Panes de Clase Bloque 4

Plan de clase (1/4)

Escuela: _________________________________________________ Fecha: __________

Profr. (a): __________________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido: 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos ubiquen en una línea del tiempo citas históricas de antes y después de Cristo.

Consigna. En equipo, lean las siguientes citas históricas; luego realicen lo que se pide y al terminar las actividades dar a conocer al grupo los resultados.

A) En el año 340 antes de Cristo surge la figura de Alejandro Magno e implanta la época helenística, periodo que duró hasta el inicio del imperio romano.

B) En el año 2 800 antes de Cristo se da la unificación de Egipto, atribuida al faraón Menes.

C) En el año 630 después de Cristo un profeta árabe llamado Mahoma, se convirtió en la figura más importante de la edad media. Es fundador de una de las religiones más importantes.

D) En el año 1 600 antes de Cristo surge el poder de los hititas, quienes se instalaron en Asia Menor. Su imperio se extendió hasta Siria.

E) Los españoles logran conquistar la ciudad de Tenochtitlan en el año 1 521 después de Cristo e inician la conquista de México.

F) La revolución rusa se inicia en el año 1917 después de Cristo.G) En el año 30 antes de Cristo se inicia la época de los emperadores romanos.H) En el año 620 antes de Cristo nace Tales de Mileto, filósofo griego que murió a la edad

de 89 años.

1. Ubica en la línea del tiempo que a continuación se te presenta los años correspondientes a las citas históricas.

2. Ordena las citas históricas de lo más antiguo a lo más reciente.

3. Si Tales de Mileto vivió 89 años, ¿en qué periodo murió, antes o después de Cristo? ¿Por qué?

1

Consideraciones previas: Es necesario tener dibujada la línea del tiempo en el pizarrón para que cuando se haga la puesta en común de los resultados, los alumnos puedan pasar a ubicar las citas históricas.

En caso necesario, orientar a los alumnos planteando preguntas como:En la línea del tiempo, ¿dónde inicia el antes y el después de Cristo? ¿Con qué número se marca ese punto de inicio? ¿En que dirección se cuenta los años transcurridos antes de Cristo? ¿Y después de Cristo?Al comparar dos fechas distintas representadas en la recta numérica, ¿Cuál es más reciente?

La puesta en común de las respuestas a los cuestionamientos debe llevar a establecer el convencionalismo de “llamar negativos a los números que se ubican a la izquierda del cero y positivos a los que se localizan a la derecha de cero”.

Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy útil Útil Uso limitado Pobre

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Plan de clase (2/4)

Escuela: _________________________________________________ Fecha: __________

Profr. (a): __________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos hagan uso de la recta numérica para representar situaciones con números positivos o negativos.

Consigna: En equipos, leer la siguiente información, luego realizar lo que se pide y al terminar las actividades dar a conocer al grupo los resultados.

Al terminar la temporada de fútbol mexicano, la tabla de resultados se encontraba muy apretada para definir cuáles eran los ocho equipos que pasaban a la liguilla; por lo que se acordó tomar en cuenta el resultado de sumar los goles a favor y en contra de cada equipo; luego ordenar los equipos para elegir a los ocho que resultaran con mejor posición; es decir, con mayor número de goles a favor o con menor número de goles en contra.Los resultados de sumar los goles a favor y en contra son los siguientes:

Morelia 8 goles en contra, Monterrey 5 goles a favor, Toluca 3 goles a favor, América 7 goles a favor, Jaguares 4 goles en contra, Pumas 5 goles en contra, Cruz Azul 7 goles en contra, Tigres 6 goles en contra, Chivas 5 goles en contra, Santos 3 goles a favor, Atlante 2 goles en contra, Necaxa 4 goles a favor.

1. Ubica en la recta numérica los equipos en función del número de goles a favor o en contra.

2. Anota en la siguiente tabla los ocho equipos que pasan a la liguilla de acuerdo con la actividad anterior.

POSICIÓN EQUIPO

Primer lugar

Segundo lugar

Tercer lugar

Cuarto lugar

3

Quinto lugar

Sexto lugar

Séptimo lugar

a) Anota los nombres de dos equipos que están a la misma distancia de cero:___________________________

b) Si un equipo acumuló durante el torneo 15 goles a favor y 15 en contra, ¿cuál es su resultado?___________

c) El resultado final del equipo Morelia fue 8 goles en contra. ¿Cuántos goles a favor y cuántos en contra pudo haber acumulado?_______________________________________________

Consideraciones previas:Es necesario tener dibujada la recta numérica en el pizarrón para que cuando se haga la puesta en común de los resultados, los alumnos puedan pasar a ubicar a los equipos en función del número de goles a favor o en contra.

Es muy importante aprovechar la puesta en común, en particular las respuestas de los incisos a y b para introducir el concepto de números simétricos, como dos números cualesquiera que están a la misma distancia de cero. Decir además y hacer que los alumnos verifiquen con varios ejemplos, que la suma de dos números simétricos es cero.Al hablar de distancia entre dos números o de la distancia entre un número cualquiera y cero hay que decir que la distancia siempre es un número positivo y a partir de aquí hay que introducir el concepto de valor absoluto, como la distancia de un número al cero. Así, la distancia de -5 a cero es 5 y la distancia de 5 a cero también es 5, de manera que el valor absoluto de -5 es igual a 5 y el valor absoluto de 5 es igual a 5. Esto se denota así: I-5I = 5; I5I = 5.





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Plan de clase (3/4)

Escuela: _________________________________________________ Fecha: __________

Profr. (a): __________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que impliquen el uso de números con signo.

Consigna. Con base en la siguiente información, en equipos, indiquen las variaciones entre las temperaturas máximas y mínimas. Traten de justificar sus respuestas.

Ciudades Temperatura máxima Temperatura mínima Variación

A 22 °C 7 °C

B 9 °C -2 °C

C 5.2 °C -1 °C

D -2.5 °C -18.5 °C

Consideraciones previas

Es probable que algunos alumnos se apoyen de una recta numérica para justificar sus resultados; sin embargo, en caso de que no suceda, sería conveniente sugerir que utilicen la recta numérica, ya que es un recurso muy útil para dar sentido a los números con signo.

La ubicación de los números con signo en la recta numérica y la exposición por parte de los alumnos de los procedimientos empleados, puede ser enriquecida para analizar que la variación entre dos temperaturas equivale a encontrar la distancia entre dos números representados en la recta numérica y, como se dijo antes, la distancia siempre es un número positivo.

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Después de analizar el problema anterior se puede plantear el siguiente: En una ciudad X, la temperatura al anochecer era -7 °C, por la mañana bajó otros 5 grados y a mediodía subió 7 grados. ¿Cuál era la temperatura a mediodía?

A diferencia del problema anterior, en éste interviene la suma de números con signo. También puede utilizarse como apoyo la recta numérica.






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Plan de clase (4/4)

Escuela: _________________________________________________ Fecha: __________

Profr. (a): __________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que impliquen el uso de números con signo.

Consigna. En binas, resuelvan el siguiente problema. Traten de justificar sus respuestas.

En la siguiente línea del tiempo se ubican las fechas en las que el matemático griego Arquímedes nació y murió.

a) ¿Cuántos años vivió?

b) ¿Cuántos años han transcurridos desde que murió?

Consideraciones previas

Para la pregunta del inciso b, es probable que algunos alumnos resten el año actual menos 212, cuando en realidad, para obtener la respuesta correcta es sumar 212 más los años transcurridos después de Cristo. En caso de que esto suceda, es importante plantear algunas

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-287 -212 0

Nació Murió

Antes de Cristo Después de Cristo

preguntas de reflexión como por ejemplo, ¿Cuántos años transcurrieron desde que murió hasta el nacimiento de Cristo? ¿Cuántos años han transcurrido desde el nacimiento de Cristo?






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Plan de clase (1/3)

Escuela: ________________________________________________ Fecha: __________

Profr. (a): __________________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M

Contenido: 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la unicidad o multiplicidad de trazos cuyas condiciones son: circunferencia(s) que pasen por un punto dado.

Consigna. Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por el punto A, marquen el centro y desígnenlo con la letra O. Al terminar, respondan las preguntas que aparecen abajo.

A .

a) ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por el mismo punto A?___________ Si se puede, trácenla.

b) ¿Cuántas circunferencias se pueden trazar?_____________________

c) ¿Qué relación hay entre el punto A, el punto O y la circunferencia? _____________

__________________________________________________________

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d) ¿Cómo se llama el segmento que une el punto A con el centro de cada círculo?________________________________

e) ¿Tienen igual medida todos los segmentos que unen el centro de los círculos trazados con el punto A?______________

Consideraciones previas:

Es importante que los alumnos se den cuenta de que se puede trazar un número infinito de circunferencias que pasen por el punto A; además, también es conveniente que reflexionen en que los círculos pueden ser iguales o diferentes, esto es, cuyo radio tenga la misma medida o bien que sea de longitud diferente. Asimismo, si ningún equipo recuerda el nombre del segmento AO, el profesor deberá mencionarlo y señalar que el tamaño de éste varía de acuerdo con el tamaño de la circunferencia.

En el caso de que la escuela cuente con el software de Geometría Dinámica Cabri, SketchPad, u otro, es conveniente que el maestro lo use en toda la secuencia.

En caso de que haya tiempo, se puede plantear la siguiente actividad:

Individualmente, en una hoja blanca marca un punto e identifícalo con la letra T. Después, haz un diseño con círculos cuyo radio sea el mismo y que todos pasen por el punto T. Al finalizar, compara tu diseño con los de tus compañeros.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?____________________________________________________________________________________________________________________________________________

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__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Plan de clase (2/3)

Escuela: ________________________________________________ Fecha: __________

Profr. (a): __________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la unicidad o multiplicidad de trazos cuyas condiciones son: círculo(s) que pasen por dos puntos.

Consigna. Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por los puntos A y B dados a continuación, y marquen el centro del círculo. Al terminar contesten las preguntas.

A .

. B

a) ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por estos mismos puntos? ____________ Si se puede, trácenla.

b) ¿Cuántas circunferencias que cumplan esta condición se pueden trazar? ¿Por qué?___________________________________________________

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c) Unan con una recta los puntos A y B.d) Unan con una recta los centros de los círculos que trazaron.e) ¿Cómo son las dos rectas anteriores entre sí?f) ¿Qué relación tiene el segmento AB con todos los círculos que trazaron?g) ¿Existe algún círculo donde el segmento AB sea diámetro?


Aquí se debe rescatar el concepto de cuerda y que el diámetro es la mayor de las cuerdas que tiene el círculo. También es importante que establezcan que si el segmento dado es cuerda del círculo, éste no es único, salvo en el caso en que se trate de la máxima cuerda (diámetro). Asimismo, se deberá recuperar el concepto de mediatriz y concluir que los centros de estos círculos quedan sobre la mediatriz del segmento AB, por lo tanto se pueden hacer tantos círculos como puntos contenga la mediatriz de la cuerda.



2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Plan de clase (3/3)

Escuela: ________________________________________________ Fecha: __________

Profr. (a): __________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la unicidad o multiplicidad de trazos cuyas condiciones son: círculo(s) que pasen por tres puntos.

Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema. El círculo central de una cancha de básquetbol se borró por el uso, por la proximidad de un campeonato se necesita repintarlo y sólo quedaron tres marcas como se muestra abajo. ¿Cómo sugerirías a los pintores que trazaran el círculo?


Si los alumnos no logran percibir la necesidad de encontrar el punto de intersección de las mediatrices de dos de los segmentos que resulten de unir los puntos, el profesor puede recordar cómo realizaron la actividad del plan anterior, donde trazaron la mediatriz del segmento para ubicar el centro del círculo.

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1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Plan de clase (1/3)

Escuela: ____________________________________________Fecha: _________________

Profr. (a): ___________________________________________________________________


Contenido: 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente).Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan que π es la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro y con base en esto justifiquen la fórmula para calcular el perímetro del círculo (longitud de la circunferencia).

Consigna 1. En equipo midan el diámetro y la longitud de la circunferencia de los círculos que se dieron, completen la tabla.

Círculo Medida del diámetro

Longitud de la circunferencia

Longitud de la circunferencia entre el diámetro

1

2

3

4

5

Consigna 2. Organizados en equipos, trace cada uno un círculo de la medida que desee, pero que sea diferente a la de sus compañeros de equipo y continúen la tabla anterior, agreguen las filas que les sean necesarias. Al terminar contesten las preguntas.

a) ¿A qué valor se parece el resultado obtenido en la última columna?

b) Con base en la actividad realizada, escriban por qué el perímetro del círculo se calcula con la fórmula: C = πd

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Es necesario entregar a cada equipo un juego de 5 círculos (cuyos radios midan 5, 8, 10, 15, 20 cm, respectivamente y numerados del 1 al 5). Asimismo, los alumnos podrán usar regla o cordones para medir la longitud de las circunferencias.

Aunque es probable que ya hayan realizado en la primaria una actividad semejante, es conveniente hacerla nuevamente para que profundicen en la reflexión y puedan justificar la fórmula para calcular el perímetro del círculo.






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Plan de clase (2/3)

Escuela: ____________________________________________Fecha: _________________

Profr. (a): ___________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre la medida del diámetro y la longitud de la circunferencia.

Consigna 1. En equipo, revisen la tabla que elaboraron en la clase anterior. Dividan el diámetro uno entre el diámetro dos y hagan lo mismo con las circunferencias correspondientes. Continúen para completar los datos de la siguiente tabla. Al terminar escriban alguna conclusión que obtengan de lo que ahí se observa.

Razón entre los diámetros

Razón entre las circunferencias

d1/d2 = C1/C2 =

d2/d3 = C2/C3 =

d3/d4 = C3/C4 =

d4/d5 = C4/C5 =

d3/d5 = C3/C5 =

Consigna 2. En equipo, determinen la relación que hay entre las longitudes de dos circunferencias que miden 12 y 24 m, respectivamente. Encuentren también la relación entre las medidas de sus diámetros.


Es importante que los alumnos encuentren que al duplicar, triplicar, etc., la medida del diámetro de un círculo, su circunferencia aumenta en la misma proporción y viceversa. En este caso, se tiene una relación de proporcionalidad directa y ésta se puede representar gráficamente.

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Nota: Presentar los círculos previamente elaborados para la próxima clase.






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Plan de clase (3/3)

Escuela: ____________________________________________Fecha: _________________

Profr. (a): ___________________________________________________________________



Intenciones didácticas:

Que los alumnos establezcan la relación que existe entre r2 y el área del círculo y con base en esto justifiquen la fórmula para calcular el área del círculo.

Consigna. En equipo realicen la actividad descrita:

a) Para cada uno de los círculos utilizados en la primera sesión de este apartado, (cuyos radios miden 5, 8, 10, 15 y 20 cm) construyan en cartulina 4 cuadrados con la medida de cada uno de los radios. (Cada equipo realiza el ejercicio con un círculo diferente).

Ejemplo:

10

r = 10 10

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b) Intenten con los 4 cuadrados “llenar” el área del círculo respectivo. Pueden hacer recortes de los cuadrados para que el área esté cubierta lo mejor posible.

c) Contesten las preguntas:

¿Cuántos cuadrados fueron necesarios para cubrir el área del círculo?

¿Obtuvieron los otros equipos similitud en el resultado anterior?

¿Por qué piensas que ocurre esto?

¿Qué tiene que ver la actividad anterior con la fórmula para encontrar el área del círculo? (Recuérdala).

Observaciones previas:

Es necesario que el maestro prevea que el material (círculos, tijeras y cartulinas) esté en el aula antes de comenzar la actividad.

El maestro debe supervisar la actividad y aclarar las dudas que tengan los alumnos y dar las sugerencias para que realicen el ejercicio lo mejor posible. Debe dar la indicación de que en cuanto termine cada equipo anote su resultado en una tabla que él escribirá en el pizarrón:

Medida del radio Número de cuadrados que fueron necesarios para cubrir el área del círculo.

5

8

10

15

20

22

El maestro deberá privilegiar en la confrontación de las respuestas la justificación de la fórmula del círculo; en caso de que los alumnos no encuentren la relación de la actividad con la fórmula, él deberá iniciar la reflexión y hacer las conclusiones que considere pertinentes.






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Plan de clase (1/2)Escuela: ______________________________________ Fecha: ____________Profesor (a): _____________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido: 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen la pertinencia de aplicar la regla de tres en la resolución de problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”.

Consigna. Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas utilizando el procedimiento que consideren más eficiente:

1. Sabiendo que un 1 kg de pastel cuesta $ 75.50, ¿cuánto debe pagar Rodrigo por un pastel cuyo peso en báscula fue de 2.7 Kg?

2. A precio de mayoreo, 5 latas de fruta en almíbar cuestan $210. ¿Cuál será el costo de 15 latas?

3. María ahorró en el mes de mayo un total de $ 13 900 en una caja de ahorro. Al término del mes le dieron como ganancia $ 319.70 por los intereses generados. Si Carlos ahorró $15 750 en la misma caja durante el mismo mes, ¿cuánto debe recibir de ganancia?

Consideraciones previas:Es importante que en la confrontación, además de analizar los procedimientos empleados, los alumnos argumenten el uso de los mismos.

Para el caso del problema 1, se espera que utilicen el valor unitario (dado en el problema). Basta con multiplicar $75.50 (costo de un kilogramo de pastel) por 2.7, que es el número de kilogramos, para encontrar el costo total del pastel.

Es probable y deseable que en el segundo problema los estudiantes identifiquen que el número de latas de fruta se triplica, por lo que para encontrar el costo de las 15 latas, basta triplicar el costo de 5 de ellas ($210 X 3 = $630).

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El tercer problema se incluye en este plan con la intención de que los estudiantes tengan la necesidad de buscar otro procedimiento, independientemente a los que ya conocen, ya que no es evidente ni sencillo resolverlo duplicando cantidades, aplicando un factor constante o utilizando el valor unitario, entre otros. Si en esa búsqueda, a ningún equipo se le ocurre algún procedimiento semejante a la regla de tres, el profesor podrá utilizarla para resolver el problema. Es fundamental que se analice detalladamente el funcionamiento de este procedimiento. Dos formas de justificar el funcionamiento de la regla de tres son las siguientes:

Su vinculación con el valor unitario.Los datos del problema pueden representarse así:

Una forma de obtener el valor de es calcular el interés que le corresponde a cada peso, dividiendo 319.7 entre 13 900 y posteriormente, multiplicar el resultado por 15 750, cantidad de pesos que le corresponde al segundo capital. La diferencia con la regla de tres es que primero se hace la multiplicación de 319.7 por 15 750 y después dividir el resultado entre 13 900. La anterior equivalencia justifica el funcionamiento de la regla de tres y la validez de la siguiente fórmula:

Utilizando la igualdad de dos razones.

Los alumnos saben que en una igualdad de razones de la forma , se cumple que

, y que para obtener un valor desconocido de esta igualdad, éste se encuentra dividiendo el producto cruzado conocido entre el tercer valor conocido. Lo anterior da sustento a la regla de tres.

Una vez que los alumnos hagan esta reflexión, es conveniente proponerles analizar diferentes formas de acomodar los datos del tercer problema y deducir las que son correctas.

Algunas formas son las siguientes:

a. en donde =362.25

b. en donde =362.25

25

c.

d. en donde =684782.6

En los dos primeros planteamientos, aunque la posición de las magnitudes en la proporción no es la misma, pero si la correcta, nos da el mismo resultado, esto es

debido a que dentro de estas operaciones está implícito el valor unitario ( ), que

representa la ganancia obtenida en la caja de ahorro, por cada peso ahorrado, siendo este el principio por el cual funciona la regla de tres.

En el tercer caso lo que se está obteniendo es la ganancia por ahorrar $13 900, suponiendo que por $15 750 se gana $319.70, lo cual es erróneo.

En el cuarto caso lo que se está obteniendo es la ganancia por ahorrar $15 750, suponiendo que por $319.70 se gana $13 900, lo cual no es cierto.

Por lo anterior, puede advertirse que los valores correspondientes (capital e intereses) deben estar alineados, horizontal o verticalmente.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Plan de clase (2/2)Escuela: ______________________________________ Fecha: ____________Profesor (a): _____________________________________________________


Contenido: 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el procedimiento experto llamado “regla de tres” para resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si consideran necesario, utilicen su calculadora.

1. Miguel acostumbra correr en maratones. Si mantiene una velocidad constante y en los primeros 12 minutos recorre 2.53 km, ¿cuánto tardará en llegar a la meta? La distancia exacta del maratón es de 42.195 km.

2. En un supermercado, un paquete de carne de 820 gramos cuesta $69.70, ¿cuánto debe pesar otro paquete del mismo tipo de carne que tiene marcado un precio de $155.55?

3. Con un bote de pintura de un galón (3.785 l) se alcanzó a pintar una superficie de 12.25 m2, si la pared completa mide 22.66 m2, ¿cuántos litros de pintura se requieren para pintarla toda?

Consideraciones previas:Aunque no se descartan otros procedimientos, los problemas planteados en este plan, por los valores utilizados, es pertinente resolverlos mediante el uso de la regla de tres. En la puesta en común es importante analizar detalladamente los procedimientos

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empleados e identificar la eficiencia de cada uno, si no aparece la regla de tres, proponerla e identificar las ventajas de su uso.

Al utilizar la regla de tres es fundamental que los datos se relacionen correctamente. Así, un modelo adecuado para el primer problema es el siguiente:

De donde:

Es oportuno solicitar a los estudiantes que conviertan el resultado (200.13 minutos) en una expresión que contenga horas, minutos y segundos. Tener precaución porque es probable que algunos estudiantes consideren que 200.13 minutos equivalen a 3 horas con 20 minutos más 13 minutos, o lo que es lo mismo 3 horas con 33 minutos, lo cual es falso, ya que 0.13 minutos es equivalente 7.8 segundos.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Plan de clase (1/2)

Escuela: _____________________________________________ Fecha: ___________

Profesor (a). ________________________________________________________________


Contenido: 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos conocidos para determinar el factor inverso en problemas de proporcionalidad

Consigna: Organizados en equipos, resolver el siguiente problema:

1. Martín fue a una copiadora para reducir una fotografía con la medida indicada a continuación:

Al recibir la copia, se dio cuenta que la foto (copia) medía de ancho 6 cm

a) ¿Cuál fue el factor de reducción que aplicó el encargado de las copias?

b) ¿Cuánto mide de largo el original, si en la copia este lado mide 15 cm?


Posiblemente sea necesaria una breve explicación sobre el funcionamiento de una fotocopiadora para ampliar o reducir; aclarando que el factor de ampliación o reducción están

30

8 cm

relacionados con el factor de proporcionalidad. En el caso de la primera pregunta, es importante asegurar que los alumnos comprendan que tienen que determinar el factor que multiplicado por 8 resulte 6. Al mismo tiempo es oportuno comentar la equivalencia entre multiplicar por una fracción y dividir entre la fracción reciproca por ejemplo 6 x 4/3 = 6 ÷ ¾. Si los alumnos logran en poco tiempo resolver el problema, se podrá presentar las siguientes situaciones:

Queremos que la fotografía se amplíe al tamaño de un cartel que debe medir 45 cm de largo y 18 cm de ancho ¿Cuál es su factor de proporcionalidad? ¿Qué característica debe tener el factor de proporcionalidad cuando sirve para ampliar una figura?, ¿y para reducirla?






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Plan de clase (2/2)

Escuela: _____________________________________________ Fecha: ___________

Profesor (a). ________________________________________________________________


Contenido: 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen y utilicen el factor inverso en una relación de proporcionalidad.

Consigna: Van a trabajar en parejas para resolver el siguiente problema: Dadas las siguientes figuras (Barco 1 y Barco 2) que están a escala y con las medidas indicadas, encuentren las medidas que se piden, sin hacer mediciones.

32

G’

32

0.9

BARCO 1

H

G

A

B

D E

CF

3

H’A’

B’

D’ E’

F’C’

BARCO 2

1.5

1.5

5.25

B’G’=7.5

AH = ______ G’H’ = _______

DE = ______ E’F’ = _______

CD = ______

BG = ______


Al realizarse la puesta en común, es importante orientar la discusión hacia el uso del factor inverso, con preguntas como las siguientes:

¿Por cual número es necesario multiplicar la longitud del segmento D’E’ para obtener la medida del segmento DE?

Es importante llevar a los alumnos a concluir en la puesta en común la relación que existe entre los dos factores, el de ida y el de regreso y que verifiquen que su producto da uno.






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Plan de clase (1/3)

Escuela: _____________________________________________ Fecha: ___________

Profesor (a). ________________________________________________________________


Contenido: 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de combinaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. Samuel vende arreglos florales y para esta semana ha conseguido las siguientes clases de flores:

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margarita rosa lirio tulipán

Si en cada arreglo utiliza solamente dos tipos de flores, ¿cuántos arreglos diferentes podrá elaborar? ___________________________________________

2. En una nevería se venden los siguientes sabores: fresa, vainilla, limón, nuez y chocolate. ¿De cuántas formas diferentes se puede servir un helado de dos sabores distintos? __________________________________________

3. De los seis representantes de los grupos de primer grado, se va a formar una comisión de tres alumnos que se entrevistará con el director para solicitarle una fiesta de fin de curso. ¿De cuántas formas diferentes se puede integrar la comisión? _______________

4. ¿Cuántos grupos de dos cifras se pueden hacer con las cifras 1, 2 y 3?a) Si las cifras de cada grupo son diferentes.b) Si las cifras de cada grupo pueden ser iguales.


El trabajo de este plan consiste en que, dado un conjunto de elementos, se formen todos los subconjuntos posibles con un número determinado de elementos, sin tomar en cuenta el orden, es decir, se trata de averiguar la cantidad de combinaciones.

En el primer problema hay un conjunto de cuatro elementos y hay que determinar subconjuntos con dos elementos. Se trata de formar arreglos en los que se combinen solamente dos de los cuatro tipos de flor. Dada esta condición, es muy probable que los alumnos se animen a solucionar el problema a través de dibujos, escribiendo una por una las seis posibilidades o bien utilizar un diagrama de árbol, cuidando que no se repitan las combinaciones.

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liriomargarita

rosa

tulipán

tulipánlirio

rosatulipán

lirio

El número de arreglos que se pueden hacer con dos tipos de flor son seis.

Otro recurso que también podrían utilizar los alumnos y si no el profesor puede sugerir es un arreglo rectangular:

margarita Rosa lirio tulipán

X X

X X

X X

X X

X X

X X

Los problemas dos y tres tienen una estructura semejante al primero, solo que el número de elementos de los conjuntos y de las agrupaciones cambian. Hay que subrayar que no importa el orden de los elementos.

Es importante mencionar que en los tres primeros problemas, por la naturaleza del mismo o porque es una condición, los elementos de los subconjuntos no se repiten, en cambio en el problema cuatro se requiere obtener subconjuntos con repetición y sin repetición. Sin repetición

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resultan tres grupos: (1, 2), (1, 3) y (2, 3) y con repetición seis: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3) y (3, 3).






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Plan de clase (2/3)

Escuela: _____________________________________________ Fecha: ___________

Profesor (a). ________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de variaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.


1. ¿Cuántas banderas diferentes de tres franjas, se pueden formar con los colores rojo, azul, verde y blanco? Cada bandera debe tener tres colores, uno en cada franja. ________________________________________________________

2. Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de tres y cuatro cifras distintas es posible formar? _________________________________________________________________________________________________________________

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3. En un edificio nuevo hay 5 departamentos, cada departamento cuenta con un lugar de estacionamiento. Se han habitado dos departamentos, únicamente, el de Carmen y el de Daniel, quienes pueden colocar cada noche sus coches en el lugar que prefieran, si no está ocupado. ¿De cuántas formas diferentes pueden estacionarse? ____________Ha llegado un nuevo vecino, ¿de cuántas maneras distintas pueden estacionar los coches los tres vecinos? _______________________ ¿Resultan más o menos maneras que en el caso anterior? __________________ ¿Cuántas maneras habrá de estacionarse cuando todos los departamentos estén ocupados, si todos los vecinos tienen coche? _______________________________


A diferencia de los problemas del plan anterior, en éstos sí importa el orden de los elementos de los subconjuntos, por ejemplo, los números 357 y 573 son diferentes aunque se utilicen las mismas cifras, por lo tanto, ahora se trata de averiguar la cantidad de variaciones, dado un conjunto de elementos.

En el segundo problema se tiene un conjunto de cinco elementos (1, 3, 5, 7 y 9) y se trata de determinar el número de subconjuntos diferentes (números) con tres y cuatro cifras. Una primera pregunta que pueden hacer los alumnos es si es válido formar números con cifras repetidas, por ejemplo, 111, 333, etcétera, hay que decir que no, puesto que el problema no lo considera. También es probable que los procedimientos utilizados no sean sistemáticos, es decir, los alumnos van encontrando números de manera desordenada y más o menos se aseguran de que no les falta ninguno, pero no están seguros. Es posible que algunos alumnos propongan el diagrama de árbol o una tabla; en caso de que los alumnos no utilicen el diagrama de árbol u otro recurso para mostrar las variaciones, el profesor puede proponer un diagrama en blanco para que vayan formando las cantidades, por ejemplo:

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Además, es conveniente que el profesor plantee algunas cuestiones que permitan visualizar el orden que tienen los números y la cantidad de ellos que se forman, tales como:

¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el primer nivel (centenas)?

¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el segundo nivel (decenas)?

¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el tercer nivel (unidades)?

Para encontrar los números de tres cifras el profesor puede sugerir el uso del diagrama de árbol, para el caso de cuatro cifras será conveniente que pida a los alumnos que no lo utilicen, obligándolos a que usen multiplicaciones para encontrar el total de variaciones y se den cuenta que pueden obtenerlas sin usar el diagrama, o sea que utilicen el principio fundamental de conteo:

El total de variaciones con cuatro cifras puede obtenerse con 5 x 4 x 3 x 2 = 120.

En los problemas donde no hayan usado multiplicaciones para encontrar el resultado, vale la pena hacerlo para comprobar los resultados y para generalizar el procedimiento.

En el problema 3, dado un conjunto de cinco elementos (estacionamientos), se requiere formar subconjuntos de dos, tres y cinco elementos (autos). Hay que señalar que en la última pregunta se involucran todos los elementos del conjunto, es decir, se trata de buscar todos los arreglos de cinco elementos, tomados de cinco en cinco. Este tipo de arreglos se llaman permutaciones, contenido del siguiente plan.

No olvidar hacer una puesta en común donde se discutan a profundidad los procesos que siguieron los alumnos para resolver el problema.

En ninguno de los tres problemas se acepta repetición de elementos, una bandera no puede tener dos franjas del mismo color, un número no debe tener cifras iguales y un auto no puede estacionarse en dos lugares a la vez. Un problema adicional, que sí acepta la repetición de elementos es el siguiente:

En una caja hay cinco fichas marcadas con los números 1, 3, 5, 7 y 9. Se extrae una ficha de la caja y se anota su número. La ficha extraída se regresa a la caja y nuevamente se realiza una extracción. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar?


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

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________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




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Plan de clase (3/3)

Escuela: _____________________________________________ Fecha: ___________

Profesor (a). ________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de permutaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.


1. Andrea, Caro y Daniela se citan en una cafetería. Las tres amigas llegaron a la cita de una en una. Determinar todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado.

2. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se pueden formar con las cifras 2, 3, 5 y 7? _____________________________ Con las mismas cifras, ¿cuántos números de cuatro cifras se podrían formar pudiendo repetir cifras en un mismo número? ___________________________

3. Al final del curso escolar se organizará la escolta de la escuela “Vicente Guerrero”, para ello se eligió a seis alumnos de segundo grado.

a) ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse los alumnos en la escolta? _________b) Si la abanderada es Mariana porque tuvo el promedio más alto, ¿de cuántas formas

pueden colocarse en la escolta los demás integrantes sin cambiar dicha posición? _____________________________________

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c) Juan tiene un volumen de voz fuerte, por lo que se decide ponerlo de sargento. Si Mariana es la abanderada y Juan el sargento, ¿de cuántas maneras diferentes pueden colocarse los otros cuatro integrantes? _________________________


A diferencia de los problemas del plan anterior, en éstos intervienen todos los elementos del conjunto. A estos subconjuntos en donde sí importa el orden de los elementos y participan todos los elementos del conjunto, se llaman permutaciones. Por ejemplo, en el primer problema se trata de obtener el número de arreglos de un conjunto de tres elementos, tomados de tres en tres. En el segundo hay un conjunto de cuatro elementos (2, 3, 5 y 7) y se trata de calcular el número de permutaciones, es decir, la cantidad de números diferentes de cuatro cifras. Finalmente, el tercer problema se puede interpretar como el número de permutaciones de seis elementos tomados de seis en seis, de cinco elementos tomados de cinco en cinco y de cuatro elementos tomados de cuatro en cuatro.

Si bien, un recurso gráfico como un diagrama de árbol es eficiente para calcular las permutaciones de conjuntos con pocos elementos, la expectativa es que también se utilice el recurso de la multiplicación, principalmente para obtener las permutaciones con repetición del segundo problema y en los cálculos del tercer problema.

En la primera parte del tercer problema se trata de calcular las permutaciones de seis elementos, la respuesta es 720 formas diferentes. Se espera que los alumnos noten este hecho y traten de resolver por medio de la multiplicación 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. El propósito principal es, por tanto, que los alumnos evolucionen en sus procedimientos hacia formas más eficientes.

En el caso del inciso b), al tener una restricción (que Mariana sea abanderada), el número de permutaciones se simplifica considerablemente, ya que sólo quedan cinco lugares por ocupar y el total es 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Y en el caso del inciso c) el problema se reduce a acomodar cuatro elementos en cuatro lugares, es decir, 24.



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Plan de clase (1/4)

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Escuela: ______________________________________ Fecha: _______________

Profr. (a): ____________________________________________________________


Contenido: 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información presentada en gráficas de barras de frecuencia absoluta y relativa.

Consigna 1: Organizados en equipos analicen la siguiente gráfica de barras que muestra los resultados de una encuesta a un grupo de alumnos, respecto a su deporte favorito. Posteriormente contesten las preguntas.

a) ¿Cuál es el deporte de mayor preferencia?b) ¿Cuál es el de menor preferencia?c) ¿Cuántos alumnos prefieren el básquetbol? d) ¿Cuál es el número total de alumnos encuestados?e) ¿Cuántos alumnos no eligieron el básquetbol?

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f) ¿Qué % de alumnos prefieren el fútbol?

Consigna 2. Con el mismo equipo analicen la gráfica que muestra las tallas de los alumnos de un grupo, representadas en porcentajes (%) y contesten las preguntas:

a) Si son 40 los alumnos del grupo, ¿cuántos son de cada talla?Talla Grande______ Talla Mediana______Talla Chica______

b) Suponiendo que en la escuela se quieren hacer chamarras para 160 alumnos, ¿cuántas chamarras de cada talla se deberán confeccionar atendiendo la misma proporción?Talla Grande______ Talla Mediana______Talla Chica______


Es probable que los alumnos tengan problemas para determinar el número más aproximado de las preferencias de cada deporte o el porcentaje de cada talla, ante esto debe sugerirse la división de cada rango del eje vertical en el número más conveniente y por supuesto, emplear la perpendicular del eje vertical que coincida con la altura de cada barra.

Es posible que confundan la frecuencia absoluta con la relativa, al identificar los elementos de cada gráfica hay que enfatizar el tipo de frecuencia empleada.

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13. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

14. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Plan de clase (2/4)

Escuela: ______________________________________ Fecha: _______________

Profr. (a): ____________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos recopilen información, la organicen y la presenten en gráficas de barras de frecuencia absoluta y relativa.

Consigna 1. En equipos investiguen las edades de sus compañeros del grupo, completen la tabla con los datos que obtengan y construyan la gráfica de barras correspondiente.

EDAD11 años o menos

12 años13 años o más

Total

NO. ALUMNOS

49EDADES (años)

No.

Alu

mn

os

12 13 ó más

11 ó meno

s

Consigna 2. Con las edades de sus compañeros del grupo, ahora construyan la tabla y gráfica empleando frecuencias relativas (%).

EDAD11 años o menos

12 años13 años o más

Total

% 100 %

50

EDADES (años)

(%)

12 13 ó más

11 ó meno

s

Consideraciones previas.

Es frecuente que los alumnos tengan dificultad al representar las escalas en los ejes verticales, dar tiempo suficiente para discutir las más adecuadas y no olvidar que a divisiones de la misma longitud les corresponde los mismos valores.



2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Plan de clase (3/4)

Escuela: ______________________________________ Fecha: _______________

Profr. (a): ____________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información presentada en gráficas circulares de frecuencia absoluta y relativa.

Consigna 1. En equipo, analicen la siguiente gráfica que muestra las edades de los alumnos de un grupo de secundaria. Posteriormente contesten las preguntas que se indican.

Si el grupo tiene 40 alumnos:

1. ¿Cuántos alumnos tienen 13 años? _________2. ¿Cuántos alumnos tienen 11 años? _________3. ¿Cuántos alumnos tienen 12 años? _________

Consigna 2. Con el mismo equipo ahora analicen la gráfica que corresponde a otro grupo y anoten el porcentaje que corresponde a cada edad.

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11 años

13 años

12 años

13 años

_____%

12 años

_____%

11 años

_____%

Consideraciones previas.

Una primera regla en este tipo de gráficas es que hay una relación de proporcionalidad entre las superficies de los sectores circulares y las frecuencias absolutas o relativas que representan. Esta idea puede ser explorada con preguntas como ¿Qué edad es más frecuente en el grupo? ¿Qué edad se repite más en el grupo, 12 años ó 13 y 11 años?, etcétera.

Dos aspectos hay que tener presentes y que pueden ser obstáculos para interpretar adecuadamente una gráfica circular, uno, la medición de los ángulos y el otro, establecer y resolver una relación de proporcionalidad entre los grados y las frecuencias, y aunque estos aspectos ya se estudiaron vale la pena cerciorarse que los alumnos los dominan y si no promover actividades para consolidarlos.



2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

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___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Plan de clase (4/4)

Escuela: ______________________________________ Fecha: _______________

Profr. (a): ____________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan gráficas circulares de frecuencias absolutas y frecuencia relativas.

Consigna 1. En equipo resuelvan el problema siguiente:

Un dado fue lanzado varias veces. En la siguiente tabla se concentran los resultados, complétenla y con esta información construyan una gráfica circular.

Cara del dado Veces que salió

1 4

2 6

3 1

4 2

5 4

6 3

Total

Consigna 2. Con el mismo equipo realicen lo que se pide.

Previo a las elecciones para presidente municipal de una comunidad se realizó una encuesta vía telefónica, los resultados fueron los siguientes: candidato A con 240 preferencias, candidato B con 720, candidato C con 128 y el candidato D con 512. Con esta información completen la siguiente tabla y construyan una gráfica circular.

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Candidato Preferencias (%)

A

B

C

D

Total 100%


En la construcción de las gráficas circulares, dos posibles obstáculos son la obtención de las medidas de los ángulos centrales de los diferentes sectores circulares y por otro lado el uso adecuado del transportador para el trazo de la gráfica. Respecto al primero es importante tener presente varias cosas:

a) Que el resultado de los conteos puede darse mediante una frecuencia absoluta o una relativa. En la primera gráfica se utiliza la frecuencia absoluta y en la segunda la frecuencia relativa.

b) Identificar claramente el conteo total, al cual corresponde los 360° de la gráfica. En el problema del dado, el conteo final son las 20 veces que se lanzó el dado; en el segundo son las 1600 preferencias.

c) Que establecer y resolver una relación de proporcionalidad es una herramienta muy útil para obtener las medidas de los ángulos centrales, por ejemplo: “20 es a 360° como 4 es a x” para el primer renglón del primer problema y “100% es a 360° como 15% es a x” para el primer renglón del segundo ejercicio.



2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?____________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Panes de Clase Bloque 4

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