Oppenheim
19
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES JEFFERSON DE LA CRUZ TRANSFORMADA Z Capítulo 3 del libro de Tratamiento de Señales en Tiempo Discreto Oppenheim Ejercicios 3.1. Determine la transformada Z incluyendo su región de convergencia de las siguientes secuencias. a) ( 1 2 ) [] ( 1 2 ) [] = 1 1− 1 2 −1 Donde su R.O.C 1 2 −1 >1 1 2 >1 || > 1 2 b) −( 1 2 ) [− − 1] [] = − ( 1 2 ) [− − 1] [] = − ( 1 2 ) − [ − 1] = − 1 = + 1 [] = − ( 1 2 ) −−1 [] [] = −1(2)(2) [] Ζ([]) = −2 1 1 − 2 −1 Ζ([ − 1]) = −2 −1 1 − 2 −1
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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIN LATACUNGA
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES
JEFFERSON DE LA CRUZ
TRANSFORMADA Z
Captulo 3 del libro de Tratamiento de Seales en Tiempo Discreto Oppenheim
Ejercicios
3.1. Determine la transformada Z incluyendo su regin de convergencia de las
siguientes secuencias.
a) (1
2)
[]
(1
2)
[] =1
1 12
1
Donde su R.O.C
1
21 > 1
1
2> 1
|| > 1
2
b) (1
2) [ 1]
[] = (1
2)
[ 1]
[] = (1
2)
[ 1]
= 1 = + 1
[] = (1
2)
1
[]
[] = 1(2)(2) []
([]) = 2 1
1 21
([ 1]) = 21
1 21
-
([ 1]) = 2(1)1
1 2(1)1
([ 1]) = 2
1 2
() = 2
2
12
22
() =1
1 12
1
|| 0
-
3.2. Determine la transformada Z de la secuencia
[] = {, 0 1,
[] = [] ( ) [ ]
[ []] =
() =
[
1
1 1]
= (2
(1 1)2 ) =
1
(1 1)2 || > 1
[( ) [ ]] = ()0
= (2
(1 1)2) =
1
(1 1)2 || > 1
() =1 1
(1 1)2=
1(1 )
(1 1)2
3.3. Determine la transformada Z delas siguientes secuencias. Incluya en las respuestas
la regin de convergencia en el plano Z, y dibuje el diagrama polocero. Exprese todas
las sumas en forma cerrada; puede ser complejo.
a) [] = || , 0 > || > 1.
() =
1
=
+
=0
() =
1 +
1
1 1=
1 +
=() + (1 )
(1 )()
=(1 2)
(1 )() || < || 1
2
1 1 +
1
21
1 1
21 1
1
21 +
1
42 +
1
21
1
21 +
1
42
1
42
1
42
1
83
-
[] = (1
2)
[]
b) () =1
1+1
21
, || 1
2
Por el mtodo de fracciones parciales:
() =1
12
1
1 +34
1 +18
2=
1 12
1
(1 +14
1) (1 +12
1) || >
1
2
=
(1 +14
1)+
(1 +12
1)
1 1
21 = (1 +
1
21) + (1 +
1
41)
1 = +
1
2=
1
2 +
1
4
= 3 = 4
-
() =3
(1 +14
1)+
4
(1 +12
1) || >
12
[] = [3 (1
4)
+ 4 (1
3)
] []
d) () =1
1
21
11
42
, || >1
2
() =1
12
1
1 14
2=
1 12
1
(1 12
1) (1 +12
1) || >
1
2
=
(1 12
1)+
(1 +12
1)
1 1
21 = (1 +
1
21) + (1
1
21)
1 = +
1
2=
1
2
1
2
= 0 = 1
() =1
(1 +12
1) || >
12
[] = [(1
2)
] []
e) () =11
1, || > |
1
|
1 1 + 1
1 +1
1
1
(
1
) 1 (
1
2) 2 +
( 1 )1
( 1 )1 + ( 1
) 2
-
( 1
) 2
[] = [] (1 2)(+1)[]
3.7. La entrada de un sistema causal e invariante con el tiempo es
[] = [ 1] + (1
2)
[].
La transformada Z de la salida del sistema es
() =
12
1
(1 12
1) (1 + 1)
a) Determine H(z), la transformada Z de la respuesta al impulso del sistema.
Asegrese de especificar su regin de convergencia.
[] = [ 1] + (1
2)
[]
() = 1
1 1+
1
1 12
1
1
2< || < 1
() =1 1 1 +
12
1
(1 12
1) (1 1)=
12
1
(1 12
1) (1 1)
() =()
()
() =
12
1
(1 12
1) (1 + 1)
(1 12
1) (1 1)
12
1
() =1 1
1 + 1
() : || > 1
b) Cul es la regin de convergencia de Y(z)?
-
() =
12
1
(1 12
1) (1 + 1)
La ROC de () es la regin en el plano z que satisface las dos
limitaciones || >1
2 || > 1
(): || > 1
c) Determine y[n].
() =
12
1
(1 12
1) (1 + 1) || > 1
Por el mtodo de fracciones parciales:
() =
12
1
(1 12
1) (1 + 1)=
12
1
(1 12
1) (1 + 1) || > 1
=
(1 12
1)+
(1 + 1)
1
21 = (1 + 1) + (1
1
21)
0 = +
1
2=
1
2
= 1
3 =
1
3
() =
13
(1 12
1)+
13
(1 + 1) || > 1
[] = 1
3(
1
2)
[] +1
3(1)[]
3.7. La funcin de transferencia de un sistema causal e invariante con el
tiempo es
-
() =1 1
1 +34
1
La entrada al sistema es
[] = (1
3)
[] + [ 1]
[] = (1
3)
[] + [ 1]
La transformada z es:
() =1
(1 13
1)
1
(1 1)
() =(1 1) (1
13
1)
(1 13
1) (1 1)=
23
1
(1 13
1) (1 1)
1
3< || < 1
a) Calcule la respuesta al impulso del sistema, [].
() =1 1
1 +34
1=
1
1 +34
1
1
1 +34
1
[]
[] = (1
3)
[] (3
4)
1
[ 1]
b) Calcule la salida [].
() =()
()
() = () ()
() =
23
1
(1 13
1) (1 1) (
1 1
1 +34
1)
() =
23
1
(1 13
1) (1 1) (
1 1
1 +34
1)
-
() =
23
1
(1 13
1) (1 +34
1) || >
3
4
() =
23
1
(1 13
1) (1 +34
1) || >
34
=
(1 13
1)+
(1 +34
1)
2
31 = (1 +
3
41) + (1
1
31)
0 = +
2
3=
3
4
1
3
= 8
13 =
8
13
() =
813
(1 13
1)+
813
(1 +34
1) || > 1
[] = 8
13(
1
3)
[] +8
13(
3
4)
[]
c) Es estable el sistema? Es [] absolutamente sumable?
() || >3
4 Y se encuentra dentro del crculo de radio 1.
Por tanto [] es absolutamente sumable.
3.9. Un sistema LTI causal tiene como respuesta al impulso h[n]. Su transformada Z es
() =1 + 1
(1 12
1) (1 +14
1)
a) Cul es la regin de convergencia de ()?
-
() =1 + 1
(1 12
1) (1 +14
1)
Por el mtodo de fracciones parciales:
() =1 + 1
(1 12
1) (1 +14
1)=
(1 12
1)+
(1 +14
1)
=
(1 12
1)+
(1 +14
1)
1 + 1 = (1 +14
1) + (1 1
21)
1 = +
1 =1
4
1
2
= 2 = 1
() =2
(1 12
1)
1
(1 +14
1)
[] || >1
2
b) Es estable el sistema? Explique su respuesta.
Es estable debido a que el sistema es causal y los polos del sistema se
encuentran dentro del crculo de radio 1 en el diagrama de polos y ceros.
c) Obtenga la transformada Z, (), de la entrada [] que produce la salida
[] = 1
3(
1
4)
[] 4
3(2)[ 1]
() =
13
1 +14
1+
43
1 21
() =
13
(1 21) +43 (1 +
14
1)
(1 +14
1) (1 21)
-
=1 + 1
(1 +14
1) (1 21)
1
4< || < 2
() =()
()
() =()
()
() =1 + 1
(1 +14
1) (1 21)
(1 12
1) (1 +14
1)
1 + 1
=1
12
1
1 21 || < 2
() =1
1 21
12
1
1 21 || < 2
[] = (2)[ 1] +1
2(2)1[]
d) Obtenga la respuesta al impulso [] del sistema.
() =2
(1 12
1)
1
(1 +14
1) || >
12
[] = 2 (1
2)
[] (1
4)
[]
3.12. Dibuje el diagrama polo-cero de cada una de las siguientes
transformadas Z y sombree la regin de convergencia:
a) 1() =1
1
21
1+21, : || < 2
1() =1
12
1
1 + 21=
( +12)
( + 2)
Polos:
+ 2 = 0 = 2
-
Ceros:
+1
2= 0 =
1
2
b) 2() =1
1
31
(1+1
21)(1
2
31)
, 2[]
2() =1
13
1
(1 +12
1) (1 23
1)=
( 13)
( +12) (
23)
Polos:
+1
2= 0 =
1
2
2
3= 0 =
2
3
Ceros:
1
3= 0 =
1
3
= 0
: || >2
3
c) 3() =1+122
113
61+2
, 3[]
3() =2 + 2
2 136 + 1
=( 1)( + 2)
( 32) (
23)
Polos:
3
2= 0 =
3
2
2
3= 0 =
2
3
-
Ceros:
+ 2 = 0 = 2
1 = 0 = 1
:2
3< ||
2
3
-
() =
53
1
(1 13
1) (1 23
1)
(1 13
1) (1 21)
53
1
() =(1 21)
(1 23
1) || >
2
3
b) Obtenga la respuesta al impulso [] del sistema.
() =(1 21)
(1 23
1)=
1
1 23
1
21
1 23
1 || >
2
3
[] = (2
3)
[] 2 (2
3)
1
[ 1]
[] = (2
3)
([] 3[ 1])
c) Escriba una ecuacin en diferencias que sea vericada por las seales
de entrada y de salida.
() =()
()=
1 21
1 23
1
() (1 2
31) = ()(1 21)
[] 2
3[ 1] = [] 2[ 1]
d) Es el sistema estable? Es causal?
El sistema es estable porque la esta dentro del circulo de radio 1. Es causal ya que el impulso responde [] = 0 = 0
3.18 Un sistema lineal, invariante con el tiempo y causal tiene como funcin de
transferencia
() =1 + 21 + 2
(1 +12
1) (1 1)
-
a) Obtenga la respuesta al impulso del sistema, [].
() =1 + 21 (1 +
12
1)
(1 +12
1) (1 1)
=1
(1 +12
1) (1 1)+
21
(1 1)
Por el mtodo de fracciones parciales:
=1
(1 +12
1) (1 1)=
1 +12
1+
1 1
=
1 +12
1+
1 1
1 = (1 1) + (1 +1
21)
1 = +
0 = +1
2
=1
3 =
2
3
() =
13
1 +12
1+
23
1 1+
21
(1 1)
[] =1
3(
1
2)
[] +2
3[] + 2[ 1]
[] =1
3(
1
2)
[] +8
3[] 2[]
b) Obtenga la salida del sistema, [] cuando la entrada es[] = 2.
[] = (2 ) []
(2 ) = 2 +
13
1 +12
2
+
83
1
2
-
(2 ) = 2 +
13
1 12
+
83
1 +
(2 ) =
2
32 +
2
[] =2
32 +
2
(2
)
3.19 Para cada una de las siguientes parejas de transformadas Z de seales de entrada,
X(z) y funciones de transferencia, H(z), determine la regin de convergencia de
la transformada Z de la salida,Y(z):
a) .
() =1
1 +12
1, || >
1
2
() =1
1 14
1, || >
1
4
() =()
()
() = () ()
() =1
1 +12
1
1
1 14
1=
1
(1 +12
1) (1 14
1)
: || >1
2
b) Debido a que es causal la regin de convergencia se extiende hacia afuera a
partir del polo ms externo.
() =1
1 21, || < 2
() =1
1 13
1, || >
1
3
() = () ()
() =1
1 21
1
1 13
1=
1
(1 21) (1 13
1)
-
:1
3< || < 2
c) Como es una secuencia bilateral, la regin de convergencia es un anillo
en el plano z.
() =1
(1 15
1) (1 + 31),
1
5< || > 3
() =1 + 31
1 +13
1, || >
1
3
() = () ()
() =1
(1 15
1) (1 + 31)
1 + 31
1 +13
1
=1
(1 15
1) (1 +13
1)
: || >1
3
3.20 Para cada una de las siguientes parejas de transformadas Z de entrada y salida,
X(z) e Y(z), determine la regin de convergencia de la funcin de transferencia
H(z):
a)
() =1
1 34
1, ||
2
3
() =()
()
() =1
1 +23
1
1 34
1
1
-
() =1
34
1
1 +23
1
: || >2
3
b)
() =1
1 +13
1, ||
1
3
() =()
()
() =1
(1 16
1) (1 +13
1)
1 +13
1
1
() =1
(1 16
1)
: || >1
6
