Alfredo Deao Introduccin alalgica formal FilosofayPensamiento Manuales /Filosofa y Pensamiento El librouniversitario AlfredoDeao Introduccin ala lgica formal AlianzaEditorial Primera edicin en Alianza Universidad Textos: 1974 Primera edicin en Manuales: 1999 Sexta reimpresin: 2009 Reservadostodosl osderechos.Elconteni dodeestaobraestprotegi doporlaLey,queestabl ece penasdepri si ny/ omultas,ademsdelascorrespondi entesi ndemni zaci onespordaosyperjuicios, paraquienesreprodujeren,plagiaren,distribuyerenocomuni carenpblicamenteentodooenparte, unaobraliteraria,artsticaocientfica,osutransformacin,interpretacinoejecuci nartstica fijadaencualquiertipodesoporteocomuni cadaatravsdecualquiermedi o,sinlapreceptiva autorizacin. HerederosdeAlfredoDeao OAl i anzaEditorial,S.A.,Madrid,1974, 1975,1977,1978,1980,1981,1983,1985,1986,1988, 1989,1990,,1992.,1 9 9 3 , 1 9 9 4 , 1 9 9 5 , 1 9 9 6 ,1999, 2001,2 0 0 2 , 2 0 0 3 , 2 0 0 4 ,2007, 2009 Cal l eJuanIgnacioLucadeTena,15;28027Madrid;telf.913938888 www. al i anzaedi tori al . es ISBN:978- 84- 206- 8681- 3 Depsi t olegal:M.24. 732- 2009 Fot ocomposi ci neimpresinEFCA,S.A. ParqueIndustrialLasMonjas 28850TorrejndeArdoz(Madrid) PrintedinSpain SI QUIERE RECIBIRINFORMACINPERIDICASOBRELAS NOVEDADESDE ALIANZAEDITORIAL, ENVE UNCORREO ELECTRNICOA LADIRECCIN: alianzaeditorial@anaya.es A mis padres y hermanos, oMercedes,aJavierMa-guer zay aJuanA.delVal. NDICE NotapreliminarU Prlogo15 Notaalvolumen219 CaptuloI.Primerosconceptos21 Ellenguajeysususos*21 Lenguajeymetalenguaje'23 Sintaxis,semnticaypragmtica27 Lanocindeclculo28 Bibliografa46 CaptuloII.Lalgicadeenunciados51 1Noci onesbsi cas51 Enunciadosyconectivas51 Variablesyvaloresdeverdad55 Lanegacin58 Laconjuncin58 Ladisyuncin 62 Elcondicional68 Elbicondicional72 Uncasoprctico75 Lenguajelgicoylenguajecotidiano79 Elconjuntodelasconectivas85 Lasconectivascomofuncionesdeverdad91 Lareduccindefunctores93 Tautologas,contradiccionesyexpresionesconsistentes101 Leyesdelalgicadeenunciados107 Condicionaleimplicacin.Bicondicionalyequivalencia113 2Lalgicadeenunci adoscomosistemaaxi omti co116 Simbolizacinyformalizacin116 ElsistemaPM119 10introduccin a a lgica formal^.^^^-^^^^^^..^-^^^ Deduccindeteoremas122 Lgicapuraylgicaaplicada129 3Lalgicadeenunci adoscomosistemadereglasdeinferencia131 Elrazonamientonatural131 Leyesyreglas133 Deduccinaxiomticaydeduccinnatural142 Elclculodeladeduccinnatural152 4Ep l ogo166 CaptuloIII.Lalgicadepredicados deprimerorden173 1Noci onesbsicas173 a)Introducci n173 Hacialalgicadepredicados173 Nombresypredicados175 Predicadosmondicosypredicadospolidicos178 Lanaturalezadelospredicados179 Cmocerrarenunciadosabiertos183 Loscuantificadores186 Lalgicayelmundo190 Lgicadeprimerordenylgicadeordensuperior196 b)Lalgicadepredicadosmondi cos199 Loscuatromodelosbsicosdeenunciado199 Problemasdetraduccin206 Anlisis,reductivoyanalisispregnante215 Procedimientosdedecisinenlgicadepredicadosmondicos221 Leyesdelalgicadepredicadosmondicos225 c)Lalgicadel ospredicadospol i di cos237 Exposicindemotivos237 Problemasdeesquematizacin238 Procedimientosdedecisinenlgicadepredicadospolidicos243 Leyesdelalgicadepredicadospolidicos244 Aqullamamoslgicaderelaciones245 d)Identi dad;cuantificadoresnumri cosydescri pci ones260 Elpredicadodeidentidad260 Cuantificadoresnumricos263 Descripciones267 2Lal gi cadepredi cadoscomosistemadereglasdeinferencia272 Razndeunaomisin272 Presentacindelasnuevasreglas274 Lalgicadeprimerordencomoclculode deduccinnatural287 CaptuloIV.Msalldeestelibro293 1Lalgicadepredicadosdeordensuperior294 2Lameta teora295 3Laslgicasllamadasno-clsicas299 4Lgi ca,lingsticaypsi col og a325 5Apndice:Lgi caformalyFilosofa336 Apndice.Ejercicios de deduccin351 1Probl emas351 2Sol uci ones37] NOTAPRELIMINAR EntrelosmltiplesproyectosqueAlfredoDeaodejpendientesal morir,seencuentralarevisincompletadeestanuevaedicinconjunta delosdosvolmenesdeunIntroduccinaloLgica,quehadebidoser reconstruidaaproximadamenteporsusamigosapartirdemateriaks dispersos.--Las modificacionesms importantesqueAlfredoDeaotenapensadas afectana los ejercicios, queaparecenahoraconsiderablementeaumentados y reunidosen el Apndicefinal,y alcapituloantestituladoPerspectivas. Lostemastratadosenstedeberanaparecerampliadosyreorganizados enelnuevoCaptuloIV,Msalldeestelibro.Pordesgracia,su trabajoquedinconclusoy, siendoelfrutodesusideassobrelosltimos desarrollosdelalgicaencamposanfluidos,esirreconstruible.Los materialesutilizadosparaterminardealgnmodoelcaptulosondema-siadoviejos,dadoqueenlos-ltimostiemposAlfredoDeaohaba dedicadomucha atencin a laslgicasno-clsicas,porloquetenamuchas cosasnuevasquedecir.Aunpretendiendoofrecernarrativamenteuna caracterizacinbrevey pedaggicadeesaslgicas,esevidentequenose reducaapresentaruncatlogo,sinoqueseesforzabaporhallarunos criteriosparaorganizaryclarificaresasdivergenciasycomplementos delalgicanormal.EncuantoalltimoapartadoLgicayfilo-sofadeesecaptulo,sehaoptadoporreproducirsinmodificacin laconferenciaquebajoelmismottulopronunciaraAlfredoDeaoenla UniversidaddeLaLagunaenenerode1976. Haymuchasotrasmodificacionesmenoresalolargodetodoellibro. Laobrafuepeinadaensutotalidad,corrigiendoerrataseintroduciendo todotipodemejoras.Haytambinunagrancantidaddeejemplos 12Introduccinala lgicaformal suprimidosafindeagilizareltexto.Contodo,laeliminacindeciertos ejemplosespecialmentechispeantessloseentiendeteniendoencuenta queAlfredoDeaoerademasiadodelicadocomoparaheririnnecesaria-menteiasusceptibilidaddealgunosmiembrosdelacomunidadfilosfica, talvezlectoresdesulibro.Quizhayaqueincluirenestacategora el antiguoejemplodedisyuncinnoexcluyente: Seaprendecienciasocul tasestudi andolaobradel ostesofosol eyendoa Althusser. Noesprobablequeentretantohubiesemodificadosuopininacercade semejantesproductosfilosficos;msbienpareceraquesuoptimismo lellevaseacreerqueinclusosuspracticantespodanserganadospara lalgica. Unodelosproyectosnisiquieraemprendidosconsistaenredactar unnuevoPrefacioqueenglobaselosdosanteriores,recogiendoadems lascrticasrecibidasapropsitodellibroeinsistiendo,unavezms, enlanecesidaddehacercompatibleelrigorlgicoconlaelegancia (y,alapostre,elrigor)dellenguaje.Comosueleocurrirconlos Prefacios,esatareaquedparaelfinalynisiquierallegainiciarla. Slo hanquedadouna serie de anotacionesredactadasendiversosmomen-tos,enlasquesemencionandiferentestemasatocar,afindequenada sele quedaseeneltintero. Unabuenapartedeesasnotasaludealcarcterdelanuevaedicin, sealandolanecesidaddeintroducirprecisionesdecarcterpedaggico*. Indicabaquelaenseanzadelalgicasehallaentensinentreaquellos quenoentiendeelsimbolismoylosquelodanporsuperado.Haca continuamente hincapi en que habapretendidoaunar la lgica con el buen castellano, cosaque consiguicumplidamente.Eneste sentidocomentaba: huboqueecharliteraturaparahacerlalgicaencantadora. Porloquerespectaalcontenidodelasmodificaciones,deseaba sealarlasupresindeunabuenacantidaddenotasydeunoscuantos prrafosdeiaantiguaIntroduccin(ahoraCaptuloI:Primeros Conceptos),Noquisomodificarapenaselrestodelcaptulo,prefiriendo retomaresascuestionesaunmayornivelalfinaldellibro. Sealabatambinquesulibronopretendacompetirconotras obrasintroductorias,sinoquequerasermsbienunapropeduticaa ellas.Conestafrmulamodestanoindicabaquesulibrofuesems elementalqueotrosmanuales,sinoquetenaunfindistinto.Elsuyono erasimplementeunmanualde textoparaalumnosdelgica,sinotambin unaverdaderaintroduccinpropagandstica(ensentidoetimolgico) alalgicaparacualquierpersonainteresada.Parauncursodelgica *EnrelacinconlasideasdeAlfredoDeaoacercadelacuesti n,podrenbreve verseuntrabajosobrelaenseanzadelalgica,recogi doenelvol umendeartculos suyosquepublicarTaurus. Nota preliminar1 3 casicualquiermanualesbueno,dadoquelasinsuficienciasdeltextoas comosusoscuridadespuedensubsanarseenclase.Lorealmentedifciles escribirunlibroquealguienpuedaleer,entenderydisfrutarporcuenta propia,metindosetambindellenoenlosproblemasfilosficosquela lgicasuscita.Esaeslatareaqueseimpusoyquetanbrillantemente realiz.Enestesentidodecaqueelsuyoeraunlibroparaleerde corrido paraintroducirse,atravsdel,enlalgicaynounlibro deconsulta.Pensabaqueeramuyimportantesealaresoynose explicabamuybiencmoselehabaolvidadodecirloenlaprimera edicin. Lainmersinenlosproblemasactualesdelalgica,especialmente eldesarrollodenuevaslgicassuscitadasporproblemasexternos,deba producirseenelcaptuloIVinacabado,yparaelloconsiderabanecesario introducirhistricamentelosproblemasquetratandesolucionar. Finalmente,deseabaextendersulistainicialdeagradecimientosaper-sonascomoJosFerraterMora,JosLuisZofioyJessHernndez, entreotrosquenomenciona. Madrid, 1978CarlosSolis [(Aadidoenla segundaedicin.)Enesta nuevaedicin sehacorregido unerrordelasanteriores. Elsistemadededuccinnaturalutilizabauna regla de eliminaciny otrade introduccinpara cadaconectiva. Elproblema planteadoconelloeraquesibienenesesistema,conlasreglasde introducciny eliminacindela(simple)negacin, sepuedeobtenerlade introduccindeladoblenegacin, nosepuedeobtenerladeeliminacin deladoblenegacin, detanfrecuenteusoenlasreduccionesalabsurdo. (Ala inversa, conlaregladeeliminacindela(doble)negacinsepuede obtenerladeeliminacindesimplenegacin,conocidacomoexcontra-dictionequodlibet)Eldeseodemximasimplicidadysimetraenlas reglas primitivasdalugaraunsistemainticionistaincapazdegenerarel sistemaclsico,comoseradedesearenunaobraintroductoria,inclu-yendo, v. g., lasreglasdeDeMorgan.Lasituacinpodraresolverseaa-diendocomoprimitivalareglacorrespondientealprincipiodetercio excluso,paraderivarluegoconsuayudalaregladedoblenegacin. Haparecido,sinembargo,mseconmicosustituirlaantiguaregla primitivade eliminacindela(simple)negacinporladeeliminacinde la(doble)negacin,rompiendoaslasimetraconladeintroduccin dela(simple)negacin,aunqueobteniendoacambioladoblereglade contraposicindelcondicionaly, conella,laantiguareglaprimitivade eliminacindela(simple)negacin.Elrestodelasdemostracionesseha corregidodeacuerdoconello.] PROLOGO Acostumbran los autores a rematarlos prlogos de los librosmostrando suagradecimientohaciatodosaquellosquedeunmodouotrohan ayudadoaqueellibroseescribiera.Nosotrosterminaremostambin el nuestrodeesemodo.Vamosaempezarlo,sinembargo,dedicandoun recuerdoalosenemigos:silosamigoshanhechoposibleestelibro, los enemigosnos lohanhechonecesario. Ydosson,enEspaaen1973,losenemigosfundamentalesdela jcaformal: los que,paraabreviar,llamaremosdialcticos,yaquellos os a los que, enun sentidoque luegoexplicaremos,vamosadenominar dievales. IVlosprimerosdebemosalgunasdelasmanifestacionesmsirritantes y a lavez regocijantesacercadelacienciaqueconestelibroempezamos aexponer.Handadoenpensarquelalgicaformalesunaespeciede DerechoMercantildelintelecto:asicomostenoseraotracosaquela regulacin jurdicade determinadosprocesoseconmicos quetienenlugar en" lasociedadcapitalistayquedesaparecernconsta,astambinla lgicaconstituiralaregulacinformaldelosprocesosdepensamiento qusedesarrollanenlasmentespositivistas.Lalgicaformallgica del pensamientoadministradohadeser,comoelcapitalismo,superada. Esimposibleocuparseaquendetallesdeanalizarestaidea,siesque deunaideasetrata.Unadedos:oesquehayquepostnlarJaextra- a n t ehiptesisdequesondoslostiposdecerebrohumanocerebros ffieadenados, con conexiones neuronales de carril, de cuyoautorrepresivo *EstePrlogopertenecealvol umenIdelaIntroduccinalalgicaformalque otaba' deloscaptulosIyIIdelaobraactual. 15 1 6Introduccina la lgicaformal comportamientodaraperfectacuentalalgicaformal,y(fasesuperior enlaevolucin)cerebroslibres,deneuronagil,cerebrosbravoscapaces dedesconcertantesconexiones,cerebros,ensuma,dialcticos,entre comillas;o,portoscoqueparezca,esqueloquesepresentacomo avanzadadelareflexinfilosficanoconstituyeenmuchoscasosms que el retornoa formasprimitivasdepensamiento.Lalgicaencuanto tal,eindependientementedelosusosquedeellasehayanhechoo pretendannacerseessolamenteunaciencia:niadministraniprescribe. Se limita a presentar formalizada mente las leyesalasque lamentehumana se atienecuandoseaplicaarazonar. Pormedievalesentendemos,noloslgicosdelaEdadMedia amuchosde loscualesse debenesplndidascontribucionesaldesarrollo deestaciencia,sinoaquellosparaquieneslalgicaformalsereduce alalgicaqueseimparteennuestraEnseanzaMedia.Esunalgica quepareceescritaporunprecursordeAristtelesnodemasiadoagudo. Tampocomerecelapenaquenosocupemosdeella.Lahistoriamarcha ensucontra. Ciertoquelaactitud,envaradayesotrica,demuchoslgicosfor-maleshafavorecidobienpocolageneralizacindelintersporesta disciplina.Persuadidosdelcarcterautosufcientedesuciencia,seconsu-men en la contemplacinde su pureza cristalina, como diraWittgenstein, y, noqueriendoque sucienciase contamine, laenrarecen.Parecenolvidar quelaproposicinTodoloquenoesfoanalizablenoestenel mundoesfalsa. Nadadetodoestohahechoalalgicaperdersuimportancia. Ellaylamatemticasoncienciasquepenetrantodaslasdemsciencias. Ella,tantoomsqueotrasciencias,nutredeproblemasalafilosofa. Noesslo,portanto,lafecundidadfilosficadesuestudio:estambin launiversalidaddesuaplicacin,lainevitabilidaddesupresencia,loque noslahace,msanqueinteresante,necesaria.Lalgicaes,alavez, capacidaddeanlisisy posibilidaddeirona. Al emprenderlaredaccindeestelibroperseguamosvariosobjetivos. Confesaremostres:hacerunlibroclaro; hacerunlibroirnico;hacerun libroclaroeirnicosinmenguadelrigor.Conotraspalabras:hacer unlibrotilynodemasiadoaburrido,perounlibroserio.Unlibro medianteelcualpuedaquienlodeseeiniciarseseriayfcilmenteenla lgicaformal. Demasiadofcilmente,hadedeciralguno.Demasiadaspginasslo paraexponerlalgicadeenunciados.Demasiadasconcesionesenla presentacindetematanelemental. Encuantoaloprimero,nuestraexperienciadocenteenFacultades espaolasdeFilosofanosdicequenuncaesdemasiadofcilunaintro-duccinalalgica:queesdemasiadofcilexponerlalgicaabrupta-Prlogo17 mente,ybastantedifcilhacercomprenderculesellugarabstracto lugarquelalgicaocupa.Hemosenseadolgicaaalumnosdela especialidaddeFilosofayaalumnosdelaespecialidaddePsicologa. Losprimerosnoshanobligadoaintentarprecisarlafuncindela lgicacomoinstrumentodelareflexinfilosfica.Alossegundoshemos deagradecerleselque,atravsdesudesconfianzarespectodelautilidad de la lgicaparala psicologa,nos hayanforzadoabuscarloformalenlo concreto,aventilarlalgicaponindolaencontactoconelestudio empricodenuestrosprocesosintelectuales,Enunosyenotroses decir,enpersonasqueenvirtuddelosplanesdeestudiovigentessehan vistoprivadasdeconocimientosmatemticos,ohanhuidodeellos estel origende estelibro.Libroque,sinembargo,nosedirigesloalos alumnos:tambin,yenlamismamedida,atodosaquelloslectoresque simplementequieraniniciarse,conmuchasfacilidadesyunciertosentido delhumor,enstequeelfascinanteLewisCarrolcalificdearte fascinante. Tampocofaltarnquienesnosacusendehabernosdemoradoenla lgicadeenunciados,dehaberdedicadotodounvolumenalclculo lgicomselemental.Peroesquesiparaunlgicoavezadolalgica de enunciadosnorevisteespecialintersterico, especialintersdidctico revisteparaelprincipianteenlgica.Manejandoeseclculosencilloy domsticopodradiestrarseparaempresaslgicasdemayoralcance. Podra,porltimo,reprochrsenoselhaberintroducido,enlaexpo-sicindeconceptosytcnicastanpococomplicados,demasiadasexpli-caciones,elhabernosrepetidotanto.Tambinaquhemosderecurrir alasenseanzasdenuestraprofesinde enseante.Volveratrs,repetir loyadichomuchasveces,hasido,paraelalumno,unanecesidad,y, paranosotros,unmotivodeimpaciencia,Ciertoque,tratndosedeun textoescrito,ladificultadsemitiga.Lebastaraallectorinteresadocon volverapginasanteriores.Perohemospreferidoahorrarleeseesfuerzo haciendonosotroselderecordarlelonecesarioenelmomentooportuno. Sonyamuchosloslibrosdelgicapublicados.Muchostambin los traducidos al castellano. Y son tres los escritosrecientementeennuestra lengua: losdeManuelSacristn*, JessMostern**y ManuelGarrido***. Suponemosquelaafirmacindequetodasestasobrasy,enespecial, lastresltimas,hacensuperfluoestelibrosertomadacomoafirmacin retrica. Noes retrico el reconocimientode nuestradeudacontodasellas. Llegadalahoradelosagradecimientos,hedemencionarelquedebo alDepartamentodeFilosofadelaUniversidadAutnomadeMadrid, *Introduccinalalgicayalanlisisformal.Barcel ona,Edi ci onesAriel,1964. **Lgicadeprimerorden.Barcelona,Edi ci onesAriel,1970. ***Lgicasimblica.Vol umenl.Madri d,EditorialTecnos,1973;segundareimpre-sinrevisada,1977. 18introduccin a a lgica formal construidoporelprofesorCarlosPars,yalequipodetrabajoqueen el I. C. Rde esamismaUniversidady bajoladireccinde JuanA. delVal, desarroll,mientraspudo,elproyectodeinvestigacin2.2.1. GustavoBueno, enlaFacultaddeFilosofayLetrasdelaUniversidad de Oviedo, en 1961, me inici traumticamente en la lgica formal,y enotras muchascosas. Numerososamigosporordenalfabtico,PilarCastalio,VidalPea, CarlosPiera,JavierPradera,VctorSnchezdeZavala,CarlosSols, PilarSoto,JuanA. delVal,etc.hanseguidoconuninterstotalmente desprovisto dejustificacinla gestacin de este libro, llegandoalgunosinclu-soaleerpartesdel. QueloescribiramosfueideadeJavierMuguerza.Noporeso,sin embargo,hadeconsiderrseleculpable. Losalumnosquehanvenidoescuchndonostresvecesporsemana enlosltimostiemposson,yalohemosdicho,laverdaderaraznde que este libro exista, y, aunquenopensamosobligarlesa que loadquieran, esperamosquesuexistenciaseaunaraznparaque,enmediodeotras tareasmsurgentes,dediquenalgnmomentoalestudiodelalgica. Siendola especialidaddeMercedesCabreralahistoriacontempornea deEspaa,nopuededecirsequelaayudaporellaprestadahayasido deordentcnico. Madrid,6 deseptiembrede1973. ALFREDODEAO NOTAALASEGUNDAEDICIN* Noshemoslimitadoacorregirlaserratas,erroreseinconveniencias que hemospodidoencontrar,ascomoaintentarmejorarlapresentacin deltexto. Madrid,5 deabrilde1975. A.D, *Setratadela2.'edi ci ndelVol umenI. NOTA AL VOLUMEN2 EstelibroconstituyelacontinuacindelaIntroduccinalalgica formal(i.Lalgicadeenunciados) publicadaenestamismaColeccin** y recientementereeditada.Estasegundaentregaconsta,comopuedeverse porelndice,dedospartes.Laprimeraymslarga,conmucho contiene unainiciacin facilitadacon ejemplosnumerososy reiteraciones constantesalalgicaelementaldepredicadosentodasuextensin, ysecompletaconuncaptulodeejercicios.LaSegundaPartese componede uncaptulotituladoPerspectivasy deunabreveBibliogra-fa.Porloquehacealprimero,setratadichoseaenelestilode algunosde nuestrosensayistas de uncaptuloalfizar,cuyopropsito noesotroqueeldeasomarallectoralosmltiplesyvariados desarrollosquemsalldeloexpuestoenestaobraestlalgica formalexperimentando.EncuantoalaBibliografa,yasehadichoenel lugaroportunoquesetratatanslodeunamnimaseleccindetextos, guiadaenmuchasocasionesporlaspuraspreferenciaspersonalesdel autor,ylimitada,enotras,porelcasiinsuperablehastoqueleproduce confeccionarlistasdepublicaciones.Contodo,esdeesperarqueesa relacindelibrossurtasusefectos:elefecto,sobretodo,deestimular aleermsy,desdeluego,mejorescosassobrelgica. Estesegundovolumen.esdeliberadamenteescueto(no,porsupuesto, enelestilo,sinoenelcontenido).Quedan,sinduda,muchostemaspor tratar,oportratarmsdetenidamente.Hemoscredo,sinembargo,que *Estanotapertenecea!Vol umenIIdelaIntroduccinalalgicaformal,que constabaaproxi madamentedeioscap tul osIII>IVyApndi cedelaobraactual. **AlianzaUni versi dad,n."64. 2 0Introduccina la lgicaformal eracosade tratarlosdeotromodo.Node modointroductorio,resignada-mentedidkcticoy sinodemaneraproblemtica,nocodificada,msacorde conel carcter abiertode esas cuestionesque aquiapenashemosbordeado, peroalgunasdelascualesnosproponemosafrontarenotrolugaryen otrotono.* Las consideraciones generales que hacamos en el Prlogoal VolumenI yquepresentabanalalgicaformalterciandoentre,deunaparte,el oscurantismoylaflojerapseudo-progresista,y,deotraparte,entrela gaseosaespeculacingratuitaylapobreastringenciaformalistasiguen siendovlidasaqu.Losagradecimientos,tambin,aunquehabraque multiplicarlosennmeroeintensidad. Madrid,19dejuliode1975. AlfredoDeao. *Untratamientomsdetenidodeesasotrascuesti onespuedeverseenA.Deao, Lasconcepcionesdelalgica,Madrid,TaurusEdiciones,1979. CaptuloI PRIMEROSCONCEPTOS Ellenguaje ysususos Lalingsticacientficanoshaacostumbradoasaberquenuestras posibilidadesdeusodellenguajesonpropiamenteinfinitas.Enefecto: eldominiodeunalenguaconsisteesencialmenteenlacapacidadde recrearlaconstantementeproduciendodecontinuooracionesnuevas(yno slofiaseshechas).Asuvez,esasinfinitasoracionesnuevaspueden enunciarseeninfinitoscontextosdistintos.Nosservimosdellenguaje1 paralosmenesteresmsdiversos:parahacerpreguntas,paraelevar splicas,paradarrdenes,paraproferirinsultos,paraexpresardeseos. Ytambin,aveces,paraformularafirmacionesacercadelosobjetos, esdecir,paraenunciarhechosodescribirsituaciones. 1Otalvez,enotrosenti do,sesirveldenosotros,ynosot ross omospresasdel. Recordemos,porunaparte,aHumptyDumpt y,elpersonajedeLewi sCarrol{Atravs delespejo,cap.VI)ysusarrogantesmanifestaciones,propiasdeunseordellenguaje: Cuandoyousounapalabradi joHumpt yDumpt yenunt onomsbien des deos oesapalabrasignificaexactamentel oqueyoquieroquesignifique. Nimsnimenos. Lacuestinestdi joAl i ci aensiustedpuedehacerquelaspalabras signifiquentantascosasdiferentes. Lacuestinestdi joHumpt yDumpt yenquineselquemanda. Esoestodo. Perorecordemostambinal osfilsofosquehandi choqueelhombrey,emi nentemente, elhombrefilsofoestprisioneroenlasredesdellenguaje,seduci doporellenguaje (Ni etzsche,Werke,II(ed.Schlechta),pgs.789y790),embrujadoporl{Wittgenstein, PhilosophischeUntersuchungen,n.*109). 21 2 2Introduccina la lgicaformal i^e_rujia--Pieguntanotiene_sentido_plantearseelproblemadesies gexdajdej^o^faisa,de,.si ..enuncia.o_, nounej^ajo^e' cos' T quedehecho" seda2.^tEQ^tanXcL_cabeidecirdeunaexclamacinodeunasplica, porejemplo3.Laspreguntas,lasrdenesolassplicasm>,.ifinfinjyalor.^ everdad.5Jo.tienenencambio,^y,.nece^riamfiiite,Jajs^^que facemos,.acercadel[mundo. MiiS^tJej^uaje^cu^njo empleamos para hace oracionesverdaderas o,.falsas.lo.llamamos^desde,-Aristteles^.-uso...apojantico.,.(dehnqxxais, declaracin,enunciacin).Tododiscurso(Xyos) diceAristteles essignificativo(...).Perojig^.todo_discurso._es.^pofntico,sinoslo aquelenelquesedaelser. verdaderoofalso.Nosedaestoentodos, pues,porejemplo,unruegonoesniverdaderonifalso.Yaade: Estainvestigacinesunainvestigacinacercadeldiscursoapofntico4. Lalgicaactualnoseocupaexclusivamente,aunquesbsicamente, deldiscursoapofntico,esdecir,deaqueltipodediscursocaracterizado porquesusenunciadostienenforzosamenteunvalordeverdad.Aeste tipo dediscursojsjejejfenia.tam indic^iy^^.esc_riptiyo,asertrico,aseverativo,etc. Sealasiguienteoracin: GregorioSamsaseconvirtienunmonstruosoinsecto. Traduzcamos esa oracin, escrita en castellano, a algunasotraslenguas: GregorSamsahatsichineinemungeheuerlichenInsektenverwandelt GregoriusSamsainimmaneminsectumseconversit GregorySamsabecameamonstruousinsect GregorSamsas'esttransformdansunmonstrueuxinsect GregorSamsasitransformoinunmostruosoinsetto-He ahseis oraciones.Seis oracionesquesondistintas,porquesonseis distintasmanchassobreelpapelyalavezseismanchasdistintas sobre el papel. Y, sinembargo, enunsentidomuyclaroesasseisoraciones dicen lo mismo. Con otras palabras: esas seis oraciones distintasenuncian unamismaproposictfl. j j ^ j g j p f c. ^ ^ Alproductodeeseactolingsticolellamamos'enunciado'.Alhablar 2Por ejemplo, 1a pregunta ciertamente nohabi t ual Porqu quienamanunca/busca verdad,si noquebuscadicha?(ClaudioRodrguez,AlianzayCondena)uoes,encuantotal, niverdaderanifalsa(aunquespuedeserlolaafirmacinalaquecabratraducirla: Todosl osqueamanbuscandicha,noverdad). 3PorrespectoaunaespeciedeexclamacincomoAm,tanl uego,habl armedel finadoFranciscoReal(J.L.Borges,Hombredelaesquinarosada),elprobl emadela verdadylafalsedadnosurge.Y,quinsepararaabuscarelmt ododeverificacin deunaexpresincomoPeroesprame/gurdametudulzura(Pabl oNeruda,Losversos delcapitn). 4DeInterpretatione.16a33-17a7. Primeros conceptos 2 3 de un enunciado estamos, por tanto, hablandoconjurame^^omidioracin, ydel j Ppr o posicinqueenell^"sT"xpres7*Yasdiremos,porejemplo, queelenunciado'GregorioSamsasevolviinsecto'esverdadero5. Lenguajeymetalenguaje 'Unfamosopoetaes menos inventorquedescubridor*,dijoAverroes, escribeJorgeLuisBorges6. DiceHiplitoensuobraRefutatioomniumhaereseum1:lafrase 'elbienyelmalsonuno* fueescritaporHerclito8. EsverdadqueVale-Inclnhaescrito:AbordodelaDalila,lo recuerdoconorgullo,asesinasirRobertoYones9. Qutienenencomnlastresafirmacionesqueacabamosdehacer? Ciertamente,nielmasempedernidodefensordelaideadequetodo estrelacionadocontodoseatreveraadecirquelostrestextoshablan delmismoasunto,oqueenellossemencionaalasmismaspersonas. Y,peseaello,esinnegablequetienenalgoencomn(ademsdesu artificiosidad).Loquetienenencomnesqueentodosellossedaloque pudiramosllamarunaes tratificai donidel^ nguj j JS^ n" to doselloscabe observaTTa"p7snciade~lKstirrto^^efecto.Hay,en primerlugar,encadauno_de^ ellos,unafrase'Unfamosopoetaes menosinventorquedescubridor','Elbienyelmalsonuno','Abordo delaDalila,lorecuerdoconorgullo,asesinasirRobertoYones', respectivamentequeserefiere,opretendereferirse,alarealidadextra-lingistica,almundTEh^ntramosflTsegundotrmino,unasexpresiones^ dijoAverroes','fueescritaporHerclito'y'Vale-Inclnhaescrito' quenoserefierenaunaj^alidad^jenaelmal,lospoetas, s?RobertoYones, sinoa l^sjrasesantes^citad^as.Son,pues,expresiones, quenose_jgfierenpropiamentealmundo,,sinoaotrasexpresiones JN o hablandelmundo,sinodealgoquesehadichoacercadelmundo. Yestn,porltimo,otrastresoraciones'escribeJorgeLuisBorges', 'diceHiplito'y^'esverdad'queserefieren,noalosobjetos,nisiquiera 5Almenosenlaficcinnotanficticia,despusdet ododeKafka. 6EnsurelatoLabuscadeAverroes.GeorgCantor,fundadordelateoradeconjuntos, pensaba,comobuenplatnico,quenoestabai nventandonada.Porelcontrario,consideraba sutareaparecidaaladeunnotari oquelevantaraactadelaexistenciadeunadeterminada realidad:enestecaso,ladel osconjuntos,suspropi edadesyrelaciones.Inclusosiambas afirmacionesl apresuntadeAverroesyladeCant orfueranciertas,ellonoquerra decir,comoveremosalhablardelalgicadelaidentidad,quesermatemti coyserpoeta sealomi smo,sinosloynoespo c o quenosoncosascompl etamentedistintas.Cfr.,en cambi o,Wittgenstein,BemerkungenberdieGrundlagenderMathematik,I,167:Elmate-mticoesuninventor,noundescubridor. 7IX,10. 8Fragm.58. 9DelaAutobiografaaparecidaen1903enlarevistaAlmaespaola. 2 4Introduccin a lalgicaformal alasexpresiones^antesmencionadas,queserefierenalosobjetos, sincTalasexpresionesqueserefierenalasexpresionesqejse^efiergn a'losobjetos.As, enel casodeltercerqjrhplo,nodecimosqueseaverdad queValle-InclnasesinoasirRobertoYones,sirioqueesverdadque dicequelohizo.( Enlostresejempjopropuestoshay,jf^ues^unniveldelenguaje al que llama remos nivel Lo en el que ..estamos^; aobjetosnolin^ sti col "Otronivel,elLlyenelquenosehablade objetos,siriodelasexpresionesdelniyeTTp.Y_u'njtfcr'nivel",' elL2,en TquefacernoTTeferenciaa,jgs^x^r^io^es^dejniyelLj.Enesquema: *Un famosopoetaesmenosinventorquedescubridor*dijoAoerroes, escribeJ.L.Borgcs U Es fcilver quelaseriedenivelespodraprolongarseindefinidamente: nivelL3,nivelL4, L .Cabra,enefecto,decir,porejemplo:afirma AlfredoDeaoqueJorgeLuisBorgesescribequeA ver roesdijoqueun poetaesmenosinventorquedescubridor.Etc. Enrigor,porrespectoaundeterminadoniveldelenguajeelL2. porejemplo, Jodosj osnivelesinferioresenestecaso,elL0yelLA econ sidera.n .cama^iEuciiconi.yfJ. Puesbien:1lenguajey^acercadej a tro lenguajelellamamosmefiafepQuaie -dfiue^te^TtlpLb.~Y~-a-es te-imo ieJlamamosiMguaje-gpjqtoporrespectoalanterior.As,enelsegundo ejemplo,laoracin'diceHiplitoensuRefutatioomniumhaereseurn seraunaexpresinmetalingsticaqueserefierealaexpresindel lenguajeobjetolafrase'elbienyelmalsonuno'fueescritapor Herclito. Obviamente, los conceptos de lenguaje-objetoy demetalenguaje no deben entenderse en sentidoabsoluto, comosi hubieraunasexpresiones quefueranmetalingsticasentodosloscasosyotrasquenopudieran serlonunca.Ciertoque hayexpresiones como, porejemplo,laexpresin 'esverdadero'(ytambin,naturalmente,'esfalso' )1 0queserefieren siemprea enunciadosynoacosas:laexpresin'esverdadero'serefiere, concretamente,alacorrespondenciadelosenunciadosconloshechos y,portanto,pertenecesiempreaunmetalenguajeporrespectoaaquel oaaquellosenunciadosalosqueserefiere.Ellonoobsta,sinembargo, paraquepuedadecirseengeneralqueelqueunaexpresinpertenezca almetalenguajeoallenguajeobjetoenrigor,aunmetalenguaje oaunlenguaje-objetodependedelpuestoconcretoqueesaexpresin 1 0Entendi endo'verdad'c omoveritassermocinalis.esdecir,comolaverdaddeun enunci adoquedescribeunestadodecosasquedehechoseda{adaequatiointellectusetrei). Primeros conceptos2 5 ocupedentrodeundeterminadocontexto.Veamosunejemploconlas nocionesdeverdady. falsedad.Enelenunciado Esverdaderoque* AbulcsimhaestadoenChina\esfalso laexpresin'esfalso*perteneceallenguaje-objetoporrespectoala expresin4esverdadero'(aunquepuedadecirsequepertenecealmetalen-guajeporrespectoa'AbulcsimhaestadoenChina1).Encambio,ene enunciado(quevieneadecirlomismoqueelanterior,asaber,que AbulcsimnohaestadoenChina) Es falsoque"AbulcsimhaestadoenChinesverdadero LjL0 laexpresin'esverdadero*perteneceallenguajeobjetoporrespecto a 'esfalso'(si biencabradecirquepertenecealmetalenguajeporrespecto alaexpresin'AbulcsimhaestadoenChina'). Usamos,pues,ellenguajecasisiempreparareferirnosalosobjetos, a objetosno lingsticos. Usamos primariamenteel lenguajeenlugarde los objetos1 1.Perohayocasionesenqueusamosellenguajeparahablar acercadellenguaje(comosehacesistemticamente,dichoseadepaso, enlalingstica).Usamosentoncesunmetalenguajeparamencionarlas expresionesde unlenguaje.Losconceptosdeusoymencin sonparalelos alosdelenguajey metalenguaje.Cuandodecimos,porejemplo, escuchabalalluviadelascabellerasenloscristalesdemiindolencia11 1 1Cfr.yaAristteles:Uti l i zamoslosnombrescomosi gnosdelascosas[DeSoph.EL, 165a7-8).JonathanSwiftcuenta,enlosViajesdeGulliver,c mounodel osproyectos delosprofesoresmi embrosdelaRealAcademiadeLa gadoeraunplanparaabolir porcompl et olaspalabras,cualesquieraquefuesen;ysedefendac omounagranventaja, tantorespectodelasaludcomodetabrevedad.Esevidentequecadapalabraquehabl amos supone,enciertogrado,unadi smi nuci ndenuestrospul monesporcorrosi n,y,porlotanto, contribuyeaacortarnoslavi da;enconsecuencia,seideque,siendolaspalabrassi mpl e-menteelnombredelascosas,seramsconveni entequecadapersonallevaseconsi go todasaquellascosasdequefueranecesariohablarenelasuntoespecialsobreelquehaba dediscurrir.Yesteinventosehubieseimplantado,ciertamente,congrancomodi dady ahorrodesaludparal osindividuos,denohaberlasmujeres,enconsorci oconel vul goylosignorantes,amenazadoconalzarseenrebelinsinoselesdejabaenlibertad dehablarconlalenguaalmododesusantepasados;queatalesextremosllegsiempre elvul goensuenemigaporlaciencia.( DelatraduccinpublicadaenlaCol ecci n Austral.Madrid,Espasa-Calpe,1941,pg.148).LoquehahechoSwiftynocabe dudadequeconestaprosaicaobservacinestamosechandoaperderlainmensagracia deestaTabulacinsuyaesexplotarelabsurdoerrorconsi stenteenpensarqnelas palabrassonsimplementeelnombredelascosas.Enefecto:comoesbiensabi do,el lenguajenoesunconjuntodertulos,sinounaparatoconceptual . 1 1AndrBreton-PhilippeSoupaul t:57/vousplait,actoprimero. 2 6Introduccina la lgicaformal 1 3Ca ben,portan to,t respo sibil id a des: 1.*Usar,si mpl emente,unapalabra{esdecir,usarlasinmencionarla),comocuan-dodeci mos: Lasgarzasnopracticanlaa utocritica. 2."Usarlayalavezmencionarla,usarlaparamencionarla,comocuandodeci mos: 'Autocrtica'esunapalabraquelasgarzasnoemplean 3.1Mencionarlasinusarla,comocuandodeci mos: Lapalabraquesirveparadesignarlaactividadmediantelacualalguiensomete acrticasuspropiasideasoactuacionesnofiguraenelvocabulariodelasgarzas. 1 4ElsiguientetextodeLewi sCarrollproporci onaunadivertidamuestradejerar-qui zad ndellenguajemedi anteunaacumul aci ndemenci ones: EststristedijoelCaballerocontonodeansi edad.Perm temequete canteunacanci nparareconfortarte. Elnombredelacanci nsellama'Haddock'sEyes\ Asqueeseeselnombredelacanci n,no?preguntAlicia,i ntentando sentirseinteresada. No,nomeentiendes...Asescomosellamaelnombre.Elnombreenrealidades lTheAgedAgedMan'. Entonces,loquetendraquehaberdi chodi joAliciarectificandoesque asescomosellamaSacanci n,no? loqueestamoshaciendoesusar laspalabrasparatratardeexpresaruna determinadayrefinadasensacin,Cuandodecimos,encambio, laexpresin'democraciapopularesunaredundancia estoy,sinduda,usando ciertaspalabrasestoyusandotodas laspalabras queheempleadoparadeciresoperolointeresanteaquesque algunasdeesaspalabrasconcretamente,laspalabras'democracia'y 'popular',ademsdeestarsiendousadas,estnsiendomencionadas. Lashemosusadoparamencionarlas;lashemosempleadoparahablar acercadeellasmismas. Noslimitamosausarunapalabracuandonosservimosdeellacomo signo,esdecir,paraaludiraalgodistintodeellamisma(comocuando empleamos la palabra'viento' parareferirnosaundeterminadofenmeno delanaturaleza,ocomocuandoempleamoseltrmino'priscilianistas' paraaludira lospartidariosdeciertahereja).Mencionamos,encambio, unapalabraademsdeusarla,ousndolaconesefincuandonos referimosalapalabramisma,cuandonosdetenemosenella,sinirms all1 3.Lasealdeestadetencinenlapalabralaindicacindeque estaveznonosreferimosalacosa,sinoquenosquedamosenellen-guajesonlascomillas: 'Amar'esunverbodesignificadomuycompl ejo Almar,l osmarineroslellaman*lamar' Et c .1 4Primeros conceptos27 Hastaelmomento,yparasimplificar,hemosvenidohablandodeuso y mencindelaspalabras.Habraahoraquegeneralizaryhablardeluso ylamencindeexpresionesincluyendonoslopalabrasdetodo tipo,sinotambinfrasesenteras,simplesocompuestas.Enrealidad, cadavez queempleamosunmetalenguajeestamosusandolasexpresiones destey,alpropiotiempo,estamosusandoyalavezmencionandolas expresionesdellenguaje-objetodequesetrate. Sintaxis,semnticay pragmtica Tomemoslasseisafirmacionessiguientes: (1)Enla frase"eradelaolaestacinflorida'hayunhiprbaton. (2)Por'conjuntovacio"seentiende, enteoradeconjuntos,elconjunto quecarece de miembros. (3)BenjamnPretescribaavecesenunlenguajeespecialenelque, por ejemplo, la palabra francesa'porte-feuilles'significara, traduci-da alcastellano, 'estanquecubiertode nenfares'. (4)Elordendelaspalabrasen'deenManchalaunlugar'noesel mismo queen elcomienzo delQuijote., (5)Alguienpodrapensarquelapalabra'algoritmo1vienedelgriego ^Xyo1Cdolor") yapiO^1('nmero'),yquesignifica'nmero doloroso', obien 'dolornumrico1. (6)Porincreblequepuedaparecer,personasquepasanporperitos en psicoanlisis pronuncian la palabra'libido1(dellatnlibido-inis) como si fueraesdrjulo, ynollana. Despusdelodichoenelapartadoanterior,noesdifcilverqueen cada uno de estos seis ejemploshay una expresin 'era del aolaestacin florida1, 'libido', 'porte-feuilles\etc. que esta lavezusadaymencionada. Hemosusadoesasexpresionesparaquesedesignaranasimismas,para hacermencindeellas.Ahorabien:conqufinalidadlashemosmen-cionado?Unalecturaatentadelosseisejemplosrevelaqueenconjunto nos han guiadotres finalidadesdistintas, una porcadadosejemplos.Enlos casos1y4hemosmencionadosendassartasdepalabrasparahablar acercadelasrelacionesentreellas,parahablardeellassinsalimosdel lenguaje,porasidecir.Enloscasos2y5,hemosmencionadouna expresinpararelacionarlaconlo que ella designa. Porltimo, en loscasos 3 y6 hemosmencionadounaexpresinpararelacionarlaconlossujetos quelautilizan. No! Esalgototal mentedistinto!Lacanci nsellama'WaysandMeans'; peroesoessl oloqueselellama. Bien.Entonces,culeslacanci n?di joAlicia,queaestasalturasestabaya compl etamenteatnrdda. Aesoibadi joelCabal l ero.Enrealidad,lacanci nes'A-sittingOnAGate\.. 2 8Introduccina la lgicaformal 1 5Wittgenstein:PhilosophischeUntersuckungen,nm.18. Denominamossemitica alacienciaqueseocupadelestudiodelos signos,odeloslenguajesencuantosistemasdesignos.Lasemiticase divide en sintaxis,semnticay pragmtica.Lasintaxisserel puroestudio delasrelacionesdelossignosentres,lateoradelaconstruccin eidentificacindelassecuenciasdesignosbienformadas:aldecir, porejemplo,quelasartadepalabras'deenManchalaunlugar' est mal ordenada, estamos haciendo una observacin de carcter sintctico. Lasemntica, porsu parte, serladisciplinaquese ocupade lasrelaciones entre los signosy aquelloquestosdesignan,entrelossignosyaquellode locual hablamospormediode ellos (entre los nombrespropiosylasenti-dadesindividualesaqueserefieren,oentrelosenunciadosyloshechos quepretendendescribir,porejemplo):cuandodecimosquelapalabra 'algoritmo' no significa'dolornumrico' estamoshaciendo semnticade esa expresin.Finalmente,la pragmticaseraaqueltipodeindagacinsemi-ticaenlaqueentratambinenjuegolaconsideracindelasrelaciones entre los elementos de un lenguaje y los sujetosindividuos ocomunidades lingsticasqueempleaneselenguajecomomediodecomunicacin. Aspues,cuandoestamoshaciendopragmticanosinteresamosporel lenguajeencuantoformadeconducta,encuantoactividaddeunsujetoo deungrupodesujetos.Ensemntica,sinembargo,hacemosabstraccin delhablante,ynoslimitamosaexaminarlarelacinentabladaentre lossignosquecomponenunlenguajeyaquellasentidadesalasqueesos signos, precisamente por serlo, apuntan: una palabra designar, porejemplo, untipodefenmenoatmosfrico,otraunsentimiento,unaterceranom-braraunfamosoasesino.Ensintaxis,porltimo,hacemosabstraccin detodoaquelloquenosealapuramaterialidaddelossignos,afinde poderestudiarlasnudasrelacionesentreellos:prescindimosdelsujeto hablante,prescindimostambindelareferenciadelasexpresionesaalgo ajenoa ellas; nos limitamosaconsideraraisladamentelaestructuradelas cadenasdesignos,ydecimos,porejemplo,queenlacadenadesignos 'eradelaolaestacinflorida'hayunhiprbaton,unaalteracinpo-ticadelordenhabitualdelasexpresiones. Estareapropiadelasintaxislaconstruccindeclculos. A qullamamosunclculo? Lanocin de clculo Podemosconsiderarnuestrolenguajecomounaciudadantigua: unlaberintodepequeascallesyplazas,decasasviejasynuevas, ydecasasconaadidosquedatandepocasdistintas;ytodoesto rodeadodeunamultituddebarriosnuevosconcallesrectasregu-larmentetrazadasycasasuniformes15.Unpocoantes,enestemismo Primeros conceptos2 9 1 4Unaproposi ci ndebeusarexpresionesviejasparatransmitirunsenti donuevo {Wittgenstein,TrcctatusLogico*Phihsophicus,4.03.) nPhiiosophischeUntersuchungen,nms.19,25. i aYtambin,enunpl anodistinto,enladelosartistasdellenguaje,l osescritores. Si,comodicenloslingistas,lainformacinaportadaporunaunidadlingsticaesla inversadelaprobabilidaddeaparicindeestaunidadeneldi scurso;si,porlotanto, lainformacinqueunhablanteescapazdeproporci onarnosestenfuncindesu periciaenelempl eodepalabrasoconstruccionesinesperadas,di remosquenosinforma menosquiennoshacesaber,porejemplo,quelahullaesnegraquequien,c omoPabl o Neruda,noscomuni caquelahullaeseltotalreversodelanieve. prrafo,hadichoWittgensteinqueelsimbolismodelaqumicaola notacindelclculoinfinitesimal,porejemplo,sonsuburbiosdenuestro lenguaje. Ladistincinentrelenguajesnaturalesylenguajesartificialesesa primeravistamuyclara.Loslenguajesnaturaleslosheredamos.Los lenguajesartificialeslosconstruimos.Loslenguajesnaturalessonlas lenguas, creadas y recreadasconstantementeporla especie eneltranscurso demuchossiglosytransmitidasacadaindividuoeneltranscursode pocosaos.Loslenguajesnaturalessonlosquehablamostodoslos das,esoscomplejosinstrumentosdecomunicacinqueslolasgram-ticasgenerativasparecen hoy capacesdedescribirdemodorelativamente adecuado, esos lenguajesque, dicho demanerarudimentaria,secomponen, enelfondo,deunlxicofinitoydeunconjuntodereglasque permitencombinarhastaelinfinitoloselementosdeeselxico1 6.Los lenguajesson,segndiraWittgenstein,unaformadevida.Hablar espartedenuestrahistorianaturalcomopasear,comobeberocomo j ugar1 7.Poreso,porsertannaturaleinevitable,porconstituirun componentetanprofundode nuestrocomportamiento,poresaraznes el lenguajetanhuidizo, tandifcildecomprender,deaislar,decercarcient-ficamente. PeroenrigorylametforadeWittgensteinapuntaverosmil-menteaestehecholoslenguajesnaturaleshansidotambincons-truidos.Sloqueconstruimosaritmolento,alolargodelasecular relacindel hombreconsumedio: suriqueza, suambigedad,suinfinitud dematicesnosonsinoelreflejodelariquezadeesarelacin.Yun productodeesarelacinunresultadodelanecesidaddecontrolar cientficamenteelmediosontambinloslenguajesartificiales.Loque laxamenteestamosllamandolenguajesartificiales'sonporlogeneral lenguajesde precisin,medios artificiososde expresinconstruidosporlos cientficosafindepoderformularconmayorjustezalasrelacionesentre losobjetosestudiadosporsuscienciasrespectivas.Hablar,comohemos visto, es esencialmente recrear el lenguaje. La explotacinde esta posibilidad de recreacinconstantequeel lenguajeofrecesemanifiestade unamanera puraypremeditadaenlatareadelosconstructoresdelenguajescon fines cientficos18.Losconstructoresde lenguajesartificialesnohacensino 3 0Introduccina la lgicaformal encauzar, dirigir, prolongarel lenguajeen beneficiode las distintasciencias, orientandosistemticamenteenundeterminadosentidolasposibilidades deexpansincontinuaqueellenguajellevaensusenocomosurasgo mspeculiaryprofundo. Nospreguntbamosantes: aqu llamamosunclculo? Losclculosson,naturalmente,artificiales.Losclculosnoson,pro-piamente,lenguajes.Unclculoesunapuraestructura,unsistemade relaciones.Unclculosecomponedelo .siguiente: 1.Un conjuntode elementos primitivos, llamados a menudosmbolos elementales. Ellos constituyen,comoveremos, laspiezas amanejardentro del sistema. Es absolutamente esencial sealar que este conjuntode smbolos primitivoshadeestardefinidodeunmodoefectivo.Unconjuntoest definidodemaneraefectivacuandopodemosdecidir,anteunobjeto cualquiera,sieseobjetoesonoesmiembrodelconjuntoencuestin. Porejemplo,e]conjuntodeloslibrepensadoresquehabitanennuestra SubmesetaSurnoesunconjuntodefinidodeunamaneraefectiva: haymuchoscasosqueplatearanseriasdudas. Paradefinirunconjuntodeunamaneraefectivatenemosdosproce-dimientos:a)Enumerarexhaustivamenteloselementosdeeseconjunto: {2,4,6,8,10}, porejemplo.Esteprocedimientoresultaextremadamente laboriosocuandoloselementosdelconjuntosonmuchosyvariados, yresultainaplicablecuandoloselementosdelconjuntosoninfinitos, comoocurre,porejemplo,enelcasodel.conjuntodelosnmeros naturales,b) Definirel conjuntopormediode unapropiedadlosuficiente-menteprecisacomoparapermitirunadecisinenelsentidoindicado: Elconjuntodelosenterospositivosparesmenoresque12, 2.Unconjuntodereglasreglasdeformacinodecons-truccin que establecencules sonlas combinacionescorrectasposibles deesossmboloselementales.Elconjuntodelasreglasdeformacin xhade proporcionarunadefinicinefectivadelanocinde'expresinbien formadadelclculo',detalmodoqueseaposible,antecualquiercom-binacindesmbolos,decidirsiesonounafrmulabienconstruida. Enloslenguajesnaturaleshaytambinreglasdeformacinquepermiten * combinar los elementos del vocabulariopara componer con ellos oraciones. Loqueocurreesqueenloslenguajesnaturalesesasreglasnoestn formuladas: elhablantedeunalengualasaplicaimplcitamente,yslose hacenexplcitassistemticamentecuandoseelaboralagramtica deesalengua,obienocasionalmentecuandoalgunaconstruccin leresultaextraaalhablanteyleincitaapreguntarseporlasreglas quelepermitirancalificarladecorrectaoincorrecta. Paraunhablantedelcastellanoesfcilveraunquenotanfcil explicarqueunaoracincomoXaheroicaciudaddormalasiesta' (Clarn)estbienconstruida.Tambinleesfcilverqueunasartade vocabloscomo'sobeneplcitoburcratasemperometempscosissingu-Primeros conceptos31 lanzas' estmal construida.Qudecir,sinembargo,deexpresionescomo lascaritidesestructuraronbatipelgicamentelossintagmasmonofisitas'? Desdeelpuntodevistasintctico,laexpresinesimpecable.Esperamos, sin embargo, que lamayorade los lectoresconvengaconnosotrosenque carecedesentido.Lasreghsdeformacindeoracionesenloslenguajes naturales,sobreestarimplcitas,sondefectivasynoefectivas,enel sentidodequepermitenlaentradadeexpresionesqueningnhablante aceptaracomoejemplosdeusonaturaldellenguajeyque,sinembargo, estn correctamente construidas. Por otra parte, la transgresinde las reglas deloslenguajesnaturalestieneestticamente,porejemploperfecto sentido.As,Chomskyhabladelestudiodeladesviacindelasreglas comomedioestilstico. 3.Unconjuntode reglas de transformacin.Aplicndolas,podemos transformarunacombinacinbienconstruidadesmbolosenotracom-binacinqueresultarigualmentebienconstruida.Comolosconceptos desmboloprimitivoydefrmulaoexpresinbienformada,elconcepto detransformacinhadequedardefinidodeunamaneraefectiva,enel sentidodequehadeserposibleentodosloscasosdictaminarsiuna transformacinhasidoefectuadacorrectamente. Loslgicoshancomparadoamenudoiosclculosconlosjuegos, sobre todoconel del ajedrez.Enefecto:los smbolosprimitivoscorrespon-derana las piezasdel juego.Dadounobjetocualquierapodramosdecidir sisetrataonodeunapiezadeajedrez:anteunamquinadevapor, porejemplo,diramosqueno.Lasreglasdeformacincorresponderan alasinstruccionessobrelasposicionesquepuedenocuparlaspiezas: unapiezasituadaenlapalmadeunadelasmanosdeunBudadel sigloIX noesunapiezaenjuego.Lasreglasdetransformacinseran comolasreglassobrelosmovimientosquesepuedenefectuarconlas piezas:asomarseaunamplioventanalyarrojardesdelunalfilalmar Adriticonoseraunmovimientodelajedrez. Losclculosylos juegosseparecenenquesonautrquicos,enque niunosniotroshacenreferenciaanadaajenoaellos,enqueunosy otroscarecendeotrafinalidadquenoseacalcularojugar.Enambos casosestablecemosunasreglasparacombinarunosciertoselementos: noatenersealasreglassignificasimplementedejardeoperarconese determinadoclculo,salirse, deljuego.Loesencialdeunclculoessu carcterexclusivamenteformal.Dichodeotromodo:sunaturaleza puramentesintctica.Enefecto:acercadeunclculoslosepuedenhacer enelmetalenguaje,porsupuestoconsideracionesdepurasintaxis: La expresin 'X' estmal formada, La transformacinde la expresin'X' enlaexpresin'Y'escorrecta,etc. Unclculonoes,porlotanto,unlenguaje,enlamedidaenqueno esunmediodecomunicacin,sinounpuroarmaznsintctico.Sus 3 2Introduccin ala lgicaformal elementoscarecendesignificado.Nosonsignos,sinoentidadesopacas quemanipulamosdeacuerdoconunaseriedereglas. Podemos, sin embargo,transformarunclculoenunlenguaje.Cmo? Interpretandosussmbolos,proveyendoasussmbolosdeunsignificado. Tomemosunejemploextremadamentesimple. Describamosunclculo; 1.Smbolosprimitivos A)A . A . A . A A . W Esdecir,tringulosconunnmerocualquieradepuntosensu interior. B)Q0. .etc Esdecir,cculosconunnmerocualquieradepuntosensu interior. C)Unaoperacin,queescribiremosf1 \mediantelacualponemos enrelacinloselementosdeAconlosdeBoviceversa. 2.Reglasdeformacin RF1:Untringulosoloconunnmerocualquieradepuntosensu interioresunaexpresinbienformadadelclculo. RF2:Un crculo solo con un nmero cualquiera de puntos en su interior esunaexpresinbienformadadelclculo. RF3:UnaexpresincompuestaporunsmbolocualquieradetipoA, seguidodel smbolofTy deuna expresincualquiera detipoB esunaexpresinbienformada. ^,RF4:UnaexpresincompuestaporunsmbolocualquieradetipoB, seguidodelsmbolof * y deunsmbolocualquiera detipoAes unaexpresinbienformada. RF5:Nadaesunaexpresinbienformadaanoserenvirtuddelas reglas1-4. 3.Reglasdetransformacin RT1 RT1a: Dadaunafrmulacompuestaporunsmbolodeter-minadodetipoAyseguidodelsmboloTydeun smbolodeterminadodetipoB, podemostransformarla enotrafrmulacompuestaporesesmbolodetermi-nadodetipoB,seguidodelsmbolo*Vydeese smbolodeterminadodetipoA. RT1b:Dadaunafrmulacompuestaporunsmbolodeter-minadodetipoB,seguidodelsmboloc yydeun smbolodeterminadode tipoA,podemostransformarla Primerosconceptos3 3 en otrafrmulacompuestaporese smbolodeterminado detipoA,seguidodelsmboloTydeesesmbolo determinadodetipoB19. RT2 RT2a: Dadaunafrmulacompuestaporunsmbolodetermi-nado detipo A,seguido del smbolo' 'ydeunsmbolo determinadodetipoB,sepuedepasaraotrafrmula compuestaporesesmbolodeterminadodetipoA, seguidodelsmboloTydeotrosmbolocualquiera detipo. RT2b: Dadaunafrmulacompuestaporunsmbolodetermi-nadode tipoB, seguidodelsmbolorT*ydeunsmbolo determinadodetipoA,podemospasaraotrafrmula compuestaporesesmbolodeterminadodetipoB, seguidodelsmbolo' 'ydeotrosmbolocualquiera detipoA, Alavistadeloanterior,ydadounsmbolocomo podemosdecidirsiesonounelementoprimitivodelsistema.Eviden-temente,noloes. Encambio, unsmbolocomo A es unsmboloprimitivodelsistema,ytambin,porlaRF1, unafrmula bienformadadelsistema. Unacombinacindesmboloscomo Ai ocomo i noserunafrmulabienformada(unafrmula,asecas)delsistema. Sloser, encambio,porlaRF3; uuaexpresincomo AI i 9LareglaRTipodraresumirsedi ci endoquelaoperaci n' 5 *tienelapropi edad conmutati va. 3 4IntroduccinaIB lgicaformal Porotraparte,dadaunacombinacindesmboloscomo AO queesunaexpresinbienformada,podemospasardeellaa O A porlareglaRT1 a. Otambin,dadaunafrmulacomo A O podemos,porlareglaRT2a,transformarlaenotrafrmulacomo A OEtctera. Hastaaqulonicoquehemoshechoesexplicarelmanejode unclculo; unclculo,comoyahemosdicho,extraordinariamentesimple yrudimentario,unclculodesaln.Noobstante,esperamosquevalga parahacerverqueoperarconunclculonoesotracosaquemani-pularunconjuntodeentidadesmanchasdetinta,porejemplo,ode tizasegnunasreglasestablecidasexplcitamentedeantemano. Podemos,sinembargo,comohemosdicho,interpretarelclculo. Podemosdecir,porejemplo;lostringulosdesignarnindividuoshuma-noscualesquieradelsexomasculino.Loscrculosdesignarnindividuos humanoscualesquieradelsexofemenino.Elsmbolodesignarla operacin'contraermatrimonio7. Tendremos,entonces,queunaexpresincomo Ai e seinterpretarcomo 'elvarnTalcontraematrimonioconlamujerCual\ Elpasodeunaexpresincomo G A aunaexpresincomo G A autorizadoporRT2b,significar 'lamujerTalhapasadodeestarcasadaconelvarnTala estarloconelvarnCual*. Ahora ya no estamosmanejandoun puro clculo. Al haberinterpretado sussmboloshemosconvertidoelclculoenunlenguaje.Nosetrata, Primeros conceptos35 sinembargo,de unlenguajecomoel castellano, elbantoelservo-croata. Nosetratadeunlenguajenatural,sinodeunlenguajeformalizado, unlenguajeconestructuradeclculo,unlenguajeenelquenosloes artificialelvocabulario,sinotambinyestoesloesencialla sintaxis.Hemosformalizadosibiendeunaformamuytoscalas relacionesmatrimonialesenungrupohumanodondeestadmitidoel divorcioavoluntad2 0. Aspues,aunqueenlaprcticalosclculosseconstruyenamenudo pensandoensusposiblesaplicacionesoinclusoenunaaplicacin concreta,hayquesealarque,desdeelpuntodevistaterico,son absolutamenteindependientesdel lenguajeo lenguajesformalizadosque se puedanobtenerinterpretndolos. Hayquienespiensanquelalgicaesunconjuntodeclculos,obien quelalgicaeslateoradelaconstruccindeclculos. Nosotrosentenderemoslalgicacomounconjuntodelenguajes formalizados,esdecir,comounconjuntodeclculosalosqueseda unainterpretacinenelcampodeinvestigacinquedesdeAristteles, porlomenosconstituyeelobjetodelalgica.Deentretodoslos clculosquepodemosconstruirhayalgunosqueporsuespecialestruc-turay subuenrendimientosonparticularmenteaptosparaseraplicados a unmbitoespecficodeproblemas,elmbitodelosproblemaslgicos. Lalgica,quedurantemsdeveintesigloshaconsistidoenunasuma malorganizadadereflexionesacercadelasreglasformalesdelrazona-miento,expresadascasisiempreenellenguajenatural,constituye,ensu formacontempornea, la presentacin formalizadade nuestroconocimiento acercadeesedeterminadotema. Laidea de lgica formal Algunospsiclogoshansealado2 1que,enelcursodesudesarrollo psquico,elnioatraviesaunaetapacaracterizada,entreotrosrasgos, 2 0Represeenqueenesegrupohumanoestproscritalapol i gami a,entendidaensu sentidohabitnal,esdecir,comopol i gami asincrnica,puestoqueningns mbol odetipo AoBpuedeestarconect adoconmsdeuns mbol odetipoBoA.Estaraadmi ti da, encambi o,laquepodr amosllamarpol i gami adiacrnca,enlamedi daenquecualquier i ndi vi duodeesacomuni dadpodracambi ardecnyugeconlaperiodicidadquesu volubilidadafectivaledictara.Enlacitadacomuni dadestaraprohi bi doasi mi smoel matri moni oentrepersonasdelmi smosexo,puesningunaregladeformaciuautorizala construccindeexpresionescomoA!A.Acambi o,noexistiraeltabdeincesto. Porlodems,siatribuyramosals mbol o]elsignificado'mantenerrelacionescastas previasalmatrimonio*obtendr amosunainterpretacindelclculodistintadeaanterior: habr amosformalizadolaversinoficialdelasrelacionespreparatoriasdelmatri moni o enunasoci edadcomolanuestra,porejempl o. 2 1Paralaexposi ci nydi sensi ndedi chasteorasvaseellibrodeJuanA.delVal Elanimismoyelpensamientoinfantil.Madrid,SigloXXIEd.,1975. 3 6Introduccina la lgicaformal porlapresenciadeunaorientacindeesprituanimista,entendiendo poranimismolaatribucindevidayconcienciaaobjetosinanimados. Ahorabien:detodosessabidoquemuchasdelascaractersticastenidas porexclusivasde lamentalidadinfantilelegocentrismo(tantoepistemo-lgicocomomoral),porejemplonodesaparecenconlaedad,sinoque persisteneneladultobajoformasavecesmsrefinadas.Cuandoalguien, ensudelirio,habladefsicaariayfsicajuda,odandoacada cuallosuyo,segnelviejoprincipiodelderechoromanodeciencia proletariay cienciaburguesa;cuandoalguien,enconcreto,emiteuna sartadesonidosmedianamentearticuladosquepodrainterpretarseenel sentidodequelalgicaesunacienciacontrarrevolucionaria(!),estamos enpresenciadeunaconductaanimistadelamejorley.Lalgicanoesni un baluarte de la reaccin ni unapalancaparalaedificacindelsocialismo. Lalgicaesunaciencia,ylascienciasson,enprincipio,entidades polticamentedisponibles,instrumentosomediosdelosquepodemos servirnoscondiversosfines. Sonmuchaslasdefinicionesquepodrandarseysehandadodela lgica.Nosotroshemoselegidolasiguiente:lalgicaesla cienciadelos principiosdelavalidez formaldelainferencia.Evidentemente,espreciso explicarestadefinicintrminoatrmino. Inferencia.Comoes biensabido, lossinnimosnoexisten.Pese aello, nospermitiremosconsiderareltrmino'inferencia*comosinnimode 'razonamiento' o 'argumentacin'. Todorazonamiento es pensamiento, pero la inversa no es verdadera: no todo acto de pensamientoconsiste enrazonar. El razonamientoes, pues, untipode pensamiento juntoa otros varios que la psicologadistingue.Untipodepensamientocuyorasgocaractersticoes queenlseproducesiempreelpasodeunaomsafirmacionesque tomamoscomopuntodepartidaaunaafirmacinquesesiguede aquellas. Loespecfico,portanto,deunrazonamientooinferenciaesque consiste en derivarunaconclusin a partirde unaspremisas. Esoesrazonar. Recordar,porejemplo,oimaginarsontambinformasdepensamiento, peronoformasderazonamiento. Ahorabien:esmenesterdistinguirentreelrazonamientocomoactivi-daddeunsujetoelactoderazonaryelrazonamientoencuanto productooresultadodeesaactividad.Delrazonamientoenlaprimera acepcin se ocupara la psicologa delpensamientoenunode suscaptulos. El razonamiento como resultado comoresultadoplasmado en el lenguaje, segnveremoseselobjetomaterialesdecir,compartileconotras cienciasdelalgica. Validezformal.Puestoqueloqueconstituyeunrazonamientoesla relacinqueenlsedaentreunosenunciadosquesetomancomo premisasy otroenunciadoqueresultacomoconclusin,parecerazonable dividirlosrazonamientossegnlandoledeesarelacin.Segnlandole Primeros conceptos 37 deesarelacinlosrazonamientossedividenenrazonamientosvlidosy razonamientosnovlidos.Ycuandoaqudecimos'razonamientovlido1 queremosdecir,enunsentidoqueexplicaremospronto,'razonamiento formalmentevlido'. Enellenguajeordinarioseempleanamenudoexpresionescomo 'nomeparececompatibleconloanteriordecirahoraque../,'despusde haberdefendidotalcosa,nomesorprendequeahoradefiendatalotra', 'qutienedeextrao,alavistadetalesacontecimientos,que...?','noes lgico que...',yotrasmuchasporelestilo.Hablamostambinavecesde coherencia,consecuencia,lgicainterna,etc.Elusodeexpresiones deestetipoparecesugerirlaideadequeenelpensamientonatural estimplcitaunadistincinentreverdad yvalidez,entre,porunaparte, lavalidez la correccinformaldeunrazonamiento,y, porotraparte, elhechodequesuspremisas,suconclusin,oambas,seanverdaderas. Yaquesetratadetreselementosaconsiderarvalidezonovalidez del razonamiento, verdad o falsedad de las premisas, y verdad o falsedad de la conclusinimaginemosunatabladetripleentrada: O1VALORDEVERDAD DELACONCLUSI N VERDADERAFALSA VERDADERAS i2 FALSAS 34 FALSAS 56 VERDADERAS 78 i Veamosunejemplodecadat i po2 1: Detipo1(premisasyconclusinverdadera;razonamientonovlido): SiSanPabloeramonotesta,entoncesScratesyYantipanocon-trajeronmatrimonioporelritoortodoxogriego. EsasqueScratesyYantipanocontrajeronmatrimonioporel ritoortodoxogriego Luego SanPabloeramonotesta 2 1Parasimplificar,enl osejempl osquesiguent odosl osrazonami entostendrndos premisas. Tngasepresente,porotraparte,que,comoveremos,paraqueelconjuntodelas premisasseafalsobastaconqueloseaunasoladeellas. 3 8Introduccina la lgicaformal De tipo2 (premisasverdaderas;conclusinfalsa;razonamientonovlido): Algunospoetasescribierontambinlibrosdeensayo Catuloerapoeta. Luego Catuloescribilibrosdeensayo. De tipo3 (premisasfalsas; conclusinverdadera;razonamientonovlido): Todoslospsiclogosconductistassonpartidariosdelpsicoanlisis. Watsonerapartidariodelpsicoanlisis. Luego Watsonerapartidariodelconducrismo. Detipo4(premisasfalsas;conclusinfalsa;razonamientonovlido): Si RicardoStrausscompusoMetamorfosis,entoncesMahleresautor deElbuquefantasma. EsasqueRicardoStraussnocompusoMetamorfosis. Luego MahleresautordeElbuque fantasma. Detipo5(premisasfalsas;conclusinverdadera;razonamientovlido): Todoslosrevolucionariosusanuniforme. Mussolininousabauniforme. Luego Mussolininoerarevolucionario. Detipo6 (premisasyconclusinfalsas;razonamientovlido): SiLewisCarrolleselautordelaImitacindeCristo,entonces StalinfueunfamosotelogodelaContrarreforma. EsasqueLewisCarroleselautordelaImitacindeCristo. Luego StalinfueunfamosotelogodelaContrarreforma. Detipo7 (premisasyconclusinverdadera;razonamientovlido): : Todonmeroenteropositivoesdivisiblepor1. 7esunnmeroenteropositivo. Luego 7esdivisiblepor1. Detipo8(premisasverdaderas;conclusinfalsa;razonamientovlido): Noexistenrazonamientosde tipo8: nohayrazonamientosvlidosque tenganpremisasverdaderasyconclusinfalsa.Yelloporqueprecisa-mentesedicequeunrazonamientoesvlidocuando,sisuspremisasson verdaderas,necesariamentesuconclusinloestambin.Elrazonamiento Primeros conceptos39 quehemospuestocomoejemplodelosdetipo6esunrazonamiento vlido,peseaquesuspremisasysuconclusinseanfalsas.Porsuparte, elrazonamientoquehemospuestocomoejemplodelosdetipo1es no-vlido,auncuandosuspremisasysuconclusinseanverdaderas. Porques vlidoelrazonamientoquehemosdadocomomuestradelos detipo6 ? Porquesisuspremisasfueranverdaderas,entoncestambin lo sera suconclusin.Losejemplosque hemosinventadointentanilustrar lasiguienteidea(unaideatanimportantequesinposeerlaesimposible entenderqueslalgicaformal):laideadequelavalidezdeun razonamientoesindependientedelaverdadofalsedaddesuspremisas ysuconclusin.Puedehaberlohemosvistorazonamientoscuyas premisasycuyaconclusinseanverdaderasyque,sinembargo,sean no-vlidos. Y puede haberrazonamientos que seanvlidos, pero que tengan premisasyconclusinfalsas.Lodecisivoescomprenderqueunrazona-mientoes vlidocuandoes imposibleque, siendoverdaderassuspremisas, seafalsasuconclusin.Quelaspremisasseandehechoverdaderaso nolosean,esotracuestin;unacuestinquecaefueradelalgica. AveriguarsiesverdadqueLewisCarrollescribilaImitacindeCristo noescosadelalgica,sinodelahistoriadelaliteraturapiadosa. Queel7esunnmeroenteropositivoslopodemossaberlosabiendo aritmtica.ParacomprobarqueCatulonoescribilibrosdeensayo hemosderecurriralosestudiososdelaliteraturalatina,ynoalos cultivadoresdelalgica.Estudiarlgicanoconsisteenestudiarsitales ocualesenunciadosrelativosatalocualmateriasonefectivamente verdaderos.Estudiarlgicaconsisteenestudiarquotrosenunciados, dados los anteriorescomo verdaderos, habra que aceptarcomoverdaderos tambin.Lanocinfundamental,constituyente,delalgicanoeslade verdadmaterial, ladeverdaddehecho,sinoladecoherencia21.Lalgica noseocupadeverdadesmateriales,sinodelasrelacionesformalesentre ellas. Poresohemosdichoantes que, enlgica, laexpresin'razonamiento vlido'esunaabreviaturade'razonamientoformalmentevlido*.Poreso ennuestradefinicindelgicaladefinicinqueestamosreconstru-yendohemoshabladode'validez formal*. Todorazonamientotieneunaformayuncontenido;unaestructura, y unasuntodequetrata.Losdosrazonamientossiguientes: Sitodosl osesquizofrnicossonpsi cti cosytodosl ospsicticossonpersonasdes-dichadas,entoncesl osesquizofrnicossonpersonasdesdichadas. 2 2Estoestclaroinclusoparaquienes,comoAndrBretn,disfrutarondeunainfor-macinmsbienprecariaacercadeestaciencia:Enloquel l amamoslgica[ntese queBretndebierahaberentrecomilladolapalabralgica*,puestoqueenestecontexto aparecemenci onadaynosl ousada]sl oveoelculpableejerciciodeunadebilidad. Puedodecir,sinningunaafectacin,queloquemenosmepreocupaessentirmecon-secuenteconmi gomi smo(Lesposperus). 4 0Introduccin ala lgicaformal y Sit odostossantossoncreyentesyt odosl oscreyentessemuestranreaciosalades-amorti zaci n,ent oncest odosl ossantossemuestranreaciosaladesamorti zaci n son,obviamente,distintosporsucontenido.Suforma,sinembargo,esla misma.Esaforma,toscamenterepresentada,sera,enamboscasos,sta: Sitodoslos...son...ytodoslos...son...,entoncestodoslos...son..., o,mejor, Si todoslosasonby todoslosb sonc, entoncestodoslosasonc, dondeV,*byyVson,comoveremos,variablesqueindicanellugar posibledeuncontenido,decualquiercontenidodeunciertotipo: enlugardeV,porejemplo,podemosescribir'esquizofrnicos1o'santos', o'corsarios* o'filsofos',ocualquierotrotrminogeneral. Lanocindeformadeunrazonamientopuedeilustrarseporanaloga conlasformasmusicales. Lamismarelacinhabraentre,porunaparte, unaformaderazonamientoy, porotraparte,losinfinitosrazonamientos distintos distintos por su contenidoquepodranhacerseconesaforma deesa forma,queentrelaformasoneto,porejemplo,ylosinfinitos poemas elegiacos, satricos, deamor,etc. escritosenformadesoneto, oqueentrelaformasonataylasdiferentessonatasquenosesdado escuchar. Alalgicaleimportanicamentelaformadelosrazonamientos. Lalgicaeslgicaformal,cienciadelasformasoesquemasvlidosde razonamiento.Aqullamamosunaformavlidaderazonamiento? Aunesquemadeinferenciatalque,dadocualquierrazonamientoque podamoshacerinterpretandolasvariablesdeeseesquema,silaspremisas delrazonamientosonverdaderas,entoncesnecesariamentelaconclusin serverdaderatambin.Elesquema Sitodostosasonbytodoslosb sonc,entoncestodoslosasonc esunesquemavlidoporque,seancualesfuerenlostrminosgenerales conquesustituyamos2 3lasvariablesa,byc,siesverdadquetodos losasonbyquetodoslosbsonc,necesariamentehadeserverdadero elenunciado'todoslosasonc\Enunrazonamientovlidoformal-mente vlido, lgicamente (hora ya podemos decirloas)vlido, laverdad 2 3Sesuponequelasustitucinhadeestarbienhecha,esdecir,quelavariableV, porejemplo,sersustituida,enelmi smocontexto,siemprepore]mi smotrmino. Primeros conceptos41 delaconclusinsesiguenecesariamentedelaverdaddelaspremisas, en virtud de la sola formade stas. En losAnalticosPrimeros2*,Aristteles defineelsilogismocomoaqueldiscurso(yoc)enelque,afirmadas ciertascosas, por el simplehechode haberlasafirmadose siguenecesaria-menteotracosadistintadeellas.Ahorabien:elsilogismoessloun tipode esquemavlidode inferencia,entreotrosmuchos,y ladefinicin aristotlicanoseaplicasloalsilogismo,sinoatodorazonamiento formalmentevlido2 5. Deesa definicinnos interesaahorasobretodoretenerlaexpresin 'necesariamente'( vyxrjc). En efecto: lo esencialen todorazonamiento formalmentevlidoeslarelacindenecesidadqueseestableceentre premisasyconclusin,detalmodoquelaverdaddelasprimeras acarreainevitablementelaverdadde lasegunda. Esevidentequenoentodorazonamientosedaestaconexin necesaria.Hayocasiones enlas quelaconclusinsederivade laspremisas no de una maneranecesaria,no inexorablemente,sinoslocon unmayor omenorgradode probabilidad.As, por ejemplo,en una inferenciacomo Silaconcepci nondul atori ade la luzescorrecta,entonceslaluz semoveramayor velocidaden elaireque enelagua. Esas que, comomostrelexperi mentodeFoucaul t,lavelocidadde laluz esmayor enelaireque en elagua. Luego. De las premisas no se sigue necesariamente que la concepcinondulatoria delaluzseacorrecta,eincorrectaslasconcepcionesrivaleseneste caso,laconcepcincorpuscular.Lasegundapremisanicamenteaade mayorapoyoemprico a esaconcepcin; la confirma(perono de un modo concluyente), lahacems probable,ms plausible. Deigualmodo, de las premisas Elochentapor cientode l oscampesi nosandal ucesen1933 erananarcosi ndi cal i stas Ant oni oJimnezera en1933 nncampesi noandal uz, slopodramosconcluiren elcasodequefueranverdaderasque esprobablesi bienenmuy altogradoqueAntonioJimnezfuera anarcosindicalista. Hay,pues,deunaparte,razonamientosformalmentevlidos,en los quelaconclusinsesiguenecesariamentede laspremisas,detalmodo 2 424b18yss. 2 5Dehecho,enunaobraque, segntodosl osi ndi ci os,estescritaconanterioridad al osAnalticos,l osTpicos(100 a25), Aristtelesdeestami smadefinicinsi nrestringirla atsi l ogi smo. 4 2Introduccin a la lgicaformal que seracontradictorioafirmarlas primerasy negarla segunda(conotras palabras: sera imposible imaginar circunstanciasque, haciendoverdaderas laspremisas, hicieranfalsalaconclusin)2 6;y hay,deotraparte,razona-mientosenlosquelaverdaddelaspremisasnoconducefatalmente alaverdaddelaconslusin,sinosloydemltiplesycomplicadas maneras,como hanmostradolosanlisis de losmetodlogosdelaciencia empricaydelospsiclogosdelrazonamientoasumayoromenos probabilidad.Alosrazonamientosdelprimertipoaquellosqueson vlidosporsusolaformaselesllamaamenudorazonamientos deductivos(vlidos),otorgndosealosdelsegundolosnombresde razonamientos inductivos, probabilsticos, plausiblesy otrosmuchos quesealan,frentealarelativasimplicidaddelainferenciadeductiva, latodavainabarcadacomplejidaddeestaltimaclasederazonamientos. Principios.Segntendremosocasindever,enlugardehablarde principiospodamoshaberhabladodeleyes'odereglas.Yahemos vistocmoenellenguajecomnexistenunaseriedeexpresionesygiros queseutilizanparaestimarformalmenteesdecir,entrminosdepura coherencia,yconabstraccindelposiblevalordeverdaddelosenuncia-dos que lo componencualquierrazonamiento.Lalgicapretendellevar acabo esaestimacinovaloracindeunamaneraestructurada;lalgica pretendecodificarlosprincipiosqueguanelanlisisdelavalidezformal de losrazonamientos, sistematizarunconjuntode leyes odereglasparael estudiodelascondicionesformalesenlasqueunenunciadosepuede inferirvlidamenteapartirdeotro. Ciencia.Lalgicaes unaciencia. Y unaciencia formal.Dichodeotro modo:unacienciadeductiva.Todacienciaesunsistemadeenunciados. 2 6LewisCarroll,ensuSymbolicLogic,loexplicamuyplsticamente.Tomemosnn razonami entoc omo: Nadiequequieratomareltrenyquenopuedacogeruntaxiyquenotengatiemposuficienteparair dandounpaseohastalaestacinpuedetoma rio sinecharacorrer-Estegrupodeturistasquieretomareltrenynopuedecogeruntaxi,perolessobratiempoparairhasta laestacindandounpaseo. Estegrupodeturistasnonecesitacorrer. Aparentemente,setratadennrazonami entoformalmentecorrecto.Noesasi,si nembargo. VeamoscmoloexplicaCarroll: Heaqu,amablelector,otraoportunidaddehacerleunajugarretaaunamigocandido.Presnteleeste silogismoypregntelequopinadelaconclusin. Elreplicar:Aquvieneesapregunta?Desdeluego,esperfectamentecorrecta.Ysitupreciosolibrode lgicatedicequenolo ,nohagascaso.Nopretendersdecirmequeesosturistasnecesitanecharacorrer, verdad'.'Si.yofueraunodeellosysupieraquelaspremisassonverdaderas,veracompletamenteclaroqueno necesitohacerlo.Ymeiradandounpaseo. Yustedlereplicar:Perosupongamosquelepersiguierauntorodemente. Entoncessucandidoamigodir:Hum.Ah!Tengoquepencarlounrato. Puedeustedentoncesexplicarlequehayunmododecomprobarlacorreccindeunsilogismo,yesste: siesposibleimaginarcircunstanciasque.sininterferirenlaverdaddelaspremisas,haganfebalaconclusin, elsilogismotienequeserincorrecto. Primeros conceptos4 3 Lalgica,portanto,tambinloes,peroconlapeculiaridaddequesus enunciadosestndeductivamentetrabados.Enlgica,comoveremos,hay axiomasyteoremasobien,reglasbsicasyreglasderivadasdeinfe-rencia,yestosltimosoestasltimassededucen,sesiguen formalmentedelosprimerosdelasprimeras.Lasverdadeslgicas cadaunadelascualesnoessinoelenunciadodeunmodelo vlidodeinferenciaestnorganizadasenunsistemadeductivo: esdecir, quealgunasdeellassetomancomoprimitivas,ydeellasseextraenlas restantespor deduccin. Ahorabien:lalgicaeslateoraformaldelrazonamiento,elestudio delaargumentacinformalmentevlida,lacienciadelainferencia deductiva.Hablardeunrazonamientoformalmentevlidoes comohablar de un razonamiento deductivamente vlido, pues la conexinentrepremisas yconclusinsloesnecesariasloesdeductivacuandoeslapura formadelaspremisaslaquenosarrastraalaconclusin.Nosencontra-mos,entonces,conquelalgica,queeslacienciadeladeduccin, esasuvezunacienciaorganizadadeductivamente,unacienciacuyos enunciadosesdecir,lasverdadeslgicas,cadaunadelascuales expresaunmodovlidoderazonamientoestnligadaspordeduccin, sededucenunosdeotros.Resulta,pues,quelalgicaesunaciencia reflexiva,unacienciaquesedobla,quesevuelvesobresmisma: eslacienciadeductivadeladeduccin,lacienciaformaldelavalidez formaldelasinferencias.Esunacienciaqueserigeporlosmismos principiosqueestudia. Niquedecirtienequelalgica,eneltranscursodesulargay sinuosahistoria,hatenidoamenudoconflictosfronterizosconalgunas otrasdisciplinas,oinclusohasido,puraysimplemente,confundidacon ellas:conlapsicologadelrazonamiento2 7,conlateoradelaciencia2 8, conlateoradelconocimiento2 9oconlaontologa3 0. Por supuestotambinque la lgica, en cuantocienciadel anlisisformal delrazonamiento,nopretendeenmodoalgunoagotartodoslosaspectos deste.Hayenelrazonamientodichoseacometiendolavulgaridad deparafrasearunavezmsunafrasedelHamletmuchasmscosas quesupuraforma,otrasmuchascosasquelalgicanobusca.Ocurre 1 1Ol vi dandoque,mientraslalgicaesunacienciaformaldelrazonami ento,la psicologaesunacienciaexperimentalque,enunodesusapartados,seocupadelrazona-mi entodesdeelpuntodevistaemprico.Piaget,porejempl o,hadedi cadomuchaspginas aestablecerunanetadistincinentreunoyotra,y,alpropi oti empo,apostularentre ellasfecundasrelacionesdebuenavecindad. 1 9Ol vi dandoqueunacosaeslalgicacomotal,lalgicapura,yotramuy cercanaaunquedistintaJaaplicacindepatrones gi cosparaeanlisisdea gunos s l oal gunosaspectosdelaactividadcientficaysusresultados. 2 9Cfr.lanotaanteriorsusti tuyendo*laactividadcientficaysusresul t ados' por*el conoci mi ent ohumanoy,comoformaemi nentedeeste,elconoci mi ent ocientfico*. 3 0Ol vi dandoquelalgicaesunaciencia,mientrasquelaont ol og aesuncaptulo delafilosofa.Peronool vi demoslallamadaontol og aformal. 44Introduccin a la lgica formal simplementeque la actividadcientficayprecisamenteporesolaactivi-dadcientficanecesitadelafilosofaoperasobrelabasedeladivisin tcnica,y nosocialdeltrabajo.Deahquenohayamosdichoquela lgicaseala cienciadelrazonamientoa secas, sinolacienciaqueseocupa delosaspectosformalesdelrazonamiento. Enefecto:cadaciencia,comodecaAristteles3 1,recortaoacota paras uncampodeobjetos,aplicndosea estudiarlasleyesquedescriben yexplicanelcomportamientodestos,reconstruyendoracionalmente esecampo.Puestoquecadadisciplinaestudiaunaespeciedeobjetos, esnaturalquelohagaenunlenguajeespecfico.Nadatienedeextrao quecadaciencia,auncompartiendoconotrascienciasmuchosrasgos, presenterasgospeculiares,quesereflejanenelpeculiarlenguajeque utiliza.Cadacienciasehace(oinclusosepuededecirqueconsisteen) supropiolenguaje,tantomsalejadodellenguajecontidiano,tantoms tcnico, cuantoms lejana,cuantomenosurgente, naturaloinmediata aparezcaalpensamientovulgarlanecesidaddeplantearselosproblemas relativosalcampodeobjetosqueconstituyeeltemadeesaciencia. Enalgunoscasos,lascienciasselimitarnynofaltarquiendiga queporesosetratadecienciaslimitadas,decienciasaunenciernes autilizar el lenguajecomnenriquecidoconunospocostrminostcnicos. Enotroscasos eldelamatemtica,porejemplo,seimponelanecesi-dadde contarconunlenguajeenteramente3 2artificial.As ocurretambin conlalgica.Lanaturalezadesuobjetodeestudiolaformadelos razonamientoshacenecesarioparaestacienciaelusodeunlenguaje especial.Enefecto:comosedesprendedelosanlisispsicolgicosdel razonamientonatural,ladistincinentreformaycontenido,y,subsi-guientemente,la consideracindeaqullaindependientementenoes, enel sujeto,espontnea.Lacapacidaddediscernirentreunayotrose alcanzaratansloeinclusohaypsiclogosquepiensanqueesuna idealizacinsuponerquetodoslossujetoslaalcanzanclaramenteenla ltimaetapadeldesarrollodelascapacidadescognoscitivas,yslose actualizaracuandoel sujetose vieraen la necesidadderesolverproblemas diseados con el fin fundamentalde ponerla en ejercicio. Por ello, unaciencia queseconstituyecomotalempendoseenlatareadeabstraerla formade losrazonamientosprescindiendode loscontenidosalosqueest seencuentra,encadacaso,incorporada,hadevencerlaresistencia delpensamientoy,porende,dellenguajenatural,enelqueforma ycontenidosedanentremezclados,enelquelaprimeraseencuentra casi siempre oculta o difuminadapor el segundo. La lgica, pues, ha de hacer-3 1McrM \i ,1003a23-26. 3 2Enrigor,noenteramente,porcuantot odolenguajeartificialestconstrui doenel senodeyapartirdeunlenguajenatural,y,adespechodesuposteriorindependencia, quelepermitefuncionaraut nomament eencamposrestringidosde aactividadcientfica, sigueenelfondopendientedeeselenguajenatural. Primeros conceptos4 5 seconunlenguajeenelquelaformaaparezcaaislada,enelquela estructuradelosrazonamientossemuestresola. Anteshemosdicho,simplificandoconsiderablemente,queellenguaje consta,enresumidascuentas,deunvocabulariounrepertoriode trminosyunasintaxisunrepertoriodereglasparacombinarlos. Puesbien:alalgicanolebastacondisponerdeunvocabulario propio,artificial.Leesnecesarioadems,ysobretodo,contarconuna sintaxis artificial,artificialmenterigurosa.Leesnecesarialaformalizacin. Formalizarunlenguajeestrazarenelcorrespondientemetalenguaje, porsupuestosuestructura,susintaxis.Yahemosvisto,enefecto, cmoenunlenguajenaturalesposibleconstruirexpresionesque,siendo irreprochablesdesdeelpuntodevistasintctico,carecen,sinembargo, desentido.Sehacenecesario,enlgica,endurecerlasreglassintc-ticasdeformacin,enevitacindequeenlossistemaslgicospuedan crearseenunciadosdeesanaturaleza3 3.Conotraspalabras:alalgicale interesaquelasintaxisylasemnticacoincidanenloposible;lalgica desearaquetodoslosenunciadosbienformadosesdecir,sintctica-mentecorrectostuvieransentidoesdecir,fueransemnticamente buenos,y desearaasimismoquelainversafueraverdaderaesdecir, querraquetodoslosenunciadosalosquequepareconocerunsentido fuerantambinsintcticamenteimpecables.Setrata,sinembargo,deun deseosimplementepiadoso,quedespiertaenloslingistasactualesuna sonrisadesuficienciadadoque,enlalingsticaactual,lasintaxis,la semnticay lapregmticaconstituyenunfructferorevoltijoy enlosl-gicosactualesunasonrisadetristeza,dadoquehoysesabe,aciencia cierta, queelidealdecoincidenciadesintaxisy semnticaesinalcanzable inclusoenlgica. Aldecircuantoacabamosdedecirhemosanticipadoy,adems, enuntonountantoenigmticonocionesyproblemasquesloms adelantealfinaldeestelibro,yalprincipiodeotrosmuchos cabr afrontarcomo es debido. As pues, limitmonos de momento a reservar elrecuerdodeestascuestionesyanoolvidaralgoqueyaanteshemos dicho:lalgicasepresentaenformadeclculo.Lalgicaes,por consiguiente,unsaberformalizadoacercadelosprincipiosformalesdel razonamiento. Hemosintentado,yaahora,definirlalgica.Pareceevidente,sin 3 3Natural mente,ycomoyahemosi nsi nuado,lacreaci nliterariaesposi bl efeliz-menteposi bl ejustamenteporquesonposiblesexpresionesdeestetipo.Ylaexistencia desistemasl gi cosenlosqueestasconstruccionesestnproscritashadesercelebrada enlamedidaenqueesporrespectoaellascomoadquiereautnti cosentidoi rni co sent i dolaobradelosartistasdellenguaje.Perolal gi canoesniunaciencianiun artedellenguaje,sinounacienciayunartequetiene,segntendremosocasi ndever, i mportantesinteresesenellenguaje,porlocualseveobl i gadaatratarellenguaje interesadamente. 4 6Introduccin a la lgicaformal embargo,queunacienciaslopuededefinirse,entodocaso,despusde haberlaexpuesto.Pasemos,pues,aexponerlalgicaformal. Bibliografa Advertencia previa NoessloquelaBibliografaquesiguenoseacompleta.Nies, tampoco, que, adems, laBibliografaque sigue notengapretensinalguna decompletud.Esqueelslohechodeadvertirloresultacasigrotesco. Sabemosquelalgicaesunadelascienciasquemayordesarrolloha experimentadoenelltimosiglo.Ellohacequelatareadeelaborarun censode laliteraturalgica producidade cien aos paraacresultepunto menosqueimposibleinclusoparatodounequipodetrabajo.Yno hablemossiquieradelaposibilidadderemontarnosbibliogrficamente hastaelcomienzodelahistoriadelalgica. Hemos optado, pues, por ofrecerunamnima seleccinde escritossobre lgicaquepermitaailectorcontinuarsindoloentornoaltema. Esaseleccinhaoperadoendosplanos:porunaparte,eneldeia determinacinde losrtulosailustrarbibliogrficamente;porotraparte, eneldelaeleccindelosttulosaincluirbajocadaepgrafe. Encuantoaloprimero,lomejorhubierasido,evidentemente,dedi-cartambinsendosapartadosalahistoriadelosescritossobrelgica formaldesde Aristteles hasta nuestros das, y a las aplicacionesde lalgica enlosdiversoscamposdelaactividadraciocinante.Ello,sinembargo, no slo supona por las razones ya aducidas un esfuerzofuerade nuestro alcance,sinoque,aunhabiendoestadodentrodenuestrasposibilidades, hubieraconstituidounapndicedesmesuradoaunaobracomosta. Porloqueserefierealaseleccindelosttulos,hemosseguido doscriterios:eldelaimportanciadelostextosy/oeldesuaccesibilidad. Lostextosaparecenporordenalfabticodelosnombresdesusautores. Ellointroduceavecesciertaheterogeneidadenlateora.Enlaprctica, sinembargo,favorecelalocalizacindelosmismos. Decualquiermodo,tngasepresentequemuchosdeloslibrosaqu recogidos contienenampliosrespertoriosbibliogrficos,circunstanciaque, por una suerte de transitividad,hace esta Bibliografanuestramuchomenos insuficiente. 1.Algunasintroducciones a la lgica formal ANDERSON,J.M.yJOHNSTONE,H.W. : Natural Deduction ( TheLogi c alBas i sofAx i o m Sys t ems ) .Be l mont(Cal i f orni a),Wa ds wo r t hPubl i s hi ngCo mpa n y ,1962. Primeros conceptos47 CARNAP.R.:Einfi'thrungindiesymbolisckeLogik,mitbesondererBeriicksichtigung ihrerAnwendungen.Vi enaSpri ngerVerl ag,1934.Ve r s i ni ngl es adeW.H.Me y e r ,.yJ.Wi l ki ns o n:niroductiontoSymbolicLogicanditsApplications.Nu e v aYork. Do v e rPubl i cat i ons ,1958. COHN,M.yNAGEL,E. :AnIntroduccintoLogicandScientificMethod.Nu e v a York,Har c our t ,Bracea ndCo mpa n y ,1934.Vers i ncas t el l anadeN.M g ue z: IntroduccinaaLgicayalMtodocientfico.2vol s .Bue no sAi res,Amor r or t u edi t ores ,1968. 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V.cast.deM.Br avo:Historiadelalgicaformal.Madr i d,Edi t ori alGr e dos , 1966. KNEALE,W.yM.:TheDevelopmentofLogic.Oxf ord,atTheCi ar e ndonPres s ,1 9 6 1 : reedi ci onesc o ncorrecci onesen1964,1 9 6 6y1968.V.cast.( conl ascorrecci ones i ncorporadas )deJ.Mug ue r za :Eldesarrollodelalgica.Madr i d,Edi t ori al Te c nos ,1972. Sobr eal gunosdesuspe r o do s : BOCHENSKI,I . - M:AncientFormalLogic.Ams t e r dam,No r t h- Ho l l a n dPubl i s hi ng Co mpa ny ,1956. BOEHNER,Ph. :MedievalLogic.AnOutlineofitsDevelopmenfrom1250-c.'1400. Manches t er,1952. XUKASIEWICZ,J. :Zhi st ori il ogi kizdn.PrzegladFilozoficzny,37(1934),pgs . 417- 37.V.al e mana:ZurGe s c hi c ht ederAus s agenl ogi k.Erkenntnis,5(1935), *Especialmenci nmereceenestepunto,porsusestudiossobrelahistoriadela l gi caenlaPennsulaIbrica,elPadreVicenteMuoz.Deentresusnumerosostrabajos citaremos,porejemplo,laLgicaHispano-Porcuguesahasta1600.Sal amanca,1972. Primeros conceptos49 pgs. 111-31. V. castellana de J. Sanmartn;Paraunahistoriadelalgicadeenun-ciados.Valencia, Cuadernos Teorema,1975. fcUKASlEWlCZ,J.:Aristotle'sSyilogisticfromtheStandpoimofModernFormalLogic. Oxford,atTheClarendon Press, 1951; 2.aed. ampliada, 1957. Hay anunciada versin castellana de esta obra en la EditorialTecnos. MATES,B.:StoicLogic.Berkeley-Los Angeles,1953. SCHOLZ,H.:AbrissderGeshichtederLogik.Berln,1931; 2.a ed.Friburgo-Munich, KarlAlber Verlag,1959. STYAZHKIN,N.L:HistoryofMathematicalLogicfromLeibniztoPeono.Mosc, Nauka,1964.V.inglesaenCambridge,Mass.,TheM.I.T.press,1969. 4.Repertoriosbibliogrficos.Diccionarios CHURCH,A.: A Bibliography of Symbolic Logic.TheJournalofSymbolicLogic, vol. 1, n.4(1936),pgs.121-218. CHURCH,A.: Additions andCorrections toABibliographyofSymbolicLogic. TheJournalofSymbolicLogic,vol. 3, n. 4 (1938), pgs.178-204. FEYS,R. - FI TCH,F,B.:DictionaryofSymbolsofMathematicalLogic.Amsterdam, North-HollandPublishing Company, 1969; reimpresin corregida, 1973*. *Seal emoslagranutilidadquehadetenerparal osi nteresadosporlalgicala consul tadel osartculossobreeltemaconteni dosenelDiccionariodeFilosofadeJ.Ferrater Mora,5.'ed.,BuenosAires,Ed.Sudamericana,1965.Elautorpreparaedi ci nmuy ampliadaparaRevistadeOccidente. CaptuloII LALGICA DE lWClADS 1.l ^ c i p n e s ^ b s i c a s Enunciados y^^cone_ctivqs Elapartadomselementalenundoblesentido:elmssimpley, alpropiotiempo,elapartadobsicode Ja Jgica...formaleslaJgcjL deenimciadosodeproposiciones. Ahorabien:lalgica,segnhemossealadohastalasaciedadenel captuloanterior,nosllegahoyenformadeclculo.Mejordicho: lalgicasenospresentaenformadesistemadeclculos,enformade conjuntosobre-acumuladodeclculos,o,siseprefieredecirloas,enla formade "unclculoquesevareconstruyendoparairsehaciendocada vezmspotente.Elclculobase,elclculoenelqueseapoyaysobreel cualseconstruyeeledificiodelalgicaesel^clculode. e n u n c m d c i S , objetodetodoestecaptulo. Esevidente,traslodichoenelcaptuloanterior,quealhablar^jie