OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía...
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Osc. Ondas y Termodinámica
OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA
MÓDULO 1: OSCILACIONES
Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté
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Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
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Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
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Osc. Ondas y Termodinámica
● El MAS es una idealización => No existe !
● En la naturaleza siempre hay fuerzas disipativas que producen el amortiguamiento de las oscilaciones.
Lección 2: Oscilaciones Amortiguadas
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Osc. Ondas y Termodinámica
● El MAS es una idealización => No existe !
● En la naturaleza siempre hay fuerzas disipativas que producen el amortiguamiento de las oscilaciones.
Lección 2: Oscilaciones Amortiguadas
http://www.youtube.com/watch?v=BRbCW2MsL94
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Osc. Ondas y Termodinámica
● El MAS es una idealización => No existe !
● En la naturaleza siempre hay fuerzas disipativas que producen el amortiguamiento de las oscilaciones.
Lección 2: Oscilaciones Amortiguadas
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.youtube.com/watch?v=BRbCW2MsL94
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Osc. Ondas y Termodinámica
● El MAS es una idealización => No existe !
● En la naturaleza siempre hay fuerzas disipativas que producen el amortiguamiento de las oscilaciones.
Lección 2: Oscilaciones Amortiguadas
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.youtube.com/watch?v=BRbCW2MsL94
Objetivo: encontrar las ecuaciones querigen las oscilaciones amortiguadas
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento:
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
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2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
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2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
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2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
−bm
t = ln vv0
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2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
−bm
t = ln vv0
v t = v0 e−
bm
t
Velocidad
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2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
−bm
t = ln vv0
v t = v0 e−
bm
t
Velocidad
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
−bm
t = ln vv0
v t = v0 e−
bm
t
EC =12
m v2 ≈ E0 e−
2bm
t
Velocidad Energía
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.1 Fuerza de rozamiento viscosa.
Si un cuerpo se mueve en un fluido (a poca velocidad) aparece una fuerza de rozamiento: proporcional y opuesta a su velocidad
Rozamiento viscoso
F r =− b v
Constante de amorguamiento
El movimiento resultante es una velocidad que decrece exponencialmente en el tiempo.
Fr =− b v = mdvdt
−bm
dt =dvv
−bm∫0
tdt =∫v0
v dvv
−bm
t = ln vv0
v t = v0 e−
bm
t
EC =12
m v2 ≈ E0 e−
2bm
t
Para un tiempo =m/b τ : v → v
0 /e
E → E0
/e2
Velocidad Energía
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
Fel =− k x
v
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
F r =− b v
Fel =− k x
v
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
F r =− b v
Fel =− k x
La 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x = m xv
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
F r =− b v
Fel =− k x
La 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x = m x
x bm
x km
x = 0
Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y homogénea.
v
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a una fuerza elástica y a una fuerza de rozamiento viscosa:
F r =− b v
Fel =− k x
La 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x = m x
x bm
x km
x = 0
x 2 x 02 x = 0
Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y homogénea.
v
Donde: β = b/2m es el parámetro de amortiguamiento. ω
0
2 = k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado. Ec. diferencial de lasoscilaciones amortiguadas
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Osc. Ondas y Termodinámica
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
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Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0:
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Si ω0 =0:
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Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0:
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Si ω0 =0:
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Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0: la solución es el MAS.
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0 x t =A cos t
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
Si ω0 =0:
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Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0: la solución es el MAS.
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0 x t =A cos t
Si ω0 =0:
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
x 2 x = 0
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
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Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0: la solución es el MAS.
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0 x t =A cos t
Si ω0 =0: la velocidad decae
exponencialmente.
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
x 2 x = 0 v t = v0 e−
bm
t
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
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Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0: la solución es el MAS.
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0 x t =A cos t
Si ω0 =0: la velocidad decae
exponencialmente.
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
x 2 x = 0 v t = v0 e−
bm
t
Parece razonable que la solución sea una combinación de ambas
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
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Osc. Ondas y Termodinámica
Si β=0: la solución es el MAS.
x bm
x km
x = 0 x 2 x 02 x = 0
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
x 02 x = 0 x t =A cos t
Si ω0 =0: la velocidad decae
exponencialmente.
Debe encontrarse entre estos casos extremos:
x 2 x = 0 v t = v0 e−
bm
t
Parece razonable que la solución sea una combinación de ambas
2.2 Ec. diferencial de las oscilaciones amortiguadas.
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Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
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Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con: =
b2m
, 0 = km
, 1 = 02−2
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Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
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Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
Parámetro de amortiguamiento
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
![Page 38: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/38.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
Parámetro de amortiguamiento
Constante de amortiguamiento
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
![Page 39: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/39.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
Parámetro de amortiguamiento
Constante de amortiguamiento
Frecuencia angular naturalo propia
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
![Page 40: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/40.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
Parámetro de amortiguamiento
Constante de amortiguamiento
Frecuencia angular naturalo propia
Frecuencia angular del mov.
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
![Page 41: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/41.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Si ω0 > β , la solución de la ec. diferencial es:
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
con:ejercicio: demostrar que x(t) es solución de la ec dif.
Parámetro de amortiguamiento
Constante de amortiguamiento
Frecuencia angular naturalo propia
Frecuencia angular del mov.
Constante de lafuerza recuperadora
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
![Page 42: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/42.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
![Page 43: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/43.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
![Page 44: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/44.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
• No es un movimiento periódico (pero en algunos casos 'casi')
![Page 45: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/45.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
• No es un movimiento periódico (pero en algunos casos 'casi')
• Si decae poco en un periodo, podemos considerarlo como la 'amplitud efectiva' de un movimiento armónico (casi un MAS).
A e− t
![Page 46: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/46.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
• No es un movimiento periódico (pero en algunos casos 'casi')
• Si decae poco en un periodo, podemos considerarlo como la 'amplitud efectiva' de un movimiento armónico (casi un MAS).
• El 'periodo' del movimiento es , independiente de A
A e− t
t=2
02−
2
![Page 47: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/47.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Cinemática de las oscilaciones débilmente amortiguadas
x t =A e− t cos1 t
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
=b
2m, 0= k
m, 1=0
2−
2
• No es un movimiento periódico (pero en algunos casos 'casi')
• Si decae poco en un periodo, podemos considerarlo como la 'amplitud efectiva' de un movimiento armónico (casi un MAS).
• El 'periodo' del movimiento es , independiente de A
• La frecuencia es menor que ω0 , pero si
A e− t
0≫ 1≈0
Situación frecuente
t=2
02−
2
![Page 48: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/48.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicio: demostrar que la perdida relativa de amplitud por periodo en un oscilador armónico amortiguado es:
2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.
p =A t −A tT
A t = 1 − e−T
Ejercicio: una partícula de masa m=2kg sujeta por un muelle de constante k=200N/m realiza oscilaciones amortiguadas y pierde ¼ de su amplitud en 60 oscilaciones. Determinar el parámetro de amortiguamiento, la frecuencia angular del movimiento y la constante de amortiguamiento.
Ejercicio: sabiendo que la frecuencia angular de un oscilador amortiguado es el 95% de su frecuencia propia, ¿en qué % se reducirá la amplitud en cada oscilación?
Solución: β=0.00763 s-1, ω1=10 s-1, b=0.369 kg/s
Solución: se reduce un 12.7 %
![Page 49: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/49.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
![Page 50: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/50.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
![Page 51: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/51.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
![Page 52: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/52.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
![Page 53: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/53.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
![Page 54: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/54.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2 Energía del 'MAS'
![Page 55: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/55.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E =12
k A02 e−2 t
Energía del 'MAS'
![Page 56: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/56.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E =12
k A02 e−2 t
E0
Energía del 'MAS'
![Page 57: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/57.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E = E0 e−2 tE =
12
k A02 e−2 t
E0
Energía del 'MAS'
Energía del MA
![Page 58: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/58.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E = E0 e−2 t
Definiendo:
E = E0 e−
t
=1
2=
mb
E =12
k A02 e−2 t
E0
Energía del 'MAS'
Energía del MA
![Page 59: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/59.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E = E0 e−2 t
Definiendo:
E = E0 e−
tE =
12
k A02 e−2 t
tiempo de relajación(para la energía)
E0
Energía del 'MAS'
Energía del MA
=1
2=
mb
![Page 60: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/60.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Si ω0>>β, la amplitud disminuye muy poco en una oscilación.
Podemos asimilar el movimiento a un MAS
La energía se puede calcular, por lo tanto, como:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
E ≈12
k A2
E = E0 e−2 t
Definiendo:
E = E0 e−
tE =
12
k A02 e−2 t
tiempo de relajación(para la energía)
Ejercicio: demuestra que si en una oscilación amortiguada p y q son la perdida relativa de amplitud y energía respectivamente, se cumple: q = 2 p − p2
q ≈ 2 p si ≪0
E0
Energía del 'MAS'
Energía del MA
Ejercicio: si (en unidades SI), determinar el tiempo necesario para que la energía se reduzca a la mitad.
x t = 0.360 e−t /50 cos60 t−1 /3
Solución:17.33 s
=1
2=
mb
![Page 61: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/61.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
![Page 62: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/62.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
![Page 63: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/63.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
![Page 64: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/64.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t Aproximación a 1er orden
(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
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Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
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Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
Q = 2E0 e−2 t
2 E0 e−2 t⋅T
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Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
Q = 2E0 e−2 t
2 E0 e−2 t⋅T
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Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
Q = 2E0 e−2t
2E0 e−2t⋅T
=2T
12
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Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
1
Q = 2E0 e−2t
2E0 e−2t⋅T
=2T
12
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Osc. Ondas y Termodinámica
El grado de amortiguamiento de un oscilador se caracteriza por el 'factor de calidad':
2.4 Energía del MA. Factor de calidad
Q = 2Energíadel oscilador
∣Energía perdida por ciclo∣
Sustituyendo fórmulas (caso ω0>>β):
Q = 2E0 e−2 t
−ddt
E0 e−2 t ⋅T
Q =1 ≈ 0
Aproximación a 1er orden(supone que la energía decae linealmente durante un periodo, equivalente a suponer: )≪0
Factor de calidad (si )≪0
1
Q = 2E0 e−2t
2E0 e−2t⋅T
=2T
12
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Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
![Page 72: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/72.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
PD = F r⋅vPotencia disipada:
![Page 73: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/73.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
PD = F r⋅v
Fr =−b v
PD =−b v2Potencia disipada:
![Page 74: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/74.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
PD = F r⋅v
Fr =−b v
PD =−b v2Potencia disipada:
Energía del sistemaen función del tiempo:
E = E0∫0
tPD dt
![Page 75: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/75.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
PD = F r⋅v
Fr =−b v
PD =−b v2Potencia disipada:
Energía del sistemaen función del tiempo:
E = E0∫0
tPD dt E =
12
k A02−∫0
tb v2 dt
![Page 76: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/76.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
En un MA general (aunque no cumpla ω0>>β), se puede
calcular la energía que disipa Fr integrando la potencia disipada:
2.4 Energía de las oscilaciones amortiguadas.
PD = F r⋅v
Fr =−b v
PD =−b v2Potencia disipada:
Energía del sistemaen función del tiempo:
E = E0∫0
tPD dt E =
12
k A02−∫0
tb v2 dt
v =dxdt
=ddt
A e− t cos1 t
E =12
m12 A0
2 e−2 t 12sin 1 t cos 1 t 22
1
cos21 t Ejercicio: demostrar que si: 1≈0≫ , E ≈ E0 e−2t
y haciendo la integral
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Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Hemos visto la solución de la ec. diferencial si ω0 > β:
x t =A e− t cos1 t
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
![Page 78: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/78.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Hemos visto la solución de la ec. diferencial si ω0 > β:
x t =A e− t cos1 t
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Pero que pasa si ω0 <= β:
![Page 79: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/79.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Hemos visto la solución de la ec. diferencial si ω0 > β:
x t =A e− t cos1 t
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Pero que pasa si ω0 <= β:
Hay dos casos:
![Page 80: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/80.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
x 2 x 02 x = 0
Hemos visto la solución de la ec. diferencial si ω0 > β:
x t =A e− t cos1 t
Solución del movimiento débilmente amortiguado (ω
0 > β)
=b
2m, 0 = k
m, 1 = 0
2−2
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Pero que pasa si ω0 <= β:
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
Sobreamortiguamiento (ω0 < β)
Hay dos casos:
![Page 81: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/81.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
![Page 82: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/82.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
La solución de la ec. diferencial es:
![Page 83: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/83.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
La solución de la ec. diferencial es:
![Page 84: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/84.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
• Ya no hay varias oscilaciones• Puede aparecer una sola oscilación, según las condiciones iniciales.
La solución de la ec. diferencial es:
![Page 85: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/85.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
• Ya no hay varias oscilaciones• Puede aparecer una sola oscilación, según las condiciones iniciales.
La solución de la ec. diferencial es:
Sobreamortiguamiento (ω0 < β)
![Page 86: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/86.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
Siendo:
• Ya no hay varias oscilaciones• Puede aparecer una sola oscilación, según las condiciones iniciales.
La solución de la ec. diferencial es:
Sobreamortiguamiento (ω0 < β)
La solución de la ec. diferencial es:
x t = A1 e− '1 t A2 e '1 t e− t
A1 =−v0 − '1 x0
2 '1
A2 =v0 '1 x0
2 '1
1 = 2−02• Tampoco en este caso hay oscilaciones
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Osc. Ondas y Termodinámica
2.5 Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento
Amortiguamiento crítico (ω0 = β)
x t = x0 v0 x0 t e− t
Siendo:
• Ya no hay varias oscilaciones• Puede aparecer una sola oscilación, según las condiciones iniciales.
La solución de la ec. diferencial es:
Sobreamortiguamiento (ω0 < β)
La solución de la ec. diferencial es:
x t = A1 e− '1 t A2 e '1 t e− t
A1 =−v0 − '1 x0
2 '1
A2 =v0 '1 x0
2 '1
1 = 2−02• Tampoco en este caso hay oscilaciones
En amortiguamiento crítico,es cuando la partícula llega al equilibrio en menos tiempo
En amortiguamiento crítico,es cuando la partícula llega al equilibrio en menos tiempo
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Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicio (prob 22): dos cuerpos unidos entre si de masas M y m están en equilibrio colgados del techo mediante un muelle de constante k. En un determinado instante se retira el cuerpo de masa m por lo que el cuerpo M empieza a oscilar, realizando oscilaciones amortiguadas por el rozamiento con el aire. Se pide:
a) Energía con la que empieza a oscilar el cuerpo.
b) Perdida relativa de energía (q) en función de la pérdida relativa de amplitud (p).
c) Si M=100g, m=30g, k=25N/m, p=1.50%, determinar el tiempo necesario para que la energía sea la cuarta parte del valor inicial
Oscilaciones amortiguadas.
E0 =m² g²
2k, q = 2 p−p² ≈ 2p , t = 18.2s
Ejercicio: un péndulo simple tiene un periodo de 2s y una amplitud de 2º. Si después de 10 oscilaciones su amplitud disminuye en 0.5º, determinar el parámetro de amortiguamiento y la perdida relativa de amplitud y energía.
Solución:
Solución: β=0.01438 s-1 , p=0.25, q=0.437
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Osc. Ondas y Termodinámica
Cuestiones Osc. Amortiguadas (contesta razonadamente).
1. En un oscilador armónico amortiguado la energía decrece describiendo oscilaciones de amplitud decreciente.
2. La energía de un oscilador muy débilmente amortiguado es proporcional al cuadrado de su amplitud efectiva.
3. El parámetro de amortiguamiento tiene las mismas unidades que la constante de amortiguamiento.
4. Si ω0 < β la partícula se aproximará a la posición de equilibrio sin realizar
oscilaciones y en el menor tiempo posible.
5. El factor de calidad es una magnitud que sólo esta definida para el movimiento débilmente amortiguado.
6. La energía de un oscilador débilmente amortiguado decrece exponencialmente con el tiempo.
7. Los amortiguadores de un coche son un ejemplo de sistema débilmente amortiguado.
8. El periodo de un oscilador débilmente amortiguado aumenta a medida que la partícula pierde velocidad.
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Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
![Page 91: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/91.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
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Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
![Page 93: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/93.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
![Page 94: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/94.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
![Page 95: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/95.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
![Page 96: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/96.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzU
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Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzU
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Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
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Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
Fel =− k x
![Page 100: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/100.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k x
v
![Page 101: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/101.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k x
Fosc = F0 cos t
v
![Page 102: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/102.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k x
Fosc = F0 cos t
v
• Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
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Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
![Page 104: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/104.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
x bm
x km
x =F0
mcos t
Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
![Page 105: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/105.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
x bm
x km
x =F0
mcos t
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
Donde: β = b/2m es el parámetro de amortig.. ω
0
2 =k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado. ω : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante
Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
![Page 106: OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA …1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de energía potencial. 1.6 Método de la conservación de E. Lección 2. Oscilaciones amortiguadas](https://reader030.fdocuments.mx/reader030/viewer/2022040103/5ea408bf0672355cb851c8a7/html5/thumbnails/106.jpg)
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
x bm
x km
x =F0
mcos t
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y no homogénea.
Donde: β = b/2m es el parámetro de amortig.. ω
0
2 =k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado. ω : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante
Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
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Osc. Ondas y Termodinámica
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Osc. Ondas y Termodinámica
5.1. Conceptos básicos
Vector velocidad
● La velocidad nos indica cómo cambia la posición de la partícula dividido entre en el tiempo empleado
● En una dimensión:
x
y
z
x
r t
r t =x t i y t jz t k
i
j
k