1

2n de batxillerat

jvsirerol

!

ÒPTICA GEOMÈTRICA

En la imatge pots veure el tros de canya que està fora de l’aigua de forma directa i dues imatges de la part submergida de la canya. Per la part de dalt, i a través de la superfície plana de l’aigua, tenim una de les imatges, aquesta té la mateixa grandària de la canya però està doblegada cap a la superfície de l’aigua. La segona imatge la podem veure a través de la superfície lateral del got, que ens dóna una imatge més gran i propera a la superfície lateral del got. La poca gruixa del vidre del got no afecte de forma important a la imatge. Entendre i calcular la formació d’aquestes i altres imatges, és l’objectiu d’aquest tema.

2

ÒPTICA GEOMÈTRICA I - INTRODUCCIÓ La llum és una ona electromagnètica que quan la seva longitud d’ona és molt més petita que les dimensions dels objectes amb què interacciona es pot prescindir de les seves propietats ondulatòries i electromagnètiques. És en aquests casos que es pot tractar la llum com un raig que es propaga en línia recta, si el medi és homogeni. La formació d’ombres i penombres, entre elles els eclipses, ens mostren la propagació rectilínia de la llum. L’Òptica Geomètrica aconsegueix, sense tenir en compte la naturalesa de la llum i, a partir de les senzilles lleis de la reflexió i refracció, explicar la formació de les imatges a través de lents i miralls. Els raigs de llum sempre són perpendiculars als fronts d’ona. Això determina el camí que fa la llum com mostra la imatge adjunta. Al llarg d’aquest tema explicarem el per què de les imatges de la canya de la portada i la formació d’imatges a través d’altres sistemes òptics. Mecanisme de visió dels objectes. Reflexió difusa i especular Podem veure el que ens rodeja quan llum i arriba als nostres ulls des de cada punt dels l’objectes que mirem. Això passa a través de dos mecanismes: o bé l’objecte emet llum per ell mateix, com és el cas d’una bombeta, d’una estrella, ... , o bé l’objecte reflecteix part de la llum que li arriba d’una altra font de llum. Quan un feix de raigs de llum incideix sobre un cos:

• Una part de la llum és absorbida pel cos. • Una altra part és reflectida per la superfície del

cos. En general aquesta és reflectida de forma difusa, en totes direccions, a causa de que la superfície del cos té irregularitats, tal i com mostra la primera imatge. Gràcies a aquesta reflexió podem veure els objectes, les persones, ... , tot el que ens envolta.

La llum que entra als nostres ull depèn del sentit cap a on dirigim la mirada, si canviem el sentit cap a on mirem canviarà el feix de llum que entrarà en els nostres ulls i veurem coses diferents. Però sempre, el nostre cervell dedueix que la llum que li arriba ho fa a través d’un camí rectilini. Aquesta concepció que fa el cervell de la propagació de la llum, és la que ens permet orientar-nos en el entorn on vivim.

Reflexió difusa. Aquesta reflexió permet veure els objectes des de qualsevol

posició.

Els raigs de llum sempre són perpendiculars als fronts d’ona.

3

Reflexió especular Un cas excepcional de reflexió es produeix quan la superfície del cos sobre la qual incideix la llum és perfectament llisa. En aquest cas, un feix de llum paral·lel també surt reflectit paral·lelament, aquesta reflexió rep el nom de reflexió especular. Els miralls són exemple d’aquest tipus de reflexió. Fixa’t que en el mirall de casa teva, o qualsevol altre, tan sols pots veure objectes reflectits en ell des de determinats angles. És a dir, pots veure, a través del mirall, nítidament els objectes que emeten o reflecteixen llum tan sols des de certs angles que compleixen la llei de la reflexió especular. Llei de la reflexió especular:

Els angles d’incidència i de reflexió es mesuren des de la perpendicular a la superfície, la normal, com mostra la imatge. Pensa-ho: mentre que quan hi ha reflexió difusa el que veus és bàsicament l’objecte que produeix aquesta reflexió, quan la reflexió és especular el que veus és l’objecte que envia el feix de llum al mirall i, després arriba als teus ulls. A1. Com podem “veure” una gota d’aigua rodona sobre un taula si aquesta és transparent i incolora? A2. Pel que saps de la interacció de la llum amb la matèria respon a la següent qüestió: Els miralls d’us domèstic estan formats per un vidre que en la part posterior té una superfície metàl·lica adherida. Quina part creus que fa de mirall, el vidre o la superfície metàl·lica? Per què?. Creus que seria possible fer un mirall utilitzant, tan sols, una superfície metàl·lica? A3. Tenim dos miralls que estan formant un angle de 90º. Si un raig de llum es reflecteix en un mirall i el raig reflectit en aquest primer mirall es reflecteix en el segon mirall, quin angle foment el raig incident inicial amb el reflectit final?

Angle d’incidència = Angle de reflexió

Reflexió especular. Tan sols des d’un determinat angle es

veu la font de llum.

4

II - ÍNDEX DE REFRACCIÓ I LLEIS BÀSIQUES. Com ja saps, per a cada medi la velocitat de la llum és diferent, i ve determinada per l’equació 𝑣 = !

!·! . Per aquests medis es defineix el concepte d’índex de refracció, n, i

ve donat per: 𝑛 =

𝑐𝑣

és a dir, l’índex de refracció d’un medi és el quocient entre la velocitat de la llum en el buit i la velocitat de la llum en el medi. A4. Quina és la velocitat de propagació de la llum dins el vidre si el seu índex de refracció val 1,5?

Què passa quan la llum canvia de medi?

Recordem les lleis que regeixen el comportament d’un raig de llum quan aquesta arriba a una superfície de separació de dos medis. Part de la llum passa a l’altre medi, es refracta i l’altra part es reflexa a la superfície i queda en el medi inicial. Si la superfície és perfectament llisa, la reflexió serà especular i aquest serà el nostre cas. Pel raig refractat, el canvi de la velocitat de la llum en canviar de medi provoca la desviació de la llum. Les lleis que regeixen el camí d’aquests raigs són:

a. Pel raig refractat es compleix: 𝑛! · 𝑠𝑖𝑛𝜃! = 𝑛! · 𝑠𝑖𝑛𝜃!

b. Pel raig reflectit es compleix: 𝜃!! = 𝜃!

Fixa’t que tots els angles, incidència, reflexió i refracció es mesuren respecte de la NORMAL a la superfície de separació entre els dos medis.

Deduir aquestes expressions es pot fer a partir del Principi de Huygens de la propagació de la llum i l’ajuda de les relacions trigonomètriques o bé utilitzant el principi de Fermat. Com ja coneixes el principi de Huygens, ho farem utilitzant el principi de Fermat.

Principi de Fermat: el camí que segueix la llum per anar d’un punt a un altre és tal que fa que el temps per viatjar entre els dos punts sigui mínim.

a. Pel raig refractat: En la figura es mostra un possible camí per anar des del punt A, que està en un medi, fins el punt B, que està en l’altre medi. Cal buscar el punt P que faci que el temps, no el camí, en viatjar entre els dos punts sigui mínim. Aquest temps vindrà donat per:

𝑡 =  𝐿!𝑣!+𝐿!𝑣!=𝐿!𝑐𝑛!

+𝐿!𝑐𝑛!

=𝐿!·𝑛!𝑐 +

𝐿! · 𝑛!𝑐

de la figura trobem la relació:

5

𝐿!! = 𝑥! + 𝑎! i 𝐿!! = 𝑑 − 𝑥 ! + 𝑏! el valor de “x” que farà el temps mínim compleix: !"

!"= 0 o sigui: !"

!"= !

!𝑛! ·

!!!!"+ 𝑛! ·

!!!!"

= 0 si substituïm els valors trobats per les “L”, fem la derivada i igualem a zero, trobem:

!!!!"

= !!!= 𝑠𝑖𝑛𝜃! i també !!!

!"= !!!

!!= −𝑠𝑖𝑛𝜃!

substituint en l’equació anterior trobem la llei de refracció d’Snell.

𝑛! · 𝑠𝑖𝑛𝜃! = 𝑛! · 𝑠𝑖𝑛𝜃!

b. Pel raig reflectit: Utilitza un procediment similar al utilitzat en la refracció per a demostrar la llei de la reflexió:

𝜃!! = 𝜃!

A5. La llum incideix en la superfície de separació entre el vidre i l’aire amb un angle de 30º, quin angle formaran els raigs reflectit i refractat?

A6. Per quin angle d’incidència entre l’aire i l’aigua els raigs refractat i reflectit formen un angle de 90º?.

A7. Demostra que quan un raig de llum incideix sobre una làmina de vidre de cares paral·leles i amplada “d” on és refracta i surt per l’altre costat, el raig emergent de la làmina és paral·lel a l’incident.

6

Angle límit. Reflexió total Un cas interesant de reflexió-refracció es produeix quan la llum passa d’un medi on la llum es mou més poc a poc a un medi que es mou més ràpida. Això passa quan el primer medi té un índex de refracció més gran que el segon medi, 𝑛! > 𝑛!. En aquest cas, la llei de refracció d’Snell ens assegura que 𝜃! < 𝜃!. En aquestes condicions pot passar que 𝜃! > 90º, si passa això la llum no passa al segon medi, es produeix el que es coneix com a reflecció total. Just el cas que 𝜃! = 90º llavors el raig no passa al segon medi i surt tangent a la superfície de separació. El valor de 𝜃! = 𝜃! que fa que 𝜃! = 90º, es coneix com a angle crític o límit i ve donat per:

sin𝜃! =𝑛!𝑛!sin 90º =

𝑛!𝑛!

per angles més grans d’aquest valor la llum es reflecteix totalment sense passar al segon medi.

En el dibuix es important veure que, per angles inferiors a l’angle crític, es produeix a la vegada la reflexió i la refracció, fins i tot, això passa quan la incidència és normal, 𝜃! = 0º. En canvi, per angles superiors al crític la reflexió és total.

A8. En la figura de dalt, hi hauria angle límit si la llum passés d’un medi amb índex de refracció petit a un medi amb índex de refracció més gran? Per què?

A9. Un vidre té un índex de refracció d’1,50. Quin és l’angle crític per una llum que passa del vidre a l’aire? L’índex de refracció de l’aire val 1,00.

A10. Un objecte es troba al fons d’una bassa de 1m de profunditat. Un observador està estirat al terra just a la vora de la bassa. Quina distància mínima hi ha d’haver de la vertical de l’objecte fins la vora de la piscina, on està l’observador, per garantir que aquest no el pugui veure? Suggeriment: fes un dibuix.

Un exemple interessant de la reflexió total són les fibres òptiques. La llum ha de viatjar pel seu interior de manera que no s’escapi per la superfície de la fibra. Això implica que els angles de la llum amb les parets de la fibra no siguin molt grans i lluny de l’angle crític. Per aconseguir-ho cal que la fibra tingui un diàmetre petit i que les deformacions que fem a la fibra siguin petits.

Medi-1

Medi-2

7

Per un moment, deixem l’òptica geomètrica i tornem al comportament ondulatori de la llum Dependència de l’índex de refracció amb la longitud d’ona. Dispersió.

En general l’índex de refracció d’un material té una certa dependència amb la longitud d’ona, 𝑛 = 𝑓(𝜆). En molts materials, n, decreix lleugerament a mida que la longitud d’ona augmenta. Aquest fenomen rep el nom de dispersió, ja que si l’índex canvia l’angle de refracció també canvia. Els mitjans en les quals l’índex de refracció varia molt amb la longitud d’ona, es diuen mitjans dispersius. La dreta tens uns gràfics on es mostra la variació de l’índex de refracció en alguns materials.

A continuació, tens una taula detallada de com varia l’índex de refracció pel vidre en l’última columna de la dreta. D’aquests valors trobaràs lògic que en els llibres es doni com a índex de refracció pel vidre el valor de 1,5.

Quan en una taula es donen els índex de refracció per a diversos materials, venen referits a una longitud d’ona específica, generalment per a 𝜆 = 589,3  𝑛𝑚. Aquesta longitud d’ona correspon al color groc de l’espectre d’emissió del sodi. Si el medi es poc dispersiu, aquest índex es considera vàlid per a tots els colors i per la llum blanca.

A11. Calcula l’angle crític entre el diamant i l’aigua.

Variació de l’índex de refracció de diferents materials en funció de la longitud d’ona que incideix en el material

8

Mitjans dispersius

L’Arc de San Martí

Un dels casos en què la dispersió de la llum és més pronunciada és quan la llum blanca incideix sobre un prisma amb un cert angle, la forma del prisma obliga a la llum a una doble refracció que amplifica l’efecte dispersiu del cristall. L’angle de refracció, mesurat respecte de la normal, per a longituds d’ona més curtes és lleugerament més petit que el que correspon a longituds d’ona més llargues. Les components de la llum de longitud d’ona més curtes, cap el blau i el violeta, s’atraquen més a la normal que les components de longitud d’ona llarga. Aquesta experiència portà a Newton a la conclusió de que la llum blanca era una superposició d’ones de diferents longituds d’ona.

A12. Ja veus el que passa quan la llum blanca incideix sobre la superfície d’un prisma amb un cert angle d’incidència. Què passaria si fem l’experiència amb una llum làser de freqüència exactament igual a 4,57·1014Hz?. A13. Quin material, dels que apareixen en els gràfics de dalt, escolliries per a fer un prisma que produís la màxima dispersió de la llum blanca?. A14. Creus que tots el colors tenen la mateixa velocitat dins un mitjà dispersiu? Quin és el color que té la velocitat més alta? Quin la més baixa?.

Aquest mateix fenomen és el que passa en l’Arc de San Martí. Les petites gotetes d’aigua, en suspensió en l’atmosfera, produeixen una doble refracció dels raigs de llum blanca provinents del Sol. La llum es descompon donant l’Arc. És curiós saber que, degut a les diverses refraccions, tan sols podem veure l’Arc de San Martí si mirem al cel en sentit contrari a la direcció del Sol i formant un angle entre 40º i 42º respecte la direcció dels raigs de Sol.

En el dibuix es mostra que quan mires en una direcció que forma angles més grans de 42º o més petits que 40º, no s’observa l’arc de San Martí, es veu el núvol.

!

9

Miratges A part de la dependència de l’índex de refracció amb la longitud d’ona, algunes vegades l’índex de refracció d’un medi canvia de forma continua i gradual a causa de la variació contínua i gradual de la densitat del medi. La variació de l’índex provoca que el camí que segueix la llum es vagi corbant, com mostra la imatge de la dreta, i veiem coses on no estan, això rep el nom de MIRATGE. Per exemple, el sobre escalfament del terra i de l’aire que està en contacte amb el terra, provoca la dilatació d’aquest aire i la disminució de la seua densitat. Això ocasiona que aquest aire sigui menys dens que el que té per sobre. On l’aire és menys dens i l’índex de refracció es fa més petit i la velocitat de la llum augmenta. Sovint podem veure aquest fenomen per un carretera a l’estiu. Sembla que hi ha aigua sobre la carretera, però tan sols és la llum del cel que es corba sobre la carretera i arriba als nostres ulls. És a dir, el que veiem és el cel. També es produeix el mateix fenomen en les postes de Sol. Les capes d’aire de la Terra no tenen una densitat uniforme, augmenta com més a prop de la superfície de la Terra està l’aire. Els raigs de llum del Sol es corben quan entren en l’atmosfera de la Terra amb un angle gran d’incidència i arriben a llocs on geomètricament no podríem veure el Sol.

A15. En la imatge adjunta sembla que el vaixell està fet franges. Explica el fenomen:

10

III - FORMACIÓ D’IMATGES A TRAVÉS DE DIOPTRES Quan mires a través d’una lent no veus realment l’objecte que observes, el que veus és la seva imatge. Quan et mires al mirall veus la teva cara i els objectes que et rodegen a l’altra banda del mirall, però, evidentment, el que veus en el mirall és la teva imatge. En aquest tema estudiaràs com es formen aquestes imatges. Per a trobar la imatge d’un cos, en general, tan sols ens fixarem en un punt del cos, aquest punt rep el nom d’OBJECTE i el que volem es trobar la imatge d’aquest punt. Suposarem que d’aquest punt objecte surten raigs de llum en totes direccions, però noltros tan sols ens fixarem amb el feix de llum que arriba a la lent, al mirall o qualsevol altre instrument òptic, per després formar la imatge. Per a trobar amb fidelitat la imatge complerta del cos, en aquest cas l’al·lot, caldria trobar la imatge de cadascun dels seus punts. La lent, el mirall o l’instrument òptic tenen superfícies de separació entre dos medis d’índex de refracció diferent, en general, seran l’aire i un vidre, aquestes superfícies reben el nom DIOPTRE. I el conjunt de dioptres o superfícies de separació de diferents medis amb les que es troba el raig de llum en el seu camí, rep el nom de SISTEMA ÒPTIC. Imatge del punt objecte La imatge és el punt on es troben els raigs de llum o les seves prolongacions que surten del sistema òptic. En funció de com es forma la imatge, direm que aquesta és:

Ø IMATGE REAL: si aquesta es pot projectar sobre una pantalla. Perquè això sigui possible, és necessari que els raigs de llum que surten del sistema òptic coincideixin realment sobre la pantalla formant el punt imatge.

O

11

La llum que surt del punt “A”, que és el punt objecte, després de passar pel sistema òptic, es torna ajuntar en el punt “A’ “, que és el punt imatge. La imatge es forma sobre la superfície de la pantalla que està dissenyada per provocar una reflexió difusa. Això facilita que la imatge “A’ “ es pugui veure des de quasi qualsevol angle.

• IMATGE VIRTUAL: Un al·lot que es mira en un mirall. Ell tan sols veu la seva imatge darrera del mirall. El nostres ulls juntament amb el nostre cervell, en base a la propagació rectilínia de la llum, veuen la imatge on la prolongació dels raigs de llum ens dóna la sensació que provenen. La imatge no es forma amb la coincidència real dels raigs de llum. La imatge és virtual i no es pot recollir sobre una pantalla.

El sistema òptic format pel vidre i l’aigua provoquen que el raigs de llum que surten de la canya arribin als nostre ulls divergent. La propagació rectilínia de la llum cap enrere ens situa la imatge de la canya en un altre lloc d’on realment es troba la canya. La imatge és virtual.

!El  vidre  del  got  és  un  doble  dioptre  ja  que  separa  tres  medis  de  diferent  índex  de  refracció,  l’aire  i  el  vidre  i  el  vidre  i  l’aigua.

12

IV - SISTEMA ÒPTIC ESTIGMÀTIC. ÒPTICA PARAXIAL. CRITERI DE SIGNES Un sistema òptic direm que és ESTICMÀTIC quan els raigs de qualsevol punt objecte tenen el seu corresponent punt imatge. Per tant la imatge que es forma és absolutament nítida. Un exemple de sistema que sempre és estigmatic és el mirall pla. Hi ha altres sistemes que, en determinades situacions, es comporten de forma estigmàtica però són molt costosos de fabricar i matemàticament són més difícils de tractar. En general, per a sistemes òptics, les superfícies més fàcils de construir i de trobar relacions matemàtiques són les esfèriques. El problema és que els sistemes òptics esfèrics no són estigmàtics i la imatge d’un punt no és exactament un punt. En la imatge de la dreta es veu que no tots els raigs de llum que surten d’un punt de l’objecte no convergeixen en un únic punt imatge, la imatge no és nítida, és difusa. Aquests defectes dels sistemes òptics es diuen ABERRACIONS. Avui en dia, la tecnologia ha aconseguit compensar totes o quasitotes aquestes aberracions dels dioptres de simetria esfèrica. Malgrat això, si et fixes amb el feix de raigs de llum que passa pel voltant del centre de la lent, tots ells convergeigen sobre el mateix punt, per tant, si ens limitem a aquests raigs de llum tindriem una imatge nítida, casi astigmàtica. Per a noltros astigmàtica. Això és el que farem. Considerarem que els nostres sistemes òptics, els dioptres, tenen superfícies esfèriques però imposarem dues condicions:

• Els radis de curbatura han de ser grans en comparació amb grandària de l'objecte • Els raigs de llum han de formar angles d'incidècnia petits amb el diòptre.

Un sistema que funciona complint aquestes condicions es diu que està en una situació d’òptica PARAXIAL. Bé, noltros desenvoluparem els continguts dins l’àmbit de l’òptica Paraxial. En la figura adjunta pots veure una manera de reduir les aberracions. Consisteix en limitar els raigs de llum que s’allunyen del centre de la lent o que l’angle d’incidència és molt gran. Aquest sistema de limitar els raigs de llum rep el nom de diafragma. Llavors la lent actua en condicions paraxials i la imatge és pràcticament estigmàtica.

13.2 Miralls:

Miralls plans: En la imatge un raig de llum procedent del punt P, es reflexa en un mirall pla, després el raig divergeix com si procedeixi d’un punt P’ darrera del mirall.

El punt P’ es denomina imatge del punt P. La imatge es denomina virtual, degut a que la llum no procedeix realment de la imatge.

El punt P està en línia amb P’ i perpendicular al pla del mirall.El punt P’ es troba darrera del mirall a una distància igual a la de l’objecte al pla del mirall

La imatge es podrà veure sempre que l’ull es trobi en la zona indicada pel dibuix.

7

diafragma

13

Què volem saber de les imatges. Conveni de signes Què voldrem saber de la imatge d’un objecte donada per un sistema òptic? Voldrem saber calcular:

ü La seva posició. És a dir, on es formarà la imatge? ü La seva grandària (augment). Si serà més gran, igual o més petita que l’objecte. ü Si està dreta o invertida. Té la imatge el mateix sentit que l’objecte? O està

capgirada?. ü Si ès real o virtual.

Sistema de referència

• Eix òptic o "eix d'abcises”. Representa l’eix òptic del sistema òptic.

§ Vèrtex “ o “ intersecció del dioptre amb l'eix òptic. En el cas de les lents, suposarem que són tan primes que els vértex de les dues cares de les lents coincideixen amb el seu punt del mig, com mostra la imatge. El vèrtex és el punt des d’on es mesuren les distàncies.

§ L'objecte es situa a l'esquerra del dioptre. § Els raigs de llum surten de l'objecte cap a la dreta.

Conveni de signes:

• Les distàncies mesurades des del vèrtex “o”, són positives si es mesuren en el mateix sentit de propagació de la llum, cap a la dreta. I són negatives si es mesuren en sentit contrari al de la propagació de la llum, cap a l’esquerra.

• Les alçades dels objectes per sobre de l’eix òptic són positives i són negatives les que estan per davall.

En el dibuix de dalt tindríem:

• La posició de l’objecte, s’al·lot, seria negativa, donat que es troba a l’esquerra del punt “o” i és una distància mesurada en sentit contrari al de la propagació de la llum.

• L’alçada de s’al·lot, seria positiva, ja que està per sobre de l’eix òptic. • En canvi, la posició de la imarge és positiva, perquè està a la dreta del punt “o”,

distància que es mesura en el mateix sentit del de la propagació de la llum. • L’alçada de la imatge és negativa donat que la imatge és invertida.

Compliment de les lleis bàsiques Cada raig de llum que incideix sobre un diotre, una lent, un mirall, compleix amb les lleis de la reflexió i la de la refracció. Noltros utilitzarem equacions que es dedueixen d’aquestes lleis bàsiques i que simplifiquen el tractament matemàtic en cada problema, però no has d’oblidar que les lleis bàsiques es segueixen complint.

O

14

V - DIOPTRE ESFÈRIC: El dioptre, de forma esfèrica, separa dos medis amb índex de refracció diferents Utilitzant la Geometria i la Llei de la Refracció de Snell, podem trobar l’equació que relaciona la posició de l’objecte, P, respecte del vèrtex amb la posició de la seva imatge, P’. Aquest resultat també es pot trobar a partir del principi de Fermat. L’equació que trobem rep el nom de: Equació fonamental del dioptre esfèric:

𝑛′𝑠′ −

𝑛𝑠 =

𝑛! − 𝑛𝑅

Aquesta equació tan sols és vàlida per a una superfície, per a un dioptre. Cal recordar que una lent té dos dioptres i caldria aplicar aquesta equació dues vegades, una par a cada cara. En canvi aquesta equació ens serà vàlida per a miralls i altres sitemes que tan sols tenen un dioptre.

Focus del Dioptre esfèric CONVEX

Un dels punts notables dels dioptres són els FOCUS, aquestes es troben a partir d’un feix de llum paral·lela que incideix sobre el diòptre, aquesta llum pot provenir d’un punt d’un objecte situat a l’infinit*. El dioptre esfèric convergeix la llum a un punt, que es coneix com a FOCUS IMATGE. És a dir, el focus imatge és la imatge d’un objecte situat a l’inifnit.

El Focus imatge, F’, es troba quan un feix de raigs paral·lels a l’eix òptic incideixen sobre la superfície del dioptre esfèric. El punt de convergència és , F’ i la distància del Focus al vèrtex de del dioptre rep el nom de diatància focal imatge, f’.

El FOCUS OBJECTE, es troba per un raonament semblant però invers. El Focus Objecte és el punt del qual els raigs de llum que surten esdevenen paral·les quan travessen el dioptre esfèric. Com pots veure en la imatge de baix.

(*) Per noltros l’infinit no és un infinit matemàtic, tan sols és estar molt lluny. Si la distància de l’objecte és molt més gran que la distància focal del dioptre, ja direm que està a l’infinit. Per exemple, una distància d’uns poc metros, pot ser infinit per una distància focal d’uns pocs centímetres.

n n’

n'

15

L’equació que ens dóna la localització del focus imatge: La localització del focus imatge es redueix a preguntar a l’equació del dioptre: On es formarà la imatge d’un objecte que es troba situat a l’infinit?

• L’objecte es troba a l’infinit: 𝑠 = −∞ i els raigs, que surten d’un punt de l’objecte, arriben paral·lels al dioptre.

• La imatge de l’objecte situat a l’infint sempre es forma en el punt focal imatge, llavors:

𝑠! = 𝑓′

NOTA: Per a trobar el focus de qualsevol sistema òptic, aplicarem aquest raonament repetides vegades. Convé que et quedi clar.

Llavors la equació del dioptre ens queda:

𝑛′𝑓′ −

𝑛−∞ =

𝑛! − 𝑛𝑅      →        𝑓! = 𝑅

𝑛′𝑛! − 𝑛

Per un raonament semblant podem trobar la distància focal objecte:

𝑓 = −𝑅𝑛

𝑛! − 𝑛 Si dividim les dues expressions trobades trobem la següent relació: !

!!= − !

!!

Focus del Dioptre esfèric CÒNCAU

En aquest cas, els raigs de llum que arriben al dioptre paral·lels a l’eix óptic, surten dins n’, divergint. El raigs de llum no es tornen a trobar, però les seves prolongacions en sentit contrari convergeixen en un punt F’ que és virtual. És a dir, la imatge de l’infinit, en aquest cas, és virtual. La focal imatge es troba a l’esquerra del dioptre. En aquest cas el radi del dioptre és negatiu i la distància focal imatge també serà negativa, com es pot veure de l’equació següent.

!!!!− !

!!= !!!!

!      →        𝑓! = 𝑅 !!

!!!!

El focus objecte es defineix com aquell punt que han de dirigir-se els raigs de llum per a sortir paral·lels quan travessen el dioptre. La imatge de la dreta mostra aquesta situació. El focus objecte també és un punt virtual per a aquestes superfícies.

F’

n n'

16

Construcció d’imatges en un dioptre esfèric En la imatge de la dreta tens un dioptre de forma esfèrica amb la curvatura cap a l’objecte. D’això en direm que el dioptre és CONVEX. Imagina que tens un objecte, d’alçada “y” davant d’un dioptre de radi “R” i índex de refracció “n’ “, tal i com mostra la primera figura de la dreta. Podem trobar la posició de la imatge amb el que sabem? La resposta és sí: De l’objecte d’alçada “y”, ens fixem en un únic punt, el “B”. De tots els infinits raigs que surten d’aquest punt en totes direccions, ens fixarem en 3, que incideixen en el dioptre: • El raig que surt de B paral·lel a l’eix òptic, passarà pel focus imatge. • El raig que apunta al centre geomètric del dioptre, punt “C”, incideix sobre la

superfície del dioptre amb un angle que és zero, ja que té la direcció del radi. La llei de la refracció ens diu que no es desviarà.

• El tercer raig passa pel focus objecte, per tant, sortirà paral·lel a l’eix òptic un cop travessat el dioptre.

Els tres raigs de llum convergeixen en un punt que serà el punt imatge “B’ “ del punt objecte “B”. En aquest cas la imatge es forma dintre del medi n’ i és real i invertida. Repetirem aquesta construcció amb els altres sistemes òptics. Si el dioptre té la curvatura dirigida en sentit contrari a l’objecte, llavors direm que és CÒNCAU. Per a la formació de la imatge també en fixam en tres raigs, dos del quals es mostren en el dibuix: • El raig que surt de B paral·lel a

l’eix òptic, passarà pel focus imatge virtual, F’.

• Un raig que apunta al focus objecte F, surt paral·lel. • Un raigs que tingués la direcció radial de la superfície del dioptre, no es desviaria.

Els tres raigs surten divergint en n’, les prolongacions en sentit contrari del camí dels raigs, ens donen que convergeixen en el punt B’, que és el punt imatge, que en aquest cas és virtual. Augments Es defineix augment lateral o transversal, AL o MT , com a la relació que hi ha entre la grandària de la imatge i la grandària de l’objecte.

𝐴! = 𝑀! =𝑦′𝑦

17

Si l’objecte i la imatge tenen el mateix sentit, l’augment és positiu i si tenen sentits contraris, serà negatiu. Si la imatge és més gran que l’objecte, en valor absolut, l’augment serà major que 1. Si la imatge i l’objecte són iguals, en valor absolut, l’augment serà igual a 1. Si la imatge és més petita que l’objecte l’augment serà en valor absolut menor que 1. Anem a veure com podem calcular l’augment a partir de la posició de l’objecte i la posició de la imatge: En la figura es mostra el camí d’un raig que va de l’objecte a la imatge passant pel vèrtex del dioptre. La relació que hi ha entre els dos angles ve donada per la llei d’Snell: 𝑛! · 𝑠𝑖𝑛𝜃! = 𝑛! · 𝑠𝑖𝑛𝜃! i, a la vegada, es compleix: 𝑡𝑎𝑛 𝜃! =

!! i 𝑡𝑎𝑛 𝜃! =

!!!!

en situació d’òptica paraxial es bona l’aproximació: 𝑠𝑖𝑛𝜃! = 𝑡𝑎𝑛 𝜃! i 𝑠𝑖𝑛𝜃! = 𝑡𝑎𝑛 𝜃! per tant, podem deduir que: 𝐴! =

!!!= !!·  !"#!!

!  ·  !"#!!= !!·  !"#!!

!  ·  !"#!!= !!·  !!

!!·  ! per tant:

 𝐴! = 𝑀! =𝑦′𝑦 =

𝑛! ·  𝑠′𝑛! ·  𝑠

Exemple-1: Dintre d’una peixera de 15 cm de radi hi ha un castell de joguina a 10 cm de la paret del recipient. Calcula la posició i l’augment del castellet quan l’observes. L’índex de refracció de l’aigua és 1,33.

Solució: Suposarem la paret de la peixera extremadament prima i serà el dioptre que separa l’aigua i l’aire. També suposarem que l’observador es troba a la dreta de la peixera. El castell es troba davant un dioptre còncau, en un medi de n=1,33.

Així, segons el nostre criteri de signes, tindrem: • n= 1,33, la de l’aigua • s = -10 cm, és negatiu per estar a l’esquerra del dioptre. • R= -15 cm • n’= 1, per l’aire

Aplicarem la nostre equació del dioptre: !!!!− !

!= !!!!

! i substituirem per a trobar la

posició de la imatge.

!!!− !,!!

!!"= !!!,!!

!!" trobem per s’: s’= - 9,0 cm

Per tant, la imatge es troba a l’esquerra del dioptre donant una imatge virtual. L’augment ve donat per: 𝐴! = 𝑀! =

!  ·  !!!!·  !

= !,!!·(!!)!·(!!")

= 1,2 L’augment dóna positiu el que indica que la imatge es veu dreta. És més gran de “1”, el que indica que es veurà més grossa que l’objecte real.

18

A16. Un peixet es troba dins una peixera de 15 cm de radi i l’índex de refracció de l’aigua de la peixera és 1,33. Fora de la peixera, i a 10 cm del vidre de la peixera, es troba un moix que mira el peixet amb entusiasme, tal com mostra la imatge. No tinguis en compte els efectes del vidre de la peixera ja que aquest és molt prim i troba la posició i la grandària a què el peix veu al moix. A17. En el centre d’una esfera de vidre, n=1,5, hi ha una bombolla d’aire. Trobar la posició i l’augment per un observador exterior a l’esfera. EL DIOPTRE PLA En aquest cas la superfície del dioptre és plana i, per tant, el radi de curvatura és infinit: 𝑅 = ∞. Llavors, l’equació del dioptre

𝑛′𝑠′ −

𝑛𝑠 =

𝑛! − 𝑛𝑅 = 0

es transforma de la següent manera:

𝑛′𝑠′ =

𝑛𝑠

de l’equació podem deduir:

• s i s’ tenen el mateix signe, la qual cosa implica que l’objecte i la imatge es troben en el mateix medi. Això ho podeu veure en les imatges adjuntes.

• L’objecte i la imatge tenen la mateixa grandària. Si substituïm l’última equació en l’equació de l’augment transversal trobem que l’augment és 1:

𝐴! =𝑦′𝑦 =

𝑛! ·  𝑠′𝑛! ·  𝑠

= 1

• Hi ha una modificació aparent de la posició de la imatge respecte de la posició de l’objecte.

• La imatge és virtual. Els raigs de llum no convergeixen realment en el punt A’. A18. Una piscina té una profunditat de 2m. Quina serà la profunditat aparent de la piscina observada des de fora de l’aigua?. L’índex de refracció de l’aigua val 1,33. A19. És possible que diferents observadors fora de l’aigua, vegin diferents posicions per la imatge d’un objecte submergit? A20. Ara estàs en condicions de donar una explicació de les imatges formades de la canya en la portada del tema.

n

n

n

n

19

VI - MIRALLS ESFÈRICS Tal com hem dit, ara repetirem el procediment utilitzat en els dioptres i l’aplicarem en els miralls. En la figura de la dreta es mostra una superfície esfèrica, de radi R, i mirallada pels dos costats. La superfície interior serà el que direm mirall CÒNCAU i la part exterior CONVEX. La característica dels miralls és que no hi ha canvi de medi pels raigs de llum, per tant, es compleix que els índex de refracció tant de l’objecte com de la imatge són el mateix, encara que canviats de signe a causa de la propagació en sentit contrari per la reflexió. És a dir:

𝑛! = −𝑛! A21. Imposa la condició anterior a l’equació fonamental dels dioptres i troba l’equació fonamental corresponent pels miralls esfèrics. Si ho has fet bé, obtindràs la següent expressió:

1𝑠′+

1𝑠 =

2𝑅

Aquesta última equació rep el nom d’EQUACIÓ FONAMENTAL PEL MIRALL ESFÈRIC. Posició del focus del mirall esfèric: En la imatge adjunta pots veure dos miralls, el primer és còncau i el segon és convex. Per a trobar el focus, com hem vist abans, tan sols tenim que buscar la posició de la imatge d’un objecte situat a l’infinit ( recorda que infinit en òptica tan sols vol dir “molt lluny i això vol dir una distància molt gran comparada amb la distància focal del sistema òptic”). Que l’objecte estigui a l’infinit, vol dir que 𝑠 = ∞, i, per tant, que els raigs de llum arriben paral·lels al mirall esfèric i, llavors, s’=f. A22. Substitueix aquestes condicions en l’equació fonamental dels miralls i demostra:

𝑓 = 𝑓! =𝑅2

Hem trobat que la distància focal és la meitat del radi del mirall.

20

Cal dir que els miralls tan sols tenen un focus, per tant, f = f’. En la imatge pots veure que en el mirall còncau tan el radi com la distància focal són negatives i en el convex són positives. És a dir, segueixen el criteri general de signes enunciat abans. Podem reescriure l’equació dels miralls en funció de la distància focal:

1𝑠′+

1𝑠 =

1𝑓

Construcció d’imatges en miralls esfèrics

Mirall còncau

Al igual que hem fet abans en el dioptre, per a trobar la imatge d’un punt objecte, B, utilitzarem tres raigs de llum:

• Un raig de llum paral·lel a l’eix es reflectirà i passarà pel focus.

• El que passa pel centre de curvatura, torna pel mateix camí òptic.

• El raig que passa pel focus surt reflectit paral·lelament a l’eix òptic.

Els tres raigs de llum convergeixen realment en un punt, B’, que és el punt imatge del punt, B. En aquest cas, la imatge trobada és real i invertida. Sempre que la imatge és real, també és invertida, però cal tenir present que els miralls còncaus no sempre donen imatges reals, per a determinades posicions de l’objecte la imatge és virtual i dreta.

Mirall convex

Per aquest mirall, també s’utilitzen els tres mateixos raigs:

• Un raig paral·lel, sortirà reflectit de manera que la seva prolongació passi pel focus.

• Un raig que apunta al centre de curvatura del mirall, surt reflectit en sentit contrari, pel mateix camí òptic.

• Un raig que apunti al focus, sortirà reflectit paral·lel a l’eix òptic. Aquest no apareix en el dibuix, posa’l tu.

Els miralls convex sempre, per a qualsevol posició de l’objecte, donen imatges virtuals, dretes i més petites.

NOTA: recorda que la normal a una superfície esfèrica és la direcció radial.

21

Resum de les possibles imatges que poden donar els miralls esfèrics

Augment lateral o transversal dels miralls L’augment que dóna un mirall ve donat per la mateixa equació trobada abans pels dioptres, tan sols cal afegir la condició sobre els índex de refracció: n = -n’ 𝐴! = 𝑀! =

!!!= !  ·  !!

!!·  !=  − !!

! així per l’augment ens queda: 𝐴! = 𝑀! =

!!!= − !!

!

A23. Davant d’un mirall còncau de 1 m de radi, tenim un objecte de 5 cm d’alçada posat verticalment a l’eix òptic. Calcula la posició de la imatge i l’augment transversal que dóna el mirall per a les següents posicions de l’objecte: a) 120 cm; b) 80 cm; c) 40cm i d) 30 cm. A24. Repeteix el problema anterior, sense utilitzar les equacions, tan sols amb la construcció geomètrica. En cada cas dibuixa on cal posar l’ull per a veure la imatge formada. Per a cada cas dibuixa un raig addicional que no sigui cap dels tres. A25. Amb el resultat dels problemes anteriors i els gràfics de la formació d’imatges per miralls, podries treure una regla general de com són les imatges que donen els miralls esfèrics? El mirall pla El mirall pla és una superfície de radi, 𝑅 = ∞, i que compleix també n = -n’. Substituint aquestes dades en l’equació del dioptre en queda la senzilla equació:

𝑠! = −𝑠 això vol dir: • Que la imatge es forma simètricament a l’altre costat del

dioptre. • La imatge és virtual. • L’augment és justament igual a 1. Això vol dir que

objecte i imatge tenen la mateixa grandària.

22

A26. L’al·lot de la imatge de dalt s’està mirant al mirall. Fixa’t amb les posicions de braços i peus d’ell i les de la seva imatge. Quina és la ma que té a la butxaca en l’objecte? Quina ma té a la butxaca la imatge? Comenta altres similituds i diferències. A27. Indica quin tipus de mirall, per quines posicions de l’objecte o a quin lloc es formarà la imatge en les següents circumstàncies:

a. La imatge és real. b. La imatge és més gran que l’objecte i real. c. La imatge és invertida. d. La imatge sempre és dreta per a qualsevol distància de l’objecte. e. La imatge es pot recollir sobre una pantalla. f. La imatge es forma a l’infinit. g. L’objecte es troba a una distància molt més gran que la distància focal del

mirall. h. La imatge sempre és igual que l’objecte. i. La imatge sempre és virtual. j. Quin mirall dóna sempre una imatge més petita.

A28. Observa les imatges que donen els dos miralls esfèrics que tens a continuació. Comenta el per què de les diferències de les imatges que donen de “P”. A29. Els miralls parabòlics donen una imatge estigmàtica perfecte, situada en el focus, d’un feix de llum provinent de distàncies molt grans sense cap necessitat de funcionar en situacions d’òptica paraxial, és a dir, funciona perfecte per angles petits i pels grans també. És per això que el mirall parabòlic és utilitzat per a l’astronomia i comunicacions. A partir del dibuix que tens a continuació, justifica per què un mirall esfèric funciona estigmàticament en condicions paraxials. A30. Dissenya un focus de llum que emeti un feix de llum paral·lela. Indica la forma del focus i on posaries la bombeta.

23

A31. Un mirall esfèric convex amb el seu centre de curvatura en “C”, reflecteix una imatge situada a l’infinit. La figura mostra els raigs incidents:

a. Situa el focus del mirall. b. Dibuixa el punt imatge. c. Descriu les característiques de la imatge.

A32. Un mirall còncau amb centre de curvatura en “C”, reflecteix una imatge que es troba molt lluny. En la figura tens els raigs incidents:

a. Situa el focus del mirall. b. Dibuixa el punt imatge. c. Descriu les característiques de la imatge.

A33. Tenim una esfera mirallada que reflexa la llum. El seu diàmetre és 30 cm, quina és la seva distància focal? Fes un dibuix. A34. Com ha de ser un mirall d’aquest que posen en els creuament de carrers i que permeten veure si ve un altre cotxe per l’altre carrer? A35. Un dentista necessita un mirallet que quan es trobi a 2 cm d’una dent , doni una imatge dreta i 6 vegades més gran. Troba les característiques que ha de tenir el mirallet.

24

VII - LENTS PRIMES Un dels casos més interesants és la formació d’imatges a través de lents primers. Aquestes estan formades per un material, generalment un vidre, limitat per dos dioptres, dels quals com a mínim un serà esfèric, que el separen de l’aire. En la imatge es mostra una lent, limitada per dues superfícies esfèriques de radis diferents. En cadascuna de les seves superfícies podem aplicar l’equació del dioptre esfèric.

𝑛′𝑠′ −

𝑛𝑠 =

𝑛! − 𝑛𝑅

Noltros, per a facilitar els càlculs suposarem que la lent és molt prima i que podem mesurar els radis de cadascuna de les superfícies de la lent des del centre de la mateixa. La primera superfície, el primer dioptre, donaria una imatge situada en el punt 𝑠!! , si no hi hagués la segona superfície. Per la primera superfície l’equació del dioptre és:

𝑛′𝑠!!−𝑛𝑠 =

𝑛! − 𝑛𝑅!

La segona superfície, treu una segona i definitiva imatge de la imatge creada per la primera lent. És a dir, la imatge del primer dioptre, és l’objecte del segon. L’equació del segon dioptre és:

𝑛𝑠′−

𝑛′𝑠!!=𝑛 − 𝑛!

𝑅!

L’acció conjunta dels dos dioptres la trobem sumant les dues equacions a què hem arribat:

𝑛′𝑠!!−𝑛𝑠 +

𝑛𝑠! −

𝑛!

𝑠!!=𝑛! − 𝑛𝑅!

+𝑛 − 𝑛!

𝑅!

simplificant ens queda:

𝑛1𝑠′−

1𝑠 = (𝑛! − 𝑛)

1𝑅!−1𝑅!

Aquesta és l’equació fonamental de les lents primes. També és coneguda com l’EQUACIÓ DEL CONSTRUCTOR DE LENTS. Pel que fa als índex de refracció, per l’aire val n=1 i pel vidre deixarem n’.

25

Signes dels radis dels dioptres de les lents Per la lent escollida en la demostració anterior, que és convergent, el dioptre de l’esquerra té el seu radi que és positiu ja que el seu centre està a la dreta del dioptre, mentre que la superfície de la dreta tindrà un radi negatiu donat que el seu centre està a l’esquerra del dioptre. Utilitzant els mateixos criteris, trobaràs els signes dels radis de tots els dioptres de qualsevol tipus de lent. El focus de les lents Igual que hem fet en el casos anteriors, per atrobar la posició del focus és suficient trobar la posició de la imatge d’un objecte situat a l’infinit. És a dir, si 𝑠 = ∞, llavors s’= f’ . Substituïm en l’equació i trobem: A36. Per a trobar l’equació de la posició del focus d’una lent, imposa les condicions anteriors a l’equació del constructor de lents, per a trobar l’equació:

1𝑓′ = (𝑛! − 1)

1𝑅!−1𝑅!

si fem el mateix per la posició del focus objecte es troba:

f’= -f . Podem reescriure l’equació fonamental de les lents en funció de la distància focal i queda:

1𝑠′−

1𝑠 =

1𝑓!

aquesta és l’equació que més utilitzarem per calcular la posició de les imatges creades per lents primes. Té la gran avantatge que no cal tenir en compte l’índex de refracció de la lent i tampoc depèn del radi de curvatura dels seus dioptres. L’equació ara és quasi idèntica a la trobada pels miralls, excepte el signe menys. Tipus de lents Bàsicament tenim dos tipus de lents, les convergents i les divergents. Les lents les identifiquem prolongant les superfícies que limiten la lent, si aquestes es tallen direm que la lent és convergent i si les superfícies divergeixen direm que la lent és divergent. A continuació tenim diversos exemples:

26

És fàcil veure que (a), (b) i (c) són convergents i (d), (e) i (f) són divergents. En (g) es mostra com representarem les lents convergents. En (h) es mostra com representarem les lents divergents. Per a les lents convergents la distància focal imatge és positiva, f’>0. Per a les lents divergents, la distància focal imatge és negativa, f’<0. Exemple-2: Una lent està construïda de manera que una de les seves cares és esfèrica i l’altre és plana. El seu índex de refracció val 1,52. Si la utilitzem de manera que primer hi hagi la superfície esfèrica i després la plana, determina:

a. El radi de la superfície esfèrica per aconseguir que la lent tengui una distància focal de 20,0 cm.

b. Si invertim la lent, primer posem la cara plana i després l’esfèrica, canviarà la distància focal?

Solució: Per a resoldre el problema utilitzarem la fórmula del constructor de lents o directament la que ens dóna la distància focal (recomano la primera opció i deduir la segona fàcilment de la primera).

a. Cal tenir en compte que el radi de la superfície plana és infinit, 𝑅! = ∞. Si volem trobar la distància focal, cal suposar que l’objecte es troba també a l’infinit, 𝑠 = ∞ i que el focus és el punt on es forma la imatge, 𝑓! = 𝑠! = 20,0  𝑐𝑚.

1𝑠′−

1𝑠 = 𝑛! − 1

1𝑅!−1𝑅!

     →  1𝑓′−

1∞ = 𝑛! − 1

1𝑅!−1∞

!!!= 𝑛! − 1 !

!!→ !

!"= 1,52− 1 !

!! operant, dóna per R1; 𝑅! = 10,4  𝑐𝑚

b. Si girem la lent, tindrem que 𝑅! = ∞      𝑖            𝑅! = −  10,4  𝑐𝑚. Substituïm:

1𝑓′ = 𝑛! − 1

−1𝑅!

       →    1𝑓′ = 1,52− 1

−1−10,4    →      𝑓! = 20,0  𝑐𝑚

és a dir, la distància focal d’una lent no canvia quan la girem. Aquesta propietat és vàlida per a qualsevol tipus de lent prima.

A37. Calcula la distància focal d’una lent divergent de superfícies simètriques i de radi 15,0 cm cadascuna. L’índex de refracció del vidre val 1,66. A38. Ara ja tens la distància focal de la lent divergent del problema anterior, t’hauria d’haver donat -11,4 cm. Calcula totes les característiques de la imatge que dóna aquesta lent, d’un objecte situat a 8 cm de la lent. Quina equació, de les que tens a continuació, cal utilitzar ara per a fer aquest càlcul?

𝑛 !!!− !

!= (𝑛! − 𝑛) !

!!− !

!! o !

!!− !

!= !

!!

justifica la teva elecció.

27

Construcció d’imatges formades per lents Tampoc aquí hi ha novetats, els tres raigs que determinen la posició de la imatge són pràcticament els mateixos que hem vist en el casos anteriors:

• Un raigs paral·lel a l’eix òptic surt de la lent passat pel focus. • Un raig que passa pel focus objecte i arriba a la lent, sortirà d’aquesta

paral·lelament a l’eix òptic. • Un raig de llum que passa pel centre de la lent, no es desvia.

Potència d’una lent, P, diòptria: es defineix com la inversa de la distància focal imatge expressada en metres. La unitat de la potència d’una lent rep el nom de diòptria. La Potència d’una lent divergent és negativa.

𝑃 =1𝑓′

Augment lateral d’una lent, AL=MT: es defineix com en el dioptre:

• Si l’augment és positiu, la imatge és dreta i en el mateix costat que l’objecte. És virtual.

• Si l’augment és negatiu, la imatge està invertida i a l’altre costat de la lent. La imatge és real.

𝐴! = 𝑀! =𝑦′𝑦 =

𝑠′𝑠

L’expressió és semblant a la dels miralls però ha desaparegut el signe menys.

28

POSSIBILITATS DE FORMACIÓ D’IMATGES PER LENTS

En la figura de l’esquerra l’objecte està situat a una distància superior a la 2 vegades la distància focal, s >2·f’. La imatge és real, invertida i més petita. Com més lluny està l’objecte, més a prop del focus, f’, es forma la imatge i és més petita. En la imatge de la dreta l’objecte està en s=2·f, la imatge és real, sobre 2f’, invertida i igual a l’objecte.

En la imatge de l’esquerra l’objecte es troba a, 2·f > s > f, la imatge és real, invertida i més gran. En la imatge de la dreta, l’objecte està sobre el focus, s = f, la imatge es forma l’infinit.

En la imatge de l’esquerra, l’objecte està entre el focus i la lent, f > s, dona una imatge virtual, dreta i més gran. La imatge de la dreta, en aquest cas, la lent és divergent, per a qualsevol posició de l’objecte, la imatge sempre és virtual, dreta i més petita.

29

A39. Calcula la potencia d’una lent convergent com la que mostra la figura. A40. Una càmera de caixó té una lent prima de 15,0 cm de distància focal. S’utilitza per a fer una fotografia d’una persona situada a una distància de 800 cm de la lent, tal com mostra la figura

a. Quin tipus de lents has de posar a la càmera de caixó?

b. Quina ha de ser la distància de la lent a la placa fotosensible on es recollirà la imatge? Fes un dibuix de la construcció de la imatge.

c. Si la persona té una alçada de 1,80 m, quina grandària tindrà la imatge? Calcula l’augment transversal que dóna la lent.

A41. Tens una moneda antiga que porta unes inscripcions que no pots llegir a ull nu. Pel que has vist de la formació d’imatges per lents, indica:

a. Tipus de lent utilitzaries si volem una imatge dreta i més gran. Postula una distància focal i la distància a què posaries l’objecte de la lent.

b. Fes un dibuix de la lent i els seus focus i construeix la imatge. Calcula la posició de la moneda per a tenir una imatge el doble de gran que l’objecte?

c. Dibuixa un raig addicional als tres estàndard. A42. Davant d’una lent divergent de 50 cm de distància focal, posem un objecte a 25 cm del seu centre òptic, vèrtex, i d’una alçada d’1,5 cm. Calcula la posició i la grandària de la imatge. Resol el problema numèrica i gràficament.

30

A43. Projectem una imatge a la paret amb l’ajut d’una lent: Una lent del laboratori, quan la poses a una distància de 15 cm de la paret, aconsegueixes projectar una imatge completament nítida de la finestra que està a l’altre costat de la classe a 8 m de distància.

a. Quin tipus de lent estàs utilitzant? Com és la imatge? b. Quina és la seva distància focal? Per què? c. Ara canvies de lent, amb la nova lent sigui quina sigui la distància a què la

posis de la paret és impossible visualitzar cap imatge nítida de la finestra projectada en ella. Quin tipus de lent tens ara en les mans?

A44. Mirem a través de les lents: Indica quin tipus de lent t’ha donat el professor. a. Tens la lent a una distància d’uns 5 cm del teu ull. Mires un objecte que tens sobre

la taula i veus una imatge dreta i més petita. b. Ara tens una altra lent a la mateixa distància que abans del teu ull i mires un

objecte que es troba 10cm. Veus una imatge més gran i dreta. c. Amb una nova lent, també situada a 5 cm del teu ull mires cap la finestra o la

pissarra que es troba a un mínim de 4m de tu. Ho veus tot borrós. d. Ara fas el mateix que l’apartat anterior però separes la lent del teu ull un mínim de

20 cm. La imatge que veus de la finestra és invertida i més petita. Postula una distància focal per la lent que tens entre mans.

e. Amb la lent de l’apartat anterior et vas atracant, poc a poc, cap a la finestra sense canviar la distancia entre la lent i el teu ull. Què passa?

31

COMBINACIÓ DE LENTS Quan tenim un sistema format per més d’una lent, seguirem les senzilles regles següents:

• La imatge de la primera lent és l’objecte de la segona. • L’augment lateral o transversal total del conjunt de lents és el producte dels

augments individuals de cada lent 𝑀! = 𝑀!! ·𝑀!!

Exemple-3: Tenim un sistema format per dues lents de distància focal, f’=10 cm, i separades 15 cm. Trobar la imatge final d’un objecte situat a 15 cm de la primera lent. Solució: tal i com hem dit dalt, primer trobarem la imatge que dóna la primera lent i aquesta imatge serà l’objecte de la segona lent.

a. Trobem la imatge que dóna la primera lent: Què tenim: s1 =-15 cm ;  𝑓!!=10 cm i l’equació de les lents primes. !!!!− !

!!= !

!!! substituïm les dades: !

!!!− !

!!"= !

!" trobem 𝒔𝟏! = 𝟑𝟎  𝒄𝒎

el resultat trobat ens diu que la imatge de la primera lent queda a la dreta de la segona lent. La construcció geomètrica de la primera imatge es realitza amb els raigs habituals.

b. Trobem la imatge que dona la segona lent del seu objecte que és la imatge de la primera lent. Per la segona lent tenim, un objecte que és virtual: separació a la segona lent = 30 – 15 =15 cm; à 𝑠! = 15  𝑐𝑚. I la distància focal, 𝑓!!= 10 cm.

!!!!− !

!!= !

!!! substituïm les dades: !

!!!− !

!"= !

!" trobem 𝒔𝟐! = 𝟔  𝒄𝒎

Per a trobar la segona imatge amb la construcció geomètrica, cal utilitzar nous raigs de llum que apuntin cap a la primera imatge, quan entren en la segona lent. Els nous raigs són els (d), (e) i (f), tots apunten a I1, és a dir, si no hi hagués la segona lent arribarien a la imatge I1, i són els tres raigs característics per a trobar la imatge de la segona lent.

a. El (d) passa pel centre de la lent i no es desvia.

32

b. L’(e) passa pel focus objecta de la segona lent apuntant a I1, aquest surt paral·lel a l’eix en sortir de la segona lent.

c. (f) entre paral·lel a l’eix i sortirà de la segona lent passat pel seu focus imatge.

c. Anem a veure els augments de cada lent i el total: • Augment de la primera lent: 𝐴!! = 𝑀!! =

!!!= !!

!= !"

!!"= −2

• Augment de la segona lent:  𝐴!! = 𝑀!! =!!!= !!

!= !

!"= 0,4

• Quin és l’augment total: 𝑀!! = 𝑀!! ·𝑀!! = −2 · 0,4 = −0,8 La imatge final és invertida i lleugerament més petita.

Exemple-4. Distància focal d’una lent divergent. Es pot utilitzar l’acoblament de lents per a calcular la distància focal d’una lent divergent desconeguda. Per fer-ho, cal utilitzar una lent convergent de distancia focal coneguda i més curta, en valor absolut, que la distància focal de la lent divergent. Es fa un muntatge com el que mostra la figura adjunta. Suposa que la distància focal de la lent convergent sigui, f’=16 cm, i quan s’acobla a la lent divergent, dóna una distància focal conjunta de 28,5 cm, com mostra la figura. Llavors, la lent divergent té una distància focal, 𝑓!! i d’un objecte situat a 16 cm dóna la seva imatge a 28,5 cm. Per a fer el càlcul és suficient utilitzar l’equació de les lents primes: !!!− !

!= !

!! substituïm i tenim !

!",!− !

!"= !

!!! ; trobem: 𝑓!! = −36,5  𝑐𝑚

A45. Què passaria si girem la lent? És a dir, primer hi hagués la divergent i després la convergent?

33

Problemes d’Òptica Geomètrica 1. Selectivitat: El raig de llum d'un làser es dirigeix cap a la superfície de l'aigua que hi

ha dins un tassó per la banda de baix com es mostra a la figura esquerra. a. Es reflectirà el raig

totalment a la superfície entre l'aigua i l'aire? (Escriu els càlculs que facis per respondre i usa 1,33 per a l'índex de refracció de l'aigua.)

b. Quin és l'angle límit (o angle crític) entre l'oli (n = 1,5) i l'aigua (n = 1,33)?

c. Calcula si posar oli amb un índex de refracció n = 1,5 damunt l'aigua (figura dreta) serviria perquè el raig del làser no es reflectís totalment i pogués sortir per la part superior de l'oli. Dóna la resposta descrivint o dibuixant la trajectòria del raig.

2. Tenim un peix dintre d’una peixera de forma esfèrica i de 25 cm de radi que està

plena d’aigua (n=4/3). Dintre de la peixera hi ha un peix que es troba a 15 cm del vidre de la peixera. A l’altre costat del vidre, fora de la peixera, un moix es mira el peix amb entusiasme. A quina distància i quina grandària veurà el moix el peix? Sol: s’=-13,2 cm ; AL=1,18.

3. En el fons d’un piscina de nens ha caigut una joguina. La profunditat de la piscina és

de 0,8 m i el nen, que està a la vora, s’està mirant la joguina: a. Fes un dibuix de la marxa dels raigs de llum. b. Indica a quina profunditat veurà el nen la joguina. c. Si el seu pare, que està al costat del nen, també mira la joguina, la veurà en

el mateix lloc que el nen? d. Com serà la imatge, més gran, més petita o igual? Serà una imatge real o

virtual?. Sol: b) 0,6 m.

4. Els índex de refracció de la llum vermella i la violeta dintre d’un vidre de flint són respectivament 1,60 i 1,64. Calcula l’angle que formaran aquests dos colors dins el vidre en incidir un raig de llum blanca sobre la superfície externa de l’esmentat vidre amb un angle de 40º 30’.

5. Calcula quin és el mínim mirall que has de posar a casa per aconseguir poder veure

la teva imatge complerta? A quina alçada ha d’estar la part de dalt del mirall? Sol: L= h/2, on h és l’alçada de la persona; la part de dalt del mirall ha d’estar a l’alçada dels ulls.

FÍSICA Model 3. Opció B 3/4

PREGUNTES NOMÉS PER A L'OPCIÓ B

×

×

×

× ×

34

6. Tenim dos miralls que formen un angle recte. Davant

d’ells hi ha un soldat de joguina. Un observador es troba més enfora que el soldat, a més de veure directament el soldat, que serà una imatge real, quantes imatges virtuals, a través dels miralls, veurà l’observador del soldat?. Sol: 3.

7. Un objecte de 5 mm d'altura es col·loca a 80 cm de distància davant d'un mirall de

70 cm de radi, i després es col·loca a la mateixa distància davant d'un mirall de –70 cm de radi. Quina és la mida de les imatges i amb quin mirall és la imatge més gran? Sol: s’= 24,35 cm, AL=0,30 ; s’=-62,2 cm , AL=-0,78.

8. Selectivitat: Un misto es col·loca a 20 cm davant un mirall esfèric de concavitat

desconeguda. La imatge formada és virtual, directa i el doble de gran que el misto. a. A quina distància i a quin costat del mirall s’ha format la imatge? b. Quin és el radi del mirall? Indica explícitament si el mirall és còncau o

convex. c. Fes un diagrama de raigs per determinar la imatge del misto.

Sol: s’=40 cm ; R=-80 cm.

9. Un mirall retrovisor d’un cotxe té un radi de 2m. Amb el cotxe aturat, un objecte que està a 5 m del mirall forma una imatge de 8 cm d’alçada.

a. Quina és l’alçada real d’aquest objecte. b. Fes un esquema òptic indicant la marxa dels raig i caracteritzant la imatge. c. Si el cotxe es posa en marxa i s’allunya de l’objecte, descriu que li passarà a

la imatge. Fes el dibuix. Sol: y=48 cm

10. En el museu de la Ciència hi havia una sala de miralls. Quan em posava davant d’un mirall esfèric a 80 cm de distància i observo la meva imatge, la veig invertida i d’una alçada que és la meitat de la meva:

a. Justifica el tipus de mirall i calcula el seu radi de curvatura. b. Fer un esquema del camí dels raig que justifiquin la imatge. c. Dibuixa un raig que vagi de l’objecte a la imatge que no sigui un dels

principals. Sol: R=-53,3 cm

11. Una lent de vidre d’índex de refracció n = 1,7 té una potència de −2 diòptries i una cara plana. Quin és el radi de l’altra cara? Dibuixa la forma de la lent. Sol: /R/=35 cm.

12. Es vol enfocar el filament d'una bombeta sobre una pantalla amb una lent de distància focal +100 mm. Quina és la distància entre el filament i la pantalla si la imatge enfocada es forma posant la lent a 12 cm del filament?. Sol: s’=60 cm ; distància 72 cm.

35

13. Una moneda d’un cèntim d’euro es posa a 45 cm davant una lent divergent de distància focal –300 mm. Fes un diagrama amb els tres raigs principals per mostrar on es forma la seva imatge.

14. A quina distància d'una lent convergent de distància focal “f ” hem de col·locar un

objecte perquè l'augment transversal sigui igual a 2? Dibuixa l'objecte i la lent i fes un diagrama de raigs per trobar la imatge. Sol: s=- f/2.

15. Davant d’una lent de -5 diòptries i a 50 cm de distància es col·loca un objecte de de

2,5 cm d’alçada i perpendicular a l’eix. Determinar la posició i la grandària de la imatge. Resol el problema numèrica i gràficament.

16. Una lent de 2 D està situada davant d’un mirall pla tal i com mostra la figura. En el

punt “P” que es troba a 25cm del mirall, hi ha un objecte que es reflexa en el mirall de la qual la seva imatge s’utilitza com objecte respecte de la lent. La distància entre la lent i el mirall és de 2,0 m. Determina la posició de la imatge formada per la lent i el seu augment transversal. Sol: s’=0,643 m ; AL=-0,29.

36

Problemes proposats per la UIB

37

38

39

40