Octavo año - tec.ac.cr
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HomoteciasOctavo año
Céspedes Gómez LencySegura Siles Verónica
Ulloa Araya Siony
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Habilidades específicasLas habilidades específicas que se abarcan en este documento son las siguientes:
1. Trazar en un plano cartesiano la figura que se obtiene al someter un polígono dado a una homotecia.
2. Reconocer puntos, ángulos y lados homólogos de un polígono y el polígono que resulta al aplicar una homotecia.
Conocimientos: Transformaciones en el plano
1. Homotecias.
2. Puntos homólogos.
3. Segmentos homólogos.
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Conocimientos previos 01
Tipos de homotecias 03
Homotecias02
Práctica04
TABLA DE contenIDOS
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CONOCIMIENTOSPREVIOS
01
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Una razón matemática nos permite comparar dos magnitudes por medio de un cociente (división). En general, lasrazones se pueden representar por medio de fracciones.
Ejemplo:
1. Si un paquete de galletas tiene 4 galletas, la razón entre el número de paquetes y el número de galletas se representa por:1
4
2. Si dos paquetes de galletas tienen 8 galletas, la razón entre el número de paquetes y el número de galletas se representa por:2
8
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PROPORCIÓN MATEMÁTICA
Una proporción matemática corresponde a la igualdad entre dos o más razones.
Si se toman las razones del ejemplo anterior, es evidente que ambas razones son iguales, es decir:
𝟏
𝟒=𝟐
𝟖
Por lo cual se concluye que la relación de proporción que se establece es verdadera.
Ejemplo:
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HOMOtECIAS02
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Una homotecia es una transformación isomórfica, es decir solo cambia el tamaño, pero se mantiene la figuraoriginal. Entre la figura original y su homóloga existe una proporcionalidad.
Matemáticamente, una homotecia de centro 𝐴 y razón de proporcionalidad 𝑘, es la transformación que permiteque un punto 𝐵 corresponda (sea homólogo) con el punto B′, alineado con el centro 𝐴 y el punto 𝐵, tal que secumple que 𝐴𝐵′ = k ⋅ 𝐴𝐵.
En general, si queremos conocer cuál es el valor de la constante de proporcionalidad 𝑘, tenemos lo siguiente:
𝑘 =𝐴𝐵′
𝐴𝐵
También, se puede encontrar la constante de proporcionalidad cuando se tiene cualquier par de lados homólogos.
HOMOTECIAS
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Cada vértice de la figura original y su respectiva proyección de la figura resultante son homólogos.
Vértices HOMÓLOGOS
Ejemplo:Con respecto a la siguiente figura, los vértices homólogos son:
1. 𝐵 y 𝐵′
2. 𝐶 y 𝐶′
3. 𝐷 y 𝐷′
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Cada lado de la figura original y su correspondiente proyección de la figura resultante, son homólogos. Además,cada uno de los lados homólogos poseen la misma razón de proporción 𝑘.
LADOS HOMÓLOGOS
Ejemplo:Con respecto a la siguiente figura, los lados homólogos son:
1. 𝐵𝐶y 𝐵′𝐶′
2. 𝐶𝐷y 𝐶′𝐷′
3. 𝐵𝐷y 𝐵′𝐷′
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Cada ángulo de la figura original y su respectiva proyección de la figura resultante son homólogos. También, losángulos homólogos, tienen la misma medida.
Ángulos HOMÓLOGOS
Ejemplo:Con respecto a la siguiente figura, los ángulos homólogos son:
1. ∠𝐵 y ∠𝐵′
2. ∠𝐶 y ∠𝐶′
3. ∠𝐷 y ∠𝐷
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Tipos de homotecias03
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Las homotecias se clasifican en directa o inversa, esto de acuerdo con el valor de 𝑘.
• Directa:
- Ampliación 𝒌 > 𝟏: la figura que se obtiene es de mayor tamaño que la original.
- Reducción 𝟎 < 𝒌 < 𝟏: la figura que se obtiene es de menor tamaño que laoriginal.
• Inversa:
- 𝒌 < 𝟎: los elementos de la homotecia están en sentido direccional opuestos alcentro.
Reducción: 𝟏 < 𝒌 < 𝟎
Ampliación: 𝒌 < −𝟏
−
Tipos de HOMOTECIAS
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Representación GRÁFICA
Homotecia directa 𝒌 =𝟏
𝟐Homotecia inversa 𝒌 =
−𝟏
𝟒Homotecia directa 𝒌 = 𝟑
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Práctica 04
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Céspedes Gómez Lency
Segura Siles Verónica
Ulloa Araya Siony
PRÁCTICA HOMOTECIAS
1. Trace diferentes homotecias e indicar puntos, ángulos y lados homólogos de polígono dado.
a) Homotecia Directa
Puntos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,
_____ y _____, _____ y _____.
Ángulos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,
_____ y _____, _____ y _____.
Lados Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,
_____ y _____, _____ y _____.
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Céspedes Gómez Lency
Segura Siles Verónica
Ulloa Araya Siony
b) Homotecia Inversa
Puntos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,
_____ y _____, _____ y _____.
Ángulos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,
_____ y _____, _____ y _____.
Lados Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,
_____ y _____, _____ y _____.
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Céspedes Gómez Lency
Segura Siles Verónica
Ulloa Araya Siony
2. Con base en las siguientes homotecias, complete los espacios con la información que se solicita.
a)
Tipo de Homotecia: __________
Valor numérico de la constante : ________
Puntos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.
Ángulos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.
Lados Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.
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Céspedes Gómez Lency
Segura Siles Verónica
Ulloa Araya Siony
b)
Tipo de Homotecia: __________
Valor numérico de la constante : ________
Puntos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.
Ángulos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.
Lados Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.
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Céspedes Gómez Lency
Segura Siles Verónica
Ulloa Araya Siony
c)
Tipo de Homotecia: __________
Valor numérico de la constante : ________
Puntos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.
Ángulos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.
Lados Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.
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Céspedes Gómez Lency
Segura Siles Verónica
Ulloa Araya Siony
Solución:
2. Con base en las siguientes homotecias, complete los espacios con la información que se solicita.
a.
Tipo de Homotecia: Inversa
Valor numérico de la constante :
Puntos Homólogos: y , y , y .
Ángulos Homólogos: y , y , y .
Lados Homólogos: y , y , y .
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Céspedes Gómez Lency
Segura Siles Verónica
Ulloa Araya Siony
b.
Tipo de Homotecia: Directa (Ampliación)
Valor numérico de la constante :
Puntos Homólogos: y , y , y , y .
Ángulos Homólogos: y , y , y , y .
Lados Homólogos: y , y , y , y .
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Céspedes Gómez Lency
Segura Siles Verónica
Ulloa Araya Siony
c.
Tipo de Homotecia: Directa (Reducción)
Valor numérico de la constante :
Puntos Homólogos: y , y , y , y .
Ángulos Homólogos: y , y , y , y .
Lados Homólogos: y , y , y , y .