Original Portafolio de Matematicas29

7/28/2019 Original Portafolio de Matematicas29

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ENESCYT

Docente: Ing. Sara Cruz

Estudiante: Kleber Fabricio Zumba

Paralelo: E


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Introduccin

El estudio de la matemtica es la base fundamental del ser humano para su

desarrollo ya que con el uso de la Lgica Matemtica como lenguaje, se establecen

criterios de verdad, se emplean mtodos de anlisis y razonamiento; y, se usan

implicaciones y equivalencias lgicas para conocer cmo se realiza una demostracin.

Considerando que los conjuntos constituyen uno de los conceptos bsicos de las

matemticas, se puede obtener una descripcin detallada de los fundamentos de la

Teora de Conjuntos.

En la parte aritmtica se desea recordar las operaciones fundamentales sobre los

nmeros; un tema relevante lo constituyen la manipulacin de fracciones y los

radicales. Cuando se utiliza el lgebra se espera que el estudiante adquiera destrezas

mnimas como objeto de estudio de cantidades que pueden considerarse en la forma

ms general posible. El planteo y resolucin de problemas es fundamental en la

formacin profesional.

Las razones trigonomtricas son numerosas aplicaciones matemticas y fsicas, por

ello, en el captulo 4 se conocer el significado de cada una, comprobando sus

propiedades y relaciones en las denominadas identidades trigonomtricas.

Nos enfocaremos en la estadstica descriptiva. Se podr organizar un conjunto de

datos en forma tabular y realizar su representacin grfica, encontrar las medidas de

tendencia central y de dispersin.


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OBJETIVOS

Introducir los principales conceptos de la moderna Lgica formal o

matemtica. Las nociones de argumento, lenguaje formal, estructura de un

enunciado, consecuencia lgica, etc. se presentan a travs de la discusin delsistema formal considerado hoy en da como primero y ms elemental: la

Lgica de Enunciados.

Aplicar los conocimientos geomtricos para comprender y explicar situaciones

del mundo real.

Ser capaces de dibujar figuras geomtricas dadas a una descripcin

matemtica. Reconocer la estructura de los nmeros reales mediante la interpretacin de

grficos.


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INDICE

Contenido

1. TEMA: LGICA Y CONJUNTO ..................................................................................................................... 7

1.1 PROPOSICIONES .................................................................................................................................. 7

1.2 TEMA: OPERADORES LGICOS ............................................................................................................ 8

1.3 TRADUCCIN AL LENGUAJE LITERAL AL SIMBLICO ........................................................................ 11

1.4 DETERMINACIN DE VALORES DE VERDAD. ..................................................................................... 111.5 DETERMINACIN DE VALORES DE VERDAD ...................................................................................... 12

1.6 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LGICOS ................................................................................. 14

1.6.1 Leyes de los Operadores Negacin, Condicional y Bicondicional.................................. 15

1.7 VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO ........................................................................................... 17

1.8 CONJUNTOS ................................................................................................................................. 19

1.8.3 Conjuntos Relevante .................................................................................................................. 21

1.8.4 CUANTIFICADORES. .................................................................................................................... 23

18.5 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL..................................................................................................... 23

1.8.7 SUBCONJUNTO.- ......................................................................................................................... 24

1.8.8 CONJUNTO POTENCIA ................................................................................................................ 24

1.9 IGUALDAD ENTRE CONJUNTO ........................................................................................................... 25

1.10 CONJUNTOS DISJUNTOS E INTERSECANTES .................................................................................... 25

1.10 OPERACIONES ESTRE CONJUNTOS. ............................................................................................ 26

1.11 INTERSECCIN ENTRE CONJUNTOS. ............................................................................................... 26

1.12 DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS. .................................................................................................... 271.13 DIFERENCIA SIMTRICA ENTRE CONJUNTOS. ................................................................................. 28

1.14 COMPLEMENTACIN DE CONJUNTOS. ........................................................................................... 28

1.15 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. ............................................................ 29

2. NMEROS REALES .................................................................................................................................. 31


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2.2 ECUACIONES ...................................................................................................................................... 33

2.3 Ecuaciones Cuadrticas .................................................................................................................... 35

2.4 ECUACIONES CON RADICALES. .......................................................................................................... 37

2.5 TEMA: PLANTEAR ECUACIONES. ....................................................................................................... 41

2.5.1 Lectura y compresin del enunciado del problema: .................................................................. 42

2.5.2 Designacin de las incgnitas del problema: ............................................................................. 42

2.5.3 Traduccin del texto del problema al lenguaje matemtico: .................................................... 42

2.5.4 Expresin de relaciones por medio de ecuaciones: ................................................................... 42

2.5.6 Resolucin de las ecuaciones y anlisis de las soluciones encontradas: ................................... 42

2.6 DESIGUALDADES ................................................................................................................................ 45

2.6.1 Inecuaciones ............................................................................................................................... 45

2.6.2 Inecuaciones lineales. ................................................................................................................. 47

2.7 BINOMIO DE NEWTON ...................................................................................................................... 49

3. ESTADSTICAS ......................................................................................................................................... 50

3.1 CONCEPTO DE ESTADISTICA .............................................................................................................. 50

3.1.1Poblacin. .................................................................................................................................... 50

3.1.2 Individuo. .................................................................................................................................... 50

3.1.3 Muestra ...................................................................................................................................... 50

3.1.4 Muestreo .................................................................................................................................... 50

3.1.5 El valor ........................................................................................................................................ 50

3.1.6 Datos........................................................................................................................................... 50

3.2 Tipos de variables: ............................................................................................................................. 51

3.2.1 Variables cualitativas. ................................................................................................................. 51

3.2.2 Variable cualitativa nominal. ...................................................................................................... 51

3.2.3 Variable cualitativa ordinal. ........................................................................................................ 51

3.2.4 Variable cuantitativa. ................................................................................................................. 51

3.2.5 Variable discreta. ........................................................................................................................ 51

3.2.6 Variable Continua. ...................................................................................................................... 51

3.3 Tipos de frecuencia. .......................................................................................................................... 51

3.3.1 Frecuencia absoluta.................................................................................................................... 51


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3.3.2 Frecuencia relativa. .................................................................................................................... 51

3.3.3 Frecuencia acumulada. ............................................................................................................... 52

3.3.4 Frecuencia relativa acumulada................................................................................................... 52

4. TRIGONOMETRA ..................................................................................................................................... 53

4.1 Semirrecta. ........................................................................................................................................ 53

4.2 ngulo. .............................................................................................................................................. 53

4.3 Unidades angulares. .......................................................................................................................... 53

4.4 ngulos cotermnales. ....................................................................................................................... 55

4.5 ngulos consecutivos. ....................................................................................................................... 56

4.6 ngulos adyacentes. .......................................................................................................................... 56

4.7 ngulos complementarios. ................................................................................................................ 56

4.8 ngulos suplementarios. ................................................................................................................... 56

4.9 Opuestos por el vrtice. .................................................................................................................... 57

4.10 Relacin entre grados sexagesimales y radianes. ........................................................................... 57

4.11 IDENTIDAD TRIGONOMTRICA....................................................................................................... 60


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1. TEMA: LGICA Y CONJUNTO

1.1 PROPOSICIONESUna proposicin es una unidad semntica que solo es verdadero o solo es falso

Ejemplo:

Oraciones que son proposiciones

5 es numero primo v

2+2 =5 f

4 es mltiplo de 16 v

Oraciones que no son proposiciones

Auxilio!

Hola!

Buenas noches

El valor de verdad

El valor de verdad de una proposicin es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente

la proposicin. Este puede ser verdad o falso

V 1 + SI TRUE T

F X 0 - NO FALSE F

Tabla de verdad

a b C

0 0 0

0 0 1

0 1 0


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Una tabla de verdad es una representacin de los posibles

valores de verdad que podra tomar una proposicin.

a

1

0

1.2 TEMA: OPERADORES LGICOSNegacin.- Este operador lgico cambia el valor de verdad de una proposicin: si a es una

proposicin verdadera, -a es falsa; si a es una proposicin falsa, -a es verdadera. La negacin se

presenta con los trminos gramaticales: no, ni, no es verdad que, no es cierto que.

a -a

0

1

1

0

A: 4+4 es igual a 8 V 1

B: 4+4 no es igual a 8 F 0

Conjuncin.- La proposicin resultante ser verdadera solamente cuando el valor de verdad de

ambas proposiciones sea verdadero.

a B a b

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

a b

0 0

0 1

1 0

1 1


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0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

Hoy y maana hay clases

Si estudio apruebo el curso de nivelacin

Disyuncin inclusiva.- La proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad

son falsos.

a B a v b

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

Disyuncin exclusiva.- La proposicin resultante ser verdadera cuando solamente una de ellassea verdadera.

a B a v b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Operador condicional.- la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de

verdad el antecedente sea verdadero y el valor del consecuente sea falso.


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a b a b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Operador lgico reciproco:

b a

Operador lgico inversa:

a bContrarreciproco

b aBicondicional:

Sera verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales.

A b ab0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1


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1.3 TRADUCCIN AL LENGUAJE LITERAL AL SIMBLICOTraduzca al lenguaje simblico la proposicin:

Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los ndices de asalto en la ciudad y el turismo se

desarrolla. Los ndices de asalto no disminuyen, pero la seguridad privada es efectiva. Entonces,el turismo no se desarrolla.

Solucin:

Se pueden identificar las siguientes proposiciones simples:

a: La seguridad privada es efectiva.

b: Los ndices de asalto disminuyen en la ciudad.

c: El turismo se desarrolla.

La traduccin es:

[(a(b c))(b a)]c)

1.4 DETERMINACIN DE VALORES DE VERDAD.

Bajo la suposicin de que los valores de verdad de las proposiciones simples a, b, c y dson

respectivamente 0, 0, 1, 1, indique el valor de verdad de cada una de las siguientes

proposiciones compuestas:

a

a

b)

(c

d)

0 (11) (11)1 (1) (1 0)1(0)


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1 00 falso

(c a) v(b d) (1 0) v (0 1)(0) v (0)1 v 0

1 verdadera

En la negacin utilizar: no, ni, no es verdad que, no es cierto que.

Conjuncin: y, pero, ms y signos de puntuacin como: , . y ;

Disyuncin: solo o

Exclusiva: o, o solo, o solamente.

Condicional: si a, entonces b, a solo si b, a solamente si b, b si a, si a b, b con la condicin de que

a, b cuando a, b siempre que a, b cada vez que a, b ya que a, b debido a que a, b puesto que a, b

porque a, se tiene b si se tiene a, solo si b, ab pues a, cuando a, b; los a son b, a implica b, o

cualquier expresin denota causa y efecto.

Bicondicional: a si y solo si b, a si y solamente si b, a implica b e implica a, a cundo y cunto si

b.

1.5 DETERMINACIN DE VALORES DE VERDADTAUTOLOGA, CONTRADICCIN, CONTINGENCIA

Machala, 11 de enero del 2013

Dada la estructura lgica de una forma proposicional:


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Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las

variables proposicionales, se dice que es una TAUTOLOGA.

Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables

proposicionales, se dice que es una CONTRADICCIN.

Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las

variables proposicionales, se dice que es una CONTINGENCIA.

p qp q q P q0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

p (q p)

p q q P p)0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 1

Tautologa

Contingencia


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1.6 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LGICOS

Las operaciones lgicas definidas entre las formas proposicionales y algunas de sus ms

importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del lgebra de Proposiciones o

Leyes Lgicas. A continuacin se presentan las de uso ms frecuente:

Conjuncin

(p q) (qp)[(p q) r)] [p q r)](p

p)

p

(p ) p(p ) 0Disyuncin:

Conmutativa (p q) (q p)Asociativa [(p q) r] [p (qr)]Idempotencia (p p)

p

Identidad (p p) pAbsorcin (p 1) 1


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1.6.1 Leyes de los Operadores Negacin, Condicional y Bicondicional.

0 11 0 Negacin (p) p Doble Negacin o Involutiva

p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r) Distributivas (p q) (p q)

(p

q)

(

p

q) De Morgan

(p p) 1 Tercero Excluido(p p) 0 Contradiccin(pq) (q p)(pq) (p q) (pq) (p q) (p q) (p q) Contrapositiva o Contrarrecproca[(pr) (qr)][(p q)r)][(pq) (pr)][(p qr)][(p q)r][p (qr)] Exportacin(pq)[(p q)0] Reduccin al Absurdo(p

q)

[(p

q)

(q

p)]

(p q)(q p) Equivalencia


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1.6.1.1 Leyes de las implicaciones lgicas

Ejemplo:

[(pq) r] [p (qr)],

A B

p q r pq (pq)r (qr) p(qr) AB

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1 1

FORMA SIMBLICA TAUTOLOGA

pp Trivialp (pq) Adicin(pq)p Simplificacin[(pq)p]q Modus Ponendo Ponens

Suposicin del Antecedente

[(p

q)

q]

p Modus Tolendo Tollens

Negacin del Consecuente

[(pq) (p)]q Silogismo Disyuntivo[(pq) (rs)] [(pr) (qs)][(pq)(rs)] [(p r) (q s)] Dilemas Constructivos[(pq) (qr)] (pr)[(pq) (qr)] (pr) Transitividad o Silogismo Hipottico


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0 1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1.7 VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO

Un razonamiento es vlido cuando la forma proposicional que representa su estructura lgica es

una tautologa. Si dicha forma proposicional es una contradiccin o contingencia, entonces el

razonamiento no es vlido, en cuyo caso se denomina falacia.

Si Pablo recibi el e-mail, entonces tom el avin y estar aqu al medioda. Pablo no tom el

avin. Luego, Pablo no recibi el e-mail.

Procede primero a identificar las proposiciones simples:

a: Pablo recibi el e-mail.

b: Pablo tom el avin. (H1 H2) C

c: Pablo estar aqu al medioda.

Luego, se identifican las hiptesis y la conclusin:

H1: a(bc) H2: b C: a

a b c a b (bc) a(bc) H1 H2 H1 H2 c


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0 0 0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 0 1 1

1 1 0 0 0 0 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1 0 1

Determine si el siguiente razonamiento es vlido:

Si el crimen ocurri despus de las 04h00, entonces Pepe no pudo haberlo cometido. Si el

crimen ocurri a las 04h00 o antes, entonces Carlos no pudo haberlo cometido. El crimen

involucra a dos personas, si Carlos no lo cometi. Por lo tanto, el crimen involucra a dos

personas.

Identificar las proposiciones simples:

a: El crimen ocurri despus de las 04h00.

b: Pepe pudo haber cometido el crimen.

c: Carlos pudo haber cometido el crimen.

d: El crimen involucra a dos personas.

Se identifican las hiptesis y la conclusin:

H1: a(b) H2: (a)(c) H3: (c)d C: d (H1 H2 H3 )C


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a b c d a b c H1 H2 H1 H2 H3 (H1H2) H3 *(H1H2)

H3+c

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1

0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1

1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0

1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 11 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1

1.8 CONJUNTOS

1.8.1 Definicin de conjuntos

Un conjunto es una coleccin, reunin o agrupacin de objetos que poseen una caracterstica o

propiedad comn bien definida.


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Para establecer si un objeto pertenece o no a un conjunto, debe verificarse que posea la

caracterstica o propiedad declarada por el conjunto. De aqu que es importante que esta

caracterstica no sea ambigua.

Ejemplos de conjuntos:

Los nmeros enteros.

Los habitantes de la Luna.

Los animales en extincin

Los nmeros primos.

Los paquetes de software.

Los operadores de telefona celular.

Todas estas agrupaciones poseen una caracterstica que puede ser verificable con precisin.

A=

B=

C=

x A.x A.

La descripcin de un conjunto se puede realizar de las siguientes maneras:

- Por COMPRENSIN, para referirnos a alguna caracterstica de los elementos.

- Por EXTENSIN o TABULACIN, cuando se listan todos los elementos.

- Por medio de DIAGRAMAS DE VENN, cuando se desea representarlo grficamente.


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Por Comprensin:A= {x/x es consonante de la palabra amistad}

Por Extensin O Tabulacin: A= {d, m, s, t}

Por Diagramas De Venn:

Para algunas operaciones que se realizan entre conjuntos, es de mucha utilidad conocer la

cantidad de elementos que posee el conjunto. Dicha cantidad recibe el nombre de cardinalidad,

la cual se define a continuacin.

1.8.2 Cardinalidad.- Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el smbolo

N(A).

Ejemplo:

A = {x/x es un dgito impar en el sistema de numeracin decimal}

N(A) = 5, porque A = {1, 3, 5, 7, 9}

1.8.3 Conjuntos Relevante

Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos:

A es VACO si no tiene elementos. El smbolo que se utiliza para representar al conjunto vaco

es . N(A) = 0

.m .t

.s .d


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A es UNITARIO si tiene un nico elemento por lo que podemos decir que el nmero de

elementos es igual a 1.

N(A) = 1

A es Finito si tiene una cantidad finita de elementos.

A es Infinito si no tiene una cantidad infinita de elementos.

A es REFERENCIAL O UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen

considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa

al problema. El smbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U.

Conjunto VACO:

A = {x/x es un nmero par e impar a la vez}

Conjunto UNITARIO:

A = {*}

Conjunto FINITO:

A = {x/x es habitante del Ecuador}

Conjunto INFINITO:

A = {x/x es nmero entero}


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Conjunto REFERENCIAL o UNIVERSO:

A = {x/x es una letra del alfabeto espaol}

1.8.4 CUANTIFICADORES.

Hasta ahora hemos considerado solamente la inferencia lgica de la estructura de proposiciones

que son clasificadas como verdaderas o falsas. Sin embargo, en matemticas se pueden

considerar tres tipos de frases o expresiones: (1) verdaderas, (2) falsas y (3) indistintas o

abiertas.

Ejemplos:

Verdadera: 8+3 = 11

Falso: 2+2 = 4

Indistintas o Abierto = 3x + 2y = 5

1.8.5 CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Cualquier expresin de la forma: para todo, todo, para cada, cada, constituye en el

lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de .

18.5 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Cualquier expresin de la forma: existe, algn, algunos, por lo menos uno, basta que

uno, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de

.

x, 2x+3x = 5x Para todo nmero x se cumple que 2x3x=5x.x, 2x+2 = 4 algn valor de x puede cumplir que 2x2=4.


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1.8.7 SUBCONJUNTOEl conjunto A es subconjunto de B si y slo si los elementos de A estn contenidos en B.

Simblicamente, este concepto se representa por:

(A B)x [(x A) (x B)]

Si A es subconjunto de B (A B) pero B no es subconjunto de A (B A), se dice que A esSUBCONJUNTO PROPIO de B, lo cual se representa por:

(A B)[(A B)(A = B)]

B= {a, m, I, s, t, d}

A= {m, s, t, d}

1.8.8 CONJUNTO POTENCIA

Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que est formado por todos los

subconjuntos posibles de A. El smbolo que se utiliza para este conjunto es P(A).

P(A) ={B/B A}

Ejemplo:

Si A = {*, +, a}, entonces P(A) = {, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a}, {+, a}, A}.

A partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas:

{*, +} A{*, +} P(A)


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P(A)Observe que N(P(A)) = 8.

1.9 IGUALDAD ENTRE CONJUNTODos conjuntos A y B son iguales si y slo si tienen los mismos elementos. Es decir, ambos

conjuntos se contienen mutuamente. Simblicamente, este concepto se representa por:

(A = B)[(A B)(B A)]A es igual a B si y solo si A es subconjunto de B y B subconjunto de A.

1.10 CONJUNTOS DISJUNTOS E INTERSECANTES

Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y slo si A y B no tienen elementos en comn. Los

conjuntos A y B son INTERSECANTES si y slo si A y B tienen al menos un elemento comn.

Disjuntas:

A= {1, 3, 5, 7}

B= {a, b, c, d}

A B

Intersecante:

1 35 7

a bc d


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89 10

A= {1, 3, 5, 7}

B= {1, 3, 8, 9, 10}

1.10 OPERACIONES ESTRE CONJUNTOS.Es posible realizar operaciones entre conjuntos para formar otros nuevos. Las operaciones ms

utilizadas son: unin, interseccin, diferencia, diferencia simtrica y complementacin.

1.10.1 UNION ENTRE CONJUNTOS

La unin entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que

pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por AB y se define como:AB = {x/(x A)(x B)}A={ 1, 3, 5, 7}

B={ a, b, c, d } A U B= { 1, 3, 5, 7, a, b, c, d }

Re.

1.11 INTERSECCIN ENTRE CONJUNTOS.La interseccin entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que

pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por AB y se define como:

1 3

5 7

a b

c d

57

1


27/61

AB = x/(x A) (x B)}A={1, 3, 5, 7} B= {1, 3, 8, 9}

A

= {1, 3}

1.12 DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS.

La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que

pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por AB y se define

como:

AB = x/(x A)(x B)}A= {1, 3, 5, 7}

B= {1, 3, 6, 8, 9}

5 7 1 6

3 8 9

5

7

1

3

Re

Re


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1.13 DIFERENCIA SIMTRICA ENTRE CONJUNTOS.La diferencia simtrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los

elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por AB y se define como:

AB = (AB)(BA), o tambin:AB = x/*(x A)(x B)][(x B)(x A)]}

1.14 COMPLEMENTACIN DE CONJUNTOS.

La complementacin de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del

referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se define como:

A = {x/(x Re)(x A)}A= {2, 4, 6, 8, 9, 10}

A= {2, 4, 6, 8, 9, 10}

6 8

9

5 7

1 3

5 7

Re

142

986

Re


29/61

1.15 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.

AB = BA Conmutativa AB =(AB) C=A ( C) Asociativa(AB)C=A(BC)

AA = A A Idempotencia AA =A = A A Identidad ARe =ARe = Re Re Absorcin A =

1,16 LEYES DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES UNIN E INTERSECCIN.

C = Re(Re) = Complementacin(A

)

= A Doble Complementacin o Involutiva

A(BC) = (AB)(AC) Distributivas(AB) = AB(AB) = AB De MorganAAC = ReAAC = (A B)(BC AC)(A B)(ACB=Re)(AB = Re)(AC B)(AB =

)

A

BC

[(A C)(B C)][(AB) C][(A B)(A C)][A (BC)+ Transitividad(A B)*(ABC) ] Reduccin al absurdo(A = B)[(A B)(B A)](A = B)(B = A) EquivalenciaAB (A )(B )AB = (A = )(B = )(AB=Re)(A=Re)(B=Re)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)

A

A A[(A B)(B C)](A C) Transitividad[(A B)(C D)]*(AC) (BD)+[(A B)(C D)][(AC) (BD)]


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EJERCICIOS:

Si en el diagrama de Venn que se muestra a continuacin el conjunto A est dado por el crculo

externo, el conjunto B est dado por el crculo interno y el conjunto C est dado por el tringulo,

determine el conjunto que representa la regin sombreada.

*(AB) C](BC)


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2. NMEROS REALES

En el captulo anterior hemos utilizado los nmeros y uno de los conjuntos que nos ha servido

como referencia es = {1, 2, 3,....}, el cual se denomina conjunto de los nmeros naturales.

En algunas situaciones de la vida diaria, tales como:

Determinar el nmero que sumado con 5, d por resultado 2.

Tener un sobregiro de $ 100 en una cuenta corriente.

Disminuir la temperatura de 25 C a 20 C en un cierto instante de tiempo.

Deber una cierta suma de dinero.

Nos encontramos con la dificultad de que no existen nmeros naturales que puedan resolver

dichos problemas. Las soluciones se encuentran en un nuevo conjunto denominado conjunto de

los nmeros enteros

= {-3, 2, 1, 0, 1, 2, 3},2


32/61

4. Llevar el punto decimal antes del primer perodo, multiplicando al nmero por la potencia de

base diez, correspondiente a la cantidad de decimales recorridos.

5. Restar las expresiones obtenidas en los numerales 3 y 4.

6. Despejarx.

7. Simplificar en caso de ser posible.

Ejemplos:

0.2222= 0,2 = = 0,2222

0,232323= 0,23 = =0,2323

0,147147147=0,147== 0,147147147

0.266666= 0,26= = =

=0,26

0,23427427=0.23427= ==

1,13333=1,13=1+ =1+=

=

=

=

=

5,1918181818=5,1918=

= =

412

4515 5851

24975

1751

4515

17

4515

571117133

33001100


33/61

7+8/4+2

7+2+2=11

8+3*4-2/1

8+12-2=18

/

=

2.1 Operaciones con fracciones:

Simplificar la expresin algebraica:

2.2 ECUACIONESUna ecuacin o igualdad condicional, es aquella que es verdadera slo para algn o algunos

valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.

X 2 =17, es una igualdad siempre y cuando x =19.

3x + 2 =7, es una igualdad siempre y cuando x =

x2

1 =0, es una igualdad siempre y cuando |x| =1.

X2 -4 = 12=

X2=12+4

X2=16


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=X =4 R//

19+x=18

x=18-19

x=1 R//

a2+3ax+4ab+3bx+b2=2 (2a2+4ab+ab+2b2)

a2+3ax+4ab+3bx+b2=4a2+8ab+2ab+4b2

3ax+3bx=-a2+4a2-4ab+8ab+2ab+4b2-b2

3ax+3bx=3a2+6ab+3b2

3x(a + b)=3(a2+2ab+ b2)

3x(a + b)=3(a + b) (a + b)

X= a+ b


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2.3 Ecuaciones CuadrticasUna ecuacin cuadrtica o de segundo grado es aquella que puede representarse con un

predicado de la forma: ax2 + b x + c = 0 donde X es la incgnita cuyo valor hay que determinar.

Se pueden encontrar las soluciones de la ecuacin cuadrtica mediante factorizacin o por lafrmula general. En el primer caso, se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuacin

cuadrtica como el producto de dos factores lineales, y se igualan a cero estos factores. Las

nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente, como se

describi en la seccin anterior.

Finalmente, las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad

de la ecuacin cuadrtica dada.

* x2 5x 6 = 0, determine(x). Formula General

Solucin: (x +6) (x-1) X+6=0 x-1=0 X=-6 x=1 Comprobacin: x2 5x 6 = 0 (-6)2+5(-6)-6=0

36-30-6=0

0=0

*3x2-11x+6=0

Formula General


36/61

3x2-11x+6=0

Caso de factoreo:

3x2-11x+6=0

3x -2= -2

X -3= -9

(3x-2) (x-3)

3x-2=0 x-3=0

3x=2 x2=3

X1=

* a2+2ab+b2+a+b=12; y a y b son nmeros reales negativos. Cul es el nmero de a+ b?

a2+2ab+b2+a+b=12

(a +b) (a +b)+a+ b=12

(a+ b)2+(a+ b)-12=0

[(a +b) +4] [(a+ b) -3]

(a+ b) +4=0 (a+ b)-3=0

a +b= -4 a-b=3

Resuelto por la formula general:

a2+2ab+b2+a+b=12

x=

x=


37/61

Determine los valores de p para que la ecuacin 3x2+ (p+1) x +24=0 tenga 2 races tales que la una sea

doble que la otra.

3x2+ (p+1) x +24=0 FORMULA

-(p+1)- [ ] - (p+1)- =

P+1=18

p=18-1=

P=17

2.4 ECUACIONES CON RADICALES.Una ecuacin con radicales es una expresin algebraica en la cual la variable x aparece bajo una

raz cuadrada. El nico procedimiento razonable consiste en elevar al cuadrado el miembro que

posea el radical para eliminarlo. Sin embargo, con este procedimiento la ecuacin no se

transforma en una ecuacin equivalente, ya que para que dos ecuaciones sean equivalentes se

necesita que tengan exactamente las mismas soluciones.


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X + 13 = 4 + 4 x + 7 xX + 13 =11+ 4 xX + 13 11+x= 4 2x+2= 4 (2x+2)2= (4 )24x2+8x+4= 16 (7x)4x2+8x+4=112

16x

4x2+8x+411216x=0 Resuelto por formula general.

. . . . .

. Comprobacin:

Resuelto por caso de factoreo.

X2+6x-27=0

X +9= 9

X -3= -3

(X +9) (x-3)

X +9=0 x-3=0

x=-9 x=3


39/61

(3)2+6(3)-27=0

9+18-27=0

0=0

( 5x+4 = 4x2+4x+1

5x+4- 4x2-4x-1=0

X+3-4x2=0

-4x2+x+3=0

Resuelto por formula general.

-4x2+x+3=0

X=

X=

X=

X=

X1=

X2=

Comprobacin:

Resuelto por caso de factoreo.

-4x2+x+3=0

4x 3=-3x

-x 1= 4x

(4x+3) (-x+1)

4x+3=0 -x+1=0

4x=-3 x2= 1

X1=


40/61

3-1=2

2=2

( ) ( )

Formula general:


41/61

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

2.5 TEMA: PLANTEAR ECUACIONES.Una de las aplicaciones ms importantes que podemos encontrar con el estudio del lgebra es

la solucin de problemas de las ciencias de la ingeniera, la economa, la administracin, lasfinanzas, la medicina, y otros del mundo real, los cuales pueden plantearse en trminos

algebraicos y resolverse con las tcnicas anteriormente estudiadas.

Considere las siguientes reglas bsicas para la resolucin de problemas de enunciado verbal:


42/61

2.5.1 Lectura y compresin del enunciado del problema:Antes de iniciar la resolucin de un problema, es necesario que hayamos comprendido bien su

enunciado. Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario, para aclarar

dudas sobre lo que se pide resolver y cmo se relaciona la informacin dada.

2.5.2 Designacin de las incgnitas del problema:Para designar la(s) incgnita(s) debemos prestar atencin a la pregunta que se formula en el

problema. Sin embargo, es conveniente tambin tener presente las relaciones existentes entre

los datos y la incgnita, pues ello puede permitir plantear una ecuacin ms simple.

Generalmente las incgnitas se representan con letras minsculas del alfabeto espaol.

2.5.3 Traduccin del texto del problema al lenguaje matemtico:Exprese en trminos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema.

2.5.4 Expresin de relaciones por medio de ecuaciones:

Identifique la(s) condicin(es) del problema que relaciona(n) dos o ms de las expresiones

establecidas en el paso anterior. Plantee una ecuacin (o ecuaciones) que exprese(n) las

condiciones del problema.

2.5.6 Resolucin de las ecuaciones y anlisis de las soluciones encontradas:Resuelva la(s) ecuacin(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original.

Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se plante en

el problema.

Si el caso amerita, se puede realizar un grfico del problema a resolver.

La suma de tres nmeros enteros consecutivos es 72. Encuentre el mayor de ellos.

Solucin:

X: nmero menor.

X + 1: nmero central.

X + 2: nmero mayor.

Segn las condiciones del problema, se puede plantear la siguiente ecuacin:

x + (x + 1) + (x + 2) = 72 Planteo de la ecuacin.

3x + 3 = 72 Reduccin de trminos semejantes.


43/61

3x = 69

Simplificacin. x = 23

Anlisis de la solucin encontrada:

Los nmeros consecutivos son: 23, 24 y 25.

La suma de los tres nmeros es 72.

El nmero buscado, que es el mayor, es 25.

Un estudiante debe leer una novela en una semana. Entre lunes y martes lee del libro y el

mircoles lee del resto. Si para los restantes das de la semana todava le quedan 64 pginas

de lectura, cul es el nmero total de pginas del libro?

Solucin:

X : nmero total de pginas del libro.

X: nmero de pginas ledas entre lunes y martes.El resto es la diferencia entre el nmero total de pginas y lo que ley entre lunes y martes. Por

lo tanto, el mircoles el estudiante lee: .Los restantes das de la semana el estudiante lee: 64 pginas.

Segn las condiciones del problema, se puede plantear en funcin de las pginas ledas la

siguiente ecuacin:


44/61

Una solucin de sal se hizo al 10% y otra al 25%. Cuntos litros de cada una se deben mezclar

para obtener 20 litros de solucin al 16% de sal?

Solucin:

X: nmero de litros al 10%.

20 x: nmero de litros al 25%.

La cantidad de sal en la mezcla final debe ser igual a la suma de las cantidades de sal que hay en

las soluciones iniciales. La cantidad de sal en cada solucin es el porcentaje dado del nmero de

litros de ellas.

10% de x 25% de (20 x) = 16% de 20

X l (20 x) l 20l

0.10x (0.25)(20 x) = (0.16)(20)

0.10x 5 0.25x = 3.2

0.10x 0.25x =-5+ 3.2

0.15x = 1.8

10% 25% 16%


45/61

LitrosAnlisis de la solucin encontrada: 10% de 12 = 1.2 litros. 25% de 8 = 2 litros. 1.2 + 2 = 16% de

20 = 3.2 litros. Por lo tanto, se deben mezclar 12 litros de la solucin al 10% con 8 litros de la

solucin al 25% para obtener 20 litros de una solucin al 16%.

2.6 DESIGUALDADESUna desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemticas. Dichas

expresiones estn separadas por alguno de los siguientes smbolos: >,


46/61

Si satisface*

Reemplazo

Solucin


47/61

2.6.2 Inecuaciones lineales.

Inecuaciones Lineales

4x+3 12x-134x+3=12x-13

4x-12x=-13-3

-8x=-16

. Reemplazo.

4(2)+3 12(2)-138+3 24-1311 11

Solucin:

4(1)+3 12(1)-134+3 12-137 -14(3)+3

12(3)-13

12+3 36-1315 23 sol. (


48/61

2.6.3 Inecuaciones Cuadrticas

Una inecuacin cuadrtica es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el

conjunto de los nmeros reales, mediante una de las siguientes formas:

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

ax2 bx c 0

ax2 bx c 0

Donde x es la incgnita cuyo valor hay que determinar.

Se pueden encontrar las soluciones de una inecuacin cuadrtica mediante factorizacin o

mediante la frmula general.

X2-9 0X2=9

. X=3

(-3)2-9 09-9 00 0(-4)2-9 0 (2)2-9 0 (4)2-9 016-9 0 4-9 0 16-9 07 0 -5 0 NO CUMPLE 7 0 SOLUCIN (-

X2+9 0X2+9 = 0

X2=-9

X=3


49/61

2.7 BINOMIO DE NEWTON(x+=(

+5(

y +10(

+10(

+5(2x)

+

32+80+80+40+10+

2x - 3 a: (a+ bt k = ( ) (a (b: (a- bt k = (-1( ) (a(b

t 9 = (-1( ) (2x(3yt 9 = (-1( ) (2x(3yt 9 =

t 9 = 15x13x11x3(128x7) (6561)t9 =6435(128) (6561)t9= 5.404.164.480

k= termino a encontrar

n=exponente delbinomio


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3. ESTADSTICASLa estadstica trata del reencuentro, ordenacin y clasificacin de los datos obtenidos por las

observaciones para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Recogida de datos.

Organizacin y representacin de datos.

Anlisis de datos.

Obtencin de conclusiones.

3.1 CONCEPTO DE ESTADISTICA

3.1.1Poblacin.

La poblacin es el conjunto de todos los elementos a los que se los somete a un estudioestadstico.

3.1.2 Individuo.

El individuo o unidad estadstica es cada uno de los elementos que compone la poblacin.

3.1.3 MuestraEs un conjunto representativo de la poblacin de referencia, el numero de individuos de una

muestra es menor que el de la poblacin.

3.1.4 MuestreoEs la reunin de datos que se desea estudiar obtenidos de una proposicin reducida y

representativa de la poblacin.

3.1.5 El valorEs cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadstico, si

lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 2 valores. Cara y Cruz.

3.1.6 DatosEs cada uno de los valores que se a obtenido al realizar un estudio estadstico. Si lanzamos una

moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: Cara, Cara, Cruz, Cara, Cruz.

Definicin de variables.- Una variable estadsticas es cada una de las caractersticas o cualidades

que poseen los individuos de una poblacin.


51/61

3.2 Tipos de variables:

3.2.1 Variables cualitativas.Se refieren a caractersticas o cualidades que no pueden ser medidas con nmeros. Podemos

distinguir 2 tipos:

3.2.2 Variable cualitativa nominal.Representa modalidades numricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo: Estado

civil: soltero, casado, divorciado, viudo, unin libre.

3.2.3 Variable cualitativa ordinal.

Una variable cualitativa ordinal, presenta modalidades no numricas en las que existe un

orden. Ejemplo: medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

3.2.4 Variable cuantitativa.Es la que se expresa mediante un nmero, por lo tanto se puede realizar operaciones

aritmticas con ellas. Podemos distinguir 2 tipos.

3.2.5 Variable discreta.Una variable discreta es aquella que toma valores aislados es decir no admite valores

intermedios entre 2 valores especficos. Por ejemplo: El nmero de hermanos que tiene una

persona.

3.2.6 Variable Continua.Es aquella que puede tomar valores comprendidos entre 2 nmeros. Por ejemplo: La altura de

3 personas: 1.75 , 1.50, 1.90cm.

3.3 Tipos de frecuencia.

3.3.1 Frecuencia absoluta.Es el nmero de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadstico.

Se representa por fi.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al nmero total de datos que se representa por N.

f1+f2+f3+f4+f5= N

3.3.2 Frecuencia relativa.Es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el nmero total de datos.


52/61

La frecuencia relativa se puede expresar en tanto por cierto y se representa por ni.

La suma de la frecuencia relativa es igual a 1.

3.3.3 Frecuencia acumulada.Es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor

considerado.

La frecuencia acumulada se representa por Fi.

3.3.4 Frecuencia relativa acumulada.Es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el nmero total de

datos.

Se representa por Ni.


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4. TRIGONOMETRA

4.1 Semirrecta.Una semirrecta es la parte de una recta que est a un lado de la misma, desde un punto fijo

llamado extremo y se extiende indefinidamente en una sola direccin.

4.2 ngulo.

Es la unin de dos semirrectas que se intersecan en su extremo.

Un ngulo se encuentra en posicin normal o estndar si su vrtice est ubicado en el origen del

sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el semieje X positivo.

Lado final

Vrtice Lado inicial

II cuadrante I cuadrante

III cuadrante IV cuadrante

4.3 Unidades angulares.

Para la localizacin exacta de una estrella o la posicin de un barco, se utilizan las unidades demedida ms conocidas, como son los grados sexagesimales, minutos y segundos; tales unidades

estn basadas en la divisin en partes iguales de una circunferencia. Algunas equivalencias

importantes son las siguientes:

360 representan un giro completo alrededor de una circunferencia.


54/61

180 representan 1 2 de vuelta alrededor de una circunferencia.

90 representan 1 4 de vuelta.

1 representa 1 360 de vuelta.

1 representa 60 minutos ().

1representa 60 segundos ().

Ejemplos:

Y 510 Y 1050

-X X -X X

-Y -Y

0 r

510


55/61

Y 450 Y -120

-X X -X X

-Y

-Y

Y 930

-X X

-Y

4.4 ngulos cotermnales.Son aquellos ngulos que tienen los mismos lados inicial y terminal.

Y -210 510 +150 Y 330 1050 -30

-X X -X X

-Y -Y

450

930


56/61

4.5 ngulos consecutivos.Dos ngulos de un mismo plano son consecutivos cuando slo tienen un lado en comn.

4.6 ngulos adyacentes.Dos ngulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas

en la misma direccin, pero en sentido contrario. La suma de las medidas de estos ngulos es

180.

4.7 ngulos complementarios.Dos ngulos son complementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de un

ngulo recto: = 90.

4.8 ngulos suplementarios.

Dos ngulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dosngulos rectos: = 180.


57/61

4.9 Opuestos por el vrtice.Dos ngulos se dicen opuestos por el vrtice cuando los lados de uno de ellos son semirrectas

opuestas a los lados del otro, verificndose que = .

4.10 Relacin entre grados sexagesimales y radianes.la longitud de una circunferencia es 2r, y para el caso de una vuelta completa, hemos indicado

que el ngulo mide 360, entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en

grados sexagesimales y radianes. A partir de la igualdad radianes = 360, determine que:180= radianes 90= radianes 60= radianes 45= radianes30=

radianes

Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura:

120, 90,

60

135, 45

150, 30

180,

0,360,

210, 330,


58/61

225, 315,

240, 300,

270, 50 a radianes

50.

=0.84 =

0.90 a grados

0.90. =5115

15. =0.2618 radianes == -3 a grados-3 . =-540

Sen A= Csc A=

Cos A= Sec A=

Tang A= Cot A=

CII

Sen A= Csc A=Cos A=

Sec A=

Tang A=

Cot A=

CIII

C=5

P (3,4)

a=4

a=4

b=3b=-3

C=5a=4

B (-3,4)B

C C

P (3,4)


59/61

Sen A= Csc A=

Cos A= Sec A=

Tang A= Cot A=CIV

Sen A= Csc A=

Cos A= Sec A=

Tang A= Cot A=

EJERCICIO

De un tringulo a, b, c se conoce a = 415m b=280m.Resolver el tringulo.

A

c=50.063

b=28

C B

a=415

C= A+B+C=180C= B=180-A-CC= B=180-565 55 -90 C= B=3354C=50.063mSen. A=

A=

C ITODAS

(+)

C IISen Csc

(+)

C IIITang Cot

(+)

C VICos Sec

(+)


60/61

A=56 5 554.11 IDENTIDAD TRIGONOMTRICASon igualdades que involucran funciones trigonomtricas estas identidades son siempre tiles

para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funcionestrigonomtricas, cual quiera que sean los valores que se asigne a los ngulos para los cuales

estn definidas estas razones. Las entidades trigonomtricas nos permiten plantear una misma

expresin de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas usamos la factorizacin

denominadores comunes, etc., pero para simplificar funciones trigonomtricas, utilizaremos

estas tcnicas en conjunto con las entidades trigonomtricas.

Identidades Reciprocas:

1.

4.

2. 5. 3. 6. Identidades del cociente:

7. 8. Identidades pitagricas.

9. 10. 11.

Ejercicios

a)Sen X. Cos x = Cos x

Sen x= cos x


61/61

Cosx = Cos x

b).

(1-sen (1+sen = cos

(1-sen) = =

Original Portafolio de Matematicas29

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