UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

MATEMÁTICA SUPERIOR

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

REALIZADO POR: RAMIRO FABIÁN DÍAZ RÍOSPERIODO ACADÉMICO MARZO-AGOSTO 2013

LOS NÚMEROS REALES Los números reales son los números que se puede escribir con anotación

decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Un número real puede ser un numero racional o un numero irracional. Los números racionales sonaquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0,1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también puedendescribirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que losirracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos 1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer númerodecimal. 5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite714285).

es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y transcendentes. Un número esalgebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente encaso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si es un número racional,con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los númerosalgebraicos son racionales.

Ejemplos

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

OPERACIONES CON NÚMEROS REALESSumar números reales

Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)

Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma. La suma de dos números

positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo.

Ejemplo. -5 + (-9)

Solución: Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.

Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes

del valor.

Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)

Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el

valor absoluto más grande. La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva,

negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto.

Ejemplo. 3 + (-8) Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto

más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.

Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que el número 3,

por lo que la suma es negativa.

3 + (-8) = -5

Restar números reales

Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente.

a – b = a + (-b)

Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a

Ejemplo.

5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.

5 – 8 = 5 + (-8) = -3

Multiplicar números reales

Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplo

Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos.

Propiedad del cero en la multiplicación

Para cualquier numero a,

Dividir números reales

Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Ejemplos.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.

PROPIEDADESPropiedades de los números reales

Propiedad: ConmutativaOperación: Suma y RestaDefinición: a+b = b+aQue dice:El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.Ejemplo: 2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5

Propiedad: AsociativaOperación: Suma y MultiplicaciónDefinición: a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)cQue dice:Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.Ejemplo: 7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7

Propiedad: IdentidadOperación: Suma y MultiplicaciónDefinición: a + 0 = a------ a x 1= aQue dice: Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.Ejemplo: -11 + 0 = -11 17 x 1 = 17

Propiedad: InversosOperación: Suma y MultiplicaciónDefinición: a + ( -a) = 0------(a)1/a=1Que dice: La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.Ejemplos: 15+ (-15) = 0 1/4(4)=1

Propiedad: DistributivaOperación: Suma respecto a MultiplicaciónDefinición: a(b+c) = ab + acQue dice: El factor se distribuye a cada sumando.Ejemplos: 2(x+8) = 2(x) + 2(8)

Propiedades de las igualdadesPropiedad ReflexivaEstablece que toda cantidad o expresión es igual a si misma.Ejemplo: 2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x

Propiedad SimétricaConsiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.Ejemplo: Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11Si a - b = c, entonces c = a - bSi x = y, entonces y = x

Propiedad TransitivaEnuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son iguales.Ejemplo:Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 +...

AXIOMAS DE ORDENPara que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación.

Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Hay tres tipos de axiomas:

Los axiomas algebraicos

Los axiomas de orden

El axioma topológico.

El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.

INECUACIONES ELEMENTALES

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia entre igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo de inecuación incondicional: .

Ejemplo de inecuación condicional: .

VALOR ABSOLUTO En matemática, el valor absoluto o módulo de un numero real es su valor

numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así,por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia ynorma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absolutode un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, comoson los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.