Optimizacion de Sistemas(Separata)

Optimizacin de Sistemas Elctricos

De la F, Borrero, Cervantes 1



Capitulo1 Aspectos generales de la optimizacin de sistemas elctricos

1.1 Introduccin.

La palabra optimizacin puede no tener un significado concreto si ella se utiliza,

como a menudo ocurre, solo en calidad de equivalente de la palabra bueno. La

palabra ptimo debe significar que un objeto o proceso determinado es mejor que

otros objetos o procesos, porque posee y responde en un mayor grado a determinados

criterios, el criterio de optimalidad. Por tal razn la concepcin de ptimo es relativa,

esto es, esta unido con la comparacin entre s y de acuerdo a un determinado

precepto (para uno u otros indicadores) de objetos y procesos.

La comparacin de procesos conduce a la resolucin de tareas, las cuales, como

regla, numricamente muestran en cuanto o cuantas veces un determinado proceso

bajo examen es mejor que otro u otros comparados entre s para un mismo criterio de

optimalidad.

El objetivo final de la solucin de tales tareas es el aseguramiento de la mayor

efectividad de la economa nacional en su conjunto o la obtencin, en algunos casos

prcticos, de los mayores y menores valores de determinados indicadores del proceso;

por ejemplo la disminucin al mnimo del gasto de combustible imprescindible en la

generacin de energa elctrica demandada por los consumidores; las medidas a

tomar para garantizar los lmites de estabilidad estable con mnimos gastos, etc. En

algunos casos la consideracin de indicadores cuantitativos de optimalidad es difcil y

por eso se hace necesario utilizar criterios comunes de calidad. Por ejemplo, la

optimizacin del efecto ecolgico de una instalacin energtica cuando es necesario

garantizar el mnimo de influencias indeseables sobre el medio ambiente durante la

explotacin del sistema o durante su proyeccin.

Los procesos en los sistemas energticos comnmente se describen por sistemas

de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas. Mediante estas

ecuaciones pueden ser representados tambin, y con suficiente exactitud,

determinados procesos econmicos en los as llamados macro modelos econmicos

que describen la economa del pas.

Durante el anlisis de los procesos en estos sistemas es necesario considerar las

perturbaciones, tanto internas (averas en los equipos, incumpliendo en los planes),

como externas (cambio de las materias primas, aumento o disminucin de los

recursos).

1.2. Caractersticas de la direccin operativa.



La accin de las perturbaciones crea la necesidad de la direccin operativa del

sistema; as ocurre, por ejemplo, en los sistemas electroenergticos. El papel de la

direccin operativa es garantizar el cumplimiento del plan de produccin, teniendo en

cuenta las particularidades de las situaciones concretas creadas en el periodo

analizado. Entre las tareas que garantizan una direccin ptima del sistema energtico

se encuentra la planificacin de los regmenes de las plantas y los sistemas, es decir,

la obtencin del mayor efecto econmico y tecnolgico de la direccin energtica de

las empresas y los procesos productivos. Entre estas tareas de direccin y

planificacin que exigen la utilizacin de mtodos de optimizacin se encuentran:

1. Determinacin de la estrategia optima de crecimiento del sistema

energtico. Tiene que ver, fundamentalmente, con la construccin y

reconstruccin de sistemas y objetos que componen los mismos. A esta tarea

se asocia la seleccin de la localizacin, potencia instalada y plazos para

entrada en servicio de nuevas plantas, subestaciones y lneas de transmisin.

2. Seleccin de la mejor configuracin de las redes (para uno u otro

indicador) que interconectan los subsistemas o que transmiten o distribuyen la

energa dentro del sistema.

3. Distribucin de las cargas entre las diferentes plantas en explotacin o

en proyeccin dentro del sistema.

4. Seleccin de la estrategia para la mejor utilizacin de los recursos (tipos

de combustible, fuerza laboral, etc.)

5. Seleccin de los mejores itinerarios para el transporte de carga, incluido

el combustible.

6. Seleccin de los puntos de seccionalizacin de las lneas con doble

alimentacin.

Los Sistemas Elctricos se caracterizan por la complejidad y diversidad de las

acciones que se acometen durante su operacin en aras de garantizar la

confiabilidad y garanta del suministro a los consumidores. stas pueden

coincidir en el tiempo, pero en algunos casos puede no ser as; de aqu que las

tareas de optimizacin en los sistemas elctricos deben responder a estas

peculiaridades, por lo que pueden ser:

a) Transitorias. Como su nombre lo indica, tienen que ver con la

optimizacin del transcurso y magnitudes de los fenmenos dinmicos

que ocurren en los sistemas. Los modelos matemticos empleados en

estos casos estn constituidos por sistemas de ecuaciones

diferenciales. A este tipo corresponde la optimizacin de las acciones

de la automtica contra avera, etc.



b) Estacionarios. La optimizacin de este tipo se relaciona con fenmenos

en los cuales no juega papel fundamental el transcurso de la variable en

el tiempo, sino la magnitud que la misma pueda alcanzar: Estos

modelos trabajan con ecuaciones algebraicas; por ejemplo la

optimizacin de la distribucin de carga entre unidades, entre otras, es

un ejemplo de este tipo de accin.

c) Explotacin o de proyeccin. Como su nombre lo indica, estas son

tareas que se restringen a analizar el comportamiento de un

determinado parmetro ante determinadas condiciones de explotacin,

para garantizar un valor mximo (o mnimo) deseado, o a las posibles

perspectivas futuras de trabajo del objeto estudiado. Entre estas tareas

est la determinacin de la estructura ptima de la red para un perodo

determinado..

1.3. Particularidades de la optimizacin en los sistemas elctricos.

Con el desarrollo de los sistemas energticos, las tareas de optimizacin en esta

esfera, tienden ms y ms a tareas operacionales, es decir, la ejecucin de algunas

operaciones o sistemas de acciones, unidas en un propsito nico y dirigido a obtener

un objetivo especfico. El grado de obtencin del objetivo, en este caso, se describe

por una determinada funcin (la funcin objetivo o criterio de optimalidad) que toma

valores numricos reales. Si esta funcin se expresa en forma matemtica, entonces

el objetivo de la operacin se constrie a la obtencin del extremo de esta funcin, la

funcin objetivo. Para la accin sobre esta funcin en la direccin deseada se tienen

determinados medios activos (los parmetros de regulacin) ;rnX......1rX por medio

de los cuales es posible influir en los parmetros de salida (regulados)

,mY...2Y,1Y que constituye argumento de la funcin objetivo. En el resultado de la

operacin influencia tan bien los parmetros no regulados ,knrX,....,nr,1X que

determinan las condiciones en las cuales se efecta la operacin. Sobre la base de

estas definiciones se establece el modelo matemtico del proceso o grupo de

procesos estudiados.

El modelo matemtico puede considerarse como la representacin del proceso

estudiado en forma de determinadas dependencias funcionales.

mLknnXnrXrnXrXYiY ,1);.....1,.....1( ==

Debern ser conocidas tambin las dependencias que expresan las restricciones en

forma de igualdades y desigualdades. Los valores de los parmetros de regulacin,

para los cuales se cumplen las restricciones establecidas reciben el nombre de



soluciones posibles. Por tal razona la optimizacin del proceso se reduce a la

obtencin de la metodologa que permita elegir del conjunto de soluciones a aquella

para la cual los valores de los parmetros de regulacin son tales, que cumplen con

las restricciones impuestas y que llevan a un mximo o a un mnimo la funcin

objetivo.

A medida que se hace mas compleja la estructura del modelo matemtico, (lo que

est determinado por la presencia de un gran numero de parmetros reguladores y

regulados, por la presencia de restricciones lineales y alinales, etc) se ha hecho

necesario utilizar para las tareas de optimizacin los mtodos de programacin

matemtica y en unin con ellos la utilizacin de las maquinas computadoras digitales.

Existen un gran nmero de mtodos de optimizacin. Uno de los mas usados es el

mtodo del multiplicador de Lagrange y el mismo se basa en la determinacin del

extremo de la funcin objetivo mediante la investigacin analtica de los enlaces

existentes entre parmetros definidos (variables) que caracterizan el proceso. El

mtodo de Lagrange permite encontrar el extremo condicionado de una funcin

)( Raj XXF en el espacio determinado por el sistema de ecuaciones

= niporxgi ,1.)( .Para encontrar el punto del extremo, caracterizado en el

espacio por un vector , es necesario encontrar m nmeros los cuales reciben el nombre de multiplicadores de Lagrange y que junto al vector definen el ptimo de la funcin.

Para la solucin de tareas ms complejas se utilizan mtodos basados en el clculo

diferencial y mtodos de variaciones finitas. Ellos dan la posibilidad de determinar los

extremos de funciones complejas mediante consideraciones especiales y la

investigacin de las dependencias analticas entre las variables. Estos mtodos no

permiten determinar los extremos globales y por lo tanto no son aplicables para las

tareas de varios extremos. Una prueba suficiente de un extremo local (con esta

acepcin se engloban mximo y mnimo) lo es el hecho de que en el punto X0 la

primera derivada oxf ( ) sea nula y que la segunda 0)Y(F 0



Resumen

La concepcin de ptimo es relativa, esto es, esta unida a la comparacin entre

s y de acuerdo a un determinado precepto (para uno u otros indicadores) de

objetos y procesos.

El objetivo final de la solucin de las tareas de optimizacin es el

aseguramiento de la mayor efectividad econmica o, en algunos casos

prcticos, la obtencin de los mayores menores valores de determinados

indicadores del proceso.

Los procesos en los sistemas energticos comnmente se describen por

sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas.

La direccin operativa garantiza el cumplimiento del plan de produccin,

teniendo en cuenta las particularidades de las situaciones concretas creadas

en el periodo analizado. Entre las tareas que garantizan una direccin ptima

del sistema energtico se encuentra la planificacin de los regmenes de las

plantas y los sistemas, es decir, la obtencin del mayor efecto econmico y

tecnolgico de la direccin energtica de las empresas y los procesos

productivos.

Las tareas de optimizacin en los Sistemas Elctricos, tienden ms y ms a

tareas operacionales, es decir, la ejecucin de algunas operaciones o sistemas

de acciones, unidas en un propsito nico y dirigido a obtener un objetivo

especfico. El grado de obtencin del objetivo, en este caso, se describe por

una determinada funcin (la funcin objetivo o criterio de optimalidad) que toma

valores numricos reales.

El modelo matemtico puede considerarse como la representacin del proceso

estudiado en forma de determinadas dependencias funcionales. las

dependencias que expresan las restricciones en forma de igualdades y

desigualdades deben ser conocidas. Las soluciones posibles son los valores

de los parmetros de regulacin, para los cuales se cumplen las restricciones

establecidas.

La optimizacin del proceso se reduce a la obtencin de la metodologa que

permita elegir del conjunto soluciones a aquella para la cual los valores de los

parmetros de regulacin son tales, que cumplen con las restricciones

impuestas y que llevan a un mximo o a un mnimo la funcin objetivo.



Captulo 2 Herramientas matemticas para la optimizacin. 2.1 Introduccin. Los estudios de optimizacin se basan en la bsqueda del punto mximo o mnimo

de una determinada funcin objetivo a travs de mtodos de Programacin

Matemtica.

La programacin matemtica se puede dividir en dos grandes grupos:

Programacin Lineal, que es la que resuelve problemas que llevan implcito funciones

y restricciones lineales y Programacin no lineal, que est relacionada con aquellos

casos en que la funcin objetivo o al menos una de las restricciones es no lineal.

En el desarrollo de este trabajo se recogern algunos de los Mtodos de

Programacin Matemtica que se emplean en el anlisis de Optimizacin los Sistemas

Elctricos de Potencia.

2.2 Programacin Lineal. Los problemas de Programacin Lineal estn relacionados con la bsqueda de una

solucin que optimice una funcin objetivo lineal sujeta o no a restricciones funcionales

lineales.

En el estudio de la Programacin Lineal como una de las ms importantes tcnicas

cuantitativas, los aspectos ms importantes son, en primer lugar, la formulacin de

modelos y en segundo lugar, el anlisis de la solucin de los mismos. Esto es as,

debido a que el aspecto relacionado con el proceso de solucin se puede resolver a

travs de las modernas tcnicas de cmputo.

En el presente capitulo se estudiarn algunos aspectos bsicos necesarios para

familiarizarse con la construccin de los modelos y luego se examinarn diversos

mtodos para su solucin

Uno de las caractersticas de la produccin moderna es la gran cantidad de

componentes que es necesario tener en cuenta dentro de todo proceso y la gran

diversidad de combinaciones que es posible lograr con las mismas, es por eso que en

todo actividad existe alguna cantidad que se desea maximizar (ingresos, rendimiento,

, eficiencia) o minimizar (costo, tiempo, distancia, gasto de materiales,etc.) bajo las

condiciones de cumplir con determinados preceptos . A esta cantidad se le denomina



como funcin objetivo o funcin criterio y a las condiciones que durante esto se

deben cumplir, se les llama restricciones.

Un paso importante en la formulacin de modelos consistir en la identificacin de

las restricciones. Las restricciones pueden considerarse como limitantes del conjunto

de decisiones permisibles.

En una gran cantidad de casos, las restricciones pueden considerarse que son de

dos tipos: limitaciones o requerimientos. Las limitaciones pueden estar dadas por las

capacidades de las plantas y equipos, la tecnologa utilizada, etc. los requerimientos

son debidos a normas, reglamentaciones, etc .

Todo problema de Programacin Lineal tiene dos partes importantes: un conjunto

de restricciones y una funcin objetivo que se desea maximizar o minimizar.

O sea que la PL proporciona un modelo de toma de decisiones restringidas. Este es

el tipo de modelo que ha resultado mas til en las aplicaciones prcticas, existiendo

miles de problemas de decisin de tipo empresarial, social o militar en los que ha

tenido xito su aplicacin.

2.2.1 Planteamiento del problema. Para el fin propuesto, se utilizar un caso tpico de aplicacin lineal, la asignacin

de recursos a ciertas actividades, de forma tal que se logre el mejor valor posible de la

medida global de efectividad.

Una empresa de construcciones metlicas tiene programada la produccin de dos

lneas: una de estructuras metlicas para lneas de transmisin y otra de estructuras

para molinos de viento. Ambas producciones tienen un amplio mercado, tanto dentro

del pas como en el exterior y se garantiza la venta de todos los que la empresa pueda

producir en el ao. A diferencia de otros productos que elabora la Empresa, estos dos

compiten por las capacidades de los Departamentos y brigadas de operarios. La

administracin desea conocer cual es la combinacin de productos de cada tipo que

debera producir.

En el proceso de optimizacin, los principales factores a considerar son los

siguientes:

1. La empresa tendr una utilidad de $ 5000 por cada estructura para lnea de

transmisin que se venda y de $4000 por cada estructura de molino.

2. Cada equipo pasa por operaciones mecnicas tanto en el Departamento A como en

el Departamento B.

3. Para la produccin del prximo mes, estos dos departamentos tienen disponible

150 y 160 horas, respectivamente. Cada estructura para lnea consume 10 horas

de operacin mecnica en el Departamento A y 20 horas en el Departamento B,



mientras que cada molino consume 15 horas en el Departamento A y 10 horas en

el B. Estos datos se resumen en cuadro siguiente:

Datos de la programacin mensual

Departamento Estructura Para

lneas

Estructura para

molinos

Total

disponible

A 10 15 150

B 20 10 160

4. Como la empresa tiene intenciones de incursionar el comercio exterior, por ello

quiere cumplir con las normas de calidad vigentes en ese contexto. Con el objetivo

de cumplir las disposiciones de control de calidad, el total de horas de trabajo que

se dedicarn a la comprobacin del acabado de los productos terminados, no

puede ser menor que un 10 % a una meta establecida de 150 horas. Esta

comprobacin se realiza en un tercer departamento que no tiene relacin con las

actividades de los departamentos A y B. Cada estructura para lnea requiere 30

horas de comprobacin y cada estructura para molino, 10. Puesto que el 10 % de

150 es 15, el total de horas de trabajo destinadas a la comprobacin no puede ser

menor de 135. Estos datos se dan en el cuadro siguiente:

Datos de la comprobacin de equipos

Estructura

de lneas

Estructura

de molinos

Horas

requeridas

Horas de

comprobacin

30 10 135

5. Con el objetivo de mantener su posicin actual en el mercado, la direccin de la

empresa ha determinado que la poltica de produccin ms conveniente es construir

al menos una estructura para lneas por cada tres de molino.

6. Existen rdenes de compra de un total de por lo menos cinco estructuras (en

cualquier combinacin de las mismas) para el prximo mes, as que debe producirse

esa cantidad, como mnimo en el mes.

Dado el anterior conjunto de factores, el problema es decidir cuantas estructuras

para lneas y cuantas para molino debe producir el prximo mes. En otros trminos,

se busca determinar la combinacin ptima de produccin, tambin denominado plan

ptimo de produccin. El propsito siguiente ser mostrar como se puede expresar



este problema como modelo matemtico, en particular como un modelo lineal. Para

ello, se debern identificar las restricciones y la funcin objetivo.

2.2.1.1 Conjunto de restricciones Para simplificar el proceso debemos hacer la definicin de cuales son las incgnitas

cuyo valor debemos encontrar. Podemos definir que

X = nmero de estructuras de lneas a producir

Y = nmero de estructuras de molinos a producir

y como sabemos que el total de horas disponibles en el Departamentoto A = 10

(No. de estructuras de lneas) + 15 (No. de estructuras de molinos); sustituyendo las

variables definidas arriba en la igualdad anterior queda:

Total de horas disponibles en el Depto. A = 10 X + 15 Y.

Como, de acuerdo a los datos de la formulacin del problema, el nmero mximo de

horas disponible en el departamento A es 150, las incgnitas X y Y deben satisfacer la

condicin (o sea, la restriccin)

10 X + 15 Y 150 (2-1)

Esta es la restriccin de horas disponibles en el departamento. Las condiciones del

tipo anterior se llaman restriccin de desigualdad. El nmero 150 se llama segundo

miembro de la desigualdad. El primer miembro de la desigualdad depende

claramente de las incgnitas X , Y y se llama funcin de restriccin. Esta desigualdad

matemtica es una forma simblica concisa para establecer la restriccin de que el

nmero total de horas empleadas en el departamento A para producir X unidades de

torres de lneas y Y unidades de estructuras de molinos no debe exceder las 150

horas disponibles.

En el cuadro del punto 3 se ve que cada estructura de lnea producida emplear 20

horas de trabajo en el departamento B y que cada estructura de molino emplear 10.

Como no hay ms de 160 horas disponibles en este departamento, los valores de X y

Y deben satisfacer tambin la desigualdad

20 X + 10 Y 160 (2-2)

Las restricciones (2-1) y (2-2) representan dos de las restricciones del problema

estudiado.

En el conjunto de factores que deban considerarse se indica que se deben utilizar

un nmero mnimo de horas en la verificacin de los productos terminados y que este

nmero mnimo de horas total del departamento se determin como 135. De esta

manera tenemos que

30 X + 10 Y 135 (2-3)



El smbolo significa mayor que o igual a y la condicin (2-3) se llama tambin

restriccin de desigualdad. Ntese que la condicin (2-3) es una desigualdad

matemtica del tipo (un requerimiento) que difiere de las condiciones (2-1) y (2-2)

que son desigualdades matemticas del tipo (limitaciones).

Otra restriccin es que se debe producir, al menos, una estructura de lnea por

cada tres de molino. Esto se puede escribir como una proporcin

31

xY

Resolviendo por multiplicacin cruzada esta expresin quedar como

3 Y X

Pasando el trmino de la derecha para la izquierda se tendr la restriccin que se

busca:

3 Y - X 0 (2-4)

Obsrvese que se han llevado todas las variables para el primer trmino. Ms

adelante se ver que esto es siempre conveniente para poder comenzar el proceso de

solucin de un problema de optimizacin.

El ltimo factor a tener en consideracin fue dado como que se deben producir por

lo menos 5 unidades en el prximo mes, en cualquier combinacin. O sea, se

establece que

X + Y 5 (2-5)

Se tienen as especificadas en forma matemtica las cinco restricciones de

desigualdades asociadas al problema de produccin de la empresa. Y finalmente,

como carece de sentido producir cantidades negativas de X y Y, se deben incluir las

dos condiciones siguientes :

X 0, Y 0 (2-6)

Las condiciones (2-6) exigen que los valores de X y Y sean no negativos y se

denominan como condiciones de no negatividad. En este punto debe recordarse la

diferencia entre el trmino no negativo y positivo. Ntese que no negativo admite que

el valor pueda ser cero, pero el trmino positivo lo descarta.

Como se deduce de la formulacin del problema, la eleccin de valores para el par

X y Y se llama decisin; por ello a X y Y se les denomina como variables de decisin

(son cantidades que se controlan externamente). Est claro en este problema que una

decisin significar elegir una combinacin de valores o sea una produccin mixta.

Por ejemplo, X = 6 y Y = 5 significa la decisin de producir seis estructuras para lnea

y cinco estructuras de molinos.



El problema es que algunas decisiones no negativas pueden cumplir con el

conjunto de restricciones (2-1) a (2-5) pero otras no. Como se observa, la decisin X

= 6 y Y = 5 satisface las restricciones (2-1), (2-3), (2-4) y (2-5) pero viola la

restriccin (2-2). Para comprobarlo, se sustituye X = 6 y Y = 5 en las restricciones y

se evalan los resultados. En este proceso se tendra.

Restriccin 1

10 X + 15 Y 150

10 (6) + 15 (5) 150

135 150 y la restriccin se cumple para este par de

valores.

Restriccin 2

20 X + 10 Y 160

20 (6) + 10 (5) 160

170 160 y la restriccin no se cumple para este

par de valores.

Esto mismo puede hacerse para el resto de las restricciones. Se sugiere al lector

que compruebe que para el par de valores X = 5 y Y = 4 todas las restricciones se

satisfacen.

La decisin X = 6 y Y = 5 no es permisible, puesto que como se vio, no hay

suficientes horas disponibles en el Departamento B para permitir esta produccin. De

los infinitos pares de valores de X y Y no negativos, algunos de estos pares o

decisiones violan por lo menos una de las restricciones y otros las satisfacen. En un

modelo como el que estudiamos solamente son admisibles las decisiones no

negativas que satisfagan todas las restricciones. Estas decisiones se denominan como

decisiones factibles o posibles y son precisamente estas las que merecen atencin.

2.2.1.2. Funcin objetivo Ahora la cuestin consiste en decidir, dentro de todas las decisiones factibles o

posibles, cual es la mejor, desde el punto de vista del objetivo especfico del problema.

Para el caso bajo estudio, el objetivo especfico es maximizar las utilidades totales.

Supngase que la utilidad total esta dada por el smbolo Z.

De esta manera, el objetivo ser maximizar la relacin siguiente:

Utilidad total = utilidad por producir X estructuras de lneas + utilidad por

producir Y estructuras de molinos

Como se sabe, la utilidad por cada estructura de lnea es 5000 pesos y 4000 por

cada estructura de molino.



Sustituyendo en la igualdad planteada se tiene :

Z = 5000 X + 4000 Y

Y como se quiere maximizar la utilidad total, entonces el objetivo ser

max Z = 5000 X + 4000 Y

De todas las infinitas decisiones (soluciones posibles) que satisfacen las

restricciones, la que d el mayor valor de Z o sea la mayor utilidad, ser la solucin

ptima del problema planteado. O sea que la decisin buscada ser aquella que

maximice la utilidad total relativa al conjunto de todas las decisiones posibles y a tal

decisin se le denomina solucin ptima. Y como la utilidad total Z es una funcin de

las variables X y Y, se denomina a esta funcin como funcin objetivo.

2.2.1.3 Modelo completo del problema En las paginas anteriores se vio como a partir de una descripcin verbal de un

problema del mundo real se ha llegado a un modelo matemtico completo con funcin

objetivo y restricciones. El modelo completo ser

Max Z = 5000 X + 4000 Y funcin objetivo

sujeto a

10 X + 15 Y 150 horas en el departamento A

20 X + 10 Y 160 horas en el departamento B

30 X + 10 Y 135 horas de comprobacin o chequeo

X - 3Y 0 requerimiento mixto

X + Y 5 produccin combinada requerida

X , Y 0 condicin de no negatividad

Ntese que en este problema tanto las restricciones, como la funcin objetivo

son funciones lineales de las variables de decisin. Como se recordar, la grfica de

una funcin lineal de dos variables es una lnea recta.

La eficacia de la Programacin Lineal, en las aplicaciones, proviene de la eficacia

de las matemticas lineales y del hecho evidente de que los modelos lineales pueden

ser fcilmente comprendidos y utilizados en las aplicaciones reales por personas con

poco o incluso, sin entrenamiento en matemticas superiores. Esto es algo

reconocido por la experiencia histrica.

2.2.1.4 Gua para la formulacin de modelos

En lo que sigue se dar un conjunto de recomendaciones tiles para el aprendizaje

del lector en el proceso de desarrollar el planteamiento matemtico a partir de la

formulacin verbal de los modelos Estas recomendaciones sern tiles por lo menos



en una etapa inicial pues, cuando se adquiere la habilidad necesaria, es posible

realizarlos de manera ms directa. Los primeros pasos sern los siguientes:

1. Expresar verbalmente las variables de decisin.

2. Expresar cada restriccin en palabras; al hacer esto, ponga atencin cuidadosa

en si la restriccin es un requerimiento de la forma (al menos tan grande como),

una limitacin (no mayor que) , = (exactamente igual a).

3. Expresar el objetivo en palabras.

Frecuentemente, a partir de una lectura cuidadosa del enunciado del problema se

pueden definir las variables de decisin. Es muy importante que estas variables estn

definidas en forma correcta. En muchas ocasiones ocurre que hay varias elecciones

posibles para hacer esta definicin. Como por ejemplo Representan kilogramos de

producto terminado o de materias primas? Una gua til es hacerse a uno mismo la

pregunta Que decisin debe tomarse para optimizar la funcin objetivo? La

respuesta a esta pregunta le ser de gran ayuda para la identificacin correcta de las

variables de decisin correspondientes al problema.

Una vez dados los pasos anteriores, es necesario decidir la notacin simblica de

las variables. Habitualmente se utilizan para ello las ltimas letras del alfabeto, x, y, z,

w, etc. Tambin se utiliza alguna letra con subndice como x1, x2, etc.

Posteriormente siga los pasos siguientes:

4. Exprese las restricciones mediante smbolos, es decir, en trminos de las

variables de decisin y sus correspondientes coeficientes.

5. Exprese la funcin objetivo en smbolos o sea, en trminos de las variables de

decisin y sus correspondientes coeficientes.

En esta etapa es muy importante comprobar el trabajo para ver si las unidades son

consistentes, es decir, realizar lo que habitualmente se conoce como anlisis

dimensional. Por ejemplo, si los coeficientes de la funcin objetivo estn dados en

pesos por kilogramo, las variables de decisin que aparezcan en la funcin objetivo

deben estar dadas en kilogramos, no en toneladas o libras.

Anlogamente, compruebe que para cada restriccin, las unidades del segundo

miembro son las mismas que las del primero. Por ejemplo, si una de las restricciones

es una limitante de la forma y el segundo miembro significa horas de trabajo de los

operarios, el primer miembro en su conjunto, debe significar tambin horas de trabajo

de los operarios. Si las variables de decisin son kilogramos, los coeficientes

numricos de cada variable de decisin del primer miembro de la restriccin debern

ser horas de trabajo por kilogramo de producto. Dicho de otra forma, no se puede



tener horas en un lado de la restriccin y minutos o segundos, o libras o toneladas en

el otro lado.

Hay otro aspecto en la formulacin que es conveniente esclarecer. Hemos visto que

las restricciones de desigualdad son de la forma . El lector debe tener en cuenta

que los problemas de programacin lineal no admiten signos de desigualdad estricta

como < > .

La simbologa convencional utilizada en estos casos es:

Z : Valor de la medida global de la efectividad

Xj : Nivel de la actividad j (para j = 1, 2,... , n)

Cj : Incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j.

bi : Cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j

La forma Estndar del Modelo de Programacin Lineal se muestra en la siguiente

tabla:

Recursos Consumo de recursos por unidad de

Actividad

1 2 . . . n

Cantidad de

Recursos

Disponibles

1

2

.

.

.

m

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

b1 b2

.

.

.

bm

Contribucin a

Z por unidad

de actividad

C1 C2 . .. . Cn

Tabla 2.1 Forma estndar del Modelo de Programacin Lineal.

Este modelo estndar consiste en elegir valores de x1, x2, ...xn para maximizar el

resultado de una funcin dada, obtenida de las relaciones existentes entre los

elementos y el resultado esperado y conocida como funcin objetivo, que en forma

general puede tener la forma:

nn XCXCXCZ +++= ...2211

Sujeta a restricciones funcionales,



nnmn22m11m

1nn1212111

bxa...xaxa

bxa...xaxa

+++

+++

De no negatividad

;0x;0x;0x n21

2.2.2. Terminologa para las soluciones del Modelo. Cualquier conjunto de valores especficos para las variables de decisin ( x1, x2, ....,

xn) se llama solucin.

Una solucin factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen y

una solucin no factible es aquella en la que al menos una restriccin es violada.

Una regin factible es la coleccin de todas las soluciones.

Una solucin ptima es una solucin factible que da el valor ms favorable de la

funcin objetivo

Un punto extremo factible (o solucin factible en un vrtice) es una solucin que

est en un vrtice de la regin factible.

2.2.3 Mtodo Grfico. Los pequeos problemas que contengan solo dos variables de decisin y por lo

tanto slo dos dimensiones puede ser resueltos utilizando un el mtodo grfico.

A continuacin se presentan los pasos a seguir para la solucin de un problema a

travs del mtodo grfico.

Construccin de una grfica en dos dimensiones con x1 y x2 en los ejes.

Identificar los valores de (x1 , x2 ) permitidos por las restricciones: para esto

se dibujan cada una de las lneas rectas que limitan los valores permitidos por una

restriccin y esto conllevar a obtener la regin factible del problema la cual estar

limitada por cada una de estas rectas.

Seleccionar dentro de la regin factible el punto que maximiza el valor de Z,

para ello se dibuja una familia de rectas paralelas que contengan al menos un

punto en la regin factible y se elige la que corresponda al mayor valor de Z.

2.2.4 Solucin de problemas de Programacin Lineal. Mtodo SIMPLEX.



El mtodo SIMPLEX es un procedimiento general para resolver problemas de

programacin lineal, el mismo fue desarrollado en 1947 por George Dantzig, y est

catalogado por ser un mtodo extraordinariamente eficiente.

En mtodo SIMPLEX es una procedimiento algebraico, sin embargo sus conceptos

fundamentales son geomtricos. Sin embargo este algoritmo se trabaja en una

computadora que solo puede seguir instrucciones algebraicas, por lo tanto, es

necesario describir el procedimiento algebraico de este mtodo.

El procedimiento algebraico del SIMPLEX se basa en la solucin de sistemas de

ecuaciones, por lo tanto el primer paso a realizar es convertir las restricciones

funcionales del modelo estndar en restricciones de igualdad equivalente y esto se

consigue adicionndole al problema las variables de holgura .

Al introducir variables de holgura al problema, el modelo original de programacin

lineal se puede sustituir por un modelo equivalente (llamado forma aumentada del

modelo).

Cuando la variable de holgura es igual a cero en la solucin actual, entonces esta

solucin se encuentra sobre la frontera de la restriccin funcional correspondiente, si la

variable de holgura es mayor que cero entonces estos significa que la solucin esta en

el lado factible de esta frontera y si es menor que cero la solucin est en el lado no

factible.

Una solucin bsica del mtodo SIMPLEX tiene las siguientes propiedades:

Cada variable se designa ya sea como variable bsica o como variable no

bsica

El nmero de variables bsicas es igual al nmero de restricciones

funcionales.

Las variables no bsicas se hacen iguales a cero.

Los valores de las variables bsicas se obtienen con la solucin simultnea

del sistema de ecuaciones (restricciones funcionales en forma aumentada).

Si las soluciones bsicas satisfacen las restricciones de no negatividad la

solucin bsica es una solucin factible.

Dos soluciones bsicas factibles son adyacente si todas menos una de sus

variables no bsicas son las mismas, por tanto trasladarse de la solucin bsica

factible actual a una adyacente significa cambiar una variable de no bsica a bsica y

viceversa para otra variable bsica y luego ajustar los valores de las restantes

variables no bsicas para que sigan satisfaciendo el sistema de ecuaciones.

2.2.4.1 lgebra del Mtodo SIMPLEX.

Paso Inicial:



Se eligen las variables de decisin del problema como variables no bsicas y las de

holgura como variables bsicas iniciales.

Prueba de Optimalidad:

Una solucin bsica factible es ptima si y solo si, todos los coeficientes en el

rengln cero son no negativos. Si es as, el proceso se detiene, de otra manera, sigue

a una iteracin para obtener la siguiente solucin de este tipo, que incluye cambiar una

variable no bsica a bsica y viceversa y luego despejar la nueva solucin.

Iteracin:

Paso 1.

Determinar la variable bsica entrante: para esto se selecciona la variable no bsica

con coeficiente negativo con mayor valor absoluto, en la ecuacin (FO) que es la

ecuacin de la funcin objetivo. Se pone un recuadro alrededor de la columna abajo

de este coeficiente y se le da el nombre de columna pivote.

Paso 2.

Se determina la variable bsica saliente: para esto se aplica la prueba del cociente

mnimo.

Prueba del cociente mnimo:

Se eligen los coeficientes de la columna pivote que son estrictamente

positivos

Se divide cada coeficiente entre el elemento del lado derecho en el mismo

rengln.

Se identifica el rengln que tiene la menor de estas razones.

La variable bsica para ese rengln es la variable que sale, por lo que se

sustituye esta variable por la variable bsica entrante, en la columna de la variable

bsica de la siguiente tabla.

Este rengln se llama rengln pivote y se le pone un recuadro. El nmero

que se encuentra entre los dos recuadros se llama nmero pivote.

Paso 3.

En la tabla actual, se despeja la nueva solucin bsica factible usando operaciones

elementales con renglones (multiplicacin o divisin de un rengln por una constante

diferente de cero, suma y resta de un rengln por otro) para construir una forma

apropiada de eliminacin gaussiana, despus se realiza la prueba de optimalidad.

Ejemplo N0 2.1: Resolver el siguiente problema utilizando el mtodo SIMPLEX en su forma tabular:



Maximizar: Z = 2X1 + X2 Sujeta a x1 + x2 40

4x1 + x2 100

x1 0 x2 0

1. Se introducen las variables de holgura para llevar el problema a su

forma estndar aumentada.

Maximizar: Z = 2X1 + X2 (FO) Sujeta a x1 + x2 + x3 = 40

4x1 + x2 + x4 = 100

x1 0 ; x2 0 ; x3 0 ; x4 0

2. Se toman las variables de holgura (x3 y x4) como variables bsicas y las

variables de decisin (x1 y x2) como variables no bsicas.

3. Segn lo expresado la variable bsica entrante: es la variable no bsica

con coeficiente mas negativo en la ecuacin (FO), a su columna correspondiente

se le llamara columna pivote, en este caso es x1.

4. Determinar la variable bsica que sale por la prueba del cociente

mnimo

5. En la tabla de la iteracin actual, se despeja la nueva solucin bsica

Factible usando operaciones elementales con renglones (multiplicacin o divisin

de un rengln por una constante diferente de cero, suma y resta de un rengln por

otro) para construir una forma apropiada de eliminacin gaussiana

6. Realizar la prueba de optimalidad cuando todos los coeficiente de la

variables no bsicas en la ecuacin (o) son no negativos-

El resultado de dicho problema se resume en la Tabla 2.2.

Por lo tanto la solucin ptima del problema ser:

Z = 60; x1 = 20; x2 = 20.

En el problema resuelto los coeficientes de las variables de holgura eran no

negativos, por lo cual la primera solucin bsica se hallaba fcilmente; sin embargo

algunas veces las variables de holgura tienen coeficientes negativos, lo que impide la

aplicacin directa del mtodo SIMPLEX. En estos casos se introducen variables

artificiales y la funcion objetivo se le aade un nuevo trmino integrado por la suma de

todas las variables artificiales multiplicado por un numero de penalidad J positivo. El

signo de este termino se escoge positivo si se busca un mnimo o negativo si se busca un mximo. Este termino de penalidad impide que se alcance la solucion

optima a menos que las variables artificiales sean cero. [Boizan, M. Opto\imizacion.

Pueblo y Educacin. 1988]



2.2.4.2.-Anlisis Posptimo del Mtodo SIMPLEX Luego de obtener la solucin optima, constituye una parte muy importante el

anlisis que de esta solucin se realiza.

En problemas de programacin lineal se interpretan las restricciones funcionales

como las cantidades de los respectivos recursos disponibles para las actividades que

se estn considerando. En todos los casos la informacin sobre la contribucin

econmica de los recursos a la medida de desempeo (Z) para el estudio que se est

realizando ser extremadamente til. El mtodo SIMPLEX proporciona esta

informacin en forma de precios sombras.

Iteracin

No Variable

Bsica Ec.

No

Coeficientes de Z x1 x2 x3 x4

Lado Derecho

Z (FO) 1 -2 -1 0 0 0

x3 (1) 0 1 1 0 0 40

0

x4 (3) 0 4 1 0 0 100

Z (FO) 1 0 - 0 0 50

x3 (1) 0 0 0 0 15

1

x1 (3) 0 1 0 0 25

Z (FO) 1 0 0 0 0 60

x2 (1) 0 0 1 0 0 20

2

x1 (3) 0 1 0 0 0 20

Tabla 2.2 Resultados del Ejemplo 2.1.

El precio sombra para el recurso i (denotados por yi*) miden el valor marginal de

este recurso, es decir, la tasa a la que puede aumentar Z si se incrementa

(ligeramente) la cantidad que se proporciona de este recurso (bi). El mtodo SIMPLEX

identifica este precio sombra como yi* = coeficiente de la i-esima variable de holgura

en el rengln (FO) de la tabla SIMPLEX final.

2.2.4.2.1Anlisis de Sensibilidad. El propsito del anlisis de sensibilidad es identificar los parmetros sensibles, o

sea aquellos que no pueden cambiar sin cambiar la solucin ptima.

Para el caso de las bi esta informacin esta dada por los precios sombras que

proporciona el mtodo SIMPLEX, como se muestra a continuacin:

yi* 0 entonces la solucin ptima cambia si bi lo hace, entonces en este

caso bi es un parmetro sensible.

Yi* = 0 indica que la solucin ptima no es sensible al menos a pequeos

cambios en bi.



Para problemas con cientos o miles de restricciones, es comn que se le preste

mas atencin al anlisis de sensibilidad sobre los parmetros bi y cj que sobre los ai ,

ya que el efecto de estos ltimos es por lo general despreciable.

2.2.5 -Teoria de la Dualidad. Uno de los descubrimientos ms importantes en el desarrollo de la programacin

lineal, fue el concepto de la dualidad y sus muchas e importantes ramificaciones. Este

descubrimiento revel que asociado a todo problema de programacin lineal, existe

otro problema lineal llamado dual.

Formulacin del problema dual a partir del problema primal en su forma estndar.

Problema primal Problema dual

Maximizar =

n

jjj xc

1

Minimizar =

m

iii yb

1

Sujeta a: Sujeta a:

=

n

jijij bxa

1 para i = 1,2,.......,m

=

m

iiiij cya

1

para j = 1,2,............,n

0jx para j = 1,2,.........,n 0iy para i = 1,2,..............,m

En esta formulacin, note que segn el nmero de variables de decisin en el

primal, as ser el nmero de restricciones en el dual. Esto constituye una ventaja, en

el momento de utilizar el dual, ya que se disminuye la cantidad de restricciones y por

ende, tiempo computacional. Los coeficientes de la funcin objetivo pasan a ser los

lados derechos de las restricciones.

La solucin del problema dual, nos brinda la informacin de los precios sombras del

problema original, a travs de los cuales se realizan los anlisis de sensibilidad.

Tambin se obtiene los valores de la solucin bsica factible ptima del problema

primal.

2.2.5.1.-Solucin del problema dual a travs del Mtodo SIMPLEX Dual. El mtodo SIMPLEX, trata directamente con soluciones bsicas subptimas y se

mueve hacia la solucin ptima, tratando de satisfacer la condicin de optimalidad,

que plantea que los coeficientes en la ecuacin cero de la tabla SIMPLEX sean no

negativos. Por el contrario, el mtodo SIMPLEX dual maneja en forma directa,

soluciones bsicas sper ptimas, no factibles y se mueve hacia la solucin ptima,

tratando de alcanzar la factibilidad. Cuando se alcanza la factibilidad, se obtiene la

solucin ptima, y el valor de la funcin objetivo Y0 ptimo coincide con el valor



ptimo de Z0 en el problema primal. Toda esta explicacin se puede ver grficamente

en la fig. 2.1.

Zxcn

1jjj =

=

01

Yybm

iii =

=

Superptima Subptima

(ptima) Z* *0Y (ptimo)

Subpima Superptima

Fig 2.1 Intervalos de valores posibles Z= Y0 para cierto tipo de

soluciones bsicas complementarias. Estas correspondencias responden a la propiedad de las soluciones bsicas

complementarias que plantea que cada solucin bsica en el problema primal, tiene

una solucin bsica complementaria en el problema dual, en los que los valores

respectivos de la funcin objetivo (Z, Y0) son iguales. Un ejemplo de estas relaciones

se muestra en la siguiente tabla.

Problema primal Problema dual

Solucin Bsica Factible Z = Y0 Factible Solucin Bsica

1 (0,0,4,12,18) si 0 no (0,0,0,-3,-5)

2 (4,0,0,12,6) si 12 no (3,0,0,0,-5)

3 (6,0,-2,12,0) no 18 no (0,0,1,0,-3)

4 (4,3,0,6,0) si 27 no (9/5,0,5/2,0,0)

5 (0,6,4,0,6) si 30 no (0,5/2,0,-3,0)

6 (3-,6,2,0,0) si 36 si (0,3/2,1,0,0)

7 (4,6,0,0,-6) no 42 si (3,5/2,0,0,0)

8 (0,9,4,-6,0) no 45 si (0,0,5/2,9/2,0)

Tabla 2.3. Tabla de Comparacin.

El mtodo SIMPLEX dual es muy til en algunas situaciones especiales. Lo normal

es que sea ms fcil encontrar una solucin inicial bsica factible que una solucin

bsica superptima, aunque en ocasiones es necesario introducir variables artificiales

para construir artificialmente una solucin inicial de las primeras. En estos casos,



puedes ser ms sencillo comenzar con una solucin bsica superptima y aplicar el

mtodo SIMPLEX dual.

En otro caso, si despus de aplicar el mtodo SIMPLEX, analizando la sensibilidad,

se pierde la factibilidad, pero todava satisface la prueba de optimalidad, se puede

aplicar de inmediato el SIMPLEX dual a partir de esta solucin superptima para

encontrar el nuevo ptimo factible.

Las reglas para el mtodo SIMPLEX dual son muy parecidas al mtodo SIMPLEX.

De hecho una vez que los mtodos se inician, la nica diferencia entre ellos es el

criterio para elegir las variables bsicas que entran y salen y la regla para detener el

algoritmo.

En el rengln cero de la tabla SIMPLEX para la solucin primal ptima, se puede

encontrar la solucin dual ptima complementaria, esta solucin debe de ser factible

para el problema dual, puesto que la condicin de optimalidad para el problema primal

requiere que todas estas variables duales, inclusive las variables de holguras, sean no

negativas.

Para dar inicio la mtodo SIMPLEX dual, si se trata de un problema de

maximizacin, todos los coeficientes de la ecuacin (FO), deben de ser no negativos

de manera que la solucin bsica es superptima. Las soluciones bsicas sern no

factibles, excepto la ltima, solo porque algunas variables son negativas.

El mtodo contina haciendo que el valor de la funcin objetivo disminuya y

conserve siempre valores no negativos en la ecuacin (FO), hasta que todas las

variables sean no negativas. En este momento la solucin bsica es factible, se

satisfacen todas las ecuaciones, y por lo tanto, es ptima segn el criterio del mtodo

SIMPLEX de coeficientes no negativos en la ecuacin (FO).

2.2.5.2. Pasos a seguir para la aplicacin del Mtodo SIMPLEX Dual. 1. Inicializacin: Despus de convertir cualquier restriccin funcional de la

forma a la forma , (multiplicando ambos lados por 1), se introducen las

variables de holgura necesarias para construir un conjunto de ecuaciones que

describan el problema. Se encuentra una solucin bsica tal, que los coeficientes

de la ecuacin (FO), sean ceros para las variables bsicas y no negativos para las

variables no bsicas, de manera que la solucin es ptima si es factible.

2. Prueba de factibilidad: Se verifica si todas la variables bsicas son no

negativas. Si es as, entonces la solucin es factible y por lo tanto ptima, el

algoritmo se detiene. De otra manera, se pasa a realizar otra iteracin.

3. Iteracin:



Paso 1: Se determina la variable bsica que sale, seleccionando la variable

negativa que tenga el mayor valor absoluto.

Paso2: Se determina la variable bsica entrante; se elige aquella cuyo coeficiente

en la ecuacin (FO) llegue primero a cero. Esta seleccin se hace examinando las

variables no bsicas con coeficientes negativos en esa ecuacin (la que

contiene la variable bsica que sale) y escogiendo la que tiene el menor valor

absoluto del cociente dado por el coeficiente de la ecuacin (FO) entre el coeficiente

de esa ecuacin.

Paso3: Se determina la nueva solucin bsica comenzando con el conjunto actual

de ecuaciones y despejando las variables bsicas en trminos de las no bsicas,

mediante el mtodo de la eliminacin gaussiana. Cuando las variables no bsicas

se hacen cero, cada variable bsica es igual al nuevo valor del lado derecho de

la ecuacin en la que aperece (con coeficiente +1). Se regresa a la prueba de

factibilidad.

Veamos este mtodo a travs de dos ejemplos:

Ejemplo 2.2 Utilice el mtodo SIMPLEX Dual para resolver el problema original.

Minimizar Z = 321 425 xxx ++

Sujeto a

00010536423

321

321

321

++++

xxxxxxxxx

1. Transformar el problema a la forma estndar de maximizacin y llevar

las restricciones de la forma a la forma multiplicando las restricciones por (-1)

Maximizar - Z = - 321 425 xxx

Sujeto a

00010536423

321

321

321

xxxxxxxxx

2. Se introducen las variables de holgura y se lleva el sistema de

ecuaciones a la forma aumentada.

10536420425

5321

4321

321

=+

=+

=+++

xxxxxxxx

xxxz

3. Se determina la variable bsica que sale, seleccionando la variable

negativa que tenga el mayor valor absoluto en este caso x5.



4. Se determina la variable bsica entrante; se elige aquella cuyo

coeficiente en la ecuacin (FO) llegue primero a cero. Esta seleccin se hace

examinando las variables no bsicas con coeficientes negativos en la ecuacin (2-)

( la que contiene la variable bsica que sale) y escogiendo la que tiene el menor

valor absoluto del cociente dado por el coeficiente de la ecuacin (FO) entre el

coeficiente de la ecuacin (2-),en este caso x2 es la variable bsica entrante..

5. Se determina la nueva solucin bsica comenzando con el conjunto

actual de ecuaciones y despejando las variables bsicas en trminos de las no

bsicas, mediante el mtodo de la eliminacin gaussiana. Cuando las variables no

bsicas se hacen cero, cada variable bsica es igual al nuevo valor del lado

derecho de la ecuacin en la que aparece (con coeficiente +1). Se regresa a la

prueba de factibilidad.

La solucin de este problema se resume en la Tabla 2.3.2.

Iteracin No

Variable Bsica

Ec.

No

Coeficientes de Z x1 x2 x3 x4 x5

Lado Derecho

-Z (FO) 1 5 2 4 0 0 0

x4 (1) 0 -3 -1 -2 1 0 -4

0

x5 (3) 0 -6 -3 -5 0 1 -10

-Z (FO) 1 1 0 2/3 0 2/3 -20/3

x4 (1) 0 -1 0 -1/3 1 1/3 -2/3

1

x2 (3) 0 2 1 5/3 0 -1/3 10/3

-Z (FO) 1 0 0 1/3 1 1 -22/3

x2 (1) 0 1 0 1/3 -1 -1/3 2/3

2

x1 (3) 0 1 1 2 -1/3 2

Tabla 2.3 Resultados del Ejemplo 2.2

La solucin ptima es:

x1 = 2/3 x2 = 2 x3 = 0 Z = 22/3

Ejemplo No 2.3 Resuelva el dual de este problema por el mtodo SIMPLEX dual.

Problema original.

Maximizar. 21 23 xxZ +=

Sujeto a:



27356123

21

21

21

+++

xxxxxx

01 x 02 x

Problema dual.

Minimizar : 3210 27612 yyyY ++=

Sujeto a:

23353

321

321

++++

yyyyyy

01 y 02 y 03 y

Para que los coeficientes de la ecuacin cero sean no negativos, se maximiza la

funcin objetivo para comenzar con una solucin superptima no factible.

Como ahora se permiten valores negativos en el lado derecho, no es necesario

introducir variables artificiales para que sean las variables bsicas. En su lugar

simplemente se convierten las restricciones funcionales a la forma .y se introducen las variables de holguras para que jueguen este papel.

Maximizar: 3210 27612 yyyY =

Sujeto a:

23353

321

321

yyyyyy

01 y 02 y 03 y

Para llevar el sistema de ecuaciones a la forma aumentada, se introducen las

variables de holguras.

027612 3210 =+++ yyyY

23353

5321

4321

=+

=+

yyyyyyyy

Resolucin del problema dual a travs del mtodo SIMPLEX dual en forma tabular.

Variables

Bsicas

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Lado

Derecho

-y0 12 6 27 0 0 0

Y4 -3 -1 -5 1 0 -3

Y5 -1 -1 -3 0 1 -2

-y0 0 2 7 4 0 -12



Y1 1 1/3 5/3 -1/3 0 1

Y5 0 -2/3 -4/3 -1/3 1 -1

-y0 0 0 3 3 3 -9

Y1 1 0 1 -1/2 1/2 -1/2

Y2 0 1 2 1/2 -3/2 3/2

Tabla 2.4 Resultados del ejemplo 2.3

Solucin bsica factible del problema dual. Y*= (1/2 3/2 0 0 0)

Valor ptimo da la funcin objetivo: y0*= 9

Del anlisis de los resultados del problema dual se deducen los precios sombras

del problema original.

Y1= y2=3/2 y3 = 0.

Estos valores se corresponden con los valores de los coeficientes de las variables

de holgura x3; x4; x5 en la ecuacin cero para la solucin ptima del problema original,

resuelta por el Mtodo SIMPLEX.

Para esta solucin ptima coincide que Z*= y0*= 9.

2.3- PROGRAMACION NO LINEAL

2.3.1 Planteamiento del problema. El problema de programacin no lineal consiste en encontrar el vector de

soluciones x = (x1, x2,.........., xn) tal que f(x) max. ; sujeta a restricciones del tipo

gi(x) bi, para i = 1,2,......., m ; y x 0, donde al menos f(x) G(x) o ambas son alineales.

No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas especficos que se

ajustan a este formato, de manera que para cada caso en particular segn sus

condiciones, existen diversos mtodos para su resolucin.

Se presentan dos formas de problemas de programacin no lineal, uno cuando la

funcin objetivo es no lineal y sus restricciones funcionales lineales y el otro cuando la

funcin objetivo es lineal y las restricciones no lineales.

Ecuacin de la FO. Ecuacin de

la FO. Restriccin lineal

(Z lineal ) (Z no lineal

)

Restriccin

No lineal



Fig. 2.2 Representacin grfica de problemas no lineales. La funcin f(x) puede tener forma cncava o convexa as como sus restricciones

pueden formar regiones de ambos tipos.

Para garantizar que un problema no lineal tenga solucin sin muchas

complicaciones, se trata siempre que su funcin objetivo sea cncava, diferenciable y

sus restricciones un conjunto convexo. Para conocer de que tipo es la funcin

determina su segunda derivada, de tal manera que si:

022

dx

fd para toda x. Funcin cncava.

022

dx

fd para toda x. Funcin convexa.

Los algoritmos de programacin no lineal no pueden distinguir entre un mximo

local y un mximo global, por lo que es determinante conocer las condiciones bajo las

que se garantiza que un mximo local es un mximo global en la regin factible.

Si un problema de programacin no lineal no tiene restricciones, el hecho de que la

funcin objetivo sea cncava, garantiza que un mximo local sea un mximo global.

De igual manera una funcin objetivo convexa, garantiza que un mnimo local sea un

mnimo global. Si existen restricciones, entonces se necesita una condicin ms para

dar esta garanta y es saber si la regin factible es un conjunto convexo, esto es, que

para un conjunto de puntos tales que, para cada par de puntos de la coleccin, la recta

que los une est totalmente contenido dentro de la regin factible.

La regin factible para un problema de programacin no lineal es un conjunto

convexo, siempre que todas las funciones gi(x), para las restricciones gi(x) bi, sean convexas.

2.3.2.-Optimizacin no restringida de una variable. Cuando se tiene un problema de optimizacin no restringida con una sola variable,

con una funcin diferenciable f(x) que debe maximizarse y es cncava, la condicin

necesaria y suficiente para que una solucin x = x* sea ptima es:

*0 xxendxdf

==

Cuando f(x) es una ecuacin sencilla de la cual se puede despejar directamente x*,

el problema llega a su final, pero si en cambio no es una funcin sencilla y su derivada

no es una funcin lineal o cuadrtica, entonces es muy difcil y en ocasiones imposible



resolver el problema analticamente, en este caso hay que acudir al Procedimiento de

Bsqueda en una direccin.

2.3.2.1-Procedimiento de bsqueda en una direccin. Este procedimiento trata de encontrar una seria de soluciones prueba que

conduzcan hacia una solucin ptima.

La idea de este procedimiento se basa en determinar el signo que la pendiente

(derivada) calculada para una llamada solucin prueba, esto indica si la mejora

est a la derecha o la izquierda. Si la derivada evaluada para un valor dado de x es

positiva, entonces x* debe ser mas grande que esta x, y por tanto x se convierte en

una cota inferior para las soluciones prueba. Si por el contrario, la derivada es

negativa, entonces x* debe ser ms pequea que esta x, y x se convierten una cota

superior.

Una vez que se han identificado ambas cotas, cada nueva solucin prueba que se

selecciona entre ellas proporciona una nueva cota mas estrecha de uno de los dos

tipos, cerrando la bsqueda cada vez mas. Con la utilizacin de una regla razonable

para elegir cada solucin prueba, la sucesin de soluciones pruebas debe converger a

x*

Notacin utilizada en este procedimiento

x : solucin prueba inicial

x : cota inferior actual sobre x*

x : cota superior actual sobre x*

: tolerancia del error para x*

En resumen, el procedimiento de bsqueda en una dimensin se puede formular

segn los siguiente:

Se selecciona la tolerancia del error .

Se encuentran x y

x iniciales por inspeccin (o encontrando valores respectivos de x en los cuales la derivada sea positiva y luego negativa).

Es eligida una solucin prueba inicial por el procedimiento de la regla del punto

medio (tradicionalmente llamado plan de bsqueda de Bolzano) que plantea que se

selecciones el punto medio entre las dos cotas actuales. Esto se hace por la

expresin: Punto medio: 2

''

+=

xxx

Se ejecuta el proceso iterativo:



1. Se evala '')( xxen

dxxdf

=

2. Si '',0)( xxhacesedx

xdf=

3. Si '',0)( xxhacesedx

xdf=

4. Se elige una nueva 2

''

+=

xxx

Regla de detencin: si la nueva x se encuentra a una distancia de x* menor que ,

el proceso termina; de otra manera, se regresa al paso iterativo.

Ejemplo 2.4 Utilice el procedimiento de bsqueda en una dimensin para obtener iterativamente

una solucin aproximada del siguiente problema.

Maximizar: 423 25,022)( xxxxxf ++=

Usando una tolerancia de error = 0,4 y cotas iniciales x = 0, 4,2_

=x

Max. 423 25,022)( xxxxxf ++=

32 423)( xxxdx

xdf+=

436)( 22 = xxdxxdf

Clculo del punto medio. 2,12

4,202

=

+=

+=

xxx

Evaluando x=1,2 en dx

xdf )(

0208,0)3,1()2,1(42)2,1(3)2,1( 32



0464,0)6,0()6,0(42)6,0(3)6,0( 32 >=+=dx

df

x = 0,6 2,1_

=x

La solucin del ejercicio se resume en la tabla 2.5

Regla de detencin: 2)(

xx

(1.0125 0.993) < 0.08

0.0195 < 0.08

Entonces un aproximado de x* ser = 1.0125

Iteracin df(x)/dx x x Nueva x F(x)

0 - 0 2.4 1.2 -0.8256

1 - 0.208 0 1.2 0.6

2 +0.464 0.6 1.2 0.9

3 +0.101 0.9 1.2 1.05

4 -0.05 0.9 1.05 0.975

5 +0.025 0.975 1.05 1.012

6 -0.012 0.975 1.012 0.993

7 +0.007 0.993 1.012 1.002

Tabla 2.5 Resultados del Ejemplo 2.4

2.3.3.-Optimizacin no restringida de varias variables. Cuando se analiza un problema de maximizar una funcin cncava f(x) de variables

mltiples, en la que no se tienen restricciones sobre los valores factibles. Y se cumple

la condicin necesaria y suficiente para optimalidad, en esta caso el problema no

puede ser resuelto analticamente, por lo que debe emplearse un procedimiento de

bsqueda numrica.

La extensin del procedimiento de bsqueda en una dimensin requiere emplear

los valores de las derivadas parciales para seleccionar la direccin especifica en la

que conviene moverse. Esta seleccin implica el uso del gradiente de la funcin

objetivo, como se describe a continuacin.

2.3.3.1.-Procedimiento de Bsqueda del Gradiente. Como el problema analizado no tiene restricciones, esta interpretacin del gradiente

sugiere que un procedimiento de bsqueda eficiente debe moverse en la direccin del

gradiente hasta que alcance una solucin optima x* en la que 0)( * = xf , la mejor



forma de realizar este proceso es continuar el movimiento en una direccin fija a partir

de la solucin prueba actual, sin detenerse hasta que f(x) deje de aumentar. Este

punto de detencin seria la siguiente solucin prueba, por lo que se debe volver a

calcular el gradiente para determinar la nueva direccin de movimiento. Cada

iteracin incluye cambiar la solucin prueba actual ''x como sigue:

Se modifica )( '*'' xftxx +=

Donde t* es el valor positivo de t que maximiza ))(('' xftxf + , es decir,

))(('' xftxf +

0=

tmax ))(( '' xftxf +

Las iteraciones de este procedimiento de bsqueda del gradiente continan hasta

que: [ ][ ]

jxf

para j = 1,2,..., n

Resumen del procedimiento de bsqueda del gradiente.

Inicializacin: se elige y cualquier solucin prueba inicial x. Se pasa primero a la

regla de detencin.

Iteracin:

1. Se expresa ))(('' xftxf + como una funcin de t estableciendo:

'

'

xxjjj x

fxx=

+= para j = 1,2,..., n

y despus se sustituyen estas expresiones en )(xf .

2. Se utiliza el procedimiento de bsqueda en una dimensin (o el clculo)

para encontrar t = t* que maximiza ))(('' xftxf + para 0t .

3. Se hace )( '*'' xftxx += .Despus se pasa a la regla de detencin.

Regla de detencin: Se evala '' )( xxenxf = . Se verifica si

jxf

para toda j = 1,2,..., n

Si es as el proceso se detiene con la x actual como la aproximacin a una solucin

ptima x* deseada. De otra manera se realiza otra iteracin .

Ejemplo 2.5 A partir de la solucin prueba inicial (x1, x2) = (1,1), haga dos iteraciones del

procedimiento de bsqueda del gradiente para comenzar la solucin del siguiente



problema y despus aplica la rutina automtica para este procedimiento con ( = 0,01

).

Maximizar. 222121 324)( xxxxxf =

f = );(21 x

fxf

121

44 xxxf

=

212

64 xxxf

=

Evaluando el gradiente en la solucin prueba inicial.

)2,0()1,1( =f Primera iteracin:

X = x + t f(x) X = (1,1) + t (0,-2)

X = (1, 1- 2 t )

F (x + t f(x) ) = (1, 1-2t) = 4 (1) (1-2t )- 2 (1)2 3 ( 1-2 t )2

= -12 t2 + 4 t 1

Para encontrar el valor de t, se deriva la expresin anterior y se iguala a cero.

61

244

0244

0)1412(

0)(

*

2

)('

=

=

=

=+

=+

t

t

ttdtd

ftxdtdf

x

Sustituyendo t* en x

)34,1(

)2.0(61)1,1(

)2,0()1,1('

'

'

=

+=

+=

x

x

tx

Los resultados se muestran en la tabla 2.6

Iter X f(x) X+tf(x) F(X+tf(x)) T* X+t*f(x)

1 (1, 1) (0,-2) (1;1-2t) -12 t2+4 t-1 1/6 (1,4/3)

2 (1, 4/3) (4/3;-4) (1+4/3t; 4/3-4t) 208 t2-272/3 t-2 0.22 (1,3;0,45)



3 (1,3, 0,45) (-3/4,0) (1,3-3,4t; 0,45+2,5t) -41,87t2-23,07 t

1,67

-0,27 (1,5; 0,38)

Tabla 2.6. Resultados del Ejemplo 2.5. 2.3.4. Optimizacin restringida de varias variables. 2.3.4.1.- Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) En el caso de las tareas de optimizacin en que aparecen restricciones del tipo de

desigualdades, un mtodo que se utiliza para resolver este problema son las llamadas

condiciones desarrolladas por Karush-Kuhn-Tucker (KKT) de forma independiente.

El problema se puede plantear de forma general como:

minimizar f(x)

Sujeto a

w xi( ) = 0 i = 1,2, ..., Nw

g xi( ) 0 i = 1,2, ..., Ng

donde x es un vector de dimensin N

La funcin de Lagrange en esta caso ser:

L f x w x g xii

Nw

i ii

Ng

i= + += =

( ) ( ) ( ) 1 1

Las condiciones de KKT para encontrar el optimo en el punto x0 0 0, , son:

1.

Lxi

( x0 0 0, , ) =0 i = 1,2, ..., N

2. w xio( ) = 0 i = 1,2, ..., Nw

3. g xio( ) 0 i =1,2, ..., Ng

4. i i og x* ( ) = 0 i = 1,2, ..., Ng

i 0 i = 1,2, ..., Ng Para resolver este tipo de problema aplicando las KKT no hay una metodologa

exacta definida sino que se debe ir suponiendo diferentes valores de i iy g que hagan que se cumplan todas las condiciones establecidas anteriormente.

2.3.4.2.-Mtodo de los Multiplicadores de Lagrange. Uno de los mtodos mas usados es el del multiplicador de Lagrange y el mismo se

basa en la determinacin del extremo de la funcin objetivo mediante la investigacin

analtica de los enlaces existentes entre parmetros definidos (variables) que

caracterizan el proceso. El mtodo de Lagrange permite encontrar el extremo



condicionado de una funcin )( Raj XXF en el espacio determinado por el

sistema de ecuaciones

= niporxgi ,1.)(

Para encontrar el punto del extremo, que caracterizado en el espacio por un vector es necesario encontrar m nmeros, los cuales junto con el vector cumplimentara el siguiente sistema de ecuaciones con m + n incgnitas

==

=

=

=

=

+

m,1i;0)x(ig,n,1j

0xj

)x(ign

1i ixj)x(f

Estas ecuaciones se obtienen como condicin del extremo de la funcin de

Lagrange ),( xL n

ii xgxfxL += )()(),( donde el numero mi ,...., recibe el nombre de multiplicador de Lagrange

De forma general se puede plantear matemticamente de la siguiente forma:

nnTF +++= ....2211

donde

n ...1 son las restricciones del problema. n ...1 son los multiplicadores de Lagrange.

luego nnTFL = ....2211 donde

L : Lagrangiano.

La condicin de mnimo para este problema es:

0=idP

dL

A continuacin se desarrollar un ejemplo aplicando este mtodo, y las condiciones

de Karush- Kun-Tucker.

Ejemplo 2.6



Minimizar 222121 25.0),( xxxxf +=

Sujeto a:

032.0),(05),(

2121

2121

+===

xxxxgxxxxw

La funcin de Lagrange en este caso ser:

)32.0()5(25.0

)),(()),((),(

212122

21

212121

++++=

++=

xxxxxxL

xxgxxwxxfL

Para el ejemplo analizado tomemos = 0 lo que implica por la condicin nmero 4 que g puede ser menor o igual a cero.

Si = 0 , el caso se reduce a un sistema con restricciones del tipo igualdad, por lo

que su solucin seria en base a las condiciones 1 y 2. Veamos que sucede con el

resto de las condiciones:

De la condicin nmero (1) se obtiene:

0 5 02 0

1

2

. xx

=

=

y de la condicion 2 5 x1 x2 = 0 resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene:

x x1 24 1 2= = = 2. Sustituyendo los valores de la variables en la condicin nmero 2 se obtiene:

5 - 4 - 1 = 0

0 = 0

3. Para la condicin nmero 3 tenemos:

4 + 0.2*1 - 3 0 1.2 0 como se puede apreciar esta condicin no se cumple, por lo tanto esta no es la

solucin del problema.

Se probar ahora con > 0; debido a la condicin nmero 4 g tiene que ser

exactamente igual a cero. Entonces las condiciones 2 y 3 toman la forma:

5 0

0 2 3 01 2

1 2

=

+ =

x xx x.

resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene:

5.25.2

2

1

=

=

xx



Por nmero 1 obtenemos:

2,02;5,0 22

11

+=

+= x

xLx

xL

Sustituyendo los valores de x1 y x2 en las expresiones anteriores se obtiene

6875.402,05,2*29375.505,2*5,0

==+

==+

Como se ha podido comprobar se satisfacen todas la condiciones lo cual no

garantiza aun que la solucin sea optima. Como se resume en la tabla 2.7 se

necesitan de ciertas suposiciones de convexidad adicionales para obtener esta

garanta.

Tabla 2.7 Resumen de las condiciones de convexidad para el ejemplo 2.6.

Problema Condiciones necesarias

para la optimalidad

Tambin suficientes si:

Una variable, no

restringido 0=

jdxdf

f(x) cncava

Multivariable,no

restringido )...,,2,1(0 nj

dxdf

j

== f(x) cncava

Restringido, solo

restricciones de no

negatividad

)...,,2,1(0 njdxdf

j

==

( )00 = jxsio

f(x) cncava

Problema general

restringido

Condiciones de Karush-

Kuhn-Tucker (KKT

f(x) cncava y gi(x)

convexa ( i = 1,2, ..., m)

2.3.4.3-Mtodo de Bsqueda del gradiente.

El gradiente de un vector )( 0xf de n componentes es perpendicular al contorno

constante de f(x) la cual pasa a travs de )( 0xf , la direccin del gradiente es la

direccin en que el mximo local aumenta y su longitud es la medida del mximo

incremento en el cambio.



=

nxf

xfxf

xf

.

.

.)(2

1

0

Sin embargo, si lo que se quiere es minimizar la funcin, entonces lo que se hace

es ir en la direccin de - )( 0xf .

El procedimiento sera:

)( 00 xfxX =

Ejemplo:

Un sistema compuesto por tres plantas debe suministrar la energa a travs de una

red de transmisin. Determine el rgimen de trabajo ms econmico de las plantas

aplicando el mtodo del gradiente. La demanda del sistema es de 800 MW. Los datos

de las plantas son las siguientes:

Indicador Planta 1 Planta 2 Planta 3

Pmax [MW] 600 400 200

Pmin [MW] 150 100 50

F [MP] 510+7.92P1+.0014P12 310+7.85P2+.00194P22 78+7.97P3+.00482P32

En este caso la funcin a optimizar es el costo total de la generacin, es decir:

FT = F1 + F2 + F3, con las restricciones en cuanto a Pmax y Pmin y que la suma total de

lo generado tiene que ser igual a la demanda, es decir P1+P2+P3 = 800 MW.

Inicialmente se utilizar el mtodo del gradiente reducido para enfrentar el problema,

para ello se expresa una de las potencias generadas en funcin de las otras dos, o

sea P3= 800 ( P1+P2), con lo que la funcin de costo queda slo como funcin de P1 y

P2, reduciendo as el nmero de derivadas y de restricciones, de ah el nombre del

mtodo.

Luego:

FT= 10346-7,67P1 -7,74P2+ 0,0062P12+0,0067P2 2+0,0096P1P2 [pesos/MW-h.]



Para solucionar el problema, se supone un vector inicial; en este caso supondremos

=

=

300300

2

10

PP

X , con lo que P3 = 200; evaluando la funcin FT para estas

condiciones inicales se obtiene FT = 7748 pesos/hora

Aplicando el mtodo del gradiente reducido se tiene:

++

++=

=

=

12

211

2

1

00960013407470095001240677

PPPP

PFPF

gg

FT

T

T ,,,,,,

"

; que evaluado para la condicin

inicial arroja

=8400710,,

TF

+

+=

=0

0

022

0111

840300

071300

t

t

tgP

tgPX

*,

*,

*

* ; para determinar el valor del paso t(1), se

sutituye X1 en la expresin de FT; quedando:

FT = 10346-7,67(300+1,07t) -7,74(300+0,84*t)+ 0,0062(300+1,07t) 2

+0,0067(300+0,84*t)2 +0,0096(300+1,07t) P2

La que es derivada con respecto a t, se iguala a cero y se despeja t, obtenindose:

00096001920

01340013400124001240747677

122121

2222

211121

=++

++++=

)(,,

,,,,,,)(

gPgPtgg

tggPtggPggttF

de donde

2122

21

1221221121

019200134001240009600134001240747677gggg

gPgPgPgPggt,,,

)(,,,,,++

++++= ; que evaluada

para las condicones iniciales se obtiene

t = 45,2348

Los nuevos valores de las potencias generadas sern P1 = 300 +1,07*45,2348

P1=348,4012; P2 = 300 + 0,84*45,2348= 337,7636; P3 = 800 -348,4012 -337,7636 =

=113,60

A partir del nuevo valor encontrado de X(1) se contina el clculo hasta que se cumple

la condicin de detencin del mismo, que supondremos en este caso 010, . Los

resultados se muestran en la siguiente tabla:



Iteracin X F t 0 X1 = 300

X 2 =300 X3 = 200

7748,0 -1,07 -0,84

45,2348

1 X1=348,4012X2=337,9972X3=113,60

7706,1465 -0,1051 0,1338

270,7762

2 X1=376,8468X2=301,7636X3=121,3897

7702,23 -0,1002-0,0786

0,1273 41,2347

3 X1=305,3208X2=381,3779X3=113,3013

7722,65 -0,2268 0,3015

0,3749 257,4445

4 X1=362,9107X2=303,4555X3=113,63

7704,4879 -0,2567-0,1898

0,3192 45,59

5 X1=374,6173X2=312,1019X3=113,2748

7702,1643 -0,0285 0,0386

0,048 258,4514

6 X1=381,9857X2=302,1389X3=115,8754

7701,86 -0,0328-0,0243

0,0408

7 X1=383,4833X2=303,2458X3=113,2709

7701,8290 -0,0036 0,0049

0,0061 258,505

Como se ve de la tabla, el ptimo se alcanza luego de 7 iteraciones; pero desde el

punto de vista prctico, este se alcanza a partir de la 5ta iteracin, pues la diferencia

en los valores alcanzados por la funcin objetivo son slo de centavos, esto se ve

reforzado tambin por las condiciones prcticas de operacin, ya que en la actualidad,

los mecanismos de regulacin de las unidades no permiten precisar hasta niveles del

MW.

2.3.4.4 -Mtodo de Newton.

Uno de los mtodos ms utilizados, dada su rapidez de convergencia es el mtodo

de Newton. Este mtodo, para funciones de varias variables, sigue una metodologa

semejante a la que se aplica para funciones de una variable, y que para el caso en

particular que se trata, tiene la siguiente forma:

Sea g(x) el vector de funciones que se desea optimizar en un entorno de x; luego

[ ] 0*)()()( =+=+ xxgxgxxg

donde

=

),....,(

),....,(),....,(

)(

21

212

211

nn

n

n

xxxg

xxxgxxxg

xg



Derivando g(x) se obtiene la matriz de derivadas parciales, g(x)

=

n

nnn

n

n

xg

xg

xg

xg

xg

xg

xg

xg

xg

xg

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)(

Esta la matriz es conocida como Jacobiana.

En cada paso de iteracin,el valor de x se calcula por la expresin:

[ ] )(*)( 1 xgxgx = Si ahora se sustituye g(x) por el gradiente de la funcin objetivo L se obtendra:

L*Lx

x1

=

Derivando la matriz Jacobiana con respecto a X, se obtendr entonces la matriz en

segundas derivadas, conocida por matriz Hessiana:

[ ]

==

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

2

1

2

21

2

21

2

dLd

dxdLd

xdLd

dxdxLd

dxLd

dxdxLd

dxdxLd

dxdxLd

dxLd

HLx n

n

Quedara

L*Hx 1 = y

L*HXxX 1inicialinicialXnueva =+

=

Ejemplo No 2.7 A partir de los datos del ejemplo 2.6, minimizar la funcin de costo empleando el mtodo de Newton.

Como valores iniciales tendremos:



0300200

300

03

02

01

=

=

=

=

MWPMWPMWP

=

nxL

xLxL

L

2

1

=

n

nn

dPPdF

dPPdF

dPPdF

)(

)(

)(

2

22

1

11

Calculando el gradiente de la Funcin de Lagrange y evalundolo para los datos

iniciales se obtiene:

;

[ ] LHx = *1

*

011110096.000100039.001000031.0 1

=x

08620.10

6260.88572.8

=

07.903.186

41.11561.70

=

+

=

+=

0761.99699.1134133.3156167.370

07.903.186

41.11561.70

0300200300

0

nueva

nueva

x

xXx

Sustituyendo los valores obtenidos en la Funcin de Costo Total se obtiene el

siguiente resultado:

FT = 7738.8 $/MW-hora

=

08620.10

6260.88572.8

L [ ]

=

011110096.000100039.001000031.0

H

Optimizacin de Sistemas Elctricos de la Fe, Borrero, Cervantes

Captulo 5.

Mtodo para la toma de decisiones optimas.

Mtodo de los peritos. En los ltimos tiempos, para la toma de decisiones optimas en la direccin de sistemas

energticos complejos se ha utilizado en amplia forma el mtodo de los peritos. La causa objetiva del uso del mtodo de los peritos para la seleccin de la variante optima

de funcionamiento de sistemas energticos complejos es la imposibilidad de formalizar sus

contenidos en un modelo matemtico. En esto es fundamental el hecho de que durante la

seleccin de las soluciones optimas no siempre es indispensable conocer con exactitud las

Optimizacion de Sistemas(Separata)

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