Aplicación del Cálculo Diferencial

OPTIMIZACIÓN

Materia:

Cálculo, Primavera 2011

Presenta: Sarahy Joffre Barcenas

Preguntas Básicas ¿Para que me sirve el Cálculo?

¿Qué es optimizar?

¿Para que aplicar optimización en la vida diaria?

Plantea un problema que requiera optimizar algún recurso o esfuerzo.

¿Como resolverías el problemas que requiere optimizar ese recurso o esfuerzo?

Los métodos para hallar valores extremos que hemos aprendido tienen aplicaciones prácticas en muchas áreas de la vida.

Una persona de negocios quiere minimizar los costos y maximizar las utilidades.

Un conductor quiere minimizar distancias y maximizar el rendimiento del combustible.

Un empresario tiene un mes para entregar un embarque, debe minimizar tiempos y maximizar producción.

Un arquitecto quiere maximizar volúmenes, áreas, perímetros pero minimizar costos.

Recordando Una de la aplicaciones del calculo Diferencias

es resolver problemas de optimización utilizando el criterio de la primera Derivada, para hallar los valores críticos, estos son los extremos de una función, mejor conocidos con Máximos y Mínimos

Problemas de optimización.

Esta sección contiene un ejemplo de cómo aplicar los métodos del cálculo a problemas en los que se requiere encontrar un máximo o un mínimo.

Antes de iniciar, recuerda como calcular la derivada de una función y encontrar sus puntos críticos.

Comenzamos dando algunas guías generales. (Observa que hemos dicho guías y no reglas). No las memorices pero tenlas en cuenta mientras trabajas en esta sección.

Guías generales para resolver problemas de optimización

1. Comprende el problema. El primer paso es leer el problema con cuidado, hasta que se entienda con claridad. Y pregúntate: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas?

2. Dibuja un diagrama. En la mayor

parte de los problemas, resulta útil dibujar un diagrama e identificar en él las cantidades y requeridas.

3. Introduce notación. Asigna un símbolo a la cantidad que se va a maximizar o minimizar. Asimismo, selecciona símbolos (a,b,c,…) para las otras cantidades desconocidas y marca el diagrama con estos símbolos. Puede ayudar el uso de iniciales como símbolos sugerentes: por ejemplo, A para el área, V para el volumen, t para el tiempo, etc.

4. Expresa la función en términos de algunos de los símbolos del paso 3.

5. Si en esta última se ha expresado como una función de más de una variable, utiliza la información dada para hallar relaciones (en la forma de ecuaciones) entre estas variables. Enseguida, usa estas ecuaciones para eliminar todas las variables, excepto una, en la expresión para la función. Escribe el dominio de esta función.

6. Calcula el máximo o mínimo buscado mediante las técnicas del cálculo.

Ejemplo (Costos de cercas) Un granjero desea delimitar una

parcela rectangular de área 900 metros cuadrados. La cerca tiene un costo de $15 por metro. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la parcela de modo que se minimice el costo del cercado? ¿Cómo cambia su respuesta si el costo de cercado sube a $20 por metro?

Resolviendo Problemas

Inténtalo

Actividad: Resuelve los sig. problemas 1. Un granjero tiene 600 metros de cerca, con

lo que quiere construir un corral rectangular. Parte de la cerca se usará para construir dos cercas internas de división, paralelas a los mismos dos lados del corral. ¿Cuál es el área total máxima posible de dicho corral?

2. Un granjero tiene 80 pies de malla de alambre con la cual planea encerrar un corral rectangular a un lado de su establo de 100 pies de largo, el granjero decide hacer tres corrales idénticos con sus 80 pies de malla de alambre, como se muestra en la figura. ¿Qué dimensiones del área total encerrada hacen el área de los corrales tan grande como sea posible?

3. (Diseño de una cisterna) Se construirá una cisterna con capacidad de 324 pies cúbicos de agua. Deberá tener una base cuadrada con cuatro lados verticales, todos fabricados con concreto, y una tapa superior de acero. Si la unidad de área de acero cuesta el doble que la correspondiente al concreto, determine las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo total de construcción. Como la base es cuadrada, tenemos el largo (l) y el ancho (a) de la cisterna igual, solo varia la profundidad (p) de la cisterna.

Bibliografía: Stewart,J. (2007), Calculo Diferencial e

Integran, 2a. Edición, México, Thomson Editores.

Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo. México: Pearson Educación.