TEM:

Las ondas transversales electromagnéticas son aquellas que no tienen campo magnético ni campo eléctrico en la dirección de propagación de la onda. En el caso sencillo de propagación entre los planos paralelos perfectamente conductores, pudo establecerse una identificación exacta entre este tipo de onda y la que cabria esperar partiendo de la teoría de las líneas de transmisión. Esto debe cumplirse para toda línea uniforme con conductores perfectos, de cualquier sección recta, a lo largo de la cual pueda propagarse este tipo de onda.

Las relaciones generales entre las componentes de los campos, expresadas por las ecuaciones donde se muestra que Ez y Hz, deben también serlo todas las componentes, a menos que γ 2+k2 sea igual a cero. Así pues, una onda transversal electromagnética debe satisfacer la condición:

γ 2+k2=0

O bien:

γ=± jk=±jωv

=± jω√μϵ

En un medio dieléctrico la constante de propagación γ es pues, imaginaria pura, lo que significa que cualquier onda que sea completamente transversal electromagnética se propagara sin atenuación, y con velocidad v, igual a la luz en el dieléctrico de la guía.

Si se cumple lo anterior, las ecuaciones de onda se reducen a:

∇xv2 E⃗=0 ;∇xv

2 H⃗=0

Estas son, precisamente, las ecuaciones bidimensionales de Laplace para E y H están contenidos en dicho plano. Se sabe que en condiciones estáticas, el campo eléctrico y el magnético satisfacen las ecuaciones de Laplace. Como consecuencia de esto, podemos, afirmar que la distribución de campos en el plano transversal es idéntica a una distribución estática siempre y cuando demostremos que las condiciones de contorno aplicables a la ecuación diferencial, son las mismas que para una distribución estática de campos, la condición de contorno aplicable a una onda TEM sobre una guía de conductor perfecto es que el campo eléctrico en la superficie del conductor debe tener solamente componente normal, que es la misma que en estática para contornos conductores. La integral curvilínea del campo eléctrico entre los conductores es la misma para cualquier camino contenido en un plano transversal dado, pudiéndose pensar que corresponde a una diferencia de potencial entre los conductores para el correspondiente valor de z.

Para el estudio del campo magnético con Ez y Hz nulos las ecuaciones son:

H y=jωϵγ

Ex=E x

η

Y

H x=−γjωϵ

E y=E y

η

Los signos de estas ecuaciones son para las ondas que se propagan positivamente; para las que se propagan negativamente, los signos son opuestos. Estas ecuaciones exigen que el campo eléctrico y el magnético sean en cualquier punto perpendiculares entre si, en particular el campo magnético debe ser tangencial a las superficies conductoras puesto que el eléctrico es perpendicular a ellos. La distribución del campo magnético en el plano transversal es, por tanto, idéntica a aquella a la que darían lugar unas corrientes estáticas que circulasen únicamente por la superficie de los conductores, siendo estos perfectos.

Estas características demuestran que una onda transversal electromagnética puede ser guiada por un sistema de dos o más conductores, o por el exterior de un conductor único, pero no por el interior de una región conductora cerrada, ya que su distribución ha de ser la correspondiente a un problema estático bidimensional, no pudiendo existir campo electrostático en el interior de una región sin fuentes completamente cerrada por un conductor.

Las ondas TEM tienen propiedades generales en conductores perfectos, en los cuales es posible demostrar una identidad exacta entre ellas y las ecuaciones ordinarias de la línea de transmisión.

Ejemplo:

Se tiene una línea constituida por dos conductores cuales quieras A y B

Esta demostración será totalmente general, suponiendo únicamente independientes las funciones particulares del tiempo y de z, que Hz y Ez son nulos tenemos que el voltaje entre ambos conductores es:

V=−∫1

2

E⃗ .d⃗l=−∫1

2

(Ex dx+Ey dy)

Derivando con respecto a z tenemos:

∂V∂ z

=−∫1

2

( ∂ Ex

∂ zdx+

∂E y

∂ zdy )

La rotacional es:

∇× E⃗=−∂ B⃗∂ t

Si Ez es nula:

∂ EY

∂ z=∂ Bx

∂ty∂Ex

∂ z=

−∂B y

∂t

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores:

∂V∂ z

=−∂∂ t

∫1

2

(−B ydx+Bx dy )

Entonces

∂V∂ z

=−∂∂ t

(LI )=−L∂ I∂ t

Integrando:

I=∮ H⃗ . dl=∮ (H xdx+H ydy )

Derivando con respecto a z:

∂ I∂ z

=∮( ∂H x

∂ zdx+

∂H y

∂ zdy )

De la ecuación rotacional:

∇× H⃗=∂ D⃗∂ t

Si Hz=0:

∂ H y

∂ z=

−∂D x

∂ ty∂ H x

∂ z=∂ D y

∂ t

Sustituyendo:

∂ I∂ z

= ∂∂ t∮ (D xdy−D y dx)

Si se analiza la integral y se toma en cuenta el flujo del vector de desplazamiento y la carga por unidad de longitud del conductor se puede escribir que:

∂ I∂ z

=−C∂V∂t

Ondas TEM en líneas imperfectas

En el caso anterior se ha determinado un análisis clásico de una onda TEM, esto, en función del voltaje y la corriente, llegando así a la conclusión que este es equivalente a realizar las ecuaciones de MAXWELL, suponiendo que el conductor y el dieléctrico son perfectos.

Estas conclusiones no son, en absoluto, evidentes. De hecho bajo una postura escéptica, se hubiese podido criticar la validez de las ecuaciones de la línea de transmisión, al menos, en dos aspectos:

1) Se introduce una caída de tensión debida a la corriente que circula por la inductancia distribuida y sin embargo no se incluye la debida a los efectos mutuos con el resto de la línea; tampoco se tienen en cuenta los efectos mutuos de cargas.

2) La autoinducción y capacidad utilizadas en las ecuaciones son las calculadas en corriente continua. Podríamos dudar que tales constantes tengan alguna utilidad a frecuencias extremadamente altas; realmente, ya que no es posible despreciar los efectos de la frecuencia cuando se consideran, en las ecuaciones circuitales a frecuencias muy altas, autoinducidas y capacidades concentradas

La primera de estas objeciones puede rebatirse una vez que se deduce, de las ecuaciones de los campos, que en la onda no existen componentes de campo axiales y tampoco, como consecuencia, efectos mutuos. La segunda objeción se viene abajo al comprobar que la distribución de campo de la onda, en el campo transversal, es realmente la que correspondería a un problema de estática con la misma configuración, sin que importe para nada cual sea la frecuencia. La condición necesaria es que la propagación se realice a la velocidad de la luz en el dieléctrico de la línea, condición que la teoría clásica de líneas admite sin dificultad.

Si la línea de transmisión no es ideal, sino que tiene una resistencia y una conductancia finitas, la teoría clásica de líneas lo tiene en cuanta haciendo una variación de tensión a lo largo de la línea igual a la suma de una caída resistiva y otra inductiva, y la variación de corriente igual a la suma de la corriente que se desvía a través de la capacidad y la que lo hace a través de la conductancia:

∂V∂ z

=−( jωLI+RI )

∂ I∂ z

=− ( jωCV +GV )

Se supone generalmente que en estas ecuaciones continúan utilizándose la autoinducción y capacidad calculadas a partir de la distribución de corriente continua. Si bien es cierto que debe incluirse una cierta contribución a la autoinducción por parte del flujo del interior de los

conductores, la componente de la autoinducción que procede del flujo existente en el espacio entre conductores se sigue calculando a partir de la distribución de corriente continua

Se puede demostrar que la línea tiene conductancia uniforme y resistividad nula, tal análisis es equivalente al que tendría por base las ecuaciones de MAXWELL; también se demostrara que, si debe tenerse en cuenta la resistencia de los conductores, resulta imposible la equivalencia absoluta de ambos. A pesar de esto, no debemos perder nuestra confianza en las expresiones habituales de las líneas de transmisión, ya que si la línea es de cierta calidad, el error será totalmente despreciable.

Si el dieléctrico de una línea de transmisión tiene perdidas uniformes y ocupa todo el espacio entre los conductores, puede corregirse el análisis realizado sustituyendo en todos los resultados jωϵ por (σ+ jωϵ ). Pero obsérvese que esto es precisamente lo que se hace en el análisis convencional al sustituir jωC , para la línea ideal por (G+ jωC) para la línea con conductancia. Para la línea con dieléctrico uniforme, G tiene la misma forma que C, salvo que figura la conductividad en el lugar de las constantes dieléctrica

(G+ jωC )=(σ+Jωϵ )×funcionde la geometría

De aquí se desprende que ambos puntos de vista han considerado en la misma forma el efecto de las perdidas en el dieléctrico.

Si los conductores de la línea de transmisión, a lo largo de los cuales circula la corriente, tienen conductividad finita, se nos presenta de inmediato un problema. Debe haber al menos una pequeña componente de campo eléctrico en la dirección de propagación, para hacer que circule la corriente por los conductores. Refiriéndose de nuevo a las ecuaciones de campo eléctrico en donde Ez finita, γ 2+k2 debe ser también finito. El segundo miembro de la ecuación de onda no puede, en ese caso, valer exactamente cero, sino una cierta cantidad pequeña, pero finita.

∇xy2 E⃗=cantidad finita

Este resultado indica que la distribución de campos deja de ser una distribución de Laplace debido, de alguna forma, al campo axial requerido para producir la circulación de corriente. Por tanto, ya no es correcto calcular los valores de la capacidad y la autoinducción a partir de la distribución estática.

Aun cuando está suficientemente claro el modo de realizar un análisis exacto a partir de las ecuaciones de MAXWELL, resulta difícil de aplicar a las líneas prácticas. Es preciso obtener soluciones de la ecuación de la onda en el interior del dieléctrico y del conductor, enganchando ambas en el contorno. Resulta obvio que se presentan grandes dificultades con la mayoría de las configuraciones geométricas. Schelkunoff ha utilizado este método para líneas coaxiales, determinando el grado de validez de las aproximaciones que deben realizarse para reducir el problema al análisis clásico. Nosotros hemos seguido este mismo procedimiento para la línea de transmisión de los planos paralelos. El estudio de configuraciones más generales puede llevarse a cabo por el método de las perturbaciones sucesivas. Este consiste en realizar una primera corrección al caso de conductores perfectos introduciendo el campo eléctrico axial, estimado como producto de la resistividad por el valor aproximado de la corriente. De aquí se obtiene una idea de la magnitud y distribución de Ez, y como consecuencia ∇❑

2 E⃗ z. A continuación se calcula una nueva aproximación de la distribución de Ex, Hy, etc., así como de γ . De las nuevas H calculadas

de esta forma se obtiene un nuevo valor de corriente, volviéndose a repetir el proceso. De tales estudios se desprende que es afortunadamente innecesaria la resolución exacta de las ecuaciones de Maxwell para aquellas líneas que puedan utilizarse eficientemente para la transmisión de energía. La diferencia de resultados de los resultados entre el análisis exacto y el clásico habitual mediante la introducción de resistencia distribuida es extraordinariamente pequeña.

El análisis clásico de la línea de transmisión con contornos conductores imperfectos es similar a los métodos introducidos anteriormente, en los que se aplica una primera corrección como consecuencia de la resistencia, pero se supone que las distribuciones de campo no varían prácticamente. Cuando se utilizaron este tipo de aproximaciones en el análisis de ondas, los dos criterios para su validez fueron los siguientes:

1) Corrientes de desplazamiento en el conductor despreciables respecto a las de conducción

2) Impedancia intrínseca del dieléctrico mucho mayor que la resistividad superficial del conductor.

Estos mismos criterios pueden servir para estimar la bondad del análisis convencional de la línea de transmisión con resistencia distribuida. Dicho de otra forma, este análisis supone que la componente transversal de campo eléctrico en el conductor es despreciable frente a la axial, y que la componente axial de campo eléctrico en el dieléctrico es pequeña comparada con la transversal. Esto es equivalente a los criterios anteriores, que pueden expresarse matemáticamente por:

σ2ωϵ 2

≫1;Rs

η≪1

Siendo Rs la impedancia superficial del conductor, y η la impedancia intrínseca del dieléctrico. Los materiales de las líneas de transmisión corrientes satisfacen casi siempre estas desigualdades, pero en caso contrario, cualquier resultado predicho por las ecuaciones habituales de la línea de transmisión debe ser examinado con el espíritu crítico.

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Modos Eléctricos Transversales Magnéticos

Las componentes del campo magnético son transversales (o normales), en este caso a la dirección de propagación de la onda. Esto implica fijar que Hz= 0 y determinar Ex, Ey, Hx y Hy

mediantes las ecuaciones XXXXXX y XXXXXX y las condiciones en la frontera. Despejaremos Ez y después determinaremos a partir a partir de él las demás componentes de campos. En las paredes de la guía de onda tangenciales del campo E deben ser continuas; es decir: