2n de Batxillerat jvsirerol

ONES

Superposició d’ones superficials circulars

2

ONES     Introducció Imagina un suro en una superfície d’aigua en calma absoluta. Si llances una pedra a una certa distància del suro, veuràs que després d’uns instants el suro comença a oscil·lar amunt i avall. Part de l’energia de la pedra arriba fins al suro gràcies a l’aigua. El pas de l’energia de la pedra al suro es realitza a través de les ondulacions, generades per l’impacte de la pedra, que s’estenen sobre la superfície de l’aigua. Si hi hagués més suros en diferents punts sobre la superfície d’aigua, tots entrarien en moviment gràcies a les ondulacions de l’aigua, cadascun dels suros rep una petita part de l’energia de les ondulacions que es van estenent per a tota la superfície de l’aigua. Una qüestió important en aquest procés és que les ondulacions transporten energia però no transporten matèria . És a dir, les molècules de la superfície de l’aigua oscil·len verticalment entorn de la posició normal, mentre que les ondulacions i l’energia s’estenen horitzontalment sobre la superfície de l’aigua. La pertorbació es transmet en la superfície de l’aigua però no amb l’aigua.

Les ondulacions que s’estenen sobre la superfície de l’aigua són un cas particular d’un fenomen més general que es denomina MOVIMENT ONDULATORI, o senzillament, ONES. En un mitjà on es propaga una ona, les partícules del medi estan sotmeses a petites pertorbacions mentre que la pertorbació en si, l’energia, es transmet a gran distància.

Així, una ONA és una pertorbació, per exemple una vibració, que es propaga a través d’un medi si l’ona és mecànica. L’ONA, transmet energia sense el transport de matèria.

Exemples de fenòmens ondulatoris:

• El so: es produeix per la vibració de les partícules del medi, per exemple l’aire, aquesta vibració es transmet i es propaga a les partícules veïnes.

• Els terratrèmols: vibracions que es transmeten per l’interior i/o en la superfície de la Terra.

• La llum: és la variació un camp elèctric i d’un camp magnètic que es propaguen. Aquesta propagació no necessita suport material.

• Ones marines: el moviment de les partícules es transmet d’unes a altres, gràcies a la tensió superficial, i es manifesta en les ondulacions en el mar.

• Una sacsada a l’extrem d’una corda. Es propaga el pols.

La majoria dels fenòmens ondulatoris esmentats i que ens són familiars es transmeten en una superfície o per l’espai en tres dimensions. En aquests casos, l’energia es distribueix per tota la superfície de l’ona, superfície que va augmentant a mida que l’ona s’estén. Llavors la pertorbació es va esmorteint, és a dir, l’amplitud de les oscil·lacions de les partícules del medi es va reduint. Ho veurem en l’apartat d’energia. Per a fer un estudi matemàtic més fàcil, escollirem un cas d’una ona unidimensional ja que, en aquest cas, la pertorbació progressa uniformement sense esmorteir-se.

3

ONES: tipus d’ones:

a. Per la seva naturalesa les classifiquem en: – Ones mecàniques o ones de matèria. Necessiten un medi material per a

la seva propagació, com el so, terratrèmols, ... . – Ones electromagnètiques, oem. Com la llum, raigs X, làser, ... . Es

transmeten també en el buit.

b. Per la seva propagació: – Ones transversals. La pertorbació, modificació de la posició, aparició

de camps, ... , és normal a la direcció de la propagació: Ex: ones oem, ones en una corda, onades en la superfície del mar, ... .

– Ones longitudinals. La pertorbació coincideix en la direcció de propagació. Ex: el so és el cas més familiar, però hi han altres casos.

c. Per les dimensions:

– En una dimensió. Ones en una corda. – En dues: ones superficials

– En tres dimensions. Es propaguen a l’espai, so, oem.

Ones en 2 i 3 dimensions. Front d’ona i raig

Les ones en la superfície d’un líquid, en una membrana elàstica, ... , es propaguen en dues dimensions.

Les ones emeses per un focus puntual en totes direccions són tridimensionals.

Front d’ona: és el conjunt dels punts del medi on ha arribat l’ona simultàniament.

El front d’ona és: • Un punt, per ones d’una dimensió.

• Una línia, en ones de dues dimensions.

• Una superfície, en ones tridimensionals.

Raig: és una línia, en la direcció de propagació, que és perpendicular al front d’ona corresponent.

Descripció matemàtica d’una ona mecànica En la classificació presentada, podeu veure que un tipus d’ones són les electromagnètiques que es poden propagar també pel buit. Les propietats d’aquestes ones no es poden estudiar amb les lleis de Newton, però pel que fa a la seva propagació, ens seran útils moltes de les coses que deduirem aquí per a les ones mecàniques.

6.6 FENÒMENS ONDULATORIS:

6.6.1. Front d’ona.Principi de Huygens:

Front d’ona: es denomina front d’ona al lloc geomètric de tots els punts del medi afectats per la perturbació en el mateix instant.Com que a tots aquests punts arriba la pertorbació en el mateix instant de temps, estan en el mateix estat de vibració i per tant en la mateixa fase.

Perque es produeixin fronts d ’ona s imètr i c s com e l s representats a les figures, el medi ha de ser homogeni o i s ò t r o p ( l e s m a t e i x e s propietats en tots els punts i en totes les direccions)

19

4

La descripció matemàtica d’una ona mecànica la farem per ones unidimensionals i, per fer-ho encara més fàcil, començarem per l’estudi de la propagació d’un pols d’ona, una sacsejada, a l’extrem d’una corda. Com podeu veure en el dibuix, la pertorbació creada a la corda no es queda al costat de la ma que l’ha generada. Es propaga per la corda sense canviar de forma ni esmorteir-se. Això passa perquè l’energia no s’ha de repartir, no es dispersa, tan sols té el camí de la corda. Com sempre, em podràs dir, que això no és cert ja que hi ha fricció amb l’aire i les deformacions de la corda fa que aquesta s’escalfi i, per tant, es dissiparà energia i l’amplitud del pols anirà disminuint. Tot això és cert, però en aquest estudi no tindrem en compte aquests efectes dissipatius.

Novament observa que no hi ha cap punt de la corda que es desplaci en la direcció del moviment en què es propaga el pols d’ona. Cada punt de la corda realitza un desplaçament, que és perpendicular al de la propagació del pols i de l’energia, i retorna a la seva posició inicial. Per tant, mentre el desplaçament de cada punt de la corda és al llarg de l’eix “y” la pertorbació en si mateixa, el pols, es propaga al llarg de l’eix “x”. Així, es tracte d’un pols d’ona transversal.

Què cerquem per a descriure matemàticament una ona? Volem una funció que ens indiqui quina és la separació de cada punt de la corda respecte de la seva posició normal per a cada instant. En aquest cas, un pols d’ona, el problema es redueix a l’estudi de la propagació del pols al llarg de la corda. Això imposa els següents requisits a la funció que cerquem.

1. Com ja hem dit, si considerem que la corda s’estén al llarg de l’eix “x” i el desplaçament de cada punt, la elongació, de la corda és al llarg de l’eix “y”, el que volem trobar és una funció que ens doni el valor de “y” en cada punt de la corda “x” i per a cada instant “t”. Matemàticament ho expressem:

𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑡)

aquesta serà una funció d’ona i, com podeu veure depèn de dues variables, “x” i “t”.

2. Volem que la funció del pols es repeteixi exactament igual en el punt “x” en l’instant “t” que en el punt “𝑥 + ∆𝑥”en l’instant “𝑡 + ∆𝑡 “.Per tant la funció ha de complir la següent condició de viatgera:

v

5

𝑓 𝑥, 𝑡 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 , 𝑡 + ∆𝑡

On s’ha de complir que:

𝑣 =∆𝑥∆𝑡

aquesta és la velocitat de propagació de l’ona, també denominada velocitat de fase. El problema que tenim ara és, quina ha de ser la relació entre les variables “x” i “t” per a que la funció compleixi la condició d’abans on el pols ha d’avançar cap la dreta, sentit positiu? No farem una demostració, donarem directament la solució i comprovaràs que funciona bé:

La relació entre les variables en la funció ha de ser: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑓 𝑥 − 𝑣 𝑡

representa una pertorbació “f ” que es propaga, en el temps, en sentit positiu al llarg de l’eix “x” amb una velocitat de mòdul “ 𝑣 ”.

De la mateixa manera, la funció: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑓 𝑥 + 𝑣 𝑡 representa una pertorbació “f ” que es propaga, en el temps, en sentit negatiu al llarg de l’eix “x” amb una velocitat de mòdul “ 𝑣 ”.

A1. Demostra que les dues funcions donades “𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑓 𝑥 ± 𝑣 𝑡 ” compleixen la condició de pertorbació viatgera:

𝑓 𝑥, 𝑡 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 , 𝑡 + ∆𝑡

Trens d’ones. Pertorbacions harmòniques

Fins ara hem parlat d’un pols individual que es propaga per una corda, però és molt més interesant el cas de pertorbacions continuades, una darrera l’altre, d’una manera contínua ja que s’ajusten molt més a la realitat. En aquest cas ja no parlarem de pols sinó de tren d’ones o més senzillament ONES.

Tampoc hem dit res de com ha de ser la funció “f “, és a dir, no hem especificat com és la pertorbació que té cada punt de la corda quan hi arriba el pols. Hi ha molt bones raons per a suposar que aquesta funció sigui harmònica, tipus sinus o cosinus. Una de les raons és que molts fenòmens reals la pertorbació s’ajusta, raonablement, a una funció harmònica. La segona, encara que molts fenòmens ondulatoris no són harmònics, en general, es poden estudiar com a superposició de diverses funcions harmòniques. Aquest últim cas no l’estudiarem en aquest curs. Així, pel cas de la corda, suposarem que algú sacseja, de forma continuada, l’extrem de la corda realitzant un MHS i que aquesta és la pertorbació harmònica que es propaga per la corda formant un tren d’ones, una ONA. Com mostra la imatge que tens a continuació

6

La funció que representa aquesta ona que es propaga en sentit positiu al llarg de l’eix x amb velocitat 𝑣 , és una funció també harmònica, per tant, “ 𝑓 ∝ 𝑠𝑖𝑛𝜙        𝑜        𝑓 ∝ 𝑐𝑜𝑠𝜙. Així ens quedaria:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝑘 𝑥 − 𝑣 𝑡 Podem imaginar que cada punt de la corda realitza un MHS a mida que es transmet l’ona, tal i com mostra la imatge que teniu a la dreta. Aquesta, representa una fotografia de l’ona, o sigui, s’ha fixat el temps. A2. Després d’estudiar el tema de MHS, has de saber donar raons per la introducció de les constants “A” i “k”. Especifica, a més, les unitats que han de tenir cadascuna. Al igual que en el MHS, perfectament hagéssim pogut utilitzar la funció cosinus. Segurament es tracta d’una qüestió de preferència, per la meva part, per la funció sinus. Doble periodicitat dels moviments ondulatoris Les funcions harmòniques solució, que hem donat, són periòdiques i com depenen de dues variables, seran periòdiques respecte de cadascuna de les variables.

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝑘 𝑥 − 𝑣 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝑘𝑣𝑡

• Si fixem el temps, fem una fotografia de l’ona, la funció periòdica trobada tan sols depèn de la posició i en queda una funció del tipus:

𝑦 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘 · 𝑥) ;

v

y

x

7

• Si fixem la posició, x=cte, ens queda

una funció que tan sols depèn del temps. És a dir, ens queda l’equació d’un MHS.

𝑦 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑣 · 𝑡 ; És en aquest sentit que es diu que el moviment ondulatori és Doblement Periòdic. Constants de la funció d’ona Els dibuixos anteriors ens poden servir per entendre dos conceptes molt importants:

• El primer és nou. En el primer gràfic es mostra la distància que hi ha entre dos punts consecutius, al llarg de l’eix “x”, que tenen el mateix estat de vibració, aquesta distància rep el nom de LONGITUD D’ONA, 𝝀. Per altra banda, sabem que una funció sinus o cosinus es repeteix quan l’angle canvia en “2𝜋” radiants. Dit d’una altra manera: Si en el punt “x” la funció val “y”, la distància que hem de recórrer per a trobar un altre punt on la funció prengui el mateix valor “y” és “𝜆 “ i, a la vegada, l’angle canvia en 2𝜋. Aquesta idea ens ajuda a trobar una relació interesant:

𝑦 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛  𝑘 · 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛  𝑘 𝑥 + 𝜆      ;  ⇒ 𝑘 · 𝜆 = 2 · 𝜋

llavors trobem: 𝑘 = !!!

“k” rep el nom de Número d’ona i, com saps, té unitats de radiants partit per metro, “𝑟𝑎𝑑 𝑚” . Per entendre el significat de “k” suposa per un moment que no tingués unitats, que fos un nombre adimensional, llavors cada membre de l’equació següent tindria unitats de longitud, en el SI de metres:

𝑘 · 𝜆 = 2 · 𝜋 i “k” representa el número de longituds d’ona, 𝜆, que hi ha en una distància de 2𝜋 metres. Aquest és significat habitual del número d’ona.

• Tornem al Període, T, Si ens fixem en un punt, x=constant , la funció d’ona es redueix a un MHS. El temps que tarda el punt observat en realitzar una oscil·lació complerta és el Període, T.

𝑦 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛  𝑘𝑣 · 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑘𝑣 𝑡 + 𝑇 = 𝐴𝑠𝑖𝑛  (𝑘𝑣 · 𝑡 + 𝑘𝑣 · 𝑇) d’on podem deduir pel període: 𝑘𝑣 · 𝑇 = 2𝜋 per altra banda, també es compleix:

𝑦 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑣. 𝑡 és idèntica a la del MHS 𝑦 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔 · 𝑡)

on trobem una nova relació: 𝑘 · 𝑣 = 𝜔 o bé 𝑣 = !!

.

8

Substituïm en l’equació trobada pel període i tornem a trobar:

𝑇 = !!!

Al igual que hem fet amb “k”, podem interpretar la pulsació o freqüència angular “𝜔“ com el número de períodes, T, que hi ha al llarg de 2𝜋 segons. Ja que: 𝜔 · 𝑇 = 2𝜋 També es pot entendre el període com el temps necessari que tarda l’ona en recórrer una distància igual a la longitud d’ona. Que és el mateix que dir que és el temps que tarda la longitud d’ona en passar per un punt.

• La freqüència, f , és la inversa del període: 𝑓 = !!

La freqüència depèn de la freqüència del focus que provoca la pertorbació. Combinant les dues expressions del període trobem novament la relació entre la pulsació i la freqüència:

𝜔 = 2𝜋 · 𝑓

• La Fase, 𝝓: Al igual que en el moviment vibratori, és l’angle de la funció harmònica expressat en radiants.

𝜙 = 𝑘 𝑥 − 𝑣 𝑡

Velocitat de propagació de les ones. Velocitat de fase. Si combinem l’expressió trobada en la part espacial de la funció d’ona com és el número d’ona, 𝑘 = !!

! , amb les trobades en la part temporal de la funció d’ona com

𝑘 · 𝑣 = 𝜔 ; i 𝜔 = 2𝜋 · 𝑓 ; trobem una importantíssima relació per a la velocitat de propagació de les ones:

𝑣 = 𝜆 · 𝑓 la freqüència de l’ona multiplicada per la longitud d’ona és igual a la velocitat de propagació de l’ona. Aquest resultat es pot deduir de forma intuïtiva si tenim clar els conceptes de longitud d’ona i freqüència. La freqüència és el número d’oscil·lacions verticals complertes que realitza un punt “x” per unitat de temps. I una oscil·lació complerta del punt “x” es produeix quan per ell passa una longitud d’ona complerta, per tant, podem dir que la freqüència és el número de longituds d’ona que passen pel punt “x” per unitat de temps. Si multipliquem el número de longituds d’ona que passen per “x” per segon, pels metres de la longitud d’ona, tenim la velocitat de propagació de l’ona. La velocitat de propagació d’una ona mecànica depèn del medi on es propaga. Quan canvia de medi, la velocitat canvia. Llavors cal preguntar-se, què es modifica quan una

9

ona mecànica canvia de medi, la freqüència, la longitud d’ona o les dues coses. La resposta és que canvia la longitud d’ona i la freqüència roman constant. A continuació tens l’expressió que dona la velocitat de propagació de les ones en una corda:

𝑣 =𝐹!"#$%ó𝑚 𝐿

la velocitat depèn de la tensió de la corda i de la densitat lineal de la corda: 𝜌 = 𝑚 𝐿. Tampoc has de confondre la velocitat de propagació de l’ona, que és constant en un determinat medi, amb la velocitat d’oscil·lació de les partícules del medi afectades per l’ona i que ve donada per la derivada de la funció d’ona respecte a la variable temps:

𝑣! =𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)𝜕𝑡 =

𝜕 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡𝜕𝑡 = −𝐴𝜔 · 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

la funció trobada amb aquesta derivada ens donarà la velocitat d’oscil·lació de qualsevol partícula del medi, per qualsevol “x” en qualsevol instant “t”. Expressió compacte de la funció d’ona Les relacions trobades ens permeten escriure la funció d’ona de forma més compacte:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 Aquesta funció, tal i com està, sempre val zero quan, x=0 i t=0. Aquesta no serà sempre la situació que ens trobarem, per tant, al igual que vam fer pel MHS, aquí també afegirem una constant de fase, 𝜑!: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑! o 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑! Si l’ona es propaga en sentit positiu. Així com:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜑! o 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜑!

si l’ona es propaga en sentit negatiu. En funció d’aquestes constants, “ k” i “𝜔”, la millor manera d’expressar la velocitat de l’ona és l’expressió ja trobada: 𝑣 = !

!

Ara la FASE, també té un nou aspecte, 𝜙 = 𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡 + 𝜑! . A3. Comprova que efectivament pots convertir la funció 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝑘 𝑥 − 𝑣 𝑡 en 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 .

10

Exemple-1: Una ona harmònica té les següents característiques: l’amplitud té de 10 cm, la velocitat de propagació 10 m/s i el número d’ona val 20·𝜋 rad/m. Determina:

a. La longitud d’ona. b. L’equació d’ona. c. La diferència de fase entre dos punts separats 80 cm. En un mateix instant.com

oscil·len aquests dos punts? d. La velocitat màxima d’oscil·lació de qualsevol punt afectat per l’ona.

Solució:

a. La longitud d’ona la trobem a partir del número d’ona:  𝑘 = !!!      ↔    𝜆 = !!

!

𝜆 = !!!= !!

!"!= 0,10  𝑚 = 10  𝑐𝑚

b. Volem escriure una equació del tipus: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 . Tenim el valor

de l’amplitud, A, el del número d’ona, k, ens falta trobar, 𝜔 , la trobarem a partir de l’equació

𝑣 =𝜔𝑘          ↔      𝜔 = 𝑣 · 𝑘 = 10

𝑚𝑠 · 20𝜋  𝑟𝑎𝑑/𝑚 = 200 · 𝜋        𝑟𝑎𝑑/𝑠

l’equació queda: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 10  𝑠𝑖𝑛 200𝜋 · 𝑥 − 200𝜋 · 𝑡 com el problema no diu res de les condicions inicials de l’ona hem escollit 𝜑! = 0. Per altra banda, y(x,t) té unitats de centímetres igual que “A”.

c. Com es demana la diferència de fase entre dos punts per un mateix instant, ens podem oblidar de la variable temps, per tant, la fase, 𝜙, tan sols vindrà donada per :

𝜙 = 𝑘 · 𝑥        𝑖  𝑙𝑎  𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟è𝑛𝑐𝑖𝑎  𝑑𝑒  𝑓𝑎𝑠𝑒        ∆𝜙 = 𝑘(𝑥! − 𝑥!)

∆𝜙 = 𝑘 𝑥! − 𝑥! = 20𝜋 · 0,80 = 16 · 𝜋  𝑟𝑎𝑑 = 8 · 2𝜋  𝑟𝑎𝑑

la diferència de fase és 8 vegades 2𝜋, la qual cosa implica que dos punts separats 0,80 m oscil·laran exactament igual. Dit d’una altra manera, la distància entre els dos punts és igual a un número enter de longitud d’ona. Una altra cosa que cal tenir en compte és que cal passar a metres la distància entre els dos punts ja que el número d’ona ve donat en metres.

d. Per a trobar la velocitat màxima d’oscil·lació cal trobar primer l’expressió que ens doni la velocitat d’oscil·lació de qualsevol punt de l’ona.

𝑣! =𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)𝜕𝑡 =

𝜕 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡𝜕𝑡 = −𝐴𝜔 · 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

aquesta funció pren el valor màxim quan: 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = ±1 , llavors la velocitat màxima d’oscil·lació ve donada per:

𝑣! 𝑚à𝑥 = ∓𝐴𝜔 = 0,10 · 200𝜋 = ∓20𝜋  𝑚/𝑠 A4. Escriu la funció d’ona utilitzant les constants, 𝜆 i T, en lloc de “ k” i “𝜔”. Escriu l’expressió de la velocitat de l’ona també en funció de les mateixes constants.

11

A5. Et trobes dins una barca pescant, no fa vent però encara queden onades i la barca puja i baixa. Mesures el temps que tardes en estar en dues crestes consecutives. Quina magnitud has mesurat? A6. Dins la mateixa barca. Ara comptes quantes vegades la barca ocupa la cresta de l’onada per minut. Quina magnitud has mesurat? A7. Segueixes pescant. Si el període de les onades és de 8s, i la seva longitud d’ona és de 12 m. Calcula:

a. La distància que han d’estar dues barques per oscil·lar igual, és a dir que es trobessin a la cresta i en les valls a la vegada.

b. La freqüència de les onades. c. La velocitat de propagació.

A8. L’amplitud de les onades de l’activitat anterior és de 80 cm. Escriu una funció d’ona per aquestes onades. És necessari que tinguin les mateixes unitats l’amplitud del moviment i l’elongació de les partícules de la superfície d’aigua per l’efecte de les onades? És necessari que tenguin les mateixes unitats l’amplitud del moviment i la “x” de la fase? Explica-ho. A9. Una corda tensa vibra transversalment d’acord amb l’equació:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 0,5𝑠𝑖𝑛  2𝜋(𝑥 − 103 · 𝑡) les unitats de l’elongació són els centímetres i la “x” ve donada en metres.

a. Calcula, amplitud, longitud d’ona, freqüència, període, pulsació, velocitat de propagació i número d’ona.

b. La velocitat màxima amb què oscil·la cada punt de la corda. c. Troba la velocitat del punt x=1,5m i t=12 s.

ENERGIA, POTENCIA I INTENSITAT DE LES ONES Ones unidimensionals. Ja hem comentat que en el moviment ondulatori el que es propaga és l’energia, noltros suposarem que no hi ha dissipació d’energia quan es propaga l’ona. D’entrada continuarem amb la nostre ona unidimensional, així assegurem que l’energia no es dispersarà, i cercarem una equació que ens doni l’energia que passa per un punt, afectat per l’ona, i que es troba a una distància “x” de l’origen de la pertorbació. Aquest punt tindrà una massa “dm” i una longitud “dx”. És a dir una massa i una longitud infinitament petites. La relació entre aquestes dues magnituds ens donarà la massa per unitat de longitud del medi on es propaga l’ona, per exemple, una corda.

𝑑𝑚 = 𝜌.𝑑𝑥             ↔              𝜌 =𝑑𝑚𝑑𝑥

12

Per a facilitar el càlcul, ens fixem en l’instant en què la massa, dm, que està oscil·lant, passa per la posició d’equilibri amb velocitat “vmàx ”, en aquest instant, tota l’energia, infinitament petita, dET, de “dm” és cinètica:

𝑑𝐸! 𝑝𝑢𝑛𝑡  𝑥 = 𝑑𝐸! =12𝑑𝑚 · 𝑣!à!!

La velocitat d’oscil·lació vertical de “dm” la trobem derivant: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 ∓ 𝜔𝑡

𝑣 𝑑𝑚 =𝜕𝑦𝜕𝑡 = ∓𝐴𝜔 · 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 ∓ 𝜔𝑡

la velocitat d’oscil·lació màxima del punt “x” val: 𝑣!à! = ∓𝐴 · 𝜔 = ∓2𝜋 · 𝑓 · 𝐴 substituint aquest resultat en l’equació de l’energia.

𝑑𝐸! = 2𝜋! · 𝑑𝑚 · 𝑓! · 𝐴! = 2𝜋! · 𝜌𝑑𝑥 · 𝑓! · 𝐴! Si en lloc de l’energia de “ dx” volem l’energia continguda en una longitud d’ona “𝝀 “ serà:

𝐸! 𝜆 = 2𝜋! · 𝜌𝜆 · 𝑓! · 𝐴! Ara fàcilment trobem l’energia de l’ona que passa pel punt “x” per unitat de temps, si ens fem la següent pregunta: quin temps tarda una longitud d’ona en passar pel punt “x”? Ja sabem que la resposta és el període “T ”. Per tant, si dividim l’equació anterior pel període tindrem l’energia que passa pel punt “x” per unitat de temps, o sigui LA POTÈNCIA.

𝑃 =2𝜋! · 𝜌𝜆 · 𝑓! · 𝐴!

𝑇 que podem expressar:

𝑃 = 2𝜋! · 𝜌 · 𝑣 · 𝑓! · 𝐴! on, 𝑣 = !

!, és la velocitat de propagació de l’ona.

Més que recordar les expressions trobades, el que és important tenir present és que tant l’energia com la potència són proporcionals a la freqüència i a l’amplitud al quadrat:

𝐸! ∝ 𝑓! · 𝐴!                  𝑖                        𝑃 ∝ 𝑓! · 𝐴! Exemple-2: una ona sinusoïdal transversal avança per un cable que té una densitat lineal 𝜌 = 0,20  𝑘𝑔/𝑚, una velocitat de 20 m/s. La seva amplitud és de 0,10 m i la freqüència de 5 Hz. Calcular:

a. La longitud d’ona. b. La tensió del cable. c. La potència que transporta i transmet l’ona.

13

Solució: És un exercici fàcil i es redueix a substituir en les equacions corresponents:

a. 𝜆 = !!= !"  !/!

!  !!!= 4𝑚

b. 𝑣 = !!"#$%ó! !

               ↔            𝐹!"#$%ó = 𝑣! · 𝜌 = 20! · 0,20 = 80𝑁

c. 𝑃 = 2𝜋! · 𝜌 · 𝑣 · 𝑓! · 𝐴! =  2𝜋! · 0,20 · 20 · 5! · 0,10! = 19,7𝑊 Atenuació: Ones superficials circulars i ones tridimensionals esfèriques Ones circulars: Ara imagina que un punxó, lligat a un aparell que realitza un MHS, colpeja la superfície de l’aigua amb una freqüència “f ” i una profunditat “A”. En el punt on colpeja el punxó es generen ones circulars, aquest punt rep el nom de FOCUS. Les ones circulars generades s’estenen per la superfície de l’aigua i el seu radi, “ r “ augmenta en el temps “ t “amb la velocitat de propagació de l’ona “v ” segons l’equació: 𝑟 = 𝑣 · 𝑡 . En aquest cas, l’energia que transmet el punxó a l’aigua es distribueix per tota la circumferència del front d’ona que va augmentant segons l’equació “ 𝑆 = 2𝜋 · 𝑟”. Quan passa això que una mateixa energia s’ha de distribuir, a mida que passa el temps, sobre una superfície més gran és interesant introduir el concepte d’INTENSITAT D’ENERGIA, que no és altre cosa que la potència que té o que rep cada unitat de superfície, o, el que és el mateix, l’energia que rep la unitat de superfície i unitat de temps. Matemàticament ho expressem:

𝐼 =𝑃𝑆 =

𝑑𝐸𝑆 · 𝑑𝑡

La unitat d’intensitat d’energia és el “ W/m2 ” o “ J/m2·s ”. En el cas de les ones circulars, “S” és una circumferència de radi “r”, on “r” va augmentant en el temps. Per tant,

𝐼 =𝑃𝑆 =

𝑃2𝜋 · 𝑟                                𝑜  𝑏é                                  𝐼 =

𝑑𝐸𝑆 · 𝑑𝑡 =

𝑑𝐸2𝜋 · 𝑟 · 𝑑𝑡

Aquest resultat ens diu que la Intensitat d’Energia disminueix de forma inversament proporcional a la distància “r” a l’origen de la pertorbació. Si volem trobar una relació matemàtica precisa, per a les ones superficials circulars, no podem pensar en una massa quasi puntual. En aquest cas la massa “dm” és la que hi ha en un anell circular de radi “r” i gruixa “dr” i ve donada, amb bona aproximació, per “ 𝑑𝑚 = 𝜌 · 2𝜋𝑟 · 𝑑𝑟. Llavors:

𝐼 =𝑑𝐸𝑆 · 𝑑𝑡 =

2𝜋! · 𝑑𝑚 · 𝑓! · 𝐴!

2𝜋 · 𝑟 · 𝑑𝑡 =2𝜋!𝜌 · 2𝜋𝑟 · 𝑑𝑟 · 𝑓! · 𝐴!

2𝜋𝑟 · 𝑑𝑡

14

𝐼 = 2𝜋!𝜌 · 𝑣 · 𝑓! · 𝐴!

on “dt ” és el temps que tarda l’energia “dE ” en passar per l’anell i 𝑣 = !"

!" .

La freqüència no canvia mentre les ones s’estenen, és la mateixa que la que té el punxó que genera les ones, la velocitat de propagació de l’ona en un medi també és una constant. Però com hem vist abans que la intensitat disminueix a mida que l’ona s’estén, això implica que en el segon membre de l’equació de dalt hi ha d’haver alguna magnitud que també disminueixi. L’única magnitud que pot disminuir en el segon membre és l’amplitud del moviment. Combinant els dos resultats trobats per a la intensitat de l’energia, tenim: 𝐼 ∝ !

! i per

altra banda 𝐼 ∝ 𝐴!. Trobem la relació que hi ha entre l’amplitud de l’ona amb el radi, és a dir, amb la distància al punt on es genera l’ona:

𝐴 ∝1𝑟

El que hem trobat ens diu que a mida que el radi augmenta, l’amplitud de l’ona va disminuint d’acord amb l’equació anterior. Aquest resultat és una conseqüència de la conservació de l’energia i de la geometria de l’ona. Aquest fenomen rep el nom d’ATENUACIÓ, l’energia de les ones s’ha de repartir sobre una línia que augmenta amb radi, en el cas d’ones circulars, o sobre una superfície que augmenta amb el radi al quadrat, per ones esfèriques. Això fa que la intensitat d’energia disminueixi i, conseqüentment també ho faci l’amplitud. La funció de l’ona, per ones circulars l’hem de modificar amb un coeficient que afecti a l’amplitud i que ens indica com es modifica a mida que el radi augmenta. Si coneixem l’amplitud de l’ona circular a una distància “ r0” que val “A0”, llavors a una distància qualsevol més gran “r” l’amplitud tindrà un valor diferent “A”, menor que l’anterior, però, d’acord amb 𝐴 ∝ !

! , s’haurà de complir: 𝐴𝐴!

=𝑟!𝑟                  ↔            𝐴 = 𝐴!

𝑟!𝑟

i la funció d’ona vindrà donada per:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴!𝑟!𝑟 · 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟 ∓ 𝜔𝑡

A10. Dins una bassa en calma es deixen caure gotes amb una freqüència “f”. Les gotes generen ones circulars de manera que a una distància de 30 cm del focus, l’amplitud de les onades és de 3 cm. Quina serà l’amplitud de les onades a una distància de d’1m? Quina serà la relació entre les intensitats de les energies entre aquests dos punts?.

15

A11. Demostra que per ones esfèriques:

a. Que la intensitat de l’energia disminueix de forma inversament proporcional al quadrat de la distància.

b. Que la relació entre l’amplitud d’ona i el radi ve donat per: 𝐴 ∝ !! .

A12. Si la Terra rep una intensitat d’energia provinent del Sol d’uns 1400 W/m2, quina és la intensitat d’energia que rep Mart? Busca les distància de la Terra i Mart al Sol. A13.Un avió emet 105J d’energia sonora per segon. Troba la intensitat d’energia a una distància de 90 m. Quina sensació sonora donarà. PROPIETATS COMUNS A DIFERENTS ONES Superposició d’ones Quan una pulsació o un tren d’ones viatge per una certa regió de l’espai, això no impedeix la presència d’altres ones en la mateixa zona i, després de coincidir en aquella regió de l’espai, les ones continuen la seva propagació sense haver-se modificat. Aquest fenomen rep el nom de Superposició d’ones. Aquesta propietat és totalment oposada al comportament de les partícules, primer en cada punt de l’espai tan sols i pot haver una partícula i, en segon lloc, quan aquestes xoquen, canvien totalment les seves velocitats i sentit del moviment. En aquest apartat ens dedicarem a analitzar el que passa quan dues ones passen per una mateixa regió. Interferència d’ones Quan dues o més ones coincideixen en un punt, la pertorbació resultant és la “suma” de les pertorbacions individualment. En el cas de la figura de la dreta dalt, les deformacions de cada pols sumen els seus desplaçaments ja que els dos tenen la deformació cap amunt. Després de superposar-se, els polsos continuen com si no s’hagués produït la superposició.

Seqüència fotogràfica en què es mostren pols d’ona que es propaguen en un “slinky”. El efectes es “sumen”

16

En la imatge de baix, els pols tenen la deformació en sentit contrari i, quan coincideixen, les deformacions es compensen i casi s’anul·len. El mateix passa quan es superposen trens d’ones. Quan els fenòmens de superposició són permanents i observables, llavors li donem el nom d’interferència d’ones. Els fenòmens d’interferència es produeixen quan les ones són coherents, és a dir, tenen la mateixa amplitud, longitud d’ona i freqüència i que les seves diferències de fase siguin constants al llarg del temps en cada punt de l’espai. En la imatge de baix es mostra un fenomen d’interferència.

En els punts P, A i B, hi ha interferència constructiva perquè les ones que produeixen les fonts “F1” i “F2” arriben als punts esmentats amb la mateixa fase, és adir, oscil·lant igual. Això tan sols passa quan les fonts oscil·len a la vegada, en fase, i la diferència de camins a aquests punts compleix que és igual a un nombre enter de longituds d’ona:

𝑟! − 𝑟! = 𝑛 · 𝜆                    𝑜𝑛        𝑛 = 0, 1, 2, 3,…

Per contra, en els punts negres de la imatge es formen interferències destructives. Són els punts on les ones provinents dels focus F1 i F2, arriben en oposició de fase, és a dir, oscil·lant en sentit contrari. Això passa quan la diferència de les distàncies dels focus als punts negres compleixen que són iguals a un nombre senar de semi-longituds d’ona:

𝑟! − 𝑟! = 2𝑛 + 1 ·𝜆2                    𝑜𝑛                    𝑛 = 0, 1, 2, 3,…

Aquest resultats també es poden deduir sumant les funcions d’ona que emet cada font i trobar les condicions en què la interferència és constructiva i destructiva. Per exemple, si un punt “P” es troba a una distància “ r1” del focus “ F1” i una distància “ r2” del focus “ F2” és suficient trobar el que val la suma de les funcions:

r2

r1

17

𝑦! 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑟! − 𝜔𝑡 o 𝑦! 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑟! − 𝜔𝑡 De la suma de les funcions es troba que en els llocs on la interferència és constructiva, l’amplitud de l’ona resultant val “ 2A” i, en els llocs on la interferència és destructiva, l’amplitud resultant és nul·la, “ A=0”. Si ho penses, en les interferències i superposició d’ones en general, es produeix una redistribució de l’energia de l’ona. Recorda que l’energia de l’ona depèn de “A2 “, per tant si hi ha llocs on l’amplitud és doble, l’energia serà 4 vegades més gran que la que tindria l’ona sola i el doble del que caldria esperar de la superposició de dues ones. Per altra banda, en els llocs on l’amplitud és zero l’energia també ho és. Thomas Young: Va néixer en 1773 en Milverton, Anglaterra i morí a Londres en 1829. Va destacar en els de la Física i també en la lingüística, arribant a parlar més de 9 idiomes diferents, cap d’elles el castellà. També es dedicà a la medicina. Va començar estudis de medicina a Londres en 1792. Després marxà Göttingen en 1795 on va obtenir el grau de doctor en Física. Entre 1801 i 1803 va ser professor de física en la Royal Institution, renunciant al càrrec poc temps després per a dedicar-se a la medicina. Entre 1801 i 1803 va donar una sèrie de conferències en la Royal Society on mostrà proves del comportament ondulatori de la llum, en contra de la teoria de Newton, que la postulava com a partícula. Reforçava el seu raonament amb les seves importantíssimes investigacions sobre els fenòmens d’interferència i difracció. En particular, és famós el seu experiment de la doble escletxa. Per oposar-se al gran Newton va ser públicament atacat i desprestigiat a la premsa de l’època. Moltes vegades les societats no estan preparades per entendre la saviesa d’un gran geni com Young. A causa dels atacs de la premsa, abandonà la física i, entre altres coses va desxifrar jeroglífics egipcis i en 1814 traduí per complet el text en demòtic de la Pedra de Rosetta. A14. Utilitza el dibuix per ajudar-te. Les dues fonts idèntiques emeten ones de so de freqüència 1100Hz. Una persona està en un punt “P” que es troba a r2= 4m de la font “ S2”. Postula un valor per “ r1”, distància que la separa de la font “ S1” perquè en el punt “P” hi hagi interferència destructiva. Suposa per aquest cas una velocitat del so de 331 m/s. A15. Respecte a l’activitat anterior: Postula un altra valor per a “r1” per aconseguir que la interferència sigui constructiva. Ara imagina que, per un moment, desconnectes una de les fonts, llavors l’amplitud de l’ona de so val “A”, quina serà l’amplitud de l’ona resultant en “P” quan les dues estan connectades? Què pots dir de la relació entre les intensitats d’energia quan tan sols funciona una font i quan funcionen les dues?.

18

A16. Una persona escolta un to pur procedent de dues fonts de so. Les freqüències semblen estar entre 500Hz i 1000Hz. El so té la màxima intensitat en un punt equidistant de les dues fonts. Per a determinar exactament la freqüència de les fonts, la persona es mou fins el primer punt on es produeix un mínim. Aquest punt està situat a 0,22 m més lluny d’un focus que de l’altre. Quina és la freqüència del so? Ones estacionàries Un cas particular d’interferència correspon al cas de les ones estacionàries. Aquestes es produeixen quan dos ones idèntiques es superposen viatjant en sentit contrari. En la imatge de la dreta es mostren ones estacionàries produïdes en una corda per l’acció d’un vibrador posat en un extrem de la corda. El vibrador genera una ona que es propaga per la corda i quan arriba a l’altre extrem es reflexa viatjant en sentit contrari. Les dues ones es superposen i produeixen interferències. Però els inicis no són tan fàcils, en general, quan es posa en funcionament del vibrador, la superposició de les ones incident i reflectida, fa vibrar la corda de forma totalment caòtica. Tan sols per a determinades freqüències específiques el resultat és el que es mostra en la figura, la formació D’ONES ESTACIONÀRIES. Aquestes freqüències es diuen freqüències de RESSONÀNCIA o FREQÜÈNCIES PRÒPIES. Els pèndols i les molles també tenen les seves freqüències pròpies o de ressonància però aquestes són úniques. En canvi, en les ones estacionàries hi ha infinites possibilitats. És important veure que en els extrems la corda no vibra i que hi ha altres punts entremitjos que tampoc vibren. En aquests punts la interferència és destructiva i reben el nom de NODES. A la vegada, hi ha punts que tenen una oscil·lació de màxima amplitud. Son punts on la interferència és constructiva i reben el nom de VENTRES. La qüestió és: quines són les freqüències o longitud d’ona que fan que es produeixin ones Estacionàries en una corda de longitud “L”? És suficient observar la figura anterior per veure que les possibles ones estacionàries han de complir la condició:

𝐿 = 𝑛 ·𝜆2          ∀𝑛 ∈ 𝑁

les condicions són: la longitud de la corda és igual a mitja longitud d’ona, que rep el nom d’harmònic fonamental o primer harmònic o una longitud d’ona, una i mitja, ... .

19

Imagina una corda tensa i la polsem, tal i com mostra la primera figura de l’esquerra. Podem pensar que es tracta d’una corda d’una guitarra. Al llarg de la corda es propagaran en ambdós sentits ones de multitud de freqüències diferents. La majoria de les ones interferiran destructivament i desapareixen, tan sols persistiran les freqüències de ressonància, denominats harmònics, que es mostren en la figura en la part de baix. És a dir, la corda queda vibrant amb una combinació de les diferents freqüències de ressonància.

Ones estacionàries superficials: En la imatge de la dreta es mostra un punxó que genera ones circulars en una superfície d’aigua. Una part de les ones xoquen contra una paret i el reflecteixen en ella. Les ones incidents a la paret i les reflectides es superposen i donen com a resultat ones estacionàries superficials. A17. Troba la freqüència dels tres primers harmònics d’un corda de niló de 10 m de longitud. Pel tercer harmònic troba la posició del nodus sobre la corda. A18. Una corda d’un instrument té una longitud d’1,36m. La freqüència fonamental de l’instrument és 150 Hz. Si pitgem la corda, per a reduir la seva longitud, a 0,34m d’un extrem i es fa vibrar la corda, quina freqüència escoltarem? Difracció. Principi de Huygens - Fresnel Les ones presenten una altra important característica que es denomina DIFRACCIÓ. Aquesta consisteix en el fet que les ones rodegen obstacles. La difracció depèn tan de l’objecte amb el que es troba l’ona com de la longitud d’ona de la mateixa. Quan la longitud d’ona és molt més gran que la grandària dels cossos amb què es troba, l’ona rodeja el cos com si aquest no existís. En cossos més grans es produeix una zona d’ombra darrera l’obstacle i, tan sols, quan la longitud d’ona és molt més petita que l’objecte es produeix una zona d’ombra important.

20

Aquestes consideracions també són aplicables a les reflexions de les ones per part d’un obstacle. Molt poca ona es reflectirà si la longitud de l’ona és de l’ordre de la grandària de l’objecte. Tan sols hi haurà una reflexió important si lambda és molt més petita que l’objecte. Quan es tracta d’una obertura també passa el mateix. Si la longitud d’ona és molt més petita que el forat l’ona passa sense produir difracció. Però si l’ona és de l’ordre de la grandària del forat o més gran la difracció cobra importància i rodeja els costat de l’obertura.

El fet que les ones puguin transportar energia a zones situades darrera de l’objecte marca una altra diferència amb el comportament de les partícules. Una manera senzilla d’intuir el fenomen de la difracció és a partir de Principi de Huygens - Fresnel Principi de Huygens - Fresnel: Cada punt d’un medi que és assolit per una ona, ell mateix es converteix en un focus puntual d’ones petites secundàries esfèriques, de la mateixa freqüència que les primàries. La superposició d’aquestes ones secundàries, que tenen les mateixes amplituds i fases, genera el nou front d’ona. Tal com mostra la imatge.

𝜆 < 𝐷 la difracció tan sols és lleugerament observable, amb un màxim central.

𝜆 ≅ 𝐷 la difracció té un màxim central i dos secundaris i no ocupa tot l’espai darrera l’obertura

𝜆 > 𝐷 la difracció, té un màxim central i dos secundaris, ocupa casi tot l’espai darrera l’obertura.

21

Quan les ones planes arriben a l’obertura, D, cada punt d’aquesta, afectada per l’ona, genera ones secundàries que, superposades, formen un nou front d’ona que ocupa parcial o totalment l’espai posterior a l’obertura. Que passi una cosa o l’altre depèn de la relació entre 𝜆  𝑖    𝐷. En la imatge de la dreta,    𝐷 = 3 · 𝜆  , i la difracció és moderada. En realitat, la difracció no deixa de ser un fenomen d’interferència entre les esmentades ones secundàries que genera cada punt de l’obertura. Que es generin màxims i mínims és una conseqüència de que la superposició de les ones secundàries interfereixin constructivament o destructivament. Dit d’una altra manera, depèn que la diferència de camins entre les diferents ones sigui un nombre enter de longituds d’ona o no. En la vida quotidiana podem observar fenòmens de difracció per a ones de so, quan les longitud d’ona s’atraquen a les grandàries de les obertures de portes o finestres. En la fotografia de la dreta es poden veure ones en el mar difractades per les obertures que hi ha entre les roques. També alguns ports artificials, mal dissenyats, presenten aquest problema, quan les ones tenen una determinada longitud d’ona i direcció, produeixen difracció dintre del port i provoquen onades no desitjables. A19. Un front d’ones del mar planes arriba a un mur i passa a través d’ell. Quina figura representa millor l’evolució de les onades? A20. Uns alumnes estan en el laboratori on, amb l’ajuda d’un generador de freqüències i un altaveu, produeixen ones de so de diferent freqüència. Tenen la porta que dóna al pati oberta. En el pati hi ha uns companys que investiguen la difracció de les ones de so causada per la porta. Si la porta té un amplada de 70 cm, indica quines freqüències produiran una difracció més accentuada i quines menys: f1= 1100Hz; f2= 12000Hz ; f3= 440Hz ; f4= 260Hz. Pren la velocitat del so 340 m/s. A21. L’objecte més petit que pot detectar un ratpenat amb el seu radar d’ultrasons està limitat per a difracció. Si la freqüència més alta que pot emetre és 105Hz, indica de forma aproximada l’objecte més petit que pot detectar?

22

Christiaan Huygens: Va néixer en l’Haia en 1629 i morí en 1695. Va ser matemàtic, físic i astrònom, sent un dels científics més influents en l’època. Huygens era fill d’un escriptor i diplomàtic. La seva família treballava per l’administració dels Orange al llarg de diverses generacions. Estudià en la Universitat de Leiden dret i matemàtiques. Els canvis polítics en els Països Baixos li va impedir dedicar-se a la seva carrera diplomàtica i es dedicar a recerques científiques. Estudià problemes de matemàtiques, òptica, mecànica, ... . Revolucionà el sistema de polit de les lents i millorà el telescopi, descobrí l’anell de Saturn i el seu satèl·lit Tità, inventà el rellotge de pèndol. Huygens va concloure correctament que la llum disminuïa la seva velocitat quan en entrar en medis més densos i descobrí el fenomen de la polarització de la llum. Defensà fermament el comportament ondulatori de la llum i explica les lleis de la reflexió i la refracció a partir de la teoria ondulatòria. Efecte Doppler per a Ones Mecàniques. Observació d’un canvi de freqüència en les ones quan la font o el receptor estan en moviment.

1. Observador i font emissora estan en repòs respecte a l’aire. En la imatge de la dreta tant la font emissora del so com el receptor estan en repòs. La freqüència observada pel receptor és la mateixa que la que emet el focus emissor.

2. L’observador es desplaça radialment. Suposarem que l’observador es mou respecte la font amb velocitat “ v0”. Sigui “ v “ la velocitat de propagació de l’ona en el medi, “ f “ la seva freqüència, “ T” el període i “ 𝜆 “ la longitud d’ona.

𝑓 =𝑣𝜆          ↔          𝜆 =

𝑣𝑓

Com l’observador es mou, la velocitat relativa entre l’observador i les ones ve donada per:

𝑣! = 𝑣 ± 𝑣! En aquesta expressió, el signe positiu correspon al cas que l’observador es mou cap la font i es troba més fronts d’ona que quan estava en repòs, i, el signe negatiu correspon al cas que s’allunya de la font. En aquest cas li arriben menys fronts d’ona. Llavors la freqüència aparent per l’observador, f’, ve donada com si les ones viatgessin a velocitat “ v’ “.

23

𝑓! =𝑣!

𝜆 =𝑣 ± 𝑣!𝜆 =

𝑣 ± 𝑣!𝑣𝑓

               ↔                  𝑓! = 𝑓 1±𝑣!𝑣

3. El focus es desplaça radialment.

Suposarem que el focus es mou cap a l’observador i respecte al medi amb velocitat “ vF”. Al igual que abans, la velocitat relativa respecte l’observador és: 𝑣! = 𝑣 ± 𝑣! , però en aquest cas el signe positiu correspon que el focus s’allunya de l’observador i el negatiu que s’atraca a l’observador. Tenint en compte que la longitud d’ona és la distància que recorre l’ona en un temps igual al període, tenim:

𝜆! = 𝑣! · 𝑇 =𝑣 ± 𝑣!𝑓

com 𝜆 = !

! , substituint trobem :

𝜆! = 𝜆 ±

𝑣!𝑓

Com la velocitat de les ones mecàniques no depèn de la velocitat de la font, s’ha de complir:

𝑣 = 𝑓! · 𝜆! = 𝑓 · 𝜆 trobem per la freqüència aparent:

𝑓! = 𝑓 ·𝑣

𝑣 ± 𝑣!

Quan la font d’ones s’atraca a l’observador, val el signe menys, la freqüència augmenta. Quan la font s’allunya, signe positiu, la freqüència disminueix respecte a la freqüència pròpia de la font.

Encara podem afegir un altre cas que correspondria a l’observador i la font en moviment respecte al medi. Però pensem que amb el que hem explicat ja s’entén el fenomen.

24

Exemple-3: Un radar emet ones de 5000Hz cap un observador que es mou amb una velocitat 34 m/s cap la font d’ones.

a. Quina freqüència capta l’observador? b. Quina freqüència tindrà l’ona reflectida en l’observador?

Solució:

a. En aquest cas és fàcil és suficient aplicar l’equació trobada per quan l’observador es mou:  𝑓! = 𝑓 1± !!

!

Si no recordes el signe a utilitzar, pensa: en la situació descrita en el problema, on l’observador es mou cap a les ones, aquest trobarà més ones que si estès aturat, llavors això vol dir que trobarà més fronts d’ona, és a dir una freqüència més alta. Si volem “ f’ >f “ cal que ens quedem el signe positiu.

𝑓! = 𝑓 1±𝑣!𝑣 = 5000 1+

34340 = 5500  𝐻𝑧

b. La segona part és un poc més complicada. Per l’observador emet una

freqüència de 5050Hz, però per l’observador està en moviment, v= 34 m/s. Llavors hem d’utilitzar la segona equació trobada.

𝑓!′ = 𝑓′ ·𝑣

𝑣 ± 𝑣!= 5500

340340− 34 = 6111  𝐻𝑧

si utilitzes un raonament igual al del primer apartat, veuràs que cal elegir el signe menys.

Així és com funcionen els radars de la policia en el seu control de la velocitat, però a l’inrevés i amb ones electromagnètiques. És a dir, el radar de la policia envia , f , i rep, reflectit del cotxe , f”. Amb aquestes dues dades i la velocitat del so és pot calcular la velocitat del mòbil. A22. Fes l’exemple anterior però a l’inrevés: sabent que el radar de la policia envia ones de 5000Hz i que les ones que retornen del cotxe que s’apropa tenen un freqüència de 6111 Hz, troba la velocitat del cotxe. Pren per la velocitat del so 340 m/s. A23. La freqüència dominant de la sirena d’un cotxe de la policia és 1800 Hz quan està aturat. Quina serà la freqüència que percebrà un observador si el cotxe es mou cap a ell a 30 m/s? I si s’allunya amb la mateixa rapidesa? Altres propietats de les ones També les ones es reflecteixen i es refracten però el seu tractament és molt més fàcil si es fa des del punt de vista de l’òptica geomètrica. Ho deixem per aquest tema.

25

ONES DE SO Les ones sonores són longitudinals, que es propaguen per un medi elàstic. La velocitat de propagació depèn d’aquest medi. La pertorbació que es propaga són oscil·lacions de les partícules del medi en la mateixa direcció en què es propaga l’ona. En el cas de l’aire, aquestes oscil·lacions, provoquen variacions de la pressió de l’aire. En el dibuix podem veure zones en què les partícules estan més juntes i zones on estan més separades, això és el que provoca les variacions de pressió. Per tant, per a descriure una ona de so ho poem fer donant compte de:

• Com varia la pressió en funció de la posició i el temps,

𝑝 𝑥, 𝑡 =  𝑝! sin 𝑘𝑟 − 𝜔𝑡 + 𝜑!

• O bé, donant el desplaçament de les partícules del medi, a causa de la pertorbació provocada per l’ona, en funció de la posició i el temps,

𝑥 𝑥, 𝑡 =  𝑥! sin 𝑘𝑟 − 𝜔𝑡 + 𝜑!! En el dibuix que tens a continuació és mostren els efectes d’una ona de so en l’aire. Es representen 4 apartats diferents, que serien 4 fotografies que fixen el temps:

a. Les partícules de l’aire estan en repòs, en un instant “t”. b. En un instant posterior “ t’ “, l’ona provoca desplaçaments de les partícules, en

la mateixa direcció que la propagació de l’ona. Aquests desplaçaments es repeteixen periòdicament. Les situacions repetides estan separats una distància “ 𝜆 “.

c. Un gràfic mostra com s’han desplaçat les partícules en el instant, t’ , al llarg de l’eix “x”. Algunes no s’han desplaçat, ... i altres han tingut un desplaçament màxim, ... .

d. En aquest gràfic es mostra com varia la pressió al llarg de la direcció de propagació. Fixa’t que en el punts on la pressió és més gran és on les partícules estan més juntes i, la pressió és menor on les partícules estan més separades.

26

A24. Calcula l’elongació màxima de les molècules de l’aire quan passa una ona de so d’Intensitat 1,0 W/m2 i una freqüència de 80 Hz. Dades: la densitat de l’aire és 1,29 kg/m3 i agafa per la velocitat del so dins l’aire a zero graus 331 m/s. Trobes que l’oïda humana és sensible?. A25. Una ona de so que es propaga per l’aire produeix variacions de pressió que venen donades per:

𝑝 𝑥, 𝑡 = 0,75  𝑐𝑜𝑠𝜋2 (𝑥 − 340 · 𝑡)

On la pressió, p, ve donada en pascals, x, en metres i el temps, t, en segons. Troba: la longitud d’ona, l’amplitud de la pressió, la freqüència de l’ona i la velocitat de propagació. En gasos i líquids no es podem propagar ones transversals Quan desplacem una partícula d’un gas o d’un líquid de la seva posició d’equilibri, tan sols afectarà a les partícules veïnes que estan en la direcció del desplaçament, ja les empeny, però no afectarà a les altres que estiguin en la direcció perpendicular al desplaçament perquè no hi ha, o són molt petites, les forces de lligam entre elles. Això fa que tan sols es puguin transmetre pertorbacions en la posició de les partícules en la direcció de propagació de l’ona. Per tant, en líquids i gasos les ones tan sols poden ser longitudinals. En canvi, en els sòlids, com hi ha forces de lligam importants entre totes les partícules veïnes que envolten a una donada, podem imaginar que entre elles molles petites que les deixen oscil·lar al voltant de la posició d’equilibri però no marxar, i qualsevol pertorbació efecte a totes elles. En els sòlids les ones poden ser transversals, longitudinals o les dues coses a la vegada. Velocitat de propagació del so: Algunes de les expressions més importants

• Dins l’aire: 340 m/s. 𝛾, coeficient adiabàtic gasos.

R, constant dels gasos 𝑣!"#$# =!·!·!!

T, temperatura absoluta M, massa molar del gas

• Sòlids: entre 1200 i 6000 m/s.

E, mòdul de Young del sòlid. 𝑣!ò!"#$ =!!

r, densitat.

• Dins l’aigua: 1500 m/s.

B, mòdul de compressibilitat 𝑣!ò!"#$ =!!

27

A26. Què pot fer que la velocitat del so dins l’aire no sempre tingui el mateix valor i que sigui diferent segons els dies? El to L’oïda humana determina ràpidament dos aspectes de les ones de so, el to i la intensitat. Cadascuna d’aquestes sensacions auditives correspon a una magnitud física mesurable. La intensitat està relacionada amb l’energia de l’ona sonora, cosa que ja sabem de quan hem parlat de l’energia de les ones. El to es refereix a si és greu o agut o sigui la freqüència de les ones. L’oïda humana respon a freqüències que van entre 20 Hz fins arribar a 20.000Hz aproximadament, però amb l’edat l’oïda humana perd la capacitat de sentir les freqüències més altes principalment. Freqüències més altes de 20.000Hz reben el nom d’ultrasons. Molts animals poden percebre freqüències molt més altes, els cans fins a 50.000Hz. Per altra banda, freqüències inferiors als 20 Hz són característiques de terratrèmols, trons, maquinàries, ... . A27. Si inhalem heli. Com afectaria a la velocitat del so de les nostres paraules? Trobes que el nostre to canviaria? Seria més greu o agut?. Sensació Sonora: decibels. Ja sabem el que és la Intensitat i que depèn de l’amplitud al quadrat i de la freqüència al quadrat. L’oïda humana pot arribar a percebre sons tan baixos com “ 10-12W/m2 ” i tan alts com “ 1 W/m2. Possiblement aquesta àmplia gama d’intensitats sonores que podem percebre és deguda a que el que percebem no és proporcional a la Intensitat. Aquesta manca de la relació directe entre la intensitat i el que percebem, fa que especifiquem la sensació sonora en una escala logarítmica. La unitat d’aquesta escala és el “BEL” però és més utilitzada el DECIBEL. I ve donada per:

𝑠 = 10 · log𝐼𝐼!

on “ I0=10-12W/m2 “ i rep el nom d’INTENSITAT LLINDAR, o sigui, la mínima que podem percebre. Per aquesta intensitat, la sensació sonora val zero, S=0 dB. La sensació de dolor es produeix per a valors de S=120 dB. Sensació que correspon a una intensitat d’1 W/m2. A28. Quina és la relació entre les intensitats de dos sons de 60 i 70 dB respectivament? Fer el mateix per a les sensacions sonores de 83 i 93. Quines conseqüències en treus?. A29. El timpà té una àrea aproximada de 85 mm2. Calcula la intensitat sonora que rep si li arriba una ona de 100dB. Calcula també la potència mitjana ens, W, que rep el timpà.

28

Timbre És la qualitat del so que permet identificar la seva font. Diem, això que sona és un violí, o el que parla és Joan. Els identifiquem pel seu timbre. Està relacionat amb la composició del so en ones harmòniques pures. Quan parlam de la seva freqüència ens referim a la que destaca més entre totes les seves components. També passa el mateix amb els instruments musicals. Ones de so estacionàries Son les que es produeixen en instruments musicals principalment Alguns instruments musicals, el que vibra i produeix ones estacionàries no és una corda, és una columna d’aire que està oberta per un extrem, com mostra la figura. Aquestes ones, com totes les de so, són longitudinals i les partícules de l’aire vibren en la mateixa direcció que es propaguen. En la part de l’esquerra de la figura, que està oberta, les partícules de l’aire poden vibrar amb la màxima amplitud i es produeix un ventre. En canvi, en l’extrem tancat les partícules de l’aire no poden vibrar longitudinalment i es produeix un node. La condició que han de complir les ones estacionàries dintre del tub és:

𝐿 = (2𝑛 + 1)𝜆4                ∀𝑛 ∈ 𝑁

En aquest segon cas tenim ones estacionàries en un tub obert pels dos costats. Això implica que, sempre, en els extrems hi haurà un ventre. Les ones estacionàries possibles en aquests tubs compleixen la següent condició:

𝐿 = 𝑛 ·𝜆2                𝑜𝑛      𝑛 ∈ 𝑁

29

A30. La nota més baixa que podem fer amb una flauta té una freqüència de 137,5 Hz. Quina longitud efectiva ha de tenir el tub de la flauta?. Una flauta consta d’un tub que tan sols està obert per un costat. A31. Un tub d’orgue, que està obert pels dos costats, té una longitud de 10,52 m. Quina és la seva freqüència fonamental? Augustin Jean Fresnel: Va néixer en Broglie, França, en 1788 i morí en 1826. Els seus progressos com estudiant van ser lents, va prendre a llegir quan ja tenia 8 anys. Als 16 anys entrà a “ Éscole Polytechnic” i després a École des Ponts Chaussées. Destacà per la seva recerca en la teoria ondulatòria i la òptica. Per altra banda va ser una persona molt religiosa. Va sintetitzar els conceptes de la teoria ondulatòria de Huygens i treballà en els fenòmens de la difracció i interferència. Proposà el model de propagació d’una ona primària era vist com una successió d’ondetes secundàries esfèriques estimulades, que es superposaven i interferien per a formar una altra ona primària en la seva propagació. Acompanyà el seu model amb un desenvolupament matemàtic que li va permetre calcular el patrons de difracció creats per obstacles i obertures. El seu treball es realitza independentment de Young i, quan van descobrir la seva coincidència en la teoria ondulatòria es van fer aliats. Fresnel no es lliurà de la crítica d’altres científics com Laplace i Biot que eren partidaris del comportament tipus partícula per la llum. Com podem transportar informació a través de les ones? Per enviar informació, per exemple ones de ràdio, necessitem mesclar dos tipus d’ona; l’ona que transporta informació “ona portadora” i l’ona que conté la informació que rep el nom de “moduladora” l’ona resultant es diu “ona modulada”. Ho podem fer de dues maneres, modulant l’amplitud de l’ona portadora. A continuació es mostra un esquema:

Modulació d’amplitud: Utilitzat en la “AM” - A és l’ona portadora - B és l’ona moduladora, la que porta la

informació. En general no té aquesta forma tan amable.

- C , representa l’ona que sortint que és l’ona modulada i que forma aquests polsos d’ona

Modulació de la freqüència: Utilitzada en “FM”. La idea és la mateixa de l’anterior, però en aquest cas s’aplica per a cassos de molt alta freqüència. La informació es transmet variant la freqüència de l’ona portadora.

30

Problemes d’ones 1. Indica els efectes produïts en els següents casos:

a. Un observador en repòs escolta el xiulet d’un pito. La freqüència del xiulet és “f ”, si es posa a fer vent en el mateix sentit que el so que va a l’observador, notarà aquest alguna diferència?.

b. Al violinista que ha de donar un concert un dia que fa molta calor? c. Una ona de so passa de l’aire a l’aigua. Canviarà la freqüència? I la longitud

d’ona? 2. Assenyala les diferències entre el comportament de partícula i el comportament

ondulatori que s’han anat mostrant al llarg de l’estudi de les ones.

3. Dues ones sísmiques tenen la mateixa freqüència, però una transporta el doble d’energia que l’altre. Quina relació hi haurà entre les seves amplituds?

4. Les ones sísmiques P i S es propaguen amb rapideses diferents i, respectivament,

valen 9,0 km/s i 5,0 km/s. A quina distància està l’epicentre del terratrèmol si en una estació sísmica detecten les dues ones amb una diferència de temps de 2,0 min? És suficient una sola estació sísmica per determinar la ubicació exacte del focus de les ones?

5. Una goma està enganxada a la paret i per l’altra extrem la manté tensa un alumne.

L’alumne provoca un tren d’ones que es propaga per la goma segons l’equació: 𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) , l’ona rebota en l’extrem enganxat a la paret i retorna en sentit contrari i, a més, l’ona quan es reflexa a la paret ho fa en oposició de fase a la incident.

a. Escriu l’equació de l’ona reflectida. b. Que ha de fer l’alumne si vol que l’ona es propagui per la goma a més

velocitat.

6. Una ona ve donada per la següent equació: 𝑥 𝑥, 𝑡 = 0,2 · 𝑐𝑜𝑠 𝜋 !!"+ !

!+ !

!

Unitats en el SI. Troba la velocitat de propagació i les vegades que oscil·la una partícula del medi per segon. Com oscil·la la partícula?

7. Una ona ve descrita per l’equació 𝑥 𝑥, 𝑡 = 2 ∙ 10!!  sin  (0,50𝜋. 𝑥 + 170𝜋. 𝑡) en unitats SI.

a. Quin tipus d’ona és i cap on es propaga?. b. Troba el seu període, la longitud d’ona, la velocitat de propagació i la

velocitat màxima d’oscil·lació. c. Per un mateix instant dóna la diferència de fase entre dos punts separats 6

metros.

8. Trobar la funció d’ona: una ona sinusoïdal viatge en sentit positiu amb una amplitud de 2,0cm, una longitud d’ona d’1,0m i una velocitat de propagació de 5 m/s. Condicions de contorn: per a x=0 i t=0, es compleix: y=0 i la velocitat d’oscil·lació és negativa.

31

9. Dos focus emeten ones coherents de 40 Hz i que es propaguen a 20 cm/s. Assenyala el tipus d’interferència que es produirà en un punt si:

a. La distància a un focus és de 6,25 cm i la distància a l’altre és de 8 cm. b. Dista 12 cm d’un focus i 10,5 de l’altre.

Sol: destructiva ; constructiva.

10. Un tub té una longitud d’1,25 m. Determina la freqüència dels tres primers harmònics segons el tub estigui obert per un costat o pels dos costats. La velocitat del so és de 340 m/s. Sol: Per un extrem: 68 , 204 , 340 Hz ; pels dos costats: 136, 272, 408 Hz

11. Tenim un tub de vidre de 5cm de diàmetre i 58 cm de llarg. El tub el posem vertical i l’omplim d’aigua però podem obrir una clau de pas que hi a baix i buidar el tub. Ara posem un diapasó a la boca de dalt del tub i li donem un cop sec. El diapasó sona amb la seva freqüència mentre que obrim la clau de baix i deixem que l’aigua surti. Mentre l’aigua baixa notem dues ressonàncies, augmenta la intensitat del so. La distància entre els dos punt del tub on es produeix la ressonància és de 16,6 cm.

a. Si al velocitat del so dins l’aire és de 342 m/s, quina és la freqüència del diapasó? Fes un dibuix de l’ona que es produeix dins el tub.

b. Si en lloc d’aire que ocupés el volum deixat per l’aigua en baixar pel tub hi hagéssim posat butà, seria la mateixa la freqüència observada? Si és diferent calcula-la.

c. De quin tipus són les ones sonores? Indica les propietats. Sol:

12. Un tren s’atraca a una estació amb una velocitat de 72 km/h, i fa sonar el siulet de

freqüència 650 Hz. En l’estació es troba una persona. Indica: a. La freqüència que escolta la persona quan s’atraca. b. La freqüència que escolta quan el tren s’allunya.

Sol: 691 Hz ; 614 Hz.

13. Un vaixell s’enfonsa i els mariners acaben en una barqueta de salvament. Després d’uns dies en el mar, el més jove pensa que està sentit el xiscle d’una gavina. La intensitat llindar que pot percebre el mariner jove és 10-12 W/m2. La gavina realment existeix i es troba a una distància d’uns 3 km del mariner. Imagina que el so de la gavina s’estén en totes direccions.

a. Calcula la potència dels xiscles de la gavina. b. Per què insisteixo que és el més jove de la tripulació?

14. Es mesura la intensitat d’una determinada ona sísmica i val 1,0·106W/m2 a una

distància de 100 km del focus del terratrèmol. Suposa que l’ona és tridimensional i que es produeix a l’interior de la Terra.

a. Quina és la intensitat a tan sols 1 km del focus? b. Quina és l’energia total que passa a través d’una superfície de 5 m2 i a 1 km

de distància?

32

PROBLEMES PROPOSATS PER LA UNIVERSITAT

33