Observadores 3
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UNIDAD 5.- DISEO DE OBSERVADORES DE ESTADO
Objetivo especfico: El estudiante ante el problema de no tener acceso a los estados de un sistema podr disear observadores que le permitan aplicar las tcnicas de ubicacin de polos y el diseo de reguladores cuadrticos ptimos.
Tema: Diseo de observadores por el mtodo de asignacin de polos.
Materia: Control Moderno
M.C. Febe Barbosa Xochicale
Observadores El diseo del controlador se apoya en el acceso a las variables de estado para la realimentacin por medio de ganancias ajustables, por hardware. Algunas veces las variables de estado no estn disponibles o es muy costoso medirlas, entonces se necesita estimar (observar) los estados en lugar de los reales para alimentar al controlador. Un observador o estimador se utiliza para calcular las variables de estado que no son accesibles a la planta, es un modelo de planta. Figura a)
Planta
Observador
-
Planta - Observador
( ) ( )
El sistema es estable si la planta lo es, la convergencia es demasiado lenta. Con realimentacin tenemos:
-
Aqu ya se puede controlar la respuesta transitoria deseada del observador
Planta
Observador
( )
Planta - Observador
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
El error es y su derivada es
( )
Aqu voy El diseo consiste en hallar los valores de L que hagan que el error sea cero. La ecuacin caracterstica es:
( ( ))
-
Ejemplo 1:
Para la representacin de variables de estado en la forma cannica
observable de la figura se tiene:
[
] [
] [
] [
]
[ ] [
]
-
[
] [
] [ ]
[
]
La ecuacin caracterstica de es
( ) ( ) ( )
La ecuacin caracterstica deseada es de la forma:
Igualando trminos tenemos:
Despejando
Ejemplo 2:
Disear un observador para la planta
( ) ( )
( )( )( )
que est representada en la forma cannica controlable. El observador responder con un tiempo de asentamiento de 0.4 segundos y un porcentaje de sobretiro del 20.8%.
-
[
] [
] [
] [ ]
[ ] [
]
( ) [
]
La ecuacin caracterstica de es
( ) ( ) ( )
El polinomio deseado para satisfacer los requisitos son:
Para la ecuacin caracterstica deseada se tiene que:
(
)
( )
( )( ) ( )
-
Se propone un polo es
( )( )
Comparando tenemos que:
( ) ( ) ( )
Respuesta del observador con condiciones iniciales 0.5: a) en lazo cerrado b) en lazo abierto con ganancias desconectadas
-
% Diseo del observador % l = acker(A',C',poles)'. clc; 'Ejemplo 2' % Observable numg=[1 4]; deng=poly([-1 -2 -5]); 'G(s)' G=tf(numg,deng) Gf=zpk(G) [Ac,Bc,Cc,Dc]=tf2ss(numg,deng); % Controlable Ao=Ac'; % Observable Bo=Cc'; Co=Bc'; Do=Dc;
% Deseado pos=input('DAME EL PORCENTAJE DE SOBRETIRO %OS = '); Ts=input('DAME EL TIEMPO DE ESTABILIZACION Ts = '); z=(-log(pos/100))/(sqrt(pi^2+log(pos/100)^2)); wn=4/(z*Ts);
-
[num,den]=ord2(wn,z); %r=roots(den) r=roots([1 20 500]) % El tercer polo 10 veces la parte real para no afectar polos=[r' 10*real(r(1))] lp=acker(Ao',Co',polos)'
Mtodo alterno, es decir cuando no est en la forma cannica observable
La planta no est en la forma cannica observable Hallamos
[
]
Se transforma a
Entonces
Se convierte en
Multiplicando por
Donde
-
Calculamos
[
( )
( )(
)
( )
( )
]
[
]
Despejando se tiene que:
Se transforma la planta ala forma cannica controlable y se tiene ( )
(
)
Como
y Entonces
(
) ( )
( )
( )
Lego tenemos que
-
Ejemplo: Disear un observador para la planta
( )
( )( )( )
Representada en cascada. El desempeo en lazo cerrado del observador est
regido por el polinomio caracterstico
% Diseo del observador % l = acker(A',C',poles)' sin transformar a la forma canonica controlable
'Ejemplo 6' A=[-5 1 0;0 -2 1;0 0 -1]; B=[0;0;1]; C=[1 0 0]; D=0; poles=roots([1 120 2500 50000]) l=acker(A',C',poles)'