?

Dejamos al lector la construcción de un diagrama de flujo apropiado que pueda ilustrar la conexión entre esos 4 niveles.

Como un “estudio de casos" final acerca de cómo la interacción puede sugerir nuevos pro­blemas y/o recordamos otros viejos, volvamos a examinar el problema del comienzo del pá-

Atributo 2El teorema se refiere a longitudes de seg­

mentos de recta.

.y

2524

;i

i

Pitágoras que la técnica de ciclos puede arrojar luz sobre el teorema original o sobre cuestiones vinculadas al mismo.

Hay cierto número de tópicos de investiga­ción relacionados con la técnica que, parece, vale la pena explorar. Por ejemplo, ¿cuáles son las circunstancias (esto es, edad, habilidad vi­sual, nivel de abstracción) que cuentan en la habilidad de una persona para distinguir los atributos en el nivel I?

Una vez que ha comenzado el proceso del ¿Qué, si no? en un ejemplo particular, ¿cuál es la interacción entre la habilidad para traba­jar a "niveles más altos" y encontrar atributos hasta ahora desconocidos?

¿Cómo afecta a la habilidad del estudioso para observar "atributos" en un nuevo ejem­plo el empleo de la técnica en el caso de un concepto (por ejemplo, el teorema de Pitágo­ras)? ¿Qué tipo de preparación se necesita pa­ra ser capaz de aplicar el principio del ¿Qué, si no? de manera bastante sistemática? ¿En qué extensión (y hasta qué punto) deberá ha­cerse explícita la técnica cuando los maestros intenten que sus alumnos la apliquen? ¿Cuál es la naturaleza de la verbalización que acom­paña la formación rápida de los ciclos? O con mayor generalidad, ¿cuál es la relación (desde el punto de vista del desarrollo) entre la habi­lidad para plantear y resolver problemas?

Por otra parte, prescindiendo de la investi­gación efectuada, hemos hallado que el clima intelectual de nuestra propias clases mejoró significativamente cuando tanto nosotros co­mo nuestros alumnos empleamos (aunque de manera muy poco sistemática) algo de la ma­quinara del ¿Qué, si no? como herramienta normal. Instamos a otros a considerar esta téc­nica.

¿Qué, si no?1. a2-b2=c22. a2 • b2 = c2

ntroducción a los conjuntos*3. (a2 )b2 = c24. a2 ±b2 = c2

Atributo 9Hay tres exponentes todos los cuales son

iguales ¿Qué, si no?1. a < b2 = c22. a + b = c23. a"+bm=cs

Atributo 10Los exponentes son números enteros posi­

tivos.¿Qué, si no?1. al/2+bll2=c1'22. a1 +ZT1 = c13. ay2 + by2 = c*'2Dejemos que el lector se formule preguntas,

desarrolle estrategias y aplique la técnica de los ciclos de modo de plantearse problemas basados sobre estas sentencias. Los ejemplos son meramente ilustrativos y darán al lector alguna ¡dea de la riqueza de variación que su­gieren tales técnicas.

JAMES W. HEDDENS (Estados Unidos)Actividades de los niños

El uso de los conjuntos y el lenguaje de los conjuntos ha sido uno de los aspectos más* controvertidos de los programas de matemática moderna. Probablemente los conceptos no sean totalmente nuevos. Los maestros primarios han usado provechosamente a los conjuntos de objetos para introducir conceptos matemáticos básicos durante muchos años. No obstante, a medida que los alumnos van progresando en los grados intermedios y en la escuela secundaria, parece que ese lenguaje casi se extinguiera. Existe una decidida brecha entre las primeras experiencias con con­juntos en el nivel primario y la experiencia acerca del tema en el nivel universitario.

Esta falta de continuidad ha sido remediada con el advenimiento de la matemática moderna. El concepto de conjunto y el uso del lenguaje conjuntista desempeñan ahora una función consistente, continuada, en el desarrollo racional de las ¡deas matemáticas.

Aprender a identificar, describir y clasificar objetos o ¡deas abstractas ha sido considerado desde hace años como una buena práctica educativa. El concepto de conjuntos en la enseñanza de la matemática elemental provee la oportunidad de experiencias que mejoran dicho proceso educativo.

PRIMER GRADO

Descripción de conjuntos• Tómense conjuntos de objetos disponibles y pídase a los niños que los describan. Toda aula

de primer grado tiene equipos básicos, como cajas de tizas, bloques, varillas o bolitas para contar, escritorios y sillas. Los niños pueden describirlos con términos de conjuntos.

• Muchos niños tienen colecciones de juguetes pequeños, tales como muñecas, autitos y trenes. Hágase que los lleven a la escuela para mostrarlos, y que otros alumnos los describan con términos de conjuntos.

• Las ilustraciones de las revistas, dibujos de conjuntos de platos, conjuntos de muebles, avio- y otros, también pueden usarse para animar a describir la colección con términos de conjuntos.

• Empléese el pizarrón y diseños muy simples de conjuntos para ser descritos por los niños. Para estimularlos a describir conjuntos pueden emplearse sobre el pizarrón de franela retazos o recortes de fieltro y lana de tejer para formar los conjuntos^

Resumen y conclusión

Hemos intentado en este artículo suminis­trar al lector una técnica para el planteo de nuevos problemas (así como para recordarle algunos que puede haber encontrado antes). Esta técnica será valiosa para los maestros que intentan poner en orden los recursos perti­nentes de un concepto que esperan enseñar. Aún cuando la técnica siempre nos provee de herramientas para la solución de problemas o de la intuición para determinar cuáles son los problemas profundos, cuáles triviales y cuáles sin significación, puede actuar tanto curso para "abrir la mente" cuanto como un detector de significación.

En su sentido más sofisticado la técnica emplea ciclos entre los siguientes nivelas:

1. Lista de-atributos.2. ¿Qué, si no? para cada atributo.3. Cuestiones planteadas

¿Qué, si no?4. Estrategia para analizar problemas plan­

teados.Hemos mostrado en el caso del teorema de

nes

Sería apropiada una palabra de precaución. Nuestra representación esquemática de la téc­nica podría sugerir que estamos a favor de im­poner cada apartado de cada nivel sobre todos los apartados de todos los otros niveles —lle-

-V

como re­

gando a millares de variaciones— en el sentido que inspiraría a una máquina IBM a chillar de placer. Por encantadas que estuvieran estas máquinas, conocemos muy pocos estudiantes que no cuestionarían nuestro sano juicio si nos embarcáramos en una actividad semejante en el aula. La intención de este artículo es trasmitir un espíritu de investigación de tipo muy especial y esperamos que el lector no lo interprete literalmente.

i

en el nivel del

* Véase n° 14, Pág. 19 a 22

26

!

:

í i

© Los enunciados dictados por el maestro para estimular respuestas de los alumnos son muy útiles. Algunos ejemplos que se puede usar en primer grado son:

el conjunto de todos los niños del aula que usan chaqueta roja (Los niños pueden pararse de modo que los objetos reales que componen el conjunto puedan ser vistos por todos los alumnos.),el conjunto de todas las tizas de una caja, el conjunto de todas las tizas verdes de la caja, el conjunto de todas las niñas del aula, el conjunto de todos los niños del aula, el conjunto de todos los triciclos con cinco ruedas.

Pídase a los niños que piensen en los enunciados a dictar como respuesta del grupo. Permítase a los niños crear conjuntos para colocar sobre el pizarrón de franela; pídase luego a otros niños que describan los conjuntos dibujados.

• Dése a los niños una hoja de papel de dibujo sobre el cual se han bosquejado conjuntos. Pídaseles que los describan. Haga que ellos dibujen un conjunto de su propia elección en el cuadro vacío. Haga que ellos coloreen los árboles y las naranjas confitadas, y deje que ellos elijan el color para los otros dos conjuntos.

° Coloque sobre una mesa 2 conjuntos equivalentes de recortes de fieltro. Haga que los niños los pongan en correspondencia uno a uno sobre el pizarrón de franela.

1. Ponga en correspondencia el conjunto de triángulos con el conjunto de drados dibujando líneas para hacerlos corresponder uno a uno.

cua-

2. Ponga en correspondencia el conjunto de círculos con el conjunto de estrellas dibujando líneas para hacerlos corres­ponder uno a uno.

3. Ponga en correspondencia uno a uno el conjunto de círculos con el conjunto de cuadrados.

í° Dibuje un conjunto que tenga el mismo número de objetos que cada uno de los

conjuntos dibujados debajo. Ponga los conjuntos en correspondencia uno a uno para asegu­rarse que tienen el mismo número de objetos que el conjunto dado.

!

O Oo o

o o

V VI

V VI

Fig. 3

• Dibújese un conjunto con el mismo número de elementos que cada conjunto dibujado debajoI

'

AAi° Coloqúense dos grupos de bloques pequeños sobre una mesa. Elíjanse 6 bloques de un grupo

y colóqueselos sobre otra mesa. Pídase a un niño que elija el mismo número de bloques en el otro grupo y que los coloque sobre otra mesa.

• Disponga 5 sillas en un semicírculo. Pídase a un niño que elija los niños necesarios para ocupar todas las sillas.

• Dibuje un conjunto de 3 triángulos sobre el pizarrón. Haga que un niño dibuje un conjunto de triángulos de modo que los dos conjuntos puedan (biunívoca).

AA!

!* *ser puestos en correspondiencia uno a uno ;

2829

.é

V

\

El conjunto vacíoEn primer grado existen muchas oportunidades para realizar experiencias concretas que des­

arrollen la comprensión del conjunto vacío.• Tenga algunas cajas cerradas disponibles, como latas de café, una o dos cajas grandes de

cartón y algunas bolitas, bloques, broches, etc.Coloque tres o cuatro bloques en una caja de modo que los niños no puedan ver cuántos son.

Haga que los niños trasladen conjuntos de 1, 2 ó 3 bloques y los describan a la vez que los trasladan. Haga que un niño traslade todos los bloques de la caja y pregúntele entonces cuántos quedan. Discuta como describiríamos a este conjunto sin elementos. Use este enfoque para guiarlos a la comprensión del conjunto vacío.*

Esta actividad puede variarse usando distintas cajas con diferente número de objetos dentro de cada una de ellas. Deje vacías a todas las cajas. Haga que distintos niños describan los diversos conjuntos de objetos que encuentran en cada caja, la caja vacía incluida.

• La discusión de cuestiones tales como la siguiente puede ayudar a formar el concepto de conjunto vacío en la mente de los niños. Discuta estas cuestiones y luego anime a los niños a pensar en cuestiones semejantes.

¿Cuántos niños del aula son más altos que yo?¿Cuántas cebras moradas hay en el aula?¿Cómo puedo identificar estos conjuntos?

Número cardinal de los conjuntos• Tenga conjuntos de tarjetas formados con distinto número de objetos dibujados o pegados

sobre ellas. Tenga otro conjunto de tarjetas con las cifras numéricas escritos sobre ellas. Pida a los niños que pongan en correspondencia al conjunto de tarjetas con la tarjeta numerada apropiada.

Marque cada conjunto de 3 elementos

QQ a! •

Marque cada conjunto de 5 elementos

A A 9 9a a <? PA A!!

Fig. 8

2 2 o Dibuje un aro rodeando a la cifra correcta de cada conjunto.

3 3

5 ☆5Fig.5:• • \ 2

• Marque cada conjunto de 1 elemento

O A

5• ¿ f. g q

!■ Y& 6 ¡A A■

V •

Fig. 6

3031

:1!

A VA V 1OAJ3

3 5 'f ZU-6-2-10OH

O

•A- D -A-vJDj&O

? 6 > 8

4 ■ •Fig. 10

• Coloree 6 casillas

13 5*> | Fig. 11Coloree 4 casillas

Fig. 9

• Describa el conjunto que en cada fila tiene el mismo número de objetos designado por el número. Luego marque el número.

Fig. 12Coloree 10 casillas

■;

Fig. 13¥ o o a a

rColoree 0 casillas//5 !:Í;

Fig. 14Dibuje un aro rodeando al número de objetos designados por el número.* f D □4 O O O*

* □ O,o o A A A

A A A

O O Oa ® •& ★★ DDO

□ DO í■ MUO O OO© (±) (¿Z) • 093 44 &3 zs

-------------------------------------------------- ' Fig. 15Escriba un número para designar el número de objetos de cada conjunto.

@>® ©> & ©5- ■ 2 nao ★

Fig. 16

32!33

i.

Comparando el Conjunto A con el Conjunto B podemos ver que no existe una correspondencia uno a uno.Comparando el Conjunto A con el Conjunto C podemos ver que son conjuntos equivalentes.

9 Usando lápices, gomas, libros, reglas, etc., mostrar conjuntos de cinco de cada uno de dichos objetos para que los niños los pongan en correspondencia. Haga que ellos comparen los conjuntos sin discutir el número de cada conjunto para determinar la equivalencia. Si no se ha expuesto a los niños el concepto de equivalencia, se puede también usar las actividades expuestas en la parte correspondiente al primer grado.

SEGUNDO Y TERCER GRADOS

Descripción de conjuntosSi los niños no han realizado experiencias en primer grado en la descripción de conjuntos, sería

prudente comenzar con algunas de las actividades anteriores. Las siguientes actividades pueden usarse como extensión del concepto.

° ¿Puede Ud. recordar algún enunciado para describir cada uno de estos conjuntos?

o En cada lugar en blanco escriba el número correspondiente.A

ChZ ¿i

E.6 4 cowfiijwto dfr c&nyAmto'i5 DFig. 17

° Haga que los niños busquen en sus hogares dibujos en las revistas que muestren colecciones o conjuntos de objetos. Disponga que los lleven a la escuela y los describan para la clase.

o Pida a los niños que dibujen un conjunto de pájaros (o de gatos, perros, flores, etc.) y lo describan.

® Pregunte a los niños como describirían un conjunto con estos elementos:a) perro, gato, conejo,b) Sara, Silvia, Susana,c) Juan, José, Jorge.

• En tercer grado, las cuestiones orales o escritas pueden ser ligeramente más abstractas.¿Cómo describiría un conjunto con estos elementos?

a) Enero, Febrero, Marzo.b) Domingo, Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado.c) fútbol, baseball, basketball.

¿Qué elementos incluiría en los siguientes conjuntos?a) El conjunto cuyos elementos son las primeras cinco letras del'alfabeto.b) El conjunto de los números menores que 10 y mayores que 5.c) El conjunto cuyos elementos son las niñas de su clase cuyos nombres comienzan con la

letra S.

Conjuntos equivalentes• Agrupe objetos concretos sobre una mesa, pizarrón magnético o pizarrón de franela. Muestra

cómo se puede determinar la equivalencia sin discutir el número cardinal de cada conjunto y estableciendo una correspondencia uno a uno.

2. coiyuvito* ¿e

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▲ ■4!B C1 Fig. 19A Fig. 18

3534:1

i¡

o Escribir el número que diga cuantos elementos hay en cada conjunto.El conjunto vacío• Actividades como las siguientes nos ayudarán a dar al niño el concepto de conjunto vacío.

Haga la lista del conjunto de números contables menos que 1.Haga una lista de los días de la Semana cuyos nombres comienzan con R.Haga una lista de los alumnos de su aula que tienen más de 25 años.Piense en cinco ejemplos de conjuntos vacíos. Haga una lista de ellos.

® En los blancos, escriba los números que digan cuántos elementos hay en cada conjunto.

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Fig. 22

o Rodee con un aro cada conjunto de 10. Luego escriba un número en cada blanco que diga cuántos conjuntos de 10 hay en cada cuadro.

i.

Fig. 20 <3O O © Q

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• ¿Cuántos? Escriba el número. © <9 O Ó

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: .. lFig. 23

CUARTO Y QUINTÓ GRADOS

Los siguientes ejercicios pueden realizarse en cualquier grado dependiendo de la cantidad de conocimientos que tiene el niño al ingresar en el grado. Se observará que estos ejercicios son algo más abstractos y deberá usárseles luego de que se haya realizado un enfoque concreto sobre conjuntos.

Descripción de conjuntos• El niño debería estar ahora en condiciones para la introducción de llaves, el símbolo mate­

mático adecuado para identificar conjuntos.

i

:OOOOOo^5>OoO °°oooo\ o

foooooj

Fig. 21

1736

I

:

Conjuntos equivalentes

I

iLos elementos del conjunto. . . son triángulos. La flor es un elemento del conjunto.. .El conjunto A es un conjunto de.. .¿Cuáles elementos del conjunto C son también elementos del conjunto A? . . .¿Cuáles elementos del conjunto B son también elementos del conjunto C?¿Cuáles elementos del conjunto A son tam­bién elementos del conjunto B? . ..

¿De cuántas maneras puede colocar en correspondencia uno a uno los elementos de los conjuntos X e Y?De cuántas maneras puede colocar en correspondencia uno a uno los elementos de los conjuntos A, B y C?

fehj/U/iiCóBa o

;

□ O A

BA Fig. 25

Fig. 24° ¿Cuáles de los siguientes pares de conjuntos están en correspondencia uno a uno?

a) i A, E. I, O, UV y {u, o, i, e, a>b) "el conjunto de letras del alfabeto" y "el conjunto de números naturales menores que 27.

Haga una lista de cinco ejemplos de pares de conjuntos que estén en correspondencia uno a

o Los elementos de los conjuntos pueden ser enunciados entre llaves: Conjunto A— \ bote, auto, tren, avión)Conjunto B = {gato, perro, mono, oso)Conjunto C= <bombóm, bote, oso, tambor, pelota)El gato es un elemento de conjunto...El avión es un elemento de conjunto...El bote es un elemento del conjunto... y del conjunto...¿Cuáles elementos del conjunto A son también elementos del conjunto C? ¿Cuáles elementos del conjunto B son también elementos del conjunto A?

uno.

Número cardinal de los conjuntos

6 Halle el número cardinal de los conjuntos 1

o Haga la lista de los elementos de cada conjunto:Sea A el nombre del conjunto cuyos elementos son los días de la semana.

A =Sea B el nombre del conjunto cuyos elementos son los meses del año. o El número cardinal del conjunto G es. .. .

n (G) -........B = Cov^un/iíbGSea C el nombre del conjunto cuyos elementos son las letras del alfabeto.C = Fig. 26

Sea D el nombre del conjunto cuyos elementos son todos los niños de su escuela mayores de 100 años. i

D = MaríaParaEster

® Describa con palabras los siguientes conjuntos.A= <2, 4, 6, 8, 10)B = {Enero, Junio, Julio)

El número cardinal del conjunto H es, n (H) =........

:

C — fa, e, i, o, u)(1. 3. 5, 7, 9)

• Haga la lista de los elementos de los siguientes conjuntos.a) el conjunto de los números naturales mayores que 10 y menores que 17.b) el conjunto de los números naturales comprendido entre 45 y 48c) el conjunto de los números naturales comprendidos entre 48 y 49d) el conjunto de los números impares menores que 20e) el conjunto de los números primos menores que 36.

• Si es posible, haga una lista de los mación que se da:a) conjunto de tarjetasb) conjunto de estampillasc) conjunto de nombres de provincias

i

íFig. 27

'i

Sea D el nombre del conjunto cuyos elementos son los niños de su aula n(d) =

elementos de los siguientes conjuntos mediante la infor-

d) conjunto de los libros de su pupitree) conjunto de letras

Sea E el nombre del conjunto cuyos elementos son los elefantes rosados de su aula

: n (E) =

(Continúa en pág. 43)

3938

■

:

de que la abstracción nos lleve sobre esas mis­mas acciones y no sobre el objeto, la experien­cia prepara el espíritu deductivo en lugar de contrarrestarlo. Si todo conocimiento, en el niño, supone una participación de la experien­cia para constituirse, esta comprobación psico­lógica no justifica de ningún modo el pirismo, porque existen dos clases de expe­riencia: la experiencia física que conduce a una abstracción de las propiedades sacadas del mismo objeto y la experiencia lógico-matemá­tica con abstracción, a partir de las acciones u operaciones efectuadas sobre el objeto como tal. De ahí que, el recurso de la experiencia y de la acción, y de manera general, la pedago­gía denominada activa entre los procedi­mientos de iniciación matemática, no compro­metan en nada el rigor deductivo ulterior sino que, por lo contrario, lo preparan propor­cionándole bases reales y no simplemente ver­bales.

obstante, antes de indicar una hipótesis didác­tica que ha de verificarse amplia y seria­mente {decimos verificar porque no puede bas­tar nuestra experiencia personal), deseamos re­cordar que los psicólogos de la "Gestalt" han hecho una notable contribución sobre la manera de adquirir las nociones; basta pensar en los estudios de Wertheimer y en su ya clási­ca obra sobre el pensamiento productivo. Pero como sería justo señalarlo con más amplitud, Piaget también está dispuesto a reconocer un fundamento común a la percepción y a la inteligencia: no obstante distingue las for­mas irreversibles de la percepción, de las estructuras y operaciones típicas de la inteli­gencia. Se sigue, por tanto, que sobre el plano didáctico no puede bastar el ejercicio de rees­tructuración de las formas propuesto por Wer­theimer y mucho menos la simple noción intuitivo-perceptiva, y por tanto estática, de las figuras y situaciones geométricas. Cada operación matemática se configura como un esquema de asimilación que deriva de las ope­raciones sobre las cosas materiales y no de la percepción simple.

La hipótesis didáctica que, por tanto, me parece se puede formular para la enseñanza de la matemática en la escuela media, no excluye obviamente el ejercicio de la intuición a nivel perceptivo. Así, nuestra experiencia personal y la de acreditados colegas, nos lleva a valorizar cierto tipo de experimentación a ese nivel.

Lo que importa es todavía la consolidación de los grupos operativos del pensamiento que a esta edad deben lograr una definitiva madu­ración. Esta formación psicológica podrá con­sentir el pasaje de la intuición al nivel percep­tivo y otra forma de intuición que denomina­remos matemática, donde lo "concreto" pier­de la característica de fetiche empírico y que­da como momento de' un proceso dinámico sobre el cual se basan las actitudes constructi­vas de ¡a abstracción y de la ¡pvestigación.

Desde este punto de vista, la aritmética y la geometría no se diferencian, y las estructuras lógicas colocadas como bases de las dos disci­plinas son las mismas; los jóvenes alumnos de­berán, en todo lo que se pueda, ser preparados para reconocer esta verdad fundamental en sus estudios futuros.

Notas para una experimentaciónI. — Para educar en la intuición geométrica

de las formas, es indispensable que el alumno

enseñanza de la matemática em-

ANGELO PESCARINI (Italia)

Con mayor precisión, ¿cuál es el juicio que debemos dar con respecto a la enseñanza que actualmente se denomina "intuitiva" y qué sentido se debería atribuir en el plano didác­tico a la noción de operatividad sobre lo con­creto que se liga directamente con las indica­ciones de Piaget?

Esta me parece justamente la tarea original y peculiar del docente, la cual, de ningún modo, puede delegarse en el psicólogo que, a su vez, no sea un docente.

Se trata de precisar, por ejemplo, qué debe entenderse por "geometría intuitiva", dado que al respecto existen, sin duda, serios equí­vocos. Si debiéramos entender a tal enseñanza en el sentido que le atribuye una. tradición pedagógica de clara inspiración empirista, claro está que hoy no podríamos estar más de acuerdo.

No existe duda, sin embargo, de que aun no se ha salido de una situación semejante.

El peligro que se presenta en la enseñanza .intuitiva tradicional es el de caer en el empi* rismo vulgar o en el empirismo de manera crítica. Pienso personalmente que el sentido que se debe atribuir a la ejercitación sobré ma­terial concreto como base de la enseñanza ma­temática, debe distinguir desde el comienzo entre matemática y física y, en nuestro caso particular, entre matemática y observación científica.

Resulta útil señalar la clara distinción, Ps¡" eclógica y didáctica a la vez, éntre experiencia matemática y experiencia física. Piaget, des­pués de haber admitido que las operaciones derivan de acciones que al interiorizarse se coordinan en "estructuras mentales", prosigue así; Hay empirismo cada vez que el educador sustituye la demostración matemática por una experiencia con la simple, lectura de los resui- tados obtenidos. Pero cuando la experiencia nos da la oportunidad de coordinar acciones y

Al presentar estas breves notas deseamos precisar que el aspecto psicológico didáctico de la enseñanza matemática en la escuela me­dia debe ser colocado, sin equívocos, en el marco de una metodología pedagógica general. No quisiéramos, pues, dar la impresión de se­guir aquí una dirección de didáctica psicoló­gica tout-court. Sólo razones de espacio nos impiden tomar posición sobre el problema en toda su complejidad. ’ .

De hecho, cualquier ciencia, y por tanto • también la de la educación, se vale de técnicas que en el límite, tienen un mero valor instrumental; pero, para que éstas técnicas adqüieran un significado no equívoco y se . vuelvan fecundas para el fin científico o1 pedagógivo que se quiéra alcanzar, deben resultar expresión e instrumento de un méto­do apto para transmitir, determinados conteni­dos de instrucción y de cultura.

En esté trabajo desarrollaremos sólo algunas consideraciones -estrechamente ligadas a la componente psicológica del problema didácti­co enun sentido bastante circunscripto y referido particularmente a la enseñanza

. matemática en la escuela desde los 11 a los 14 años. {. Si recogemos la indicación de Piaget, en la edad psicológica que nos interesa, se vendrían organizando las "operaciorles concretas", esto es, ios agrupamientos operatorios del pensa­miento construidos sobre objetos manípulables o susceptibles de ser intuidos, y ya se tiene la primer manifestación de elaboración del pensa­miento formal característico de la inteligencia reflexiva y acabada.

.Estas indicaciones que de por sí tienen una• 'validez precisa en eí plano psicológico no pue­

den sin embargo ser'traspuestas al plano di­dáctico, pero nos permiten precisar una prime-

, te,orientación metodológica en la práctica de* la enseñanza. : 1 •

Resumiendo, la noción y los conceptos ma­temáticos no se obtienen por abstracción de los objetos concretos o, como se dice, por simple intuición. El aprendizaje auténtico se funda en la práctica de las trasformaciones de una percepción-intuición a otra, de una situa­ción a otra, y dichas trasformaciones son, en un sentido bien preciso, independientes del material sobre el cual opera y actúa el docen­te. Son justamente estas nociones, estas opera­ciones las que pueden ser interorizadas y estructuradas lógicamente en el plano abstrac­to. De ese modo, el recurso necesario e insus­tituible del material concreto en la práctica de la enseñanza y del aprendizaje elemental y me­dio no se justifica tanto para consentir las intuiciones simples a nivel perceptivo cuanto para promover una operatividad activa y con­creta sobre la cual basar la compleja dialéctica del aprendizaje.

Se sigue de esto la precisa conciencia del daño psicológico y pedagógico conjunto que puede derivar del uso de material inadecuado para el fin y sobre todo de una incierta carac­terización de nuestra experiencia didáctica. En otras palabras, si la operación que ha de reali­zarse con el material concreto no llega a dis­tinguir la experiencia física de la de tipo lógi­co-matemático, toda nuestra enseñanza se verá comprometida, sea en el plano psicoló- gico-didáctico, sea sobre el plano verdadera­mente científico-metodológico que sigue sien­do la meta de nuestro quehacer educativo. No

i

4041

dos los recursos didácticos de que hoy se dis­ miento seguido nos lleva a obtener el llamado "conjunto cociente" que aquí estará dado por las diez reglas distintas; o por el color, o por longitud.

Más general, como bien lo aclara Gattegno, tal material ofrece la posibilidad de construir "modelos matemáticos", y por tanto se presta a amplias posibilidades de empleo a nivel ele­mental y medio.

Se trata, en definitiva, de un conjunto de objetos en el que puede reconocerse:1) las relaciones de "equivalencia" de color y

de longitud ya recordadas;2) subcoñjuntos que se pueden numerar y or­

denar;3) un conjunto estructurado de la operación

de adición que, por tanto, se presta para ser estudiado como grupo;

4) un conjunto estructurado de dos opera­ciones: adición y multiplicación con posi­bilidad de construir un modelo de "anillo conmutativo";

5) En fin, las reglas se prestan para un mode­lo de los números racionales.Bastan estos resultados para comprender la

riqueza del tal material.Para concluir, deseo augurar que en un fu­

turo próximo sea posible realizar una amplia experimentación concreta; no quisiera que lo dicho sean palabras estériles sobre el método.

Para que la didáctica se convierta en una auténtica investigación científica es indispen­sable que la experimentación y la reflexión crítica se conviertan en costumbre permanente de la escuela y de todos los que a ella dedican lo mejor de sus energías.

ñanza elemental y media, mucho es lo ha discutido. Ya Enriquez distinguía definiciones psicológicas y definiciones lógicas: "La definición real (que sirve para establecer los conceptos fundamentales) no es una defini­ción lógica, sino tan sólo una definición psico­lógica, esto es un modo de hacer surgir cierto concepto en la mente de los demás, por medio de imágenes oportunamente evocadas y asocia­

se emancipe todo lo que pueda de ciertas ten­dencias debidas a la percepción.

En la consideración de una forma geomé­trica siempre aparecen inevitablemente inter­ferencias entre la visión perceptiva y la intui­ción puramente geométrica de las relaciones. En la práctica didáctica, la distinción de los dos planos servirá no sólo para predisponer a la intuición auténtica, sino que también volve­rá más libre y completa la consideración pura­mente lógico-geométrica de las formas. Perma­neciendo siempre sobre el plano perceptivo, es fácil llegar a ver la utilidad de promover ejer­cicios de "reestructuración". Existe, sin duda, un nexo entre el desarrollo de esta actitud y la otra propiamente geométrica que conduce más directa y simplemente a la solución de una cuestión determinada. A la vía más simple casi siempre corresponde una facultad de rees­tructuración más elaborada aunque no propia­mente en el sentido del "pensamiento produc­tivo" sostenido por Wertheimer.

En la didáctica tradicional se trata de pro­mover esta actitud yendo de las demostra­ciones más simples a las más complejas; en cambio, nosotros sostenemos que no siempre hay identidad entre la complejidad lógica de las relaciones geométricas y la complejidad estructural de las figuras como "formas" en sentido psicológico-perceptivo.

Por tanto, convendrá considerar, donde sea posible, a los dos momentos como distintos. Pienso que ha de ser experiencia de todos los docentes, haber advertido

pone.que se entre III. — Toda la enseñanza de la aritmética y,

por tanto, del álgebra, hoy puede y debe ser favorecido por una práctica operativa sobre lo concreto y y por la consiguiente toma de con­ciencia de las estructuras formales del cálculo.

No es posible insistir aquí sobre indicacio­nes que he presentado en otras oportunidades, pero vale la pena repetir que una enseñanza que quiera inspirarse en las posibilidades psico­lógicas de los alumnos no puede estar basada mas que en los recursos tradicionales. Toda vez que la operatividad sobre lo concreto en el sentido de Piaget no se reduzca a vulgares veri­ficaciones empíricas, se llega a comprender có­mo cierto tipo de material didáctico puede prestar preciosos e insustituibles servicios.

das.Por tanto, la definición real más típica y

precisa es la definición concreta que se da del nombre de un objeto mostrando al objeto mis­mo y pronunciando a la vez la palabra que lo denota. Cuando se trata de definir un término algo general, referente siempre a objetos cretos, se puede mostrar cierto números de es­tos y fijar la atención sobre sus caracteres comunes. Si bien estos casos son más simples de lo que ocurre generalmente, el fundamento de la definición concreta consiste siempre en establecer una asociación entre una palabra y cierta serie de sensaciones.

Esta fórmula de Enriquez aparece hoy superada por los descubrimientos de Piaget en el sentido de que a un ente o figura geométri­ca a definir no se debe asociar tanto "una serie' de sensaciones" o imágenes cuanto, más bien, una "serie de operaciones", que se deben entender en sentido dado, siempre de tipo jnfo rtible.

con-

El material Cuisenaire — Gattegno -que he experimentado mucho— ofrece notables posi­bilidades. Está constituido por varillas de dis­tinto color y de distintas longitudes, de .1 cm a 10 cm según los colores: blanco, rojo, verde claro, ciclamen, amarillo, verde oscuro, negro, marrón, azul, naranja. En la caja, que contiene un juego, hay grupos de reglas de cada color. Claro es que entonces es posible instituir, de modo distinto, una relación binaria de "equi­valencia" (esto es, reflexiva, simétrica y transi­tiva) sobre la base de la igualdad de los colo­res o de las longitudes.

Podemos, entonces, repartir el conjunto de las reglas en clases de equivalencias, y si des­pués de cada clase así obtenida, se considera una sola regla para representarla, el procedi-

;

:

El mismo geoplano ofrece ampliamente esta posibilidad. Al principio, las figuras geométri­cas representadas estarán sometidas a variacio-

:

que cuando los alumnos dicen no ver o no haber visto cierta relación geométrica, depende en primer térmi­no de que ellos no han "visto" porque no han sabido observar convenientemente la forma geométrica dada. Cuando las facultades de reestructuración comiencen a depender tam­bién de las propiedades geométricas ya adqui­ridas o descubiertas, entonces se iniciará, en sentido específico, la verdadera y propia for­mación matemática. Por tanto, se trata de favorecer el pasaje de una "intuición" a nivel perceptivo a otra propiamente matemática que admite tomar relaciones en sí sobre el plano racional-abstracto.

Hemos hecho experiencias de

nes que,no alteran las características de la cla­se en que se quiere considerar la figura: pién­sese en la clase de los cuadriláteros y en las subclases de los trapecios, paralelogramos, rombos, rectángulos, y cuadrados. En segundo término se introducirán verdaderas operaciones de transformación, y si se piensa que, P°r ejemplo, las rotaciones planas concéntricas for­man un

SEXTO GRADO(Viene de pág. 39)i Descripción de conjuntos

• Designe cada conjunto con letras del nombre de la ciudad en que ha nacido.

» números impares comprendidos entre 5 y 17, conjunto de los números naturales menores que 16 y mayores que 8,

d) los números naturales mayores que 10 y menores que 11, el conjunto de los múltiplos de 6 comprendidos entre 0 y 30.

• Describa con palabras los siguientes conjuntos:a) Conjunto N = Í0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>b) Conjunto W = < Sábado, Domingo Jc) Conjunto T = \ómnibus, tres, avión!d) Conjunto P= 12, 3, 5, 7, 11}e) Conjunto R = i -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3}

letra mayúscula e incluya a los elementos entre llaves.una

a) lasb) los

1..i

grupo", es posible comprender cómo se puede introducir esta noción y aclarar pos­teriormente c°n una larga serie de ejemplos.

os pronos aprenderán a transformar pri-. niero las figuras sobre el geoplano, por rota-

°n, y después sobre el papel por correspon- enga puntual, y lo mismo ocurrirá para las

transformaciones por simetría con respecto a punto y a una recta y, más adelante, por

InT1!0'3 ° semeianza. De ese modo, el con-i ^^^ndencía y de transformación

n ua se asím¡lará gradualmente usando

i c) elI

e)J

este tipo con el dispositivo denominado "geoplano" consi­guiendo resultados apreciables y siasmantes. ¡a veces entu-

II. - Con respecto a la definición de las figuras geométricas fundamentales ien la ense- 43to-

42 i

i

7. Sean los conjuntos A = [a, b, c, c/j y B = [1, 2, 3]. Formar los productos carte­sianos A x B y BxAy hacer los diagramas.

Sean, ahora, A'= [a, c, d,] y 2].Formar A' x B' y verificar que A'xB' C A x B. Hacer el diagrama.

8. En N considera la ley de composición interna definida por x* y = x + 2 y.

¿Es conmutativa dicha ley? ¿Es asociativa?9. ¿Son primos los números 1409 y 1GQ9?10. Determinar el conjunto-verdad de cada

una de las siguientes ecuaciones de segunde grado.a) x2 — 6 x t 8 = 0b) x2—6x+9 = 0c) x2—6x + 5 = 0d) x2 - 7 x + 10 = 0e) x2 -4x =0f) x2 — 5 x =0g) x2 - (a + b) + a b = 0h) x + (m + n) + mn

recuerde el resultado que llamaremos A. Reste luego 3 del número pensado y eleve la dife­rencia al cuadrado. Reste este cuadrado de A y divida el número resultante por el número pensado. ¿Qué número obtiene? ¿Cree Ud. que el resultado será siempre el mismo? De ser así ¿por qué?

16. La cabeza de un pez mide 10 cm; la cola es del mismo largo que la cabeza más la mitad del cuerpo. El cuerpo mide tanto como la cabeza y la cola juntos. ¿Cuál es la longitud del pez?

17. Un hombre debe hacer que un zorro, un ganso y una bolsa de maíz atraviesen un río. Tiene un bote en el cual, por vez, puede hacer cruzar a uno. No puede dejar al zorro y al ganso juntos, ni al ganso con el maíz, pues uno se comería al otro. ¿Cómo hacer entonces el cruce? Indique en un dibujo la situación.

18. Ud. tiene dos baldes, uno de 5 I y otro de 9 I, ambos sin marcas de cantidades menores. ¿Cómo puede medir 6 litros usando los dos baldes?

19. Dos números son recíprocos y uno de ellos es el cuádruplo del otro. Determinar am­bos números.

20. Juan puede lavar su auto en 30 minu­tos. Si Antonio le ayuda, juntos harán el tra­bajo en 18 minutos. ¿Cuánto tiempo tardaría Antonio si trabaja solo?

21. Construir un cuadrado de área doble a la de un cuadrado dado.

22. ¿Qué número viene después?a) 5, 7, 11, 19,...b) 2, 6, 12, 20,...c) 0, 1,1,2, 3, 5,...d) 2, 3, 5, 7, 11,...

23. Tres hombres, trabajando individual­mente, harían cierta tarea en 4, 5 y 6 días, respectivamente. ¿Cuánto tardarían si trabaja­ran los tres juntos?

24. Para atraer más pasajeros, una compa­ñía de transporte disminuye los precios en un 10%. Como resultadp vende un 20 o/o más de boletos, todos del mismo precio, que ante­riormente. ¿Obtuvo ventajas la compañía?

25. Demuestre que si los ánaulos de un triángulo son de x°, y° y (x + yr se trata de un triángulo rectángulo.

OLIMPIADA MATEMATICAcoordinadoras y alumnos los resultados y las instrucciones para la etapa siguiente.

30-VII: Entrena de premios en las escuelas cabeceras.

20- Vllf: Primera prueba del examen zonal.21- VIII: Segunda prueba del examen Zonal.28’V/II: Se tendrá el informe estadístico de

las pruebas zonales.4-/X: Vence el plazo para el envío de ma­

terial y resultados del examen zonal.11-/X: El Director comunica el resultado

de las pruebas zonales y efectúa la comuni­cación por intermedio del periodismo.

25-1X: Se envían pasajes a los ganadores del interior que viajan a Buenos Aires para las pruebas zonales.

9-X: Primera prueba del certamen regional, que será calificada por el jurado el día si­guiente.

11-X: Segunda prueba, que será calificada el día 12.

Culminado el año escolar y realizadas todas las pruebas previstas por la Comisión Organi­zadora de la Primera Olimpíada de Matemática Argentina, cúmplenos consignar que ha sido grande el interés provocado por esta justa es­tudiantil lo que quedó de manifiesto en el acto realizado en el teatro General San Martín de la ciudad de Buenos Aires con la presencia de autoridades ministeriales, de la entidad or­ganizadora y del profesor Marshall H. Stone.

Reunida más tarde la Comisión Organiza­dora con la presidencia del profesor Juan C. Dalmasso se procedió a elaborar las actividades a desarrollar en 1970, año de la Primera Olim­píada Matemática Argentina. Dicho calendario es el siguiente:

22- V: Certámenes locales con pruebas es­colares internas. No se ha previsto aún los temarios.

5-1//: Vence el plazo para la inscripción en las escuelas cabeceras.

12-VI: Se realizará la prueba intercolegial con sumario único en las escuelas cabeceras.

26-VI: Se tendrá el informe estadístico de las escuelas cabeceras (número de alumnos presentes y ausentes, escuelas a las que re­presentan, etc.)

26-VII: Vence el plazo para que los jurados locales entreguen las calificaciones y las prue­bas a la dirección.

17-VII: El Director comunica a las escuelas,

V = [2,...]V = [..., 3]V = [V = [ ]V = [0,...J

]V = [V = [.......... ]V = [.......... ]

11. Indique cuáles de las siguientes sen­tencias son verdaderas,a) (4,6) 0 a la recta y = x + 3b) (-1,2) Ga la recta y = x 4- 3

c) (0,0) E a la recta y =13- X: Selección de los ganadores que par­

ticiparán en el certamen nacional.14- X: Primera prueba del certamen na- 4

cional. d) (1,2) £a la recta 3 x + 2 y =6e) (0,1) E a la parábola y = 3x2 + 1f) (0,0) £ a la parábola y = x2g) (3,0) a la parábola y = x2 - 5 x + 6h) (3,2) E a la parábola y = x2 — 5 x + 6

12. En un plano en escala 1:500 ¿qué di­mensiones deben asignarse a una habitación de 5 m por 6 m.

13. Si todos los dígitos usados para nume­rar las páginas de un libro fueran recortados y luego colocados en una caja, habría un total de 192 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el li­bro?

15-X: Segunda prueba del certamen na-cional.

16-X: Tercera prueba del certamen na­cional.

30-X: Informe al Consejo Consultivo. 6-XI: El Director informa los resultados. 10-XI: Acto de clausura.

i ■

PROBLEMAS i1 . Dado el número 588000,

a) descomponerlo en factores primos; b) ha­llar todos los divisores del número que sean cuadrados perfectos.

2. ¿Cuál es el valor del lado de un cua­drado cuya diagonal es 15 cm más larqa dicho lado?

14. Un canguro persigue a un conejo. 2 de sus saltos equivalen a 3 del conejo, pero cada uno de ellos cubre la misma distancia que 2 del conejo.

Si al comenzar la carrera, el conejo está 10 de sus saltos delante del canguro ¿cuántos sal­tos dará el conejo antes de ser alcanzado por el canguro?

15. Piense un número no nulo. Agréguele 5 y eleve luego al cuadrado. Reste luego 16 y

4. Demostrar que los puntos M y M' que dividen un segmento AB en una razón dada, 2/5, son respectivamente simétricos con res­pecto al punto 0.

5. Conociendo las bases, b y b' y los lados no paralelos m y m\ hallar las -longitudes del triángulo que se forma al prolongar los lados no paralelos.

6. Los lados de un triángulo son a — 4 cm, 5 = 3 cm, c = 6 cm. Se traza una paralela a c que mide 4 cm. Hallar el valor de los seg­mentos que determina sobre a y b.

i;!

i

que

3. Tengamos dos jardines cuadrados de la­dos, x e y, respectivamente. La suma de las áreas de los dos jardines es de 1850 m2 El área del rectángulo de dimensiones x, y es de o/o m . Hallar x e y.

Iv.»

:

I 4544

I

fuerza interna de esa idea la vuelve impres­cindible para el hombre de ciencia; porqué en determinado momento la aparición de otra "nueva" idea la destrona y la sumerge en el cementerio de los conocimientos en desuso; porqué algunas ¡deas que parecieron haber cumplido su ciclo, y se las dio por muertas, estaban todavía latiendo y no fue necesario más que el requerimiento de una nueva situa­ción para que renacieran con toda lozanía y vigor, son todas cosas que le vienen muy bien al hombre culto y singularmente al docente.

Para tal fin se han escrito las historias de ciencia en general y las historias particulares de las distintas disciplinas; de ambas existen obras enjudiosas que lamentablemente no siempre están al alcance de todos por dife­rentes razones. Existen también obras de di­vulgación más asequibles y .dignas de ser leídas.

ofrece temas que enriquecerán los conoci­mientos no sólo del maestro sino también los del estudiante. Se espera que estas personas, tanto como las demás que decidan leer este libro, encuentren cosas de valor así como ins­piración en este enfoque histórico de los con­ceptos matemáticos. "No nos cabe duda que así ha de ser y que promoverá en los lectores interés por la lectura de otras obras modernas o clásicas acerca de esta apasionante historia.

Los capítulos del libro son los siguientes: Sistemas antiguos de numeración; Los núme­ros ¡ndoarábigos; Números figurados; Métodos antiguos de computación; Artificios de compu­tación; Cuadrados mágicos; Temas de geo­metría; Breve historia de la medición; El ca­lendario; El misticismo de los números y las superticiones.

La versión castellana de la obra ha estado a cargo de Andrés Sestier Bouclier, del Instituto Politécnico Nacional de México y la cuidada presentación corresponde a la Compañía Edi­torial Continental, S.A.

i

BIBLIOGRAFIA ii

1

¡

meros racionales y números irracionales; Los vectoriales; Ecuaciones de la recta del plano; Semiplanos e inecuaciones; Cambio de refe­rencia sobre una recta. Forman parte del libro breves biografías de Simón Stevin, Arquí- medes y Tales de Miletto.

No hay ninguna duda que este libro ha de ser muy bien recibido por los docentes argen­tinos y sudamericanos. Se destacarán, otra vez, la gran calidad de los gráficos, algunos de los cuales como las demostraciones a la manera de filmes, son, sin ninguna duda, muy originales.

La edición argentina aparece en versión de la profesora Irma Dumrauf, durante algunos años colaboradora argentina de Papy en el Centro Belga de Pedagogía de la Matemática; la revisión técnica de la obra ha estado a cargo de la profesora Estela O. de González Baró. El trabajo realizado, muy eficiente, se ha ceñido estrictamente al original, acaso demasiado a nuestra manera de ver. Hagamos notar tam­bién que en la página XI se escribe Tales mientras que en otras, la 439, por ejemplo, se escribe Thales. Como se trata de la misma per­sona, pensamos que se debió ser consecuente y usar la misma grafía, Tales, en castellano (Diccionario Enciclopédico Espasa-Calpe).

Elogiamos decididamente a la editorial que ha presentado la obra de manera que enor­gullece a los editores argentinos.

PAPY, con la colaboración de Frédérique PA­PY, Matemática moderna. Tomo II, EUDEBA, Buenos Aires, 1970.

El prestigio internacional del autor, revali­dado en nuestro país en las visitas realizadas al mismo y por el éxito editorial del primer to­mo de esta misma obra, hicieron que la apa­rición de esta obra, lo mismo que ocurrirá con las siguientes, fuera ansiosamente esperada. Es que todos saben que Papy, es uno de los ada­lides de la reforma de la enseñanza de la ma­temática, reforma que en él se cumple con el apasionamiento de su vigorosa personalidad y su convicción de que es necesario apelar a to­dos los recursos, científicos y pedagógicos, que permitan el cumplimiento de los postu­lados de la reforma.

íLa que nos ocupa es un trabajo de este

último tipo. "No pretende ser una historia secuencial y ordenada de la materia, pero

Cristina Verdaguer de Banfi

Estos libros de Papy están tan preñados de novedades que su análisis minucioso impli­caría, a no dudarlo, casi la escritura de otro libro; digamos, pues, que son válidas todas las consideraciones hechas con respecto al primer tomo en el número 7 de CONCEPTOS DE MATEMATICA: "El éxito proviene de la ori­ginalidad del tratamiento de los temas". "Ejemplificó y desarrolló los nuevos concep­tos, ideó nuevas y más sencillas demostra­ciones, empleó profusamente los gráficos mul­ticolores, en fin, dio cima a una obra habría de alcanzar las más altas alturas".

El índice del libro, siempre necesario para un comentario bibliográfico de este tipo, es el siguiente: El grupo tt 0,+; El grupo Dq,+,<; Graduaciones de la recta; Axioma químedes; Subgraduaciones de la

NOTICIASY

1. El Instituto Superior Docente "Carlos J. Biedma" de ¡a Escuela Argentina Modelo, Río Bamba 1059, Buenos Aires, ha dado cima a todos los cursos de perfeccionamiento docente de maestros y profesores secundarios organi­zados para el año 1970, los cuales han contado con nutrida asistencia que siguió atentamente las clases desarrolladas por expertos profesores de matemática, entre los cuales citaremos a la Profesora francesa, Madeleine Goutard.

En estos momentos se está preparando acti­vamente los cursos del año próximo de los cuales sabemos que serán numerosos, tanto co- J110 para satisfacer a las notorias inquietudes de °s docentes. Digamos también que los directo­

res del Instituto han gestionado la presencia en nuestro país del destacado matemático español, Pedro Abellanas Cebollero, catedrático de la Universidad de Madrid y director general de la reforma de planes y programas en la enseñanza secundaria española. Será, sin duda, una visita importante y provechosa para los docentes ar­gentinos.

2. En el local de la Confederación de Maes­tros, Avenida de Mayo 953, 1er piso, Buenos Aires, el profesor Emilio De Ceceo iniciará en el mes de enero de 1971 un curso para maestros acerca de temas de matemática moderna y la forma de encarar su enseñanza en la escuela primaria.

queJ. B. F. i

MARGARET F. WILLERDING. Conceptos matemáticos: un enfoque histórico. Serie com­plementaria de Matemáticas, C.E.C.S.A. 1969.

No cabe ninguna duda que el conocimiento de la historia de las ciencias facilita mucho la comprensión de las mismas y, por supuesto, su enseñanza. Llegar a comprender porqué una idea surge en un momento determinado para resolver una situación momentánea, porqué la

ji de Ar­recta; Nú­

meros reales; El grupo R,+,<; Teorema Tales; Homotecias; La multiplicación meros reales; La multiplicación escalar; El cuerpo ordenado de los números reales; En el cuerpo ordenado de los números reales; Nú-

!ídevi

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