TEMA 10 PANDEO

Tema 10: Pandeo

Tema 10: Pandeo

Tema 10 : PANDEO

x

Ncr

(1)Ly (2) N cr 2 .E.I = z L2

xy10.1.- INTRODUCCIN

Los diferentes elementos que conforman una estructura pueden fallar por diferentesmotivos, dependiendo de los materiales utilizados, tipos de cargas, ligaduras y apoyos.

Muchos de estos tipos de fallos se podrn evitar, dimensionando dichos elementos de tal forma, que las tensiones y deformaciones mximas que se produzcan permanezcan dentro de los lmites admisibles y as se efectuarn los dimensionamientos a Resistencia y a Rigidez, estudiados en los temas precedentes.

Pero existen otros tipos de fallos, como es el fallo por inestabilidad o pandeo, que puede tener lugar en el caso de elementos estructurales esbeltos sometidos a compresin. En estos casos, en el elemento puede aparecer una flexin lateral que puede llegar a ser grande y hacer fallar al elemento

N N

Flexin lateral (PANDEO)

La aparicin de dicha flexin lateral, su rpido crecimiento y la prdida total de estabilidad del elemento y el consiguiente colapso de la estructura, constituyen el estudio del Pandeo.

Ejemplos de elementos estructurales donde puede aparecer el Pandeo:

10.2.- Pandeo en las barras de lasEstructuras ArticuladasPandeo en los pilares de los edificios ESTUDIO TERICO DEL PANDEO DE PIEZAS SOMETIDAS A COMPRESIN

Las piezas sometidas a compresin pueden agruparse en dos grupos:

PIEZAS SIMPLESPIEZAS COMPUESTASSeccin 10.2: Estudio terico del Pandeo de piezas sometidas a compresin

Tema 10: Pandeo

1.-Las PIEZAS SIMPLES pueden estar constituidas por:

a) Un solo perfil

b) Varios perfiles o chapas unidas mediante tornillos o soldadura

Si el enlace se hace por medio de tornillos, se deber cumplir:

s 8.a s 15.e

s: distancia entre ejes de unionesa: dimetro de los agujerose: mnimo espesor de las piezas a unir

Si el enlace se hace con soldadura discontinua, se deber cumplir:

s 15.e s 300 mm

s

s: distancia entre ejes de soldadurase: mnimo espesor de las piezas a unirc) Perfiles unidos con forros discontinuos de chapa o presillas

s

En este caso se deber cumplir: s 15.i

i: radio de giro mnimo de los perfiles a unir

2.-Las PIEZAS COMPUESTAS, lo sern, cuando no se cumplan alguno de lossupuestos anteriores.

Observacin:

En este Tema se har el estudio del Pandeo para los casos de PIEZAS SIMPLES. (ElPandeo en Piezas Compuestas se estudia en otras asignaturas, tales como: EstructurasMetlicas)

10.2.1.- CARGA CRTICA DE EULER

El estudio terico del Pandeo, que es debido a Euler, se plante como un estudio deequilibrio.

As, si se tiene una pieza sometida a una fuerza N de compresin y se encuentra enequilibrio, posicin (1), su equilibrio podr ser: ESTABLE, INESTABLE oINDIFERENTE

NNN

(1)(2) (1) (2) (1) (2)

EquilibrioESTABLE EquilibrioINESTABLE

Fig. 10.1 EquilibrioINDIFERENTE

Equilibrio Estable: si al separarla un poco, a la pos. (2) y soltar, vuelve a la pos.(1)Equilibrio Inestable: si al separarla un poco, a la pos. (2) y soltar, se aleja de la pos.(1) Equilibrio Indiferente: al separarla un poco, a la pos. (2) y soltar, se queda en la pos.(2)Seccin 10.2.1: Carga crtica de Euler

Tema 10: Pandeo

El que una pieza dada adopte uno u otro tipo de equilibrio, va a depender del valor de la carga F de compresin a la que se le someta.

Se denomina: CARGA CRTICA (Ncr): al valor de la carga N de compresin que hace que se alcance el EQUILIBRIO INDIFERENTE

As pues se tendr:

si N = Ncr Equilibrio Indiferentesi N < Ncr Equilibrio Establesi N > Ncr Equilibrio Inestable

Naturalmente se deber hacer trabajar a las piezas con N < Ncr, para que se encuentren siempre en equilibrios estables.

Clculo del valor de la Carga Crtica de Euler: Ncr

Fue Euler el que calcul dicho valor.

Considrese una pieza (columna), recta, con sus extremos articulados y sometida a una carga de compresin centrada, de valor la carga crtica Ncr.

x

Ncr Por lo visto anteriormente, la columna se encontrar en laposicin (1) en equilibrio INDIFERENTE y por tanto, si la separamos un poco a la posicin (2), permanecer en dicha posicin.

(1)Ly (2) SiN = Ncr Equilibrio Indiferente.

La ecuacin diferencial de la Elstica en la posicin (2)ser, (ver 6.2):

xFig. 10.2y d 2 y = M z

siendo : M = N . ydx 2

d 2 yd 2 yN E.I z zcrE.I . = M = N . y + cr . y = 0 ecuacin diferencial lnea elsticaz dx2 zcr dx2 E.I zNd 2 yhaciendo : k 2 = cr (10.1) + k 2 . y = 0zzE.Idx2zla solucin general de esta ecuacin diferencial es de la forma : y = C1.senkz .x + C2 . cos kz .x

Clculo de las cons tan tes C1 y C2 :x = 0x = L y = 0y = 0 C2 = 0C1.senkz .L = 0

C1 = 0

y = 0

elstica rectilnea ( pos.1)senkz .L = 022 kz .L = n. (n = 1, 2, 3, .....)k = n. k 2 = n . (10.2) igualando las exp resiones (10.1) y (10.2) :zLzL22N cr n2 . 2= N= n2 . .E.I zzE.IL2 crL2 2 .E.I El menor de estos valores se obtendr para n = 1 y ser:

Observaciones: N cr = z L2 (10.3)

1.-Si el pequeo desplazamiento que se da a la columna para llevarla a la posicin (2) sehiciera en el plano XZ, la expresin de la carga crtica FC sera:

x

Ncr

x

Ncr N cr 2 .E.I y=L2

(1) L

x (2)

y N cr 2 .E .I = z L2 (1)(2)Lz

x N cr

z 2 .E .I=yL2yy

Fig. 10.3

En cual de los dos planos pandear finalmente la columna?

Conclusin: Una columna pandear en el plano que presente menor rigidez a la flexin, es decir, en el plano respecto del cual el mdulo de rigidez a la flexin sea mnimo: E.Imin As pues la expresin de la carga crtica de Euler ser: Ejemplo: N cr 2 .E.I = min L2 (10.4)xNcr Los ejes Y, Z son ejes principales de inercia (ejes de simetra).Respecto de ellos se obtendrn: Imax, Imin

I y = 1 .b.h312 I z = 1 .h.b312sib < h I z < I y I min = I zyE.I min = E.I z

zla columna pandear (flexar) en el plano XY, osea alrededor del eje Z

yNcr Fig. 10.42.-De la frmula 10.4, que da la carga crtica, se obtienen las siguientes conclusiones: 2 .E.I N cr = min L2

a) El valor de la carga crtica Ncr depende del material del que est fabricada lacolumna: Eacero, Ehormign, Ealuminio,.

b) Para un material dado, el valor de Ncr no depende de la calidad del mismo, estoes de su resistencia ( en la frmula de Ncr no interviene la fy ni la fu )

Ejemplo: material 1: acero tipo 1: E = 2,1.105 N/mm2; fy = 275 N/mm2material 2: acero tipo 2: E = 2,1.105 N/mm2; fy = 350 N/mm2

Conclusin: Los dos aceros tendrn la misma carga crtica Ncr, es decir, secomportarn igual frente al Pandeo

c) La carga crtica Ncr es directamente proporcional al mdulo de rigidez a la flexin: E.I . As pues, mejoraremos la resistencia al Pandeo, utilizando columnas que opongan gran resistencia a la flexin, es decir, que tengan mdulos de rigidez a la flexin grandes

d) La carga crtica Ncr es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de la columna: L2 . As pues cuanto mayor sea la longitud de la columna, msposibilidades de que se alcance la carga crtica y se produzca elPandeo.

Ecuacin de la lnea elstica: fallo por

Anteriormente se vi que la solucin de la integracin de la ecuacin diferencial de laelstica era de la forma: y = C1.sen kz.x + C2.cos kz.x

en donde : C2 = 0 y = C1 .senk z .x siendo : k z = (10.2) = n.Ly sustituyendo : y = C .sen n. .x ecuacin lnea elstica1 L

Observaciones: El valor de C1 resulta indeterminado, ello es debido a haber tomadocomo valor del radio de curvatura:

1 d 2 y2

en lugar de su valor exacto : d 2 y=21 dx2 3r dx r dy 21 + dx

Si se dan valores a n = 1, 2, 3,.., se obtienen las elsticas correspondientes a losdiferentes estados de equilibrios indiferentes:Sin = 1 y = C .sen .xsiendo : N = .E.I min21LcrL2

xla flecha mxima ser : dy = 0 x = LNcr

(1)(2)Lymax

L/2 dx2y= y ( x = L ) = C .sen . L = C .sen = Cmax21L 2121

Esta ser la forma que tome la elstica cuandose consiga el equilibrio indiferente bajo la carga

2 .E.I yNcr = min L2

Fig. 10.5

Sin = 2 y = C .sen 2. .xsiendo : N = 22. .E.I min1LcrL2

x

Ncr

la flecha mxima ser : dy

2= 0 x = L , x = 3.L

y= y dxx = L ) = C .sen 2. L = C 44sen = Cymax (1) max(41 L . 41 .21

3L/4 y= y ( x = 3L ) = C .sen 2. . 3L = C .sen 3 = CL(2) max 41L4121

L/2 ymaxL/4y Esta ser la forma que tome la elstica cuandose consiga el equilibrio indiferente bajo la carga

2

Fig. 10.6 N cr = 22. .E.I minL2

Se tomar para el clculo el menor de los valores de Ncr, es decir, la carga Ncr queconsiga el primer equilibrio indiferente, o sea para el valor n = 1Seccin 10.3: Estudio prctico del pandeo: Piezas sometidas a compresin

Tema 10: Pandeo

10.2.2.- INFLUENCIA DE LOS ENLACES. LONGITUD DE PANDEO

El valor obtenido para la carga crtica FC, corresponde al caso de una columnaarticulada en sus extremos.

Ncr

N=2L .E.I mincrL2

= 1 Lk = L

Fig. 10.7

Con otros tipos de apoyos y siguiendo un proceso similar al seguido en 10.2.1, seobtendrn los valores de FC correspondientes:

Ncr Ncr Ncr

LN 2 .E.I = min cr4.L2 LN cr 2. 2 .E.I = min L2 LN cr 4. 2 .E.I = min L2

= 2 Lk = 2.L = 1 0, 72 Lk = 0, 7 L = 0, 5 Lk = 0, 5L

Fig. 10.8 Fig. 10.9 Fig. 10.10

Con el objeto de poder utilizar una sola frmula que englobe a los cuatro casos, seutilizar la siguiente:

=N cr 2 .E.I min L2k (10.5)

siendo: Lk = .L "longitud de pandeo " (10.6)

Los valores de y por consiguiente de Lk para cada uno de los cuatro tipos de apoyosvistos, se obtendrn comparando la frmula general 10.5 para la carga crtica, con lasobtenidas en cada uno de ellos. Los valores estn indicados en las figuras correspondientes

Longitud de pandeo de barras cannicas: LkCondicionesde extremo

biarticulada

biempotradaempotradaarticuladaempotradalibrebiempotradadesplazableLk1,0.L0,5.L0,7.L2,0.L1,0.L

Concepto fsico de la longitud de pandeo:

La longitud de pandeo de una barra es: la longitud que debera tener una barra,articulada en ambos extremos, equivalente a la dada (mismo material y seccin ), para que tuviese la misma carga crtica Ncr, que la barra dada

x

Ncr Ncr Ncr Ncr

Ncr

Lymax Lk = L LLymax Lk = 0,5L

yLk = 2L ymax

Fig. 10.11 Fig. 10.13

Fig.10.12

Ncr

ymaxL Lk = 0,7.L

Fig.10.14

10.2.3.- TENSIN CRTICA DE EULER. CONCEPTO DE ESBELTEZ

Se denomina TENSIN CRTICA de Euler: a la tensin de compresin de unacolumna cuando sobre ella acta la carga crtica Ncr

Ncr cr =A (10.7)

Sustituyendo FC por su valor dado en 10.5, quedar:

N 2 .E.I 2 .E. Imin 2 .E.i2 2 .E 2 .E= cr = min = A = min == (10.8)crA L2 .A L2 L2 L 22kkk kimin

siendo:

= Lk imin

" esbeltez de una columna "

(10.9)

Representando grficamente, en unos ejes coordenados, la ecuacin 10.8 que da latensin crtica de Euler en funcin de la esbeltez, se obtiene el siguiente diagrama:

cr

cr2cr1

cr

2

2 .E=

2

1

" curva de Euler "

Fig.10.15

Del anlisis del diagrama se deduce que a medida que disminuimos la esbeltez de lacolumna (2 < 1 ) la tensin crtica C aumenta (cr2 > cr1 ), es decir aumenta lacapacidad de la columna para resistir mas cargas sin que se produzca el Pandeo.

Conclusin: Para mejorar el comportamiento de una columna, de longitud dada, frente al Pandeo, ser preciso disminuir su esbeltez . Cmo?. Si la longitud L nos vieneimpuesta, en funcin de la ecuacin 10.9 que da la esbeltez, habr que aumentar el radiode inercia mnimo imin.

Lk =imin siimin

El aumento de imin sin modificar el rea A, se consigue aumentando el momento deinercia Imin, osea alejando el material todo lo posible del seccin centro de gravedad de la

imin = I minA siI min imin

Esta es la razn, por ejemplo, por la que las columnas de seccin hueca son mejores, aefectos de pandeo, que las macizas del mismo rea

seccin 1seccin 2

GG

A1, Imin1A2 = A1, Imin2

Fig.10.16

I min 2 > I min1 imin 2 > imin1 2 < 1 c 2 > c1 Fc 2 > Fc1 la sec cin 2 se comportar mejor al pandeo que la sec cin 110.2.4.- LMITES DE APLICACIN DE LA FRMULA DE EULER

El diagrama de la fig.10.15, que representa la curva de la tensin crtica de Euler, slo va a ser vlida hasta un cierto punto P, que corresponde a una esbeltez lim, que es la esbeltez para la cual: cr (tensin crtica) = fy (tensin del lmite elstico).

cr

fy

cr =P

2 .E 2

" curva de Euler "

lim

Fig.10.17

Ello es debido a que en la deduccin de la frmula para la obtencin de la carga crtica

Ncr, se utiliza la ecuacin diferencial de la elstica y sta slo es aplicable para los casos en que E = cte o lo que es lo mismo cuando fy ( seccin 3.5. diagrama tensiones-deformaciones). Adems, al alcanzarse la tensin del lmite elstico, el fallo seproducira por haberse alcanzado la resistencia a la compresin de la seccin.

En la Fig. 10.18 se representa la curva de pandeo de Euler y los modos de fallo

fyP

Fallo por haber rebasado el lmite elstico

Fallo porpandeo

Curva de pandeode Eulerlim

Figura 10.18As pues tendremos que para poder utilizar la curva de Euler se habr de verificar:

cr f y 2 .E f 2 y 2 .Ef y lim = 2 .Ef y (10.10)

para esbelteces: lim SI se podr aplicar la curva de Euler

para esbelteces: lim NO se podr aplicar la curva de Euler

Los valores de lim para los aceros ms utilizados en la construccin son:

Acerofy (N/mm2)limS23523593,9S27527586,8S35535576,4

La curva de pandeo expresada en la fig.10.18 puede ser redibujada de forma adimensional, dividiendo la tensin crtica de Euler entre el lmite elstico: ( / fy ) y la esbeltez entre la esbeltez lmite: ( / lim), dando lugar a la siguiente curva de Pandeoadimensional

/fy

/f

1P

1//

P1

1lim

Figura 10.19

La ventaja de este grfico es que puede aplicarse a barras de diferentes esbelteces yresistencias10.3.- PANDEO REAL: ESTUDIO PRCTICO DEL PANDEO EN PIEZAS DE ACERO SOMETIDAS A COMPRESIN

10.3.1.- INTRODUCCIN

El comportamiento real de los pilares difiere del estudio terico e ideal que acabamosde hacer. Ello es debido a las diversas imperfecciones del pandeo real que no se han tenido en cuenta en el estudio terico, tales como:

Falta de rectitud inicial del eje del pilarCargas axiales no aplicadas exactamente en el centro de gravedad de la seccintransversal del pilarTensiones residuales producidas en la fabricacin del pilar, bien por el procesode laminacin o por las soldadurasOtras

As estudios experimentales de pilares reales proporcionan los resultados que semuestran en la siguiente figura:

Esbeltez mediaEsbeltez elevada

Pfy

Punto deinflexin

limFigura 10.20

Comparado con las curvas tericas, el comportamiento real muestra mayoresdispersiones en el intervalo de esbelteces medias que en el intervalo de esbelteceselevadas. En la zona de esbelteces medias (que representa a la mayora de los pilares), el efecto de las imperfecciones es significativo y debe de ser tenido en cuenta. La mayorreduccin en el valor terico se produce en la regin de la esbeltez lmite lim.La curva lmite inferior se ha obtenido de un anlisis estadstico de los resultados de losensayos y representa el lmite seguro para la carga.Figura 10.21

Un pilar puede ser consideradode esbeltez elevada si su esbeltez es mayor que la correspondiente al punto de inflexin de la curva lmite inferior, mostrada en la fig.10.20. Para la carga ltima en dichos pilares, de esbeltez elevada, se puede tomar pues la carga crtica de Euler: Ncr

Son los pilares de esbelteces medias aquellos cuyo comportamiento, tal y como seobserva en la fig.10.20, se desva ms de la teora de Euler. Es pues en ellos donde se observa que ms influye la presencia de las imperfecciones, las cuales dan lugar a tensiones adicionales que se aadirn a las obtenidas en el comportamiento terico, lo que explica que las cargas ltimas que sern capaces de resistir los pilares en el pandeo real sean inferiores a las obtenidas en el pandeo terico.

Son la falta de rectitud del eje del pilar y la presencia de tensiones residuales, lasimperfecciones que presentan un efecto ms significativo en el comportamiento de este tipo de pilares.

Ejemplo de tensiones adicionales debidas al efecto de las tensiones residuales debidas a la laminacin en caliente en la fabricacin del pilar:

0,3.fycompresin

0,2.fytraccin

0,2.fycompresin

Ejemplo de tensiones residuales debidas a laminacin en caliente

+=o

= N/AResidualmax< fymax= fyEjemplo de tensiones adicionales debidas a la falta de rectitud del eje del pilar:

Esta imperfeccin es debida a los defectos inherentes al propio material, tales como lafalta de homogeneidad del material, las imperfecciones geomtricas de las piezas, etc.

La forma de introducir estas imperfecciones es a travs de dar una curvatura inicial a labarra (Fig.10.22.b). Al aplicar ahora sobre ella la carga N de compresin, har trabajar a la barra a FLEXIN-COMPRESIN, con lo cual se curvar ms (Fig.10.22.c)

xxxN

f0f

y

Fig. 10.22.a y

Fig. 10.22.b y

Fig. 10.22.c

= N/A = (N.f).y/Izmax< fy max = fy

+=o

Fig.10.23

Naturalmente si se dan varias imperfecciones a la vez, los efectos finales sern la sumade los obtenidos en cada una de ellas.

As pues en el pandeo real tendremos que, en general, a las tensiones producidas por la carga de compresin, les tendremos que sumar las debidas a las tensiones residuales y las debidas a la flexin, dada la falta de rectitud del eje del pilar, con lo cual la tensin total final mxima ser:

La tensin mxima se dar en la seccin x = L/2 y valdr:x

N max = N + M z + AW residuales = N + N . fAW + residuales = + ( .A). fWLf + residuales = k1.

L/2y max = k1. (10.11)

Fig. 10.24

Nsiendo : k1 = " coeficiente de amplificacin de la tensin de compresin ="AConclusin:PANDEO TERICO: Euler

Nslo COMPRESIN PANDEO REAL

NCOMPRESIN +FLEXIN+T.residuales

max = ( N ) = N =A max = ( N ) + (M z ) + residuales =

= N = A = cte fN + M z + AW residuales = k1.

Fig. 10.2510.3.2.- INTRODUCCIN AL MTODO DE CLCULO A PANDEO CON LA NUEVA NORMATIVA ESPAOLA: DB-SE-A (2007)

Comprobacin a Pandeo de piezas sometidas a compresin centrada por el Mtodode la nueva Normativa espaola: DB-SE-A: Caso de barras rectas de seccin constante y axil constante

La ecuacin 10.11 nos da la tensin mxima en el pandeo real, en el que se tiene encuenta, tal y como indicamos anteriormente, las tensiones debidas a la compresin junto con las tensiones que producen las imperfecciones del pilar (falta de rectitud del eje ylas tensiones residuales).

La frmula propuesta por la Normativa para la comprobacin a pandeo es:

1* *= k . * = k . N f N * 1 .A. f N * .A. fmax1 1 Aydkydyd

denominando : Nb , Rd = " resistencia ltima de la barra a pandeo " = .A. f yd (10.12) = 1k1 = "coeficiente de reduccin por pandeo"

As pues la frmula final para la comprobacin a pandeo de una barra de seccinconstante sometida a una compresin centrada constante ser:

b, RdydN * N = .A. f (10.13)

Los valores del coeficiente de reduccin por pandeo , que como se ve, es el inversodel coeficiente de amplificacin de tensiones k1, se pueden obtener a partir de las curvas de pandeo, como veremos a continuacin

Observaciones:1.-Al coeficiente