PAC 2. Proporció i Simetria en el dissenygraumultimedia.com/wp-content/uploads/PAC-2... · • El...

Matemàtiques per Multimèdia IPAC 2. “Proporció” i “Simetria” en el disseny

PAC 2Pere Amengual GomilaNovembre 2013

PAC2. Proporció i Simetria en el disseny

2

Mòdul 1Exercici 1

a) A l'arxiu img001.jpg teniu una imatge d'amplada 480 i alçada 360 px:

Responeu les següents preguntes breus i adjunteu un arxiu Ex1a_sol.fla que mos-tri la situació final després d'haver seguit els passos indicats:

- Quina és la proporció de la fotografia?

Definint la proporció com el quocient entre el més gran i el més petit dels costats de la imatge, ens resulta una proporció de 480/360, que és igual a 4/3

- Volem importar-la a un escenari Flash d'alçada 600 px i ampliar-la de manera que la fotografia ocupi tot l'escenari. Quin és el factor d'ampliació que cal utilit-zar, aproximat amb 3 decimals?

La relació entre la alçada que volem aconseguir i la que tenim és de 600/360, igual a 5/3, per la qual cosa el factor d’ampliació haurà de ser aquest, amb tres decimals: 1,667.

(Per a fer-ho podríem utilitzar l'opció de menú Modificar-Transformar-Escalar/Girar)

Quina haurà de ser l'amplada de l'escenari per a que la fotografia l'ocupi tot? Quina serà la proporció d'aquest escenari?

(Hauríem de centrar la fotografia modificant les seves coordenades)

Si la nova alçada és 600px i la proporció 4/3 s’ha de mantenir, x/600 = 4/3, que es resol com x =800 px.

b) Ens demanen retallar 30 px de la banda dreta de la fotografia original i 30 px de la banda inferior.

Responeu les següents preguntes breus i adjunteu un arxiu Ex1b_sol.fla que mos-tri la situació final després d'haver seguit els passos indicats:

- Quina serà ara la proporció de la fotografia?

(480-30)/(360-30) = 450/330 = 15/11

- Volem seguir ocupant la mateixa alçada d'escenari. Quin factor d'ampliació (arrodonit a 3 decimals) utilitzaries per a aconseguir aquesta segona transforma-ció de la imatge a partir de l'original?

Si la alçada actual és 330 px i volem omplir un escenari d’alçada 600 px, el factor d’ampliació que haurem d’aplicar aquesta vegada (arredonit a tres decimals) és 600/330=1,818.

- Quina hauria de ser l'amplada aproximada de l'escenari per a mantenir la pro-porció de la fotografia?

Si la proporció de la fotografia retallada és 15/11 i la alçada és 600px, la nova amplada ha de ser x/600 = 15/11, que es resol com 818 px (arredonit, ja que els pixels sempre són un nombre enter).


3

Mòdul 1Exercici 2

a) Calculeu l’alçada d’un edifici que fa una ombra de 10 m a la mateixa hora que una paperera propera de 1,20 m fa una ombra de 0,50 m.

El sol és tan lluny que, a efectes pràctics, podem considerar que els raigs de sol són paral·lels. Si també assumim que tant l’edifici com la paperera es troben per-pendiculars al sol, ens trobem amb dos triangles semblants (tots els seus angles són iguals) i, per tant, els seus costats són proporcionals.

x/10 = 1,20/0,50

x = (1,20/0,50) * 10

x = 24 metres

10 metres 0,50 metres

“x” metres

1,20 metres


4

b) Volem fer una ampliació d’un dibuix de costats 90 mm i 130 mm de manera que la diagonal del dibuix ampliat tingui mida 222 mm. Calculeu la longitud dels costats del dibuix ampliat.

Quan ampliem el dibuix volem mantenir la mateixa proporció. Per tant, la pro-porció entre la diagonal ampliada i la original ha de ser la mateixa que entre els costats ampliats i els originals. Per calcular la diagonal original fem servir el teorema de Pitàgores. Hipotenusa = √(catet2 + catet2) = √(1302 + 902) = √(16900 + 8100) = √25000 = 158,11 mm.

La proporció entre la hipotenusa ampliada i la original és 222/158,11 = 1,40

Aplicant aquesta proporció als costats del dibuix original formulem

x/90=222/158,11 del que resulta x = (222/158,11)*90, x = 126,37 mm.

i y/130=222/158,11 del que resulta y = (222/158,11)*130, y = 182,53 mm.

90

130

158,11

182,53

126,37

222


5

Mòdul 1Exercici 3

a) Digueu quin tipus de proporció té un rectangle de 54x30 mm. Doneu dues mides possibles (enteres i majors que 1mm) del costat del quadrat base d’una quadrículació que ompli aquest rectangle. Digueu quants quadrats formen ca-dascuna de les dues quadriculacions triades i comproveu que la suma de les àrees dels quadradets és l’àrea total del rectangle.

Seguint la definició de proporció com “el quocient del més gran entre el més petit”, obtenim que la proporció del rectangle és 54/30 = 9/5. Es tracta d’una proporció racional.

Un rectangle de 54x30 mm. té una proporció racional de 9/5. El costat del quadrat base d’una quadriculació que ompli aquest rectangle tendrà la mida a/m, sent a/b els costats i m/n la proporció. Per tant, donats els costats a= 54 i b=39, i la pro-porció 9/5 obtenim que a/m és igual a 54/9 = 6 mm. Aquest valor és vàlid ja que compleix les dues condicions: és enter i major que 1 mm.

Podem trobar altres valors del quadrat base fent servir fraccions equivalents amb les que també es compleixi el resultat que demana l’enunciat; per exemple, si fem servir 18/10 com a/m obtenim 54/18 = 3 mm. Aquest valor també és vàlid.

Adicionalment, es poden analitzar tots els altres valors possibles fins que arribem a valors per el costat iguals o menors a la unitat i descobrirem que només hi ha un tercer valor enter possible, que és el costat de mida 2 mm.

La primera combinació triada ens dóna una quadrícula formada per 54/6 = 9 qua-dradets en horitzontal i 30/6 = 5 quadradets en vertical de 6mm. de costat. Un total de 9 * 5 = 45 quadradets. L’àrea total del rectangle és 54 x 30 = 1620 mm2; si l’àrea de cada quadradet és de 6 * 6 = 36 mm2 comprovem que 45 unitats * 36 mm2 = 1620 mm2.

La segona combinació triada ens dóna una quadrícula formada per 54/3 = 18 quadradets en horitzontal i 30/3 = 10 quadradets en vertical de 3mm. de costat.

Un total de 18 * 10 = 180 quadradets. L’àrea total del rectangle és 54 x 30 = 1620 mm2; si l’àrea de cada quadradet és de 3 * 3 = 9 mm2 comprovem que 180 unitats * 9 mm2 = 1620 mm2.

54

30

6

3


6

b) Dibuixeu en un arxiu Ex3b_sol.fla un rombe format per dos triangles equilàters de 40 px de costat i trobeu la proporció aproximada entre les seves diagonals. Demostreu que la proporció teòrica és no racional (simplificant arrels quadrades). Podríem quadricular el rectangle que emmarca el rombe amb quadrats de mida entera?

Per dibuixar el rombe en Flash he fet primer una capa de referència amb dos triangles amb la eina Polystar / Configuración de la Herramienta / Opciones /Estilo / Polígono / Número de lados / 3. M’he assegurat que tingués la base horitzontal fent servir la tecla [Shift] i he modificat la seva mida fins a 40 px. Després n’he fet una còpia i amb Modificar / Transformar / Escalar y Girar / Girar: 180 grados he girat el triangle que havia de composar la part inferior del rombe. Ajuntades les parts, ja tenia el rombe de referència. Amb una segona capa he dibuixat un dels costats del rombe i realitzant tres còpies aplicant Voltear Verticalmente i Voltear Horizontal-mente les he portades al seu lloc.

El valor la diagonal menor es correspon amb el de la mida dels costats del trian-gle, es a dir, 40 px. Per calcular l’altre diagonal podem fer servir el teorema de Pitàgores amb la hipotenusa com un dels costats del triangle, és a dir, 40 px, el catet menor com la meitat de la diagonal menor, es a dir, 20 px i el catet major és el que hem de obtenir, posteriorment, el doble d’aquest catet major es correspon amb la diagonal major.

c2 + 202 = 402 , c = √(402 - 202), c = √(1600 - 400), c ≈ √(1200), c ≈ 34,64, c = 35 px

La diagonal major és el doble del catet major, per tant d’ = 35 * 2 = 70 px

La proporció aproximada entre les diagonals és 70/40 = 7/4

La proporció no és racional ja que 2 * √(1200) / 40 no és un nombre racional, ja que √(1200) és la arrel d’un nombre positiu que no és un quadrat perfecte. Sim-plificant la arrels quadrada es veu amb més claredat: √(24 * 52 * 3) = 24 * 52 √(3) = 20√3

El quadrat que emmarca el rombe té costats 20√3 i 40, el que ens dóna una pro-porció irracional. No es podria quadricular amb quadrats de mida entera ja que només els rectangles de proporció racionals són els que es poden obtenir com a unió de quadrats iguals no encavalcats


7

Mòdul 1Exercici 4

Volem inventar una família de fulls “UF” amb les següents regles:

• El full UF0 té una superfície d’un metre quadrat.

• En doblegar un full de format UF0 en cinc parts iguals per línies paral·leles al costat més curt s’obtenen 5 fulls de format UF1. Així, l’altura de UF1 coincideix amb l’amplada de UF0, mentre que l’amplada de UF1 és una cinquena part de l’altura de UF0.

• La resta de fulls de la sèrie UF es construeix de la mateixa manera.

• Les mides estàndard d’aquesta sèrie s’arrodoneixen a mil·límetres.

• Tots els fulls de la sèrie han de tenir la mateixa proporció.

a) A partir d’aquesta informació, ompliu una taula amb les mides de la sèrie des de UF0 fins a UF5: amplada en mm, altura en mm i àrea en mm2. Afegiu colum-nes per a l’àrea teòrica en mm2 (si no arrodoníssim), la proporció amb 3 decimals i la proporció teòrica amb 3 decimals.

Sabem que els rectangles de proporció √n ens permeten obtenir rectangles amb la mateixa proporció quan es retallen en n parts iguals. La proporció a aplicar serà, per tant, √5, el que implica que x/y=√5. Si el full UF0 té una superfície d’un metre quadrat, i anomenem x i y als costats, obtenim x*y = 1.

x/y = √1 → x=√5y , y = x/√5

x*y = 1 → x * (x/√5) = 1 → x2 = √5 → x= √(√5)) → x= 1,495 m

x*y = 1 → √5y * y = 1 → y2=1/√5 → y = √(1/√5) → y= 0,669 m

A partir d’aquests resultats podem crear la taula següent:

amplada

mm

altura

mm

àrea

mm2

àrea teòrica

mm2

proporció

amb 3 dec

proporció

teòrica 3 dec

UF0 1.495 669 1.000.155 1.000.000 2,235 2,236

UF1 669 299 209.001 200.000 2,237 2,236

UF2 299 134 40.066 40.000 2,231 2,236

UF3 134 60 8.040 8.000 2,233 2,236

UF4 60 27 1.620 1.600 2,222 2,236

UF5 27 12 324 320 2,250 2,236

Nota: la amplada del full U(n+1) es correspon amb la alçada del full U(n). L’àrea teòrica és sempre una cinquena part de l’àrea anterior. La proporció teòrica és sempre √5.


8

b) Digueu quina reducció d’amplada i quina reducció d’àrea (en percentatge) es produeix en passar d’un full de la sèrie al següent. Justifiqueu-ho matemàtica-ment.

La reducció d’amplada teòrica és 44,721%

Si tenim els costats a i b i definim que quan es redueix la amplada aquesta es co-rrespon amb la alçada del full major, matemàticament s’expressa com:

a/b = b/(a/5) → a2/b2 = 5 → a/b = √5 → a/b = 2,236 → b/a = 1/2,236 = 0,44721

La reducció d’àrea és sempre un 20% (una cinquena part) ja que una de les condi-cions de l’enunciat és que el full s’ha de doblegar en 5 parts iguals i 100%/5=20%. També, el producte de dividir cada un dels costats per √5 ens dóna com resultat el producte dels costats dividit per cinc, és a dir, una cinquena part:

(a/√5) * (b/√5) = (a*b) / (√5)2 = (a*b)/5 = 0,20(a*b)


9

Mòdul 1Exercici 5

Dibuixeu en un Flash de nom Ex5_sol.fla un pentàgon de costat l = 200 px.

a) Mesureu i escriviu en un camp de text la mida d’una diagonal (d). Justifiqueu aquesta mida a partir de la informació dels apunts.

b) Mesureu i escriviu en un camp de text la mida d’un costat de l’estrella inscrita (e). Justifiqueu aquesta mida a partir de la informació dels apunts.

c) Mesureu i escriviu en un camp de text la mida del costat del pentàgon inscrit (p). Justifiqueu aquesta mida a partir de la informació dels apunts.

Indicacions:

Tingueu en compte que les mides en píxels són una aproximació a la mida real. Els resultats no seran exactament els teòrics.

Aprofiteu per a fer les mesures els segments que siguin paral·lels a la base de l’escenari.

Per construir el pentàgon he dibuixat una línia de 200 px i he aplicat consecuti-vament rotacions de 72º a cada una de les còpies del costat que anava fent fins que he tancat la figura.

Mesurant la diagonal obtenim una mida de 324, que guarda una proporció apro-ximada de 1,618 amb el costat de mida 200. Aquesta proporció també és conegu-da com φ (phi), que és la solució de la ecuació x2 = x + 1.

diagonal “d” / costat pentàgon “l” = φ (phi)

324 px / 200 px = 1,620

El costat de la estrella ens proporciona una mida de 123, que s’aproxima molt al resultat de 324 * ((φ-1)/φ). Es degut a que també es manté la proporció àurea.

costat pentàgon “l” / costat estrella “e” = φ (phi)

200 px / 123 px = 1,626

El costat del pentàgon inscrit proporciona una mida de 76, que també guarda la rela-ció φ (phi) amb el costat de la estrella.

costat estrella “e” / costat pentàgon inscrit “p” = φ (phi)

123 px / 76 px = 1,618


10

Mòdul 2Exercici 6

Trobeu i dibuixeu la imatge dels tres punts p1, p2, p3 que trobareu a l’arxiu Ex6_enun.fla (i del triangle que formen) per les següents aplicacions. Feu-ho so-bre l’arxiu Ex6_sol.fla. Etiqueteu els punts imatge amb camps de text. Responeu també les qüestions que es demanin:

a) Simetria d’eix “r” : l’anomenarem aplicació S. Dibuixeu S(p1), S(p2), S(p3).

b) Gir de 90º de centre “C” en sentit antihorari : l’anomenarem aplicació G. Di-buixeu G(p1), G(p2), G(p3).

c) Composició de simetria S i després rotació G : serà l’aplicació G·S. Dibuixeu G(S(p1)), G(S(p2)), G(S(p3)).

d) Composició de rotació G i després simetria S : serà l’aplicació S·G. Dibuixeu S(G(p1)), S(G(p2)), S(G(p3)). És la mateixa aplicació que G·S?

e) Quina és l’aplicació resultant si composem la simetria S amb ella mateixa: S·S=?

f) Quants girs G hauríem de composar per a obtenir l’aplicació identitat?

d) No. La aplicació no és la mateixa ja que donen com a resultat punts dife-rents segons l’ordre en que s’apliquin les dues composicions ja que la composició d’aplicacions no és commutativa. Això no vol dir que no puguin existir composi-cions que puguin donar com a resultat la identitat com, per exemple en aquest cas, la composició de la simetria S i una rotació en sentit horari.

e) Aplicar dues vegades la mateixa simetria dóna com a resultat la aplicació iden-titat.

f) Hauriem d’aplicar quatre girs per aconseguir un gir identitat de 360º

Quatre, ja que 4 * 90º = 360º


11

Mòdul 2Exercici 7

Observeu les figures de l’arxiu Ex7_enun.fla.

a) Copieu l’arxiu amb nom Ex7_sol.fla i apliqueu sobre cada figura les següents transformacions mitjançant les opcions del Menú “Modificar-Transformar”:

Identitat

Gir de 90º

Gir de 180º

Gir de 270º

Simetria respecte eix vertical (“Voltear horizontalmente”)

Simetria respecte eix horitzontal (“Voltear verticalmente”)

b) Digueu quines de les transformacions deixen cada figura invariant.

Primera figura: la identitat i tots els girs. Segona figura: identitat i simetria eix horitzontal. Tercera figura: identitat i simetria eix vertical. Quarta figura: identi-tat, gir 180º, simetria eix vertical i simetria eix horitzontal. Cinquena figura: totes. Sisena figura: identitat i gir 180º.

c) Construïu les taules d’isometries de la primera i la última figura.

He anomenat Ss la simetria respecte vertical i Sr la simetria respect eix horitzontal.

Nota: Si f és una entrada horitzontal i g una vertical, a la casella es col·locarà gºf, és a dir, primer s’aplica la f i després la g.

º g (vertical) ↓f (horitzontal) → g º f (primer s’aplica la f i després la g)

primera figura

º Id GO90º GO

180º GO270º SS SR

Id Id Id Id Id SS SR

GO90º Id Id Id Id SS SR



SS SS SS SS SS Id Id

SR SR SR SR SR Id Id

darrera figura

º Id GO90º GO

180º GO270º SS SR

Id Id GO90º Id GO

270º SS SR

GO90º GO

90º GO180º GO

270º Id SS º GO90º SR

º GO90º

GO180º GO

180º GO270º Id GO

90º SS SR

GO270º GO

270º Id GO90º GO

180ºW SS º GO270º SR º GO

270º

SS SS GO90º º SS SS GO

270º º SS Id Id

SR SR GO90º º SR SR GO

270º º SR Id Id


12

Mòdul 2Exercici 8

a) Observeu els frisos que apareixen a l’arxiu Ex8_enun.fla i escriviu per a cadas-cun d’ells les isometries que el deixen invariant:

1 - identitat

2 - identitat, simetria respecte d’eix vertical

3 - identitat, simetria respecte d’eix horitzontal

4 - identitat

b) Dibuixeu en un arxiu Flash Ex8_sol.fla quatre sanefes a partir del mateix patró de les anteriors:

(Definiu-lo com a símbol, creeu-ne còpies, i feu servir les eines del menú Modifi-car-Transformar).

Els frisos hauran de ser invariants respecte a les següents isometries:

5 - Únicament a translació i gir de 180º amb centre sobre l’eix central del fris

6 - Únicament a translacions, simetria respecte a rectes perpendiculars a l’eix cen-tral i gir de 180º amb centre sobre l’eix central i lliscaments

7 - A translacions, simetria respecte a l’eix central, simetria respecte a rectes per-pendiculars a ell i gir de 180º amb centre sobre l’eix central i lliscaments


13

Mòdul 2Exercici 9

a) Dieu quines són les isometries que deixen invariant aquesta rosassa:

-La identitat Id

-Els girs de 72º, 144º, 216º i 288º

-Cinc simetries S1, S2, S3, S4 i S5

b) Construïu en un arxiu Flash Ex9_sol.fla una rosassa que correspongui a un grup cíclic d’ordre 7 (format per 7 girs ). Caldrà que feu còpies d’un clip que sigui un triangle isòscels, el qual decorareu de manera lliure. Caldrà que calculeu la base d’aquest triangle generador a partir de l’angle que ha de cobrir i de la seva alça-da, que fixem en 200 px.

Per calcular l’angle de cada gir, hem de dividir 360 entre 7 i així obtenim els angles que ha de tenir cada rotació. Per calcular la base del triangle generador aplicam la Llei del sinus. Tenim un costat i els tres angles. Un angle és 90º (al dividir el triangle isòscels en dues meitats), l’altre angle és 360º/7 dividit per dos

(també per dividir el triangle en dues meitats) i el tercer angle és 180º menys els dos anteriors. Això ens proporciona els següents angles A = 64,29º, B = 90º i C = 25,71º. La lleis del sinus ens diu que a/sin(A)=b/sin(B), entenent que A i B són els costats oposats als angles. Resolent b=(200 * sin(90º)) / (sin(64,29º) → b=221,97. Igualment per l’altre costat: a/sin(A)=c/sin(C) → c= (200 * sin (25,71)) / (sin(64,29) → c=96,29

La base del triangle isòscels serà, per tant, el doble de c, és a dir, 193 px .

c) Llisteu totes les isometries que deixaran invariant la rosassa anterior.

- La identitat Id

- Set simetries S1, S2, S3, S4, S5, S6 i S7

- Els girs de 51,42º, 102,84º, 154,26º, 205,68º, 257,1º i 308,52º

S1

S2

S3 S4

S5


14

Mòdul 2Exercici 9

d) ¿Què passaria si la decoració que feu del triangle isóscels fos simètrica respecte a la seva alçada? Digueu quines serien totes les isometries que deixarien invariant la rossasa en aquest cas.

Precisament el triangle de la rosassa que he dibuixat ja presenta aquest tipus de simetria; el que passaria si no ho hagués fet així és que la figura obtenida no presentaria les set simetries S1, S2, S3, S4, S5, S6 i S7.


15

Mòdul 2Exercici 10

a) Detalleu quines són les isometries que deixen invariant aquest mosaic especifi-cant els eixos de simetria i els centres dels girs:

- La identitat Id

- Els girs de 90º, 180º i 270º amb el centre del gir a la posició central de la figura (marcat amb un punt blau)

- Cap eix de simetria

b) Construiu a partir d’un patró triangular, en un arxiu Ex10_sol.fla, un mosaic en blanc i negre que sigui invariant per un gir de 120º.

c) Transformeu el mosaic anterior en un de tipus Escher fent una modificació al patró.


16

Referències de les imatges incloses

Portada i capçalera: logotip UOC, (c) Universitat Oberta de Catalunya [en línia] http://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:Logo_UOC.gif

Exercici 2: icones sol, edifici i paperera, (pd) Openclipart [en línia] openclipart.org http://openclipart.org/detail/23769/sun-by-anonymous-23769 , http://openclipart.org/detail/5326/art-deco-empire-state-building-by-boort i http://openclipart.org/detail/3880/-by--3880

PAC 2. Proporció i Simetria en el dissenygraumultimedia.com/wp-content/uploads/PAC-2... · • El...

Documents

Transcript of PAC 2. Proporció i Simetria en el dissenygraumultimedia.com/wp-content/uploads/PAC-2... · • El...