Geometra analtica La geometra analtica estudia las figuras geomtricas mediante tcnicas bsicas del anlisis matemtico y del lgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histrico comienza con la geometra cartesiana, impulsada con la aparicin de la geometra diferencial de Carl Friedrich Gauss y ms tarde con el desarrollo de la geometra algebraica. Las dos cuestiones fundamentales de la geometra analtica son: 1. Dado el lugar geomtrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuacin. 2. Dada la ecuacin en un sistema de coordenadas, determinar la grfica o lugar geomtrico de los puntos que verifican dicha ecuacin. Lo novedoso de la geometra analtica es que representa las figuras geomtricas mediante frmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f es una funcin u otro tipo de expresin matemtica: las rectas se expresan como ecuaciones polinmicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0), las circunferencias y el resto de cnicas como ecuaciones polinmicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hiprbola xy = 1), etc. Construcciones fundamentales En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos nmeros, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos nmeros reales ordenados (abscisa y ordenada), y recprocamente, a un par ordenado de nmeros corresponde un nico punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunvoca entre un concepto geomtrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de nmeros. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometra analtica. Con la geometra analtica se puede determinar figuras geomtricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incgnitas. ste es un mtodo alternativo de resolucin de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

Localizacin de un punto en el plano cartesiano Como distancia a los ejes En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre s (ejes) que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada punto del plano queda unvocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se d tambin un criterio para determinar sobre qu semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de nmeros, las coordenadas, quedar representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio ser la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal). En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (tambin se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomndose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto. Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, as que sern de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrn abscisa igual a 0, por lo que sern de la forma (0,y). El punto donde ambos ejes se cruzan tendr por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa ser 0 y su ordenada tambin ser 0. A este punto el (0,0) se le denomina origen de coordenadas. Ecuaciones de la recta en el plano Artculo principal: Funcin lineal Una recta es el lugar geomtrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el clculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.

La ecuacin general de la recta es de la forma:

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B. Una recta en el plano se representa con la Funcin lineal de la forma:

Como expresin general, sta es conocida con el nombre de ecuacin pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, ser porque es paralela a l. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la funcin sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto (x0,0). La ecuacin de dichas rectas es:

Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto (0,y0). La ecuacin de dichas rectas es:

Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas (a,0) y otro punto de corte con el eje de ordenadas (0,b). El valor a recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el b se denomina ordenada en el origen.

Secciones cnicas

Los tres ejemplos de interseccin de un plano con un cono: parbola (A), elipse (B) e hiprbola (C).

Las tres secciones cnicas: elipse, parbola e hiprbola. La circunferencia es un caso particular de elipse. El resultado de la interseccin de la superficie de un cono, con un plano, da lugar a lo que se denominan secciones cnicas, que son: la parbola, la elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hiprbola.

La parbola es el lugar geomtrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Una parbola (figura A) cuyo eje de simetra sea paralelo al eje de abcisas se expresa mediante la ecuacin:

La elipse es el lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vrtices.

Una elipse (figura B) centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b viene dada por la expresin:

Si los dos ejes son iguales y los llamamos c:

el resultado es una circunferencia:

La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vrtices.

La hiprbola (Figura C) tiene por expresin:

ORIGENES DE LA GEOMETRIA En el ao de 1637 public Rene Descartes (1596-1650) su geometrie, dividida en tres libros, de los cuales dedica el segundo a lo que se ha llamado Geometra Analtica, y de la cual se ha dicho, con toda exactitud, que ha hecho poca. En ella establece el enlace entre el nmero y el espacio, y aunque su importancia slo se evidenci aos ms tarde, su publicacin influy en forma decisiva en el desarrollo de todas las ramas de las ciencias exactas, especficamente el con la nueva simblica de preconiza. ORIGENES DE LAS COORDENADAS Si se entiende al uso de coordenadas para localizar un punto, los albores de la Geometra Analtica se remontan a Arqumedes (287-212 a. de J.C.) y a Apolonio de Perga (siglo II a. de J.C.) y, cerca de 18 siglos despus, a J. Kpler (1571-1630), pues para el estudio de las cnicas se valan ya, sustancialmente, de las coordenadas (cartesianas) refirindose, empero, a ejes intrnsecamente conectados con la curva estudiada. Algo mejor relacionado con el concepto moderno de las coordenadas se encuentra en un dibujo del siglo X u XI, de autor desconocido, al hacer el estudio de las trayectorias de los planetas, en el cual representa la latitud y la longitud, respectivamente, como ordenada y abscisa. ESTUDIO DE LAS CURVAS: PARABOLA, ELIPSE E HIPERBOLA

Si en la Geometra Analtica se considera el estudio particularizado de las tres grandes curvas: parbola, elipse e hiprbola, debera hacerse remontar esta ciencia a Menaicmo (siglo IV a. de J.C.), a quien se atribuye la invencin de dichas curvas, que constituyen lo que se ha denominado la trade de Menaicmo. En realidad, los nombres con los que se citaban a estas curvas ya existan y fueron creados por los pitagricos. Estos al resolver el problema que denominaron aplicacin de las superficies planas, introdujeron las palabras parbola, elipse e hiprbola segn que en la aplicacin de dichas superficies hubiese igualdad, deficiencia y exceso respectivamente.

GEOMETRIA ANALITICA, ORIGENES DE LA TERCERA DIMENSION. Descartes termina el segundo libro de su obra observando que el concepto fundamental de su mtodo puede extenderse del plano al espacio, es decir, mencion la Geometra Analtica de tres dimensiones, pero nada escribi acerca de ella. F. van Schooten el joven (1615-1660), traductor y comentador de Descartes, fue el que sugiri, en 1657, el uso de coordenadas en el espacio tridimensional. El que ech los cimientos de la Geometra Analtica de tres dimensiones, fue A. Parent (1666-1716). Ense por primera vez a representar una superficie, la de una esfera y otros slidos, por medio de una ecuacin cartesiana, que l llama quation superficielle; pero, aunque habla de un punto como origen o punto de referencia, no menciona ni ejes ni planos coordenados. El que indic la consideracin de los tres ejes coordenados de un sistema cartesiano, es J. E. Hermann (1678-1733). Con l la Geometra Analtica del espacio, entonces incipiente, recibi notable impulso. Considera tres ejes de referencia, y hace observar que un punto cualquiera de cada eje tiene dos de sus coordenadas nulas. Demuestra que toda ecuacin de primer grado con tres variables, ax + by + cz - d = 0, representa un plano; partiendo de ella, deduce las coordenadas de la interseccin del plano con cada uno de los ejes cartesianos. A. C. Clairaut (1713-1765), ampli la obra de Hermann, que constituyo un verdadero tratado de la Geometra Analtica del espacio, pues, adems de determinar tangentes y normales a las curvas alabeadas, hace figurar

ecuaciones de planos, ecuaciones de las superficies de la esfera, del paraboloide y, en general, las ecuaciones de las superficies de los slidos de revolucin. L. Euler (1707-1783) establece los fundamentos de la Geometra Analtica del espacio. Estudia las superficies representadas por las ecuaciones de segundo grado, y hace la reduccin de ellas a cinco tipos. COORDENADAS POLARES Las coordenadas polares en el plano, debe decirse que dichas coordenadas fueron inventadas en 1691 por Jacobo Bernoulli (1654-1705), pues antes se haban usado para el estudio de las espirales solamente. El apelativo Analtica es posterior a Descartes. Aparece en la edicin que de las obras de Newton hizo S. Horsley en 1779, con el nombre de Geometra Analytica, sive specimina artis analyticae, es decir, Geometra Analtica, o especimenes del arte analtico. Dbese al marqus de LHospital la introduccin de la palabra origen, y son de G. G. Leibniz (1646-1716) las palabras abscisa y ordenada (en el sentido que se les da actualmente) y coordenadas. La palabra parmetro, aplicada a ecuaciones paramtricas, fue usada por este mismo autor. Arqumedes ya usaba las palabras eje, vrtice y dimetro. Con esta ltima indicaba los ejes de simetra de la elipse y el de la parbola, como recta dada. El mismo Arqumedes usaba tambin la expresin dimetros conjugados, pero la teora relacionada con ellos es, tal vez, de fecha anterior. La palabra asntota aparece usada por Autolico (cerca del ao 320 a. de J. C.), pero slo llega a ser un trmino propiamente tcnico con Apolonio, el cual consideraba como una recta cuya distancia a la curva disminuye constantemente. El primero que consider las asntotas como rectas tangentes cuyo punto de tangencia se halla en el infinito, fue G. Dsargues (1593-1661). Por ltimo, dbese a Kpler el haber introducido la palabra foco que, en el caso de la elipse, le fue sugerida por la observacin de que los rayos luminosos o calorficos que parten de uno de los focos de esa curva, son reflejados por ella en tal forma que pasan por el otro foco.