Conjuntos enumerablesN=NN

Joan Sebastian Tamayo

Universidad Nacional de Colombia

2 de diciembre de 2014

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 1 / 13

Conjuntos enumerables

Teorema.NN es enumerable.

Demostracin.Usaremos el teorema de la recursin para establecer la existencia de una biyeccinde N a NN.Sea A=NN; definimos una funcin f :AA como sigue:

f (k ,m)=

(0,k +1) si m= 0,

(k +1,m1) si m 6= 0.

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Conjuntos enumerables

Teorema.NN es enumerable.

Demostracin.Usaremos el teorema de la recursin para establecer la existencia de una biyeccinde N a NN.Sea A=NN; definimos una funcin f :AA como sigue:

f (k ,m)=

(0,k +1) si m= 0,

(k +1,m1) si m 6= 0.

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 2 / 13

Conjuntos enumerables

Teorema.NN es enumerable.

Demostracin.Usaremos el teorema de la recursin para establecer la existencia de una biyeccinde N a NN.Sea A=NN; definimos una funcin f :AA como sigue:

f (k ,m)=

(0,k +1) si m= 0,

(k +1,m1) si m 6= 0.

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Figura 1. Producto Cartesiano N NJoan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 3 / 13

Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

Veamos que f es inyectiva:Sean (k ,m) y (n,p) en A arbitrarios y supongamos que

f (k ,m)= (r ,s)= f (n,p)

Queremos ver que (k ,m)= (n,p).

1. Si r = 0, entonces m= p = 0 (por definicin de f ) y adems,

f (k ,m)= (0,k +1)= (0,n+1)= f (n,p)

implica que k +1= n+1, con lo que k = n, y as, (k ,m)= (n,p).

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Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

Veamos que f es inyectiva:Sean (k ,m) y (n,p) en A arbitrarios y supongamos que

f (k ,m)= (r ,s)= f (n,p)

Queremos ver que (k ,m)= (n,p).1. Si r = 0, entonces m= p = 0 (por definicin de f ) y adems,

f (k ,m)= (0,k +1)= (0,n+1)= f (n,p)

implica que k +1= n+1, con lo que k = n, y as, (k ,m)= (n,p).

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 4 / 13

Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

2. Si r 6= 0, entonces

f (k ,m)= (k +1,m1)= (n+1,p1)= f (n,p)

si y solo si, k+1= n+1 y m1= p1, de donde se deduce que k = n y m= p yas, (k ,m)= (n,p).

Con esto, f es inyectiva.

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Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

Ahora, usando el teorema de la recursin definimos una funcin

:NA

con las siguientes condiciones:(i) (0)= (0,0) y(ii) (n+)= f ((n))Debemos ver que es biyectiva.

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Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

1. InyectividadSe sigue del Corolario 4.

2. SobreyectividadVamos a demostrar que si k ,m N, entonces, (k ,m)= (n) para algn n N.

La demostracin se hace por induccin sobre k +m.

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Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

1. InyectividadSe sigue del Corolario 4.

2. SobreyectividadVamos a demostrar que si k ,m N, entonces, (k ,m)= (n) para algn n N.

La demostracin se hace por induccin sobre k +m.

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 7 / 13

Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

(i) Si k +m= 0, entonces k =m= 0 y

(k ,m)= (0,0)= (0)

luego, existe n N, n= 0, tal que (n)= (0)= (0,0)= (k ,m).

(ii) Supongamos cierta la proposicin para n, y veamos ahora que se cumple parak +m= n+.

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Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

(i) Si k +m= 0, entonces k =m= 0 y

(k ,m)= (0,0)= (0)

luego, existe n N, n= 0, tal que (n)= (0)= (0,0)= (k ,m).(ii) Supongamos cierta la proposicin para n, y veamos ahora que se cumple para

k +m= n+.

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 8 / 13

Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

1. Si k = 0, entonces (k ,m)= f (m1,0); por hiptesis de induccin(m1,0)= (q) para algn q N. As,

(k ,m)= f (m1,0)= f ((q))= (q+)

2. Si k 6= 0, entonces (k ,m)= f (k 1,m+1); por hiptesis de induccin,(k +m1,0)= (p) para algn p N; entonces,

(p+1)= f ((p))= f (k +m1,0)= (0,k +m)(p+2)= f ((p+1))= f (0,k +m)= (1,k +m1), . . . ,(p+k +1)= (k ,m)

De lo anterior, tenemos que N=NN, de donde se deduce que NN esenumerable.

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 9 / 13

Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

1. Si k = 0, entonces (k ,m)= f (m1,0); por hiptesis de induccin(m1,0)= (q) para algn q N. As,

(k ,m)= f (m1,0)= f ((q))= (q+)

2. Si k 6= 0, entonces (k ,m)= f (k 1,m+1); por hiptesis de induccin,(k +m1,0)= (p) para algn p N; entonces,

(p+1)= f ((p))= f (k +m1,0)= (0,k +m)(p+2)= f ((p+1))= f (0,k +m)= (1,k +m1), . . . ,(p+k +1)= (k ,m)

De lo anterior, tenemos que N=NN, de donde se deduce que NN esenumerable.

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 9 / 13

Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

1. Si k = 0, entonces (k ,m)= f (m1,0); por hiptesis de induccin(m1,0)= (q) para algn q N. As,

(k ,m)= f (m1,0)= f ((q))= (q+)

2. Si k 6= 0, entonces (k ,m)= f (k 1,m+1); por hiptesis de induccin,(k +m1,0)= (p) para algn p N; entonces,

(p+1)= f ((p))= f (k +m1,0)= (0,k +m)(p+2)= f ((p+1))= f (0,k +m)= (1,k +m1), . . . ,(p+k +1)= (k ,m)

De lo anterior, tenemos que N=NN, de donde se deduce que NN esenumerable.

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 9 / 13

Conjuntos enumerables

Demostracin (Cont.)

1. Si k = 0, entonces (k ,m)= f (m1,0); por hiptesis de induccin(m1,0)= (q) para algn q N. As,

(k ,m)= f (m1,0)= f ((q))= (q+)

2. Si k 6= 0, entonces (k ,m)= f (k 1,m+1); por hiptesis de induccin,(k +m1,0)= (p) para algn p N; entonces,

(p+1)= f ((p))= f (k +m1,0)= (0,k +m)(p+2)= f ((p+1))= f (0,k +m)= (1,k +m1), . . . ,(p+k +1)= (k ,m)

De lo anterior, tenemos que N=NN, de donde se deduce que NN esenumerable.

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 9 / 13

Conjuntos enumerables

Teorema.NN es enumerable

Demostracin.

La funcin f :NNN definida por f (n,m)= 2n3m para todo n,m N esinyectiva.

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 10 / 13

Conjuntos enumerables

Teorema.NN es enumerable

Demostracin.

La funcin f :NNN definida por f (n,m)= 2n3m para todo n,m N esinyectiva.

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 10 / 13

Demostracin (Cont.)

Sean (n,m) y (n,m) arbitrarios de NN y supongamos que f (n,m)= f (n,m);queremos ver que (n,m)= (n,m).

En efecto, si 2n3m = 2n3m supongamos que n n. Sea p N tal que n = n+p,entonces:

2n3m = 2n+p3m

2n3m = 2n2p3m

3m = 2p3m

Se deduce que p = 0 pues si p 6= 0 entonces 3m sera un nmero par. Por tanto,n= n y 3m = 3m (Anlogamente se ve cuando n n).

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 11 / 13

Demostracin (Cont.)

Sean (n,m) y (n,m) arbitrarios de NN y supongamos que f (n,m)= f (n,m);queremos ver que (n,m)= (n,m).En efecto, si 2n3m = 2n3m supongamos que n n. Sea p N tal que n = n+p,entonces:

2n3m = 2n+p3m

2n3m = 2n2p3m

3m = 2p3m

Se deduce que p = 0 pues si p 6= 0 entonces 3m sera un nmero par. Por tanto,n= n y 3m = 3m (Anlogamente se ve cuando n n).

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 11 / 13

Demostracin (Cont.)

Sean (n,m) y (n,m) arbitrarios de NN y supongamos que f (n,m)= f (n,m);queremos ver que (n,m)= (n,m).En efecto, si 2n3m = 2n3m supongamos que n n. Sea p N tal que n = n+p,entonces:

2n3m = 2n+p3m

2n3m = 2n2p3m

3m = 2p3m

Se deduce que p = 0 pues si p 6= 0 entonces 3m sera un nmero par. Por tanto,n= n y 3m = 3m (Anlogamente se ve cuando n n).

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 11 / 13

Demostracin (Cont.)

Sean (n,m) y (n,m) arbitrarios de NN y supongamos que f (n,m)= f (n,m);queremos ver que (n,m)= (n,m).En efecto, si 2n3m = 2n3m supongamos que n n. Sea p N tal que n = n+p,entonces:

2n3m = 2n+p3m

2n3m = 2n2p3m

3m = 2p3m

Se deduce que p = 0 pues si p 6= 0 entonces 3m sera un nmero par. Por tanto,n= n y 3m = 3m (Anlogamente se ve cuando n n).

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 11 / 13

Demostracin (Cont.)

Sea ahora q N tal que m =m+q. De 3m = 3m se obtiene que 3m = 3m3q y portanto, 3q = 1 y en consecuencia, q = 0; Es decir, m=m (Anlogamente se vecuando m m). Con lo que f es inyectiva.

Como consecuencia de ser f inyectiva, se obtiene f :NN f (NN) biyectiva y,como f (NN) es subconjunto de N, se tiene que f (NN) es finito o enumerable,de donde se deduce que es enumerable y as, NN es enumerable.

Joan Tamayo (UN) Conjuntos enumerables 2 de diciembre de 2014 12 / 13

Demostracin (Cont.)

Sea ahora q N tal que m =m+q. De 3m = 3m se obtiene que 3m = 3m3q y portanto, 3q = 1 y en consecuencia, q = 0; Es decir, m=m (Anlogamente se vecuando m m). Con lo que f es inyectiva.Como consecuencia de ser f inyectiva, se obtiene f :NN f (NN) biyectiva y,como f (NN) es subconjunto de N, se tiene que f (NN) es finito o enumerable,de donde se deduce que es enumerable y as, NN es enumerable.

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Anexos

Corolario 4.Sean A, f , c y como en el teorema anterior. Si f es inyectiva y c Ran f ,entonces es inyectiva.

Demostracin.Ver enumerabilidad.pdf

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