МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНІЙ ЗАКЛАД НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МЕХАНІКО-МАШИНОБУДІВНИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра основ конструювання механізмів і машин

Взаємний перетин багатогранників і кривих поверхонь. Методичні вказівки до виконання індивідуальних завдань

для студентів дистанційної форми навчання

Дніпропетровськ НГУ 2014

Взаємний перетин багатогранників і кривих поверхонь. Методичні вказівки до виконання індивідуальних завдань / О.І. Додатко – Д.: НГУ, 2013. – 44 с.

Затверджено методичною комісією з напряму 6.050301 Гірництво

(протокол № 3 від 14.12.2013) за поданням кафедри основ конструювання механізмів і машин (протокол № 3 від 15.11.2013).

Методичні вказівки призначено для виконання індивідуальних завдань з

нарисної геометрії для студентів усіх спеціальностей Відповідальний за випуск завідувач кафедри основ конструювання

механізмів і машин канд. техн. наук, доц. К.А. Зіборов.

1.9. ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН БАГАТОГРАННИКІВ І КРИВИХ ПОВЕРХОНЬ Побудову точок лінії взаємного перетину поверхонь виконують різними допоміжними

засобами: проеціюючими площинами, площинами загального положення, а також допоміжними січними сферами. Вибір допоміжних засобів визначається формою і положенням поверхонь, які перетинаються.

Перетин поверхонь може бути повний і неповний. При повному перетині поверхонь отримують дві замкнуті лінії взаємного перетину, а

при неповному – тільки одну ламану або плавну криву. При взаємному перетині багатогранних поверхонь одержують ламану просторову

лінію. В інших випадках (перетин багатогранної й кривої поверхонь, двох кривих поверхонь) одержують плавну криву лінію.

1.9.1. Перетин багатогранних поверхонь Лінія перетину багатогранників визначається побудовою точок перетину ребер одного багатогранника з гранями другого і ребер другого з гранями першого. Внаслідок цього отримують одну або дві просторові ламані замкнуті лінії. Розглянемо побудову точок лінії перетину багатогранних поверхонь: трикутної призми і піраміди SАВС (рис. 1).

(Нумерація розділів вказана по навчальному посібнику«Інженерна графіка в гірництві» або «Інженерна графіка». Синім кольором на рисунках виконано побудову даного етапу).

1. Для розв’язування цієї задачі ребра призми заключають у фронтально-проеціюючі площини P, Q, R.

2

Рис. 1

2. Кожна з цих площин перетинає піраміду з утворенням трикутника, і точки лінії перетину будуть визначатися на перетині цього трикутника з ребром призми. Наприклад, фронтально-проеціююча площина PV перетинає піраміду з утворенням трикутника 1, 2, 3.

a'a

f

d

b

b'

es

d'

f'

e'

s'

j

g

c

t

c'

t'

j'

g'

3

Тоді горизонтальні проекції k1 і k2 точок перетину K1 і K2 піраміди ребром призми E – G будуть знаходитися на перетині горизонтальної проекції 1, 2, 3 трикутника з горизонтальною проекцією e – g ребра E – G (рис. 2, а), а фронтальні проекції k'1 і k'2 цих точок можна знай-ти, використовуючи вертикальні лінії проекційного зв’язку (рис. 2, б).

dc

f

e

b

kk s

1

2

1

2t

3

j

g

c'

f'a'a

d'

e'

b'

s'

k'1'2'

1k'2 3'

t'

j'

PV

g'

dc

f

e

b

kk s

1

2

1

2t

3

j

g

c'

f'a'a

d'

e'

b'

s'

1' 2'3'

t'

j'

PVg'а б

Рис. 2

4

3. Аналогічно визначають точки M1, M2 (рис. 3), і L1, L2 (рис. 4), лінії перетину призми з пірамідою.

c'b'a

f

d

52

b

me 1

41 6

k1k

2

sm2

3

g

j

t

c

6'

f'

d'

e'

m'

a'

4' m'1

5'2

1'2k'k'1

2'

3'

s'

j'

g'

t'

P

QV

V

c'b'a

f

d

52

b

me 1

41 6

k1k

2

sm2

3

g

j

t

c

6'

f'

d'

e'

a'

4'5'

1'2k'k'1

2'

3'

s'

j'

g'

t'

P

QV

Vа б

Рис. 3

5

a

6

d

l28

b

1

1me

fl

7 4

3s

k5

2

k1

2

m2

1

j

t

9 c

g

6'

f'

d'm'5'

1l'

1m'

7'

a'

4'

2l'

b'

8'

2

1'e'k'

1k'2'

23'

s'

RV

c'

9' j'

g'

t'QV

PV

a

6

d

l2

8b

1

1me

fl

7 4

3s

k5

2

k1

2

m2

1

j

t

9c

g

6'

f'

d'm'5'

1m'

7'

a'

4'

b'

8'

2

1'e'

k'1k'2'

23'

s'

RV

c'

9' j'

g'

t'QV

PVа б

Рис. 4

6

Так як обидві поверхні багатогранні, то з’єднують одержані точки, мають дві гілки лінії перетину (рис. 5).

a b' c'

m

d

ll1 5

b

28

1

4

me

f

7

3s1

1k2 k2 g

j

6

2 t

9 c

m'

3'

f'

d'

5'

m'

7'

a'

4'

l'l'1 2

1

8'

e' 2'k'1' 1 2k'

s'

R9'

2

j'

V

g'

t'6'

VP

VQ

Рис. 5

7

При визначенні видимості окремих ділянок лінії перетину двох поверхонь треба керуватися таким правилом: точка перетину двох видимих при проеціюванні на будь-яку площину проекцій буде також видимою, коли її проеціюють на цю площину; точка перетину двох невидимих або однієї видимої з іншою невидимою лінією – невидима.

Оскільки всі відрізки, які утворюють гілки лінії перетину, належать як граням призми, так і граням піраміди, то їх видимість визначається видимістю цих граней. Так, на горизон-тальній площині всі грані піраміди видимі, а із граней призми невидима тільки одна – DTJF. Тому на горизонтальній площині проекцій невидимі будуть тільки відрізки l1 – m1 і l2 – m2, які належать лінії перетину.

На фронтальній площині проекцій видимими будуть дві грані піраміди – ASB і BSC та одна грань призми – FEGJ. Тому видимими будуть тільки відрізки K1 – L1 і K2 – L2, які нале-жать цій грані призми.

1.9.2. Перетин багатогранних і кривих поверхонь Побудову лінії взаємного перетину поверхонь виконують за допомогою визначення

точок на поверхнях перетину. Точки на поверхнях будують за допомогою допоміжних січних площин або допоміж-

них прямих. Задано – фронтальні проекції точок А і В (рис. 6, а). Побудувати – горизонтальні і профільні проекції цих точок. Будують профільну проекцію заданої поверхні(рис. 6, б).

8

Якщо поверхня займає проекційне положення, то побудова спрощується. Точка, яка належить проеціюючій поверхні прямого циліндра (рис. 6, а), проеціюється на коло, що є проекцією циліндра, таким чином: на нижню половину кола, якщо точка видима (точка А), і на верхню половину, коли точка невидима (точка В береться у дужки на фронтальній і профільній проекціях рис. 6, б).

а

Ay

Вy

b

а'

(b')

а'

(b')

а б

Рис. 6

9

Профільні проекції a" і b" (рис.7) точок визначають за допомогою координат YA і YВ відносно осей симетрії так: a" – праворуч від осі, b"– ліворуч; b"– невидима (позначаєть-ся в дужках), оскільки розташована на задній половині поверхні циліндра.

а

В

by Аy

а'

(b') (b")

a"Ay

Вy Рис. 7

10

Точки на поверхні прямого конуса (рис. 8, а) знаходять за допомогою кола, яке утворюється внаслідок проходження січної площини P через задану точку А, або за допомогою твірної прямої, яка проходить через точку В, (у даному прикладі вона невидима).

Коло, яке проходить через задану точку А і розташоване в площині P, що перпендику-лярна осі конуса, проеціюється на фронтальну й профільну проекції у вигляді прямої, а на горизонтальну проекцію – у вигляді кола радіусом R (рис. 8, б).

Yа

R

(b')

R

A

VP a'

(b')

a'

а б

Рис. 8

11

Оскільки точка А на фронтальній проекції видима, то на горизонтальній проекції вона буде розташована в нижній частині конуса. Профільну проекцію a" точки (рис. 9, а) будують за двома її проекціями а, а' і координатою YA.

Профільна проекція a" точки видима, так як розташована на передній поверхні конуса, ліворуч від осі симетрії.

При побудові проекцій точки за допомогою твірної прямої (рис. 9, б), твірну проводять через точку В (в даному прикладі вона невидима). Ця пряма, перетинаючись з основою конуса, дає фронтальну проекцію 1'. Горизонтальну проекцію точки 1 знаходять за вертикальною ліні-єю зв’язку, через цю проекцію проходить горизонтальна проекція твірної прямої. Оскільки фронтальна проекція b' точки невидима (позначають в дужках), то твірну будують на горизон-тальній площині проекцій в верхній частині конуса від осі симетрії, на якій і буде розташована горизонтальна проекція b точки. Профільну проекцію b" точки будують за двома її проекціями b', b і координатою YВ.

12

Y

аR

(b')

RA

VP a' a''

Y b

аR

Y B

(b')

R

A

VP a'(b'')

Y

1'

1B

YA

ба

a''

YA

Рис. 9

13

Точки на поверхні піраміди (рис. 10, а) знаходять так само, як і на поверхні конуса. Побудова буде відрізнятися тільки тим, що січна площина Р, яка проходить через точку А, утворює не коло, а фігуру, що лежить в основі піраміди (на рис. 10, б це – квадрат).

а

Ay

PVa'

(b')

а

a'(b')

б

Рис. 10

14

Профільну проекцію a" точки (рис. 11, а) будують за двома її проекціями а, а' і коор-динатою YA.

Профільна проекція a" точки видима, так як розташована на передній поверхні конуса, ліворуч від осі симетрії.

При побудові проекцій точки за допомогою твірної прямої (рис. 11, б), твірну проводять через точку В (в даному прикладі вона невидима). Ця пряма, перетинаючись з основою конуса, дає фронтальну проекцію 1'. Горизонтальну проекцію точки 1 знаходять за вертикальною ліні-єю зв’язку, через цю проекцію проходить горизонтальна проекція твірної прямої.

а

Ay

PVa'

(b')

а''

аAy

PV

y В

b 1

1'yВ

yА

a'

(b') (b")

а б

а''

yА

Рис. 11

15

Точку на поверхні сфери (рис. 12, а) будують за допомогою кола, яке виникає внаслі-док проходження площини Р, через задані точки (рис. 12, б). Якщо січна площина розташо-вана перпендикулярно до осі сфери, то вона проеціюється в коло або пряму.

PV a'

R

R

a'а б

Рис. 12

16

Горизонтальну проекцію a, що лежить на сфері, будують на перетині горизонтальній

проекції кола радіусом R і вертикальної лінії зв’язку. Вона знаходиться на нижній половині горизонтальної проекції сфери, так як точка А видима (рис. 13).

Профільну проекцію a" точки (рис. 13) будують за двома її проекціям а, а' і координатою YA.

А

y aA

PV a'

R

y

R

a''

Рис. 13

17

Отже, для побудови лінії перетину поверхонь застосовують спосіб допоміжних січних

площин або поверхонь, суть якого можна сформулювати таким чином: а) задані поверхні перетинають третьою допоміжною площиною або поверхнею; б) будують лінії перетину допоміжної площини або поверхні з кожною заданою

поверхнею; в) визначають точки перетину знайдених ліній, ці точки і є шуканими точками лінії

перетину поверхонь. Допоміжну площину розміщують у такому положенні, щоб при перетині її з поверх-

нями одержати прості лінії перетину – прямі або кола. Розрізняють опорні й випадкові точки лінії перетину. Спочатку визначають опорні точки: найвищі й найнижчі, крайні праві та ліві, точки видимості (точки дотику до контурів проекцій); що дає можливість визначити межу, в якій потрібно проводити допоміжні січні площини для визначення випадкових точок, що належать лінії перетину (рис. 14).

Приклади побудови лінії взаємного перетину поверхонь: 1. Задано – фронтальну і горизонтальну проекцію поверхонь (рис. 14, а). Побудувати – горизонтальну і профільну проекції заданих поверхонь.

18

Рекомендації до виконання 1. Профільну проекцію конуса (рис. 14, б) будують відповідно закону проеціювання

(розділ 1.1.4, рис. 1.7, навч. посібник «Інженерна графіка в гірництві» або «Інженерна графіка».

а б

Рис. 14

19

2. Позначають вершини призми літерами і через одну із вершин (точка 1) проводять січну площину РV1 горизонтального рівня (рис. 15), будують горизонтальну і профільну проекції точки А так само, як і на рис. 9.

r

'1

2

21

3'

PV1 221' ' r 21

'' '2'

Рис. 15

20

3. Аналогічно будують точки 1, 3 (рис. 16).

'

1

R

PV2

PV1

r

32

21

R1'

'3 ''1 3

2'21' r 21

'' '2'

''''1 3 '11

1 31 1

1

1

1'

'3

Рис. 16

21

4. Так як перетинаються пряма поверхня (трьохгранна призма) і крива поверхня (конус), то лінія перетину буде обов’язково кривою, для її побудови розсікають поверхні допоміжними січними площинами на відстані між ними 7…8 мм. (рис. 17).

Рис. 17

4

'R

3V

1

R

nR

PV2

VP

P

1

R

r

23

4 5

21

1'

n

'3 ''1 3

5

'212'4

' r

'

12'' '2 '

'

'' ''57...8 min.

'4

51

1

1'1

1'3

1 3541

11 1

'''1 3 '

4'' ''511

1 1

22

5. За допомогою лекала з’єднують отримані точки і отримують лінії перетину повер-хонь (рис. 18).

Рис. 18

'

12

34 5

21

1' '3 ''1 3

5'212

'4'

'12'' '2 '

'

'4 511

1'1 1

'3

1354 111

1

'''1 3 '

4'' ''511

1 1

4'' ''5

23

Взаємний перетин поверхонь (приклад виконання завдання – рис. 19, 24)

Задано: дві поверхні, що перетинаються Ф1, Ф2 та пряму l (рис. 19, табл. 3.4). Визначити: 1) три проекції поверхонь, що перетинаються (побудувати лінію перетину поверхонь Ф1 і Ф2 методом допоміжних площин-посередників);

2) точки перетину поверхні Ф1 з прямою l; 3) видимість прямої l і ділянок поверхонь, що перетинаються.

Рекомендації до виконання 1. Горизонтальну й фронтальну проекції поверхні Ф1 та прямої l будують згідно з

варіантом завдання (табл. 3.4), враховуючи основні розміри (рис. 19), будують профільну проекцію (рис. 20), на основі проекційного зв’язку (розділ 1.1, рис. 1.7).

2. Лінію перетину поверхонь, що перетинаються (рис. 21) будують за точками, мето-дом площин-посередників, для яких беруть площини рівня (розділ 1.9, рис. 1.92, 1.93). Лінія перетину багатогранної та криволінійної поверхонь – ламана, вона складається з відрізків плавних кривих ліній. Точки зламу повинні відповідати точкам перетину ребер багатогранника з криволінійною поверхнею. Побудову починають із визначення опорних точок. При цьому раціонально вибирати опорні точки на тій площині проекцій, відносно якої отвір або сама поверхня займає проеціююче положення.

24

Довільні точки вибирають так, щоб кожна криволіній-на ділянка лінії перетину будувалася, не менше ніж за трьома точками.

Ряд опорних і довільних точок можна отримати без застосування основного методу побудови лінії перетину, тому точки доцільно будувати на основі належності їх до елементів поверхні (на рис. 21, 22 опорні точки Кі побудовано за належ-ністю до граней SBC і SEF піраміди Ф, а точки Gі

– до ребер піраміди SB, SC, … (рис. 24). Інші точки Мі (рис. 23, 24) будують методом допоміжних січних площин горизонта-льного рівня Ті (розділ 1.9, рис. 1.92 і 1.93).

3. Для побудови точок N1 й N2 перетину поверхні Ф1 з прямою l застосовують допоміжну проеціюючу площину, яка проходить через пряму l (розділ 1.8, рис. 1.88...1.90), у завданні на рис. 24 – це фронтально-проеціююча площина РV. Профільну проекцію прямої l" будують за проекціями точок N1 і N2 на основі ліній проекційного зв’язку (розділ 1.1, рис. 1.7).

4. Видимість ділянок поверхні й площини визначають за допомогою конкуруючих точок (розділ 1.2.5 і 1.4.4, рис. 1.18 і 1.37).

l'

a' b' (f')

ф '1

s'

2

32c' (e') d'

50 105

ф'

ф1

b

a s

f

ф

c

2

l

d

e 105

Рис. 19. Вихідні дані завдання 5

25

l'1ф

b

a s

f

a' b' (f')

ф '1

s'

ф

c

2

l

d

e

2

c' (e') d'

ф'

a'' (d'')f'' (e'') b''(c'')

s''

Рис. 20

26 l'

b

as

f

a' b' (f')

s'

c

l

d

ec' (e')

d' a'' (d'')f'' (e'') b''(c'')

s''

k' (k')1 2T h'V1 1

1h

k2

k1

k''2 k''1

Рис. 21

27 l'

b

a s

f

a' b' (f')

s'

c

l

d

ec' (e') d' a'' (d'')f'' (e'') b''(c'')

s''

k' (k')1 2T h'V1 1

1h

k2

k1

k''2 k''1

k

k

T h'2 k' (k')3 4k''4 k''3

4

3

h2

V2

Рис. 22

28

l'b

a s

f

a' b' (f')

s'

c

l

d

e

c' (e') d' a'' (d'')f'' (e'') b''(c'')

s''

k' (k')1 2T h'V1 1

k2

k1

k''2 k''1

k

k

T h'2 k' (k')3 4k''4 k''3

4

3

V2

V3T h'3

h3

m' (m')1 2m'' m''

2 1

2m

m1

Рис. 23

29

b

a s

f

a' b' (f')

s'

c

l

d

e

c' (e') d' a'' (d'')f'' (e'') b''(c'')

s''

k' (k')1 2T h'V1 1

k2

k1

k''2 k''1

k

k

T h'2 k' (k')3 4 k''4 k''3

4

3

V2

V3T h'3m' (m')1 2

m'' m''2 1

2m

m

m'' m''43

1g''

4g''

2g''

3g''

g' (g')3 4

g' (g')1 2

m' (m')3 4

1

h2

1

3

h

h

4g

g2

g3

g 1

m

m4

3

n'1

l' P

n'2

V

l''

n''2

n''1

n1

n2

Рис. 24

30

Масштаб

Т.контр. АркушівАрк.

Іванов І.І.Петров П.П.

№ докум.Арк.Розроб.Перевірив

Змін Підпис Дата

МасаЛітера

Н.контр.Затв.

НГУ

ІКГ 05.01.31

ЕМ 213b

a s

f

a' b' (f')

s'

c

l

d

e

c' (e') d' a'' (d'')f'' (e'') b''(c'')

s''

k' (k')1 2T h'V1 1

k2

k1

k''2 k''1

k

k

T h'2 k' (k')3 4 k''4 k''3

4

3

V2

V3T h'3m' (m')1 2

m'' m''2 1

2m

m

m'' m''43

1g''

4g''

2g''

3g''

g' (g')3 4

g' (g')1 2

m' (m')3 4

1

h2

1

3

h

h

4g

g2

g3

g 1

m

m4

3

n'1

l' P

n'2

V

l''

n''2

n''1

n1

n2

105

32

105

ф'

ф

ф'

ф

2

2

1

1

Рис. 25

31

1.9.3. Перетин поверхонь обертання При перетині двох поверхонь обертання одержують одну або дві просторові плавні

криві. Для побудови лінії взаємного перетину застосовуються такі способи: а) спосіб допоміжних січних площин; б) спосіб допоміжних січних сфер. Спосіб допоміжних січних площин являє собою перетин обох поверхонь сімейст-

вом площин. У першу чергу визначають опорні точки лінії перетину А і В (рис. 26, б). Простішою формою перетину конуса і сфери є кола, які одержують при розсіканні

допоміжними січними площинами горизонтального рівня. Будують лінії перетину (кола з радіусами r і R) допоміжних площин з кожною поверхнею окремо. Перетин одержаних ліній дає шукані точки лінії взаємного перетину поверхонь (рис. 27, 28).

Одержані точки з’єднують уздовж лекала (рис. 28, б), враховуючи видимість відносно площин проекцій. Видимими будуть ті точки, що одержані при перетині видимих ліній. У точці 2 зміниться видимість відносно горизонтальної площини проекцій Н, оскільки вона знаходиться на екваторі сфери.

32

0'

Sa

0

a'

S'

b

b'

а б

0'

S 0

S'

Рис. 26

33

а б

0'

1S

rPv

r

a11

0

a'

S'

R

b

b'

R

0'

1S

rPv

r

a11

0

a'

S'

R

b

b'

R1' 1'1

Рис.27

34

а б

0'

1S

34

rPv

r

a11

0

13 41

Tv

Qv

Sv

4' 4'1

3' 3'

12' 2'

1

1' 1'1

a'

S'

R

b

b'

R

0'

1S

2 34

rPv

r 21

a11

0

13 41

Tv

Qv

Sv

4' 4'1

3' 3'

12' 2'

1

1' 1'1a'

S'

R

b

b'

R

2

21

Рис. 28

35

Остаточний вигляд побудова лінії перетину конуса і сфери (рис. 29)

0'

1S

2 34

rPv

r 21

a11

0

13 41

Tv

Qv

Sv

4' 4'1

3' 3'

12' 2'

1

1' 1'1a'

S'

R

b

b'

R

Рис. 29

36

Спосіб допоміжних січних сфер застосовують у тому випадку, коли неможливо задіяти спосіб січних площин. Спосіб передбачає розміщення центра січної сфери на осі поверхні обертання, коли утворені при перетині криві являють собою кола, що проеціюються на площину, паралельну осі поверхні, у вигляді відрізків прямих (рис. 30).

Метод допоміжних січних сфер у порівнянні з методом допоміжних січних площин має ту перевагу, що, наприклад, фронтальну проекцію лінії пере-тинання поверхонь (рис. 31) будують без застосування двох інших проекцій пересічних поверхонь.

Спосіб допоміжних січних сфер застосовують тільки при виконанні таких умов:

1. Обидві поверхні повинні бути поверхнями обертан-ня.

2. Осі поверхонь мають перетинатись між собою і бути паралельними одній із площин проекцій.

Сфери можуть бути побудовані таким чином: а) з одного центра (концентричні); б) з різних центрів (ексцентричні).

Рис. 30. Використання способу січних сфер

37

Розглянемо приклади застосування способу концентричних січних сфер. Приклад 1. Побудувати лінію взаємного перетину двох циліндрів способом концент-

ричних сфер, центр яких розташований у точці O' – фронтальній проекції точки перетину осей обох циліндрів (рис. 31, а), виконавши такі дії:

1. У першу чергу, визначають опорні точки лінії перетину А й В (рис. 31, б), а потім випадкові (рис. 32).

О'

а

О'

бa' b'

Рис. 31

38

2. Будують сферу, радіусом Rmin, яка вписана в циліндр більшого діаметра й перетинає поверхні циліндрів у вигляді відрізків прямих 1' 1'1 і 2' 2'1. Перетин цих відрізків визначає с' – фронтальну проекцію точки С лінії взаємного перетину циліндрів (рис. 32).

R min

О'

a' b'1'

1'

2' 2'1

1

c'

Сфера

Рис. 32

39

3. Із точки перетину осей циліндрів проводять допоміжні січні сфери, радіус яких Rmin < Rn < Rmax.

4. Будують окремо кола, за якими сфери перетинаються з кожною поверхнею. Ці кола проеціюються на фронтальну площину, паралельну осі циліндрів, у вигляді відрізків прямих. Так, сфера радіуса Rn1 перетинає більший циліндр по прямих 3' 3'1 і 4' 4'1, менший циліндр – по прямій 5' 5'1. У місці перетину цих прямих лежать фронтальні проекції точок D, E, розміщених одночасно на лінії взаємного перетину циліндрів (рис. 33).

R min maxR

R

О'

n

a' b'1'

1'

2'2'1

1

c'

1

d' e'

3'

3'

Сфера Сфера

Сфера

4'

4'

5' 5'1

1 1

Рис. 33

40

Сфера радіуса Rn2 перетинає більший циліндр по прямих 7' 7'1 і 8' 8'1, менший циліндр – по прямій 6' 6'1. На перетині цих прямих перебувають фронтальні проекції точок f ', g' лінії взаємного перетину циліндрів (рис. 34).

R min maxR

R

О'

n

a' b'1'

1'

2' 2'1

1

c'

21

Rn

d' e'f' g'

3'

3'

Сфера Сфера

СфераСфера

4'

4'

5' 5'

7'

7'

8'

8'

1

1

1

1 1

1

6'6'

Рис. 34

41

5. З’єднують по лекалу точки перетину (A, D, F, C, G, E, B) побудованих кіл (відрізків прямих), що являють собою точки лінії взаємного перетину двох циліндрів (рис. 35).

R min maxR

R

О'

n

a' b'1'

1'

2' 2'1

1

c'

21

Rn

d' e'f' g'3'

3'

Сфера Сфера

СфераСфера

4'

4'

5' 5'

7'

7'

8'

8'

1

1

1

1 1

1

6'6'

Рис. 35

42

Приклад 2. Побудувати лінії взаємного перетину поверхонь (рис. 36, а) способом концентричних сфер, центр яких розташований у точці О перетину осей обох поверхонь, виконують у такому порядку:

1. Будують ряд концентричних сфер із центром у точці О' – фронтальної проекції точки перетинання поверхонь обертання. При цьому найбільша окружність сферичної поверхні по-винна перетинатися з контурами утворюючих обох поверхонь і дорівнювати відстані до най-більш віддаленої точки перетинання заданих поверхонь (Rmax = 0'1'), а найменша окружність сферичної поверхні (Rmin) повинна бути дотичною до однієї з пересічних поверхонь.

0 0

maxRСфера 11'

1'2

1'

1

0'

R minСфера

4

4'

4'1

а б

Рис. 36

43

2. Допоміжні сфери перетинають кожну із заданих поверхонь з утворенням кіл, які проеціюються на одну із площин проекцій у вигляді відрізків прямих (наприклад, 1' 1'1 і 1' 1'2).

3. Точки перетину 1, 2, 3... кожної пари кіл зі сферою, які лежать на шуканій кривій лінії взаємного перетину.

13

3

2

1 0

21

21'

0'

3' 3'1

12'2'

1'11'

R min

maxR

Сфера

Сфера 2

4

4'

4'1

Рис. 37

Додатко Олександр Іванович

ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН БАГАТОГРАННИКІВ І КРИВИХ ПОВЕРХОНЬ. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ

ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ для студентів дистанційної форми навчання

Редактор О.Н. Ільченко

Підписано до друку 22.01.2014. Формат 30х42/2. Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. арк. 5,3

Обл.-вид. арк. 5,1. Тираж 100 прим. Зам. № 75.

Національний гірничий університет 49005, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 19.