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Aspectos de sistemas de transmisión 3

INTRODUCCION

"Yo no lo hice más de lo debido, No he tenido tiempo de hacerla más corta”

Blaise Pascal

I.I POR QUÉ OTRO LIBRO?

Hubo un momento en que los sistemas de energía, y en sistemas de transmisión particulares podían darse el lujo de ser así. Sin embargo, en las últimas dos décadas los sistemas de energía han sido operados en condiciones mucho más estresadas que era habitual en el pasado. Hay un número de factores responsables de esto: las presiones ambientales sobre la expansión de la transmisión, el aumento del consumo de electricidad en las zonas de carga pesada (donde no es factible o económico de instalar nuevas plantas de generación), los nuevos patrones de carga del sistema debido a la apertura de la electricidad mercado, etc. parece como si el desarrollo provocada por el aumento del uso de la electricidad está levantando nuevas barreras a la expansión del sistema de alimentación.

Bajo estas condiciones de estrés un sistema de energía puede presentar un nuevo tipo de comportamiento inestable caracterizado por el voltaje lento (o repentino) cae, a veces la escalada a la forma de un colapso. Un número de incidentes de inestabilidad tales tensiones se han experimentado en todo el mundo. Muchos de ellos se describen en [Tay 94]. Como consecuencia, la estabilidad de la tensión se ha convertido en una preocupación importante en la planificación y operación del sistema eléctrico.

Como era de esperar, la comunidad de ingeniería de la energía ha respondido a los nuevos esfuerzos fenómeno y de investigación significativa se han dedicado al desarrollo de nuevas herramientas de análisis y el control de este tipo de inestabilidad. Entre las primeras referencias que tratan el tema son los libros de texto sobre análisis de sistema de energía que dedican una sección a la tensión de estabilidad [ZR69, Wee79, Mil82l «así como documentos técnicos [WC68, Nag75, Lac78, BB80, TMI83, BCR84, Cal86, KG86, Cla87, CTF87, Con91]. Una serie de tres seminarios sobre este tema específico [Fin88, Fin91, Fin94J ha proporcionado un foro para la presentación de los avances de la investigación. Varios CIGRE Fuerzas de Tarea [CTF93, CTF94a, CTF94b, CWG98] y del Grupo de Trabajo IEEE Repons [IWG90, IWG93, IWG96] han ofrecido una recopilación de técnicas para analizar y contrarrestar la inestabilidad de voltaje. Más recientemente, una monografía [Tay94], así como un capítulo de un libro de texto [Kun94] se han dedicado a este tema.

Un aspecto importante del problema de estabilidad de la tensión, por lo que su comprensión y solución más difícil, es que los fenómenos implicados son verdaderamente no lineal. A medida que la tensión en el sistema aumenta, esto no


linealidad se hace cada vez más pronunciada. Esto hace que sea necesario buscar un nuevo enfoque teórico utilizando nociones de la teoría de sistemas no lineales [Hil95].

En este marco general, el objetivo de nuestro libro es doble:

formular un enfoque unificado y coherente al problema de estabilidad de tensión, consistente con otras áreas de la dinámica de sistemas de energía, y en base a los conceptos de análisis de la teoría de sistemas no lineales;

utilizar este enfoque en la descripción de los métodos que pueden ser, o han sido, aplicada para resolver problemas de estabilidad de voltaje práctica.

Para conseguir estos dos objetivos, contamos con una variedad de ejemplos de sistemas de potencia. Partimos de sistemas de dos autobuses simples, en los que se expone la esencia de la teoría. Procedemos con un sistema un poco más complejo que se detalla lo suficiente para capturar a los principales fenómenos de tensión, al tiempo que permite derivaciones analíticas. Terminamos con ejemplos de simulación de un sistema de la vida real.

1.2 STABILIDAD DE VOLTAJE

Vamos ahora a abordar una cuestión fundamental: ¿Qué es la estabilidad de la tensión?

Definiciones convenientes se han dado por el IEEE y Grupos de Trabajo CIGRE, para lo cual se remite al lector a los informes mencionados anteriormente. Sin embargo, en este punto temprano nos gustaría definir estabilidad de tensión dentro de la perspectiva adoptada en este libro:

La inestabilidad de voltaje se deriva del intento de la dinámica de carga para restaurar el consumo de energía más allá de la capacidad del sistema de transmisión y generación combinada.

Sigamos esta palabra descriptiva definición de palabra:

Voltaje.- como ya se ha dicho, el fenómeno se manifiesta en forma de gran tensión, incontrolable gotas en un número de buses de la red. Así, el término "tensión" ha sido universalmente aceptado para su descripción.

Inestabilidad.- haber cruzado el límite máximo de potencia entregable, el mecanismo de la restauración de potencia de carga se vuelve inestable, lo que reduce en lugar de aumentar la potencia consumida. Este mecanismo es el corazón de la inestabilidad de voltaje.

Dinámica.- cualquier problema de estabilidad dinámica implica. Estos pueden ser modelados con cualquiera de las ecuaciones diferenciales (dinámicas continuas) o con ecuaciones en diferencias (dinámica discretos). Nos referiremos más adelante a la idea errónea de la estabilidad de voltaje etiquetado un problema "estática".

Cargas de correo: volver a la fuerza motriz de la inestabilidad del voltaje, y por este motivo este fenómeno también se ha llamado la inestabilidad de la carga.


Tenga en cuenta, sin embargo, que las cargas no son los únicos jugadores en este juego.

Los sistemas de transmisión tienen una capacidad limitada para la transferencia de potencia, como es bien conocido a partir de la teoría de circuitos. Este límite (como afectados también por el sistema de generación) marca el inicio de la inestabilidad de voltaje.

Generación. Generadores no son fuentes de tensión ideales. Su modelado preciso (incluidos los controladores) es importante para la evaluación correcta de estabilidad de la tensión.

Un término también se utiliza en conjunción con problemas de estabilidad de tensión es el colapso de voltaje. En este libro se utiliza el término "colapso" para significar una transición catastrófica súbita que es generalmente debido a una inestabilidad que ocurre en una escala de tiempo más rápido que la considerada. Como veremos, el colapso de voltaje puede o no puede ser el resultado final de la inestabilidad de voltaje.

Figura 1.1 Sistema DC

Sobre el papel de potencia reactiva

El lector habrá notado que no hemos incluido en la definición anterior de inestabilidad de voltaje el importante concepto de potencia reactiva. Es un hecho bien conocido que en sistemas de CA dominados por reactancias (como sistemas de energía son típicamente) existe una estrecha relación entre el control de la tensión y la potencia reactiva. Sin embargo, al no referirse a la potencia reactiva en nuestra definición, tenemos la intención de no exagerar su papel en la estabilidad de la tensión, donde ambos comparten potencia activa y reactiva el papel principal.

El desacoplamiento entre la potencia activa y ángulos de fase, por un lado, y magnitudes de potencia y tensión reactivos, por otro lado, se aplica a las condiciones de funcionamiento normales y no puede extenderse a las condiciones de carga extremas típicas de escenarios de inestabilidad de voltaje.

El siguiente ejemplo ilustra que no existe una relación "causa-efecto" entre la potencia reactiva y la inestabilidad del voltaje. Considérese el sistema de la Fig. 1.1 formado por una fuente de voltaje DC alimentación a través de una resistencia de línea R una resistencia de carga variable de Rl.


Suponemos que Rl es variada automáticamente por un dispositivo de control, a fin de lograr un punto de ajuste P0 consumo de energía. Por ejemplo podría ser gobernada por la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

(1.1)

Es bien sabido que la potencia máxima que puede ser transferida a la carga corresponde a la condición Rl = R y está dada por:

(1.2)

Figura 1.2 inestabilidad del voltaje en un sistema DC

Si la demanda P0 se hace mayor que Pmax la resistencia de carga disminuirá por debajo de r y el voltaje dará como resultado la inestabilidad después de cruzar el punto de máxima potencia. Una simulación típica para este caso se muestra en la Fig. 1.2.

Este simple paradigma tiene las características principales de inestabilidad de voltaje, aunque no se trate de potencia reactiva. En los sistemas actuales de alimentación de CA, la potencia reactiva hace que la imagen mucho más complicado, pero ciertamente no es la única fuente del problema.

1.3 POTENCIA DE ESTABILIDAD, CLASIFICACION


Ahora colocamos estabilidad de la tensión en el contexto de la estabilidad del sistema eléctrico en general. Tabla 1.1 muestra un esquema de clasificación basado en dos criterios: escala de tiempo y la fuerza impulsora de la inestabilidad.

Los problemas de estabilidad del sistema de potencia primera encontrada estaban relacionados con la estabilidad del ángulo del rotor del generador, ya sea en forma de oscilaciones electromecánicas no amortiguadas, o en la forma de la aceleración del rotor mono tónica que conduce a la pérdida de sincronismo. El primer tipo de inestabilidad se debe a una falta de par de torsión de dumping, y el segundo a una falta de sincronización de torque.

Tabla1.1 Potencia Sistema de Clasificación de Estabilidad

ESCALA DE TIEMPO

GENERADOR IMPULSADA CARGAR IMPULSADA

TÉRMINO CORTO

ESTABILIDAD ÁNGULO DEL ROTOR

TRANSITORIO CONSTANTE-ESCALERA

TÉRMINO CORTO

ESTABILIDAD DE LA TENSIÓN

A LARGO PLAZO

ESTABILIDAD DE FRECUENCIA

A LARGO PLAZO

ESTABILIDAD DE LA TENSIÓN

El primer tipo de inestabilidad está presente incluso para pequeñas perturbaciones y por lo tanto se llama estado de equilibrio o estabilidad mosquito pequeño-sí. El segundo se inició por las grandes perturbaciones y se llama estabilidad transitoria o de gran perturbación. Para el análisis de la estabilidad en estado estacionario es suficiente para considerar la versión lineal izada del sistema de alrededor de un punto de funcionamiento, típicamente usando técnicas de valor propio y vector propio. Para la estabilidad transitoria uno tiene que evaluar el rendimiento del sistema para un conjunto de perturbaciones especificadas.

El marco de tiempo de la estabilidad ángulo del rotor es la de la dinámica electromecánicos, durando típicamente durante unos pocos segundos. Reguladores de voltaje automáticos, sistemas de excitación, la turbina y la dinámica del regulador de todo acto dentro de este marco de tiempo. La dinámica relevantes han sido llamados dinámica transitoria »de conformidad con la estabilidad transitoria, generador reactancias transitorias, etc. Sin embargo, esto puede crear interpretaciones erróneas, ya que" transitoria "también se utiliza en la" estabilidad transitoria "para distinguirla de la" estabilidad de estado estable ", que también pertenece al mismo período de tiempo. Por esta razón se prefiere referirse al marco de tiempo arriba de unos pocos segundos, como la escala de tiempo a corto plazo.

Cuando la dinámica de corto plazo antes mencionado es estables que finalmente mueren a cabo algún tiempo después de una perturbación, y el sistema entra en un período de tiempo más lento. Varios componentes dinámicos están presentes en este marco de tiempo, tales como cambiadores de tomas de transformadores, limitadores de generadores, calderas, etc. Los transitorios pertinentes duran típicamente durante varios minutos. Vamos a llamar a este el tamaño de tiempo a largo plazo.


En la escala de tiempo a largo plazo, podemos distinguir entre dos tipos de problemas de estabilidad:

1. frecuentes problemas Y debido al desequilibrio de generación de carga independientemente de los aspectos de la red dentro de cada área conectada;

2. problemas de tensión, que son debido a la distancia eléctrica entre generación y cargas y por lo tanto dependen de la estructura de la red.

En sistemas de potencia modernos, pueden encontrarse problemas de estabilidad de la frecuencia después de una perturbación importante ha resultado en instantes. Desde entonces hemos supuesto que las oscilaciones electromecánicas ha muerto fuera, la frecuencia es común durante cada instante y el problema pueden ser analizados utilizando un equivalente de en la barra, en qué todo genera torsión y las cargas están conectadas. La frecuencia instable está relacionado con la potencia activa abalance entre generadores y cargas en cada instante.

Estabilidad de voltaje, por otro lado, requiere una representación completa de red para su análisis. Esto es un aspecto principal separando las dos clases de problemas de estabilidad de tiempo largo. Además, cuando sugerido por la definición dimos en Sección 1.2, voltaje instable es la carga conducida.

Ahora, cuándo nos referimos a estabilidad de voltaje podemos identificar componentes de carga dinámica con la tendencia para restaurar su poder consumido en el tiempo de un segundo. I.e. en la escala de tiempo corto. Tales componentes son principalmente motores de inducción y electrónicamente controlan cargas, incluyendo HVDC interconexiones. Hemos así para introducir estabilidad de voltaje de plazo a escaso clase al lado estabilidad de ángulo de rotor de generador. Desde estas dos clases de problemas de estabilidad pertenecen a la misma escala de tiempo, requieren básicamente la misma complejidad de modelos de componente y a veces distinción entre el dos en engranó los sistemas deviene difíciles [VSP96J]. En otras palabras, en la escala de tiempo corto, no hay una separación definida entre carga-conducido y generador-problemas de estabilidad conducida, hay entre frecuencia y mucho tiempo estabilidad de voltaje.

Tenga que ser notado que la identificación de la fuerza de conducción para un mecanismo inestable no excluye los otros componentes de afectar este mecanismo. Para caso, la modelización de carga afecta la estabilidad de ángulo del rotor, y, cuando mostraremos en este libro, la modelización de generador es importante para una estabilidad de voltaje correcta.

Cada una de las cuatro principales clases de estabilidad de la tabla 1.1 puede tener sus propias nuevas subdivisiones, como los que ya hemos visto en el caso de la estabilidad angular del rotor del generador. De este modo podemos identificar en pequeña señal y de gran perturbación formas de estabilidad de la tensión. Tenga en cuenta, sin embargo, que esta distinción no es tan importante como en el caso de la estabilidad de ángulo del rotor, donde transitoria y estabilidad de estado estable se refieren a diferentes problemas. Por lo tanto, aunque la pequeña señal frente a la terminología de gran perturbación existe y está en Accorbaile con la clasificación por encima de la estabilidad no vamos a utilizar extensivamente en este libro. Vemos estabilidad de la tensión como un único problema en el que se puede aplicar una combinación de ambas herramientas linealizadas y no lineales.

Otro punto que se hizo aquí se refiere a la distinción entre los aspectos "estáticos" dinámico y. De hecho, la estabilidad de tensión a largo plazo ha sido muchas veces


mal entendida como un problema "estática". El error se debe al hecho de que las herramientas estáticos (tales como prograrits flujo de potencia modificados) son aceptables para el análisis más simple y más rápido. Estabilidad de tensión, sin embargo, es dinámica por naturaleza, y en algunos casos se tiene que recurrir a herramientas de análisis dinámicas (tales como los métodos de dominio de tiempo). Por lo tanto se debe evitar confundir medios con los fines de la clasificación estabilidad.

1.4 ESTRUCTURA DE ESTE LIBRO

El libro consta de dos partes.

Parte I se ocupa de los fenómenos y componentes. Incluye capítulos 2. 3, y 4. Cada uno dedicado a uno de los tres aspectos principales del problema de estabilidad de voltaje de acuerdo con nuestra definición de la Sección 1.2.

Comenzamos con aspectos de transmisión en el capítulo 2, ya que es de los límites de la transferencia de poder que creó el problema de estabilidad de voltaje. En este capítulo se revisa el problema de la potencia máxima puede entregar incluido en los sistemas de CA y nos concentramos en una serie de componentes de transmisión que están vinculados a la tensión de estabilidad, como compensación. Off-nominales transformadores de tomas, etc.

Capítulo 3 revisa los conceptos básicos del modelado del generador, incluyendo detalles significativos, como el efecto de la saturación en los límites de capacidad. Controles de frecuencia y tensión también son revisados, así como los diversos dispositivos de limitación que protegen a los generadores de sobrecarga. Finalmente consideramos cómo los límites del generador afectan a la potencia máxima de entrega del sistema.

En el capítulo 4 nos centramos en la fuerza motriz de la inestabilidad del voltaje, la dinámica de carga es decir. En primer lugar, damos un marco general de la restauración de carga y luego proceder con el análisis de los tres componentes principales de la restauración de la carga, es decir, los motores de inducción, de carga cambiadores de tomas y la carga termostática. Finalmente se discuten modelos de carga genéricos agregados.

Parte 2 del libro se ocupa de la descripción de los mecanismos de inestabilidad de voltaje y métodos de análisis.

En primer lugar, ofrecemos en el capítulo 5 un resumen de la base matemática de la teoría de sistemas no lineales necesarios para el análisis de los capítulos posteriores. Esto incluye las nociones de bifurcación, singularidad, y la descomposición de escala de tiempo.

En el capítulo 6 se discuten los requisitos generales de modelado para el análisis de estabilidad de la tensión, e ilustrarlas con un ejemplo simple pero totalmente detallada.

Capítulo 7 da la teoría de estabilidad de la tensión básica en términos de tres conceptos estrechamente vinculados: los límites de capacidad de carga, bifurcaciones, y sensibilidades. En su mayor sartén, este capítulo trata de los cambios de parámetros lisos. El efecto de discontinuo, especialmente las causadas por los limitadores de sobreexcitación de generadores síncronos se toma en cuenta explícitamente.


En el capítulo 8 nos concentramos en grandes disturbios, abruptos y describir uno por uno los posibles mecanismos de perder la estabilidad, ya sea en el largo plazo, o la escala de tiempo a corto plazo. También nos concentramos en contramedidas aplicables a cada tipo de inestabilidad. El ejemplo detallado presentado en el capítulo 6 se utiliza para ilustrar algunos de los mecanismos clave de inestabilidad.

Por último, en el capítulo 9 le damos una muestra representativa de los criterios y métodos informáticos para el análisis de estabilidad de la tensión. Después de una breve revisión de los conceptos de seguridad, consideramos que los métodos para la evaluación de la contingencia, la capacidad de carga límite de cálculo y determinación de los límites de operación seguras. Terminamos con ejemplos de un sistema de la vida real.

Al final de algunos capítulos que proporcionamos problemas. Algunos de ellos son aplicaciones directas de los métodos presentados. Otros problemas se refieren a los ejemplos y casos de prueba dadas en el texto. Por último, algunos son a nivel de temas de investigación. Los autores estarían encantados de recibir sugerencias e intercambiar opiniones sobre todos estos.

1.5 NOTACIÓN

Damos a continuación una breve lista de las convenciones de notación utilizadas en este libro.

■ Fasores arco mostrado como mayúsculas con un borde, por ejemplo, e .g . I ,V .

■ Magnitudes Fasores se muestran con la misma letra mayúscula sin el overline. por ejemplo , V.

■ Letras negritas minúsculas, por ejemplo, x, y, corresponden a los vectores de columna. Superíndice T indica traspuesta. Por lo tanto vectores fila se escriben como XT ,Y T .

■ Una colección de fasores en un vector columna se representa como una letra mayúscula negrita con un overline, por ejemplo, e.g. I .

■ Matrices normalmente se muestran como letra mayúscula y negrita, por ejemplo A, J.

■ Matrices jacobianas se muestran como una letra negrita (que indica la función de vector) con un subíndice negrita (que indica el vector con respecto al cual diferenciamos). Así:

f x=[ ∂ f i∂ x j ] Derivados Tiempo aparecen con un punto, por ejemplo, x .


2ASPECTOS DE REDES DE

TRANSMISION"Tal vez no puedo definir la estabilidad, pero sé que cuando me seg que P 'Carson W. Taylor

En este capítulo se analiza el papel que desempeña el sistema de transmisión en la estabilidad de la tensión.

En primer lugar, tratamos con dos nociones fundamentales: la potencia máxima que se puede entregar a las cargas y la relación entre el poder de carga y tensión de la red. Luego brevemente y cualitativamente explicamos cómo estas dos propiedades básicas pueden dar lugar a la inestabilidad del voltaje. A continuación, se discute el efecto de los componentes que afectan a la capacidad de transmisión, la serie y la compensación en derivación, por un lado, los transformadores con relación grifo ajustable en theother mano. También introducimos la noción de curvas VQ que expresan la relación entre la tensión y la potencia reactiva a un bus dado.La mayor parte del material de este capítulo se basa en el análisis de un sistema infinito-bus-carga sola simple, que permite derivaciones analíticas fáciles y proporciona información sobre el problema. Conceptos básicos introducidos en este capítulo se pueden generalizar en capítulos posteriores al gran sistema de complejidad arbitraria.

2.1 UN SOLO CARGA SISTEMA DE INFINITO-BUS

Consideramos que el simple sistema de la Fig. 2,1, que consta de una carga alimentada por un bus infinita a través de una línea de transmisión. Por definición, la magnitud de la tensión y la frecuencia


Figure 2.12.Series de compensación

Este último no tiene en cuenta la ubicación condensadores en serie, por ejemplo, en el RNID-punto o 1/3 o 1/4 puntos de la línea).

La línea neta de reactancia está dada por:

Con el grado de compensación

Siendo por lo general en el intervalo de 0,3 - 0,8.

Sustitución de por en (2.6, 2.8) se ve claramente que la potencia máxima entregable se incrementa, mientras que la tensión en virtud de la potencia máxima se deja sin cambios.

Las series de compensación abordan un aspecto fundamental de la inestabilidad de tensión, es decir, la distancia entre los centros de generación eléctrica y de carga. A este respecto, es una muy eficiente contramedida a la inestabilidad.

2.6.2 Compensación shuntLa conexión de los condensadores de derivación (o reactores) es probablemente la forma más simple y más utilizada de la indemnización. Para investigar su efecto en cierto detalle, consideramos el simple sistema de la Fig. 2.13, que combina el efecto


de línea de carga (susceptancia B1) con la de una compensación en derivación regulable (susceptancia Be).

Linea compensacion

Figura 2.13 capacidades de red y la compensación shunt

El equivalente Thévenin como se ve por la carga (i.e. Es decir, a la izquierda de la línea de puntos en la figura 2.13) tiene la siguiente fem y la reactancia:

Sustitución por y por en (2.6, 2.8) da la potencia máxima entregable

(bajo factor de potencia ):

y la tensión de carga correspondiente:


Una rápida comparación con (2.6, 2.8) muestra que se añade tanto y aumento en el mismo porcentaje cuando se tienen en cuenta las capacitancias de red y/ o se añade la compensación capacitiva.

La figura 2.14 muestra una situación en la medida que aumenta la potencia de carga, más una compensación en derivación tiene que ser añadido con el fin de mantener la tensión dentro de los límites indicados por las líneas de puntos (típicamente 0,95 y 1,05 pu respectivamente). La curva PV resultante se muestra en línea gruesa en la figura. 2.14. Tenga en cuenta que la adición de una compensación shunt puede provenir de una

Figura 2.14 Curvas PV para varios niveles de compensación

acción del operador o un dispositivo automático. En este último caso, los condensadores pueden ser ya sea mecánicamente conmutada o tiristor controlado.

La figura también ilustra un factor de crítica importe en la inestabilidad de voltaje. Como la carga crece en zonas que carecen de la generación, cada vez más una indemnización de derivación se utiliza para mantener las tensiones en el rango de operación normal. De este modo, los puntos de funcionamiento normales se acercan progresivamente a la potencia máxima entregable y en condiciones de estrés, los escenarios representados por las Figs. 2.10 y 2.11 podrían convertirse en una amenaza real.

Del mismo modo, en los sistemas con grandes efectos capacitivos, los reactores de

derivación se deben conectar en condiciones de carga ligera para evitar sobretensiones. Esto es a menudo el caso en los sistemas de extra alta tensión (MAT), donde las transferencias de energía a largas distancias, limitado por consideraciones


de estabilidad, está por debajo de la carga impedancia. Esto requiere reactores en derivación para absorber el exceso de potencia reactiva generada.

2.6.3 Compensadores estáticos de VAREn pocas palabras, un Compensado estático de VAR (SVC) es un dispositivo de derivación compensación controlado por tensión. En aplicaciones sistema de transmisión, la susceptancia en derivación conectado a una media tensión (MV) se varía rápidamente a fin de mantener el voltaje en un alto voltaje (HV) o EHV (casi) constante. SVC son dispositivos rápidos, que actúan habitualmente en varios ciclos. Significativamente mayor costo de un SVC se justifica cuando la velocidad de acción se requiere para mejorar la estabilidad.

(a) Tiristor Switched capacitor (TSC) (b) Tiristor Reactor controlado (TCR)

Figura 2.15 Representación esquemática de los SVC

Este es el caso en la inestabilidad del ángulo y problemas de inestabilidad de voltaje a corto plazo. Al lado de control de tensión, los SVC también se pueden utilizar para amortiguar las oscilaciones angulares del rotor a través de la modulación adicional susceptancia [Mil82].

Las siguientes son las dos principales técnicas utilizadas para obtener una susceptancia variables:

• En el Tiristor Switched capacitor (TSC) (véase la figura 2.15.a.) un número variable de unidades de condensadores de derivación están conectados al sistema por tiristores utilizados como interruptores;

• En el tiristor controlado Reactor (TCR) (ver Fig. 2.15.b), el ángulo de disparo de los tiristores conectados en serie con un reactor se ajusta para variar la componente de frecuencia fundamental de la corriente que fluye en este reactor, mientras que los armónicos se filtran a cabo por diferentes técnicas. Esto es equivalente a tener un reactor shunt variable en paralelo con un condensador fijo.


En condiciones de estado estable, la potencia reactiva producida por el SVC está dado por:

Q=BV MV2 (2.19)

Donde es la tensión MV-bus y B la susceptancia variable. Estos últimos obedece:

B=K (V 0−V ) (2.20)

Sujeto a:

Bmin≤B≤Bmax (2.21)

Figura 2.16 El estado de equilibrio característico de un SVC ( = - 0,3, =

1, K= 50, = 1, en la PU de la calificación compensador)


Donde K es la ganancia SVC, la referencia de tensión y, corresponden a las condiciones de conducción del tiristor extremas.

La característica QV correspondiente se muestra con línea continua en la Fig. 2.16. La impedancia transformador elevador ha sido descuidada por simplicidad (de ahí lo que

en por unidad), pero se tiene en cuenta en la simulación detallada. La porción casi plano de la característica corresponde a (2.19) y (2.20). Es muy cerca de una línea recta con una pequeña caída, debido al alto valor de K (del orden de 25 a 100 en la calificación SVC). Las partes parabólicos corresponden a (2.19) con B en uno de los límites (2,21).

La estática Sistema Var (SVS) término se utiliza para designar la combinación de un SVC con un condensador conmutado mecánicamente [Mil82, Kun94]. Muy a menudo la role de este último es para restablecer el punto de funcionamiento SVC para que el compensador se queda con una reserva de reactivo adecuado para hacer frente a perturbaciones repentinas.

Volviendo a consideraciones de estabilidad de voltaje, considere el sistema de la Fig. 2,13 con el condensador ajustable sustituido por un SVC automático. Con un TSC la característica PV es similar a la mostrada en la Fig. 2.14, con los pequeños pasos correspondientes al condensador unidades cambiaron sucesivamente. Con el TCR actuando de forma continua, la característica se convierte en la línea gruesa en la figura. 2.17.

Figure 2.17 PV curvas en la presencia de un SVC


Supongamos por ejemplo, que el sistema está funcionando inicialmente en el punto A en la curva de PV de trazo enumerado con 1 y que la potencia de carga se incrementa de PA a PE. En ausencia de reacción SVC, el nuevo punto de funcionamiento sería B. Sin embargo, esto provoca una caída de tensión que el SVC contrarrestará incrementando su susceptancia. De acuerdo con la Fig. 2.14, la característica de red resultante es la curva PV trazo enumerado con 2 y el nuevo punto de operación es C. Todos los puntos como A, C, etc. caen en la línea ligeramente inclinada, lo que corresponde a la tensión de control por el SVC. La pendiente de esta línea está dictada por la ganancia K. Las dos curvas PV muestran una línea sólida que corresponden a los límites susceptancia (2.21).

Como puede verse, el SVC afecta significativamente la forma de la red.Similares discontinuidades causadas por los límites de potencia reactiva del generador, se discutirán en la Sección 3.6.

Cuando limitado, el SVC se comporta como un simple condensador en paralelo (o reactor), con la potencia proporcional al cuadrado del voltaje. Comparando, un mejor soporte reactivo es ofrecido por un generador síncrono o condensador bajo límite. También más favorable es el GTO-tiristor propuesto recientemente basado en el compensador (STATCOM) estático síncrono que exhibe una corriente característica constante bajo limite [Gyu94].

Figure 2.18 Uso de un generador ficticio para producir curvas V Q

2.7 VQ CURVASUna curva VQ expresa la relación entre el apoyo reactivo Qc a una línea dada y la tensión en esa línea. Esta puede ser determinada mediante la conexión de un generador ficticio con potencia activa de 0 y recordando a la potencia reactiva Qc producida como el voltaje terminal V y siendo variada [C1F87, MJP88]. Debido a que esta no produce potencia activa, este generador ficticio es referido a menudo como un


condensador síncrono. La tensión se toma como variable independiente, es una práctica común el uso de V como la abscisa y producir VQ vez de curvas QV, como se hizo para las cargas anteriormente en este capítulo. Nosotros cumpliremos con esta práctica.

Nosotros ilustramos la técnica en el ejemplo esbozado línea-2 de la Fig. 2.18. Las ecuaciones del flujo de carga (2.l0 a, b) vienen a ser:

P=−EVX

senθ (2.22a)

Q−Q c=−V 2

X+EVXcosθ (2.22b)

Cabe señalar en este punto que la curva VQ es una característica de ambas la red y la carga. A medida que la curva tiene como objetivo la caracterización de la operación en estado estable del sistema, la carga debe ser en consecuencia representada a través de su característica de estado estacionario. En este sencillo ejemplo se asume una carga de potencia constante.

Para cada valor de la tensión V, primero O es obtenido a partir de (2.22a), entonces la potencia reactiva Qc se calcula a partir de (2.22b). Tres de las curvas VQ se muestran en la Fig. 2.19. La curva 1 se refiere a la operación del sistema muy por debajo de la potencia máxima. Los dos puntos de intersección con el eje V no corresponden a la compensación. Haciendo referencia a la discusión anterior, la solución de voltaje más alto (O marcado en la Fig. 2.19) es el punto de operación normal. Como se puede

Figura 2.19 V, Q curvas

observar la curva VQ no se aparta mucho de la línea recta alrededor de este punto. La curva 2 se refiere a una situación más cargada. El punto de trabajo sin compensación


es O ', donde la curvatura de la curva VQ es más pronunciado. Los valores Q1 y Q2 mostrados en la figura son los márgenes de potencia reactiva con respecto a la pérdida de un punto de funcionamiento. Estos corresponden a la cantidad mínima de aumento reactivo de carga (o disminución de generación equivalente) para el que no hay punto de funcionamiento. Finalmente curva 3corresponde a una situación en la que el sistema no puede operar sin inyección de potencia reactiva. Este podría resultar de una perturbación severa que incrementa X. El margen se muestra Q3 es negativo y proporciona una medida de la distancia Mvar a la operatividad del sistema.

Curvas VQ pueden ayudar a determinar el monto de la compensación necesaria para restaurar un punto de trabajo u obtener una tensión deseada. Empezamos por ejemplo a partir de la curva 3 de la figura. 2.19 y considerarlo como un punto de funcionamiento que puede ser restaurado utilizando un condensador en paralelo o un SVC.

Se muestra el caso de la introducción de un condensador en paralelo en la Fig. 2.20. La parábola Qc = BV ^2 corresponde a la compensación mínima necesaria para restaurar un punto de funcionamiento (denotado O) mientras que la parábola Qc = B´V^2 corresponde a la compensación necesaria para conseguir la tensión deseada Vd (punto O '). En este último caso, la figura muestra la reserva de potencia disponible por la compensación más grande utilizada.

Figure 2.20 Dimensionamiento del capacitor en paralelo basado en las curvas VQ

Reserva


Figure 2.21 Dimensionamiento de SVC basada en las curvas VQ

Tenga en cuenta que cuando la fuente de potencia reactiva disponible no está produciendo una cantidad constante de M vars la relación entre Qc y V debe ser tomada en cuenta para establecer la reserva reactiva. Por lo tanto, en el caso condensador en paralelo, el punto O no corresponde al

Figura 2.22 estructura de dos niveles de LTC

Transmisión

Sub - Transmisión

Distribución

Reserva


mínimo de la curva VQ y la reserva reactiva no se mide con respecto a este mínimo, sino más bien con respecto al punto O.

El uso de un SVC es considerado en la Fig. 2.21. La característica de estado estacionario de un dispositivo con la producción (B = Bmax > 0) y las capacidades de absorción (B= Bmin <O) se muestran con líneas gruesas. El límite elegido Bmax deja algo de potencia reactiva, como se indica en la figura.

2.8 EFECTO DE RELACIONES DE TRANSFORMACIÓN AJUSTABLESLa mayoría de los sistemas de transmisión de potencia contemporánea están separadas por diferentes niveles de voltaje. Por ejemplo, un sistema puede tener una red de transporte principal a nivel EHV, que van normalmente desde 220 a 735 kV, y una transmisión secundaria o de la red de sub-transmisión a nivel de alta tensión, con una tensión nominal de 60 a 150 kV. Esta estructura de dos niveles se esboza en la figura. 2.22.

Es común tener los transformadores que conectan los distintos niveles equipados con cambiadores de tomas en carga (LTCs), es decir, dispositivos que permiten la relación de vueltas del transformador que ser ajustado sin interrumpir el flujo de potencia en el aparato. Dependiendo del sistema, estos se pueden encontrar en:

Figura 2.23 circuito equivalente que muestra el efecto de la relación del transformador

1. Transformadores que alimentan los sistemas de distribución

2. Transformadores que conectan la sub-transmisión a la transmisión

3. Transformadores que conectan dos niveles de voltaje de transmisión


4. Transformadores de aumento del generador

El primer tipo de LTC es un componente importante de la dinámica de carga y como tal será tratado en el Capítulo 4. En esta sección nos centramos en los últimos tres tipos e investigar sus efectos sobre las características de la red.

Primero consideramos los ajustes manuales de la relación, como las que se realizan de forma remota por los operadores del centro de control.

Considerar para ello el circuito simple de la figura 2.23. La reactancia en el “lado primario” puede representar una reactancia equivalente del sistema de transmisión (casos 2 y 3 anteriores) o puede tener en cuenta el efecto de caída de tensión del

generador (Caso 4). Del mismo modo, puede representar reactancias de transmisión y/o sub-transmisión. El transformador es asumido ideal, mediante la

incorporación de su reactancia de salida a . •En condiciones de funcionamiento normales, en la relación si disminuye (ocurre un aumento) y cuando aumenta

(ocurre una reducción) en la tensión .

El Thévenin equivalente como se puede ver en la carga tiene la siguiente y reactancia.

Reemplazando por y por en (2.6, 2.8) resulta la ponencia máxima

entregada (bajo el factor de ponencia )

Y la tensión correspondiente.

En comparación con el caso sin transformador, que corresponde a , concluimos

que disminuyendo , con el fin de aumentar la tensión secundaria , se puede

entregar más potencia a la carga. Cuanto mayor sea la relación , es más notable este efecto. Fórmula (2.23) también muestra que la disminución de es equivalente a la disminución de la impedancia neta entre la fuente y la carga.

Consideramos ahora el caso de un con ajuste automático de LTC para mantener la

tensión secundaria igual a un . Dejamos de lado aquí la zona muerta y efectos del paso que caracterizan el dispositivo real y no sabemos los límites de .Las


condiciones de funcionamiento en estado estable de este sistema se pueden derivar de la siguiente manera.

La reactancia junto con la carga constituye una carga sensible de tensión con el

poder como se muestra en la figura 2.23. Restaurando la tensión a su punto de referencia V2º el LTC restaura el poder anterior para el valor constante:

El mismo poder entra en el lado primario del transformador (ideal), dando lugar a la situación representada por el circuito de la izquierda en la figura. 2.24. Esto sólo es

posible si el punto se encuentra dentro del dominio factible correspondiente, que es limitado por la parábola que se muestra en la parte inferior izquierda de la figura 2.24 y derivados como se explica en la sección 2.2.3.

Suponiendo que se cumple esta condición, la tensión es igual a en estado de equilibrio. Esto equivale a reemplazar el transformador y su lado primario por una

fuente de voltaje , como se muestra por el circuito de la derecha en la figura 2.24.

Una vez más, la condición para este subsistema funcione es que el punto dentro del dominio de factibilidad, que es limitado por la parábola que se muestra en la parte inferior derecha de la figura 2.24.

Como puede verse, el efecto de la tensión de control de LTC es "romper" la distancia eléctrica entre la fuente y la carga. Algunos sistemas tienen más de un nivel

Figura 2.24 sistema de la figura anterior descompuesto


de LTCs control de tensiones en los puntos intermedios. El razonamiento anterior se aplica a cada nivel. Los LTCs permiten operar el sistema con distancias eléctricas entre generadores y cargas que de otro modo no permitirían el poder para ser entregado a las cargas.

La interacción dinámica entre los distintos niveles de LTC en cascada se discutirá en la Sección 4.4.

2.9PROBLEMAS

2.1 Mostrar que el extremo dado por es un máximo de con respecto a

y .

2.2 Haciendo referencia a la Fig. 2.4, muestran que el valor de la resistencia de carga

.Que maximiza la potencia activa también corresponde a la intersección de la

y

Tabla 2.1 datos típicos para líneas de transmisión (2 conductores por fase)

Frecuencia nominal

Voltaje nominal

(ver la fig. 2.13)

(ver la fig. 2.13)

Curvas . Supongamos un sistema sin pérdidas y un factor de potencia de carga constante, como en la figura.

2.3 En el plano de la Fig. 2.5 determinar el lugar geométrico de los puntos de funcionamiento que se caracterizan por una magnitud dada de tensión en la carga. Demuestre que, para , este lugar geométrico es la tangente a la parábola de la cifra a dos puntos; determine estos puntos. Sugerencia: la segunda parte no requiere ningún cálculo


2.4 Deducir las ecuaciones de flujo de carga del sistema de 2 cuando no se descuida la resistencia R de la transmisión. Determinar la condición de existencia de una

solución. Dibuje el límite correspondiente en el plano

2.5 Con las ecuaciones de flujo de carga escritas en forma de matriz

Con

el flujo de carga Jacobiana se define como la matriz de derivadas parciales de con respecto a .Demostrar que esta matriz es singular en condiciones de potencia máxima, para cualquier factor de potencia de carga (o equivalentemente, el Jacobiano es singular en cualquier punto de la parábola de la Fig. 2.5).

2.6 Tenga en cuenta las características de la línea típicos que figuran en la Tabla 2.1.

Suponiendo una tensión extremo emisor y una carga de factor de potencia unidad, calcular la potencia máxima entregable como una función de longitud de la línea. La corrección de las largas colas se descuidó en una primera aproximación.Comparar con la impedancia de carga de sobretensiones de línea.

Repita el procedimiento para un voltaje de fin de envío de .

2.7 Use de los mismos datos que en el problema anterior, con un enviar-tensión, determinar la potencia de la carga que resulta en un voltaje de recepción final

en función de la longitud de la línea. Repita para varios valores de disminución de .

2.8 Considere la posibilidad de una línea de transmisión sin pérdidas con una tensión

final envía y derivación de compensación en su extremo receptor de manera que

la tensión de carga es siempre igual a . Además se supone que la dinámica de carga es tal que la operación en la parte inferior de la curva de es inestable. ¿Cuál es la potencia máxima carga admisible?

2.9 Considerar el 4 sistema que se muestra en la Fig. 3.20 (Véase la sección 3.6). Sus flujos de carga los datos (de base) son los siguientes


Ejecutar un flujo de carga caso base corresponde al punto de funcionamiento siguiente:

Suponiendo que el generador (ó ) puede ser representado por un valor de y haciendo caso omiso (ver problema 3.6) a cualquier potencia reactiva límite, obtener la curva de usando cálculos de flujo de carga repetida. El factor de potencia de carga se mantendrá constante y el flujo compensará la energía activa.

Consejos: Utilizar pasos lo suficientemente pequeños para abordar el punto de máxima potencia con una precisión razonable. Si el flujo de carga permite la modelación de carga de impedancia constante, se usa para producir la parte inferior de la curva . La solución es la curva sólida de la figura 3.21, al utilizar las ecuaciones de equilibrio del generador en lugar de la aproximación de .

2.10 Por el mismo sistema, dibujar la curva para una carga de respectivamente

(bajo factor de potencia constante). Utilice la técnica de

generador ficticio de la sección 2.7, con correspondiente a la potencia reactiva inyectada por el condensador de derivación. Determinar la cantidad de la

compensación necesaria para restaurar (i) una tensión de bajo la carga de ; (ii) un punto de trabajo a nivel de .

Aspectos De Carga 93

3 ASPECTOS DE GENERACIÓN

"Todo debe hacerse lo más simple posible... Pero no más sencillo!"

Albert Einstein

Generadores sincrónicos son una fuente primaria de energía reactiva y son en gran medida responsables de mantener un buen perfil de voltaje a través de un sistema de energía. Por consiguiente, sus características y sus limitaciones son de gran importancia para el análisis de la estabilidad de la tensión. Vale la pena señalar que en casi todos los incidentes de inestabilidad de voltaje, uno o varios generadores cruciales estaban operando con capacidad reactiva limitado.

En este capítulo primero revisa los fundamentos de la teoría de la máquina sincrónica para llegar a modelos dinámicos y de estado estable apropiados para el análisis de estabilidad de la tensión. A continuación, se describe la frecuencia y control de voltaje (incluido el control de tensión del secundario, usado o previstas en los países SORNE) y pagamos sorne atención a los dispositivos que afectan a la inestabilidad de tensión limitante. A continuación, se analizan los modos de funcionamiento del generador a través de las características de potencia tensión reactiva, así como curvas de capacidad. Por último, volvemos a las nociones discutidas en el Capítulo 2: e investigamos el impacto de las limitaciones del generador de potencia reactiva en las relaciones de poder de tensión y de potencia máxima entregable.

3.1 Una revisión de la teoría máquina sincrónica

3.1.1 Supuestos básicos de modelado

La máquina síncrona se modela como representado simbólicamente en la Fig. 3.1.


Figura 3.1 Representación del circuito de una máquina sincrónica

Los circuitos del estator consisten en bobinas de la armadura trifásicos con tensiones Va, Vb, VE y corrientes IA, IB, IC, respectivamente. Adoptamos la convención del generador se muestra en la Fig. 3,1 para la orientación relativa de las corrientes y voltajes. El estator y el inducido términos se utilizan indistintamente a lo largo de todo el libro.

Un grado de refinamiento de modelado se relaciona directamente con el número de circuitos del rotor utilizados para explicar los diferentes fenómenos. lt es común en los programas informáticos modernos para utilizar modelos detallados con 4 bobinas del rotor para las máquinas de rotor redondo (generalmente impulsados por vapor de las turbinas de gas) y 3 bobinas para máquinas saliente de punto (generalmente impulsados por turbinas hidroeléctricas). Los circuitos del rotor están situados a lo largo del directo y en cuadratura ejes respectivamente. El eje directo coincide con el eje del campo (o de excitación) de bobinado, denotado por fd. El eje de cuadratura mentiras 90 grados por delante a lo largo de la dirección de rotación se muestra en la Fig. 3.1. Los bobinados etiquetados 1d y 1q representan amortisseur (o amortiguador) efectos de barras, mientras que el 2q sinuoso cuentas corrientes parásitas en las máquinas de rotor redondas. En el devanado de campo de la tensión y la corriente se indican mediante vfd y ifd, respectivamente, y están orientadas como se muestra en la Fig. 3.1. Todos los otros devanados del rotor están permanentemente en cortocircuito.

Por lo general, se asume que el campo magnético producido por un bobinado tiene una distribución sinusoidal a lo largo del espacio de aire de la máquina. Bajo este supuesto, y dejar de lado los efectos de magnetización cruz de hierro saturado, dos bobinas con ejes perpendiculares no están acoplados magnéticamente.

El movimiento del rotor se caracteriza por el ángulo eléctrico o entre el eje directo rotor y el eje de la fase de una armadura, como se muestra en la Fig. 3.1. Cuando la máquina


Figura 3.2 devanados de la máquina después de la transformación

Giros a la velocidad nominal se tiene:

donde es una constante arbitraria y es la frecuencia nominal angular (en rad / s), relacionada con la frecuencia nominal f a través de:

3.1.2 Ecuaciones Park

La herramienta matemática esencial estudiar la máquina sincrónica es la transformación de Park originalmente propuesto en [Par29, Par33]. Esta transformación consiste en la sustitución de las a, b, c arrollamientos por tres devanados ficticios etiquetados d, q, o. Los d y q devanados giran junto con el rotor de la máquina, con el d (resp. q) de bobinado situada a lo largo del eje (resp. Cuadratura) directa, como se muestra en la Fig. 3.2. Como era de esperar, en la ópera del estado estacionario, las corrientes directas en d y q bobinados corresponden a las corrientes equilibradas trifásicas en a, b, c circuitos tanto producir un campo magnético giratorio con la velocidad sincrónica. La o bobinado no se acopla magnéticamente con los otros dos circuitos y desempeña un papel bajo únicas condiciones desequilibradas. No será considerado en el Seque! donde nos limitaremos a las condiciones equilibradas.

La principal ventaja de la transformación del parque es que todos los arrollamientos en la Fig. 3,2 se fijan con respecto a la otra, lo que conduce a la libre constante y las inductancias mutuas. Esto da lugar a ecuaciones considerablemente más simples en


términos de d, q, o las variables que en términos de cantidades de fase. Las ecuaciones del parque, en relación con los voltajes del estator, toman la forma:

Donde:

es la d (resp. q) tensión de bobinado

es la d (resp. q) corriente del devanado

es la relación de flujo en el d (resp. q, o) de bobinado

es la velocidad angular eléctrica

es la resistencia del inducido.

El y términos i (3.1a,b) resultan del campo giratorio, por lo que se denominan

tensiones de velocidad. El y se conocen como los voltajes de transformadores.

Los circuitos del rotor, que dejan sin cambios por la transformación Park, son descritos por las relaciones básicas:

donde es la resistencia del circuito de campo, su vinculación flujo, y lo mismo para los otros circuitos.

Máquinas síncronas están sujetos a los siguientes transitorios:

Transitorios del estator: asociado con las tensiones del transformador. Poco después de que se impone un cambio en el sistema, los voltajes de transformadores se desvanecen y los voltajes de velocidad dominar en la respuesta del sistema. Por ejemplo, después de un corto circuito, los voltajes de transformadores son responsables de componentes de corriente continua de las corrientes de fase del estator, que mueren en una fracción de un segundo, un período relativamente corto en comparación con el intervalo de tiempo típico de interés en estudios de estabilidad. Por lo tanto una simplificación habitual consiste en dejar de lado las tensiones del transformador en las ecuaciones del estator (3.la, b).

Rotor transitorios eléctricos: asociados con el , , etc. términos de rotor bobinado ecuaciones. Hay dos tipos de dinámicas se pueden distinguir:

- La dinámica subtransitorias: asociados con devanados amortiguadores y


las corrientes de Foucault- La dinámica transitorios: asociados con devanado de campo

Transitorios mecánicas asociadas con el movimiento del eje.

Referencia [SP97] proporciona un análisis detallado de la reducción del modelo de generador. Con las tensiones del transformador descuidado, de la identificación y el coeficiente intelectual adquieren la forma de corrientes continuas que varían con el tiempo de acuerdo a subtransitorias y hora transitoria constantes. De ello se

desprende que las corrientes de inducido son sinusoidal con una frecuencia y una magnitud variable en el tiempo. En la mayoría de los casos de interés para los

estudios de estabilidad, no se aparta mucho de la frecuencia angular nominal . Esto justifica el supuesto de frecuencia cuasi-sinusoidal, o nominal, en el que la

dinámica del sistema es visto como un régimen sinusoidal a la frecuencia , con diferentes magnitudes de tiempo y ángulos de fase de voltajes y corrientes. Es evidente que esta simplificación es válida siempre y cuando estas variaciones de tiempo se lenta en comparación con la frecuencia nominal de la (50 o 60 Hz) "transportista".

Del mismo modo, los transitorios de red rápidas, que tienen lugar en la misma escala de tiempo que los transitorios de la máquina del estator, pueden despreciarse en la mayoría de los estudios de estabilidad. Esto, junto con el supuesto de cuasi-sinusoidal, permite representar la red con impedancias constantes, a la frecuencia nominal, en lugar de recurrir a las ecuaciones diferenciales.

3.1.3 Dinámicas de movimiento

Para fines de análisis de estabilidad es más conveniente hacer referencia la posición del rotor a una referencia de forma sincrónica en rotación. Se define el ángulo del rotor (en rad) como el ángulo eléctrico entre el eje de la máquina de cuadratura y una referencia síncrono:

donde C es una constante arbitraria. Cuando se expresa en términos de y por unidad sobre la base de la máquina, la ecuación de movimiento del generador de turbina de masas en rotación toma la forma:

Donde:

es la constante de inercia (en s)

es el par mecánica producida por la turbina (en por unidad)

es el par electromagnético del generador (en por unidad)La ecuación anterior se refiere a menudo como la ecuación de oscilación de la máquina.


3.1.4. Modelado simplificado con una sola excitaciónLos métodos de modelización utilizados en estudios de estabilidad por lo general se basan en los siguientes dos supuestos:

Las tensiones del transformador se desprecian, como se indicó anteriormente

Las desviaciones habituales de velocidad son pequeñas en comparación con W0. Por lo tanto la velocidad del rotor r se toma igual a la frecuencia angular nominal W0. (Nota, sin embargo, estas variaciones son suficientes para producir desviaciones significativas del ángulo del rotor.)

Recordamos que el modelo simplificado, será utilizado convenientemente para las discusiones posteriores en este libro. Este modelo, básicamente, deja de lado todo rotor bobinado, excepto el circuito de campo. Como era de esperar el principal inconveniente de esta simplificación es una subestimación de la oscilación de amortiguación del rotor real. Sin embargo, este efecto de amortiguación no está relacionada principalmente con la estabilidad de voltaje y hasta cierto punto, puede ser compensado mediante la introducción de un término D de amortiguación en la ecuación de movimiento (3.4). Los siguientes supuestos son:

La resistencia del inducido, que es muy pequeña, se desprecia por simplicidad

Saturación magnética se desprecia; esto será considerado en más detalle en la sección 3.1.8.

Suponiendo una velocidad constante, igual a la nominal, y despreciando la resistencia del inducido, el par electromagnético por unidad es igual a la potencia activa P producido por la máquina, mientras que el par mecánico por unidad es igual a la potencia mecánica Pm. La ecuación (3.4) por lo tanto se puede reescribir como:

2Hw 0

δ+ Dw0δ=Pm−P (3.5)

Donde D es el coeficiente de amortiguación en por unidad.

Por otra parte, bajo los supuestos anteriores, las ecuaciones del estator (3.l, a, b) ascienden a:

vd=−w0q(3.6 , a)

vq=−w0d (3.6 , b)


Mientras que para los tres devanados restantes, los vínculos de flujo se relacionan con corrientes a través de:

d=−Ldid+Ladifd(3.7 , a)

q=−Lqiq (3.7 , b)

fd=−Ladid+Lfdifd (3.7 , c)

Donde Ld (resp. Lq) es el d (resp. q) sinuoso autoinductancia

Lfd es la autoinductancia del devanado de campo

Lad es la inductancia mutua entre el campo y los devanados d.

Introduciendo en (3.7, a, b) en (3.6,a, b) se obtiene:

vd=Xqiq (3.8 , a)

vq=−Xdid+Eq(3.8 , b)

Donde Xd = w0Ld y Xq =w0Lq son las reactancias síncronas directas y del eje en cuadratura, respectivamente, y:

Eq=w0 Ladifd(3.9 ,b)

En condición sin carga, id = iq = 0 y Vq = Eq. De ahí Eq es la fem en vacío o tensión a circuito abierto.

Cuando los cambios repentinos tienen lugar en el sistema, Id, Iq, d y q va a cambiar de forma instantánea debido a las tensiones del transformador desatendidas. Por otro lado, debido a (3.2a) el campo de flujo Varillaje de fd no puede cambiar instantáneamente. La ecuación (3.7c) con fd constante y id cambiando abruptamente resulta en un cambio repentino de la corriente de campo si ifd. En la máquina real un componente de corriente de campo se induce que garantiza la continuidad del flujo. Debido a que es proporcional a ifd, la fem ecuación también cambia rápidamente en el modelo exacto y abruptamente cuando se desprecian las tensiones del transformador. por lo tanto, es más apropiado para derivar las ecuaciones de la máquina en términos de un proporcional fem de campo de acoplamiento inductivo.

Para este fin se introduce la fem:

E´ q=w0LadLfd

fd (3.10)

Además el eje directo de reactancia transitoria:

X ´ d=w0 L´d=w0(Ld−L

2adLfd

)

Usando (3.7c) para expresar Ifd en términos de fd y id, sustituyendo en (3.7a) y (3.6b) sucesivamente, obtenemos:


vd=−X ´ did+E ´q (3.11)

E´ q Se llama la fem detrás de reactancia transitoria. Tenga en cuenta que (3.8a) es sin cambios ya que no hay devanado del rotor a lo largo del eje de cuadratura en este modelo simplificado. La relación entre la ecuación y E´ q y Eq se obtiene fácilmente a partir de (3.8b) y (3.11):

Eq=(Xd−X ´ d ) id+E´ q(3.12)

La dinámica de E´ q se obtiene como sigue:

E´ q=w0LadLfd

fd=w0LadLfd

(vfd−Rfdifd )= Ef−EqTdo

(3.13)

Donde

Ef=w0LadRfd

vfd(3.14)

Es una fem proporcional a la tensión de campo y:

Tdo=LfdRfd

El circuito abierto de tiempo transitorio constante, es decir, la constante de tiempo del rotor bobinado cuando los bobinados del estator están abiertos. Introduciendo (3.12) en (3.13) se obtiene la ecuación diferencial equivalente:

Eq´=

−E´ q+Ef−(Xd−X ´ d )idTdo

(3.15)

Las ecuaciones (3.13) o (3.15) se refieren a menudo como las ecuaciones de flujo campo de desintegración ya que expresan cómo el enlace de flujo en el devanado de campo (representado por E´ q) varía bajo la influencia tanto del excitador (Ef) y la reacción del inducido (id).

3.1.5 Representación fasorialLas ecuaciones (3.8, a, b) se pueden interpretar como la proyección en la máquina d y q ejes de la compleja ecuación.

Eq=V+JXd I d+JXd I q (3.16)

Correspondiente al diagrama de fasorial se muestra en la Fig. 3.3. V (resp. I ) es el fasor correspondiente a la tensión del inducido (resp. Corriente).Id y Iq son las proyecciones de I en los eje d y q respectivamente, (véase la figura 3.3.):

I=I d+ I q=(id+ jiq)e j(δ−π /2) (3.17)


Figura 3.3 Diagrama fasorial de la máquina síncrona

Donde es el ángulo del rotor previamente definido. El fasor Eq se dirige a lo largo del eje q y es también el ángulo de fase de esta fem.

Del mismo modo, (3.8a) y (3.11) se puede escribir en forma compleja como:

E´ q=V + jX ´ d I d+JXq I q

Como se muestra en la misma figura.

Después de una perturbación, tanto la ecuación Eq y E´ q permanecen a lo largo del eje q (en ausencia de devanado del rotor a lo largo del eje en cuadratura). Sin embargo, por las razones ya mencionadas, la ecuación cambia bruscamente mientras que E´ q cambia continuamente y sin problemas.

3.1.6 Marco de referencia de síncronoLas ecuaciones son de uso sencillo, para tensiones y corrientes del estator, de una referencia vinculada al rotor de la máquina: Los ejes (d, q). Sin embargo, para modelado del sistema de multimáquinas, es necesario hacer referencia todos los voltajes y corrientes del estator a una sola, de referencia común.


Figura 3.4 de máquinas y sistemas de referencias

En este último caso se consideran dos ejes ortogonales, X e Y, y que giran a la velocidad síncrona, como en la Fig. 3.4. El eje x coincide con la línea de trazos de la figura. 3,3, mientras que el eje y es de 90 grados por delante.

En el eje (x, y) cualquier fasor puede ser escrito como un número complejo con partes real e imaginaria correspondientes a sus componentes X e Y respectivamente. Por ejemplo la corriente del estator I se escribe como:

I=ix+ jiy

La ecuación (3.17) muestra que la expresión anterior para I difiere del cuadro (d, q) por un ángulo -π /2. Esto puede ser expresado en notación matricial como:

[ ixiy ]=[ senδ cosδ−cosδ sinδ ] [idiq ](3.18)

T()

Donde T es una matriz de rotación. Una relación similar se aplica a las proyecciones Vx, Vy, Vd y Vq de la tensión V .

Las ecuaciones del estator se expresan en el eje (x, y) de referencia de la siguiente manera. Poniendo ecuaciones (3.8a, 3.11) en forma matricial como:


[vdvq ]=[ 0 XqX ´ d 0 ][ idiq ]+[ 0E´ q]

y el uso de la matriz se ha definido anteriormente T, se obtiene

Alternativamente, la llama puede expresar corrientes como funciones de tensión y fuerza automotriz de la siguiente manera

Obtener las expresiones individuales de y a partir de (3.19) o y a partir de (3.20) es sólo una cuestión de cálculo.

3.1.7 Las relaciones de poder

La potencia por unidad compleja producida por la máquina viene dada por:

y el uso de (3.17):

Usando (3.8a, b) y en la Fig. 3,3, la potencia activa y reactiva toma en la forma siguiente:

donde a menudo se llama el ángulo interna o de la carga y es por cierto el ángulo de rotor con el voltaje del terminal como referencia (véase la figura 3.3) Las expresiones anteriores son más apropiado para estudiar la operación en estado estacionario ya que implican la ecuación. Tenga en cuenta que para una

Máquina de rotor redondo y el último término de (3.2la) se desvanece, mientras

que el último término en (3.21b) asciende a .

3.1.8 Modelización de saturación.


En presencia de la saturación, las diversas inductancias varían con el punto de funcionamiento de la máquina. Usando sobrescrito • para denotar valores saturados, las ecuaciones derivadas previamente

Las inductancias saturadas L'D y L se pueden descomponer en:

Donde es la inductancia de fuga, que suponemos idéntico en ambos ejes e independiente de la saturación, por el camino del flujo de fuga es principalmente en el aire. Ahora describimos cómo los diversos valores saturados se pueden determinar como una función del punto de funcionamiento.

Consideremos primero una máquina funcionando en vacío. La figura 3.5 muestra la saturación de circuito abierto característica que relaciona el circuito abierto de fuerza

automotriz para el campo actual ¡d. Si la máquina se insaturado, la característica sería la línea de puntos correspondiente a (3,9) y llamó a la línea de espacio de aire. Tomando

en cuenta la saturación de la fuerza automotriz está dada por (3.22c) y sigue la curva continua muestra. Definimos la saturación a factor

También se muestra en la Fig geométricamente. 3.5. Tenga en cuenta que en condiciones

sin carga es el flujo vinculación entrehierro, denotado y por lo tanto

Usando la característica de circuito abierto, J {se puede expresar en términos de . Varias expresiones analíticas se han propuesto para este propósito. Cuando se requiera de manera explícita, seguiremos [SH79] y uso:

Donde m y n son números reales positivos, con m = O correspondiente a no saturaciónConsideremos ahora una máquina cargada. En el caso general tenemos que considerar diferentes efectos de saturación en los dos ejes:


Figura 3.5 características de un circuito saturado

Donde es la reactancia de fuga. Para una máquina de polos salientes la saturación en el eje q es generalmente insignificante debido a la separación de aire más grande, y Kq puede ser tomado igual a 1. Para una máquina de rotor redondo, Kd y Kq son también diferentes en principio, aunque más cerca entre sí. Sin embargo, en la mayoría practica casos, una característica de saturación de eje que no está disponible y Kd se toma igual a Kq. Adoptamos esta simplificación en la secuela. Por otra parte los siguientes supuestos habituales se hacen (se refieren a, por ejemplo [Kun94] y las referencias citadas para una discusión completa):


Flujos de fuga no contribuyen a la saturación de hierro y por lo tanto la saturación se

determina por el flujo en el entrehierro La característica de saturación en circuito abierto (Fig. 3.5) se puede utilizar en

condiciones de carga de relacionar o Cualquier acoplamiento entre d y q devanados debido a la saturación se ignora.

La vinculación flujo en el entrehierro se determina como:

Donde anuncio está el espacio de aire eje d flujo dada por:

y es el eje q el espacio de aire de flujo dada por:

De (3.22b), (3.22c) y (3.28) se deriva fácilmente:

y de manera similar a partir de (3.22a) y (3.29):

La introducción de estos dos últimos resultados en (3.27):

Donde Ve es la magnitud de la tensión:

A menudo referido como la tensión detrás de readaptación de fuga. El diagrama correspondiente se muestra en la Fig. 3.6.

Para resumir, dado un voltaje V y l corriente en el terminal de la máquina, la saturación se contabiliza mediante el cálculo Ve a partir de (3.30), el factor de saturación a partir de (3.25):


y las reactancias saturadas de (3.26a, b) con

3.1.9 relaciones en estado de equilibrio entre ellos la saturación

En la Sección 3.1.7 hemos derivado las expresiones de la potencia activa y reactiva producida por la máquina síncrona como una función de la tensión del terminal y dos

interna! variables, a saber, y . Extendemos adelante este resultado a una

máquina saturado, utilizando como tercera interna variable.

Figura 3.6 diagrama de fasores y

Adaptación (3.2la, b) para dar cuenta de la saturación, se obtiene:

Sustitución de las reactancias saturadas por sus expresiones (3.26a, b) y teniendo en

cuenta el caso rendimientos:


Sustitución su vez J {por su definición (3.24), obtenemos:

En este punto introducimos las corrientes activa y reactiva:

Haciendo referencia a la Fig. 3.6, la tensión detrás de reactancia de fuga se puede expresar como:

La introducción de este resultado en (3.24) y (3.31) se obtiene la relación de forma

cerrada entre y

3.1.10 por un sistema de unidades

Ecuaciones máquina Hasta ahora hemos asumido para estar en por unidad. En esta sección se comentan brevemente en la elección de las cantidades de base

Por unidad El sistema utilizado para el estator se basa en la calificación (trifásico) y el voltaje de alimentación de la máquina. Como es bien conocido, se requiere una


conversión a una fuente de base común para los cálculos de red que implican varias máquinas.

En el modelado detallado Park, la reciproca! por sistema de unidades se utiliza para hacer frente a cantidades de rotor. Este es el único sistema que nos permite escribir en por unidad, la inductancia total como la suma y derrame inductancias mutuas, como en (3.7a, c). El sistema de reciprocidad, sin embargo no es práctico cuando se trata del sistema de excitación. De hecho, desde la misma potencia de base (en MVA) debe ser utilizado tanto para el estator y el circuito de campo, la tensión de campo base es muy grande y los voltajes de campo habituales llegar a ser muy pequeña en por unidad

Cuando El modelado de Sistemas de excitación (Véase la siguiente sección), es Común

Elegir Como tensión de base (respuesta. De base de corriente) de la tensión (respuesta Actual) Que producir Una tensión del estator 1 por UNIDAD ES Condiciones CARGA pecado.

Figura 3.7: Definición de corriente de campo de base

Con el fin de hacer compatibles los modelos de excitación y de la máquina, es necesario

realizar una conversión de base entre los dos sistemas por unidad. Sin embargo, siempre

y cuando se utiliza una máquina de modelado que implica cantidades estator solamente,

como en (3.8a, b), (3.11) y (3.13), por ejemplo, por unidad de cantidad de rotor no

aparecen en las ecuaciones y los anteriores por la conversión de unidades no es

necesario llevar a cabo de forma explícita.

Dos opciones posibles para la corriente de base se muestran en la Fig. 3.7. es la

corriente de campo que produce una tensión de estator 1 por unidad en la línea de


espacio de aire, mientras que produce la misma tensión en la máquina real, es decir,

teniendo en cuenta la saturación. Las dos bases están vinculados a través:

Donde K (1) es el factor de saturación para . Usando la ley de saturación (3.31)

Tenga en cuenta que otra por sistemas de unidades en uso se refiere a la corriente de

campo requerido para operar la máquina bajo tensión y potencias nominales. Todo esto

es sólo una cuestión de escala, pero la base subyacente debe determinarse antes de usar

los datos por unidad.

En este libro, donde requiere, usaremos (ver Fig. 3.7) como la corriente de base del

devanado de campo. Esta elección simplifica algunos resultados obtenidos previamente,

como se muestra a continuación.

Nota primero que, dado que es el voltaje de campo que produce la corriente de

campo base de en condiciones de estado estacionario, tenemos donde

, implica que

pu

Consideremos ahora la ecuación (3.9)

Desde pu donde , tenemos:

pu

y (3.9) se convierte simplemente:

Eq=ifd (3.34)

Considere finalmente la ecuación (3.14)


Con las simplificaciones mostradas anteriormente, esta expresión se convierte simplemente en:

(3.35)

3.2 CONTROLADORES DE FRECUENCIA Y VOLTAGE

3.2.1 Descripción general de mando de frecuencia

En los sistemas de gran potencia, control de frecuencia se ejerce a dos niveles:

A nivel local, a través de los gobernadores en las centrales eléctricas. Esto

también se conoce como control de frecuencia primaria.

Figura 3.8: Representación Bloque-diagrama del papel del gobernador

A nivel central, por medio de un control de carga-frecuencia. Hoy en día este toma

la forma de un software que se ejecuta en un centro de control. Este nivel de

control también se denomina control de frecuencia secundaria

El papel de un gobernador es: (i) para mantener la velocidad del generador cerca de su

valle nominal; (ii) para garantizar una participación rápida y automática del generador a

cualquier cambio en la generación requerida para mantener la valencia potencia activa del

sistema, y (iii) proporcionar un medio para modificar la producción de energía activa de la

unidad, a través de velocidad- ajustes del cambiador.


El gobernador ajusta el vapor o el agua de entrada a la turbina. Para este propósito se

detecta la diferencia entre el real ( ) y nominal ( ) frecuencia angular y ajusta en

consecuencia la válvula o compuerta de la turbina, como esbozado en la Fig. 3.8. En esta

figura, es la consigna de potencia del generador.

Gobernadores son controladores proporcionales, con las características de estado

estacionario ideales mostrados en la figura 3.9. La pendiente de esta última se caracteriza

por la caída de semilla de R, es decir, la relación de velocidad por unidades de desviación

para la desviación de potencia por unidad (en la turbina MW calificación ):

Los valores típicos de R para las unidades de control del regulador son menores de 0,04

(por ejemplo, en Europa) o 0,05 (por ejemplo, en América del Norte). La figura 3.9 ilustra

también el principio de reparto de carga por dos unidades que operan en paralelo.

Figura 3.9: Generador de reparto de carga a través de un gobernador de control

Cuando, después de una perturbación (tal como un cambio en la carga o la pérdida de un

generador), todos los gobernadores han actuado el sistema ha alcanzado un estado

estacionario, todos velocidades del rotor son iguales a 0 W la frecuencia angular del

sistema. Como se ilustra en la figura, desviación de frecuencia es la señal de adiós

utilizado común las distintas unidades para ajustar sus participantes.

Así, la característica de caída del gobernador toma la forma:


Donde P es el punto de ajuste de potencia, lo que corresponde a la potencia activa

producida bajo la frecuencia nominal. En esta expresión y son rad / s, mientras

que P y están en MW. Opinión todos los poderes a un S base del sistema común (en

MVA), la relación anterior se convierte en:

(3.36)

Donde T es un factor de participación. En la práctica, los límites de la turbina deben ser

también tenidas en cuenta:

(3.37)

En el nivel secundario, los objetivos de control de carga de frecuencia son: (i) para

corregir la desviación de frecuencia a la izquierda después de control primario, y (ii) para

mantener al valor programado la potencia neta intercambio con empresas vecinas o

áreas. Para este propósito los errores de alimentación, frecuencia y un lazo de línea se

combinan en una sola señal, llamado error de control de área, que es utilizado por un

controlador integral de ajustar los puntos de ajuste de potencia de un cierto número de

unidades de generación.

Una presentación detallada de los controladores anteriores, en particular, su dinámica, a lo mejor encuentra en muchos libros de texto (por ejemplo, [Ber86, Kun94]). Citemos aquí algunos aspectos de control de frecuencia que pueden interactuar con los fenómenos de tensión:

A raíz de un incidente un ejemplo de línea o generador de corte de luz, tensiones de red por lo general caen, haciendo que los poderes de carga sensibles de voltaje para reducir correspondientemente. Los generadores reaccionan debido a los efectos de gobernador.

En el caso de un corte de generador, la ubicación de los generadores que compensan el poder perdido muchos juegan un papel importante. Un ejemplo típico es cuando una transferencia de gran potencia tiene lugar entre un emisor y un área de recepción y las unidades participantes para control de frecuencia (primaria o secundaria) se encuentran en su mayoría en la zona de envío. En tal caso, una pérdida de generación en el área de recepción se producirá un flujo de potencia adicional sobre las líneas que conectan las dos áreas, que pueden traer el sistema más cerca de su límite de capacidad de carga. La reacción de los


generadores -Área envío tiene el mismo efecto que un aumento de dama en el área de recepción.

Por el contrario, después de una pérdida de la línea divisoria entre las dos zonas, derramamiento generación en el área de envío de mis resultar útil siempre que haya suficientes unidades participantes al control de frecuencia (y suficiente reserva rodante) en el área de recepción. El poder que faltan debido a derramamiento generación es luego absorbida por los generadores de recepción del área de modo que la transferencia de poder sobre las líneas restantes se reduce de forma permanente.

3.2.2 Regulador automático de voltaje: Una descripción esquemática de un típico regulador automático de voltaje (AVR), y el sistema de control de excitación, se muestra en la Fig.3.10, donde se utilizan líneas de puntos para los bloques que no están necesariamente presentes, y numerada líneas discontinuas muestran configuraciones alternativas.

La tensión en los bornes del generador V se mide a través de un transformador de potencial (PT), entonces rectificada y filtrada a fin de producir una señal proporcional al valor DC RMS de esta tensión AC.

Opcionalmente, la señal de CC construido puede ser proporcional a:

(3.38)


Figura 3.10 representación de diagrama de bloques de un regulador automático de voltaje

Donde se encuentra una resistencia de compensación (resp. reactancia) y es la corriente que fluye fuera del generador y medido a través de un transformador de corriente (CT)

Utilizando el signo menos en la expresión anterior, se obtiene una señal proporcional a la tensión en algún punto más allá de la terminal de generador y el sistema de excitación regula el voltaje en este punto más cercano a la transmisión y están configurados para 90% de la Step-Up impedancia del transformador (por razones que se explican en el siguiente párrafo, una compensación del 100% no es posible cuando varios generadores están conectados a través de sus propios transformadores al mismo bus HV). Esta técnica generalmente se llama carga o caída de línea o compensación transformador elevador mejora la estabilidad de la tensión, dentro de los límites de la capacidad de potencia reactiva de la máquina. Debido a pérdidas en el cobre del transformador son comparativamente pequeños, se puede ajustar a cero. Con esta simplificación y el uso de los componentes de la corriente activa y reactiva se muestran en la figura 3.6, (3,38) se convierte en:

V C=|V− j XC I|=√(V−XC IQ )2+( XC I P )2 (3.39)

El signo más (3.38) se utiliza para regular el voltaje en un (ficticio) punto "dentro" del generador. Una compensación de ese tipo asegura un uso compartido adecuado de la potencia reactiva producida por varios generadores conectados al mismo bus, estando cada uno equipado con un regulador de tensión. Si todos ellos se les permitió controlar el mismo voltaje,pequeñas diferencias inevitables en generador o regulador parámetros podrían dar lugar a gran desequilibrio entre las producciones de potencia reactiva individuales. Esta configuración es típica de plantas hidroeléctricas, donde varias pequeñas unidades comparten el mismo bus y transformador elevador. Claramente, el reparto equitativo de la energía reactiva se obtiene a expensas de la regulación de tensión de la red deteriorada.

No vamos a considerar una compensación en el resto de este libro en aras de la

simplicidad, pero puede ser fácilmente explicada por la sustitución de una expresión como

(3.39) para la V en las ecuaciones del regulador en caso necesario.

Como se muestra en Fig.3.10, la señal se compara con la de referencia y la diferencia es

procesada por el regulador, cuya función es básicamente para aumentar la tensión del

generador de excitación en respuesta a una disminución o un aumento en y por el

contrario .El regulador amplifica el error señal(v0−vc) y lo lleva a la forma adecuada para

el control del excitador (disparo de los tiristores, etc.) .El regulador está generalmente

provisto de circuitos de compensación destinadas a satisfacer las especificaciones de

rendimiento y precisión dinámica, en particular, de contrarresto demasiado grande una


constante de tiempo del excitador. Esta compensación utiliza el incurrido campo del

generador o de la corriente de campo excitador ifd.

El excitador es un dispositivo auxiliar que produce la potencia requerida por la excitación

del generador en forma de tensión de CC e incurridos que se puede variar rápidamente.

Excitador se pueden clasificar en dos grandes categorías.

Las máquinas rotativas dibujo la potencia de excitación de potencia mecánica, lo

más a menudo a través del eje de la turbina-generador.

Máquinas de corriente continua se utilizaron primero para este propósito y

son todavía en funcionamiento en algunas plantas de energía;

Máquinas de corriente alterna con rectificadores han preferido desde los

años 60 's.

Estas máquinas pueden ser auto excitado o pueden utilizar una máquina rotativa

auxiliar para su propia excitación .El último se llama excitador piloto .Se puede

tomar la forma de un generador de corriente alterna de imán permanente seguido

de un rectificador controlado.

También actúa en el punto del regulador de suma, el estabilizador sistema de potencia

(PSS) es un circuito de compensación destinado a proporcionar el par de amortiguación

adicional a través de control de excitación. En condiciones de funcionamiento de estado

estacionario del PSS tiene una salida de cero,dejando la tensión en bornes de la máquina

afectada .Figura 3.10 se muestra diversas señales que se pueden usar en un PSS.

Por último, el sistema de control de excitación está provisto de varios circuitos limitadores:

El limitador de sobrexcitación impide una reducción excesiva en la excitación de la

máquina (que corresponde a la absorción de potencia reactiva) que conduciría a la

pérdida de estabilidad de pequeña perturbación (con la máquina de tracción fuera

de sincronismo) o calentamiento inaceptable de la región extrema del estator

[ITF96c]

El limitador de voltios-por-Hertz protege el generador y su transformador elevador

de flujo magnético excesivo que resultaría de cualquiera de alto voltaje o

condiciones de baja frecuencia después de eventos severos [ITF96b]

El limitador de sobreexcitación protege el devanado de campo de un

sobrecalentamiento debido a un exceso de corriente [ITF96b]


El limitador de corriente de inducido de manera similar impide que la corriente

excesiva en el devanado de inducido.

Entre estos, el limitador de sobreexcitación y hasta cierto punto el limitador de corriente de

armadura recibirá especial atención en este libro, por ser principalmente relacionados a la

tensión fenómenos de inestabilidad.

Dependiendo del fabricante y la fecha de construcción, se encuentran muchos tipos de

sistemas de control de excitación en todo el mundo. No es el propósito de este libro para

detallar su modelado en los demás que los aspectos citados anteriormente. El lector

interesado puede consultar, por ejemplo, [IWG81, ITF96a, ITF96c, ITF96b] y las

referencias citadas para una muestra de modelos representativos adecuados para la

simulación de tiempo.

3.2.3 Control de tensión secundaria

La función principal de RAV es para responder rápidamente a las perturbaciones de

tensión que ocurre en el sistema de control .Este es local por naturaleza, ya que se trata

de autobuses generador solamente Mareo ver, la potencia reactiva requerida será

producida por los generadores de electricidad cerca de la perturbación, las consecuencias

de esto son que: (i) la tensión en los autobuses no generador en el sistema puede

volverse inaceptable, y (ii) las reservas de reactivos puede ser distribuido de forma

desigual sobre los generadores después de la perturbación. Esta situación debe

corregirse mediante el ajuste del AVR puntos de ajuste de voltaje V O de los generadores.

En muchos países, estos ajustes se realizan de forma manual desde un centro de control.

Para hacerlos automático, se podría pensar en enviar a consignas de tensión

generadores calculadas por un flujo de potencia óptima incorporación de la tensión del

bus y las restricciones de reserva reactivos. Sin embargo, el rendimiento de un sistema de

control en lazo abierto como se vería afectada por los errores en el modelo de

alimentación del sistema, la falta de disponibilidad o inexactitud de resultado estimador de

estado, por no mencionar el aspecto computacional carga. En lugar de ello, la solución

implementada en Francia [PLT87, PCJ90] e Italia [ACN90] desde principios de los 80 (y

programada para su aplicación en algunos otros países) es un control cerrada dedicada,

conocido como el control voltaje secundario.

El primero, que se utiliza actualmente, la generación de control de la tensión secundaria,

se basa en una división de la red en zonas. Una zona es un conjunto de autobuses cuyos


voltajes variar en un tiempo relativamente coherente manera y son relativamente poco

afectada por los controles en otra zona. En cada zona, se selecciona un punto piloto como

un bus representativas y cada generador participante se le asigna al control de un punto

de piloto particular. Los objetivos de control de la tensión secundaria son: (i) para

mantener la tensión del punto piloto en un valor nominal especificado, y (ii) para hacer que

la capacidad de potencia reactiva.

Para este propósito, se añaden dos niveles de control para el control primario por AVRs:

A nivel de la zona: La diferencia entre la medida y los valores de consigna de la tensión del punto piloto se celebró un Proporcional Integral (PI) del controlador para obtener una señal N, que se envía a cada generador de la zona;

En el nivel del generador: un bucle de control de potencia reactiva se ajusta la referencia de tensión AVR (por pequeños pasos) de manera que el generador de la producción de potencia reactiva Q sigue a la consigna, N QMAXdonde se refiere a la capacidad reactivaQMAX de la máquina

El tiempo de respuesta de los diversos controles están típicamente en el Orden de 3

Minutos para el controlador PI zona, 20 's para un bucle de control de potencia reactiva, y

1 s para RAV, evitando de este modo las interacciones entre los niveles de control.

Con el desarrollo del sistema de transmisión, hay una interacción creciente entre zonas de control. Esto, junto con algunos inconvenientes del esquema anterior, ha conducido al desarrollo del control de la tensión secundaria coordinada, actualmente en prueba [PCJ90, VPL96] .El último se basa en una partición de red en regiones, que son mucho más grandes que las zonas e incluyen varios puntos piloto. El nuevo controlador todavía trabaja en lazo cerrado, sino que actúa directamente en los puntos de ajuste de voltaje AVR, teniendo en cuenta las interacciones entre los generadores dentro de una región. Los puntos de ajuste de voltaje AVR, emitidos cada 10 s, se obtienen como la solución de un problema de optimización, la cantada de tensión desviaciones puntuales piloto cuadrados y generador (normalizada) producciones reactivos, sujetas a diversas restricciones de desigualdad. Para este propósito, matrices de sensibilidad de tensiones puntuales piloto y el generador de potencias reactivas al generador de tensiones se calculan en tiempo real.

Puntos de ajuste de voltaje punto Piloto se pueden ajustar por los operadores. En el futuro se planea tenerlos determinado por un nivel terciario, que consiste en una optimización económica de todo el sistema, lleva a cabo cada 15 minutos.

Tenga en cuenta que el control voltaje secundario también se encarga de la conmutación de la compensación en derivación, con el objetivo de mantener las reservas de reactivos en los generadores para hacer frente a los incidentes.

Control voltaje Secundaria interactúa con los siguientes aspectos de la estabilidad de la tensión [VPL96, VJM94, BBM96]:


En términos generales, el aumento de las tensiones del generador produce una potencia máxima entregable más grande. En referencia a la simple sistema de dos autobuses del capítulo 2, el efecto de la tensión secundaria es algo similar a la demostración en Fig.2.14, donde las diversas curvas PV ahora corresponderían a los valores sucesivos de la tensión de generador. De manera equivalente, también se puede considerar que después de la acción de control voltaje secundario la tensión es constante en el punto en lugar de autobuses generador piloto, es decir, eléctricamente más cercano a cargar ;

Este control actúa en básicamente la misma escala time como la restauración de carga a largo plazo (por ejemplo, mediante conmutadores de carga: véase la sección 4.4). Como resultado, en caso de una gran perturbación, los dos competir uno contra el otro y las dinámicas resultantes tienen que tener en cuenta (en particular con respecto a las oscilaciones);

En respuesta a un aumento de carga superior a la capacidad del sistema, el control de tensión secundaria mantiene el perfil de tensión plana durante un intervalo de tiempo más largo, pero da como resultado una disminución definitiva más nítida, porque todos los generadores tienden a tener sus reservas de reactivos agotados al mismo tiempo;

Al ser más constante, el voltaje de la red tiende a ser un indicador pobre de una situación insegura

Figura3.11 Campo capacidad de sobrecarga de corriente; curva normalizada

3.3 DISPOSITIVOS LIMITADORES (AFECTAN ESTABILIDAD DEL VOLTAJE)

3.3.1 limitadores Sobreexcitación: Descripción


Sobreexcitación limitador máximo limitador de excitación y limitador de corriente fiel son

todos los nombres para el mismo dispositivo limitador que protege el devanado de campo

de una máquina sincrónica de sobrecalentamiento .En este libro adoptaremos la

sobreexcitación Limitador (OXL).

Para la estabilidad del ángulo primero mejora el columbio es necesario para permitir que

el campo máximo tras arrastrar grandes perturbaciones como cortocircuitos .En tal

circunstancia la tensión de campo puede aumentar rápidamente hasta su valor límite

máximo y la corriente de campo se le permite llegar a un pequeño tiempo un máximo

valor que es típicamente dos veces el corriente. Tal admisible permanente un valor alto no

puede ser tolerada por más de unos pocos segundos. Ahora bien ya que el calentamiento

del rotor (y por tanto el riesgo de daño máquinas) es proporcional a la integral de la

corriente de campo al cuadrado. Cuanto menor es la sobrecarga, el más largo es el

tiempo que puede tolerarse .Este propiedad está descrito por el estándar C5O.13-1977

ASIN reproducido en la fig. .3.1.1.

Está claro que el límite de corriente de campo está influenciada por la condiciones en

máquinas hidrogeno de refrigeración, por ejemplo, aumento de la presión del hidrogeno

máquina permite alcanzar corrientes del rotor significativamente mayor .La misma

observación se aplica si la corriente del inducido.

OXLs están diseñados para obedecer a la curva de la figura 3.11 con cierto margen de seguridad. Dispositivos más simples tienen un punto de recogida de corriente fija a un retardo de tiempo fija, tanto correspondiente a un punto por debajo de la característica. La mayoría OXLs moderna. Por otro lado .tener una característica de tiempo inverso que permite a los más pequeños para que más excitaciones duran más tiempo.

Al tomar ventaja de la capacidad de sobrecarga del generador, las características de tiempo inverso son beneficiosos en el sentido de que dejan un cierto tiempo para tomador otras acciones en caso de emergencias de tensión. Sin embargo mediante el apoyo a la tensión del generador más tiempo. También tienden a "ocultar" una situación peligrosa en el intervalo de tiempo después de la perturbación de iniciación.

En sistemas más antiguos la limitación de campo se realiza mediante conmutación de la máquina a Manuel .ie control a un voltaje de excitación constante Es importante definir correctamente el valor de esta tensión de manera que la máquina no está sobreprotegida sino más bien opera cerca de su capacidad térmica Otra técnica . Se utiliza con el devanado de campo del excitador de manera que la tensión producida por el máximo último es menos o igual que el valor admisible.

En los sistemas modernos OXL, básicamente dos técnicas se utilizan con el fin de transferir caminos de la fig 3.10


1. La primera de ellas consiste en porque pasa el bucle normal de regulación de voltaje. Para este fin, el excitador es impulsado por los mínimos entre las señales de OXL AVR normal y, como se indica por-pasado en este caso .La bucle OXL tiene que ser diseñado a fin de garantizar la estabilidad del sistema de excitación por debajo del límite (ITF96B).

2. En la segunda técnica. el OXL produce un señales que se añade a la suma de los principales cruces de la AVR con un signo menos cantar (ver fig 3,10) .Este señal es AQUAL a cero en condiciones normales de funcionamiento, mientras que obliga dinámicamente la corriente de campo a su límite cuando el OXL está activo, esto puede ser visto como un cambio en la tensión V0 referencia.

Cuando se utiliza la segunda técnica, el devanado de campo se basa en el AVR Por lo tanto un dispositivo OXL de respaldo que se necesita para proteger el generador en caso de operaciones AVR

Dependiendo de la técnica utilizada y la selecciona estableciendo el OXL puede o no puede, permitir cierto grado grande de regulación de voltaje y señales auxiliares actúan sobre el AVR, el término "ventas en pública subasta" o "toma de control" (ITF96B) se refiere a aquellos OXLs que no lo hacen permite ninguna señal a través del bucle de AVR .Como consecuencia bajo campo adquisición no permite ninguna señal de que el bucle de AVR. Como consecuencia bajo campo adquisición.

Modelo 3.12 Bloque - diagrama de un OXL poco con el control integral de la actual presentada

Limitación, el PSS se vuelve inactiva y la amortiguación de las oscilaciones del rotor

puede reducirse sustancialmente

3.3.2 limitadores de Sobreexcitación: modelado


Se encuentran muchos tipos de OXLs en la práctica .En esta sección damos dos modelos

OXL representación en forma de diagrama en bloque adecuado para programas de

simulación de tiempo.

Estos modelos describen dispositivos que hacen cumplir el límite de campo mediante la

inyección de una señal en la unión sumadora principal AVR (ruta 2 en la figura 3.10 ) .La

segunda .Sin embargo esquema , se puede adaptar a modelar OXLs que actúan a través

de un bloque mínimo (ruta i en el misma figura ) también.

En la secuela denotamos por que el valor de la corriente de campo que el OXL debe

cumplir. De acuerdo con nuestra descripción anterior que a través del control

integral .Block 1 es una ganancia obedecer a dos aguas:

X2=S1X 1 si X 1≥0

X2=S2 X1lo contrario

con S1, S2> 0 . La no- cuerda integrador limitado (ITF96A), bloque 2, se comporta de la

siguiente manera:

X t=0 Si (X t=k2 y X2≥0) o (X t=−k1 y X2< 0 )

X t= X2 lo contrario

Este integrador está inicialmente en su negativo más bajo, atado - .Asseme k1 que me

hace más grande de lo que en el momento t. A partir de ahí comienza x1 aumentando.

Tan pronto como se convierte en positivo, bloquear 3 interruptores como se indica en la

figura. Suponiendo, con fines de ilustración enemigo, una sobrecarga constante.

∆ I=iFD−IFDlim ¿¿

la conmutación tiene lugar en un tiempo t swtal que:

tNS−t 0=k1s1∆t

¿¿

lo que demuestra es sustituido la característica de tiempo inverso .Si bloquear 5 para el

bloque 5 se sustituye por el bloque 1 según lo sugerido por las líneas de puntos , la

conmutación se produce después de un retardo fijo

t SW-t 0=k 1


Independientemente de la sobrecarga de corriente de campo.

El integrador limitado de bloque 4 está inicialmente en su límite inferior cero. Justo

después de t, su salida x aumenta. Esta señal se resta de las entradas AVR (véase la

figura 3.10) lo que provoca que disminuya. El sistema se instala al equilibrio cuando la

entrada del integrador se desvanece i, e cuando I fdlim ¿=ifd ¿

En esta disposición modelo está hecho para el reajuste automático de la OXL si

acondicionamos el sistema mejoran los valores .Largo de S2 y k causa x para volver a

Cero rápidamente después deifd¿>IFD

lim ¿ ¿¿. Tenga en cuenta sin embargo que algunos OXL no

restablecen automáticamente, pero Requiere intervención manual. Bloque 3 entonces

debe ser modificado en consecuencia en un interruptor no reversible.

Tenga en cuenta que en el caso de una característica de tiempo inverso, un único

integrador se mostrado en (CTF93; Tay94)

Un ejemplo de simulación utilizando el modelo de la figura 3,12 se da en el Capítulo 8.

Para un sistema simple se detalla en el capítulo 6.

Otro modelo OXL es espectáculo en fig.3.13 correspondiente a un dispositivo rampas por

una referencia I REFlimitador que a partir de los valores de instantáneo I INSde la I FDlim ¿¿

limitar un fuerzas de la corriente de campo para seguir esta referencia al imponer al AVR

una señal proporcional a I REFlim ¿− I fd ¿ .

Figura3.13 Modelo de Bloc- diagrama de un OXL con control proporcional de la corriente de campo

BLOQUES 1, 2 y 3 realizan esencialmente la misma tarea que en la figura 3,12 El integrador limitado de bloque 4 está inicialmente en su límite superior I ins . Tan pronto como se produce la conmutación (debido a una z positiva) .La salida del integrador se disminuye a una tasa baja k p. Una vez que se convierte en señal de IFD . La señal x t


comienza a actuar en el AVR, debido a bloquear 6. El valor pequeño e puede ser utilizado para prevenir límite ciclismo si I sgpasa a ser un poco más pequeño queI fd

lim ¿ . K P¿ (bloque

5 ) es la ganancia usada para forzar I fdcerca de su límite .

En el esquema alternativo líneas de puntos que se muestran (libro 7 y 8), la deceleración se realiza ifd−I fd

lim ¿ ¿un proporcional EATE a la sobrecarga. Este es utilizado en algunos dispositivos para producir las características de tiempo OXL inversas, en cuyo caso no hay ningún retraso inicial (K1 ajusta a un valor pequeño). El limitador de entonces comienza la rampa abajo tan pronto como sobreexcitación se detecta. Un sistema de este tipo es en describe (kun94) (P, 982).

Ya tenemos la gran variedad de dispositivos OXL. Finalmente mencionar dos ejemplos de sistemas OXL que no encajan exactamente con los modelos generales anteriores.

Primero de utilidad generadores mayores están equipadas poco con OXLs-retardo fijo de que la fuerza la corriente de campo a I FD

lim ¿¿ a través del control integral como en la

figura 3.12 Sin embargo, el temporizador se inicia una vez ifd>I fdlim ¿¿, donde IMAX< IFD Y i

I FDlim ¿¿se escoge ligeramente por encima o por debajo de thr admisible permanente

corriente, dependiendo de la máquina. Campo -Corrientes en debajo de la corriente admisible permanente, depende en las corrientes de la máquina .Field entre yo y yo se pueden reducir mediante la acción operador de la planta en la referencia de tensión AVR.

Segundo más OXLs no toman ventaja de la capacidad de sobrecarga Terminal sino limitar la corriente de campo casi instantáneamente demasiado su valor admisible permanente, en caso de que se detecte un cortocircuito (a través de una fuerte disminución en voltaje autobús), el límite de campo se libera momentáneamente para permitir fiel forzando,3.3.3 Armadura limitadores de corriente.

Limitadores de corriente de inducido automáticas no son tan comunes como limitadores de corriente de campo. La principal razón es la inercia térmica más grande de las bobinas de la armadura que permite una sobrecarga para ser atendidos por el operario de la planta. En tales circunstancias, el operador de la planta reacciona a una alarma que indica la corriente de armadura excesiva mediante la reducción de la salida de potencia reactiva de la máquina, a través de una disminución de la referencia de tensión del AVR. En algunos casos, la producción de potencia activa del generador también se puede reducir.

En algunos países, sin embargo, los generadores están provistos de limitadores de corriente de armadura automáticas, que actúan sobre el sistema de excitación tal como se describe en la sección anterior. Alguna descripción puede encontrarse en [CTF93, JSK94, CTF95] y las referencias citadas.

3.4 TENSIÓN DE ENERGÍA REACTIVA CARACTERÍSTICAS DE GENERADORES SÍNCRONOS


En la sección 2.7 hemos introducido la curva VQ red y combinado con la característica correspondiente de cualquiera de los elementos de derivación o compensadores estáticos var. En la presente sección se procede con el generador síncrono, que derivan sus características de potencia tensión reactiva en diferentes condiciones de operación. A lo largo de toda la sección, asumimos la operación en estado estable y una potencia activa constante P.

3.4.1 Máquina bajo control AVR

En condiciones normales de funcionamiento, un AVR se caracteriza por una relación de estado estable:

v fd=gavr (V 0 ,V ) (3.40)

cuando la función gavr es monótona creciente con respecto a la referencia de voltaje V 0y la disminución con respecto a la tensión del estator V. AVRs reales están sujetos a las no linealidades debidas, por ejemplo, a la ley de control de tiristores utilizados para variar la tensión de excitación, o de la saturación magnética del excitador. Como ilustración, la Fig. 3.14 muestra cómo v fd depende de V por dos sistemas de excitación real. Las curvas se han obtenido por simulación, usando los modelos detallados AVR en estado estacionario. En el diagrama de la izquierda, gavr está muy cerca de una función lineal del tipo:

v fd=G(V 0−V ) (3.41)

donde G es la ganancia en bucle abierto del sistema AVR de estado estacionario. Un rango típico de valores para esta ganancia es 20 a 400 (pu / pu). En el diagrama a la derecha de la figura. 3.14 la curvatura es

Figura 3.14 Ejemplos de relaciones de estado estacionario entre V1 y V (sistemas de excitación sin escobillas)


más pronunciada y gavr se podría representar más adecuadamente por un polinomio de segundo orden.

Consideremos ahora el comportamiento del generador. En condiciones de estado estacionario v fd=R fd ifd y se ve fácilmente a partir de (3.9) y (3.14) que:

E f=Eq 3.42

como se confirma mediante el establecimiento de la derivada en el tiempo a cero en la ecuación de decaimiento campo de flujo (3,13) . El uso del sistema por unidad definida en el apartado 3.1.10 y poniendo todas las ecuaciones juntos (3.35), (3.40) y (3.42) se obtiene:

Eq=E f=v fd=gavr(V 0 ,V ) 3.43

y en el caso lineal :Eq=E f=v fd=G(V 0−V ) 3.44

Caso Simplificado: insaturada máquina de rotor redondo considerar primero el caso simple de una máquina de rotor redondo insaturado caracterizado por:

X d¿ Xq=X

La ecuación del estator en forma compleja (3.16) se convierte en:

Eq=V + jX I

Figura 3.15 diagrama fasorial simplificada correspondiente a X d¿Xq=X

y el diagrama fasorial de la figura . 3.3 se convierte en el simple que se muestra en la Fig. 3.15. Este último da fácilmente:


Eq2=(V +X IQ)

2+(X I P)2 3.45

Presentación de las características (3,41) rendimientos AVR lineales:

G2(V 0−V )2=(V +X QV )

2

+(X PV )2

3.46

a partir del cual se obtiene fácilmente :

Q=−V 2

X± 1X √[GV (V 0−V )]2−(XP)2 3.47

La solución con el signo - corresponde a una absorción de potencia reactiva más allá del límite de estabilidad permitido (para el P dado); por lo tanto, la relación VQ buscada se corresponde con el signo + en (3.47) .Caso general: el modelado detalladoConsideremos ahora el caso general con la prominencia y la saturación de tenerse en cuenta.

En la sección 3.1.9 hemos derivado las expresiones ( 3.32a , 3.32b ) de la máquina activa y potencias reactivas en términos de la tensión V y tres variables internas , a saber δ-θ,Eq y Eq

s . Una tercera ecuación es proporcionada por la ley de saturación (3.33) y un uno por la relación AVR (3,43) .Por lo tanto nos quedamos con cuatro ecuaciones con seis variables(es decir P,Q,V, δ-θ,Eq y Eq

s). Para un P especificado, estas ecuaciones pueden resolverse para obtener Q como una función de V. Sin embargo, no se pueden resolver analíticamente como en el caso anterior sencillo. Tienen que ser resuelto numéricamente como se hace en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.Un gran 50 - hz turbo- generador con una potencia aparente nominal de 1.200 MVA y una potencia nominal de la turbina de 1.020 MW cuenta con los parámetros que se muestran en la tabla 3.1 .

Tabla 3.1. Datos del ejemplo utilizado en 3.4 y 3.5


Las características VQ correspondientes se muestran en la figura. 3,16 para los dos valores de la ganancia G y dos salidas de potencia activa. Todas las curvas corresponden a una potencia reactiva cero en la tensión nominal. Las curvas ilustran el efecto de la caída de tensión AVR clásicos, proporcionales. Esté efecto es, obviamente, más pronunciada en las menores ganancias.

En las grandes plantas de energía donde la estabilidad del ángulo es una preocupación, una ganancia alta se utiliza para proporcionar par de sincronización suficiente [Kun94] y el efecto de caída de voltaje puede ser descuidado. Sin embargo esto no es cierto para todas las plantas de energía. La figura también muestra que la pendiente de la característica está ligeramente influenciada por el nivel de generación de potencia activa, para una ganancia dada G.

Referencia [ CG84 ] se deriva la expresión de la reactancia X interna equivalente al efecto caída de tensión (véase también el problema 3.2 ) , así como una máquina equivalente que puede ser incluido en los flujos de carga estándar y se utiliza para la evaluación de contingencia. Aplicaciones en el contexto de estabilidad de voltaje se muestran en [BCR84, VC91a].

En cuanto a la evaluación de contingencia, muchos programas asumen voltajes del generador constante (dentro del límite de la capacidad de la máquina), que es una aproximación aceptable sólo para grandes ganancias .Tenga en cuenta sin embargo, que algunos RAV [ ITF96a ] están equipados con control integral ( PI utilizando en lugar de los controladores P ) , cuyo efecto es cancelar los errores de tensión de estado estable y hacer que el generador de voltaje que aparece realmente constante.


Figura 3.16 Generador características VQ bajo control AVR .

3.4.2 Máquina bajo límite de corriente de campo

Cuando la máquina está bajo el control del OXL, la característica de estado estacionario AVR (3,43) tiene que ser reemplazado por una relación del tipo:

Eq=goxl(V 0 ,V ) (3.48)

Para los dos tipos de OXL descritos en la Sección 3.3.2, la relación anterior se obtiene como sigue:

OXL utilizando el control integral (ver Fig. 3.12). Este dispositivo es tal que en estado estacionario:

ifd=I fdlim ¿ ¿

Por lo tanto la no saturada Eq fem se mantiene en un valor constante:

Eq=ω0Lad ifd=ω0 Lad I fdlim ¿¿

Por unidad, esta relación asciende a:

Eq=I fdlim ¿=Eq

lim ¿¿ ¿

OXL usando control proporcional (ver fig. 3.13). La relación AVR lineal ( 3.41 ) se convierte en:

v fd=G ¿Y la fem Eq insaturado se da por unidad:

Eq=G (Vo−V )−GKp ¿

Que puede ser reescrito como:

Eq= G1+GKp

(Vo−V )+ GKp1+GKp

Eqlim ¿ ¿ (3.50)

En la práctica los valores típicos de Kp son alrededor de 10. Incidentalmente en cuenta

que un gran valor de Kp corresponde a un limitador de toma de control, como se define en

la sección 3.3.1. Para un gran valor de Kp, (3.50) puede ser aproximada por (3.49). En el

resto de esta sección, se supone que el OXL está representado adecuadamente en el

estado de equilibrio de (3.49).

Caso simplificado: insaturado máquina de rotor redondo


En el caso simple de una máquina de rotor redondo insaturado, el diagrama fasorial de la

figura 3.15 aún mantiene pero bruja Ec celebró en el valor constante (3.49). Básicamente,

la máquina se comporta como un FEM constante detrás de reactancia sincrónica. De ello

la relación VQ se muestra fácilmente a ser:

Q=−V 2

X+ 1X

√¿¿ (3.51)

Caso general: el modelado detallado

Como en el caso regulado de la sección 3.4.1, hay cuatro ecuaciones que describen la

máquina, pero ahora (3.49) se sustituye por (3.43). Una vez más se necesita una solución

numérica para obtener Q como una función de V, como se ilustra a continuación.

Ejemplo: seguimos bruja nuestro ejemplo de la fig. 3.16. Tabla 3.1 muestra los valores del

IfB (ver fig. 3.7) y I fDlim Se deduce fácilmente

Eq lim ¿= 8300

2671=3.017 pu ¿

Las características VQ correspondientes se muestran con líneas continuas en la figura.

3,17 para los tres niveles de potencia activa P. Ejemplos similares se pueden encontrar en

(Ost93, PMS96).


Figura 3.17 características Generador VQ bajo resp. Control de AVR, el campo y los límites de corriente de inducido

La ecuación (3.51) de la caja insaturado ronda rotor se puede utilizar para aproximar, al

menos en algún rango de valores de tensión, la característica VQ real de una máquina de

rotor redondo saturado debajo del límite de corriente de campo. Sin embargo, esto nos

obliga a ajustar los parámetros de Eq lim y X que aparecen en (3.51). La reactancia

adecuadamente corregida Xcr es significativamente menor que X (BCR84).

Investigaciones sistemáticas realizadas en generadores belgas han demostrado que se

encuentra en el rango de 0,5 a 1,5 pu en la base de la máquina. Una vez Xcr es conocido,

el valor ajustado de la ecuación se calcula fácilmente haciendo coincidir un punto de la

característica verdadera VQ. Aplicaciones de este modelo corregido para Voltaje cálculos

de estabilidad se ilustran en (BCR84, VC91 a).

En la evaluación de contingencia basado en cálculos de flujo de carga, es una práctica

común para representar un límite de corriente de campo conmutando el bus de máquina a

la llamada de tipo PQ, es decir, se supone una generación de potencia reactiva constante.

La figura 3.17 muestra que: (i) la potencia reactiva no es exactamente constante, y (ii) el

límite de potencia reactiva ha de ser adaptada en función de la generación de energía

activa.

3.4.3 Máquina bajo límite de corriente de armadura

Sea I max sea la corriente máxima de la armadura de preocupación. A partir de la

definición de potencia aparente:

S=√P2+¿ P2=VImax¿ (3.52)

Se obtiene fácilmente:

Q=√(VImax)2−¿P2¿ (3.53)

Además, si Imax es la corriente que corresponde a la operación bajo Voltaje tasa y el poder,

tenemos en por unidad sobre la base de la máquina.

S=1 pu, por lo tanto Imax =1 pu


Ejemplo: En el ejemplo anterior, los límites de corriente de inducido se muestran línea de

bruja de trazos en la Fig. 3,16, correspondiente a los mismos tres niveles de potencia

activa considerado para límites del rotor. También en este caso, el P más grande, el más

restrictivo el límite de la armadura.

3.4.4 Discusión

Los tres modos de funcionamiento de una máquina se ilustran en la Fig. 3.17, donde

hemos añadido la línea de brujas salpicado características caída de tensión se muestra y

derivados como se explica en la sección 3.4.1. En condiciones normales, la máquina

funciona a lo largo de esta línea (casi vertical).

Consideremos primero el caso de una generación MW 765 y se supone que las

condiciones del sistema externo se imponen en la máquina para producir más y más

potencia reactiva para mantener su Voltaje terminal. Así, el punto de trabajo se mueve a

lo largo de la línea de puntos hasta el punto A, donde se alcanza el límite del rotor.

Esto hace que el OXL de operar, con cierto retraso, como se indicó anteriormente. A partir

de ahí, la tensión de la máquina ya no está controlado y, si las condiciones del sistema

externos siguen deteriorando, el punto de trabajo se mueve por la línea continua

corresponde a P = 765 MW. Lo hace hasta el punto B, donde el límite de la armadura se

convierte en el más restrictivo una. Como puede verse, cuando se aplica este último

límite, la generación de potencia reactiva de la máquina se reduce drásticamente.

En el caso de una generación 1200 MW, el límite de armadura es la primera restricción

que deben cumplirse para la reducción de tensión y su aplicación es aún más estricta. Sin

embargo, si la referencia de tensión Vo del AVR se fijó en un valor más alto, la

característica bajo el control AVR se desplaza a la derecha y la máquina volvería a

cumplir con el límite rotor primero.

3.5 CURVAS DE CAPACIDAD

La operación de un generador puede caracterizarse por tres variables: P, Q y V. En la

sección Previos que han caracterizado a los límites de funcionamiento del generador a

través de las relaciones VQ bajo constante P. En esta sección se deriva de estos límites

en términos de relaciones PQ bajo constante V. Esta última toma en forma de las


llamadas curvas de capacidad, probablemente la representación gráfica más conocido de

los límites de funcionamiento de la máquina.

Observación. Tenga en cuenta que tanto el estator y el rotor, curvas de capacidad pueden

referirse tanto el valor admisible permanente de la corriente o de la corriente después de

la acción del limitador. Las derivaciones de esta sección abarcan cualquier opción, ya que

es sólo una cuestión de elegir el valor de la corriente máxima. el ejemplo se refiere al

límite OXL I FD para el rotor y la corriente admisible permanente para el estator.

Repitamos aquí que las condiciones de enfriamiento de la máquina influyen

significativamente en las curvas de capacidad de corriente y por lo tanto máximas

admisibles

3.5.1 caso simplificado: insaturada máquina de rotor redondo

Nuevo partimos del caso simple de una máquina de rotor redondo saturado caracterizado

por Xd = Xq = X

Bajo la constante V, el límite de corriente de inducido se muestra fácilmente a partir de

(3.52) para ser un círculo centrado en el origen, con un radio igual a VI max. En lo que

respecta al límite rotor, (3.45) y (3.49) dan:

V 2 ¿


Figura 3.18 Curvas de capacidad (prominencia y saturación descuidado)

Una vez más, esto corresponde a un círculo con centro en P=0 ,Q=−V 2/X y el radio

igual a VEqlim ¿ /X ¿ las curvas corresponde se muestran en la Fig. 3.18 junto con los límites

correspondientes a la operación de salida máxima de la turbina y limitador sobrexcitación.

Punto R en esta figura corresponde a la operación a potencia nominal. Esta es la

intersección del límite de la turbina y la armadura bajo tensión nominal. En el caso

mostrado, Eq lim ¿¿

Se ha elegido de modo que el límite de campo también pasa por el punto R. En la práctica

las tres curvas, aunque muy cerca, puede no intersectar con exactitud.

La figura también muestra el efecto de la tensión de terminal. Un voltaje de terminal más

grande se obtiene un límite de largar la armadura y, por esta modelización simplificada, un

límite rotor ligeramente más grande también.

Límites operativos distintos de los considerados anteriormente también pueden entrar en

la imagen, como la salida mínima de la turbina, límites en el voltaje terminal de red y la

tensión del bus auxiliar, etc. Un amplio conjunto de tales límites se considera en (AM94)


Figura 3.19 Curvas de capacidad (teniendo en cuenta prominencia y saturación)

3.5.2 Caso general: el modelado detallado

Entre los límites de la turbina, inducido y rotor, sólo la última se ve afectada por efectos de prominencia y saturación. Como se ha explicado anteriormente, el modelo detallado consta de las cuatro ecuaciones (3.32a, 3.32b, 3.33, 3.49) la participación de seis variables (P, Q, V, δ−θ, Eq y Eq

S ). Para una V especificada, estas ecuaciones se pueden resolver numéricamente para obtener Q como una función de P.

Ejemplo. Las curvas de capacidad del ejemplo de la Tabla 3.1 se muestran en la fig. 3.19 para los tres niveles de la tensión del terminal.

Estas curvas inspiran los siguientes comentarios:

A diferencia con el caso simplificado de la fig. 3,18, La figura anterior muestra una disminución en el límite de rotor cuando la tensión aumenta. Esto es debido a los efectos de saturación en la fem de la máquina y las reactancias. Voltajes más altos provocan una mayor saturación;

a voltajes más bajos y mayor potencia de salida activa, el límite de la armadura puede ser más restrictivo que el rotor;


Figura 3.20 Sistema de dos generadores

Bajo cualquiera de los dos límites, forma de incrementar la capacidad de potencia

reactiva de la máquina es disminuir su potencia de salida activa. Sin embargo, el

beneficio de esta acción debe equilibrarse con la consecuencia de tener el poder

faltante recogido por otras máquinas; si este último se encuentran demasiado

grande desde el centro(s) de carga, la carga de la red correspondiente a esta

transferencia de potencia activo puede ser perjudicial para la estabilidad de la

tensión.

3.6 Efectos de limitaciones de la máquina en la potencia entregable

Consideramos finalmente el papel que desempeñan en los límites del generador la

estabilidad de la tensión, más precisamente en la potencia máxima que puede ser

entregado a las cargas.

Hemos mostrado en el ejemplo de dos bus del capítulo 2 que, como un punto de

movimiento operativo a lo largo de la curva PV hacia voltajes más bajos, la potencia

reactiva producida por el generador aumenta. Como era de esperar, cuando éste alcanza

un límite la forma de la curva PV cambia drásticamente.

Vamos a ilustrar este hecho en el ejemplo poco más elaborado de la figura. 3.20,

inspirado de ese tratado en [BB80] (ver problemas 2.9 y 3.7 para los datos del sistema).

En este sistema, la línea de transmisión AB se supone mucho más larga que el enlace

local BL y generador G desempeña el papel de apoyo local a la carga, mientras que G∞ es

una fuente de voltaje a distancia, constante. Inicialmente, la potencia activa de carga está

cubierta por el generador G. se incrementa entonces bajo factor de potencia constante,

con la potencia activa correspondiente proporcionada por G∞ y transmitida a través de

ABL.


Las curvas PV de las redes correspondientes se muestran en la fig. 3.21. Como ya se ha citado en el apartado 2.5.2, estas curvas representan las condiciones del sistema de transmisión y generación en régimen permanente (o equilibrio). Por lo tanto, las curvas se han calculado con el generador G modelado como en la sección anterior 3.4 y 3.5.

La curva se muestra con línea continua corresponde al generador G bajo control AVR, con

Eq=G (V 0−V )

independientemente del valor de corriente de campo. las curvas punteadas corresponden al generador que opera bajo límite de corriente de campo, es decir,

Eq=Eqlim ¿¿

para varios valores de Eqlim ¿¿, elegido de la siguiente manera. Considerar el punto de

funcionamiento nominal R en la fig. 3.18. Denota por PR (respecto QR) el correspondiente activo (respecto a la reactiva) generación de energía, el factor de potencia nominal del generador (GPF) viene dada por:

GPF=PR

√PR2+QR2

Las curvas de puntos de la fig. 3,21 corresponden a la misma PR máxima de salida de la turbina, pero cuatro valores de GPF. Por tanto, la potencia aparente nominal cambia con el valor de GPF.

Estas curvas inspiran los siguientes:

La potencia máxima de carga se reduce drásticamente cuando la corriente de campo del generador local se convierte en limitada;

Obsérvese también cómo el límite de generador de potencia reactiva afecta el límite de potencia activa de carga, mostrando una vez más que la inestabilidad de voltaje implica un fuerte acoplamiento entre la potencia activa y reactiva;

factores de potencia nominales más altos corresponden a las reservas de reactivos más pequeñas, como puede verse en la fig. 3.18. Las curvas ilustran que es importante mantener las reservas de reactivos adecuados cerca de los centros de carga. En la etapa de planificación, el factor de potencia nominal se debe tomar lo suficientemente pequeño. el costo asociado con la potencia aparente más elevada es a menudo razonable;

En muchos casos, los límites del generador llevan el punto de máxima potencia a voltajes más altos. A más estricta la limitación reactiva, más pronunciado este efecto.

Tenga en cuenta también que a baja tensión del generador, un límite de corriente de armadura puede producir una reducción aún más estricta en la potencia entregable a la carga.


Figura 3.21 Curvas PV que muestran el efecto de los límites de la máquina reactiva

3.7 PROBLEMAS

3.1 Derivar la gavr función de (3.40) para los modelos de sistemas de excitación DC1, AC4 y ST1 de ref. [IWG81]

3.2 Considerar la operación en estado estacionario de un insaturado. Una máquina de rotor redondo con un AVR descrito por (3.44). La pendiente de la curva VQ correspondiente (ver fig. 3.16.) se puede caracterizar por la X mQ reactancia equivalente definida por:

∆V=XmQ∆ IQ

donde IQ=Q /V es la corriente reactiva producida por la máquina. Suponiendo que G es lo suficientemente grande y ∆V es lo suficientemente pequeño, muestran que X mQ viene dada por:

X mQ≅XGcos (δ−θ )

donde (δ−θ ) es el ángulo de la máquina interna (o carga), muestran en la fig. 3.3.

Pista: comience a partir de (3.46) y asumir una pequeña variación de V y Q. ver [CG84, BCR84, VC91a] para más detalles.

3.3 Considerar una máquina saturado bajo control AVR. Escribir un programa para resolver ecuaciones. (3.32a, 3.32b, 3,33, 3,44) para dar P y V. Ejecutar este programa para varios valores de V, obtener las curvas VQ de fig. 3.16. Repetir para varios valores de P


Pista: usar el método de Newton para resolver estas ecuaciones no lineales.

3.4 Considere una máquina saturada bajo límite de corriente de campo. Escribir un

programa para resolver ecuaciones. (3.32a, 3.32b, 3,33, 3,49) para P y V. Ejecutar este

programa para varios valores de V, obtener una de las curvas VQ de fig. 3.17. Repetir

para varios valores de P

3.5 Considere una máquina saturada bajo límite de corriente de campo. Escribir un

programa para resolver ecuaciones. (3.32a, 3.32b, 3,33, 3,49) para P y V. Ejecutar este

programa para varios valores de P, obtener las curvas de capacidad de campo de la fig.

3.19. Repetir para varios valores de V

3.6 Un problema de interés práctico es comprobar el valor de la corriente de campo límite

Eqlim ¿¿partir de las curvas de capacidad fabricante (Fig 3.19). Dados los valores P, Q y V

en un punto de estas curvas, escribir un programa para resolver ecuaciones. (3.32a,

3.32b, 3.33) y obtener el valor de Eqlim ¿¿. Comprobar esto con la fig. 3.19 y los datos que

se dan en la tabla 3.1.

3.7 Rehacer problema 2.9 con una salida máxima de potencia reactiva de 95 Mvar (0,95

pu) en el generador G. La solución es la curva de puntos GPF = 0,90 en la figura 3.21,

cuando se utilizan ecuaciones de generador en equilibrio en lugar de la aproximación PQ-

bus.

3.8 Rehacer problema 2.10 con el límite reactiva anterior sobre generador G.


4ASPECTO DE CARGA

“ex nihilo nihil”1

Lucretius

Después de tratar en los dos capítulos anteriores con aspectos de transmisión y generación, llegamos ahora al tercer factor de inestabilidad de voltaje: el sistema de alimentación de cargas. Respuesta dinámica de carga es un mecanismo clave de la estabilidad de la tensión del sistema eléctrico para explicar la evolución dinámica de tensiones y, en casos extremos, lo que lleva a la tensión colapso.

Modelado de carga es un problema difícil porque las cargas del sistema de potencia son agregados de muchos dispositivos diferentes. El corazón del problema es la identificación de la composición de la carga en un momento dado y el modelado del agregado. Sin embargo, con el fin de comprender la naturaleza de estabilidad de la tensión y su estrecha relación con la dinámica de carga es necesario comenzar con el análisis de cargas individuales.

En este capítulo nos ocupamos de la primera dependencia de voltaje de cargas, centrándose en las propiedades de los modelos de carga exponencial y polinómicas ampliamente utilizados. Luego, después de la introducción de la dinámica de la carga desde el punto de vista de la restauración de potencia de carga, tres componentes importantes que muestran la restauración de energía se consideran en detalle: los motores de inducción, de tomas en carga cambiador y cargas termostáticas. Finalmente volvemos a cargas agregadas y discutimos algunos modelos generales que se han propuesto para su análisis.

4.1 TENSION DEPENDIENTE DE LA CARGA

Como se discutió en la sección 2.4.1, una característica de la tensión de carga, o simplemente la carga característica, es una expresión dada por la potencia activa o reactiva consumida por la carga como una función de la tensión, así como de una


variable independiente, el cual vamos a llamaremos la demanda de carga. Indicando este último como z la forma general de la característica de carga es:

(4.1a) (4.1b)

Es importante destacar de inmediato una clara distinción hecha entre la potencia consumida por la carga actualmente (P, Q) y la demanda de carga z. Esta distinción es necesaria para la comprensión de un mecanismo básico de inestabilidad, por lo que aumentó la demanda puede resultar en la reducción del consumo de energía.

La frecuencia depende de las cargas no se aborda en este libro, ya que en los incidentes de estabilidad de voltaje de las excursiones de frecuencia no son de interés primordial.

Carga Exponencial

Una característica de carga ampliamente utilizada es la carga exponencial bien conocida, el cual tiene la forma general:

(4.2a)

(4.2b)

Donde z es una variable de la demanda adimensional, VO es el voltaje de

referencia, y los exponentes y, dependen del tipo de carga (motor, calefacción, iluminación, etc.). Tenga en cuenta que z*PO y z*QO, son las potencias activas y reactivas consumidas bajo una tensión V igual a la referencia VO y relacionados a la cantidad de equipos conectados. Estos han sido llamados potencia de cargas nominales [ITF95b, CTF93], en contraste con las potencias consumidas P, Q.

Una representación gráfica de la característica de carga exponencial en el plano PV fue dado en las Figuras. 2.9 y 2.11 del Capítulo 2.

Tres casos particulares de exponentes de carga son de destacar:

Tabla 4.1 Una muestra de la carga exponentes fraccional

COMPONENTE DE CARGALámparas Incandescentes 1.54 -


Acondicionador de AireVentilador de HornoCargador de Batería

Fluorescente Compacto ElectrónicoFluorescente Convencional

0.500.082.59

0.59-1.032.07

2.51.6

4.060.31-0.46

: constante de impedancia de carga (a menudo denominada Z)

: constante de corriente de carga (a menudo denominada I) : constante de potencia de carga (a menudo denominada P)

Exponentes fraccionarios han sido atribuidos a ciertos componentes de la carga, algunos de los cuales se muestran en la Tabla 4.1 [PWM88, Tay94, HD97].

Se debe tener cuidado cuando se utiliza la carga exponencial en los niveles de baja tensión, porque cuando la tensión cae por debajo de un valor umbral (por ejemplo, V< 0,6) muchas de las cargas se pueden desconectar, o puede tener sus características completamente alteradas.

En la secuela vamos a demostrar dos propiedades importantes de la carga exponencial. Para facilitar la presentación supondremos z = 1.

Debido a la relación exponencial, la tensión de referencia VO y el correspondiente PO, QO pueden ser especificados arbitrariamente sin cambiar las características. Considere, por ejemplo, un nivel de tensión V1, para el cual la potencia de carga es:

Mediante el uso de esta relación para sustituir PO en (4.2a) se obtiene:

Hemos reemplazado por tanto VO con V1 y PO con P1 mostrando que cualquier nivel de tensión puede ser utilizado como una referencia, con el fin de inicializar el modelo exponencial.

El exponentes y del modelo de carga exponencial determinan la sensibilidad de energía de la carga a la tensión. Suponiendo que cualquier tensión de referencia VO, para el cual la potencia activa de carga es PO, la sensibilidad de la potencia activa con respecto a la tensión se calcula como:


Una relación similar se mantiene para la potencia reactiva. Reorganizando la expresión anterior y la evaluación de la sensibilidad al V = VO encontramos:

(4.3a)

(4.3b)

Por lo tanto, las sensibilidades normalizadas de potencia de la carga real y reactiva son iguales a los exponentes de carga correspondientes. Tenga en cuenta que las sensibilidades normalizadas son las mismas en cualquier tensión de referencia.

Carga Polinómica

Como se observa en la Tabla 4.1, los diferentes componentes de la carga presentan distintas características de tensión. Por lo tanto una representación de carga alternativa se basa en resumiendo componentes de carga que tengan el mismo (o casi el mismo) exponente. Cuando los exponentes son todos números enteros, la característica de carga se convierte en un polinomio en V. Un caso especial es el modelo ZIP, que se compone de tres componentes: impedancia constante, constante de corriente y constante de potencia. Las características reales y reactivos del modelo de carga ZIP están dados por las siguientes expresiones cuadráticas:

(4.4a)

(4.4b)

Donde , mientras zPO y zQO son las potencias de carga real y reactiva consumidas en la referencia de tensión VO.

Cuando los parámetros de carga polinómicos se obtienen a partir de mediciones,

algunas de ellas, por lo general la que define la contribución actual (o ) puede asumir valores negativos. Características activas polinómicas típicas de carga con b positivo o negativo se muestran en la Fig.4.1a,b para diversos niveles de demanda. Destacar que el modelo ZIP es poco realista para los voltajes bajos, la parte inferior de las características de la figura.4.1a,b se representa con líneas de puntos .


FIGURA 4.1 ZIP características de carga: (a) a=0.4, b=0.5, c=0.1,(b) a=2.2, b=-2.3, c=1.1

4.2 RESTAURACION DINAMICA DE CARGA

En la sección anterior hemos visto que la potencia consumida por las cargas depende de sus características de tensión. Esta dependencia puede ser permanente, en cuyo caso la carga es puramente estático, o puede cambiar con el tiempo, en cuyo caso la carga es dinámica. La dinámica de varios componentes de la carga y los mecanismos de control tienden a restaurar la energía de carga, al menos hasta cierto punto. Nos referimos a este proceso como la restauración de la carga.

Antes de considerar las cargas específicas, mostremos una manera concisa para describir la dinámica de carga en general. Tenga en cuenta que la potencia consumida por la carga en cualquier momento depende del valor instantáneo de una variable de estado de carga, indicado como x:

(4.5a)

(4.5a)

Donde Pt, Qt son funciones suaves de demanda, voltaje y el estado de carga y se llaman las características de carga transitorias.

Tenga en cuenta también que la dinámica de carga se describe por la ecuación diferencial sin problemas:

(4.6)

El estado estacionario de la dinámica de carga se caracteriza por la siguiente ecuación algebraica:

(4.7)


Tabla 4.2 Variables de estado y demanda de carga Dinámica

Componente de carga

Estado de la variable x

Demanda de la Variable z

Motor de inducciónCarga detrás de LTC

Termostatico

Rotor Sposición de tomaequipo conectado

Par MecánicoDemanda de Carga

Requerimiento de Energia

En general (i.e. cuando ), (4.7) puede ser usado para obtener el estado de variable x como una función de z y V:

(4.8)Con h satisfaciendo:

(4.9)

Sustituyendo (4.8) en (4.5a, b) obtenemos:

(4.10a)

(4.10b)

Donde Ps, Qs, son las características de carga de estado estacionario. Tenga en cuenta que las características de carga de estado estacionario no dependen de la variable de estado de carga.

La transición hacia las características de carga de estado estacionario es impulsada por la carga dinámica (4.6).Los Componentes de carga dinámicas típicas con las correspondientes variables de estado y la demanda se muestran en la Tabla 4.2. Las similitudes entre estos tres tipos de mecanismos de restauración de carga fueron señaladas y analizadas en [VC88a].

Por lo general, la característica de carga transitoria es más sensible a la tensión que el característica de carga del estado estacionario, de modo que en el estado estacionario la potencia de carga se restablece más cerca de su valor antes de la perturbación . Un ejemplo típico es la transición de impedancia constante de carga de potencia constante. En las siguientes secciones vamos a discutir en detalle los componentes de carga mencionados en la Tabla 4.2. Una extensa bibliografía sobre modelos de carga se puede encontrar en [ITF95a], que incluye tanto componentes y modelos de carga estática y dinámica.


4.3 MOTORES DE INDUCCION

4.3.1 LA IMPORTANCIA DE LOS MOTORES DE INDUCCION

La carga del motor de inducción es un componente importante en la evaluación de la estabilidad de la tensión del sistema de potencia por las siguientes razones:

1. Es una carga de la restauración rápida en el marco de tiempo de un segundo;2. Es una carga de bajo factor de potencia con una alta demanda de potencia reactiva;3. Es propenso a estancamiento, cuando el voltaje es bajo y / o se incrementa la carga

mecánica.

Hay varios tipos de motores de inducción. En los estudios de sistemas de potencia que normalmente asumimos modelos de motor agregados [RDM84, NKP87, SL96], es decir, un motor que representa a un gran número de motores alimentados similares (a través de las líneas de distribución) por la misma subestación. Si los motores conectados al mismo bus no son similares, puede ser necesario el uso de más de un motor de agregado para representar la carga correctamente.

En términos de modelado de motor individual, hay que distinguir entre los motores trifásicos y monofásicos, así como los motores que tienen una resistencia del rotor constante y motores con doble jaula, o el rotor de barras de profundidad.

En esta sección vamos a discutir de los motores tanto trifásicos y monofásicos con resistencia del rotor constante. Modelos de motor y de saturación, así como con la resistencia variable de rotor se pueden encontrar en [Kun94]. En todos los casos se utiliza el sistema por unidad de las características del motor. El efecto de frecuencia variable, como se señala en la introducción de este capítulo, se descuida para todos los componentes de la carga.

4.3.2 MODELADO DEL MOTOR

El estator de una máquina de inducción trifásica es similar a la de una máquina síncrona (Fig. 3.1). Uso de la transformación de Park los tres devanados de fase pueden ser sustituidos por los dos d- y q- ejes de bobinados equivalentes , como en la figura 3.2. El rotor de un motor de inducción puede tener un cortocircuito, bobinado trifásico, o una construcción de jaula de ardilla. En cualquier caso, el rotor se puede analizar también con dos equivalentes, a corto circuito, bobinados d- y q- eje de bobinado. De hecho, el d1, devanados q1 de las Figuras. 3.1 y 3.2 dan lugar a un par motor asíncrono, típico de las máquinas de inducción.

Dinámica de la máquina de inducción

Los siguientes tipos de transitorios están presentes en una máquina de inducción:


Transitorios del estator similares a los de las máquinas síncronas. Estos serán descuidados como se hizo para el modelado del generador en el capítulo anterior.

Transitorios eléctricos de rotor que implican los circuitos del rotor equivalente d- y al eje q- . Estos son en el marco de tiempo de sub-transitorias constantes de tiempo del generador (devanados amortiguadores).

Rotor movimiento mecánico caracterizado por la correspondiente ecuación de aceleración.

Por lo general se supone que los transitorios eléctricos de rotor son más rápidos que los transitorios mecánicos, de modo que el motor se puede representar con sólo la dinámica de aceleración. En [AZT91] se demuestra que esta suposición es válida para motores pequeños, mientras que un modelo de orden alternativo reducido puede ser utilizado para grandes motores. En nuestro análisis del comportamiento del motor de inducción vamos a descuidar transitorios eléctricos de rotor en aras de la simplicidad. En la simulación numérica detallada, sin embargo, los rotores transitorios eléctricos se pueden incorporar fácilmente, siempre que los datos del motor estén disponibles.

Circuito equivalente en estado estacionario

Suponiendo que los transitorios de rotor eléctrico se han extinguido, una máquina de inducción trifásica con resistencia del rotor constante puede ser representado por el circuito equivalente bien conocido de la fig. 4.2 [FKU83], en la que S es el deslizamiento del motor define como:

(4.11)

Donde es la frecuencia angular nominal y es la velocidad del rotor en radianes por

segundo eléctricos. En la misma figura son las reactancias del estator y del rotor de fuga, mientras que , es la reactancia de magnetización. Todas las impedancias son referidas al lado del estator.

El circuito de la figura. 4.2 se llama el circuito equivalente de estado estacionario, en el sentido de que todos los transitorios eléctricos han alcanzado el estado estacionario. Tenga en cuenta sin embargo, que el motor no es necesariamente un estado estable mecánico, y por tanto el deslizamiento del motor puede variar.

Los parámetros del circuito equivalente típicos tomados de la literatura se agrupan en la Tabla 4.3 de varios tipos de motores de inducción. Todos los valores están en por unidad en la potencia del motor.

Dos circuitos equivalentes derivadas de la Fig. 4.2 se muestran en la Fig. 4.3a, b. En la Fig. 4.3a el circuito a la izquierda de BB ' es reemplazado por un equivalente de Thevenin con los siguientes parámetros:


Figura 4.2 Circuito equivalente en estado estacionario.

Tabla 4.3 Parámetros del motor de inducción típicos (pu en la base del motor)

MOTOR RS X s X m RrX r

Pequeño industrial [ITF95b] 0.031 0.10 3.2 0.018 0.18

Grande industrial[ITF95b] 0.013 0.067 3.8 0.009 0.17

Los valores medios de los motores 11 KVA[FM94]

0.016 0.063 0.96 0.009 0.016

Pequeño industrial [Kun94] 0.078 0.065 2.67 0.044 0.049

Alimentador + comercial [Kun94] 0.001 0.23 3.0 0.02 0.23

Residencial agregada [ITF95b] 0.077 0.107 2.22 0.079 0.098

Fase única [Tay94] 0.11 0.12 2.0 0.11 0.13

Figura 4.3a. Thevenin equivalente visto de BB'

V 1=XmV

√ (R s2+( X s+X m ))2 (4.12a)

Figura 4.3b Circuito equivalente visto desde AA'

R1+X1J=Xmj (Rs+X js )RS+(X s+Xm ) j

(4.12b)


Tenga en cuenta que cuando el motor está conectado a un suministro de voltaje a través de una impedancia Z, la impedancia Z externa puede ser añadido al estator un R3+X sj, y las mismas fórmulas se aplican, donde V es el voltaje de la fuente.

La figura 4.3b muestra la impedancia equivalente como se ve desde los terminales del estator AA ' . La corriente del estator consumida por el motor es:

I=V

(Rs+R e)+( X s+X e)J (4.13)

Donde Re y X dependen de s y vienen dados por:

Re+X ej=Xjm (Rrs +X jr)

Rrs

+(Xm+X r ) j (4.14)

Par Y La Potencia

Por unidad La potencia activa transferida desde el estator al rotor a través del espacio de aire, llamado el poder entrehierro, se calcula fácilmente a partir del circuito equivalente como:

Pg=I r2 R rs (4.15)

Restando la pérdidas del rotor que I r2Rr, de la potencia por encima de Pg, se obtiene la

potencia suministrada por el motor a través del par electromagnético

Pe=I r2 Rrs

(1−s ) (4.16)

El mismo poder se puede encontrar multiplicando el par electromagnético por unidad T e por la velocidad del rotor por unidad:

Pe=T eθrW o

=T e(1−s) (4.17)

La comparación de (4.16) a (4.17) da la expresión de T e:

Pe=I r2 Rrs

=Pg (4.18)

Resolviendo para I r2desde el equivalente Thevenin se muestra en la Figura 4.3a , se obtiene

el par desarrollado por el motor como una función de la tensión V 1 y de deslizamiento.

T e (V 1 , s )=V 12 Rrs

(R1+ Rrs )2

+( X1+X r )2 (4.19)


Figura 4.4 Característica Slip – par

O como una función de la tensión de terminal y de deslizamiento:

T e (V , s )=V 2 Xm

2 Rrs

[(R1+ Rrs )2

+ (x1+X r )2] [R s2+(X s+Xm )2 ]

(4.20)

La característica de deslizamiento - par bien conocido de una máquina de inducción se muestra en la Figura (4.4). El par se considera positivo para el funcionamiento del motor. Como se ve, el mismo modelo se aplica al generador operación, en cuyo caso el deslizamiento es negativo (por encima de la velocidad síncrona). De acuerdo con (4.19) un deslizamiento negativo produce un par electromagnético negativo. Un tercer modo de operación corresponde a frenado, donde la dirección de rotación es opuesta a la del campo giratorio (s > 1) y el motor absorbe tanto la potencia eléctrica y mecánica.

La potencia activa y reactiva absorbida por la máquina de inducción en el estado estacionario se dan en función de la tensión y el deslizamiento por:

P (V , s)=(R s+R e)V

2

(R s+Re )2+(X s+Xe )2 (4.21a)

Q (V , s )=( X s+X e)V

2

¿¿¿ (4.21b)


La dinámica de movimiento mecánico.

La ecuación diferencial del movimiento del rotor se puede escribir en términos de deslizamiento como:

2Hs=Tm (s )−T e(V , s) (4.22)

Donde H es la constante de inercia (s), y el par T m mecánica por unidad (incluyendo el efecto de las pérdidas mecánicas), que depende en general de la velocidad de rotación y por lo tanto en el valor de deslizamiento. Tenga en cuenta que el aumento de los resultados de carga en un aumento del deslizamiento.

Justo después de una perturbación, el deslizamiento no puede cambiar instantáneamente debido a la inercia mecánica. Con s fijo a su valor antes de la perturbación, Figura 4.2 muestra que el motor simplemente se comporta como una impedancia y por tanto la característica de carga transitoria motor es del tipo de impedancia constante. Así, tanto potencia real y reactiva, así como el par eléctrico, disminuyen después de una caída de tensión. La reducción del par hará que, finalmente, el rotor para desacelerar de acuerdo con (4.22), aumentando así el consumo de energía activa hasta que se alcanza un nuevo punto de funcionamiento.

La condición de equilibrio de par es:

T e (V , s )=Tm(s) (4.23)

Por lo tanto, la característica de carga de estado estacionario es muy diferente de una impedancia única constante, y depende de la característica de par mecánico, que se discute en la siguiente sección.

4.3.3 COMPORTAMIENTO MOTOR COMO AFECTADA POR PAR MECÁNICO.

En esta sección consideramos el comportamiento en estado estable del motor bajo diferentes modelos de par mecánicos, es decir, de par constante, par cuadrática y el par compuesto. Tenga en cuenta que estas son las características del motor estrictas obtenidos suponiendo una constante terminales de voltaje V. Ejemplos de interacción de cargas de motor con el sistema externo serán consideradas en capítulos posteriores.

Figura 4.5 Diagrama de una línea de motor de par constante y Thevenin equivalente

Modelo De Par Constante

El modelo de par constante es simplemente:


Tm (s )=T o (4.24)

La característica de par mecánico es tanto paralela a la s-eje en el diagrama de deslizamiento de par y hay dos puntos de intersección con las características eléctricas de par (mostrado como puntos S y U en la Figura 4.4), cuando T o< T max . Por el contrario, no hay puntos de intersección, cuando T o> Tmax . En este último caso el motor se bloquea, es decir desacelera hasta detenerse por completo. Cuándo es pequeña, el segundo punto de intersección puede estar en la región de frenado, donde s > 1 (línea de puntos en la Fig. 4.4).

La estabilidad de los puntos de funcionamiento S y U puede juzgarse empíricamente como sigue. En el punto S un pequeño aumento en el deslizamiento produce un excedente de par motor eléctrico, que de acuerdo con (4.22) tenderá a reducir deslizamiento, con lo que el punto de funcionamiento de nuevo a S. Del mismo modo, una pequeña disminución de deslizamiento creará un par de accionamiento del motor de vuelta al punto S. Por lo tanto se concluye que S es un equilibrio estable. El revés tiene en el punto U: un pequeño aumento en los resultados de deslizamiento en un déficit de par eléctrico, por lo que el motor se desacelerará, lo que aumenta aún más el deslizamiento hasta parada (s = 1). Por otra parte, una pequeña disminución de deslizamiento desde el punto de funcionamiento U dará lugar a un excedente de energía eléctrica, y la máquina se acelerará hasta el punto de equilibrio estable S. Nos por lo tanto la conclusión de que el punto U es un punto de funcionamiento inestable.

Tenga en cuenta que en estado de equilibrio el modelo del motor de par constante es equivalente a una constante carga de potencia detrás de la reactancia X rde fuga del rotor de hecho a partir de (4.18) por unidad de la par eléctrico es igual a la potencia espacio de aire por unidad Pg así que cuando el primero se convierte igual al par mecánico constante, este último se restaura. Esto conduce a la de una línea de representación de diagrama de un motor de inducción se muestra en la Figura (4.5) Este diagrama corresponde al estado estacionario de ambos transitorios eléctricos y mecánicos y es válido sólo para par mecánico constante.

Figura 4.6 Motor característica estado estable - Par constante

En resumen, la dinámica de motor de inducción son tales que la característica de carga en el nodo interno ‘i’ (ver Figura. 4.5) los cambios de impedancia constante (carácter transitorio


para deslizamiento constante) a potencia constante Pg=T o (en estado estacionario característica) . Nota finalmente que el límite de capacidad de carga para un motor de inducción con par mecánico constante y el voltaje del estator constante corresponde a la

condición de par máximo , para los que la resistencia variable R rs

coincide exactamente con

la impedancia de transferencia, R1+(X 1+X r ) j :

RrSmaxT

=√R12+(X1+X r )2 (4.25)

Esto puede ser visto como una aplicación directa de la derivación de potencia máxima bajo factor de potencia constante en la sección 2.2.2.

Las características de estado estable P y Q de un motor que funciona con par constante, y con la tensión del terminal V considerarse como un parámetro independiente, se dibujan en la Figura. 4.6 Tenga en cuenta que la potencia activa absorbida es casi constante para tensiones superiores 0.8 p u, con sólo una ligera pendiente negativa. El aumento del consumo para el voltaje reducido se debe a las pérdidas del estator aumento debido a la corriente más alta. La pendiente ligeramente negativa se vuelve más pronunciada a medida que el voltaje se baja hasta que se alcanza el punto de estancamiento A. Si se baja tensión por debajo de este punto no habrá soluciones de estado estacionario como el motor se detendrá. Los puntos de funcionamiento se extiende a la derecha del punto estancamiento A son inestables como se explicó anteriormente.

La característica de potencia reactiva es muy diferente. En niveles de alta tensión de la pendiente es positiva, lo que significa que para aumentar la tensión del estator del aumento de magnetización

Consumo de reactancia ( V2 / X m ) domina sobre las pérdidas reactivas reducido de fuga ( XI2 ) Sin embargo, en un cierto nivel de tensión, que puede ser bastante cerca nominal para un motor muy cargado , la pendiente signo invierte y se vuelve negativo. Así, el consumo de reactivo de los motores aumenta considerablemente como el punto de estancamiento A se acercó.

Modelo de par cuadrática

Par constante es el modelo de carga mecánica más simple, pero no necesariamente la más realista. Muchas cargas, tales como bombas de circulación presentan una característica de par mecánico cuadrática:

(4.26)

Una propiedad importante de esta carga es que el número de puntos de intersección de mecánica y par eléctrico es o bien uno, o tres, como se muestra en la Fig. 4.7, donde unas pocas características de carga mecánicos cuadráticas se representan como funciones de deslizamiento, junto con una característica de par eléctrico. Cuando T2 es pequeño, el único punto de intersección está cerca de la velocidad de sincronismo. A medida que aumenta T2

los puntos de intersección se convierten en tres. Para mayor aumento de la carga no es de nuevo un solo punto de intersección, pero ahora está lejos de la velocidad síncrona y cerca de punto muerto. Razonamiento empírico muestra que cuando sólo hay un punto de funcionamiento, este punto de funcionamiento es estable. En el caso de tres puntos de intersección, el punto de funcionamiento U en el medio es inestable, mientras que los otros dos (S1 y S2) son ambos estables.


El límite de capacidad de carga práctico es el punto B, que es un máximo local correspondiente a la carga máxima para la que existe una normal, alta velocidad (bajo deslizamiento) punto de funcionamiento. El punto A es un mínimo local y representa la carga mínima para los que existe una baja velocidad estable (alto deslizamiento) punto de funcionamiento. La consecuencia práctica del punto límite de A es que el parámetro foros carga T2 > T2A Un motor no se puede iniciar correctamente como se verá más adelante.

Como en el constante caso de fuerza de torsión, el P y Q características en estado estacionario de un motor con par mecánico cuadrática se dibujan en la Fig. 4.8. Tenga en cuenta que ahora la pendiente de la característica de potencia activa es ligeramente positivo en los niveles normales de tensión, ya que la carga mecánica y por lo tanto aumenta la potencia con tensión. La característica de potencia reactiva tiene una forma similar a la obtenida para el modelo de par constante. El punto de estancamiento se marca como punto B y se corresponde con la capacidad de carga límite de B en la Fig. 4.7.

Finalmente, en la Fig. 4.9 la potencia real y reactiva absorbida por un motor de inducción tras un, 15 % caída de tensión súbita (en el tiempo t = 0,1 s) se representan gráficamente. El par mecánico es cuadrática. Como se ve, ambas potencias caen instantáneamente, pero su recuperación es muy rápido, toma menos de un segundo. La potencia activa se recupera casi hasta el valor antes de la perturbación, como se espera de la característica de estado estacionario correspondiente, mientras que la

Figura de modelo de fuerza de torsión de 4.7


Figura 4.8 Motor estado estable característico - de par cuadrática

potencia reactiva cae en estado estacionario , lo que significa que el punto de funcionamiento está en la parte superior de la característica de potencia reactiva de la Fig. 4.8.

Figura 4.9 Recuperación de carga Motor después de la caída de tensión - de par cuadrática

Modelo de par Compuesto

Par constante y modelos de par cuadráticas se pueden combinar para formar cargas mecánicas compuestas. Un tercer componente del par de torsión mecánica que es importante durante partida es el par estático, lo cual es debido a la fricción . Cuando el motor esté parado, el par estático impide su rotación, pero como el rotor empieza a girar este componente del par se reduce. Por lo tanto, el par estático puede ser modelado como siendo proporcional a deslizarse:


(4.27)

La incorporación del par estático, un modelo par mecánico compuesto tiene la forma general siguiente:

(4.28)

En la Fig. 4.10 se muestra una característica de par mecánico compuesto de la forma (4.28).

Arranque del motor y estancamiento

Al inicio, el motor es originalmente en reposo (s = 1). Si el par electromagnético T e (V, 1) excede el Tm (1) par mecánico, (para s = 1 ) el motor empezará a acelerar. Nota del circuito equivalente que la impedancia del motor para s = 1 es significativamente menor que la de funcionamiento normal, donde s es muy pequeña. Así, la corriente de arranque del motor es varias veces más grande que su calificación. En el caso del par de torsión de potencia constante, comenzando bajo carga no es posible, a menos que el par de arranque

Figura 4.10 par estático y característico par mecánico compuesto

es mayor que el par de carga . Esto significa que el punto de funcionamiento inestable U de la Fig.4.4 Debe haber en la región de frenado del motor para poder comenzar con carga y sin el empleo de regímenes especiales de partida.

En general, cuando el modelo de par mecánico (4.28) tiene un valor distinto de cero en

reposo (i.e. ), esto tiene que ser interpretado de la siguiente manera:

si el par eléctrico de arranque excede la mecánica , entonces (4.22) se aplica y el rotor acelera.


si el par eléctrico en reposo es insuficiente para el arranque , el motor no se desacelerará en la región de frenado, ya que parece estar implícito en (4.22), pero permanecerá en reposo.

Vamos ahora a investigar el funcionamiento del motor en el estancamiento. Mirando de nuevo a la Fig. 4.6, que muestra las características del motor en estado estacionario para par mecánico constante, se puede observar que cerca del punto de estancamiento A, la corriente del estator para un par mecánico T0 = 0,8 pu está cerca de 1,6 pu. La protección del motor no se disparará para esta corriente, que todavía es 3-4 veces menor que la corriente de arranque del motor. Si el motor se bloquea, con el tiempo llegar a una parada completa y su actual será igual a la corriente de salida. La protección del motor no se disparará para este valor tampoco. Por lo tanto, a fin de evitar las graves consecuencias de bloqueo del motor, protección de mínima tensión está instalado en muchos motores industriales de disparo del motor si el voltaje está por debajo de un umbral [Tay94]. Los motores pequeños no tienen protección de mínima tensión, pero sólo la protección de sobrecarga térmica, que todavía tiene que permiten corriente de arranque durante varios segundos. Por lo tanto un motor detenido puede permanecer en línea que absorbe su corriente de arranque muy reactivo.

En el caso del par mecánico cuadrática debe tenerse en cuenta que cuando el motor se bloquea, no se detendrá por completo, sino que estará operando en un punto de funcionamiento anormal, de baja velocidad, que se muestra como el punto S en la Fig. 4.7. En esta condición el funcionamiento de la corriente consumida por el motor es cercano al valor correspondiente al de partida. Como se discutió anteriormente, la protección del motor permitirá que esta operación anormal (por lo menos durante algún tiempo), a menos que se instala protección de mínima tensión.

4.3.4 MOTORES DE INDUCCIÓN MONOFÁSICOS

Una proporción significativa de carga residencial consta de un gran número de punto bajo evaluando, motores monofásicos. Una forma simple para representar este componente de carga es considerando un motor monofásico de apropiado poder evaluado conectado para cada fase, a fin de mantener operación simétrica.El motor monofásico se puede analizar mediante la resolución de la pulsante, campo estacionario magnético producido en el espacio de aire, en dos ondas que se desplazan, rotando en direcciones opuestas: una en avance, y uno hacia atrás [FKU83] . Para la marcha hacia delante agitar un circuito equivalente de estado estacionario similar a la de la Fig. 4.2 se aplica. Lo mismo es cierto para la onda viajera hacia atrás, pero con respecto a este el deslizamiento es:

Esto conduce al circuito equivalente de la figura. 4.11, donde están representados tanto el avance y los campos que giran hacia atrás.

El par producido por el campo de rotación hacia delante es en la dirección positiva, mientras que el par generado por el campo hacia atrás es negativo. Así, el par electromagnética desarrollado por el motor monofásico se da como:

(4.29)


Dónde:

(4.30a)

Figura 4.11 monofásico del circuito equivalente del motor

Figura 4.12 Características de estado estable motor monofásico

(4.30b)

y la corriente del estator I puede calcularse a partir del circuito equivalente de la figura . 4.11.


Tenga en cuenta que en s = 1 y Tf = Tb, por lo que el motor monofásico no tiene par de arranque. Una descripción de los mecanismos y dispositivos auxiliares para el arranque de un motor monofásico está fuera del alcance de este libro.

Las características PV y QV de un motor monofásico se representan en la Fig. 4,12 asumiendo un modelo par mecánico cuadrático. En baja tensión, la potencia activa y reactiva absorbida son independientes de la carga. Te mismo vale para la potencia reactiva con tensiones elevadas.

Figura 4-13: características de deslizamiento-par motor monofásico

No es que cuando la tensión de alimentación cae, la velocidad del motor se reduce gradualmente, a diferencia del motor trifásico con el mismo modelo de par cuadrático (Fig. 4.8), que presenta una discontinuidad en el punto B. Esta propiedad de la motor monofásico está asociada con la ausencia de par de arranque como se hace evidente mediante la inspección el punto (similar a la de los tres-fase uno) cuando la carga mecánica tiene un componente constante, como también se muestra en la Fig. 4.13 (punto C).

4.4 CAMBIADORES de TAP CARGA

4.4.1 Descripción:

Uno de los mecanismos clave en la restauración de carga es la regulación de la tensión se realiza automáticamente por el grifo de los dispositivos de los principales transformadores de suministro de energía cambiante. La figura 4.14 muestra un esquema típico de una línea. El cambiador de tomas controla la tensión de la distribución, de Media Tensión (MT) V2 lado cambiando la relación r transformador, en la mayoría de los casos el grifo variable es en el lado de alto voltaje (HV).


Figura 4.14: Diagrama de una línea de transformador de entrega de potencia mayor

Una razón para esto es que la corriente es menor en esta toma de lado la conmutación más fácil. Otra razón es que más vueltas están disponibles en el lado de AT haciendo regulación de poro preciso. Las excepciones a esta regla se pueden encontrar, sobre todo en el caso de los transformadores de automóviles.

De manera similar al generador AVRs (sección 3.2), el error de voltaje puede ser compensado con una medición de la corriente, de modo que la tensión de referencia es efectivamente esta es la misma que la regulación de tensión más lejos del secundario del transformador.

Acrónimos Varios se han sugerido para los mecanismos de toma del transformador cambiador: en cambiadores de tomas de carga, debajo del grifo de carga cambiadores (Kun 94), cambiadores de tomas bajo carga (cal84, SP94). En este libro vamos a adoptar las tomas en carga término cambiadores simplet (LTC), como en (CTF 93, tay 94).

Los LTCs actúan lentamente, dispositivos discretos (discontinuos) que cambian el grifo en un paso a la vez, si el error de voltaje permanece fuera de una banda muerta más de un retardo de tiempo especificado. El tiempo mínimo requerido para el cambiador de tomas para completar el movimiento del grifo es generalmente cerca de los 5 segundos.

Vamos a llamar a esto el tiempo de retardo mecánico y denotar por Tm. Varios retrasos intencionales (que van desde varios segundos a un par de minutos) por lo general se añaden a la demora de tiempo mecánica para evitar movimientos de tomas frecuentes o innecesarios, que son una de las causas de desgaste al equipo. Los retrasos intencionales pueden ser constante o variable. En este último caso se utiliza a menudo una característica de tiempo inverso. La esencia de la característica de tiempo inverso es que las demoras de tiempo se hacen más corto de los errores más grandes de tensión.

Una limitación importante en la operación de LTC es que la relación del grifo variable tiene un rango de regulación limitada:

Los valores típicos de la parte inferior son 0,85 hasta 0,90 pu y para el límite superior 1,10 a 1,15 pu.

El tamaño de un paso del grifo es por lo general en el intervalo de 0,5% -1,5%. Un valor típico utilizado en América del Norte es 0,00625 (5.8%). Por razones obvias, la banda muerta debe cama más grande que el tamaño de paso del grifo.

Muchos sistemas de cuidados de larga duración acepten un grifo de bloqueo de señal, que desactiva la regulación autonómica de función voltaje. Esta secundaria tiene por objeto


hacer frente a la respuesta inestable LTC, que analizaremos más adelante en este libro. Otras estrategias utilizadas en condiciones de emergencia consisten en la reducción del valor nominal de tensión, o mover el grifo de una posición predefinida.

4.4.2 Modelado LTC:

En esta sección presentamos dos tipos de modelos TLC: modelos discretos que representan discontinuo, paso a cambio de paso del grifo, y un modelo continuo aproximado.

Para simplificar supondremos aquí un transformador con resistencia despreciable y reactancia de magnetización, que tiene una reactancia de fuga constante Xl. Por supuesto, los modelos más detallados incluyendo la resistencia y la reactancia de magnetización, y, posiblemente, el efecto de grifo variable sobre la impedancia del transformador, se utilizan en las simulaciones por ordenador. El diagrama de una línea equivalente del transformador de LTC se muestra en la Fig. 4,15 utilizando un transformador ideal con una relación L: 1.

Figura 4.15: Circuito equivalente de un transformador palmeo nominal.

Modelos discretos LTC

Los modelos LTC discretos asumen que cuando se activa la LTC se subir o bajar la vy un paso del grifo relación de transformación instantánea.

Denotamos el tamaño de cada paso del grifo por . El LTC puede funcionar en instantes discretos de tiempo indicados por t, k = 0,1,... y dado por la fórmula recursiva:

(4.31)

Tenga en cuenta que a diferencia de los sistemas habituales de tiempo discreto, no es

una variable independiente, y no es necesariamente constante, ya que depende en general de las características del dispositivo y el error de tensión. El contador de número

entero avanzará a partir de k a k + 1, cuando el tiempo transcurrido desde se hace igual

a (o excede) .

Una fórmula universal para T incluyendo fija y de tiempo inverso es el siguiente:

(4.32)


Cuando V2 se te controlado por voltaje, V es la tensión de referencia, d es la mitad de la

banda muerta LTC (definido a continuación), es el tiempo de retardo máximo de la

característica de tiempo inverso, es el tiempo de retardo intencional fijo, y es la mecánica tiempo necesario para realizar el cambio de toma, como se mencionó anteriormente.

El grifo de cambiar la lógica en el instante de tiempo t es el siguiente:

Donde , son los límites superiores e inferiores del grifo

La TLC se activa y el contador k se fija en cada tiempo t el error aumenta la tensión más allá de los límites de banda muerta:

si y

Donde es una (opcional) plazo de histéresis. Utilizando el término de histéresis, la banda muerta efectiva es mayor para el primer movimiento del grifo, así la LTC se vuelve más "reticentes" para iniciar una secuencia de cambios de toma. Tenga en cuenta que el término de histéresis correo no entra en la expresión (4.33), por lo que el LTC traerá el error de vuelta dentro de la banda muerta adecuada (si los límites no se cumplen primero).Podemos distinguir entre dos modos de funcionamiento LTC dependiendo de si cada movimiento del grifo es considerado de forma independiente o en secuencia [SP94]. El modo secuencial de operación consiste en una secuencia de cambiadores de tomas a partir después de una

demora de tiempo inicial (ya sea fijo o constante) y continuando a intervalos de tiempo constantes hasta que se pone el error de vuelta dentro de la banda muerta, o hasta que se alcanzan los límites de tomas.

Tabla 4.4 Ejemplos de Ajustes LTC

Utilidad Modo Tm(s) Tdo(s) Tfo(s) Td(s) Tf(s) d(%)

EU1 Seq. 5 0 25(EHV/HV)55(HV/MV) 0 5 1.5

2

EU2 Non-seq 5 - - 140 10 1

NA1 Seq. 4 50 0 0 0 5/8NA2 Seq. 8 0 20 0 0 5/8

La fórmula general para el primer tiempo de retardo del grifo es similar a (4.32):

(4.34)

+d y rk<rmax

+d y rk<rmax (4.33)


Donde , son los valores de la de tiempo inverso y el retraso intencional fijo, respectivamente, para la primera etapa del grifo. Grifos Subsecuente se realizan a

intervalos de tiempo constantes correspondientes a (4.31) con .

En el modo no secuencial de las operaciones de la LTC no hace distinción entre la primera y subsiguientes grifos. El tiempo empieza a contar cuando sea el error supera los límites de banda muerta (más la histéresis opcional), o después de un movimiento del grifo se realiza. Así, todos los retrasos son dados por la misma fórmula (4.32)

En la tabla 4.4 damos ejemplos típicos de configuración de LTC como el usado por Europa (UE1, UE2) y América del Norte utilidades (NA1, NA2). Tenga en cuenta que UE1 utilidad tiene dos niveles de LTC, a saber, en Extra Alta Tensión (EHV / HV) y alta de voltaje de media tensión (AT / MT) transformadores. La razón de la elección de retardo de tiempo más largo para la HV aguas abajo / nivel MV será discutido en la Sección 4.4.4

Modelo continuo LTC

El modelo de TLC continua se basa en el supuesto de un grifo continuo cambio r(t) que puede tomar todos los valores reales entre y . Por lo general, el efecto de los muertos y se descuida en un modelo LTC continua, por lo que los siguientes resultados diferenciales ecuación:

(4.35)

Nota que cuando se utiliza (4.35) la LTC se modela como un controlador integral. El modelo LTC continua es menos preciso que las discretas, pero es una aproximación útil, particularmente conveniente para fines analíticos. Su uso en la simulación tiempo es limitado.

Figura 4.16: Sistema línea generador LTC

El modelo (4.35) es una aproximación continua de un LTC no secuencial con = = 0,

en cuyo caso la constante de tiempo se ha derivado en [SP94] como:

(4.36)

En la práctica uno podría suponer un tiempo ligeramente más grande constante para

compensar el retardo inevitable . Tiempo mecánico


4.4.3 Restauración Loar través de LTC

La restauración de carga realizado por LTCs es indirecta: cuando el LTC tiene éxito para restaurar la tensión V2 lado de la distribución cerca de su valor de referencia V, la potencia de carga, que en general depende de la tensión de bus, también se restaura.

Ilustraremos la restauración carga a través de la operación LTC utilizando el sistema simple se muestra en la Fig. 4,16, que consiste en un generador de la alimentación de un transformador de LTC a través de una línea de transmisión. Hemos demostrado la LTC en esta figura como un transformador ideal en serie con una reactancia de fuga. Las pérdidas en el cobre del transformador que relaciona la tensión del lado de transmisión V a la P1 poder adsorbido por los devanados con una línea de continuidad en Fig. 4.17.

Las dos características son el amanecer para diferentes valores de la impedancia de la línea X. Tenga en cuenta que la característica de la red se ha de elaborar para el P1, Q1 pares correspondientes a la carga conectada al bus 2.

.

Figura 4.17 curvas PV del sistema de generador de línea-LTC

Consideremos ahora la característica de carga como se ve por el lado primario LTC. Suponemos una relación general de carga de tensión que da la potencia de carga como una función de la tensión de carga:

La tensión V2 del lado de carga está vinculada a V1 a través de la siguiente ecuación:

(4.37)


La potencia activa y reactiva P1, Q1 absorbida por el transformador ideal de la Fig. 4.16 Se compone de potencia de carga, además de las pérdidas de reactivos en la reactancia de dispersión del transformador Xt, menos compensación reactiva y es también una función de V2:

(4.38a)

(4.38b)

Por lo tanto, podemos eliminar en principio V2 usando (4.37) para obtener P1, Q1 como funciones de única VI, / r:

Esto da la característica de carga transitoria (como se ve desde el LTC) que corresponde a un valor particular de la relación r de la llave. Si los cambios r, también lo hace la característica de carga transitoria. Tres características de carga transitorias para diferentes valores de la relación de la llave r (ro> r1> r2) se representan gráficamente en la Fig. 4.17 con líneas de puntos.

Una característica de carga diferente puede ser derivada cuando V2 se restaura a su valor de referencia V2 °, en cuyo caso la carga va a consumir una cantidad constante de potencia real y reactiva dada por (4.38a, b) con V2 sustituido por su punto de consigna V2°. Puesto que este valor es independiente de V1, la potencia de carga se muestra en el gráfico de la Fig. 4.17 como una línea discontinua vertical. Esta es la característica de carga de estado estacionario como se ve por el lado primario LTC. Tenga en cuenta que ambas potencias real y reactiva son constantes en la característica de carga de estado estacionario, mientras que la tensión primaria VI cambios con la llave variable r, a fin de restablecer la tensión secundaria.

Para ilustrar el funcionamiento LTC, supongamos que el sistema está inicialmente en el punto O en la Fig. 4.17, cuando una perturbación (por ejemplo, un aumento de impedancia) obliga a la característica de la red a la post-disturbio una. La tensión V1 primaria inicialmente caerá a lo largo de la característica de carga LTC transitoria para el valor dado de r = ro desde el punto O al punto A. En este punto la potencia consumida por la carga es menor que la correspondiente a V2 °, lo que significa que V2 < V2 °. Dado que V2 es inferior a la de referencia, el LTC reaccionará por la disminución de la relación del grifo de acuerdo con (4.33), a fin de aumentar la tensión del lado secundario. Esto cambiará la característica de carga transitoria, y el punto de trabajo se moverá a lo largo de la característica de la red después de la perturbación, hasta alcanzar cerca de un nuevo estado de funcionamiento al punto B, donde la característica de carga de estado estacionario se cruza con la característica de la red. Tenga en cuenta que durante esta operación la LTC está restaurando tanto voltaje secundario y la potencia de carga. Esto constituye la operación estable LTC. Los casos de funcionamiento inestable LTC se discutirán en los capítulos 7 y 8.

4.4.4 MÚLTIPLES NIVELES LTC

Como se discutió en la Sección 2.8, en muchos sistemas de potencia de los transformadores de conexión diferentes niveles de voltaje de transmisión están equipadas


con mecanismos de cuidados de larga duración. Se demostró que esta práctica ayuda a aumentar la capacidad de transferencia del sistema de transmisión mediante la ruptura de la impedancia total entre generación y carga.

En esta sección se investigan las interacciones dinámicas entre los niveles en cascada de tomas bajo el cambio de los transformadores. Un caso típico es la interacción entre LTCs en el EHV / interconexión de alta tensión y los de la distribución a granel (AT / MT) subestaciones. Considere el sistema radial sencillo de la figura. 4.18. Cuando la relación de EHV aguas arriba / HV transformador r1 se reduce, tanto la alta tensión controlada VH y el voltaje medio VM son normalmente

Figura 4.18 sistema radial con dos transformadores de LTC

Tabla 4.5 Parámetros para el sistema de dos LTC

Caso Tapping rápido arriba Respuesta oscilatoriaNivel EHV/HV HV/MV EHV/HV HV/MV

Tfo+Tm(s) 20 50 30 45Tf+Tm(s) 5 10 10 10

Paso de tap(%) 0.625 0.625 0.625 1.25

elevado. Sin embargo, cuando la corriente abajo AT / MT relación de transformación r2 se reduce con el fin de impulsar la VM, la tensión de transmisión de alta tensión VH se redujo también.

Debido a estas razones, la práctica habitual en la coordinación de los dos niveles de LTC es hacer que el nivel de EHV / HV más rápido que el AT / MT se [Lac79]. Esto dará como resultado, en general, en las operaciones más eficaces y menos del tap. Retardos de tiempo intencional para la primera etapa del nivel de HV / MV son típicamente 20-40 segundos más grandes que los del nivel EHV / HV. La misma regla se aplica en el caso de varios niveles LTC posteriores: deben ser más lenta cuando se acercan al consumidor final.Un aspecto dinámico particular de los niveles de LTC en cascada es que tienden a ser oscilatoria [Lac79, HH93]. En general, cualquier cascada de mecanismos de restauración de carga puede producir una respuesta oscilatoria cuando operan en el mismo período de tiempo [VVC95]. En el caso particular de los dos niveles de LTC Fig. 4.18 oscilaciones pueden surgir, cuando el nivel de EHV / HV falla para llevar el voltaje de lado de la carga (MV) dentro de su banda muerta antes de que el AT / MT LTC empieza a actuar.

Se ilustra el principio anterior con un ejemplo basado en el sistema de la Fig. 4.18. Asumimos primero que nos conformamos con la regla de hacer el EHV / nivel HV LTC más rápido por la elección de los valores que se muestran en la segunda columna de la Tabla


4.5 marcada "tapping rápido arriba" antes mencionado. La perturbación simulado es un aumento del 20% de la

Figura 4.19 Respuesta del sistema de dos LTC con Fast r1

conductancia de carga G en el tiempo t = 5 s. Como se ve en la Fig. 4.19, el EHV / HV LTC es capaz de restaurar ambas tensiones dentro de sus correspondientes bandas muertas (que se supone que aquí entre 0,99 y 1,01 pu) con sólo 5 taps, es decir, antes de que la corriente abajo LTC se activa.

Comportamiento oscilatorio en forma de sobretensión se experimenta cuando se utiliza la configuración de la tercera columna de la Tabla 4.5 marcada "respuesta oscilatoria". Tenga en cuenta que debido a la llave grande paso la velocidad de la corriente abajo LTC, después del tiempo de retardo inicial, es efectivamente el doble que el de aguas arriba.

Como se ve en la Fig. 4,20, aguas arriba LTC ya no es capaz de restaurar tensiones antes de la LTC aguas abajo se activa en el tiempo t = 50 seg. Así, los LTCs están compitiendo entre sí a partir de ahora hasta que la tensión lateral MV VM se pone dentro de su banda muerta en el tiempo t = 60 seg. Después de eso, r1 toma otros 3 pasos antes de la tensión lado de AT VH está de vuelta en su banda muerta. Sin embargo, en ese momento, VM es traído por encima de su propia banda muerta, por lo que r2 tiene que tocar la espalda reduciendo VM (y aumentando VH) como se ve en la Fig. 4.20.

El tiempo total de sedimentación por la misma perturbación es casi el triple que la del caso anterior, bien afinado. También se requieren más cambios de toma: 6 para Ti (todo en una dirección, la reducción del grifo) y 3 para r2 (dos abajo y uno arriba). Por último, el rebasamiento se muestra en la respuesta del VM es indeseable en la operación del sistema de alimentación. Tenga en cuenta que la cantidad de sobre impulso depende de la perturbación de iniciar la operación de LTC. Por lo tanto, para las grandes perturbaciones incluso bien afinadas en cascada LTCs podrían mostrar un comportamiento oscilatorio.


Figura 4.20 Respuesta del sistema de dos LTC con r1 lenta

Figura 4.21 Termostato dispositivos controlados en paralelo

4.5 TERMOSTÁTICO RECUPERACIÓN DE CARGA

Como se discutió en la Sección 4.2, la dependencia de carga en tensión puede ir variando con el tiempo que exhibe una tendencia restauración de potencia. Una categoría típica de dicha carga auto-restauración son los dispositivos controlados por termostatos, que se utilizan en todos los tipos de calefacción, es decir, calentamiento de agua, calefacción, calentamiento de procesos industriales, etc. La importancia de la recuperación de carga termostática para la estabilidad de voltaje se adelanta por algunas publicaciones relativamente tempranas [AFI82, C1a87, Gra88].

Consideremos n factor de potencia unitario, dispositivos de conductancia constante, controlada por un termostato individual y conectado en paralelo, como en la Fig. 4.21. Cada interruptor determina


Figura 4.22 Ciclo de trabajo del Termostato

el ciclo de carga del dispositivo, por lo general tiene una duración de varios minutos, de tal manera que la potencia media consumida durante cada ciclo es igual a la necesaria para mantener la temperatura requerida en las condiciones de tiempo dado. Denotando la potencia requerida del componente k-ésimo por Pk podemos escribir:

(4.39)

Donde 0 <fk <1 es el parámetro de ciclo de trabajo, es decir, el porcentaje de del tiempo de funcionamiento del dispositivo durante un ciclo. El ciclo de trabajo se ilustra en el gráfico de la Fig. 4.22.

La ecuación anterior (4,39) se aplica cuando la potencia requerida no exceda de la que se puede lograr por el dispositivo de bajo voltaje V, es decir, bajo la condición:

(4.40)Es posible que la condición anterior se viola después de una caída de tensión significativa, en cuyo caso el dispositivo permanece en línea dando continuamente fk = 1 (ciclo de trabajo completo).

Tenga en cuenta que el parámetro fk ciclo de trabajo se define anteriormente da también la probabilidad de que el dispositivo de orden k está en línea en cualquier punto específico en el tiempo. Por lo tanto la potencia media consumida por todos los dispositivos en el tiempo t viene dado por la curva de tensión de carga transitoria:

(4.41)Suponiendo un voltaje inicial Vo, tal que (4.40) se cumple para todo k, la potencia total consumida por todos los dispositivos es:

(4.42)

Donde fko <1 para todo k.


Aspectos de Carga 125

Una reducción paso en la tensión de alimentación de V o a V en el tiempo t=0 resultará en una disminución inmediata de la energía consumida por los dispositivos que estaban en línea en el tiempo de la perturbación. A medida que pasa el tiempo, sin embargo, los dispositivos individuales se quedarán en línea más larga, ya que las variables del ciclo de trabajo f k (t ) tienden a aumentar hasta que cumplan(4.39) o, alternativamente, hasta que alcanzan su valor máximo de 1. Considere el conjunto:

L (V )={k ,de talmaneraque Pk>GkV2 }

Este grupo se compone de los índices de los dispositivos que no son capaces de restaurar su poder la demanda de una tensión de alimentación igual a V. La potencia total consumida en promedio por todos los dispositivos en estado de equilibrio, es decir después de los ciclos de trabajo de todos los dispositivos se han adaptado a la nueva tensión, es:

Ps (V )=∑k=1

n

f k (∞ )GkV2=∑

k∉LPk+V

2∑k∈ LG k (4.43)

Es evidente que esta potencia es inferior Po si al menos un dispositivo es incapaz de restaurar su poder requisito. Se espera que a medida que la tensión se hace menor, es probable que más dispositivos permanezcan en línea para todos los tiempos, hasta para una tensión suficientemente grande colocar todos los dispositivos y permanecer en línea de forma continua dando así una característica de carga puramente de impedancia incluso en el estado estacionario.

La respuesta dinámica de la carga termostática agregada se puede formular como un tiempo equivalente variando la conductancia:

T LG=Po/V2−G (4.44)

donde T L es la constante de tiempo de recuperación de carga termostática (por lo general en el orden de magnitud de varios minutos). Para la ecuación diferencial anterior hay que añadir la limitación:

G≤Gmax (V )

donde:

Gmax (V )=P s (V )V 2

=∑k=1

n

f k (∞ )G k

depende de la cantidad de equipos en el ciclo de trabajo completo y por lo tanto depende de la tensión nivel V. El valor extremo de Gmax (V ) se logra cuando todo el equipo está en plena ciclo de trabajo, en cuyo caso Gmax es la suma de todas las conductancias. En general:

Gmax (V )≤∑k=1

n

Gk


126 CAPITULO 4

En la literatura existente la dependencia de Gmax en V generalmente se descuida debido a la falta de datos. La potencia total de carga en cualquier punto del tiempo viene dada por:

P=GV 2 (4.45)

Una respuesta típica de la carga termostática agregada derivada por simulación de 10.000 cargas termostáticas individuales se muestra en [Gra88]. Un modelo más detallado de termostática dinámica de la carga que implican dos constantes de tiempo que se pueden encontrar en [Kun94].

[Kar94] informa sobre un estudio que muestra que la tensión de alimentación influye en el comportamiento controladores de termostato. De hecho, termostatos bimetálicos mayores están equipadas con de aceleración y de compensación de elementos, que se anticipan a los cambios en la habitación la temperatura. El calor producido por estos elementos se ve afectada por las variaciones en tensión de alimentación y por lo tanto el ciclo de trabajo del termostato también está influenciada. Por ejemplo, se observa que bajo tensión reducida, los dispositivos de calentamiento se dejan ya bajo el servicio que hace la restauración de carga más rápido. Esto explica por qué el tiempo observado son constantes más pequeñas de lo que se podía esperar de la inercia térmica de los equipos.Termostatos electrónicos modernos, se ven menos afectados por tales cambios en la tensión de alimentación.

4.6 MODELOS GENÉRICOS DE CARGA TOTAL4.6.1 Agregación de la carga

La carga total visto por un transformador de entrega de potencia mayor, como la que se muestra en Fig. 4. 14, es una composición de un gran número de cargas individuales (incluyendo al cliente cableado, transformadores y condensadores) alimenta a través de media tensión y baja tensión líneas de distribución (primarios y secundarios) alimentadores, transformadores de regulación de voltaje, (MV/LV) transformadores de distribución, cambiaron condensadores, etc. [1TF93]. También consta de los componentes sin la dinámica de restauración, así como de componentes con carga restauración en diferentes escalas de tiempo.

Aunque estadísticamente la carga de la misma subestación, al mismo tiempo, de días, en la misma temporada del año, y por las condiciones climáticas similares, tiende a ser bastante consistente, grandes variaciones se observan en el comportamiento de carga de diferentes subestaciones. Incluso en la misma subestación, la carga se comporta de manera diferente en diferentes estaciones del año. La respuesta de carga también puede variar con las condiciones climáticas, entre los días de semana y fines de semana, o entre día y noche.

Así, el problema de modelar la carga agregada como tal, no es fácil de resolver. En esta sección vamos a revisar los modelos que se aproximan al comportamiento estático y dinámico de cargas agregadas. Al igual que en el resto de este capítulo, sólo las características de tensión de se consideran cargas.


Aspectos de Cargas 127

Una técnica frecuentemente utilizada para la construcción de un modelo de carga agregada se basa en el supuesto de que la carga de una subestación particular consiste de una mezcla de componentes, que tienen más o menos un determinado conjunto de características. En la mayoría de los casos, la carga de la subestación se divide en porcentajes de comercial, residencial, industrial, y la carga agrícola. La popularidad de este método es en parte debido al hecho de que es relativamente fáciles de obtener la información requerida de los datos de facturación, por lo general disponible con las compañías eléctricas. Uno puede entonces aplicar características típicas para cada clase de carga a partir de mediciones en otras subestaciones, o de la literatura.

Se necesita una nota de cautela en este punto, ya que las características generales de una carga residencial pueden ser muy diferente de un lugar a otro, incluso en la misma zona, mucho más en diferentes países. Además, la naturaleza de la industrial, o comercial, uso de la electricidad puede ser crítico para la característica industrial en general, o carga comercial. Sin embargo, en el área de una sola utilidad, y concentrarse en el autobuses más sensibles, es posible especificar con bastante precisión las características de cada una de las clases de carga anteriores. Esto se logró por ejemplo en [XVM97].

Programas de ordenador especializados (tales como LOADSYN [PWM88]) pueden ser usados para proporcionar los parámetros de carga (incluidos los parámetros del circuito equivalente para la inducción agregada motores) para un bus específico de carga, cuando la composición de carga, así como el total real y se especifican carga reactiva en el autobús.

4.6.2 Modelos genéricos de carga auto-restauración

En la sección anterior hemos visto que el comportamiento agregado de una serie de termostato controlado cargas de conductancia tiene una tensión transitoria característica con una exponente de 2 (impedancia constante), mientras que después de algún tiempo el voltaje en estado estable característica está más cerca de potencia constante.

El control del termostato es sólo una forma de auto-carga de restauración después de una perturbación.Otros controladores que operan en el mismo período de tiempo de uno o más minutos tienen efectos similares en respuesta a la carga global. Por ejemplo, con alimentadores de distribución reguladores de voltaje y condensadores de tensión controlada, tendrán un efecto de restauración de carga.Además, la reacción del consumidor después de una perturbación puede tener un efecto similar por manualmente conmutación en más dispositivos para compensar la potencia reducida suministrada.

128 CAPITULO 4


Este comportamiento puede ser capturado por los llamados modelos genéricos de carga auto-restauración, como se ha sugerido en la literatura [Hi193, KH94, XM94]. Los modelos de carga genéricos por lo general se asocian con una característica tipo de voltaje exponencial. Adoptaremos esta convención, aunque un polinomio o cualquier otro tipo de característica de la tensión es también aplicable.

Dos variantes del modelo de carga genérica se pueden identificar: el modelo multiplicativo, en el que la variable de estado de carga multiplica la característica de carga transitoria, y el modelo aditivo, en el que se añade la variable de estado de carga a la característica transitoria.En ambos casos, la característica de tensión transitoria es exponencial con exponentes α t, β t.

Modelo de carga genérica multiplicativo

La potencia consumida por el modelo de carga genérica multiplicativo está dada por:

P=z PPo( VV o )α t

(4.46a)

Q=zQQo( VV o )βt

(4.46b)

donde zP y zQ son variables de estado adimensionales asociados con la dinámica de carga.

En estado estacionario la característica de tensión del modelo de carga genérica se convierte en:

Ps=Po( VV o )α s

(4.47a)

Qs=Qo( VV o )βs

(4.47b)

Por lo general, los exponentes de carga transitorias α t, β t tener valores mayores que el estado de equilibrio los α t, β t, de manera que la característica transitoria es más sensible al voltaje . El modelo genérico está restaurando así el poder de carga.

La dinámica de carga del modelo multiplicativo se da por la siguiente diferencial ecuaciones:

T P zP=( VV o )αs−zP ( VV o )

α t

(4.48a)

TQ zQ=( VV o )α s−zQ( VV o )

α s

(4.48b)

que obligan a la característica transitoria hacia el estado estacionario uno con una constante de tiempo T P (resp. TQ) para el (resp. Reactiva) carga activa.



El modelo multiplicativo se inicializa con z p=zQ=1, a fin de lograr un estado estacionario V=V o.

Como en el caso de la carga termostática, los límites deben imponerse a las variables de estado de carga:

zPmin≤ zP≤ z P

max (4.49a)

zQmin≤ zQ≤ zQ

max (4.49b)

Cuando una caída de tensión se vive en el autobús de la carga, la carga responderá inicialmente con sus características transitorias (4.46a, b) y la potencia consumida se reducirá instantáneamente. Después de esto las variables de estado zP, zQ comenzará a aumentar de acuerdo con (4.48a, b) que causa tanto potencia real y reactiva para recuperar sus características en estado estacionario (4.47a, b). Este proceso terminará cuando cualquiera alcance las características de estado estable, o cuando los límites variables de estado (4.49a, b) se encuentran.

Modelo aditivo de carga genérica

En el modelo de carga aditiva la característica de carga transitoria se escribe como:

P=Po[( VV o )α t+zP] (4.50a)

Q=Q o[( VV o )βt+zQ] (4.50b)

Donde de nuevo zP, zQ son variables de estado de carga adimensional.

Tenga en cuenta que el modelo de carga aditivo introduce un término de potencia constante en la característica de carga transitoria. Como veremos en el capítulo 7, tales cargas pueden introducir problemas de singularidad no físicos en la respuesta del sistema. En contraste, la característica transitoria del modelo de carga multiplicativo no incluye un componente de potencia constante, y por tanto es más realista. Referencia [AAH98] muestra una simulación numérica que no se puede proceder cuando las cargas se representan con el modelo aditivo, mientras que proporciona una respuesta perfectamente interpretable cuando el modelo de carga multiplicativo se utiliza en su lugar.

Las características de la carga de estado estacionario (4.47a, b) se aplican también al modelo de carga aditivo, mientras que la dinámica de carga para este modelo se describen por:

T PzP=−z P+( VV o )αs−( VV o )

α t

(4.51a)


T QzQ=−zQ+( VV o )β s−( VV o )

βt

(4.51b)

130 CAPITULO 4

Figura 4.23 Respuesta de carga genérica

Para inicializar el modelo de carga aditivo para V=V o, zP y zQ deben ser puestos a cero. Al igual que en el caso de los límites del modelo multiplicativo, superior e inferior de las variables de estado (4.49a, b) son en general impuesta.

En la Figura 4.23 muestra una respuesta típica de un 10% caída de tensión impuesta a un modelo de carga con α t=1, β t=2 ,α s=0.5 , β s=0.8 y constantes de tiempo T P=TQ=300 s . Tenga en cuenta que el proceso de restauración de cargas definidas por los modelos genéricos presentados en esta sección se refiere a la carga detrás de los transformadores de suministro de energía a granel y por lo tanto es en cascada con la que realiza los LTCs. Las características de la carga de estado estacionario sin embargo incorporan el efecto de LTCs subordinado y otros dispositivos de regulación de voltaje, como se discutió anteriormente.

Los exponentes de carga en régimen transitorio y constante, así como el tiempo constantes de Tp, TQ pueden ser identificados a partir de las pruebas de campo llevadas a cabo en los principales subestaciones HV/MV. El proceso implica o bien una conmutación brusca de uno de los dos transformadores en paralelo, o una caída de tensión más gradual realizada por el cambio de la toma del transformador [SSH77]. Los exponentes se determinan como la sensibilidad normalizada potencia real y reactiva a la tensión, el uso de fórmulas (4.3a, b).


Para dar sólo un ejemplo, las mediciones realizadas por Hydro-Québec dieron un exponente verdadero poder transitorio α t=1.4 restaurar a un estado estacionario de un α s=0.6. Cabe señalar, sin embargo, que las mediciones realizadas recientemente en otra utilidad canadiense (BC Hydro) no han encontrado la recuperación de carga, es decir, α t=α s [XVM97].


Figura 4.24 Diagrama de una línea de un enlace HVDC de dos terminales

4.7 ENLACES HVDC

Un enlace de HVDC puede conectar dos áreas de un sistema de energía proporcionando un camino paralelo para la transferencia de potencia, o puede conectarse de forma asíncrona dos sistemas de alimentación de CA separadas. Desde el punto de vista del análisis de estabilidad de la tensión HVDC terminales del convertidor puede considerarse como cargas de un tipo especial [PSH92]. En esta sección se discuten brevemente el comportamiento de un enlace HVDC teniendo en cuenta sus características de potencia activa y reactiva como se ve desde el sistema de aire acondicionado.

Un diagrama de línea de un enlace de HVDC de dos terminales se muestra en la Fig. 4.24. Por el subíndice r especificamos final rectificador, donde fluye la potencia activa de la CA al sistema de CC, y el subíndice j se denota el final del inversor. Tenga en cuenta que la potencia reactiva se absorbe en ambos extremos de la interconexión DC. Esta potencia es proporcionada por condensadores, filtros de armónicos (que son capacitiva a la frecuencia fundamental) y / o condensadores sincrónicos.

Una descripción detallada del convertidor dinámico, su modelado y los controles correspondientes se puede encontrar en [Kun941]. Los medios de control disponibles incluyen el control rectificador y el inversor de puerta (que puede ser considerado instantáneo) y de los cambiadores de tomas del transformador convertidor, que generalmente operan en múltiplos de 5 segundos. Un bucle de potencia actuando lenta también puede estar presente, el ajuste del punto de ajuste actual. Los efectos de los enlaces CC en la estabilidad de voltaje se analizan en [Tay94J].

En funcionamiento normal, el rectificador ajusta el ángulo de disparo de modo que la corriente DC I d sigue la consigna I ord, mientras que el inversor controla el ángulo de extinción (por lo general a su valor mínimo). El cambiador de tomas en el extremo del rectificador se utiliza para mantener el ángulo de disparo dentro del rango de regulación, mientras que el cambiador de tomas en el extremo del inversor se utiliza para el control de tensión continua.


En estas condiciones la potencia activa en ambos extremos tiene inicialmente una característica de corriente casi constante. Usando un modelo exponencial para

132 CAPITULO 4

representar esta carga, esto significa un exponente α t≃1. En estado estacionario, debido al control de tensión de DC y el control de potencia de bucle exterior, la potencia activa restaura a un valor constante (α s=0). Un modelo de carga genérica sería así para la potencia activa:

P=z Po( VV o ) (4.52a)

Tz=1−z ( VV o ) (4.52b)

Donde T está en orden de 5 a 15 segundos. Tenga en cuenta que el terminal Po inversor es negativo.

La respuesta de la potencia reactiva es bastante complejo, debido a que el factor de potencia depende tanto de la magnitud de voltaje AC y la corriente directa. Por ejemplo, el factor de potencia en el extremo inversor está dada por:

cos ϕi=cos γ−k I dV i

Donde y es el ángulo de extinción, normalmente se mantiene constante a su valor mínimo con el fin de disminuir el consumo de potencia reactiva. Tenga en cuenta que el factor de potencia disminuye para reducir el voltaje de CA y también para el aumento de corriente continua. Así, la potencia reactiva Q se puede representar como una función no lineal de ambos y V, que aumenta con la potencia activa y disminuye con la tensión.

Para evitar el impacto negativo del aumento del consumo de energía reactiva para la tensión reducida, en los sistemas limitados de estabilidad de tensión en los enlaces HVDC tienen controles preventivos, tales como un voltaje dependiente actual Orden Limitador (VDCOL). Este sistema disminuye la consigna de corriente I ord cuando detecta una tensión de magnitud AC debajo de cierto umbral (típicamente 0,9-0,95 pu).

El modelado exacto de HVDC depende del diseño implementación y control particular adoptado. Aparte de los esquemas antes mencionados hay varias otras posibilidades de control de la coordinación [92 CAD]. Además, diversos controles auxiliares, tales como señales de amortiguación o de modulación de potencia para aumentar la estabilidad transitoria, pueden interactuar con la estabilidad de la tensión y deben tenerse en cuenta en los estudios detallados.


4.8 PROBLEMAS

4.1. Dibujar el PV y QV características de estado estable para el motor cuyos parámetros se enumeran en la primera fila de la Tabla 4.3 para par mecánico constante, y luego par


mecánico cuadrática. Sugerencia: Desde Tm es una función conocida de deslizamiento, puede USC (4.19) para resolver para V (por deslizamiento dado). A continuación, P, Q se puede derivar (para el mismo deslizamiento) usando (4.21a, b).

4.2. Investigar el límite de capacidad de carga de un motor de inducción trifásico con cuadrática par mecánico de la siguiente manera: sustituyendo en la condición de equilibrio (4.23) de la eléctrica y el par mecánico a partir de (4.19) y (4.26) respectivamente derivar una expresión para el parámetro de carga T 2 independiente. Un límite de capacidad de carga es uno de T 2 valor extremo, la condición necesario para el que es:

Calcule los límites usando un procesador simbólico para diferenciar las expresiones para T 2 que ha derivado. Tome cualquiera de los motores en las primeras 4 filas de la Tabla

4.3 En el sistema de la Fig. 4.16 la carga en el bus secundario del transformador se compone de Impedancia constante 50% (para V 2=1), la otra mitad ser un motor de inducción de 3 fases con una característica cuadrática mecánica de par (T 2=0.8) y los parámetros de la primera fila de la Tabla 4.3. La potencia reactiva de la impedancia de carga se supone que es compensado por un condensador a juego. Por lo tanto, la potencia reactiva de la carga es la que es consumida por el motor. El generador funciona bajo excitación constante voltaje de 1,4 pu y la reactancia total entre la FEM y la LTC es 1,2 pu. La reactancia de fuga del transformador es 0,15 pu en la base del transformador. Dibuja el Red P1V 1 y características de carga para diferentes valores de la relación del grifo r. Sugerencia: Utilice el deslizamiento del motor como una variable independiente. Luego calcule el motor voltaje de la ecuación de equilibrio, la potencia de carga activo, y V 1/r. La red característica tiene que ser elaborado con los pares P. Q de la carga compuesta derivado como indicado.

4.4. Use un ajuste polinómico para producir aproximada característica de carga para un polinomio motor de inducción, en la región de funcionamiento normal y durante el arranque o se cale. Aplicar a todos los modelos de motor indicados en las figuras. 4.6, 4.8. y 4,12 a partir de datos de la Tabla 4.3.


5

Antecedentes Matemáticos

"No hay un camino real en la geometría"

Euclides

En este capítulo se ofrece una visión general de algunos conceptos matemáticos no siempre cubierto en los programas de ingeniería eléctrica. Nuestro principal objetivo es dar a los lectores una visión general de la dinámica de sistemas no lineales, una perspectiva que resultará útil cuando nos embarcamos en un análisis más detallado de los problemas de estabilidad de voltaje del sistema de potencia complejos. En nuestra exposición asumimos algún conocimiento previo de los sistemas en álgebra lineal y teoría. Los lectores que ya estén familiarizados con la teoría de los sistemas no linear pueden optar por omitir este capítulo. Los interesados en un análisis matemático detallado de dinámica no lineal se deben consultar libros de texto especializados, como 1HK92. GH83, Wig90. Sey88].

5.1 ECUACIONES DIFERENCIALES (TEORIA CUALITATIVA)Para thc mayor parte de este capítulo discutimos propiedades del sistema descritos por Ecuaciones Lineales diferenciales ordinarias (ODEs). Es de conocimiento común que conocer la mayoría de sistemas prácticas de este tipo de arco difícil, poco práctico, o incluso imposible solucionar analíticamente. Por otro lado, en la mayoría de casos, los sistemas no lineales de las odas de arco fácilmente integrado numéricamente, una vez que se proporciona una condición inicial. El cualitativa ola teoría geométrica de ODEs introducidas en 1881 por Henri Poincaré [Poi81] las propiedades generales de soluciones ODE sin recurrir a una integración explícita.

138 CAPITULO 5


5.1.1 Existencia y unicidad de soluciones

La mayoría de los sistemas de ingeniería que implican la dinámica se pueden analizar utilizando una serie de n ordinaria ecuaciones diferenciales, que normalmente se escriben en forma compacta: x=f (x ) (5,1)

donde x es N x 1 vector y sabemos, f i(i = 1, ..., n) es una función no lineal en general de todos los x i(i = 1, 2,..., n).

Suponemos que el lector está familiarizado con el concepto del "estado" de un sistema, que está definido por las variables n estatales que forman la mirada vector x. Los define vector de estado un punto en el espacio de estado, que es el espacio que tiene las variables de estado como sus coordenadas. El tiempo de respuesta de un sistema físico está ligado a una solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias (5.1) para una condición inicial que había dado el vector de estado en el tiempo t=O: x (0 )=xo (5,2)

La condición inicial (5,2) y las Odas (5.1) constituyen un problema de valor inicial. La solución x (t) para una condición inicial xo dado puede ser representado como una curva en el espacio. Vamos a llamar a esta curva la trayectoria del sistema que pasa por x0.los solución x (t) para t> 0 se llama la trayectoria hacia adelante y para t <0 el retroceso trayectoria.

Intuitivamente esperamos que para cada condición inicial existe una solución del sistema no lineal (5.1). Las condiciones en que se describe esta afirmación es correcta en el teorema de la existencia y unicidad de las soluciones. Supongamos que f (x) es definida en un dominio de U, que es un subconjunto de R. De acuerdo con el mencionado teorema [HK92J].

1. Si f es continua en U, existe una solución x (t) para todas las condiciones iniciales xo en U. Cada solución se define en un intervalo máximo de la existencia I xo Que depende con la condición inicial:

I xo :α xo< t<β xo (5.3)

Por supuesto α xo o βxo ambos pueden ser infinita, en cuyo caso existe una solución para todos los valores positivos y / o negativos de tiempo.


2. Cuando f es k veces diferenciables (k≥1), entonces la solución a través de xo es único y tiene k derivadas continuas. , la condición suficiente para la unicidad de las soluciones es que f sea lisa.

Formación Matemática 139

3. Cuando el intervalo máximo de la existencia es finita, los puntos límite de la solución x(t) para t→ β−¿¿ o t→α+¿¿ cualquiera pertenecen a la frontera de U, cuando U es limitada, o son infinitos cuando U es ilimitada.

En el resto de este capítulo vamos a considerar que f es liso en U, por lo que la CC tiene una solución única para todas las condiciones iniciales. Nota de (5.3) que la noción popular de una solución existente "para siempre" puede ser errónea, incluso cuando f es suave.

Ejemplo

Para ilustrar el significado del intervalo máximo de la existencia, considere la diferencial ecuación, tomada (con un signo de modificación) de (HK92J:

ẋ=−x2 (5.4)

El sistema definido en (5.4) tiene la rara ventaja de poseer un tiempo explícita solución, dada por:

x=0 si xo=0 (5.5)

x=1

t+1 /xo si xo≠0 (5.6)

donde xo es la condición inicial para t = 0. 1pica] para respuestas positivas y negativas Inicial condiciones, se representan en la Fig. 5.1. Como puede verse, cuando la condición inicial xo es positivo, la variable de estado z con el tiempo se reduce a cero. Sin embargo, para una condición inicial negativa, el sistema "colapsar" antes de llegar al momento crítico βxo que viene dada por:

βxo=−1/ xo xo<0 (5.7)

Como se ve en la Fig. 5.1, la "vida" de una solución ODE puede limitarse. Cada solución de a partir de una] condición inicial negativo tiene un límite superior finito de su intervalo de existencia dependiendo de la condición inicial. Por otro lado, cuando la condición inicial es positivo, existen las soluciones para todos los tiempos t> 0. Nota que en este caso THC trayectoria hacia atrás (es decir, para t <0) tiene un finito límite inferior α xo obligado de su intervalo de la existencia dada por:

α xo=−1/ xo xo<0 (5.8)


En términos más dramáticos, las trayectorias con xo<0 están condenadas a derrumbarse en algún momento futuro específico en el tiempo, mientras que aquellos con xo>0 se originan a partir de un "big bang" que ocurrió en algún momento del tiempo en el pasado.

140 CAPITULO 5

Figura 5.1: Soluciones temporales de ẋ=−x2

5.1.2 Equilibrios y su estabilidadEn esta sección se discuten las propiedades de estabilidad de los puntos de equilibrio (o, simplemente, equilibrios) del sistema definido por la ecuación (5.1). Los puntos de equilibrio (si las hay) sondado por las soluciones de x de las ecuaciones algebraicas:

f(x) = 0 (5.9)

Un punto de equilibrio x* es una solución particular de la EDO (5.1), ya que para xo=x¿

uno obtienex (t )=x¿ para todo tiempo.

Estabilidad

Un punto de equilibrio x* se llama estable si todas las soluciones, con una condición cerrada inicial x* permanecen cerca de x para el tiempo. La siguiente definición de estabilidad se debe a [Lia66] y se ilustra gráficamente en la figura 5.2.:


Un punto de equilibrio x* es estable si para todo entorno V de x* que puede encontrar una V 1 entorno de x* tal que para todo xo∈V 1 la solución x (t) existe y se encuentra en V por todo el tiempo t>0.

Por otra parte, se dice que el equilibrio es asintóticamente estable cuando todas las trayectorias con xo∈V 1 enfoque x* es t→∞. Un equilibrio que es estable ni se llama inestable.


Figura 5.2 Definición de estabilidad Figura 5.3 Región de atracción

Como se ve en la definición anterior, la estabilidad se refiere a un punto de equilibrio y es, por lo tanto, una propiedad local. Si uno está interesado en el comportamiento global de (5.1), es decir, sus soluciones para todas las condiciones iniciales, una pregunta sin respuesta es que se sentirán atraídos trayectorias por un equilibrio estable y que las trayectorias se divergir lejos de ella. El conjunto más grande A, de tal manera que todas las trayectorias con condiciones iniciales xo ∈ A se acercará finalmente una asintóticamente estable de equilibrio x* es conocida como la región de atracción (también llamado dominio o cuenca de atracción) de x*. La región de la atracción de un asintóticamente equilibrio estable se ilustra gráficamente en la Fig. 5.3.

Consideremos ahora un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias:

x=Ax (5.10)

Es bien conocido que el sistema lineal (5.10) sólo tiene un punto (x * = O) de equilibrio, la estabilidad de los cuales está determinado por los valores propios de la matriz de estado A. Si todo valores propios tienen partes reales negativas, el equilibrio es asintóticamente estable. Si al menos un valor propio tiene una parte real positiva, el equilibrio es inestable. Nótese que en sistemas lineales de la región de la atracción de un equilibrio asintóticamente estable es el espacio de estado conjunto: todas las condiciones iniciales dan trayectorias se acercan al origen.

En contraste con los sistemas lineales, en un sistema no lineal siempre hay que ser conscientes de los siguientes hechos:


el número de equilibrios varía. Un sistema puede tener uno, más de uno, o ningún equilibrio.

la región de la atracción de un equilibrio estable puede ser limitada, por lo que la existencia de un equilibrio estable no es suficiente para garantizar la estabilidad.

142 CAPITULO 5

En la mayoría de los casos se puede determinar la estabilidad de un sistema no lineal de equilibrio por examinar el sistema linealizado alrededor de un punto de equilibrio x*. Definición:

∆ x=x−x¿ (5.11)

y manteniendo sólo el término de primer orden del desarrollo en serie de Taylor de f alrededor de x se llega a la siguiente sistema lineal :

∆ x=A ∆ x (5.12)

donde la matriz de estado A se define como el Jacobiano de f con respecto a x evaluado en x*:

A=∂ f∂x x=x∗¿=f x¿ ¿

(5.13)

A también se llama el jacobiano estado. La estabilidad del punto de equilibrio es x determinada por la del sistema linealizado (5,12). Más específicamente:

si todos los valores propios de f , tienen partes reales negativas , el equilibrio x* es asintóticamente estable;

si al menos un valor propio de la matriz de estado del sistema linealizado tiene una parte real positiva, el equilibrio x es inestable.

Tipos de equilibrios

Equilibrio asintóticamente estable son llamados sumideros, o nodos estables. Si todos los valores propios tienen partes reales positivos el equilibrio inestable se denomina nodo de origen o inestable. Si algunos valores propios tienen partes reales positivas y todos los demás tienen partes reales negativas, el equilibrio inestable se llama una silla de montar.

Tenga en cuenta que la linealización no proporciona ninguna información sobre la estabilidad de un equilibrio, para los que el Jacobiano correspondiente f tiene uno o más valores propios con real cero partes. Por ejemplo, considere de nuevo el sistema de primer orden (5.4), que se introdujo en la sección anterior. Este sistema tiene sólo un punto de equilibrio en el origen (x *=0), alrededor de la cual los resultados de linealización en un Jacobiano cero:

∆ x=−2x¿∆ x=0 (5.14)


La estabilidad de este equilibrio no puede ser determinada por linealización, así que tenemos que se basan en la definición de estabilidad: ya que en cualquier barrio de x*=0 existen inicial condiciones (x¿<0), para el que la trayectoria hacia adelante es ilimitada, el equilibrio es inestable. Este tipo particular de punto de equilibrio se llama un nodo silla de montar.


Figura 5.4 a) nodo estable, b ) nodo inestable, c ) silla-nodo

Para un sistema de primer orden, se muestran los tres tipos de puntos de equilibrio en la Fig. 5.4. Estos son el nodo estable, el nodo inestable y el nodo de silla de montar. Las flechas en la figura muestra la dirección de las trayectorias.

En los sistemas multivariables un nodo de silla de montar se caracteriza por una Jacobiano estado, que tiene un valor propio cero. Cerca del nodo silla existe una dirección en el espacio de estado, a lo largo que las trayectorias se comportan como se muestra en la Fig. 5.4c, acercándose al equilibrio de por un lado, y divergiendo en el otro. Tenga en cuenta que cuando f tiene valor propio cero su determinante es también cero.

Otro tipo especial de equilibrio es el centro. Un centro es un punto de equilibrio, el modelo linealizado de los cuales se caracteriza por un par de valores propios complejos conjugados con cero parte real. Vamos a dar un ejemplo de un centro en el apartado siguiente.

Si su meta era estudiar un sistema de un solo conjunto de condiciones, los valores de los parámetros, etc, entonces sería extremadamente improbable encontrar equilibrios extrañas, tales como silla de montar nodos o centros. Sin embargo, en los sistemas de energía de ingeniería se tiene a menudo para examinar toda una serie de puntos de funcionamiento, algunos de los cuales pueden ser estables, mientras que otros son inestable. Por tanto, es inevitable que un caso especial de un equilibrio, tales como la silla-nodo, existe entre los casos estables e inestables. Volveremos a esta noción cuando se habla de bifurcaciones en la Sección 5.3.

5.1.3 Variedades invariantes


Hemos visto en la sección anterior que el sistema linealizado (5.12) puede proporcionar información útil relativa a la estabilidad de los puntos de equilibrio de la no lineal del sistema (5.1). Ahora vamos a mostrar cómo los vectores propios del sistema linealizado pueden ser generalizada en el caso no lineal.

144 CAPITULO 5

La propiedad de invariancia en vectores propios

Es bien sabido que la respuesta del sistema lineal (5.10) para cualquier condición inicial se puede expresar en términos de la derecha (v) y la izquierda (w) vectores propios de la matriz de estado A. Estos vectores propios satisfacen las siguientes relaciones:

Av i=λi v i i=1 ,…,n (5.15)

w iT A= λiwi

T i=1 ,…,n (5.16)

Para simplificar, vamos a suponer que el sistema linealizado tiene valores distintos propios n, en las que caso de que los autovectores izquierdos y derechos para diferentes valores propios son ortogonales entre sí:

w iT v j=0 i≠ j (5.17)

La respuesta del sistema lineal para una condición inicial xo viene dada por:

x (t )=∑i=1

n

eλi t v iw iT xo (5.18)

Consideremos ahora una colineal condición inicial x0 con un vector propio v derecha, i.e.

xo=av i (5.19)

Sustituyendo en (5.18) y haciendo uso de (5.17) se obtiene:

x (t )=aeλi t (wiT v i )v i=b v i (5.20)

La ecuación (5.20) demuestra la propiedad de invariancia de un vector propio derecho: "una vez en un vector propio, siempre en el vector propio". Por otra parte, si λ i tiene una parte real negativa, la trayectoria x (t) dado por (5.20) se acerca al punto de equilibrio en el origen, ya que e λi t tiende a cero cuando t→∞ Del mismo modo, si λ i tiene una parte real positiva, la trayectoria hacia atrás x (t) se origina en el punto de equilibrio (para t→−∞).

Tenga en cuenta que todos los subespacios atravesado por un número de vectores propios (derecha) tienen la misma propiedad de invariancia. Por ejemplo considere un punto inicial en el plano abarcado en dos vectores propios vi, v j:

xo=av i+bv j (5.21)


La trayectoria a partir de xo es:

x (t )=[aeλ i t (w iT v i )] v i+ [be λ j t (w j

T v j) ]v j=c v i+d v j (5.22)

Por lo tanto, se encuentra totalmente en el plano definido por vi , v j .


En particular, el subespacio generado por todos los vectores propios que corresponden a los valores propios con partes reales negativas forma el espacio característico estable del sistema linealizado.

Todas las trayectorias en el espacio propio estable se acercan al origen como x. El subespacio generado por todos los vectores propios correspondientes a valores propios con real positivo forma partes en el espacio propio inestable. Todas las trayectorias en el espacio propio inestable se originan en el punto de equilibrio. Por último, el subespacio generado por los vectores propios correspondientes a valores propios con cero partes real constituye el espacio propio centro [GH83].

De diferentes espacios a colectores

En un sistema no lineal de la propiedad de invariancia de vectores propios y diferentes espacios es transferido a variedades invariantes de las mismas dimensiones. Por el término "colector" nos referimos a una línea suave curva, superficie o hipersuperficie, sin auto- intersecciones, u otros puntos singulares. Un colector de invariante es un subconjunto del espacio de estado, tal que cualquier trayectoria comienza en el colector permanecerá en ella durante todo el tiempo.

Los diferentes espacios estables, inestables y centro del sistema linealizado alrededor de un punto equilibrio x* corresponden a las variedades estables e inestables y centro de la no lineal sistema. Al igual que en el caso del espacio característico estable, todas las trayectorias con condiciones inicailes en la variedad estable permanecen en el colector de todos los tiempos, y se acercan al punto de equilibrio x* como t→∞. Del mismo modo, todas las trayectorias hacia atrás en la inestable colector proceden de x*, es decir, que se acercan a x* como t→−∞. Cerca del equilibrio señalan el local estable, inestable y colectores centrales son tangentes al correspondiente espacio del sistema linealizado.


Figura 5.5 Local estable, inestable, y centros de colectores.

146 CAPITULO 5

En la Fig. 5.5a, b, que ilustran las variedades estables e inestables (con curvas continuas) y los vectores propios correspondientes (derecha con líneas de trazos) de dos sistemas de segundo orden. Ambos sistemas tienen un punto de equilibrio en el origen. El equilibrio en la Fig. 5.5a puerto Jacobiano con un cero positivo y otro negativo, y el sistema en la Fig. 5.5b tiene un jacobiano con un cero valor propio y un valor propio negativo. Tenga en cuenta que no se nos permite asignar la dirección de las trayectorias en el colector central sin conocer las características no lineales del sistema.

Figura 5.5 proporciona sólo una visión local de las variedades estables, inestables y centro. Una perspectiva global de las variedades estables e inestables puede revelar establecimientos interesantes, como el siguiente ejemplo ilustra.

Ejemplo. "El pescado"

Considere el sistema de segundo orden (que correspondería con el modelo clásico de un solo generador - sistema de bus infinito con cero amortiguaciones):

ẋ1=a2 ẋ2a>0 (5.23a) ẋ2=0.5−sinẋ1 (5.23b)

Este sistema tiene dos equilibrios:

x(1)=[π /60]T

x(2)=[5π /6 0]T

El jacobiano de este sistema es:

f x=[ 0 a2

−cos x1¿ 0 ]


En ẋ(1) los valores propios del sistema linealizado son puramente imaginaria:

λ1.2(1)=± j 0.931a

Por lo tanto, este punto de equilibrio es un centro y su estabilidad no puede ser decidida por linealización. El otro punto de equilibrio en x1 es un puerto positivo y otro valor propio negativo:

λ1.2(2)=±0.931a

En la Fig. 5.6 hemos representado las trayectorias del sistema (5.23a, b) para algunas condiciones iniciales. Un conjunto de trayectorias de este tipo se suele llamar un retrato de fase. Es fácil comprobar la orientación de las trayectorias mostradas en la Fig. 5.6: debido a (5.23a) las trayectorias en

Figura 5.6 Retrato fase de "los peces"

el semiplano superior se mueve hacia la derecha y en el medio plano inferior se mueven hacia la izquierda.Siguiendo [HK92] el sistema exhibe el retrato de fase de la figura. 5.6 se refiere como "el pez".

Es fácil comprobar que todas las trayectorias cerca de la x(1) central son oscilaciones periódicas con amplitud constante. Volviendo a la definición de estabilidad que se le dio en la sección anterior, podemos comprobar fácilmente que este equilibrio es estable pero no asintóticamente estable.

Volvamos ahora al punto de equilibrio de inestable x(2). El vector propio de λ1

(2)=±0.931a o formas el espacio propio inestable del punto de puerto viene dada por:

v1(2)=[a 0.931 ]T

Como se ve en la Fig. 5,6 v1(2)es tangente a la variedad inestable local. El espacio propio

estable es el vector del valor estable λ2(2)=−0.931a que es:

v2(2)=[a −0.931 ]T


y es tangente a la variedad estable local.

Una característica importante del sistema no amortiguado (5.23a, b), se muestra en la Fig. 5.6 es que una rama de la variedad estable del equilibrio inestable coincide con una rama de la variedad inestable del equilibrio formando lo que se conoce como un bucle homoclínico. Esta propiedad es sólo un ejemplo de los diversos comportamientos exóticos que se pueden encontrar en el análisis de casos especiales de los sistemas no lineales.

5.1.4 Ciclos límite y su estabilidad

En este apartado se discute otro aspecto de los sistemas no lineales: la existencia de soluciones periódicas de (5.1). Una solución periódica es una función x (t) que satisface (5.1) y que tiene la propiedad:

x (t+T )=x (t ) (5.24)

para todo t. El periodo de la solución periódica es el número más pequeño Z 'para los que (5.24) se cumple.

Considere la posibilidad de una trayectoria a partir de un punto x acostado en una solución periódica. De acuerdo con (5.24) en el tiempo t =T la trayectoria pasará de nuevo a través de x, y vuelve sobre su curso a partir de ahí. Por lo tanto, una solución periódica forma una curva cerrada en el espacio n-dimensional.

Un ciclo límite es una solución periódica aislado del sistema (5.1). Tenga en cuenta que las soluciones periódicas muestran en la Fig. 5.6 rodea el centro estable x ('no limitar los ciclos, ya que no están aislados: hay un número infinito de soluciones periódicas cerca de cada uno de ellos.

La definición de estabilidad para un ciclo límite es análoga a la de un equilibrio:

un ciclo límite es asintóticamente estable, si todas las trayectorias que comienzan cerca del ciclo límite se acercan al ciclo límite al aumentar el tiempo;

un ciclo límite inestable es uno, para lo cual hay trayectorias que comienzan cerca de lalimitar ciclo que divergen de distancia.

Ahora vamos a dar dos ejemplos de sistemas no lineales que presentan ciclos límite

Ejemplo. Ciclo límite estableEste ejemplo es una ligera modificación de la Van der Pot oscilador [GH83J. Se trata de un sistema de segundo orden, cuyas ecuaciones son:

ẋ1=ẋ2 (5.25a)

ẋ2=10(−x 1+ x2−x 32) (5.25b)

El único punto de este sistema de equilibrio es el origen x '= 0. linealización alrededor

este equilibrio se obtiene:


∆ ẋ 1=∆ x 2 (5.26a)

Figura 5.7 Estable Van der Pol oscilador

∆ ẋ 2=−10∆ x 1+10∆ x2 (5.26b)

Los valores propios de la matriz de estado son:

λ1=+8.87 λ2=+1.13

y por lo tanto el equilibrio es un nodo inestable.

Puede verificarse fácilmente mediante simulación numérica que todas las trayectorias de partida cerca del equilibrio inestable finalmente terminan en una oscilación periódica, que se muestra en el espacio de estado de la Fig. 5.7 como una curva cerrada. Dado que la solución periódica está aislado, es un ciclo límite. Como se ve en la figura todas las trayectorias se originan ya sea dentro o fuera del ciclo límite se acercan a la solución periódica. Así, el ciclo límite es asintóticamente estable.

Ejemplo. ciclo límite inestable

Vamos ahora a modificar las ecuaciones (5.25a, b) del oscilador estable de la siguiente manera:

ẋ1=10 x2 (5.27a)

ẋ2=−x1−x2+ x23 (5.27b)

El sistema (5.27a, b) de nuevo tiene un único punto de equilibrio en el origen con los valores propios siguientes


λ=−0.5± j 3.12

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Figura 5.8 Ciclo límite inestable

Como se ve por las partes reales de valores propios, este punto de equilibrio es ahora estable. Las trayectorias a partir de las condiciones iniciales en la z positivo; eje, hasta un crítico punto x i, espiral hacia adentro, hacia el equilibrio estable, mientras que los que empiezan más allá de este punto crítico divergir. Dos trayectorias de partida cerca del punto crítico, uno que converge hacia el equilibrio y uno divergente se muestran en la Fig. 5.8 con líneas de trazos. Entre estos dos trayectorias podemos identificar un ciclo límite inestable se muestra en la Fig. 5.8 con una línea continua.

Dado que este es un sistema de segundo orden, el ciclo límite que separa el espacio de estados en dos componentes. Tenga en cuenta que en este caso, la región de atracción del equilibrio estable es el interior del ciclo límite. El límite de la región de la atracción es el ciclo límite en sí.

Al igual que en los puntos de equilibrio, ciclos límite tienen variedades invariantes. Sin embargo, estos son difíciles de visualizar en dimensiones superiores. La variedad estable de un ciclo límite es el mayor conjunto, de manera que todas las condiciones iniciales en el resultado conjunto de trayectorias que se acercan al ciclo límite, y la variedad inestable de un ciclo límite es el mayor conjunto, tales que todas las trayectorias hacia atrás que pasan a través de sus puntos se originan en el ciclo límite t→−∞.

Es fácil ver qué pasa con los sistemas de segundo orden las variedades estables e inestables de ciclos límite triviales: la variedad estable del ciclo límite estable de la figura. 5.7 es todo el espacio de estados; la variedad estable del ciclo límite inestable de la fig. 5,8 es el ciclo límite en sí y todo el espacio de estados restante es su variedad inestable.



5.1.5 Región de Atracción

En la Fig. 5.3 hemos introducido el concepto de la región de la atracción de un. Asintóticamente equilibrio estable X*. La región de la atracción es el mayor subconjunto A (x *) de espacio de estados para los que:

xo∈ A ( x¿)⟺ limt→∞

x (t )=x¿ (5.28)

De ello se desprende directamente de la definición anterior que si un punto pertenece a la región de atracción A, su trayectoria hacia atrás es también parte de A.

La región de la atracción no es necesariamente limitada. Cuando existe, el límite dela región de la atracción consiste de partes de los colectores estables de equilibrio inestable puntos y ciclos límite inestables. Nos ilustran la importancia de las variedades estables de inestables equilibrios y limitar ciclos utilizando dos de nuestros ejemplos anteriores de segundo orden sistemas.

En el caso del "pez" (Fig. 5.6) el estable equilibrio del punto x(1) no es asintóticamente estable. Es fácil ver que la rama de la variedad estable de equilibrio inestable x (2) rodea x(1)

(circular homoclínico) es separar el espacio de estados en dos regiones: un región de estabilidad oscilatoria dentro del bucle homoclinico, y una región del divergente trayectorias fuera del bucle.

Vamos ahora a modificar este sistema añadiendo un poco de amortiguación en (5.23b):

ẋ1=a2x2 (5.29a)

ẋ2=0.5−0.111x2−sin x1 (5.29b)

Los puntos de equilibrio siguen siendo los mismos, ya que en el equilibrio x2=0.

El Jacobiano estado del sistema amortiguado (5.29a, b) es:

f x=[ 0 a2

−cos x1¿ −0.111]

Elegir por ejemplo a2=314.16, en el equilibrio x1¿=π /6 el valor propio del sistema linealizado

es:

λ1.2(1)=−0.0555± j16.5

Por lo tanto, esto es un equilibrio asintóticamente estable. El otro punto de equilibrio en x1

(2)=5π /6 es de nuevo una silla de montar, con una positiva y una negativa auto valor:

λ1(2)=+16.44 λ2

(2)=−16.55


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Las variedades estables e inestables del punto de equilibrio inestable del amortiguado sistema (5.29a, b) se muestran en la Fig. 5.9.

Figura 5.9 Región de atracción del sistema amortiguado

El bucle homoclínico está roto. Sólo una rama de la variedad inestable locales de se muestra el equilibrio, la otra rama que consiste en una espiral convergente lentamente a la de equilibrio estable. El límite de la región de atracción A del equilibrio asintóticamente estable x(1) está formada por dos ramas de la cuadra colector de x(2). Tenga en cuenta que a lo largo de la dirección, donde las dos ramas de la cuadra enfoque múltiple entre sí asintóticamente, la región de la atracción es ilimitada. Dentro de la región de atracción A las trayectorias en espiral hacia adentro, hacia x(1).

Consideremos ahora de nuevo el sistema (5.27a, b), cuyo retrato de fase se muestra en Fig. 5.8. Como se discutió antes, la región de la atracción del único punto de equilibrio x * = 0 está limitada por el ciclo límite inestable. En un sistema dimensional superior con un estructura similar, el límite de la región de atracción consiste en la variedad estable del ciclo límite inestable cerca del equilibrio. Esto es difícil de ilustrar con dos imágenes tridimensionales, por lo tanto, tenemos que confiar en la imaginación del lector.

Una nota se debe relativa a las dimensiones de variedades estables en el estado n-dimensional espacio. Puntos de equilibrio inestable, con sólo un valor propio positivo (a menudo llamado tipo1) tener una variedad estable cuya dimensión es n - 1. A nivel local la variedad estable es tangente al espacio propio abarcado por los vectores propios de los estables n 1 valores propios. Del mismo modo, un ciclo límite inestable de tipo 1 tiene una variedad estable de dimensión n 1. Nota que, debido a la singularidad de soluciones de un sistema suave, colectores estables de distinta ciclos de equilibrios o límite no pueden cruzarse.



5.2 BIFURCACIONES

En esta sección se explica en términos simples, el concepto de bifurcación y su importancia para sistemas no lineales, tratando de responder a las preguntas planteadas por muchos legítimamente la práctica de los ingenieros. Como punto de partida, vamos a afirmar que las ofertas de la teoría de la bifurcación con uno de los aspectos clave de los sistemas no lineales: la aparición de los cambios repentinos en el sistema la respuesta que surge de, variaciones de parámetros continuos suaves [Arn86]. Cierto es que, esta descripción trae a la mente un escenario típico de colapso de tensión.

5.2.1 ¿Qué es una bifurcación?

En esta sección vamos a considerar las familias de suaves ODEs de la forma:

ẋ= f (x , p ) (5.30)

donde x es a n×1 vector de estado y p es un vector de parámetros k ×1. Para cada valor de p los puntos de equilibrio del sistema (5.30) están dados por las soluciones de:

f ( x¿ , p )=0 (5.31)

La ecuación anterior define el colector de equilibrio k-dimensional en el (n + k) espacio dimensional de los estados y parámetros. Considere un punto de equilibrio 1) correspondiente al parámetro valora po y asumir que el Jacobiano de f respecto a X es no singular en este punto:

det f x (x(1), po )≠0 (5.32)

Por el teorema de la función implícita, existe una función suave única:

x¿=g (1)( p) (5.33)

con x(1)=g (1)( po), dando una rama de puntos de equilibrio de (5.30) como una función de p. Consideremos ahora que para el mismo valor de po hay otro punto de equilibrio x(2), es decir, un segunda solución de (5.31), para lo cual también el Jacobiano f x (x(2) , po ) no es singular. Por el teorema de la función implícita, tenemos una segunda función:

x¿=g (2 )( p) (5.34)


con x(2)=g (2 )( po), dando otra rama de puntos de equilibrio de (5.30) como una función de p.

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El término "bifurcación" se origina en las ramas concepto diferente de equilibrio puntos de intersección entre sí, y por lo tanto "bifurcar". En estos puntos de bifurcación del jacobiano f x es singular, y por consiguiente el teorema de la función implícita no puede ser aplicado.

Vamos a ilustrar el concepto anterior con un ejemplo. Considere el sistema de primer orden:

x=x2−2 x+1.1−μ (5.35)

donde μ es un parámetro escalar (p=μ y k=1). En Fig. 5.10 graficamos los dos con g(1 )(μ ) y g(2 )(μ ), de este sistema en el parámetro de estado, es decir en el plano (μ , x ). Las dos ramas se cortan en el punto de bifurcación B (μ=0.1 , x¿=1). Donde ∂ f /∂x=0.

Figura 5.10 Bifurcación de equilibrios

Generalizar el concepto de bifurcación de las ramas de equilibrio discutidos anteriormente, decimos que se produce una bifurcación en cualquier punto en el espacio de parámetros, para los cuales el cualitativa estructura del sistema (5.30) cambios para una pequeña variación del vector de parámetros p. No vamos a intentar una definición rigurosa de la estructura cualitativa de un sistema, que está vinculado a conceptos como estabilidad estructural [PSL95a, PSL95b]. Lo haremos acaba de dar a continuación una lista exclusiva de propiedades, un cambio en cualquiera de los cuales constituye una bifurcación:

1. número de puntos de equilibrio;2. Número de ciclos límite;



3. estabilidad de puntos de equilibrio o ciclos límite;4. período de soluciones periódicas.

En este libro vamos a discutir sólo los primeros 3 tipos de cambios en la estructura cualitativos y bifurcaciones correspondientes. Puesto que éstos tratan de propiedades locales, tales como la estabilidad de los equilibrios y órbitas periódicas, estas bifurcaciones son los locales. La lejanía comportamiento más complejo encontrado en bifurcaciones globales no se analizará en este libro, aunque tales fenómenos se han reportado en la literatura sistema de potencia [LA93].

Por otra parte, lo haremos encontrado en una sola (SNB) ya que se refiere el último limitarnos a las bifurcaciones que se espera que sean las familias de los parámetros de las ODEs. Estos son los de una silla-nodo Bi la bifurcación Poincaré-Andronov-Hopf, que es habitualmente nombre, es decir, como Bifurcación Hopf (HB).

Otros, más complejos, bifurcaciones no son genéricas en familias solo parámetros, significación que pueden ocurrir sólo como excepciones aisladas. Sin embargo, las bifurcaciones más complejo que los discutidos aquí a ser genérica en el caso de múltiples parámetros.

5.2.2 Bifurcación silla-nodo

Considere la posibilidad de una familia de un solo parámetro de ODEs:

x= f (x ,μ) (5.36)

con la siguiente condición de equilibrio:

f ( x¿ , μ )=0 (5.37)

Un SNB es un punto en dos ramas de equilibrios se reúnen, como el punto B en el ejemplo de la Fig. 5. 10. En la bifurcación del equilibrio se convierte en un nodo de la silla de montar, por lo tanto el nombre de la bifurcación. Como se discutió anteriormente, en este punto el Jacobiano f x estado, tiene que ser singular. Por lo tanto, las condiciones necesarias para una SNB son dados por las ecuaciones de equilibrio (5.37) junto con la siguiente condición: det f x (x(1) , μ )=0 (5.38)

Estos son n+1 ecuaciones en n+1 variables (x y μ).

No todos los puntos que satisfacen estas condiciones necesarias son puntos SNB. Para ilustrar la naturaleza de las condiciones suficientes que consideramos un sistema escalar. Para tal sistema las condiciones suficientes SNB son:

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